Các phương pháp giải tích giải bài toán phương trình vật lý toán

BỘ

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ



--

--

HUỲNH TRÚC PHƯƠNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
GIẢI BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ - TỐN
Chun ngành: Sư phạm Vật lý

TP. Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ
PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
GIẢI BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ - TỐN

Sinh viên thực hiện: Huỳnh Trúc Phương
Người hướng dẫn khoa học: ThS. Nguyễn Vũ Thụ Nhân

TP. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2019


i
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân – người đã tận tình giúp đỡ
và hướng dẫn tơi trong q trình học tập, nghiên cứu và hồn thiện khóa luận này.
Tơi xin chân thành cảm ơn Trường, Phịng đào tạo, các thầy cơ trong khoa Vật
lý, trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thực
hiện khóa luận này.
Qua đây, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân
đã giúp đỡ, động viên, hỗ trợ tơi hết mình trong thời gian thực hiện khóa luận.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019
SINH VIÊN

Huỳnh Trúc Phương


ii

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN................................................................................................................. i
MỤC LỤC..................................................................................................................... ii
DANH MỤC BẢNG BIỂU............................................................................................ v
DANH MỤC HÌNH VẼ................................................................................................ vi
MỞ ĐẦU........................................................................................................................ 1

I.

Lí do chọn đề tài.................................................................................................. 1

II. Mục đích nghiên cứu........................................................................................... 2
III. Đối tượng nghiên cứu.......................................................................................... 2
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................................ 2
V. Phạm vi nghiên cứu............................................................................................. 2
VI. Cấu trúc đề tài...................................................................................................... 2
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU................................... 4
1.1. Một số hàm đặc biệt............................................................................................. 4
1.1.1.

Hàm delta Dirac....................................................................................... 4

1.1.2.

Hàm Heaviside........................................................................................ 4

1.1.3.

Hàm Bessel.............................................................................................. 4

1.1.4.

Đa thức Legendre.................................................................................... 5

1.2. Các phép biến đổi tích phân................................................................................. 6
1.2.1.

Phép biến đổi Fourier.............................................................................. 6

1.2.2.

Phép biến đổi Fourier Sin và Cos............................................................ 9

1.2.3.

Phép biến đổi Fourier phức..................................................................... 9

1.2.4.

Phép biến đổi Laplace........................................................................... 10

Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT
LÝ – TỐN................................................................................................................. 15
2.1. PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN......................................................................... 15
2.1.1.

Giới thiệu phương pháp......................................................................... 15

2.1.2.

Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền sóng.........15

2.1.2.1. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động tự do...................................15
2.1.2.2. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức..........................22


iii

2.1.3.

Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền nhiệt.........25

2.1.3.1. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn không chứa nguồn..........................25
2.1.3.2. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chứa nguồn................................ 31
2.1.4.

Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình Laplace...............34

2.1.5.

Phương pháp tách biến trong hệ tọa độ khác......................................... 38

2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT................................................... 44
2.2.1.

Giới thiệu phương pháp......................................................................... 44

2.2.2.
Phương pháp đa thức d’Alembert trong việc giải phương trình truyền
sóng...................................................................................................................... 44
2.2.2.1. Truyền sóng trên dây dài vơ hạn........................................................ 44
2.2.2.2. Truyền sóng trên dây dài nửa vô hạn................................................. 46
2.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN....................................................... 48
2.3.1.

Giới thiệu phương pháp......................................................................... 48

2.3.2.

Phương pháp biến đổi tích phân trong việc giải các phương trình vật lý –
toán....................................................................................................................... 48
2.4. PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN....................................................................... 54
2.4.1.

Giới thiệu phương pháp......................................................................... 54

2.4.2.

Hàm Green............................................................................................ 54

2.4.3.

Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng độc lập với thời gian.........56

2.4.4.
Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng không thuần nhất trong
không gian ba chiều.............................................................................................. 60
2.4.5.
Nghiệm hàm Green cho phương trình Maxwell và bài tốn phụ thuộc
vào thời gian......................................................................................................... 62
Chương 3. ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH TRONG VIỆC GIẢI CÁC
PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TỐN........................................................................... 68
3.1. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN....................................................... 68
3.1.1.

Giải các bài toán truyền sóng................................................................ 68

3.1.2.

Giải các bài tốn truyền nhiệt................................................................ 75

3.1.3.

Giải các bài toán Laplace...................................................................... 81

3.1.4.

Giải các bài toán trong các hệ tọa độ khác............................................ 88

3.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT................................98
3.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN................................... 101


iv
3.4. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN................................................... 115
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN.................................................................. 126
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................... 127


v
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1. Bảng biến đổi Laplace.................................................................................. 13
Bảng 1.2. Bảng biến đổi Laplace mở rộng................................................................... 14


vi
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Chu tuyến l + L trong mặt phẳng phức......................................................... 12
Hình 2.1. Đồ thị hàm số y = u ( x , t)..................................................................................100

1
MỞ ĐẦU
I.

Lí do chọn đề tài
Trong vật lý, việc giải các phương trình đạo hàm riêng như: phương trình truyền

sóng, phương trình truyền nhiệt,… mang lại ý nghĩa quan trọng. Các nhà vật lý biết
được dao động của dây, dao động của sóng nước,... nhờ việc giải phương trình truyền
sóng, biết sự biến thiên của nhiệt độ theo thời gian trong một miền cho trước nhờ việc
giải phương trình truyền nhiệt,...[7],[5]. Để giải các phương trình này, các nhà vật lý
thường sử dụng một số phương pháp toán học: phương pháp số, phương pháp giải tích.
Phương pháp số có thể giải được nhiều bài toán phức tạp, nhưng chỉ giải ra nghiệm gần
đúng [4]. Cịn phương pháp giải tích giải ra nghiệm một cách chính xác nhưng trở nên
khó khăn đối với các bài tốn phức tạp [3]. Do đó, phương pháp giải tích thường được
sử dụng để giảng dạy cho sinh viên vì các bài tốn vật lý trong chương trình học của
sinh viên khơng q phức tạp.
Hiện nay, ở nhiều trường đại học, sinh viên chuyên ngành vật lý được học các
phương pháp giải tích để giải các phương trình vật lý tốn: phương trình truyền sóng,
phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace. Mỗi loại phương trình có nhiều dạng
khác nhau: phương trình truyền sóng trên dây dài hữu hạn và vơ hạn, truyền sóng trên
dây dao động cưỡng bức; phương trình truyền nhiệt trên thanh dài hữu hạn chứa nguồn
và khơng chứa nguồn, phương trình Laplace,... Các phương pháp giải tích thường được
sử dụng để giải các phương trình này là phương pháp tách biến và phương pháp đa thức
D’Alembert. Hai phương pháp này được dùng phổ biến vì khơng địi hỏi sinh viên biết
nhiều kiến thức tốn phức tạp. Ngồi ra cịn có các phương pháp tìm ra nghiệm dễ dàng
hơn nhưng khá nặng về kiến thức tốn như phương pháp biến đổi tích phân, phương
pháp hàm Green. Do có nhiều dạng phương trình, nhiều phương pháp giải tích để giải

chúng nên việc hệ thống lại các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý tốn
là rất cần thiết. Nhờ đó, sinh viên có thể xâu chuỗi lại kiến thức đã học, biết được thêm
các phương pháp mới, giúp cho việc học trở nên dễ dàng hơn.
Vì vậy, nhằm đáp ứng nhu cầu trên, tơi đã hệ thống lại các phương pháp giải tích
để giải các bài tốn phương trình vật lý - tốn trong đề tài này.


2
AI.

Mục đích nghiên cứu
Đề tài hướng đến hai mục đích sau:
 Đưa ra được hệ thống các phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm

riêng ứng dụng rộng rãi trong vật lý: phương trình truyền sóng, phương trình
truyền nhiệt, phương trình Laplace.
 Đưa ra hệ thống bài giải các bài tập phương trình đạo hàm riêng đã nói ở trên

bằng các phương pháp giải tích: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức
D’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green.
III. Đối tượng nghiên cứu
 Các bài toán đạo hàm riêng ứng dụng trong vật lý.
 Các phương pháp giải tích áp dụng giải các bài toán đạo hàm riêng trong vật lý.

IV.

Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu các bài tốn đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý thơng qua các giáo

trình, sách, các tài liệu liên quan.

 Phân tích những ưu điểm, nhược điểm của các phương pháp giải tích áp dụng

giải các bài toán vật lý – toán.
V.

Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp giải tích để giải các phương trình

vật lý - tốn thường gặp: phương trình truyền sóng trên dây, phương trình truyền nhiệt
trên thanh, phương trình Laplace,…
VI.

Cấu trúc đề tài

Mở đầu: Phần này tơi trình bày tổng quan về đề tài nghiên cứu, bao gồm: lí do chọn đề
tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên
cứu và cấu trúc đề tài.
Chương 1. Cơ sở lý thuyết của đề tài nghiên cứu.
Trong chương này, tơi trình bày một số hàm đặc biệt được đề cập tới trong đề tài
và các phép biến đổi tích phân để làm cơ sở cho phương pháp biến đổi tích phân trong
chương 2.


3
Chương 2. Các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý – tốn.
Trong chương này, tơi trình bày về các phương pháp giải tích giải các phương
trình vật lý toán, cụ thể gồm: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức d’Alembert,
phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green.
Chương 3. Áp dụng các phương pháp giải tích giải phương trình vật lý - tốn.
Trong chương này, tơi trình bày hệ thống giải các bài tập phương trình đạo hàm

riêng trong vật lý theo từng phương pháp giải tích đã đề cập trong chương 2.
Kết luận và hướng phát triển


4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
1.1.

Một số hàm đặc biệt

1.1.1. Hàm delta Dirac
Trong vật lý, hàm delta Dirac δ(x) thường được dùng để mô tả các khái niệm như:

mật độ vật chất điểm, mật độ điện tích điểm,...Hàm delta Dirac được định nghĩa bởi:
( )={

và hàm này phải thoả mãn đẳng thức:
+∞

∫()=1
−∞

=

Hàm delta Dirac có tính chất như sau: Với mọi hàm ( ) liên tục tại

0

thì:

= ( )+ ( )

+∞

∫ (−0)() = (0).

−∞

1.1.2. Hàm Heaviside
Hàm Heaviside H(t), còn gọi là hàm bậc thang đơn vị, được định nghĩa như sau:

Định nghĩa trên cho ta biết hàm H(t) là một hàm không liên tục, nhận giá trị 0 khi
đối số t âm và nhận giá trị 1 khi đối số t dương. Hàm Heaviside thường được dùng
trong việc nghiên cứu các mạch điện, xử lý các tín hiệu,...
1.1.3. Hàm Bessel
Trong các bài tốn vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, ta thường gặp phương
trình có dạng sau:
2

2
2

Phương trình (1.1.5) gọi là phương trình Bessel bậc m. Nghiệm của phương trình
này có dạng hàm Bessel.
Hàm Bessel loại 1 theo biến x ∈ R , bậc m, được định nghĩa bằng chuỗi luỹ thừa
sau:


( )=∑

Hàm Bessel loại 2 liên hệ với hàm Bessel loại 1 theo biểu thức:
()=

( ) cos( ) −

−

( )

trong đó:

−

( )=∑

=0

(1.1.6)

(1.1.7)

Nếu phương trình (1.1.5) có bậc m ngun, nghiệm tổng qt của nó có dạng:
(1.1.8)
Ngược lại, nếu phương trình (1.1.5) có bậc m khơng ngun, nghiệm tổng qt
của nó có dạng:
= ()+

với A, B là các hệ số.
1.1.4. Đa thức Legendre

−

( )


Trong các bài toán Laplace trong hệ toạ độ cầu, ta thường gặp các phương trình
có dạng:
2

(1 −

gọi là phương trình Legengre. Nghiệm của phương trình này có dạng đa thức Legendre.
Đa thức Legendre bậc n, ký hiệu là
( ), được cho bởi biểu thức sau:

()=

Một vài giá trị bậc nhỏ của đa thức Legendre:
0(
1(

)=1

)=


2(

) = 2(3

3(

) = 2 (5

2

6

1
−1)
1

3

−3 )

Khi giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, nếu nghiệm tổng quát của nó
dưới dạng chuỗi chứa đa thức Legendre, để tìm hệ số của chuỗi, chẳng hạn ta có
+∞

với f(x) là một hàm đã biết, thì hệ sốsẽ có dạng sau:

=

1.2.

Các phép biến đổi tích phân

1.2.1. Phép biến đổi Fourier
Cho

( ) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T. Chuỗi Fourier của hàm

()=

trong đó n là các số ngun khơng âm;
như sau:

( ) có dạng:


Thay

,

, vào

( ):

Mặt khác ta có:
− =

+1

Do đó, ( ) được viết lại dưới dạng sau:

()=

+ sin

2

∫
−2

( ) sin(

)

∆ ]}


(1.2.2)

(1.2.3)

hoàn:

Biểu thức (1.2.3) đúng với T bất kỳ nhưng T phải có giá trị hữu hạn. Bây giờ ta xét → +∞ và giả sử rằng kết quả thu được là một hàm khơng tuần
()=

lim ( )

→+∞

Hàm này khả tích trên trục t, nghĩa là tồn tại tích phân
∫

+∞

| ( )|

−∞


8
thì khi → +∞ ⇒ 1 → 0, số hạng đầu tiên bên vế phải của (1.2.3) bằng 0. Mặt khác, khi → +∞ thì ∆
tích phân với cận từ 0 đến ∞.

= 2 → 0, chuỗi vô hạn trong (1.2.3) trở thành
1

⇒ ()=

Ta đặt:

Biểu thức (1.2.5) chính là biểu diễn Fourier của hàm

( ). Tuy nhiên không phải bất kỳ hàm nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier. Nếu

( ) là

hàm liên tục trên từng đoạn, có đạo hàm trái và phải tại mọi điểm, đồng thời tồn tại tích phân
+∞

∫

| ( )|
−∞

thì hàm ( ) có thể biểu diễn bằng tích phân Fourier. Tại điểm ( ) bị gián đoạn, giá trị của tích phân Fourier sẽ bằng với trung bình giới hạn trái và phải của (
) tại điểm đó.

Nếu ( ) là hàm chẵn :

Nếu

( ) là hàm lẻ :

()=


1.2.2. Phép biến đổi Fourier Sin và Cos
Cho hàm ( , ) xác định ∀ ∈ (0, +∞), ∀ ≥ 0. Biến đổi Fourier Sin của hàm ( , ) theo biến x được xác định bởi:
+∞

ℱ ( ( , )) = ( , ) = ∫ ( , ) sin
0

Để tìm lại được hàm

( , ), ta sử dụng phép biến đổi gọi là phép biến đổi ngược:

ℱ−1( ( , )) = ( , ) =

Tương tự, biến đổi Fourier Cos của ( , ) theo biến x là:

và phép biến đổi ngược có dạng:

ℱ−1( ( , )) = ( , ) =

1.2.3. Phép biến đổi Fourier phức
Phép biến đổi Fourier phức của hàm f(t) được định nghĩa như sau:

Để tìm lại hàm f(t), ta sử dụng phép biến đổi Fourier phức ngược được cho bởi:

ℱ

−1

( ( )) = ( ) =


10
Ý nghĩa vật lý của việc biến đổi này như sau: ta hình dung hàm ( ) đóng vai trị là chùm sáng
trong quang học, việc biến đổi Fourier giống như việc cho chùm sáng đi qua lăng kính, khi đó chúng sẽ
bị tách ra thành các thành phần có tần số ứng với cường độ ( ). Trong quang học, mỗi ánh sáng đơn
sắc ứng với một tần số. Do đó việc biến đổi Fourier sẽ cho ra các thành phần với các màu sắc khác
nhau, tạo thành phổ màu. Và khi biến đổi Fourier ngược, ta sẽ đưa về chùm sáng ban đầu [2].

Một trong những định lý quan trọng để giải các bài tập sử dụng phép biến đổi
Fourier phức là định lý tích chập.
Định lý 1.2.1 (Định lý tích chập)
Cho hai hàm thực f và g, tích chập của f và g, kí hiệu là

∗ , được định nghĩa là:

+∞

(∗)()=∫ ()(−) =∫ (−)()

−∞

Biến đổi Fourier của tích chập hai hàm f và g có dạng:
ℱ( ∗ ) = ℱ( )ℱ( )

Để tìm lại tích chập của f và g, ta có biến đổi Fourier ngược:
ℱ

−1

(ℱ( )ℱ( )) = ∗ = ∫

−∞

1.2.4. Phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace của hàm ( ) được định nghĩa như sau:

+∞

ℒ( ( )) = ( ) = ∫

0

trong đó ( ) xác định ∀ ≥ 0 và khả vi trên mọi miền dương hữu hạn; là số phức, có dạng = + , là một tham số phức hội tụ trong miền ( ) = > 0. Hàm ( )
−
được cho phải thỏa mãn điều kiện sao cho
| ( )| khả vi trong mọi miền 0 < < ∞. Để tìm lại hàm ( ) từ hàm ( ), ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược.
Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa:


11

ℒ

−1

( ( )) = ( ) =

Để tính tích phân trong (1.2.18), ta phải áp dụng định lý thặng dư Cauchy.
Định lý 1.2.2. (Định lý thặng dư Cauchy)
Nếu ( ) là hàm giải tích trong một miền kín được giới hạn bởi biên ngoại trừ các điểm đơn cô lập 1, 2, 3, … , (với n là số hữu hạn) nằm bên trong thì ta có:

trong đó Res ( ) là giá trị thặng dư của hàm ( ) tại cực điểm = .

=

Giả sử ( ) =

( ) = 0 thì điểm 0 của ( ) = 0 gọi là cực điểm của hàm ( ). Nếu = là một cực điểm của ( ) và nếu ( − ) có lũy thừa bậc
1, cực điểm này gọi là cực điểm cấp 1, nếu ( − ) có lũy thừa bậc 2, cực điểm gọi là cực điểm cấp 2, tương tự cho các cực điểm
cấp cao hơn.
Nếu ( ) có một cực điểm cấp

> 1 tại

=

thì thặng dư được cho bởi:

Res ( ) =
=

Để tìm biến đổi Laplace ngược sử dụng định lý thặng dư, ta tính tích phân sau:
+

= lim ∫
→∞

−

()


12

Hình 1.1. Chu tuyến l + L trong mặt phẳng phức
Chu tuyến + biểu diễn trong mặt phẳng phức như hình 1.1. Chu tuyến này bao quanh tất cả các điểm bất thường cơ lập của hàm lấy tích phân. Tích phân
dọc theo chu tuyến + có giá trị:

∫
+

Khi → ∞ thì ∫

→∞

=2

Mặt khác ta có:

∑

(

. ( ))

(1.2.22)


13

Từ (1.2.22) và (1.2.23), suy ra:

Để sử dụng phép biến đổi Laplace, ta cần nhớ các định lý sau đây:
Định lý 1.2.3 (Định lý dịch chuyển thứ nhất)
Nếu ℒ( ) = ( ) thì

Định lý 1.2.4 (Định lý tích chập trong biến đổi Laplace)
Cho

( ) và

( ) là

( ), ℒ( ( )) = ( ) thì:

0

và biến đổi ngược:

Định lý 1.2.5 (Định lý dịch chuyển thứ hai)
Nếu ( ) = ℒ( ( )) thì với hằng số dương a bất kỳ, ta ln có:

Để thuận tiện cho việc biến đổi Laplace, ta sử dụng bảng biến đổi Laplace và bảng
biến đổi Laplace mở rộng được cho bởi bảng 1.1 và bảng 1.2:



14

Bảng 1.2. Bảng biến đổi Laplace mở rộng
HÀM ( )

sin

cos