Nhóm đối xứng gián đoạn và các mô hình 3 3 1

Bộ giáo dục và đào tạo

Viện Hàn lâm KH và CN việt nam
viện vật lý

Võ Văn Viên

Nhóm đối xứng gián đoạn
Và các mô hình 3-3-1

Luận án tiến sĩ vật lý

Hà néi-2013


Bộ giáo dục và đào tạo

Viện Hàn lâm KH và CN việt nam
viện vật lý

Võ Văn viên

Nhóm đối xứng gián đoạn
và các mô hình 3-3-1

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
MÃ số: 62 44 01 01

Người hướng dẫn: GS - TS. Hoàng Ngọc Long

Luận án tiến sĩ VËt lý

Hµ néi - 2013


Lời cảm ơn
Luận án này được hoàn thành tại Trung t©m VËt lý lý thut - ViƯn VËt

lý, d­íi sù hướng dẫn của GS - TS. Hoàng Ngọc Long.

Tôi xin bày tỏ lòng

biết ơn chân thành và sâu sắc đến GS -TS. Hoàng Ngọc Long - người đà hết

lòng truyền dạy, động viên, khích lệ và định hướng nghiên cứu cho tôi trong

quá trình học tập và từng bước hoàn chỉnh luận án.

Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Phùng Văn Đồng và TS. Đỗ Thị Hương vì

đà giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc tích lũy kiến thức và các kỹ thuật tính toán,

cũng như những đóng góp hết sức bổ ích cho luận án.

Tôi xin chân thành cảm ơn GS-TS. Đặng Văn Soa, PGS-TS. Nguyễn Quỳnh

Lan, ThS. Lê Thọ Huệ và ThS. Cao Hoàn Nam vì đà có nhiều trao đổi bổ ích

về chuyên môn và sự ủng hộ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn ThS. Nguyễn Ngọc Tự và bạn bè, đồng nghiệp

vì đà chia sẽ các tài liệu tham khảo bổ ích cho luận án.

Tôi xin chân thành cảm ơn LÃnh đạo Viện Vật lý Hà Nội, Trung tâm Vật

lý lý thuyết và Phòng Sau Đại học vì đà tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong

quá trình học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn LÃnh đạo Trường Đại học Tây Nguyên, Khoa

Khoa học Tự nhiên và Công nghệ và Bộ môn Vật lý - nơi tôi công tác vì đÃ

tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc.

Tôi vô cùng biết ơn gia đình và người thân đà dành tình cảm yêu thương,

luôn động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận án này.

Hà Nội, ngày ...tháng...năm 2013

Võ Văn Viên

i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,

kết quả mới mà tôi công bố trong luận án là trung thực và chưa từng được ai

công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Võ Văn Viên

ii


Các ký hiệu chung
Kí hiệu

Nội dung

MHC

Mô hình chuẩn

331RH

Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải

331NF

Mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa

S3

Mô hình 331NF với nhóm đối xứng

S3

S3

Mô hình 331RH với nhóm đối xứng

S3

S4

Mô hình 331NF với nhóm đối xứng

S4

331NF

331RH

331NF

HPS

Harrison-Perkins-Scott

VEV

Vacuum Expectation Value

(Trung bình chân không)

CKM

Cabibbo-Kobayashi-Maskawa

DONUT

Direct Observation of the Nu Tau

CERN

PDG


e

Conseil Europ


e

en pour la Recherche Nucl

Particle Data Group

iii

aire

Danh sách hình vẽ

1.1

Đối xứng

S3

của tam giác đều

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

14

1.2

Đối xứng

S4

của hình lập phương

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

18

2.1

Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

35

2.2

Đồ

thị

mô

tả

sự

phụ

(8.713 ì 103 , 0.1)
2.3

Đồ

thị

mô

tả

(0.1, 0.25)

, và

2.4

Đồ

thị

mô

tả

sự

và

phụ

sự

phụ

thị

mô

(0.085, 0.2)
2.6

Đồ

thị

mô

(0.2, 0.6)

tả

, và

tả

, và

2.7

Đồ

thị

mô

(0.085, 0.6)

sự

phụ

.

thuộc

m1 , m2 , m3

cđa

thc

.

.

.

.

.

vµo

.

.

a

.

vµo

.

a
.

thc

m1 , m2 , m3

cđa

thc

thc

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m1 , m2 , m3

tả

sự

và

a (0.6, 0.085)

. .

iv

.

m1 , m2 , m3

của

của

.

.

.

.

.

vào

.

.

.

vào

.

.

.

vào

.

.

.

a
.

a
.

a
.

a ∈

víi

.

a ∈ (−0.6, −8.713 × 10−3 )

a ∈ (−0.6, −0.2).
phơ

.

m1 , m2 , m3

của

).

phụ

a

vào

a (0.1, 8.713 ì 103 )

a (0.2, 0.085

sự

a

vào

m1 , m2 , m3

của

. .

, và

Đồ

a, b

a ∈ (−0.25, 0.1)

(8.713 × 10−3 , 0.6)
2.5

thc

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

48

.

.

.

48

.

.

.

49

.

.

.

49

a ∈

víi

.

.

a ∈

víi

.

48

a ∈

víi

.

.

a ∈

víi

.

.

a ∈

víi

.

.

.

.

.

.

49


Danh sách bảng
S3

1.1

Các lớp liên hợp của nhóm

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

15

1.2

Bảng đặc biểu của nhóm

S3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

15

1.3

Bảng đặc biểu của nhóm

S4

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

18

1.4

Các lớp liên hợp của nhóm

S4

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

20

3.1

Các khả năng kết cặp cần thiết sinh khối lượng quark

.

.

.

.

.

55

v


Mục lục
1

Nhóm
1.1

S3 , S4

và mô hình 3-3-1

S3 , S4

Nhóm

.

.

.

.

.

.

.

11
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

13

1.1.1

Nhóm đối xứng

S3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

13

1.1.2

Nhóm đối xứng

S4

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

16

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

22

1.2

Mô hình 3-3-1

1.3

Mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

23

1.3.1

Sự sắp xếp hạt của mô hình

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

23

1.3.2

Phá vỡ đối xứng tự phát và khối lượng fermion

.

.

.

.

.

23

.

.

.

.

.

25

1.4

2

.

.

Kết luận chương 1

Đối xứng vị

S4

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

trong mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa

2.1

Sự sắp xếp hạt của mô hình

2.2

Khối lượng lepton mang điện

2.3

Khối lượng neutrino

2.4

Khối lượng quark .

2.5

2.6

3

.

.

.

26

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

26

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

28

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

30

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

36

Sự định hướng chân không

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

39

Kết luận chương 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

47

Nhóm đối xứng vị

S3

.

.

.

.

.

trong các mô hình 3-3-1

3.1

Sự sắp xếp hạt của mô hình

3.2

Khối lượng lepton mang điện

3.3

Khối lượng quark .

3.4

Khối lượng và trộn lẫn neutrino

3.5

Giới hạn thực nghiệm với trường hợp 1

3.6

Giới hạn thực nghiệm với sự kết hợp của trường hợp 1 và 2

3.7

Nhận xét về sự phá vỡ, các trung bình chân không và tham số

.

.

.

.

.

50

.

vi

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

51

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

52

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

54

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

58

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

63

.

.

65



70


S3

3.8

Đối xứng

3.9

Thế vô hướng

R

trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải (

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

S3

3.9.1

Thế vô hướng của mô hình 331NF

3.9.2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

73

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

73

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

77

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

77

Thế vô hướng của mô hình 331RH

3.10 Kết luận chương 3

S3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

) 71

.

S3

A

Biểu diƠn chÝnh quy cđa

i

B

T×m hƯ Sè Clebsch-Gordan cđa nhãm

C

T×m hƯ số Clebsch - Gordan của nhóm

D

Các số lượng tử của mô hình 331NFS4

E

Các số lượng tử của mô hình 331NFS3 vµ 331RHS3

vii

S3
S4

ii
viii
xv
xvi


Mở đầu
Lý do chọn đề tài
Tìm hiểu thế giới tự nhiên là một trong những nhiệm vụ lớn nhất của loài

người trong quá trình chinh phục thiên nhiên, mặc dù, theo thời gian cách thức

tiếp cận có thể thay đổi, và sự hiểu biết phát triển tùy theo thời đại và các nền

văn hóa. Mục tiêu của vật lý là mô tả các hiện tượng tự nhiên bằng lý thuyết

và thùc nghiƯm. VËt lý thùc nghiƯm cã vai trß kiĨm chứng các tiên đoán của

các mô hình vật lý lý thuyết và đưa ra những tiên đoán mới, vật lý lý thuyết

xây dựng các mô hình mô tả các kết quả thực nghiệm, đồng thời đưa ra các

tiên đoán mới. Hai lĩnh vực này tồn tại song song, đan xen chặt chẽ và hỗ trợ

nhau, thúc đẩy sự phát triển của ngành vật lý, là động lực chính cho sự hiểu

biết của nhân loại về thế giới tự nhiên huyền bí. Một lý thuyết vật lý tốt sẽ mô

tả đúng các kết quả thí nghiệm đà được xác nhận, và đưa ra những tiên đoán

đáng tin cậy sẽ được kiểm tra bằng thực nghiệm trong tương lai. Khi các tiên

đoán được xác nhận, lý thuyết trở nên ngày càng được chấp nhận. Ngược lại,

nếu có các quan sát thực nghiệm mâu thuẫn, lý thuyết cần phải được xem xét

lại hoặc xây dựng một lý thuyết mới phù hợp hơn.

Trong số các hạt hình thành nên vũ trụ, có một loại hạt đóng vai trò rất

quan trọng trong sự tiến hóa của vũ trụ ở thời kỳ sơ khai, trong quá trình sinh

lepton, sinh baryon, và sự hình thành bức xạ nền vũ trụ, cũng như vai trò là vật

chất tối [3],....đó là hạt neutrino.

lượng rất bé, với spin bằng

1
2,

Neutrino l hạt không mang điện, có khối

chỉ tương tác rất yếu và hiếm với các vật chất.

Sự tồn tại của neutrino lần đầu tiên được đề xuất bởi Wolfgang Pauli, vào năm

1930, để giải quyết vấn đề bảo toàn năng lượng và mô men xung lượng trong

phân rà beta, với tên gọi là neutron [4], sau đó được Fermi gọi là neutrino vì

hạt neutron thực sự đà được khám phá bằng thùc nghiÖm bëi James Chadwick

1


vào năm 1932 [5, 6]. Trong những năm tiếp theo, vật lý neutrino là một phần

cơ

bản

trong

lý

thuyết

phân

rÃ

beta



(

)

được

đề

xuất

bởi

Fermi

vào

năm

1934 [7, 8], còn gọi là lý thuyết Fermi, trên cơ sở lý thuyết trường của Dirac

về sự lượng tử hóa trường điện từ,

trong đó một neutron phân rà thành một

electron, một proton và một phản neutrino theo phương trình

n p + e + e


.

Lý thuyết Fermi chỉ có hiệu lực ở miền năng lượng thấp, và gặp khó khăn về sự

tồn tại của neutrino bởi các tính toán về tiết diện tán xạ tương tác của neutrino

được thực hiện bởi Hans Bethe và Rudolf Peierls vào năm 1934, với kết quả

bé hơn

1044 cm2

và họ khẳng định không thể quan sát được neutrino [9]. Tuy

nhiên, năm 1946, Pontecorvo đà đề xuất rằng các neutrino có thể được phát

hiện nhờ quá trình bắn neutrino vào một hạt nhân Chlorine biến thành một hạt

nhân Argon bằng cách chuyển một neutrino thành một proton trong khi phát

e +

ra một electron [10, 11], theo phản ứng

Clyde

Cowan

ngược,

và

Fred

+ p n + e+


Reines

đÃ

thành

37

công

37

Cl

khi

sử

Ar + e

dụng

quá

. Năm 1956,

trình

phân

rÃ

, khám phá ra phản neutrino do các quá trình rà beta từ

phản ứng hạt nhân trong phòng thí nghiệm tại sông Savannah- Mü [12--14].

Sù tån t¹i cđa mét neutrino thø hai - neutrino muon

à

được xác nhận bởi

phòng thí nghiệm quốc gia Brookhaven vào năm 1962 [15].

ba,

,

được

khám

phá

neutrino tương ứng với

vào



năm

1975

lepton.

[16, 17],

người

ta

cho

Khi lepton thứ

rằng

sẽ

có

một

Tuy nhiên, mÃi đến năm 2000 hạt neutrino

tau mới được phát hiện bởi phòng thí nghiệm DONUT [18], hoàn thiện thế hệ

thứ ba của fermion trong mô hình chuẩn (MHC) của vật lý hạt cơ bản.

Trên cơ sở lý thuyết Fermi và nhóm đối xứng chuẩn

S.

L.

Glashow

đề

xuất

vào

năm

1961

[19],

năm

1962,

SU (2) ì U (1)

S.

Weinberg

và

do

A.

Salam [20--22] đà xây dựng lý thuyết điện yếu Glashow- Weinberg - Salam

(GWS) thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, tiên đoán sự tồn tại của

dòng yếu trung hòa và

Z

boson.

Những tính toán chi tiết về vấn đề này đÃ

được trình bày trong [2, 23].

Một trong những thành công lín nhÊt cđa vËt lý häc trong thÕ kû XX là

sự ra đời của MHC mô tả thành công 3 trong 4 tương tác được biết đến, đó là

2


tương tác điện từ, yếu và mạnh. Các tương tác được thực hiện thông qua các

hạt truyền tương tác:

và

Z

photon truyền tương tác điện từ, các boson vector

W

truyền tương tác yếu, các gluon truyền tương tác mạnh. Trong MHC các

hạt được sắp xếp thành 3 thế hệ, mỗi thế hệ gồm 2 quark và 2 lepton, đà được

kiểm tra chính xác bởi các máy gia tốc hạt năng lượng cao.

fermion

phân

cực

trái

biến

đổi

như

các

lưỡng

tuyến

đồng

Các thành phần

vị

các thành phần phân cực phải là các đơn tuyến đồng vị yếu.

tạo thành từ các thế hệ nhẹ nhất,

yếu,

trong

khi

Vật chất được

quark u và quark d tạo nên các proton và

neutron trong hạt nhân nguyên tử, các electron và neutrino electron được sinh

ra trong quá trình rà beta.

Hai thế hệ còn lại chứa các lepton mang điện là

muon và tauon, các hạt này có cùng điện tích nhưng nặng hơn electron. Mỗi

hạt có một phản hạt tương ứng, cùng khối lượng nhưng điện tích trái dấu. Cơ

chế

Higgs,

được

khám

phá

vào

năm

1964

bởi

P
.

W.

Higgs

[24],

F.

Englert

và R. Brout [25], G. S. Guralnik, C. R. Hagen vµ T. W. B. Kibble [26], cho

phép các boson chuẩn không có khối lượng ban đầu trong MHC thu được khối

lượng.

Sự thành công của MHC được xác nhận vào năm 1973 nhờ sự khám

phá ra các tương tác neutrino dòng trung hòa trong thí nghiệm Gargamelle tại

CERN [27], Fermilab và nhiều thí nghiệm khác trong hơn 40 năm qua.

Mặc dù được xem là mô hình nền tảng của vật lý hạt nhưng MHC đà bộc

lộ những hạn chế nhất định.

Một trong những hạn chế mà luận án tập trung

giải quyết đó là:

(1) Trong MHC, các fermion cơ bản được sắp xếp theo các thế hệ. Khi

tính toán, thông thường người ta bắt đầu cho thÕ hƯ thø nhÊt, sau ®ã cã thĨ rót

ra kÕt luận tương tự cho các thế hệ còn lại.

MHC không trả lời được tại sao

các quark và lepton được sắp xếp theo các thế hệ và có tất cả bao nhiêu thế

hệ, giữa các thế hệ có mối liên hệ với nhau như thế nào?

(2) MHC không giải thích được khối lượng và sự chuyển hóa neutrino đÃ

được thực nghiệm xác nhận, cũng như sự gián đoạn về điện tích.

(3) MHC không giải thích được vì sao top quark có khối lượng rất lớn, tại

sao giữa các thế hệ fermion có sự phân bậc về khối lượng, tại sao các neutrino

3


có khối lượng rất bé, và tại sao các góc trén lÉn quark nhá (ma trËn trén lÉn

gÇn víi ma trận đơn vị) trong khi các góc trộn lẫn neutrino lớn với các góc

trộn xác định - dạng Tri-bimaximal.

Những hạn chế trên đây của MHC là những vấn đề còn bỏ ngỏ trong vật

lý hạt, là một trong những rào cản lớn trong việc hiểu biết tiếp theo của nhân

loại về thế giới siêu nhỏ cũng như siêu lớn và đang được các nhà khoa học

trên thế giới nghiên cứu, tranh luận rất sôi nổi.

Để giải thích tại sao neutrino có khối lượng bé và có sự trộn lẫn, cần phải

mở rộng MHC, vì vậy, có thể nói rằng neutrino ®ãng mét vai trß quan träng

trong viƯc thóc ®Èy më rộng MHC. Mặt khác, trong các mô hình của vật lý

hạt, các neutrino là những thành phần quan trọng cho phép tiếp cận các bậc

năng lượng lớn hơn mức năng lượng mà các máy gia tốc đạt được, chẳng hạn

như trong các lý thuyết thống nhất lớn, các mô hình vị, sự vi phạm số lepton,

vi phạm số lepton vị, ....

Sự chuyển hóa neutrino được thảo luận lần đầu tiên bởi Pontecorvo vào

năm 1957 [11], với sự chuyển hóa giữa neutrino và phản neutrino, trong phân

tích sự chuyển hóa giữa các kaon trung hòa

K0

và


K0

. Tại thời điểm này mới

chỉ có một neutrino vị được phát hiện. Sau khi neutrino muon được phát hiện,

sự trộn lẫn của hai neutrino được thảo luận bởi Maki, Nakagawa, và Sakata vào

năm 1962 [28, 29], trong khi đó sự chuyển hóa của 2 neutrino vị khác nhau lần

đầu tiên được thảo luận bởi Pontecorvo vào năm 1968 [30]. Sự kiện đầu tiên

về sự chuyển hóa neutrino được phát hiện bởi thí nghiệm Super- Kamiokande

vào năm 1998 [31].

Sự kiện này dựa trên cơ sở phân tích dòng neutrino khí

quyển đến từ các hướng khác nhau, và có khoảng cách đến nguồn khác nhau,

khi dòng neutrino electron đà được xác nhận là phù hợp mà có sự thiếu hụt

về dòng neutrino muon khi các neutrino chuyển động được một khoảng cách

đáng kể đến máy dò. Điều này được giải thích như là có sự chuyển hóa giữa

các neutrino muon thành các neutrino tauon.

Từ khám phá đầu tiên này, các

sự kiện khác về sự chuyển hóa neutrino đà được quan sát trong các thí nghiệm

neutrino mặt trời [32, 33], neutrino khí quyển [34], từ các phản ứng trên c¸c

4


máy gia tốc [35--37], và nhiều thí nghiệm tiếp theo đà khẳng định neutrino

có khối lượng nhỏ [38].

Các kết quả thực nghiệm về neutrino gần đây cho thấy ma trận trộn phù

hợp với dạng Tri- bimaximal được đề xuất bởi Harrison-Perkins-Scott vào năm

2002 [39]

UHPS


=


1

3
1

3
1

3

2

6
1
6
1
6

0
1

2

1
2



,


(1)

trong đó, các góc trộn lẫn lớn khác biệt hoàn toàn với các góc trộn lẫn quark

được xác định từ ma trận

UCKM

.

Ngày nay, các tham số của sự chuyển hóa neutrino, chẳng hạn như sự khác

biệt bình phương khối lượng và các góc trộn lẫn, đà được giới hạn.

Dữ liệu

trong PDG2010 [40, 68] cho biÕt:

s2 = 0.5, s2 = 0.304, s2 < 0.035,
23
12
13

∆m2 = 7.59 × 10−5 eV2 , |∆m2 | = 2.43 × 103 eV2 ,
21
32

(2)

Trong khi đó, các dữ liệu thực nghiệm năm 2012 [41, 68] cũng sai lệch không

đáng kể so víi d÷ liƯu ë (2):

s2 = 0.52, s2 = 0.312, s2 = 0.013,
23
12
13
∆m2 = 7.59 × 10−5 eV2 , |∆m2 | = 2.50 ì 103 eV2 .
21
31
Nếu

các

kết

quả

trên

đây

về

các

góc

trộn

giản nhất có thể là dựa vào đối xứng vị

S3

lẫn

là

đúng,

cách

giải

(3)

thích

đơn

, là nhóm các hoán vị của 3 vật hay

nhóm đối xứng trong không gian của tam giác đều,

là nhóm đối xứng gián

đoạn không giao hoán bé nhất [42]. Trong thực tế, tồn tại một sự trộn lẫn cực

đại của hai neutrino vị

một

biểu

diễn

tối

giản

à
2

và



của

như đà cho ở trên, mà có thể được kết nối bởi

nhóm

S3

.

Bên

cạnh

biểu

thể cung cấp các biểu diễn 1 chiều không tương đương

diễn

1

và

2
1

,

nhóm

S3

có

mà đóng một

vai trò quan trọng trong việc sinh khối lượng và trộn lẫn của các fermion cần

5


thiết.

Các mô hình

niên qua [39, 43].

S3

đà được nghiên cứu một cách rộng rÃi hơn một thập

Đó là một điều thú vị để chúng ta xây dựng các nguyên

lý động lực học có thể dẫn đến các mô hình trộn lẫn vị của các quark và các

lepton một cách tự nhiên trong các gần đúng đầu tiên. Một phương pháp hữu

hiệu cho vấn đề này đó là sử dụng các nhóm đối xứng gián đoạn không giao

hoán như là các đối xứng thế hệ được thêm vào các nhóm chuẩn của MHC.

Thời gian gần đây đà có nhiều mô hình dựa trên nhóm đối xứng

T

[47] và gần đây hơn là đối xứng

Bên

cạnh

các

kết

quả

thí

S3

nghiệm

[48],

như

S4

A4

[45, 46],

[49, 50].

được

đề

cập

trên

đây,

đÃ

có

các

mô hình lý thuyết ra đời giải thích sự chuyển hóa neutrino, nhờ đó chúng ta

hiểu được rằng neutrino được sinh ra trong một trạng thái vị xác định, sau khi

truyền trong một khoảng không gian lớn,

nó chuyển sang một trạng thái vị

khác có thể dò được, nghĩa là neutrino có khối lượng và sự trộn lẫn [51].

Những sự kiện nêu trên là bằng chứng xác đáng cho sự cần thiết phải mở

rộng MHC. Theo hướng mở rộng MHC, trong khoảng những năm đầu thập

niên 70 của thế kỷ XX đà có một số lượng lớn các mô hình được đề xuất như

mô hình Zee [52], mô hình Zee - Babu [53], mô hình siêu đối xứng, lý thuyết

dây, mở rộng seesaw,....Mỗi mô hình đều có những ưu nhược điểm nhất định,

nhằm giải quyết một số vấn đề được đặt ra, và đà có rất nhiều công bố trong

các lĩnh vực trên, song những vấn đề đặt ra chưa có giải đáp thỏa đáng về vật

lý neutrino.

Việc đi tìm những câu trả lời cho những vấn đề còn bỏ ngõ đó

là động lực thúc đẩy cho sự phát triển của khoa học và sự hiểu biết của nhân

loại về thế giới.

Một

hướng

mở

rộng

khác

của

MHC

được

nhóm

của

GS.

Hoàng

Ngọc

Long và các nhà khoa học khác quan tâm đó là mở rộng nhóm đối xứng điện

yếu

SU (2)L U (1)Y

thành nhóm

SU (3)L U (1)X

,

các mô hình loại này

còn được gọi là các mô hình 3-3-1. Có hai phiên bản của mô hình 3-3-1 phụ

thuộc vào phần lepton được đưa vào trong mô hình. Phiên bản thứ nhất, được

gọi là mô hình 3-3-1 tối thiểu, được đề xuất bởi Pisano, Pleitez và Frampton

vào năm 1992 [54], trong ®ã, 3 tam tun lepton cđa nhãm

6

SU (3)L

cã d¹ng


c
(L , lL , lR )T

, với

lR

là các lepton mang điện phân cực phải. Phiên bản này đòi

hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đối

xứng tự phát, sinh khối lượng cho các fermion. Phiên bản thứ 2, được các tác

giả Foot, Long và Tuan đề xuất vào năm 1994, trong đó, thành phần thứ 3 của

các tam tuyến lepton là các neutrino phân cực phải,

c
(L , lL , R )T

, và được gọi

là mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải (331RH) [55, 56]. Mô hình này

có

những

ưu

việt

như

mô

hình

3-3-1

tối

thiểu,

nhưng

phần

Higgs

đơn

giản

hơn vì chỉ cần ba tam tuyến vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đối xứng tự

phát, sinh khối lượng cho các fermion.

là nếu tam tuyến vô hướng Higgs



Điều thú vị của mô hình 331RH đó

được chọn với hai thành phần trung hòa

ở đỉnh và đáy khác không thì số tam tuyến Higgs của mô hình có thể giảm

xuống chỉ còn là hai. Mô hình như vậy được gọi là mô hình 3-3-1 tiết kiệm,

được các tác giả Dong, Long, Nhung và Soa đề xuất vào năm 2006 [57, 58].

Theo các mô hình 3-3-1,

fermion của nhóm

SU (3)L

điều kiện khử dị thường đòi hỏi số tam tuyến

bằng số phản tam tuyến của nó, vì vậy số thế hệ

phải là một bội số của 3. Mặt khác, điều kiện tiệm cận trong sắc động lực học

lượng tử đòi hỏi số thế hệ quark phải bé hơn 5. Kết hợp hai điều kiện đó, mô

hình 3-3-1 cho lời giải thích rõ về bài toán vị, số thế hệ lepton bằng 3.

Các mô hình mở rộng MHC nêu trên đều chỉ mới quan tâm đến một thế

hệ và thừa nhận vật lý trong các thế hệ là giống nhau mà chưa có một chứng

minh chặt chẽ. Trong khoảng 10 năm trở lại đây, có một hướng khà quan đang

được nghiên cứu rộng, nhằm giải thích dạng ma trận trộn lẫn Tri-bimaximal,

đồng thời giải thích sự trộn lẫn nhỏ giữa các quark, sự nhỏ về khối lượng của

neutrino và các hiệu ứng vật lý quan trọng khác, đó là đưa các đối xứng gián

đoạn vào các mô hình mở rộng MHC [43, 59--65].

Nhóm

đối

xứng

gián

đoạn

đầu

tiên

vào mô hình chuẩn năm 2001 là nhóm

được

A4

E.

Ma

và

G.

Rajasekaran

[46], thu được dạng trộn lẫn

đưa

à

cực đại, và sau đó được nhiều tác giả khác thực hiện với các nhóm khác, và

mở rộng cho các mô hình khác [47--50, 59, 60].

đầu

tiên

được

F.

Yin

đưa

vào

nhóm

đối

7

xứng

Với các mô hình 3-3-1, lần

A4

nhưng

mới

quan

tâm

đến


phần lepton mà chưa đề cập đến phần quark [44].

Năm 2010, các tác giả P
.

V. Dong, H. N. Long, D. V. Soa và L. T. Hue đà đưa nhóm

A4

vào mô hình

3-3-1 với fermion trung hòa, có xét đến phần quark và thu được dạng chính

xác của ma trận trộn Tri-bimaximal [45].

Trong nỗ lực tìm lại dạng Tri-bimaximal (1) và tìm câu trả lời thỏa đáng

cho một trong số các vấn đề còn bỏ ngõ của vật lý hạt, đặc biệt là khối lượng

và sự trộn lẫn của các neutrino,

bằng cách phân tích một khả năng gần gũi

với các phiên bản đặc thù, chúng tôi đà đề xuất thêm một phiên bản khác của

phần lepton dưới dạng

c
(L , lL , NR )T

, trong đó, các neutrino phân cực phải của

phiên bản thứ 2 được thay bằng các lepton có số lepton bằng không, nghĩa là,

NR

là 3 đơn tuyến lepton mới có số lepton bằng không, mô hình này được gọi

là mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa (331NF) [45, 66--68]. Khi đưa nhóm

đối xứng

S3

vào các mô hình 3-3-1, các neutrino thu được khối lượng từ đóng

góp của 2 phản lục tuyến Higgs vµ mét tam tun Higgs cđa nhãm SU(3)

L,

trong khi đó, với nhóm đối xứng

S4

, các neutrino thu được khối lượng chỉ từ

đóng góp của 2 phản lục tuyến Higgs của nhóm

SU (3)L

.

Nhóm chúng tôi là những người đầu tiên đưa đối xứng gián đoạn vào mô

hình 3-3-1 [45, 67] trong đó có tính toán đầy đủ về khối lượng vµ sù trén lÉn

lepton, quark vµ tÝnh thÕ hiƯu dơng. Để tiếp tục theo đuổi hướng nghiêm cứu

này,

chúng

3-3-1.

tôi

đÃ

chọn

đề

tài

Nhóm đối xứng gián đoạn và các mô hình

Trong luận án này, tác giả trình bày một hướng mở rộng MHC bằng

việc đưa các nhóm đối xứng gián đoạn

S3

và

S4

vào các mô hình 3-3-1, nhằm

xác định khối lượng và sự trộn lẫn của các lepton và các quark, tính thế hiệu

dụng và kiểm tra sự phá vỡ đối xứng điện yếu, cũng như khai thác các hệ qủa

liên quan đến vật lý neutrino, vật lý vị và hiện tượng luận của mô hình ở c¸c

m¸y gia tèc.

8

Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là đưa các nhóm đối xứng gián đoạn

S3 , S4

vào các

mô hình 3-3-1, xác định khối lượng và ma trận trộn lẫn fermion, tính thế hiệu

dụng và kiểm tra phá vỡ đối xứng điện yếu.

Khai thác các hệ quả liên quan

đến vật lý neutrino, vật lý vị và các hiện tượng luận của mô hình.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là nhóm đối xứng gián đoạn, các hướng

mở rộng mô hình chuẩn, hiệu ứng vật lý neutrino trong các lý thuyết thống

nhất.

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài: Chỉ đưa hai nhóm đối xứng gián đoạn

và

S4

S3

vào mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa và mô hình 3-3-1 với neutrino

phân cực phải.

Nội dung nghiên cứu
Trước hết chúng tôi xây dựng hệ số Clebsch- Gordan của hai nhóm

S4

S3

,

, và trình bày tóm tắt nội dung mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa. Trên

cơ sở đó,

đưa các nhóm đối xứng

S3

và

S4

vào mô hình 3-3-1 với fermion

trung hòa và mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải như là các đối xứng

vị. So sánh các kết quả thu được từ mô hình với các kết quả thực nghiệm gần

đây về phổ khối lượng fermion và dạng ma trận trộn lẫn tương ứng.

Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Sử dụng lý thuyết

trường lượng tử, lý thuyết nhóm, giải tích toán học để xây dựng mô hình 3-3-1

với các nhóm đối xứng

S3

và

S4

. Tính toán và so sánh các kết quả thu được từ

mô hình với các kết quả thực nghiệm.

phần mềm Mathematica.

9

Trong tính toán chúng tôi có sử dụng


Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận án được

trình bày trong 3 chương.

ã

Chương 1- Nhóm

S3 , S4

và mô hình 3-3-1. Tìm các biểu diễn và hệ số

Clebsch - Gordan của 2 nhóm

S3

và

S4

, và giới thiệu tóm tắt nội dung

mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa, bao gồm sự sắp xếp hạt và sự phá

vỡ đối xứng tự phát sinh khối lượng fermion của mô hình.

ã

Chương 2 - Đối xứng vị

S4

trong mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa.

Trong chương này, chúng tôi đề xuất mô hình 3-3-1 với fermion trung

hòa dựa trên nhóm đối xứng vị

S4

. Phần trình bày bao gồm: Sự sắp xếp

hạt, khối lượng của lepton mang điện, khối lượng neutrino, khối lượng

quark và sự định hướng chân không của mô hình.

ã

Chương 3 - Đối xứng vị

S3

trong các mô hình 3-3-1. Trong chương này,

chúng tôi đề xuất mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa và mô hình 3-3-1

với neutrino phân cực phải dựa trên nhóm đối xứng vị

bày bao gồm:

Sự sắp xếp hạt,

S3

.

Phần trình

khối lượng của lepton mang điện,

khối

lượng neutrino, khối lượng quark và sự định hướng chân không của mô

hình. Chương 2 và chương 3 là các kết quả chính của luận án.

10


Chương 1
Nhóm

S3, S4

và mô hình 3-3-1

Các đối xứng và các nguyên lý bất biến thiết lập các định luật bảo toàn -

là cơ sở của lý thuyết vật lý. Các đối xứng được mô tả bằng lý thuyết nhóm,

và đà có nhiều ứng dụng trong vật lý. Mỗi một nhóm mô tả một cấu trúc cụ

thể - có một tập hợp các đối tượng tương ứng,

chúng liên hệ với nhau theo

một quy luật riêng. Mục tiêu của chúng tôi là nghiên cứu xem những cấu trúc

này có thể liên hệ với các vấn đề trong thực tế như thế nào. Lý thuyết nhóm

là

một

lĩnh

vực

rộng

lớn

và

đÃ

được

trình

bày

kỹ

trong

các

giáo

trình

toán

học, chẳng hạn như trong các tài liệu trích dẫn [1, 2, 69]. Có thể phân loại một

nhóm dựa vào các phần tử của nó là liên tục hay gián đoạn.

Nếu các phần

tử của một nhóm là gián đoạn, nhóm tương ứng được gọi là nhóm gián đoạn,

ngược lại nhóm là liên tục. Nếu luật nhân nhóm là giao hoán, nghĩa là với mọi

yếu tố

g1 , g2 G g1 g2 = g2 g1
,

thì nhóm được gọi là nhóm Abel hay nhóm

giao hoán, ngược lại nhóm là non - Abel hay nhóm không giao hoán.

Các đối xứng đóng một vai trò thiết yếu trong việc xây dựng mô hình của

vật lý hạt. Chẳng hạn, các đối xứng liên tục định xứ như các đối xứng Lorentz,

Poincare,

và đối xứng chuẩn là rất quan trọng để hiểu được nhiều hiệu ứng

vật lý liên quan đến tương tác mạnh, yếu và điện từ giữa các hạt [2, 23]. Mặt

khác, các đối xứng gián đoạn như phép lấy liên hợp điện tích C, phép nghịch

đảo không gian P phép nghịch đảo thời gian T cũng là những nội dung cần
,

thiết

trong

vật

lý

hạt

[70].

Các

đối

xứng

gián

đoạn

giao

hoán,

ZN

,

thường

được sử dụng để điều chỉnh các liên kết được phép trong việc xây dựng mô

hình mở rộng MHC [71]. Bên cạnh các đối xứng gián đoạn giao hoán, các đối

xứng gián đoạn không giao hoán cũng đà được ứng dụng vào việc xây dựng

các mô hình tìm hiểu về cấu trúc vị cđa 3 thÕ hƯ fermion. NÕu mét ®èi xøng

11

được đưa vào tác động lên phần vị, người ta có thể điều chỉnh các hằng số liên

kết Yukawa theo 3 thế hệ, mặc dù nguồn gốc của các thế hệ vẫn còn là ẩn

số.

Mặt khác, sự khám phá về khối lượng và trộn lẫn neutrino với dạng trộn

lẫn Tri-bimaximal với các góc trộn lớn hoàn toàn khác các góc trộn lẫn quark

(1) [39, 40], và sự khác không của góc trộn lẫn

13

[41] là động lực thúc đẩy

việc tìm kiếm một mô hình tự nhiên dẫn đến sự trộn lẫn của các quark và các

lepton với độ chính xác cao bằng việc đưa các nhóm đối xứng gián đoạn như

là các đối xứng vị vào các mô hình mở rộng MHC.

Các nhóm liên tục không giao hoán đà trở nên quen thuộc, và đà có nhiều

tài liệu phổ biến viết về các nhóm này [2, 23, 70]. Tuy vậy, các đối xứng gián

đoạn không giao hoán có thể không gần gũi như các nhóm đối xứng liên tục.

Các nhóm đối xứng gián đoạn không giao hoán được xem là sự lựa chọn hấp

dẫn nhất cho phần vật lý vị và đà trở thành các công cụ quan trọng cho việc

xây dựng mô hình liên quan đến vật lý vị như đà đề cập ở trên. Vì vậy, việc

tìm hiểu đặc trưng của các nhóm đối xứng gián đoạn không giao hoán là rất

cần thiết. Với mục đích đưa các nhóm đối xứng gián đoạn

S3 , S4

vào các mô

hình 3-3-1, trong chương này, chúng tôi trình bày về các nhóm đối xứng gián

đoạn

S3

và

S4

, tìm các biểu diễn, và hệ số Clebsch - Gordan và chỉ ra các triển

vọng ứng dụng vào mô hình 3-3-1 của hai nhóm này.

Đồng thời giới thiệu

tóm tắt nội dung của mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa.

Nhóm

đưa vào mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa trong chương 2, nhóm

S4

được

S3

được

đưa vào các mô hình 3-3-1 trong chương 3 của luận án. Các kết quả chính của

luận án đà được đăng trong các tài liệu tham khảo [67, 68].

12


S3, S4

1.1

Nhóm

1.1.1

Nhóm đối xứng

S3

là

nhóm

hoán

vị

của

S3
3

vật

{x1 , x2 , x3 }

,

có

6

phần

tử,

được

ký

hiệu

{e, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }

, trong ®ã:

e =

a1 =
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =

x1 x2 x3

≡ (x1 , x2 , x3 ) ≡ (1, 2, 3),

x1 x2 x3
x1 x2 x3

≡ (x2 , x3 , x1 ) ≡ (123),

x2 x3 x1
x1 x2 x3

≡ (x3 , x1 , x2 ) ≡ (132),

x3 x1 x2
x1 x2 x3

≡ (x2 , x1 , x3 ) ≡ (12),

x2 x1 x3
x1 x2 x3

≡ (x1 , x3 , x2 ) ≡ (23),

x1 x3 x2
x1 x2 x3

≡ (x3 , x2 , x1 ) ≡ (31).

x3 x2 x1

(1.1)

Trong các biểu thức (1.1), số hạng thứ nhất là ký hiệu đầy đủ của phép hoán

vị, số hạng thứ hai chỉ kết quả của phép hoán vị, số hạng thứ ba là cách viết

theo chu trình.

phép biến đổi

S3

Chẳng hạn,

a1

x1 x2 x1

là phép biến đổi

và

x3

x1 x2 x3 x1 a3
,

là

không biến đổi,...

cũng chính là nhóm các phép biến đổi biến một tam giác đều thành

chính nó, bao gåm mét phÐp ®ång nhÊt, 2 phÐp quay quanh tâm, và 3 phép

đối xứng trục như hình vẽ 1.1.

Nhóm

S3

có 3 lớp các yếu tố liên hợp, với 3 biểu diễn tối giản, trong đó,

có hai biểu diễn một chiều 1, 1' và một biểu diễn hai chiều 2.

hợp và đặc biểu của nhóm

S3

Các lớp liên

lần lượt có dạng như trong bảng 1.1 và 1.2. Các

biểu diễn chính quy của nhãm

S3

cã d¹ng nh­ trong phơ lơc A.

13


Hình 1.1: Đối xứng

S3

của tam giác đều

Biểu diễn cơ sở 2 chiều của nhóm

S3

trong không gian thực có dạng:

C1 :
C3 :

1 0

; C2 :

0 1
1

−1
√2
3
2

0

0 −1

1
2
√
3
2

,

√

√

− 23
1
−2

3
2
1
−2

−1
2
√
− 23

,
1
2
√

,

−

√

√

3

2
1
−2

3
2
−1
2

−

3
2

;

.

(1.2)

Trong nhiÒu tr­êng hợp, để thuận tiện người ta làm việc trong không gian

phức, trong đó, biểu diễn cơ sở 2 chiều của nhóm

C1 :

C3 :

trong đó,

Các

0 1
0 1
1 0

; C2 :

S3

diễn

trong

(1.2)

0
0 ω2
0 ω

,

1
ω = e2πi/3 = − 2 + i

biĨu

chiỊu cđa

1 0

2 0

,

,

S3

có dạng:

2 0
0
0 2
0

;

.

(1.3)



3
2

là căn bậc 3 của đơn vị.

hoặc

(1.3)

chính

là

biểu

diễn

tối

giản

unita

2

. Điều đặc biệt ở đây là biểu diễn tối giản unita có số chiều lớn

hơn 1. Đối với nhóm không giao hoán phải tồn tại biểu diễn ma trận mà không

phải số, vì chỉ ma trận mới biểu diễn được quy tắc nhân không giao hoán.

14


Bảng 1.1: Các lớp liên hợp của nhóm

S3

C1

(1, 2, 3) ≡ e

C2

(123) ≡ a1 , (132) ≡ a2

C3

(12) ≡ a3 , (23) ≡ a4 , (31) ≡ a5

B¶ng 1.2: B¶ng ®Ỉc biĨu cđa nhãm

S3

χ1 χ1

χ2

S3

χ 4 ≡ χ2 χ2

C1

1

1

2

4

C2

1

1

−1

1

C3

1

−1

0

0

HƯ sè Clebsch - Gordan của nhóm

S3

trong không gian thực có dạng:

1 ⊗ 1 = 1(11), 1 ⊗ 1 = 1(11), 1 ⊗ 1 = 1 (11),
1 ⊗ 2 = 2(11, 12), 1 ⊗ 2 = 2(11, −12),
2 ⊗ 2 = 1(11 + 22) ⊕ 1 (12 − 21) ⊕ 2(22 − 11, 12 + 21).
Trong kh«ng gian phøc, hƯ sè Clebsch - Gordan cđa nhãm

S3

(1.4)

cã d¹ng:

1 ⊗ 1 = 1(11), 1 ⊗ 1 = 1(11), 1 ⊗ 1 = 1 (11),
1 ⊗ 2 = 2(11, 12), 1 ⊗ 2 = 2(11, −12),
2 ⊗ 2 = 1(12 + 21) ⊕ 1 (12 21) 2(22, 11).
trong đó, trong các dấu ngoặc đơn, chỉ số thứ nhất được hiểu là

1, 2)

, chỉ số thứ hai được hiểu là

ij kl

, chẳng hạn,

i ≡ xi (i =

j ≡ yj (j = 1, 2) xi yj ≡ ij, xi yj ± xk yl ≡
,

1(11) ≡ 1(x1 y1 ); 2(11, 12) ≡ 2(x1 y1 , x1 y2 ), ...

to¸n chi tiÕt vỊ hƯ sè Clebsch - Gordan của nhóm

lục B.

(1.5)

Nhóm đối xứng

S3

S3

Các tính

được trình bày trong phụ

được đưa vào các mô hình 3-3-1 trong chương 3

của luân án. Kết quả đà được đăng trong tài liƯu tham kh¶o [68].

15


1.1.2

S4

Nhóm đối xứng

là

nhóm

e, a1 , ..., a23
e=

a1 =
a2
a3
a4 =
a5 =
a6 =
a7 =
a8 =
a9 =
a10 =
a11 =

các

hoán

S4

vị

của

4

vật,

gồm

24

phần

tử

được

ký

hiệu

là

, trong đó,

x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4
x2 x1 x4 x3
x1 x2 x3 x4
x3 x4 x1 x2
x1 x2 x3 x4

x4 x3 x2 x1
x1 x2 x3 x4
x2 x3 x1 x4
x1 x2 x3 x4
x3 x1 x2 x4
x1 x2 x3 x4
x2 x4 x3 x1
x1 x2 x3 x4
x4 x1 x3 x2
x1 x2 x3 x4
x3 x2 x4 x1
x1 x2 x3 x4
x4 x2 x1 x3
x1 x2 x3 x4
x1 x3 x4 x2
x1 x2 x3 x4
x1 x4 x2 x3

≡ (x1 , x2 , x3 , x4 ) ≡ (1, 2, 3, 4),

(1.6)

≡ (x2 , x1 , x4 , x3 ) ≡ (12)(34) ≡ T S 2 T 2 ,
≡ (x3 , x4 , x1 , x2 ) ≡ (13)(24) ≡ S 2 ,
≡ (x4 , x3 , x2 , x1 ) ≡ (14)(23) ≡ T 2 S 2 T,

(1.7)

≡ (x2 , x3 , x1 , x4 ) ≡ (123) ≡ T,
≡ (x3 , x1 , x2 , x4 ) ≡ (132) ≡ T 2 ,

≡ (x2 , x4 , x3 , x1 ) ≡ (124) ≡ T 2 S 2 ,
≡ (x4 , x1 , x3 , x2 ) ≡ (142) ≡ S 2 T,
≡ (x3 , x2 , x4 , x1 ) ≡ (134) ≡ S 2 T S 2 ,
≡ (x4 , x2 , x1 , x3 ) ≡ (143) ≡ ST S,
≡ (x1 , x3 , x4 , x2 ) ≡ (234) ≡ S 2 T 2 ,
≡ (x1 , x4 , x2 , x3 ) ≡ (243) ≡ T S 2 ,

16

(1.8)