Định thức trên vành giao hoán và định thức dieudonne

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

An Thị Thúy Nga

ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ
ĐỊNH THỨC DIEUDONNE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

An Thị Thúy Nga

ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ
ĐỊNH THỨC DIEUDONNE
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS BÙI XUÂN HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Bùi Xuân Hải - người thầy đã tận tình giúp
đỡ và hướng dẫn tơi trong q trình học tập, nghiên cứu và hồn thiện luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn Q thầy cơ của Trường, Phịng Sau đại học, Khoa
Tốn học, bộ môn Đại số - Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy chúng tơi trong suốt
khóa học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này.
Qua đây, tơi cũng xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và
bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn.
TP. HCM, ngày 27 tháng 9 năm 2013

An Thị Thúy Nga

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN..............................................................................................................1
MỤC LỤC....................................................................................................................2
BẢNG KÍ HIỆU.......................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU......................................................................................................................4
CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN...................................... 5
1.1. Một số khái niệm cơ bản........................................................................................... 5
1.2. Định nghĩa định thức trên vành giao hốn.............................................................. 6
1.3. Một số tính chất của định thức trên vành giao hoán............................................... 6
1.4. Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán.......................................8
1.5. Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch....................................... 12
1.6. Một số phương pháp tính định thức trên vành giao hốn.................................... 13
1.6.1. Phương pháp dùng định nghĩa............................................................................. 13
1.6.2. Phương pháp khai triển........................................................................................ 14

1.6.3. Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác.............................................. 15
1.6.4. Phương pháp quy nạp.......................................................................................... 15
1.7. Hệ phương trình tuyến tính trên vành giao hốn.................................................. 16

CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE............................................................ 22
2.1. Một số khái niệm cơ bản......................................................................................... 22
2.2. Định nghĩa định thức Dieudonne............................................................................ 26
2.3. Một số tính chất của định thức Dieudonne............................................................ 26
2.4. Sự tồn tại của định thức Dieudonne....................................................................... 29
2.5. Một số kết quả suy từ định nghĩa và tính chất của định thức Dieudonne...........32
2.6. Một số phương pháp tính định thức Dieudonne.................................................... 36
2.6.1. Phương pháp 1..................................................................................................... 36
2.6.2. Phương pháp 2..................................................................................................... 36
2.7. So sánh định thức trên vành giao hốn và định thức Dieudonne.........................37
2.7.1. Một số tính chất giống nhau giữa hai định thức................................................... 37
2.7.2. Một số tính chất khác nhau giữa hai định thức.................................................... 38

KẾT LUẬN................................................................................................................40
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................41

2


BẢNG KÍ HIỆU

a, b = {a, a + 1, a + 2,..., b}, trong đó a, b ∈và a < b
R* - Nhóm nhân của vành R
AT - Ma trận chuyển vị của ma trận A
M n (R) - Vành ma trận vuông cấp n trên vành R
GL n (R) - Nhóm tuyến tính tổng qt bậc n trên vành R

E n (R) - Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n trên vành R

[a, b ] = a −1 b −1ab - Giao hoán tử của các phần tử a và b trong nhóm G
[H , K ]- Nhóm con của G sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử dạng [a, b]
với a ∈ H , b ∈ K ( H , K là các tập con khác rỗng của G

3


MỞ ĐẦU
Đại số tuyến tính nói chung và Lý thuyết định thức nói riêng được xây dựng trên
trường. Trường là cấu trúc trọn vẹn nhất nên việc xây dựng định thức trên đó có
nhiều kết quả đa dạng và phong phú. Tuy nhiên nếu thay đổi trường bằng một cấu
trúc đại số khác, mà cụ thể là vành giao hoán có đơn vị và vành chia thì kết quả đã
biết còn đúng, hay được thay đổi như thế nào.
Mặt khác, định thức trên vành giao hoán được nghiên cứu dựa trên tính giao
hốn của phép nhân giữa các phần tử. Còn đối với định thức Dieudonne nghiên cứu
trên vành chia. Sự khác biệt của vành giao hoán và vành chia dẫn đến sự khác biệt
của hai định thức trên.
Trên đây là một số lý do chúng tôi chọn đề tài “Định thức trên vành giao hoán
và định thức Dieudonne” để nghiên cứu và tìm hiểu.
Luận văn sẽ tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức trên vành giao hoán và định
thức Dieudonne, sau đó so sánh những điểm giống và khác nhau giữa hai định thức
này.
Bố cục luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1 - Định thức trên vành giao hốn
Chương 2 - Định thức Dieudonne
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn
này khơng tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của q thầy cơ và
các bạn. Xin chân thành cảm ơn.

4


CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
1.1. Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Xét X =

1) Mỗi phần tử s ∈ Sn
n

và được biểu diễn bởi ma trận loại 2× n

trong đó ở dịng thứ nhất, các phần tử của X được sắp xếp theo một thứ tự nào đó
(thường là 1, 2,…, n), dịng thứ hai gồm ảnh của dòng thứ nhất qua song ánh s.
2) Với mỗi số nguyên k ≥ 2, phép hoán vị s ∈ Sn được gọi là k - chu trình có chiều
dài k nếu tồn tại các phần tử phân biệt i1 , i2 ,..., ik ∈ X sao cho
s (i1 ) = i2 ; s (i2 ) = i3 ;...; s (ik −1 )
j ∉{ik , i2 ,..., ik }. Khi đó ta viết s = (i1

với mọi

chu trình s = (i1 i2 ... ik ) và t =

Hai

{i1 , i2 ,...,ik }∩ { j1 , j2 ,..., jl } = ∅.
Mỗi 2 - chu trình được gọi là một chuyển vị. Như vậy, mỗi chuyển vị có dạng s =

(i j) với 1 ≤ i ≠ j ≤ n.

Định lý 1.1.2. Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chu trình rời
nhau. Cách phân tích duy nhất, sai khác một sự đổi chỗ các chu trình.
Bổ đề 1.1.3. Mọi chu trình được phân tích thành tích các chuyển vị. Cách phân tích
khơng duy nhất.
Định lý 1.1.4. Mọi phép hốn vị đều được phân tích thành tích các chuyển vị. Cách
phân tích khơng duy nhất nhưng tính chẵn lẻ của số các chuyển vị là duy nhất.
Chú ý 1.1.5. Xét phép hoán vị s. Gọi k là số chuyển vị trong phân tích s thành tích
các chuyển vị. Đặt
5


sgn (s ) = (−1)k .

Theo Định lý 1.1.4, sgn (s ) khơng phụ thuộc vào cách phân tích s.
-

Nếu sgn (s ) = 1 thì s được phân tích dưới dạng tích của một số chẵn các

chuyển vị. Ta nói s là một hốn vị chẵn.
Nếu sgn (s ) = −1 thì s được phân tích dưới dạng tích của một số lẻ các
chuyển
vị. Ta nói s là một hoán vị lẻ.
-

Với các phép hoán vị s và t, ta có

(

)

sgn s − 1 = sgn (s ) và sgn ( st )

- Với s là một k - chu trình, ta có sgn

s=1 3 1 6

Vậy s được phân tích dưới dạng tích của 6 chuyển vị nên sgn (s ) = 1, do đó s là hốn
chẵn.
1.2. Định nghĩa định thức trên vành giao hoán
Xét R là vành giao hốn, có đơn vị.
Định nghĩa 1.2.1. Cho R là vành giao hốn, có đơn vị. Cho A aij vuông cấp là ma trận
n trên R . Định thức của ma trận A trên R , được kí hiệu là detA xác định bởi hay A và

detA

sgn s a

1s 1

a

2 s 2

...a

.

ns n

s Sn

1.3. Một số tính chất của định thức trên vành giao hốn
Tính chất 1.3.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên R và AT là ma trận chuyển vị của
ma trận A . Khi đó

ng minh. Giả sử A

detA T detA .
aij và A T bij thì bij aji , i , j 1, n . Khi đó ta có 6


detA T

sgn s b1s 1 b2 s 2 ...bns n
s Sn

sgn s a

a

s11

...a

s22

snn

s Sn

sgn s 1 a1s 1 1 a2 s 1 2 ...ans 1 n
s

1

Sn

sgn t a

1t 1

a

2t2

...a

nt n

t Sn

detA

Tính chất 1.3.2. Trong định thức nếu đổi chỗ hai dịng cho nhau thì định thức đổi
dấu. Chứng minh. Đặt A aij , giả sử trong ma trận A đổi dòng i và dòng j 1 i , j n
ta được ma trận mới A

aij .

Khi đó

detA

s Sn

Với mỗi s Sn , đặt t

Khi đó, sgn t

Sn sao cho

sgn s

a
1s 1

ti

s j

t j

si

tk

sk, k

i , j.

và

...a ...a ...a
js i

is j

a

ns n

1t 1

...a

i t i

...a

j t j

...a

nt n

.

Do đó
sgn t a1t 1 ...ai t i ...a j t j ...ant n

detA

-

t Sn

sgn t a

...a

1t 1

...a
it i

j t j

...a
nt n

t Sn

- detA.

Tính chất 1.3.3. Nếu ma trận vng A có hai dịng bằng nhau thì detA

0.

Tính chất 1.3.4. Cho ma trận vng A aij cấp n trên R. Nếu nhân vào dòng thứ i của
ma trận A với k R thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A nhân với
k.

7


Chứng minh. Giả sử trong ma trận A tất cả các hệ số của dòng i được nhân lên k lần,
còn các dòng khác giữ nguyên ta nhận được ma trận mới A aij . Khi đó
detA

kdetA.

Hệ quả 1.3.5. Nếu ma trận vng A có một dịng bằng bội k R của một dịng khác thì
detA 0 .

Tính chất 1.3.6. Cho ma trận vng
của A có tính chất aij

i i 1, n

detA

Chứng minh.
detA

sgn s a

...a
1s 1

...a
is i

ns n

s Sn

sgn s a

... b
1s 1

is i

c

...a

is i

ns n

s Sn

sgn s a
1s 1

s Sn

detB detC

Tính chất 1.3.7. Nếu cộng vào một dịng nào đó của ma trận vng A một bội k R của
một dịng khác thì định thức của nó khơng đổi. Chứng minh. Áp dụng tính chất

1.3.3 và tính chất 1.3.4
1.4. Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hốn
Định nghĩa 1.4.1. Cho A aij

là ma trận vng cấp n trên R. Với mỗi i , j ta gọi
Aij

1 i j detA i; j


8


là phần bù đại số của hệ số aij , trong đó A i; j là ma trận vng cấp n 1 có được từ
A

bằng cách xóa dịng i, cột j.

Định nghĩa 1.4.2. Cho
i1 , i2 ,..., ik và j1 , j2 ,...,

là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng i1 ,
Ta gọi M1 i

1

... i

k

j ...
1

j

k

detA i1 , ...,ik ; j1 , ..., jk

đó A i1 , ..., ik ; j1 , ..., jk là ma trận có từ A bằng cách xóa các dịng i1 ,
j1 , j2 ,.., jk .

Bổ đề 1.4.3. Cho A aij
aik

là ma trận vuông cấp n

0 với mọi k j thì

trong đó Aij là phần bù đại số của aij .
Chứng minh. Do aik

0

với mọi k j
s Sn ;

si

Với mỗi s thỏa s i

j , đặt t
a

Khi đó, sgn a

1n

j

j

asb , trong đó
n... j 1 j và b i i 1 ...n .

và sgn b

1n

sgn t

i

nên

sgn a sgn s sgn b
-1 2n -i - j sgn s
1 i j sgn s 1 i j
sgn s .

Và đồng thời
9


t n asb n

as i

a j

n

nên có có thể xem như t Sn 1 và phép tương ứng s t là một tương ứng 1 1 giữa s Sn s i j
và Sn 1 . Hơn nữa, với mỗi k 1, n 1 , ta có
Nếu k

i thì t k

asb k

nên

ask

σ (k )
τ (k ) = ( )

Nếu k

i thì t k

asb k

τ k

khi σ (k ) > j.

ask

1

(
( )

khi σ (k ) < j;

nên

)
σ k +1

=

(

)

khi σ k + 1 < j;

σ (k + 1) − 1 khi σ (k + 1) > j.

Do đó nếu đặt B = A (i; j ) = (bkl ) thì
a

1σ (1)

a

2σ ( 2 )

...a

nσ ( n )

=a b

ij 1τ (1)

...b

n −1τ ( n −1)

.

Suy ra
detA

sgn s a

a

2 s 2

1s 1

...a

ns n

s Sn ;
si j

1 i j sgn t aij b1t 1 ...bn 1t n 1 t
Sn 1

1 i j aijsgn t b1t 1 ...bn 1t n 1 t Sn 1
1 i j aij detB

a A
ij

ij

Định lý 1.4.4. Cho A aij là ma trận vuông cấp n trên R . Với mỗi i, j gọi Aij là phần bù
đại số của aij . Ta có
i) Cơng thức khai triển detA theo dịng thứ i :
n

detA

a

ik

A

ik

.

k=1

ii) Công thức khai triển detA theo cột thứ j :
n

detA

a

kj

k=1

Chứng minh. i) Với mỗi k ∈1, n đặt
10

A

kj

.


a
11

...
Bk =

0
...

a
n1

...

a

... a
1n

1( k −1)

...

...

...
...

0
...

...

a

...
...

...
0 .

...

...

...

ann

n

(k −1)

Khi đó, theo tính chất 1.3.6 ta có

Mặt khác, theo Bổ đề 1.4.2 có det Bk

aik Aik nên

ii) Với mỗi k ∈
a

(k −1) n

a

Khi đó, theo tính chất 1.3.6 ta có
n

detA det Bk .
k=1

Mặt khác, theo Bổ đề 1.4.2 có det Bk

akj Akj nên
n

detA

akj Akj .
k=1

Hệ quả 1.4.5. Cho A aij là ma trận tam giác trên (dưới) trong R. Khi đó detA bằng tích
các phần tử nằm trên đường chéo chính của A .
Định lý 1.4.6. (Định lý Laplace ). Cho A = (aij

) là ma trận vng cấp n trên R. Khi

đó, với k dòng cho trước, định thức của A bằng tổng tất cả các tích của định thức con
cấp k lấy ra từ k dịng đó với phần bù đại số của nó, nghĩa là
i) với mỗi 1 ≤ i1 < i 2 < ... < i k ≤ n , ta có


11
n

M.M

detA

,

1 j1 ... jk n

ii) với mỗi 1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n , ta có
n

M.M,

detA
1i1

...ik

n

trong đó M là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột j1 ,

j2 ,..., jk và M′ là phần bù đại số của M.

Định lý 1.4.7. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp trên R . Khi đó
det ( AB ) = detA ⋅ detB.

1.5. Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch
Định nghĩa 1.5.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Ma trận A được gọi là khả
nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n trên R sao cho AB = BA = In .
Định lý 1.5.2. Cho A aij là ma trận vuông cấp n trên R và đặt B bij Aij T , trong đó Aij là
phần phụ đại số của phần tử aij . Khi đó ta có
i)

AB BA detA .In .

ii)

Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khả nghịch.

Chứng minh.
i)

Đặt AB = (cij ) , ta có
c =
ij

n

∑

a b = a b + a b + ... + a b

ik

kj

i1

1j

i2

2j

in

nj

k =1

=

ai1 A j 1 + ai 2 A j 2 + ... + ain Ajn

=
ai1 (−1)j+1 detA ( j;1) + ai 2 (−1)j+ 2 detA ( j; 2) + ... + ain (−1)j +n detA (
j; n).

Nếu i = j thì cij = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain = detA.
Nếu i ≠ j thì ta thay dịng thứ j trong A bằng dòng thứ i ta nhận được ma trận A′

12

... a1n
... ...
... ain
... ... .

hay

... ain
... ...
... ann

Trong A′ nếu ta xóa dịng j cột k thì ta nhận được ma trận bằng ma trận thu được từ
A

bằng cách xóa dịng j cột k , nghĩa là A′ ( j; k ) = A ( j; k ) . Khi đó ta có
cij = ai1 (−1)j+1 det A′ ( j;1) + ai 2 (−1)j+ 2 det A′ ( j; 2 ) + ... + ain (−1)j +n det A′ ( j; n)
=
=

det A′
0.

Vậy ta có
cij =

det A

0

Suy ra AB = (detA ) .In . Tương tự, ta cũng chứng minh được BA = (detA ) .In . Vậy
AB = BA = (detA ) .In .

ii) Giả sử A là ma trận khả nghịch. Khi đó tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho
AB = BA = In ,

suy ra detA.detB = detB.detA = 1. Do đó detA khả nghịch.
Ngược lại, nếu detA khả nghịch mà theo i) ta có AB = BA = (detA ) .In với B = (Aij

)T thì suy ra
A

( detA ) −1 .B

=

( detA ) −1 .B

A = In .

Vậy ma trận A khả nghịch.
1.6. Một số phương pháp tính định thức trên vành giao hốn
1.6.1. Phương pháp dùng định nghĩa

Để tính định thức của ma trận vuông A = (aij ) cấp n ta dùng định nghĩa
detA sgn s a a
...a
1s 1

s Sn

2 s 2

ns n

.


13


Tuy nhiên, phương pháp này chỉ nên áp dụng đối với định thức cấp 2, cấp 3 cịn dùng
để tính định thức cấp

thì khơng đơn giản.

n, (n ≥ 4)

Ví dụ 1.6.1. Tính định thức của ma trận
a)

2

Ta có

S=

a a
11

a

a

22

12

a .
21

13

a
23

b)

a33

Ta có S3 = {s1 , s 2 , s 3 , s 4 , s 5 ,s6}, trong đó
1

s Id, s

Do đó
detB

sgn s

i

a

a
1s

i

1

2 s

a
2

i

3 si 3

si S3

=

a a a
11

22

a

33

12

a

23

a

31

a

13

a

32

a

21

a

13

a

22

a

31

a

11

a

23

a

32

a

12

a

21

a

33

1.6.2. Phương pháp khai triển

Để tính định thức của ma trận vng A cấp n , ta dùng công thức khai triển j ,
theo dòng thứ i hay cột thứ thường chọn dịng hay cột có nhiều phần tử 0.
Ví dụ 1.6.2. Tính định thức

D=

1

0 2

2
3

0 3
2 1

1

0 0
2 1

0

2

1 2

=

= 2(2.0 −1.3) = −6 .

14

0

3 0

2

1 4


1.6.3. Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận và các tính chất
của định thức biến đổi định thức về dạng tam giác. Khi đó, định thức cuối cùng bằng
tích các phần tử nằm trên đường chéo chính. Ví dụ 1.6.3. Tính định thức

D=

Cộng dịng 1 vào các dòng 2, 3,…, n ta được

D=

1.6.4. Phương pháp quy nạp

Áp dụng các tính chất của định thức, biến đổi, khai triển định thức theo dòng
hoặc theo cột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức cấp bé hơn nhưng có
cùng dạng. Từ đó ta sẽ nhận được công thức truy hồi. Sử dụng công thức truy hồi và
tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2,…, để suy ra định thức cần tính.
Ví dụ 1.6.4. Tính định thức sau

Dn =

Khai triển theo hàng 1 ta được:
Dn = 5 Dn −1 − 6 Dn − 2 = 2 Dn −1 + 3 Dn −1 − 2 . 3Dn−2 .

Khi đó ta có
Dn − 2 Dn −1 = 3 Dn −1 − 2. 3 .Dn − 2 = 3 (Dn −1 − 2 Dn −2 ) = ... = 3n−2 (D2 − 2D1 ) .

15


Hoặc Dn − 3Dn −1 = 2 Dn −1 − 2 . 3 .Dn − 2
Mà D2=

3Dn − 6 Dn−1 = 3n+1

Suy ra

2 Dn − 6 Dn−1 = 2n+1

Do đó Dn = 3n +1 − 2n+1.
1.7. Hệ phương trình tuyến tính trên vành giao hốn
Định nghĩa 1.7.1. Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số là
một hệ có dạng

a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
ax
21 1

+ax
22

...........................................
+a

a x
m1 1

m2

trong đó
•

aij , bi ∈ R, với i = 1, m , j = 1, n : các hệ số;

•

x1 , x 2 ,..., xn : các ẩn số nhận giá trị trong R;

•

Mỗi bộ số (x1 , x 2 ,..., xn ) = (a1 , a 2 ,...,an ) thỏa tất cả các phương trình trong (1.1)

được

gọi là một nghiệm của hệ (1.1). Khi hệ có nghiệm ta cịn nói hệ tương thích.
Định nghĩa 1.7.2. Ma trận

( )

A = aij

được gọi là ma trận hệ số của hệ (1.1).
b1

Ma trận

b
B=


b
m


Ma trận
a
11

a

21

B ==

(A

)

... ...
a
m1

được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ (1.1).
Khi đó, hệ (1.1) được viết dưới dạng ma trận
x
1

x

trong đó

X=

x
n

Định nghĩa 1.7.3. Hệ (1.1) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu
b1 = b2 = ... = bm = 0.

Hệ (1.1) là hệ phương trình tuyến tính khơng thuần nhất nếu tồn tại j ∈1, m sao cho
bj ≠ 0.

Định nghĩa 1.7.5. Cho Q Nhận xét 1.7.4. Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
bất kỳ ln ln có nghiệm vì nó nhận (0, 0, ..., 0) làm một nghiệm, gọi là nghiệm tầm

thường.
là tập hợp các phần tử thuộc R và a là một phần tử của R .
Khi đó, a gọi là linh hóa tử của Q nếu tích của a với mọi phần tử của Q bằng 0. Nhận
xét 1.7.6. Nếu Q chỉ chứa đúng một phần tử 0 thì mỗi phần tử của R là một linh hóa tử
của Q. Nếu R là vành khơng có ước của 0 thì tập hợp Q các phần tử của
R

có một linh hóa tử khác 0 khi và chỉ khi Q chứa đúng một phần tử 0.

Định nghĩa 1.7.7. Cho ma trận A = (aij ) trong vành M n (R). Ma trận A có hạng bằng
0, kí hiệu là rank ( A) = 0 nếu tập hợp tất cả các phần tử aij của A có linh hóa tử khác

0.

Ma trận A có hạng r > 0, kí hiệu rank ( A ) = r nếu r là số nguyên dương lớn nhất


sao cho tập hợp tất cả các định thức con cấp r của A khơng có linh hóa tử khác 0.
Định lý 1.7.8. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
17


n

∑ aij x j = 0, i = 1, m
j=1

Hệ (1.3) có nghiệm khơng tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn
n.

Chứng minh. Đặt A = (aij ). Giả sử hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường (c1 , c2 ,...,
cn

) với ck ≠ 0, ta chứng minh rank ( A ) < n. Với m < n thì điều khẳng định hiển nhiên

đúng, do đó ta có thể giả sử m ≥ n. Gọi D là định thức cấp n gồm n dòng đầu tiên của
ma trận A. Từ giả thiết trên ta có

∑ aij c j = 0, i =
Nhân 2 vế của các phương trình thứ i , i = 1, n
Aik của aik trong D ta có
a c A
11 1

1k

acA

acA

Cộng vế với vế của các đẳng thức trong hệ (1.5) ta được
c1 (a11 A1k + a21 A2 k + ... + an1 Ank ) + c2 (a12 A1k + a22 A2 k + ... + an 2 Ank ) + ... +
ck (a1k A1k + a2 k A2 k + ... + ank Ank ) + + cn (a1n A1k + a2 n A2 k + + ann Ank )

Trong D lần lượt thay cột thứ k bởi cột thứ i , i = 1, n ta có
a11 A1k + a21 A2 k + ... + an1 Ank = 0 ;
a12 A2 k + a22 A2 k + ... + an 2 Ank = 0;

a1k A1k + a2 k A2 k + ... + ank Ank = D;

a1n A1k + a2 n A2 k + ... + ann Ank = 0

18