BÀI GIẢNG DAO ĐỘNG tàu THỦY

2013
BÀI GIẢNG DAO ĐỘNG TRONG
HỆ THỐNG ĐỘNG LỰC TÀU THỦY

Nguyễn Văn Cơng
Bộ mơn Kỹ thuật cơng trình dầu khí,
Khoa Kỹ thuật tàu thủy,
Đại học Giao thông vận tải Tp. HCM
5/30/2013


MỤC LỤC
Chương 1. MƠ HÌNH HĨA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ DAO ĐỘNG CỦA HỆ TUYẾN TÍNH 1
BẬC TỰ DO....................................................................................................................................3
1.1

Mơ hình hệ thống và phân loại lực, dao động .............................................................. 3

1.2

Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do ..........................................................5

1.3

Dao động cưỡng bức của hệ một bậc tự do ..................................................................8

1.4

Dùng biến đổi tích phân laplace để phân tích dao động .............................................16

Chương 2. DAO ĐỘNG CỦA HỆ TUYẾN TÍNH HỮU HẠN BẬC TỰ DO ............................ 20

2.1

Dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do khơng có cản ............................................20

2.2

Dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do có cản .......................................................25

2.3

Dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính hữu hạn bậc tự do ........................................27

2.4

Dao động xoắn của hệ trục tàu thủy, động lực học hệ động lực diesel ......................29

2.5

Dao động ngang của trục, phương pháp ma trận chuyển ...........................................43

2.6

Khái niệm vòng quay tới hạn của trục mềm quay ......................................................46

Chương 3. KIỂM SOÁT DAO ĐỘNG ........................................................................................50
3.1

Một số phương pháp kiểm sốt dao động ...................................................................50

3.2

Một số phần mềm tính dao động ................................................................................55

DANH MỤC HÌNH MINH HỌA
Hình 1-1: Mơ hình dao động tự do của hệ 1 khối lượng .................................................................5
Hình 1-2: Mơ hình dao động tự do khơng có cản của hệ 1 khối lượng ...........................................6
Hình 1-3: Dao động tự do của hệ tuyến tính 1 bậc tự do khơng có cản ..........................................6
Hình 1-4: Mơ hình dao động tự do có cản của hệ 1 khối lượng ......................................................7
Hình 1-5: Dao động tự do với cản nhỏ của hệ 1 bậc tự do .............................................................. 8
Hình 1-6: Dao động tự do với cản tới hạn của hệ 1 bậc tự do .........................................................8
Hình 1-7: Mơ hình dao động cưỡng bức của hệ một bậc tự do .......................................................8
Hình 1-8: Sự phụ thuộc của hệ số tăng biên độ vào tỷ số tần số ...................................................11
Hình 1-9: Dao động khi tần số cưỡng bức bằng với tần số tự do ..................................................12
Hình 1-10: Quá trình chuyển đến dao động cưỡng bức ổn ........................................................... 13
Hình 1-11: Các đường cong cộng hưởng ......................................................................................14
Hình 1-12: Ảnh hưởng của tỉ số tần số đến hệ số tăng biên độ .....................................................15
Hình 1-13: Phụ thuộc góc lệch pha vào tỷ số tần số và tỷ số cản .................................................15
Hình 1-14: Ảnh hưởng của tỉ số tần số đến góc lệch pha .............................................................. 16
Hình 2-1: Mơ hình cơ hệ (ví dụ 2-1) ............................................................................................. 21
Hình 2-2: Phân tích cơ hệ (ví dụ 2-1) ............................................................................................ 21
Hình 2-3: Mơ hình cơ hệ (ví dụ 2-2) ............................................................................................. 23
Hình 2-4: Phân tích cơ hệ (ví dụ 2-2) ............................................................................................ 24
Hình 2-5: Mơ hình hệ xoắn tương đương hệ trục tàu thủy ............................................................ 29
Page 1/ 60


Hình 2-6: Phân tích mơ hình xoắn tương đương .......................................................................... 30
Hình 2-7: Đồ thị Rn - Δ ............................................................................................................... 34
Hình 2-8: Nội suy giá trị Δ ........................................................................................................... 34
Hình 2-9: Phân tích mơ men của lực khí cháy.............................................................................. 35

Hình 2-10: Hệ số Cvk cho động cơ diesel 2 kỳ ............................................................................ 36
Hình 2-11: Hệ số Cvk cho động cơ diesel 4 kỳ tăng áp ............................................................... 37
Hình 2-12: Giản đồ pha động cơ 4 kỳ 8 xylanh, thứ tự nổ: 1 -3 - 5 - 7 - 8 - 6 - 2 - 4.................. 40
Hình 2-13: Xác định biên độ A1R bằng đồ thị ............................................................................. 43
Hình 2-14: Mơ hình hệ trục và hệ tương đương ........................................................................... 43
Hình 2-15: Độ uốn, lực và momen tác dụng lên đoạn trục ........................................................... 44
Hình 2-16: Trạng thái lực tại thiết diện n+1 ................................................................................. 45
Hình 2-17: Mơ hình dao động uốn ............................................................................................... 46
Hình 2-18: Trường hợp xốy thuận .............................................................................................. 48
Hình 2-19: Trường hợp xốy ngược ............................................................................................. 48
Hình 2-20: Sự phụ thuộc của r vào tỷ số tần số ............................................................................ 48
Hình 3-1: Mơ hình cách ly dao động ............................................................................................ 50
Hình 3-2:Đồ thị tỉ số truyền động T ............................................................................................. 51
Hình 3-3: Mơ hình bộ tách chấn động lực khơng cản .................................................................. 52
Hình 3-4: Sự phụ thuộc k1A1/F0 vào tỷ số tần số ....................................................................... 53
Hình 3-5: Mơ hình bộ tách chấn động lực có cản ......................................................................... 53
Hình 3-6: Sự phụ thuộc k1A1/F0 vào tỷ số tần số ....................................................................... 54
Hình 3-7: Mơ hình bộ cản houdaille ............................................................................................. 54
Hình 3-8: Mơ hình cơ hệ (ví dụ 3-1) ............................................................................................ 55
Hình 3-9: Dạng dao động 1 nut, 2 nut, 3 nut ................................................................................ 56
Hình 3-10: Mơ hình hệ dao động xoắn tương đương (ví dụ 3-2) ................................................. 58
Hình 3-11: Đồ thị biên độ dao động tương đối (dao động 1 nut) ................................................. 59

DANH MỤC BẢNG
Bảng 1-1: Hệ số cứng ..................................................................................................................... 4
Bảng 2-1: Bảng Tole - Holzer ...................................................................................................... 33
Bảng 2-2: Bảng tính tổng hình học các biên độ tương đối ........................................................... 40

Page 2/ 60

Chương 1.

MƠ HÌNH HĨA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ DAO ĐỘNG CỦA HỆ
TUYẾN TÍNH 1 BẬC TỰ DO

1.1
Mơ hình hệ thống và phân loại lực, dao động
1.1.1 Về mơ hình hệ thống
Để diễn tả và biểu thị một đối tượng kỹ thuật trước hết phải đề ra mục đích diễn tả đó
dùng để làm gì. Mỗi đối tượng chứa trong nó một lượng thông tin vượt quá khả năng đồng thời
hiểu biết nó và phải diễn tả rất nhiều, mà điều đó khơng cần thiết. Nếu ta biết mục đích diễn tả,
có thể so sánh các thơng tin quan trọng thật cần thiết cho mục đích này và các thơng tin ít quan
trọng hơn không thực chất. Ví dụ nếu ta cần diễn tả vật để tạo dữ liệu phân tích chuyển động của
nó dưới tác dụng của lực (động lực học), thì chỉ cần ít thơng tin là đủ. Đó là cần biết khối lượng.
Như vậy là đã tạo mô hình để phân tích động lực học. Đó cũng là mơ hình hóa trừu tượng
đối tượng. Mỗi mục đích diễn tả có mơ hình tương ứng. Mỗi ngành khoa học sử dụng mơ hình
riêng của mình.
Q trình mơ hình hó trừu tượng đối tượng bao gồm 2 giai đoạn: tạo mơ hình qui ước và
mơ hình tốn học. Mơ hình qui ước cần diễn tả ở 1 mức độ theo cách lý tưởng hóa, đơn giản hóa
thực thế nghiên cứu quá trình hay vấn đề nghiên cứu dựa vào các khái niệm của nó. Với các bài
tốn kỹ thuật thường dựa vào khái niệm vật lý nên mơ hình qui ước được gọi là mơ hình vật lý.
Trong các hệ cơ khí quyết định quan trọng là số bậc tự do, để xét hệ là hệ (mơ hình) rời
rạc (với một số hữu hạn bậc tự do) hay là hệ liên tục (với vô hạn bậc tự do). Trong trường hợp
mơ hình liên tục áp dụng phổ biến trong lý thuyết đàn hồi, cơ chất lỏng, nhiệt động; mỗi điểm
của khơng gian gắn với các tính chất vật lý xác định. Vì vậy muốn xác định vị trí của 1 hệ liên
tục cần phải cho vị trí của tất cả các điểm của nó.
1.1.2 Các lực trong chuyển động dao động
Phương trình vi phân cơ bản của dao động 1 bậc tự do có dạng:





  F X, X
 ,t  0
mX

CT: 1-1

Phương trình này cũng là cách viết cho chuyển động của hệ có n bậc tự do nếu X xem là
 , t  biểu thị lực tác dụng lên hệ.
vector n chiều, F là một hàm vector. FX, X
Lực này có thể là lực của chuyển vị (tọa độ) X, của vận tốc và thời gian. Trong nhiều
trường hợp lực có thể biểu diễn là tổng của các thành phần biểu thị các lực trên:
 , t   SX  R X
   Gt 
FX, X

CT: 1-2

Vì vậy trong nhiều trường hợp phương trình chuyển động dao động ó thể biểu diễn dưới
dạng
  R X
   SX  f t 
mX

CT: 1-3

Trong đó:

f(t) = - G(t)

 và X ta sẽ có khi đó
  và S(t) là các hàm tuyến tính của X
Trường hợp các lực R X
phương trình tuyến tính:
  CX
  kX  f t 
mX

CT: 1-4

1- Lực phụ thuộc vào chuyển vị S(x) được gọi là lực hồi phục.
Trong số lực này ta có lực đàn hồi do tính chất đàn hồi của vật liệu kết cấu. Sự phụ thuộc
lực đàn hồi và chuyển vị có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến. Sự phụ thuộc tuyến tính xuất hiện

Page 3/ 60


với các vật đàn hồi có biến dạng tuân theo định luật Huck ở biến dạng nhỏ. Sự phụ thuộc đó
được viết dưới dạng:

S  kX

CT: 1-5

Và hệ số cứng phụ thuộc vào module đàn hồi, hình dạng và kích thước của vật đàn hồi.
Một số giá trị của các hệ số cứng cho bảng 1-1 sau:
ng 1-1: Hệ số cứng

Sơ đồ

Độ cứng k
Gd 4
8nD 3
D: đường kính lị xo
d: đường kính thiết diện
n: số vịng lị xo

k1  k 2

k1k 2
k1  k 2

3EI
l3

3EIa  b 
a 2b 2

12EIa  b 
a 3 b 2 3a  4b 
3

2- Lực phụ thuộc vào vận tốc trong dao động cơ khí thường là các lực c n.
Nó ngược hướng với hướng của vận tốc, làm giảm vận tốc và động năng. Một phần năng
lượng nó dùng được chuyển thành nhiệt và bị phát tán gây nên tắt dần dao động. Sự phụ thuộc
của lực cản vào vận tốc gọi là đặc trưng tắt dần. Thường dựa vào các nghiên cứu dao động, lực
cản phụ thuộc tuyến tính vào vận tốc được gọi là ma sát nhớt:
   CX


R X

CT: 1-6

3- Lực phụ thuộc vào thời gian mà không phụ thuộc vào chuyển vị và vận tốc được gọi là
lực cưỡng bức
Trong số lực này là lực điều hòa tuần hồn có biên độ khơng đổi:
Page 4/ 60


F(t) = H.sint

1.1.3
1-

2-

3-

4-

5-

1.2

CT: 1-7

Trong đó:
H: biên độ

 : tần số lực cưỡng bức
Phân loại dao động
Theo số bậc tự do có:
 Dao động của hệ một, hữu hạn bậc tự do và dao động của hệ liên tục (vô hạn bậc tự
do).
Theo cưỡng bức có:
 Dao động tự do khi hệ không chịu lực cưỡng bức.
 Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực cưỡng bức.
 Dao động tự chấn khi khơng có cưỡng bức ngồi nhưng do bản thân hệ.
Theo tính tuyến tính:
 Dao động tuyến tính có mơ hình tốn học là các phương trình vi phân tuyến tính.
 Dao động phi tuyến.
Theo sự c n:
 Dao động khơng có cản
 Dao động có cản, khi có phát tán năng lượng.
Theo tính ngẫu nhiên:
 Dao động định tính.
 Dao động ngẫu nhiên.
Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do
Mơ hình của hệ:

1-1: Mơ

dao độ g tự do của ệ 1 k ối lượ g

Phương trình dao động của hệ có dạng sau:
  cX
  kX  0
mX

CT: 1-8

Trong đó:
X: tọa độ suy rộng, tổng quát- chuyển động.
X , X : vận tốc, gia tốc của chuyển động.
c: hệ số cản.
k: Hệ số (đàn hồi) cứng.
m: Khối lượng
Thường ta biến đổi hệ về hệ có khối lượng đơn vị:
  2ζ ω X
  ω2 X  0
X
n
n

CT: 1-9

Page 5/ 60


Với tần số, và tỷ số cản
ω 2n 

ζ

k
, ωn 
m

k

m

CT: 1-10

c
c

2mω n 2 km

1.2.1 Dao động tự do không cản của hệ tuyến tính 1 bậc tự do
Khi đó  = 0 ứng với hệ:

1-2: Mô

dao độ g tự do k ơ g có cả của ệ 1 k ối lượ g

Phương trình dao động của hệ khi đó sẽ là:
  ω 2 X  0
X
n

CT: 1-11

Phương trình có nghiệm dạng sau:

X(t) = Asin(n t +  )

CT: 1-12

Trong đó:

A: biên độ dao động ; A = X max

 n : tần số dao động
t : thời gian
: pha ban đầu
Nghiệm này là 1 hàm tuần hoàn với chu kỳ

T

2π
ωn

CT: 1-13

1-3: Dao độ g tự do của ệ tuyế tí

1 bậc tự do k ơ g có cả

Để xác định hồn tồn X(t) cần có điều kiện đầu:
X(t) t 0  Xo   X 0 

 (t)  X
 o   X
 
X
0
t 0


CT: 1-14

Page 6/ 60


Với điều kiện trên nghiệm (CT: 1-12) được xác định với:




1  ω n X 0  

  tan 
 
X
0 

A  X 02 

2
X
0
ω 2n

CT: 1-15

tan 1 ( X )  arctg ( X ) là hàm ngược của tg ( X )  tan( X )

Nhận xét:
k
chỉ phụ thuộc vào tham số của hệ mà không phụ thuộc vào điều kiện đầu,

m
 n được gọi là tần số dao động tự do không cản.
ωn 

1.2.2 Dao động tự do có cản của hệ tuyến tính 1 bậc tự do

1-4: Mơ

dao độ g tự do có cả của ệ 1 k ối lượ g

Phương trình là:
  2 ω X
  ω2 X  0
X
n
n

CT: 1-16

1- Trường hợp c n nhỏ (under damped)  < 1
Nghiệm của phương trình là:



X(t)  A  e ωn t sin ω n 1   2 t   d



CT: 1-17

Đặt:

ωn 1   2  ωd
Ta có:

X(t)  A  e ωn t sinωd   d 

CT: 1-18

Ta có dao động dạng tự do tắt dần với chu kỳ Td 
Với điều kiện đầu (CT: 1-14) ta có:

  ω X  2 
X
n
0
 
A  X   0
ω
d

 




X ω
 d  tan 1   0 d  
 X 0  ω n X 0  
2

0

Page 7/ 60

2π
ωd


Dao động có dạng sau :

1-5: Dao độ g tự do với cả

ỏ của ệ 1 bậc tự do

ωn t

Trong đó: Ae
Biên độ dao động tắt dần
Để đặc trưng cho độ tắt dần ta có đại lượng:
Độ tắt loga (logarithmic decrement)


X (t ) 

 X (t  Td ) 

  ln 

CT: 1-19

Trường hợp cản tới hạn  =1 (Critically damped)
Với điều kiện (CT: 1-14) cho:



  ω X t
X(t)  e ωn t X 0  X
0
n
0



CT: 1-20

Khi đó khơng có dao động:

1-6: Dao độ g tự do với cả tới ạ của ệ 1 bậc tự do

2- Trường hợp c n lớn  >1 (over damped)
Với điều kiện đầu (CT: 1-14)
X t  

1.3










 X 0

 ω  2 1.t  X 0
 ω  2 1.t 
 X0    2 1  e n
   X0    2 1  e n



ω
ω
2  2 1 


 n

 n

e

ωn t

ta cũng không có dao động
Dao động cưỡng bức của hệ một bậc tự do
Mơ hình của hệ

1-7: Mơ

dao độ g cưỡ g bức của ệ một bậc tự do

Page 8/ 60

CT:
1-21


1.3.1 Dao động tuyến tính khơng cản cưỡng bức bởi lực điều hòa
Ta xét lực cưỡng bức là hàm điều hòa:
F(t) = F0 sin(t + )

CT: 1-22

Với tần số cưỡng bức , pha ban đầu .
Ta có phương trình chuyển động :

  kX  F sinωt  ψ
mX
o

CT: 1-23

Hay :
  ω 2 X  Qsinωt  ψ
X
n

CT: 1-24

Trong đó :

ω 2n 

F
k
,Q  0
m
m

CT: 1-25

Nghiệm của phương trình là tổng của nghiệm của phương trình thuần nhất :

x  C1cosω n t  C 2 sinω n t

CT: 1-26

Và nghiệm riêng của phương trình với hàm vế phải.
Nghiệm riêng này có dạng:
X S = A sin(t +  )

CT: 1-27

Sau khi thay vào (CT: 1-24) ta có:
Q
A 2
,=

ωn  ω2
Nghiệm tổng quát của (CT: 1-24) có dạng:

X(t)  C1cosω n t  C 2 sinω n t 
Với điều kiện ban đầu:
 0  X

X(0) = X , X
0

Q
sin ωt  ψ 
ω  ω2

CT: 1-28

2
n

o

Ta tính được :

C1  X 0 
C2 

Q
sinψ
ω  ω2
2

n


X
ω
Q
0

cosψ
2
ωn ωn ωn  ω2

và nghiệm của (CT: 1-17) sẽ là :
X (t )  X

X
Q
0
cos ω t 
sin ω t 
o
n
n
2
2
ω
ω ω
n



 sin ψ .cos ω t  ω
n

ω

n



Q



2
2
ω ω
n

cos ψ sin ω t  
n 



sin ωt  ψ



CT:
1-29

Nghiệm trên có nghĩa đối với  n   . Nó gồm 3 phần : Phần thứ nhất biểu diễn dao
động tự do của hệ với điều kiện ban đầu, nếu điều kiện đầu bằng 0 thì dao động này khơng xảy
ra. Phần thứ 2 biểu diễn dao động có tần số riêng nhưng không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu,
mà chỉ phụ thuộc vào biên độ, tần số và pha ban đâu của lực cưỡng bức.
Page 9/ 60


Dao động này gây ra bởi tác dụng của lực cưỡng bức và xảy ra ngay cả khi với điều kiện
ban đầu bằng 0.
Biên độ dao động bằng:
a ωn 

Q
2
ωn  ω2

sin 2 ψ 

ω2
cos 2 ψ
2
ωn

CT: 1-30

Để đánh giá biên độ của dao động cưỡng bức, thường đưa ra hệ số tăng biên độ. Đó là tỷ
số giữa biên độ và biến dạng tĩnh gây bởi đặt tĩnh lên hệ một lực bằng biên độ của lực cưỡng
bức.
Biến dạng tĩnh bằng :
F0

F
Q
λ st  0  m  2
k
k
ωn
m

CT: 1-31

Hệ số tăng biên độ của dao động cưỡng bức có tần số tự do là :

a ωn

λ st

μ1 

1
ω2
1 2
ωn

sin 2 ψ 

ω2
cos 2 ψ
ω 2n

CT: 1-32

Nếu đặt :

r

ω
: tỷ số tần số
ωn

CT: 1-33

Thì :

1
sin 2 ψ  r 2 cos 2 ψ
2
1 r

μ1 

CT: 1-34

Trong các trường hợp riêng :
Với:

ψ  0; μ 1 

r
1 r2

CT: 1-35

Và:

ψ

π
1
; μ1 
2
1 r2

CT: 1-36

Thành phần thứ 3 là dao động cưỡng bức có tần số của lực cưỡng bức.
Biên độ của dao động này là:
a 

Q
ω  ω2

CT: 1-37

2
n

và hệ số tăng biên độ:

Page 10/ 60

μ2 

aω
1

λ st 1  r 2

CT: 1-38

Đồ thị biểu diễn các hệ số theo r

1-8: Sự p ụ t uộc của ệ số tă g biê độ vào tỷ số tầ số

Số hạng của phần 2 và 3 có dấu khác nhau với  n   và  n   . Đó là sự thay đổi pha
ban đầu đi một góc bằng . Dao động cưỡng bức có tần số  có pha như lực cưỡng bức với
 n   và ngược lại với  n   .
Tổng hợp  n   rất gần nhau và X 0  0, X 0  0
Ta có:

X

2Q
2
2
ωn  ω

sin

ω  ω n 

t.cos

ω  ω n 

2

2

t  ...

CT: 1-39

Khi đó ta có hiện tượng phách.
Khi tần số cưỡng bức bằng tần số tự do  n   , nghiệm riêng sẽ có dạng:
X S = A.t.sin(t +  )

CT: 1-40

Thay vào (CT: 1-24) ta có :
2Acos(t +  ) = Qsin(t + )
Đặt :   t  
Thì : 2Acos = Qsin[  ( -  )]
Cân bằng hệ số ở 2 vế ứng với cos và sin ta có:
2A = Qsin( -  )

0

= Qcos( -  )

Từ đó:
Q
π
,γ  
2ω
2
Và nghiệm riêng có dạng:
A

Xs 

Q.t
2ω




sin ωt   

π

cos ωt   

2  2ω
Qt

Nghiệm tổng quát (1-24) sẽ là:

Page 11/ 60

CT: 1-41


X(t) = C1cos t + C 2 sint +

Qt
cosωt   
2ω

CT: 1-42

Với điều kiện ban đầu X (0)  X 0 , X (0)  X 0
Ta có:
Xt   X 0 cosω t 


X
0
ω

sinω t 

Q 
cos

tcosωt    
sinω t 

2ω 
ω



CT: 1-43

Có khả năng chọn điều kiện đầu để các hằng số C1 ,C 2 bằng 0. Khi đó hệ chuyển động
theo cơng thức (CT: 1 - 41).
Dao động có đặc tính tăng theo thời gian

1-9: Dao độ g k i tầ số cưỡ g bức bằ g với tầ số tự do

1.3.2 Dao động cưỡng bức tuần hồn có cản của hệ tuyến tính 1 bậc tự do
Phương trình dao động:

  cX
  kX  F sinωt  ψ
mX
0

CT: 1-44

Ta chuyển đến:
  2 ω X
  ω2 X  Qsinωt  ψ
X
n
n

CT: 1-45

Nghiệm của phương trình gồm tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và

1 nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất có vế phải. Dạng của nghiệm tổng quát phụ
thuộc vào giá trị của tỷ số cản.
Nghiệm này có dạng:
X S = A.in(t +  )

CT: 1-46

Thay vào, và đưa ra:

  t  

CT: 1-47

Và biểu diễn:

t     (   )    

CT: 1-48

t    t   (   )  t   

CT: 1-49

Ta có:
A

ω

Q

2
n

 ω2



2

CT: 1-50

 4 2 ω 2n ω 2

Page 12/ 60


tgε  tgψ  γ  

2 ω n ω
ω 2n  ω 2

CT: 1-51

Nghiệm tổng quát của phương trình trọng lượng cản nhỏ <1 có dạng:
X(t)  e

C1cosωd  C 2sinωd t  

ωn t





Q

2
2
ω2  ω2  4 2 ω 2
nω
n

sin ωt    ε 

CT: 1-52

Với điều kiện đầu : X (0)  X 0 , X (0)  X 0
Ta có:
X(t)  e





ζωnt

X 0 cos ωd t 

X 0  ζω n X 0
ωd

sin ωd t 

ζωnt



1
ωn sin ε  ω cos ε sin ωd t  
sin ε sin ωd t 
2
ωd


ωn2  ω 2  4ζ 2 ωn2 ω 2 



Qe



CT: 1-53

Q
sin ωt  ψ  ε 
2
ωn2  ω 2  4 2 ωn2 ω 2





Tương tự như trường hợp không cản xuất hiện ở đây có 3 dạng (thành phần) dao động.
Thành phần thứ nhất là dao động này phụ thuộc điều kiện đầu. Thành phần thứ 3 là dao động
cưỡng bức có tần số cưỡng bức. Ảnh hưởng của cản gây nên là 2 thành phần đầu có mũ âm nên
mất dần. Sau một thời gian dài dao động nhỏ dần và còn lại dư là dao động cưỡng bức ổn định
với tần số khơng đổi.
Đặc tính của q trình, từ lúc tác dụng lực đến khi dao động ổn định phụ thuộc vào tỷ số

 
.
tần số  r 
 n 

Ví dụ q trình dao động chuyển động cho các trường hợp:   n ;   n ;   n
được biểu diễn như sau:

1-10: Quá tr

c uyể đế dao độ g cưỡ g bức ổ

Trường hợp cản tới hạn  = 1, nghiệm có dạng:
Page 13/ 60


X(t)  e ωn t C1  C 2 t  

ω

sin ωt  ψ  ε 

Q

2
n

ω



2 2

 4 ω ω
2

2
n

2

CT: 1-54

Và khi  >1 :
X(t)  e

ωn t

C1et  C2e-t 





Q

2
2 2
2 2 2
ωn  ω
 4 ω n ω

sinωt  ψ  ε 

CT: 1-55

Với:

   n  2 1

CT: 1-56

Các C1 ,C 2 phụ thuộc điều kiện đầu. Các chuyển động riêng tương ứng là các chuyển
động tắt dần tựa tuần hồn.
Để dễ phân tích dao động cưỡng bức ta cũng dùng hệ số tăng biên độ:
2

A Aω n
Mr,   



λ st
Q

1

1  r 

2 2

 4 2 r 2

CT: 1-57

Đồ thị phụ thuộc của M(r,) vào r với tỉ số cản tương ứng xác định được gọi là đường
cong cộng hưởng.
Tập hợp các đường cong cộng hưởng như sau:

1-11: Các đườ g co g cộ g ưở g

Phân tích các đường cong cộng hưởng rõ ràng rằng ảnh hưởng quyết định đến trị số của
hệ số tăng biên độ là tỉ số tần số. Khi r  0,   1 có nghĩa là tác dụng của lực cưỡng bức gây
cho hệ chuyển vị gần biến dạng tích của lị xo (hình 1-12b). Khi dao động cưỡng bức rất nhanh
hệ có biên độ rất nhỏ (hình 1-12c). Khi tần số cưỡng bức rất gần tần số tự do bởi đạt giá trị rất
lớn (hình 1-12d). Hiện tượng này được gọi là hiện tượng cộng hưởng và vùng tần số đó gọi là
vùng cộng hưởng.Biên độ lớn nhất được gọi là biên độ cộng hưởng.

Page 14/ 60

1-12: Ả

ưở g của tỉ số tầ số đế

ệ số tă g biê độ

Ta xét:
Mmax : Tức min của mẫu số của cơng thức M
Tính hàm của mẫu số theo r và cho bằng 0
- 4r (1 - r 2 ) + 8r 2 = 0

r  1 2
Bỏ giá trị r = 0 ứng với điểm gốc tọa độ của các đường cong cộng hưởng.
Khi  = 0 biên độ lớn nhất xuất hiện khi  n   . Cản càng lớn thì đường cong càng dịch
về phía có tần số thấp.
Cực đại của M là:

M max 
Với r 

1

1
CT: 1-58

2 1   2

Không xuất hiện cực đại. Cản khi đó lớn làm cho khơng xuất hiện cộng

2

hưởng.
Dao động cưỡng bức lệch pha so với lực cưỡng bức góc lệch pha 

tgε 

 2 ω n ω  2r
 2
ω 2n  ω 2
r 1

CT: 1-59

Phụ thuộc của  vào r và  ở mơ hình sau:

1-13: P ụ t uộc góc lệc p a vào tỷ số tầ số và tỷ số cả

Page 15/ 60


Góc lệch pha có giá trị gần 0 ở r nhỏ (dao động chậm) (hình 1-14b). Khi r lớn (cưỡng bức
nhanh) có giá trị  180 0 (hình 1-14d), khi cộng hưởng   90 0 (hình 1-14c).

1-14: Ả

ưở g của tỉ số tầ số đế góc lệc p a

1.3.3 Nghiệm tổng quát của dao động cưỡng bức của hệ 1 bậc tự do
Dạng tổng quát của phương trình vi phân của dao động một bậc tự do với cản nhớt là:
  2 ω X

  ω 2 X  Ft 
X
n
n
m

CT: 1-60

 0  0 .
Tích phân gốc cho nghiệm của phương trình (CT: 1-60) với X(0) = 0, X

Với một hàm Ft tùy ý, nghiệm tích phân gốc là:
t

Xt    Fτ h t  τ dτ

CT: 1-61

0

Trong đó: h t là đáp ứng nghiệm của hệ do xung đơn vị tác dụng t = 0. Với hệ có dao
động tự do cản.

h t  

1 ωn t
e
sinωd t
mω n

CT: 1-62

Với:

ωd  ω n 1   2  tần số tự do có cản
Và như vậy dao động của 1 hệ cản nhớt là:
Xt  

1.4

t

1
Fτ e -ωn  t τ sinω d t - τ dτ
mω d 0

CT: 1-63

Dùng biến đổi tích phân laplace để phân tích dao động
Biến đổi tích phân Laplace của 1 hàm f(t) được định nghĩa như sau:


l{f(t)} = f S   e st f t dt

CT: 1-64

0

Trong đó:
ft  được gọi là hàm gốc

fS  được gọi là hàm ảnh; ảnh s là biến phức: S  X  i
Nhờ biến đổi tích phân Laplace ta có thể chuyển phương trình vi phân hàm phức về
phương trình đại số của ảnh. Sau khi giải phương trình đại số có nghiệm, ta biến đổi lại để tìm

Page 16/ 60


nghiệm của phương trình vi phân. Phép tốn ngược với biến đổi Laplace gọi là biến đổi tích phân
Laplace ngược.

 

l 1 f S  f t 

CT: 1-65

Ta có các biến đổi tích phân Laplace thường dùng sau:

f (t )

f (S )

1

1
S

tn

n

S n 1

e  αt

1
Sα

sin t

ω
S  ω2
2

cos t

S
S  ω2
2

e αt sin t

ω
S  α 2  ω 2

e αt cos t

Sα
S  α 2  ω 2

t n e  αt

n
S  α n 1

Và biến Laplace có các tính chất sau :
 Định nghĩa phép biến đổi 


f S   e st f t dt
O



Tính chất tuyến tính

l{f(t)  g(t)} = αf s   βgs 


Biến đổi các vi phân

dnf 
l  n   S n f s   S n 1f 0  ...  f 0n1
 df 


Định lý nâng thứ nhất:





l e -at f(t)  f S  a 


Định lý nâng thứ hai

l f (t  a)u(t  a)  e -as f S
Hàm u hàm bước đơn vị
u (t  t o )  0 (t  t o )

1 (t  t o )
Page 17/ 60


Biến đổi ngược

f (t )  l

1

X  iα

 

1
f S 
f Se St dS để tìm lại gốc.

2π i X iα

Áp dụng tích phân Laplace cho phương trình dao động

  2 ω X
  ω2 X  Qt 
X
n
n

CT: 1-66

Ta có:

 0  2 ω SXS  X0 ω2 XS  QS
S2 XS  SX 0  X
n
n



CT: 1-67



 0
XS S 2  2 ωn S  ω2n  QSS  2 ωn X0  X

XS 

 0
QS  S  2 ω n X0  X

2
2
S  2 ω n S  ω n

Biến đổi ngược với   1 dẫn đến

 0 1 
 S  2 ω n X0  X

QS
X (t )  l 1 { X ( S )}  l 1 
l  2
2
2
2 
 S  2 ω n S  ω n 
 S  2 ω n S  ω n 

CT: 1-68

Xét:

A

S  2 ωn X0  X 0
S2  2 ω n S  ω 2n

Vì: S2  2 ω n S  ω 2n  S  2 ω n   ω d2
2

Với ωd  ω n 1   2

S  2 ωn X0  X 0  S   ωn X0   ωn X0  X 0

Nên:
A

ωd
S   ω n    ω n X0  X 0 .
ωd
S  ω n 2  ωd2
S   ω n 2  ωd2

Đối chiếu với bảng biến đổi ta có

l -1{A}  X0e ωn t cosω d t 

 0
ω n X0  X
ωd

e ωn t sinω d t

Vập nghiệm là
Xt   e

ωn t 

X0cosω d t 


 0
ω n X0  X
ωd




QS
2 
 S  2 ω n S  ω n 


sinω d t   l  1 

Page 18/ 60



2

CT: 1-69


CÂU HỎI ƠN TẬP CHƯƠNG 1
Câu 1
Mơ hình và các dạng phương trình dao động tự do khơng cản của hệ tuyến tính một bậc
tự do và dạng nghiệm sẽ tìm?
Câu 2
Tính độ cứng tương đương của hệ m lị xo mắc song song và nối tiếp?

Câu 3
Mơ hình và các dạng phương trình dao động tự do có cản của hệ tuyến tính một bậc tự do
và dạng nghiệm sẽ tìm?
Câu 4
Mơ hình và các dạng phương trình dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do?
Câu 5
Đặc điểm chung nghiệm 3 thành phần của phương trình dao động cưỡng bức của hệ
tuyến tính một bậc tự do?

Page 19/ 60


Chương 2.

DAO ĐỘNG CỦA HỆ TUYẾN TÍNH HỮU HẠN BẬC TỰ DO

Giả sử X1 , X 2 ,...X n là một bộ các tọa độ tổng quát suy rộng của hệ n bậc tự do. Chuyển
động của hệ được quy định bởi một hệ phương trình vi phân thường với các tọa độ tổng quát là
các biến phụ thuộc vào thời gian là biến độc lâp.
Với hệ dao động hữu hạn bậc tự do thường có 2 cách thành lập phương trình chuyển
động:
 Phương pháp tách vật free body diagram) dùng quy luật bảo toàn (cân bằng) đối với
từng khối lượng của hệ tại một thời điểm bất.
 Phương pháp năng lượng dùng phương trình Lagrange II.
Giả sử:

V(X 1 , X 2 ,...X n ) là thế năng của cơ hệ,
T(X1 , X 2 ,...X n ) là động năng của cơ hệ tại thời điểm nào.
Hàm Lagrange được xác định

L  T V

CT: 2-1

Hàm Lagrange được xem là hàm của 2n biến độc lập với các đạo hàm của các tọa độ tổng quát theo thời
gian, được xem là các biến độc lập đối với các tọa độ này.

Khi đó phương trình Lagrange sẽ là
d  L


dt  X
i

 L
 
 Qi
 X i
i = 1, 2, ....n

CT: 2-2

Qi  Là lực tổng quát (suy rộng) tác dụng lên hệ.
2.1
Dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do khơng có cản
Với hệ tuyến tính n bậc tự do, dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng, thế và động năng có
dạng tồn phương:
V

1 n n

 k i j X i X j
2 i 1 j1

CT: 2-3

T

1 n n
 m i j X i X j
2 i 1 j1

CT: 2-4

Các hệ số kij được gọi là các hệ số cứng, mij là các khối lượng.
Áp dụng phương trình Lagrange CT: 2-2 cho phương trình dao động:

 m
n

j1

ij

  k X   0
X
i
ij i

i = 1, 2, 3,...., n

Đó là hệ phương trình vi phân.
  m X



m11X
1
12 2  .....  m1n X n  k 11X1  k 12X 2  ....  k 1n X n  0

  m X


m 21X
1
22 2  .....  m 2n X n  k 21X1  k 22X 2  ....  k 2n X n  0

...............................








m i1X1  m i2 X 2  .....  m ijX i  k i1X1  k i2 X 2  ....  k ijX i  0


...............................


  m X



m n1X
1
n2 2  .....  m nn X n  k n1X1  k n2X 2  ....  k nn X n  0

Page 20/ 60

CT: 2-5


Các hệ số thỏa mãn điều kiện đối xứng:

mij  m ji ; k ij  k ji

CT: 2-6

Biểu diễn dưới dạng ma trận, phương trình dao động của hệ trên có dạng:
  KX  0
MX

CT: 2-7

Với:
 X1 
 ... 
 
X  col ( X i )   X i 

... 
 
 X n 

CT: 2-8



  colX
   X
 ,X
 ,....X

X
i
1
2
n



T

CT: 2-9

Ma trận M được gọi là ma trận quán tính (khối lượng) của hệ.

 m11
 ...


M  m ij nxn   mi1

 ...
mn1


 

...
...
..
...
...

m1 j
...
mij
...
mnj

... m1n 
... ... 
... min 

... ... 
... mnn 

CT: 2-10

Ma trận K được gọi là ma trận độ cứng của hệ.

 

K  k ij

nxn

 k11
 ...

  k i1

 ...
k n1


... k1 j
... ...
.. k ij
... ...
... k nj

... k1n 
... ... 
... k in 

... ... 
... k nn 

CT: 2-11

1- Ví dụ 2 -1
Lập phương trình dao động của hệ sau

2-1: Mơ

cơ ệ (ví dụ 2-1)

a. Các 1. Dù g p ươ g p áp tác vật

2-2: P â tíc cơ ệ (ví dụ 2-1)

Page 21/ 60


Với khối lượng 1
  k X  k X  X 
m1X
1
1 1
2
2
1
Với khối lượng 2
  k X  X 
m2X
1
2
2
1

Và ta có 
  k  k X  k X  0
m1X

1
1
2
1
2
2

  k X  k X  0

m2X
2
2 1
2
2

Dưới dạng ma trận:
Với:
X 
X 1
X 2 

m
M 1
0

0

m2 

k  k 2  k 2 
K 1
k 2 
  k2
Ta có phương trình dao động dạng ma trận (CT: 2-7):
  KX  0
MX

b. Các 2: Dù g p ươ g tr



Lagrange (2-2):



1
 2 m X
2
m1 X
1
2
2
2
1
2
V  k 1 X 12  k 2 X 2  X 1 
2

1
 2 m X
 2 - k X 2  k X  X 2
L  T  V  m1 X
1
2
2
1 1
2
2
1
2
Q0
T







Ta có:
L

 m1 X
1

X
1

L

 m2X
2

X
2

d  L 

 d  L   m X

  m1 X
1
2
2

 
dt  X1 
dt  X
2 
L
 k 1X1  k 2 X 2  X1 
X1

L
 k 2 X 2  X1 
X 2
Từ đó:
  k X  k X  X   0

m1X

1
1 1
2
2
1

  k X  X   0

m2X
2
2
2
1


Page 22/ 60




2- Ví dụ 2 - 2
Lập phương trình dao động tự do và viết dưới dạng ma trận của hệ sau:

2-3: Mô

a. Các 1: Dù g p ươ g tr
Động năng của hệ :

cơ ệ (ví dụ 2-2)

Lagrange

.
.
.
1
1
1
I1 12  I 2  22  m X 2
2
2
2
Thế năng của hệ :
1
1
V  k1 (r1 2  r11 ) 2  k 2 ( X  r2 2 ) 2
2
2
Ta có hàm Lagrange :

T

.
.
1 .2 1
1
1
1

I1 1  I 2  22  m X 2  k1r12 ( 2 1 ) 2  k 2 ( X  r2 2 ) 2
2
2
2
2
2
Áp dụng phương trình Lagrange :
d L
L
(
)
0

dt  1  1

L  T V 

Ta có:
L
 I 11




1

d L
(
)  I 11
dt 1

L
 k 1r12 ( 2  1 )
1
 I11  k1r12 ( 2 1 )  0

d L
( . )  I 22
dt  
2

L
  k 1r12 ( 2  1 )  k 2 r2 (X  r2  2 )
 2
 I 22  k1r12 ( 2 1 )  k 2 r2 ( X  r2 2 )  0
d L
( )  mX
dt X

Page 23/ 60


L
  k 2 (X  r2  2 )
X
 mX  k 2 ( X  r2 2 )  0
Ta có :

 I 11  k1 r12 1
 k1 r12 2

0
 
2
2
2
 I 2 2  k1 r1  1  (k1 r1  k 2 r2 ) 2  k 2 r2 X  0
 
 k 2 r2 2
 k2 X  0
mX
Và dạng ma trận :
2
 k1r12
 I 0 0  1   k1r1
1
  .. 
0 I 0      k r 2 k r 2  k r 2
2
11
22

 1  1 1


0
k 2 r2
0 0 I 3  X
  
b. Các 2: Dù g p ươ g p áp tác vật.
Ta có mơ hình như sau:


 1 
 
 k 2 r2   2   0
 
k2  X 

0

2-4: P â tíc cơ ệ (ví dụ 2-2)

Viết cho khối lượng 1:
I   k r 2   
1 1

1 1

2

1



Tương tự với các khối lượng khác:
I 22  k1r12  2  1   k 2 r1  X  r2 2 
  k  X  r  
mX
2
2 2

Ta có các kiết quả như của phương trình Lagrange.
3- Nghiệm chuẩn (normal mode solution)
Được chọn cho phương trình (CT: 2-7) là :
x  Xe iω t

CT: 2-12

Thay vào phương trình (CT: 2-7) ta có:

 ω M  KX  0
2

CT: 2-13

Page 24/ 60