Tính toán phân bố động lượng ngang của electron ion hóa dưới tác dụng của điện trường tĩnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Mỹ Trinh

TÍNH TỐN PHÂN BỐ ĐỘNG LƯỢNG NGANG
CỦA ELECTRON ION HÓA DƯỚI TÁC DỤNG
CỦA ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Mỹ Trinh

TÍNH TỐN PHÂN BỐ ĐỘNG LƯỢNG NGANG
CỦA ELECTRON ION HÓA DƯỚI TÁC DỤNG
CỦA ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH
Chuyên ngành : Vật lí nguyên tử
Mã số

: 60 44 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi và thầy hướng
dẫn. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công
bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2018
Học viên thực hiện

Trần Thị Mỹ Trinh


LỜI CẢM ƠN
Tony Robbins từng nói: There's no abiding success without commitment
(Khơng có thành cơng bất biến mà khơng có sự tận tụy). Trên thực tế, một thành công
của một cá nhân nào đó khơng gắn liền với sự hỗ trợ, sự giúp đỡ, dù trực tiếp hay gián
tiếp từ người khác. Trong thời gian qua, tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp
đỡ của thầy cô, gia đình và bạn bè để có thể hồn thành tốt luận văn của mình.
Đầu tiên, với lịng biết ơn sâu sắc, tôi xin gửi lời cảm ơn đến TS. Phạm Nguyễn
Thành Vinh, người thầy đã tận tình hướng dẫn các kiến thức và phương pháp nghiên
cứu khoa học, hỗ trợ hết mình để tơi có thể hồn thành tốt nhất đề tài nghiên cứu của
mình.
Tiếp theo, tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Vật lý, trường Đại học
Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức khoa học,
tiếp thêm cho tôi lòng yêu nghề, mở rộng kiến thức và khơi dậy niềm đam mê đối với
bộ môn Vật lý, bộ môn mà tôi đang giảng dạy ở trường THPT.
Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong nhóm AMO Group của TS. Phạm
Nguyễn Thành Vinh tại trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp

đỡ trong q trình học tập và nghiên cứu của tơi.
Về phía cơ quan cơng tác, tơi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Ban lãnh đạo trường
THPT Nguyễn Văn Cừ (Hóc Mơn, Tp. Hồ Chí Minh) đã tạo điều kiện cho tơi có cơ
hội được học tập nâng cao trình độ.
Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, đến những người thân u ln
bên cạnh tơi, hỗ trợ và tạo động lực cho tôi để tôi có thể hồn thành tốt luận văn của
mình.
Xin trân trọng cảm ơn!


MỤC LỤC
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các hình vẽ, đồ thị
MỞ ĐẦU......................................................................................................................... 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................................. 5
1.1. Các cơ chế ion hóa của nguyên tử, phân tử dưới tác dụng của điện trường ........ 5
1.2. Lý thuyết trạng thái Siegert [6], [13], [22] ........................................................... 7
1.3. Phân bố động lượng ngang (TMD) của electron ion hóa [6], [13], [22] ........... 10
Chương 2. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN .................................................................. 12
2.1. Kiểm chứng độ chính xác và tin cậy của chương trình mới .............................. 12
2.2. Khảo sát phổ động lượng ngang của electron ion hóa cho các hệ nguyên
tử ....................................................................................................................... 16
2.3. Khảo sát phổ động lượng ngang của electron ion hóa cho ion phân tử
hydro ở trạng thái 2πu+ ..................................................................................... 24
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ..................................................................................... 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 31

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1.

Các cơ chế ion hóa: (a) cơ chế ion hóa đa photon, (b) cơ chế ion hóa
xuyên hầm, (c) cơ chế ion hóa vượt rào [15] ............................................... 5

Hình 2.1.

Sự phụ thuộc của năng lượng và tốc độ ion hóa của nguyên tử hydro
ở trạng thái cơ bản được tính từ phiên bản chương trình mới (đường
liền nét) và cũ (đường đứt nét)................................................................... 13

Hình 2.2.

Sự phụ thuộc của năng lượng và tốc độ ion hóa theo cường độ điện
trường ngồi. Đường liền nét màu đen là kết quả giải số, đường nét
đứt màu đỏ là kết quả của các lý thuyết gần đúng: nhiễu loạn bậc 2
đối với năng lượng (phần trên) và lý thuyết gần đúng tiệm cận trường
yếu đối với tốc độ ion hóa (phần dưới). ..................................................... 14

Hình 2.3.

Hàm sóng của ngun tử hydro ở trạng thái cơ bản. Trong đó phần
trên thể hiện hàm sóng tồn phần theo  và  . Phần dưới là đường
cắt hàm sóng phía trên ứng với   0 ........................................................ 15

Hình 2.4.

Phổ động lượng ngang của electron ion hóa trên mặt phẳng vng
góc với vector cường độ điện trường ngoài cho ba giá trị khác nhau

của cường độ điện trường: 𝐹 = 0,1; 0,2 và 0,3......................................... 17

Hình 2.5.

Phổ động lượng ngang của electron ion hóa trên mặt phẳng vng
góc với vector cường độ điện trường ngoài đối với nguyên tử Ne cho
ba giá trị khác nhau của cường độ điện trường: F=0,2 a.u., 0,4 a.u. và
0,6 a.u. ........................................................................................................ 19

Hình 2.6.

Sự phụ thuộc của tỷ lệ đóng góp vào phân bố động lượng ngang của
hai kênh quan trọng nhất là v00  (0,0) và v10  (1,0) vào cường độ
điện trường ngoài cho ba nguyên tử Ne, Ar, và Xe. .................................. 21

Hình 2.7.

Phổ động lượng ngang của electron ion hóa trên mặt phẳng vng
góc với vector cường độ điện trường ngoài đối với nguyên tử Ar


(bên trái) và Xe (bên phải) cho ba giá trị khác nhau của cường độ
điện trường: 𝐹 = 0,2; 0,4 và 0,6. .............................................................. 23
Hình 2.8.

Hình dạng vân đạo phân tử của trạng thái 2πu+ của ion phân tử hydro.
Góc định phương 𝛽 là góc hợp bởi phương của vector điện trường
ngồi Oz và trục phân tử Oz’ [13]. ............................................................ 25

Hình 2.9.

Phân bố động lượng ngang của electron ion hóa từ trạng thái 2 u của
ion phân tử hydro ứng với năm góc định phương khác nhau và cho
hai giá trị điện trường................................................................................. 27

Hình 2.10. Phân bố động lượng ngang của electron ion hóa từ trạng thái 2πu+ của
ion phân tử hydro ứng với năm góc định phương khác nhau và cho
hai giá trị điện trường sau khi đã được trừ cho giá trị trung bình.............. 28


1

MỞ ĐẦU
Trong lĩnh vực tương tác giữa laser và nguyên tử, phân tử, q trình ion hóa
đóng một vai trị rất quan trọng bởi đây là khởi thủy của tất cả mọi quá trình phi tuyến
được sinh ra do sự tác động của trường laser . Điều này đang nhận được sự thu hút rất
lớn của các nhà nghiên cứu trên tồn thế giới như: sự phát sự sóng điều hòa bậc cao
HHG (High Harnomic Generation) [11], sự xuất hiện của các electron ion hóa vượt
ngưỡng ATI (Above-Threshold Ionization) [2] hoặc q trình ion hóa kép khơng liên
tiếp NDSI (NonSequential Double Ionization) [37]. Những hiện tượng phi tuyến trên
có ý nghĩa vơ cùng quan trọng như sự phát sự sóng điều hịa bậc cao HHG có rất nhiều
ứng dụng trong thực tế như chụp ảnh nguyên tử trong không gian tọa độ [14], trích
xuất rất nhiều thơng tin về các lớp vỏ phân tử [18], [27], chế tạo ra laser xung cực
ngắn vào khoảng atto giây [3] bằng cách chuyển hóa ánh sáng từ gần vùng hồng ngoại
sang vùng tử ngoại [19], [21]. Ngồi ra, q trình ion hóa kép không liên tiếp NDSI
giúp cung cấp cho chúng ta một bức tranh thuần khiết về mối tương quan giữa hai
electron trong lớp vỏ nguyên tử, phân tử [39]. Các quá trình phi tuyến dưới tác dụng
của trường laser nêu trên có thể được giải thích dựa vào mơ hình ba bước lần đầu được
đề xuất bởi Corkum vào năm 1993 như sau [10]: electron đầu tiên được ion hóa xuyên
ngầm dưới tác dụng của điện trường ngồi, sau đó sẽ được gia tốc trong nửa chu kỳ

đầu và sẽ quay trở lại khi laser đổi chiều để tái va chạm với ion mẹ, dẫn đến những
hiệu ứng như đã giới thiệu. Từ đó cho thấy vai trị của q trình ion hóa và việc mơ tả
chính xác q trình này đóng một vai trị vơ cùng quan trọng.
Trong những năm gần đây, kỹ thuật laser đã chế tạo ra các xung laser có bước
sóng rất dài trong vùng hồng ngoại [9]. Q trình ion hóa xảy ra đối với những xung
laser có bước sóng dài (tần số nhỏ) này hồn tồn tương đương với q trình ion hóa
gây ra bởi điện trường tĩnh với độ lớn cường độ điện trường bằng độ lớn tức thời của
xung laser đang xét [13]. Ngồi ra, q trình ion hóa của ngun tử, phân tử dưới tác
dụng của điện trường tĩnh cũng là một bước khởi đầu và được sử dụng như dữ liệu đầu
vào để xem xét những bài toán nguyên tử, phân tử đặt dưới tác dụng của xung laser là
điện trường biến thiên theo thời gian [30]. Các đại lượng quan trọng liên quan đến q
trình ion hóa là sự dịch chuyển mức năng lượng, tốc độ ion hóa và phân bố động lượng


2

ngang của electron ion hóa. Khái niệm phân bố động lượng ngang của electron ion hóa
lần đầu tiên được đề xuất bởi Batishchev và cộng sự vào năm 2010 [6], đây chính là
phân bố động lượng trên mặt phẳng vng góc với vector cường độ điện trường khi
electron được gia tốc và bay ra rất xa khỏi ion mẹ [6]. Một số nghiên cứu gần đây cho
thấy thông tin cấu trúc của vân đạo nguyên tử, phân tử có thể được trích xuất từ phân
bố động lượng ngang [25], [28], trong đó vào năm 2013 nhóm nghiên cứu của Stodola
và cộng sự đã khẳng định đã “chụp hình” được vân đạo nguyên tử hydro ở trạng thái
Ryberg với số lượng tử rất cao n  25 dựa vào việc đo đạc thực nghiệm phân bố động
lượng ngang của electron dưới tác dụng của điện trường rất yếu làm ion hóa nguyên
tử, phân tử từ các trạng thái Rydberg tương ứng [28]. Đây là một trong những cơ sở
quan trọng để dẫn đến ý tưởng chụp ảnh nguyên tử, phân tử một cách trực tiếp trong
khơng gian xung lượng thay vì sử dụng phương pháp tồn ký trong khơng gian tọa độ
[14].
Có rất nhiều cách tiếp cận để tính tốn các đại lượng liên quan đến q trình ion

hóa dưới tác dụng của điện trường tĩnh. Cụ thể tốc độ ion hóa có thể được tính một
cách giải tích dựa trên một số phương pháp gần đúng như lý thuyết ADK [4], lý thuyết
ADK cho phân tử (MO-ADK) [33], lý thuyết gần đúng tiệm cận trường yếu [32]. Tuy
nhiên những lý thuyết này chỉ có thể giải thích tốt đối với trường hợp điện trường yếu.
Ngồi ra, tốc độ ion hóa cịn có thể tính được dựa vào các phương pháp bán thực
nghiệm [34], [38] để giải thích cho trường hợp điện trường có cường độ mạnh hơn.
Tuy nhiên, phương pháp này lại hồn tồn khơng chặt chẽ về mặt tốn học. Do đó,
việc tìm ra một phương pháp chặt chẽ về mặt tốn học, đưa ra kết quả có độ chính xác
cao cho điện trường có độ mạnh bất kỳ là hết sức cần thiết. Và phương pháp giải số
dựa trên lý thuyết về trạng thái Siegert là một trong những lựa chọn rất tốt để giải
quyết bài toán này [6], [13], [24]. Phương pháp này dựa trên sự tương đồng giữa q
trình phóng xạ và q trình ion hóa, trong đó kết quả cuối chỉ có hàm sóng ra tương
ứng với chùm hạt phóng xạ hoặc chùm electron ion hóa. Phương pháp này mượn ý
tưởng từ đề xuất của Siegert vào năm 1939 [26] khi khảo sát quá trình phóng xạ trong
vật lý hạt nhân. Từ việc giải chính xác phương trình Schrưdinger dừng, năng lượng và
tốc độ ion hóa của electron có thể được xác định từ trị riêng của trạng thái Siegert


3

i
2

phức E     , trong đó ε và Γ lần lượt là năng lượng và tốc độ ion hóa của trạng
thái đang xét của nguyên tử, phân tử. Ngồi ra phân bố động lượng ngang cũng có thể
dễ dàng trích xuất từ hàm riêng của trạng thái Siegert trong mặt phẳng vng góc với
phương của điện trường tĩnh [6], [24].
Hiện nay, ở trong nước, chỉ mới có một số nghiên cứu ban đầu liên quan đến
quá trình ion hóa của các ngun tử khí hiếm dưới tác dụng của điện trường tĩnh được
thực hiện bởi nhóm nghiên cứu tại Đại học Sư phạm Tp. HCM [22], [23]. Ngồi ra,

vấn đề tính tốn phổ động lượng ngang của electron ion hóa đối với một số hệ nguyên
tử [6] cũng như ion phân tử hydro [24] cũng đã được thực hiện. Tuy nhiên, với đối
tượng là nguyên tử, phân bố động lượng ngang chỉ được khảo sát dọc theo một đường
cắt trong mặt phẳng vng góc với vector cường độ điện trường [6]. Đối với ion phân
tử hydro, mặc dù đã xem xét phân bố động lượng ngang cho một số trạng thái thấp
nhất, nhưng trạng thái khá phức tạp là 2 u vẫn chưa được khảo sát chi tiết để có thể
thể hiện cụ thể các tính chất đối xứng của vân đạo phân tử. Cần lưu ý rằng việc tính
tốn phổ động lượng ngang hai chiều trong tồn mặt phẳng vng góc với vector
cường độ điện trường là vơ cùng cần thiết bởi đây chính là một dữ liệu đầu vào quan
trọng để xem xét quá trình tương tác giữa nguyên tử, phân tử với trường laser dựa vào
lý thuyết đoạn nhiệt đã được đề xuất bởi cơng trình [30].
Từ những luận điểm trên, chúng tơi nhận thấy việc thực hiện đề tài thạc sỹ với
tiêu đề “Tính tốn phân bố động lượng ngang của electron ion hóa dưới tác dụng
của điện trường tĩnh” là cần thiết.
Luận văn sử dụng phương pháp giải số dựa trên ngôn ngữ lập trình Fortran để
tính tốn phân bố động lượng ngang của electron ion hóa với độ hội tụ và chính xác
cao cho điện trường có độ lớn bất kỳ trong cả vùng ion hóa xuyên ngầm lẫn ion hóa
vượt rào.
Luận văn tập trung vào khảo sát phân bố động lượng ngang của electron ion
hóa từ trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro, một số nguyên tử khí hiếm (Ne, Ar, và
Xe), đồng thời khảo sát cho trạng thái 2 u của ion phân tử hydro.
Cụ thể, luận văn sẽ thực hiện những nội dung nghiên cứu sau đây:


4

Mở đầu: Tổng quan về đề tài nghiên cứu
Chương 1: Tìm hiểu lý thuyết về các cơ chế ion hóa của nguyên tử,
phân tử dưới tác dụng của điện trường, lý thyết trạng thái Siegert, phân bố động
lượng ngang của electron ion hóa.

Chương 2: Các kết quả tính tốn và biện luận. Trong đó, chúng tơi trình
bày những khảo sát khẳng định độ chính xác và tin cậy của chương trình tính
tốn mới việc so sánh những đại lượng tính được cho trạng thái cơ bản của
nguyên tử hydro từ phiên bản chương trình mới với lý thuyết giải tích và kết quả
từ phiên bản chương trình cũ được sử dụng trong cơng trình [6]. Sau đó, chương
trình tính tốn được áp dụng để khảo sát phân bố động lượng ngang cho nguyên
tử hydro ở trạng thái cơ bản, các nguyên tử khí hiếm và trạng thái 2 u của ion
phân tử hydro.
Kết luận và những kiến nghị cho các vấn đề nghiên cứu tiếp theo.


5

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Các cơ chế ion hóa của nguyên tử, phân tử dưới tác dụng của điện trường
Theo cơ chế của hiệu ứng quang điện, quá trình ion hóa xảy ra nếu năng lượng
photon thắng được năng lượng liên kết của electron trong nguyên tử. Nếu tăng dần
cường độ của chùm photon chiếu tới thì xác xuất để hấp thụ hai photon hoặc nhiều hơn
cũng tăng lên. Vì vậy các photon có năng lượng dưới mức năng lượng ion hóa cũng có
thể gây ra sự ion hóa nếu hấp thụ đủ số photon cần thiết. Quá trình này gọi là q trình
ion hóa đa photon. Khi mà điện trường của laser nhỏ tương đương với điện trường
trong ngun tử thì q trình này có thể được diễn tả bởi lý thuyết nhiễu loạn. Đối với
những cường độ điện trường khác thì q trình ion hóa diễn ra theo một bức tranh
khác. Trong đó, điện trường của laser gây ra sự ion hóa bằng cách bẻ cong mạnh rào
thế của của nguyên tử theo các cơ chế khác nhau [8] thể hiện ở hình 1.1.

Hình 1.1. Các cơ chế ion hóa: (a) cơ chế ion hóa đa photon, (b) cơ chế ion hóa xuyên
hầm, (c) cơ chế ion hóa vượt rào [15]
1.1.1. Hệ số Keldysh
Keldysh cho rằng tần số cực đại của laser là tần số mà ở đó xác suất truyền qua

của electron chỉ phụ thuộc vào cường độ điện trường tức thời E0 [15]:

t 

qe E0
2me I P

,

(1.1)

trong đó, IP là thế năng ion hóa. Hệ số Keldysh là tỉ số giữa tần số của laser với tần số
cực đại trên:
 


.
t

(1.2)


6
Dựa vào giá trị của hệ số Keldysh  , ta có thể xác định được cơ chế của quá trình ion
hóa.
1.1.2. Sự ion hóa đa photon
Khi hệ số Keldysh 

1

thì cơ chế ion hóa có thể được giải thích theo lý

thuyết nhiễu loạn [7]. Theo đó, tốc độ của q trình ion hóa đa photon  if khi electron
chuyển từ trạng thái i sang trạng thái f được xác định bởi công thức [15]:
 if   if( n ) I n

(1.3)

với  if( n ) là tiết diện ngang của photon thứ n và n là số photon cần thiết để sự ion hóa
xảy ra.
1.1.3. Sự ion hóa xuyên ngầm
Khi hệ số Keldysh 

1 thì quá trình ion hóa xảy ra theo cơ chế xuyên ngầm.

Do có sự chồng chập của thế nguyên tử và điện trường nên một thế hiệu dụng mới
được tạo ra. Thế hiệu dụng này có rào thế mỏng hơn, phụ thuộc vào cường độ điện
trường. Theo cơ học lượng tử, điều này dẫn đến sự ion hóa xuyên ngầm. Tốc độ xuyên
ngầm tunnel trong điện trường tĩnh [15]:
 2 I

P
tunnel ∝ exp  
 3 I


2I P  ,


(1.4)

trong đó I là cường độ trường laser.
1.1.4. Sự ion hóa vượt rào
Khi cường độ trường tăng lên thì thế nguyên tử bị bẻ cong rất mạnh. Ở một vài
vị trí, khi độ cao của rào thế tương ứng với mức năng lượng của electron ở trạng thái
cơ bản, electron có thể vượt qua rào thế như trong hình 1.1. Điểm này có thể được tính
tốn theo cơ học cổ điển là
Veff (r )  

Zqe2
 qe Er .
4 0 r

(1.5)

Cường độ cực tiểu của trường để sự ion hóa vượt rào xảy ra được xác định [15]:
I BSI 

với Z là điện tích của ion mẹ.

C 0 (4 0 )2 4
IP ,
32Z 2qe6

(1.6)


7

1.2. Lý thuyết trạng thái Siegert [6], [13], [22]

Khi khảo sát phân tử ở góc độ tương tác của một electron tự do và các hạt nhân
(coi như đứng yên) thì sự tương tác này tương tự như sự tương tác của electron với
điện trường tĩnh cường độ F  Fez , F  0. Phương trình Schrưdinger dừng (trong hệ
đơn vị nguyên tử ) cho electron tự do có dạng :
 1

  2   V (r )  Fz  E  (r )  0 .

(1.7)

Trong đó, thế V (r ) diễn tả tương tác của electron với ion phân tử mẹ . Thế V (r ) có dạng
V ( r ) r   

Z
,
r

(1.8)

với Z là điện tích tổng của ion mẹ. Khi F=0, phương trình (1.7) có trị riêng về năng
lượng là số thực thỏa  (r )

r 

 0 đại diện cho trạng thái dao động không nhiễu loạn

của phân tử.
Xét phương trình (1.7) trong hệ tọa độ parabolic [16]:
  r  z , 0    ,

(1.9a)

  r  z, 0    ,

(1.9b)

y
x

  arctan , 0    2 .

(1.9c)

Khi đó, phương trình (1.7) có thể viết dưới dạng [6], [24]:
 

E F 2 



(

)


 (r )  0, (1.10)
  
2
4 


trong đó,  là toán tử Hamilmitonian đoạn nhiệt với
 ( ) 


   2
E F 2



rV
(
r
)


  4  2
2
4

(1.11)

là toán tử tác dụng lên biến  và phụ thuộc vào tham số  . Trị riêng và hàm riêng của
(1.11) là

  ( )   ( )  ( ,  , )  0,
 (  0,  , )  ,  (  ,  , )  0,

(1.12a)
(1.12b)

8

 ( ,   2 , )   ( ,  , ),

(1.12c)

cũng phụ thuộc vào tham số  . Khi F = 0 thì trị riêng    là số thực, liên tục và bị
chặn dưới. Hàm riêng   ,  ,  cũng là hàm thực. Trong trường hợp này, phương
trình (1.12) có thể được liệt kê với từng chỉ số của



với   1, 2,... khi bậc của   

tăng. Bằng phép tính giải tích theo F, sự liệt kê này có thể được áp dụng cho F>0 khi
trị riêng    là nghiệm phức bởi vì năng lượng E trong phương trình (1.11) lúc đó
trở thành số phức. Với giá trị  bất kỳ, các hàm riêng khác nhau được trực giao và
chuẩn hóa bởi
 2

       ( ,  , )  ( ,  , )d d = .

(1.13)

0 0

Lưu ý rằng không có liên hợp phức nào trong phương trình (1.13). Các kết quả từ
phương trình (1.12) thiết lập cơ sở đoạn nhiệt. Kết hợp với phương trình (1.8) và

phương trình (1.11) ta có tốn tử Hamiltonian khơng cịn phụ thuộc vào  trong vùng
tiệm cận
   ( )

n





1 2
E F 2



Z


.
  4  2
2
4

(1.14)

Điều kiện tương tự cho phương trình (1.12) là
  

 

,  ( ,  )   ( , , )   .

(1.15)

Các kênh vùng tiệm cận được xác định bởi phương trình

   
n m

n m

( ,  )  0.

(1.16)

Phương trình (1.16) cho phép tách biến nên lời giải có dạng
 n m

eim
 n m ( )
,
2

(1.17)

trong đó, n m và trị riêng tương ứng  n m được xác định bởi các phương trình
d

d m2
E F  2

 d   d   4  Z  2  4   n m  n m ( )  0,



(1.18a)

n m (  0) ∝  m / 2 , n m (  )  0,

(1.18b)


9



   

n' m

n m

( )d   n n' .
 

(1.18c)

0

Ở đây, m  0, 1, 2,... là số lượng tử từ và n  0,1, 2,... cho ta các lời giải khác nhau
của phương trình (1.18) với mỗi giá trị m cho trước. Hàm số (1.17) thiết lập cơ sở

đoạn nhiệt. Chú ý rằng trị riêng  n m không phụ thuộc vào giá trị m, và dẫn đến các
trạng thái ở vùng tiệm cận với m  0 suy biến hai lần. Vế trái của phương trình (1.15)
là

  n m ,

(1.19a)

m0
n ( ,  ),

 ( ,  )   e(  1).m /4
,
c m  n , m ( ,  )   c*m n , m ( ,  )  , m  0



2 

(1.19b)

trong đó,   1 và hệ số hiệu dụng c m thỏa mãn c2m  1 . Hệ số này được xác định dựa
vào thế V(r) ở vùng    . Phương trình (1.19) chỉ ra rằng trong vùng tiệm cận các
kênh đoạn nhiệt có thể được liệt kê bởi bộ chỉ số
   n , m ,   .

(1.20)

Bằng việc tính tốn giải tích theo  , sự phân loại bằng các số lượng tử này có thể được
áp dụng cho tất cả các giá trị của  . Điều này cung cấp nhiều cách lựa chọn để thể hiện

nghiệm của phương trình (1.12).
Nghiệm của phương trình (1.10) được tìm thấy dưới dạng khai triển là
 (r )   1/2  f v ( ) ( ,  , ) .

(1.21)



Thế (1.21) và phương trình (1.10) ta thu được bộ các phương trình khác nhau để tìm
hàm chưa biết f   như sau:
 d2 1



d
 d 2  2  E  U ( )  f ( )    2 P ( ) d  Q  ( )  f  ( )  0,
 




(1.22)

trong đó,
U ( )  

2   F
1
 


2
2

2

là các thế đoạn nhiệt (adiabatic potentials) và ma trận

(1.23)


10

P    

 


 2 

, Q ( )  

(1.24)

 2

thể hiện liên kết kết cặp giữa các kênh đoạn nhiệt khác nhau (nonadiabatic couplings).
Với phương trình (1.15), những ma trận này bị loại bỏ ở vùng tiệm cận. Khi F > 0 và
có giá trị thực, nghiệm về sóng tới đối với các phương trình khơng liên kết (uncoupled
equations) thỏa mãn [6], [24]
f ( )   

 iF 1/2 3/2 iE1/2 
21/2 f
exp
 1/2  .

( F )1/4
3
F 


(1.25)

Trạng thái Siegert SSs là nghiệm phương trình (1.22) thỏa mãn điều kiện biên thơng
thường khi   0 và các điều kiện biên của sóng tới khi    . Những nghiệm như
vậy chỉ tồn tại thành một bộ các giá trị phức của E riêng lẻ - trị riêng của SSs. Phần
thực và phần ảo trong trị riêng của SSs giúp ta xác định năng lượng
hóa





và tốc độ ion

của trạng thái SSs,
E  

i
.

2

(1.26)

Hàm riêng của SSs được chuẩn hóa bởi phương trình
2
 (r )dr 

  2

1
 2 (r )(   )d d d  1.



400 0

(1.27)

1.3. Phân bố động lượng ngang (TMD) của electron ion hóa [6], [13], [22]
Điều kiện biên của sóng tới trong phương trình (1.7) có thể được viết dưới dạng:
 (r ) z    A(k )eik r g ( z, k )
 

dk
,
(2 )2

(1.28)

trong đó, r = ( x, y )   r cos  , r sin   , k  =(k x ,k y )=(k  cos , k sin )
g ( z, k )  e i /12 2 1/2 (2 F ) 1/6 Ai ( ),



2e  i /3
(2 F ) 2/3


k2 
E

Fz


.
2


Ở đây, Ai(  ) là hàm số Airy [1]. Hàm g ( z, k ) chỉ chứa 1 sóng tới khi

(1.29a)
(1.29b)
z  

và

A(k ) dùng để xác định TMD với momen động lượng ngang k  được cho bởi hàm số:

11

A(k ) 

 k2

23/2  i
f

, k  .
1/2    
F

F


(1.30)

TMD của electron ion hóa được xác định bởi
2

 k2

8 2 
P (k )  A( k ) 
f

    , k   .
F 
F


2

(1.31)


12

Chương 2. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày những kết quả đã đạt được trong
phạm vi của luận văn này. Lưu ý rằng mục tiêu chính của đề tài là cải tiến chương
trình tính tốn dựa trên phương pháp trạng thái Siegert để có thể tính tốn tổng qt
cho phổ động lượng ngang hai chiều (mặt phẳng vng góc với phương của vector
cường độ điện trường) đồng thời có thể tính cho cả các hệ phân tử. Trong đó, biến số
𝜑 khơng được phân tách ra như trường hợp của nguyên tử mà được tính tổng qt khi
giải phương trình Schrưdinger. Do đó, việc kiểm chứng độ chính xác và tin cậy của
phiên bản chương trình mới được là vơ cùng cần thiết. Việc này được thực hiện thơng
qua việc so sánh tính tốn mức năng lượng, tốc độ ion hóa của nguyên tử hydro ở
trạng thái cơ bản với lý thuyết nhiễu loạn bậc hai khi áp dụng điện trường ngoài.
Ngoài ra, hàm sóng ở trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro trong hệ tọa độ parabolic
khi tính tốn bằng chương trình mới cũng được so sánh với phiên bản cũ đã được sử
dụng trong cơng trình [6]. Bên cạnh đó cũng cần lưu ý rằng việc tính chính xác hàm
sóng có ý nghĩa rất lớn bởi phổ động lượng ngang của electron ion hóa được trích suất
từ hàm sóng của electron khi electron đã bay rất xa ion mẹ. Sau khi xác nhận độ tin
cậy, chương trình tính tốn được áp dụng để tính phổ động lượng ngang hai chiều của
electron ion hóa cho một số nguyên tử như nguyên tử hydro và một số nguyên tử khí
hiếm như Ne, Ar, và Xe ở trạng thái cơ bản. Ngoài ra, phổ động lượng ngang của
electron ion hóa cho các ion phân tử hydro ở trạng thái 2 u cũng được khảo sát một
cách chi tiết.
2.1. Kiểm chứng độ chính xác và tin cậy của chương trình mới

Đối với trường hợp của nguyên tử hydro, thế Coulomb được sử dụng có dạng
như sau:
V (r )  

1
r

(2.1)

Trong những nghiên cứu về cơ học lượng tử, ngun tử hydro đóng một vai trị
rất đặc biệt, bởi phương trình Schrưdinger trong trường hợp này có thể được phân tách
biến một cách hồn hảo trong hệ tọa độ parabolic, từ đó có thể dễ dàng tính tốn giải


13

tích chính xác dạng tổng qt hàm sóng và năng lượng khi chưa đặt điện trường ngoài
[8], [16], [35]. Đồng thời khi có mặt điện trường, năng lượng và hàm sóng của ngun
tử hydro vẫn có thể được mơ tả giải tích dựa vào lý thuyết nhiễu loạn [8]. Chúng tôi
tập trung vào việc khảo sát cho nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản tương ứng với bộ
số lượng tử (n , n , m )  (0, 0, 0) . Khi này, để tính tốn tất cả các đại lượng liên quan
đến q trình ion hóa như: mức năng lượng, tốc độ ion hóa, hàm sóng và phổ động
lượng ngang của electron ion hóa, chúng ta chỉ cần sử dụng một kênh trong phương
trình (1.12) là đủ để đạt được độ hội tụ rất cao. Trong hình 2.1, chúng tôi mô tả sự phụ
thuộc của năng lượng và tốc độ ion hóa theo cường độ điện trường ngồi được tính
tốn bằng chương trình của chúng tơi, đồng thời chúng tôi cũng đã so sánh kết quả này
với kết quả được tính bằng phiên bản cũ trong cơng trình [6]. Đường liền nét là kết quả
từ chương trình của chúng tôi và đường đứt nét là kết quả từ phiên bản cũ. Hình 2.1
cho thấy hai đường này hồn toàn nằm đè lên nhau, thể hiện sự phù hợp rất tốt của
chương trình mới, ngồi ra sự sai lệch giữa hai phiên bản chương trình là rất nhỏ với

độ sai lệch tương đối dưới 10-10 cho tất cả các giá trị cường độ điện trường xem xét.

Hình 2.1. Sự phụ thuộc của năng lượng và tốc độ ion hóa của nguyên tử hydro ở trạng
thái cơ bản được tính từ phiên bản chương trình mới (đường liền nét) và cũ (đường đứt
nét).
Ngoài ra, để một lần nữa khẳng định độ chính xác của chương trình, chúng tơi
so sánh kết quả giải số cho năng lượng và tốc độ ion hóa với những lý thuyết gần đúng
như lý thuyết nhiễu loạn bậc 2 cho năng lượng và lý thuyết tiệm cận trường yếu cho
tốc độ ion hóa trong hình 2.2. Cần lưu ý rằng trong phạm vi cường độ điện trường xem
xét, q trình ion hóa có thể xảy ra theo cả cơ chế ion hóa xuyên ngầm khi điện trường


14

yếu và ion hóa vượt rào đối với điện trường mạnh. Giá trị cường độ điện trường biên
mà tại đó có sự chuyển hóa giữa hai cơ chế ion hóa được tính trong cơng trình [32].
Trong trường hợp đang xét với hydro ở trạng thái cơ bản, giá trị này bằng Fc=0,125
a.u. Đối với nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản, sự thay đổi của mức năng lượng theo
điện trường có thể được mơ tả một cách đơn giản bởi lý thuyết nhiễu loạn bậc 2 trong
hệ tọa độ parabolic theo phương trình [16]
  0,5  2, 25F 2 .

(2.2)

Đồng thời tốc độ ion hóa có thể được mô tả gần đúng bởi lý thuyết gần đúng
trường yếu [32] như sau
 as 

0

0.05 0.1

1
 2 
exp 
.
F
 3F 

0.15 0.2
F (a.u.)

(2.3)

0.25 0.3 0.35 0.4

Hình 2.2. Sự phụ thuộc của năng lượng và tốc độ ion hóa theo cường độ điện trường
ngoài. Đường liền nét màu đen là kết quả giải số, đường nét đứt màu đỏ là kết quả của
các lý thuyết gần đúng: nhiễu loạn bậc 2 đối với năng lượng (phần trên) và lý thuyết
gần đúng tiệm cận trường yếu đối với tốc độ ion hóa (phần dưới).
Từ hình 2.2, chúng ta có thể nhận thấy giá trị giải số phù hợp rất tốt với các lý
thuyết gần đúng khi điện trường rất yếu, tương ứng với vùng ion hóa xuyên ngầm. Khi
cường độ điện trường tăng lên, ngay cả khi vẫn còn trong vùng ion hóa xuyên ngầm,


15

các lý thuyết gần đúng bắt đầu sai lệch khỏi những kết quả giải số của chúng tôi. Độ
sai lệch tương đối giữa tốc độ ion hóa thu nhận được từ phương pháp giải số và gần
đúng lên đến 50% khi F=0,05a.u. Điều này khẳng định sự quan trọng của phương pháp

số trong việc mơ tả q trình ion hóa của nguyên tử, phân tử dưới tác dụng của điện
trường có độ lớn bất kỳ, khi mà các lý thuyết gần đúng khơng cịn có thể áp dụng.
Ngồi ra, chúng tơi cũng kiểm tra hàm sóng trạng thái cơ bản của nguyên tử
hydro khi chưa đặt điện trường ngoài để so sánh kết quả tính tốn từ chương trình mới
và phiên bản cũ. Kết quả được cho trong hình 2.3, trong đó phần trên thể hiện hàm
sóng theo cả hai trục  và  . Do trong biểu diễn này không thể mô tả thêm kết quả từ
phiên bản chương trình cũ, mặt cắt của hàm sóng ứng với

  0 được thể hiện ở phần

dưới của hình 2.3. Khi này, có thể nhận thấy hai kết quả từ hai phiên bản khác nhau
của chương trình hồn tồn trùng khớp với nhau với độ sai lệch tương đối luôn nhỏ
hơn 10-8 %. Ngồi ra, hàm sóng thu nhận được từ phương pháp giải số hoàn toàn trùng
khớp với hàm giải tích có dạng

   
2 exp  
 [8, 16, 35]. Đây cũng là một trong
2 


những luận điểm tái khẳng định sự tin cậy của chương trình tính tốn.

Hình 2.3. Hàm sóng của ngun tử hydro ở trạng thái cơ bản. Trong đó phần trên thể
hiện hàm sóng toàn phần theo  và  . Phần dưới là đường cắt hàm sóng phía trên


16
ứng với   0
2.2. Khảo sát phổ động lượng ngang của electron ion hóa cho các hệ nguyên tử

2.2.1. Ngun tử hydro
Hình 2.4 mơ tả phổ động lượng ngang của electron ion hóa từ trạng thái
cơ bản của nguyên tử hydro. Các thơng số tính tốn cho trường hợp này hồn tồn
giống với những tính tốn kiểm chứng độ tin cậy của chương trình trong mục 2.1. Phổ
động lượng ngang được xem xét cho ba giá trị khác nhau của cường độ điện trường:
F=0,1 a.u, 0,2 a.u., 0,3 a.u. Một số kết luận có thể rút ra từ hình 2.4 như sau:
+ Phổ phân bố động lượng ngang electron ion hóa từ trạng thái cơ bản
của nguyên tử hydro trong các trường hợp điện trường đang xét đều có xấp xỉ phân bố
Gauss với cực đại nằm ngay tại vị trí tương ứng (k x , k y )  (0, 0) .𝐹 càng nhỏ thì phân
bố Gauss càng được thể hiện chính xác hơn. Điều này hồn tồn phù hợp với những
dự đoán của lý thuyết gần đúng trường yếu [32]. Trong trường hợp đang xét, giá trị số
lượng tử từ chiếm ưu thế hoàn toàn là m=0 và phân bố động lượng ngang trong giới
hạn F  0 có dạng [6]
P (k ) F 0 ∝ k

2m



2 I p k2 

exp  

F 



(2.4)

trong đó I p thế ion hóa tương ứng.

+ Phổ phân bố động lượng ngang ln là những đường trịn đồng tâm
trong mặt phẳng vng góc với vector cường độ điện trường. Cần lưu ý rằng, trong
giới hạn gần đúng, tích phân của phân bố động lượng ngang tương đương với tốc độ
ion hóa [32]:


 P(k
0



)

k dk
   O ( 2 )
2
(2 )

(2.5)

Điều này có nghĩa là: đối với nguyên tử hydro, tốc độ ion hóa, hay xác
suất ghi nhận electron ion hóa là như nhau tại mọi góc cực trong mặt phẳng vng góc
với vector cường độ điện trường.
+ Khi 𝐹 tăng lên thì phổ động lượng ngang được mở rộng ra vùng
(k x , k y ) lớn, đồng thời độ rộng của phân bố động lượng ngang cũng được tăng lên.


17

Điều này hoàn toàn phù hợp với những lý giải trong cơng trình [6], trong đó chỉ xét

một đường cắt tương ứng với (k x  0, k y  0) trong hình 2.4.

Hình 2.4. Phổ động lượng ngang của electron ion hóa trên mặt phẳng vng góc với
vector cường độ điện trường ngoài cho ba giá trị khác nhau của cường độ điện trường:
F = 0,1; 0,2 và 0,3.


18

2.2.2. Một số nguyên tử khí hiếm bao gồm Ne, Ar, và Xe
Chúng tôi tiếp tục khảo sát phổ động lượng ngang của electron ion hóa
dưới tác dụng của điện trường tĩnh cho trường hợp của một số nguyên tử khí hiếm đặc
trưng như Ne, Ar, và Xe. Đối với ngun tử khí hiếm là một hệ nhiều electron, mơ
hình một điện tử hoạt động cần phải được áp dụng vào chương trình tính tốn. Một số
dạng thế năng tương tác electron – hạt nhân áp dụng mơ hình một điện tử hoạt động
được tổng hợp tương đối đầy đủ trong cơng trình [38]. Trong nghiên cứu này, chúng
tơi sử dụng mơ hình được đề xuất bởi [12]
V (r )  

Z eff (r )
r

(2.6)

,

trong đó điện tích hiệu dụng Z eff  r  giảm dần từ giá trị điện tích hạt nhân 𝑁 tại r  0
đến 1 khi r   . Dạng tường minh của Z eff  r  được cho bởi [12]



Z eff (r )  N  ( N  1) 1   ba   e ar  1  1

1



(2.7)

Chúng tôi quan tâm đến duy nhất một electron hoạt động trong các trạng
thái 2p, 3p, và 5p tương ứng với Ne, Ar, và Xe với số lượng tử từ m  0 trong tất cả
các trường hợp đang xét. Giá trị của bộ tham số (a, b) được sử dụng trong tính tốn
của chúng tơi tương ứng với các trường hợp Ne(2p), Ar(3p), và Xe(5p) là (1,704,
2,0810), (0,933, 3,600), và (1,048, 5,197) [22]. Với bộ tham số đã chọn, kết quả tính
tốn năng lượng của các hệ đang xét khi chưa có điện trường ngồi là rất chính xác và
hồn toàn trùng khớp với kết quả nhận được khi sử dụng mơ hình một điện tử hoạt
động trong [20].