GPT bang PP dat an phu

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Dạng 1: Các phương trình có dạng :
∗ α A.B + β A.B + γ = 0 , đặt t = A.B ⇒ A.B = t 2
∗ α . f ( x ) + β . f ( x ) + γ = 0 ,đặt t =

f ( x ) ⇒ f ( x) = t 2

x −b
x −b
+ γ = 0 đặt t = ( x − a )
⇒ ( x − a)( x − b) = t 2
x−a
x−a

∗ α .( x − a )( x − b) + β ( x − a )

Chú ý: ∗ Nếu khơng có điều kiện cho t, sau khi tìm được x thì phải thử lại
Bài 1. Giải các phương trình sau:
2. ( x − 3) 2 + 3 x − 22 =

1. ( x + 1)( x + 4) = 5 x 2 + 5 x + 28

x 2 − 3x + 7

3. x( x + 5) = 23 x 2 + 5 x − 2 − 2

4. x 2 − 4 x + 2 = 2 x 2 − 4 x + 5
5. − 4 (4 − x)(2 + x ) = x 2 − 2 x − 12 6. (4 + x )(6 − x ) = x 2 − 2 x − 12
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm?
a. (1 + 2 x)(3 − x) = 2 x 2 − 5 x + 3 + m
b. − x 2 + 2 x + 4 ( 3 − x )( x + 1) = m − 3

Bài 3. Cho phương trình: − x 2 + 2 x + 4 (3 − x)( x + 1) = m − 2
a. Giải phương trình khi m = 12
b. Tìm m để phương trình có nghiệm?
Bài 4. Cho (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3)
a. Giải phương trình với m = -3
Dạng 2: Các phương trình có dạng:

x+1
=m
x− 3
A ± B±

Bài 1. Giải các phương trình sau:
1. 1 +

2
x − x2 = x + 1− x
3

5. 3 x +

3

2 x
Bài 2. Cho 1 + x + 8 − x −

5

2 x

6. 3 x − 2 +

(1 + x )( 8 − x )

A± B

x+ 4+ x− 4
= x + x2 − 16− 6
2

4. 5 x +

1
−7
2x

= 2x +

)

A ± B + C = 0 Đặt t =
2.

2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 -2

3.

(

b. Tìm m để phương trình có nghiệm?

2

= 2x +

1
+4
2x

x − 1 = 4 x − 9 + 2 3x 2 − 5 x + 2

=a

a. Giải phương trình khi a = 3.
b. Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?
Bài 3. Cho phương trình: 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m
a. Giải phương trình với m = 3.
b. Tìm m để phương trình có nghiệm?
Bài 4. Cho phương trình:
x + 1 + 3 − x − ( x + 1)(3 − x) = m (m-tham số)
a. Giải phương trình khi m = 2.
b. Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.
Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn
 Từ những phương trình tích

(

)(

x +1 −1

)

x +1 − x + 2 = 0 ,

(

2x + 3 − x

)(

)

2x + 3 − x + 2 = 0

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này
phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp
giải được thể hiện qua các ví dụ sau

(

1. x + 3 −
2

)

2. ( x + 1)

x2 + 2 x = 1 + 2 x2 + 2

x2 − 2x + 3 = x2 + 1

3. 4 x + 1 − 1 = 3 x + 2 1 − x + 1 − x 2
4. 2 2 x + 4 + 4 2 − x = 9 x 2 + 16
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau
1. ( 4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1

2. 2(1 − x ) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1

3. x2 + x + 12 x + 1 = 36

4. 1+ x − 2x2 = 4x2 − 1 − 2x + 1

5. 4 1 + x − 3 = x + 3 1 − x + 1 − x 2

6. 2x +

x−1
1
1
− 1− − 3 x − = 0
x
x
x

Một số dạng khác.

(

1. 9( x + 1) 2 = ( 3 x + 7 ) 1 − 3 x + 4

(

4. 10. x 3 + 8 = 3 x 2 − x + 6

)

)

2

3
x4 + x2 +1
3

3.

x − x2 −1 + x + x2 −1 = 2

6.

2. x 2 − 3 x + 1 = −
5.

4

x 3 − 1 = x 2 + 3x − 1
6x
12 x
12 x

−
− 24
=0
x−2
x−2
x−2


x

7. x +

x 2 −1

=

35
12

x
x +1
8.
−2
=3
x +1
x

9.

Dạng 4: . Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u 2 + α uv + β v 2 = 0 (1) bằng cách

(1 −

4x 2
1 + 2x

)

2

= 2x + 9

2

u
u
÷ + α  ÷+ β = 0 v = 0 thử trực tiếp
v
v
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x ) ,
Xét v ≠ 0 phương trình trở thành : 

α u + β v = mu 2 + nv 2

Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vơ tỉ theo dạng này .

a) Phương trình dạng : a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x )

 P ( x ) = A ( x ) .B ( x )

Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x )

Như vậy phương trình Q ( x ) = α P ( x ) có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
Xuất phát từ đẳng thức :

(

)

1. x + 1 = ( x + 1) x − x + 1
3

(

3. x + 1 = x −
4

2

2

)(

(

)
(
)(
− 2 x + 1) ( 2 x + 2 x + 1)

)

2. x + x + 1 = x + 2 x + 1 − x = x + x + 1 x − x + 1
4

)

2 x + 1 x2 + 2x + 1

2

(

4

4. 4 x + 1 = 2 x
4

2

2

2

2

2

2

Hãy tạo ra những phương trình vơ tỉ dạng trên ví dụ như: 4 x 2 − 2 2 x + 4 = x 4 + 1 . Để có một phương trình đẹp , chúng
ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at 2 + bt − c = 0 giải “ nghiệm đẹp”

(

)

1. 2 x + 2 = 5 x + 1

2. x 2 − 3 x + 1 = −

3. 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 − 1

4. x 3 − 3x 2 + 2

2

3

b)Phương trình dạng :

3 4 2
x + x +1
3

( x + 2)

3

− 6x = 0

α u + β v = mu 2 + nv 2

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng
trên.
1. x 2 + 3 x 2 − 1 = x 4 − x 2 + 1 2. x 2 + 2 x + 2 x − 1 = 3 x 2 + 4 x + 1 3. 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1
Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vơ tỉ mà khi giải nó chúng ta lại
đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta có
3

a 3 + b3 + c 3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = 0
3

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vơ tỉ có chứa căn bậc ba .
3

7 x + 1 − 3 x2 − x − 8 + 3 x2 − 8x − 1 = 2

Bài 1. x = 2 − x . 3 − x + 3 − x . 5 − x + 5 − x . 2 − x
Bài 3. Giải các phương trình sau
a.

4 x2 + 5x + 1 − 2 x2 − x + 1 = 9 x − 3

3

3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0

Bài 2.
b.

2 x 2 − 1 + x 2 − 3x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2

x + 4 x( 1− x) +

4

( 1 − x)

3

= 1 − x + 4 x3 + 4 x 2 ( 1 − x )