chuyên đề về dấu hiệu chia hết - Giáo viên Việt Nam

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>A. PH N M </b>

<b>Ầ</b>

<b>Ở ĐẦ</b>

<b>U</b>

Cùng v i s phát tri n c a

ớ ự

ể

ủ đấ ướ

t n

c, s nghi p giáo d c c ng không

ự

ệ

ụ

ũ

ng ng

ừ

đổ

i m i. Các nh tr

ớ

à ườ

ng ã ng y c ng chú tr ng h n

đ

à

à

ọ

ơ đế

n ch t l

ấ ượ

ng

giáo d c to n di n bên c nh s

ụ

à

ệ

ạ

ự đầ ư

u t thích áng cho giáo d c m i nh n.

đ

ụ

ũ

ọ

V i vai trò l môn h c công c , b mơn tốn ã góp ph n t o i u ki n cho

ớ

à

ọ

ụ ộ

đ

ầ ạ đ ề

ệ

các em h c t t các b môn khoa h c t nhiên khác.

ọ ố

ộ

ọ ự

D y nh th n o

ạ

ư

ế à để ọ

h c sinh không nh ng n m ch c ki n th c c

ữ

ắ

ắ

ế

ứ

ơ

b n m t cách h th ng m ph i

ả

ộ

ệ ố

à

ả đượ

c nâng cao

để

các em có h ng thú, say

ứ

mê h c t p l m t câu h i m m i th y cô chúng ta luôn

ọ ậ à ộ

ỏ

à ỗ

ầ

đặ

t ra cho mình.

áp ng

c yêu c u c a s nghi p giáo d c v nhu c u h c t p

Để đ

ứ

đượ

ầ

ủ ự

ệ

ụ

à

ầ

ọ ậ

c a h c sinh

ủ

ọ

đặ

c bi t l h c sinh khá, gi i. i u ó òi h i trong gi ng d y

ệ à ọ

ỏ Đ ề đ đ

ỏ

ả

ạ

chúng ta ph i bi t ch t l c ki n th c, ph i i t d

ả

ế

ắ ọ

ế

ứ

ả đ ừ ễ đế

n khó, t c th

ừ ụ ể đế

n

tr u t

ừ ượ

ng v phát tri n th nh t ng quát giúp h c sinh có th phát tri n t t t

à

ể

à

ổ

ọ

ể

ể ố ư

duy toán h c.

ọ

V i

ớ đố ượ

i t

ng h c sinh khá gi i, các em có t duy nh y bén, có nhu

ọ

ỏ

ư

ạ

c u hi u bi t ng y c ng cao, l m th n o

ầ

ể

ế

à

à

à

ế à để

các em h c sinh n y phát huy

ọ

à

h t kh n ng c a mình, ó l trách nhi m c a các giáo viên chúng ta. “phép

ế

ả ă

ủ

đ à

ệ

ủ

chia h t” l

ế

à đề à

t i lí thú, phong phú v a d ng c a s h c THCS v không

à đ

ạ

ủ ố ọ

à

th thi u khi b i d

ể

ế

ồ ưỡ

ng h c sinh khá gi i mơn tốn THCS.

ọ

ỏ

Trong khn kh

ổ đề à à

t i n y, tôi trình b y “m t s ph

à

ộ ố

ươ

ng pháp ch ng

ứ

minh chia h t”, c th l : s d ng d u hi u chia h t, s d ng tính ch t chia

ế

ụ ể à ử ụ

ấ

ệ

ế

ử ụ

ấ

h t, xét t p h p s d trong phép chia, s d ng ph

ế

ậ

ợ ố ư

ử ụ

ươ

ng pháp phân tích th nh

à

nhân t .

ử

<b>B. NỘI DUNG</b>
<b>I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN</b>

<b> Chúng ta đang dạy học theo sự đổi mới là dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ năng , </b>
vì thế những gì gọi là chuẩn – là cơ bản nhất cần phải nắm vững. Rèn kỹ năng giải
toán chia hết cũng là chuẩn mà học sinh cần phải nắm. Hệ thống bài tập thể hiện dạng
toán chia hết có vai trị quan trọng là nó giúp cho học sinh phát triển khả năng tư duy,
khả năng vân dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải tốn, trình bày lời giải chính
xác và logic. Đó cũng là những kỹ năng cần thiết của học sinh khi cịn ngồi trên ghế
<b>nhà trường. Có như thế mới phù hợp với sự cải tiến dạy học là phát huy hết tính </b>

<b>tích cực, tư duy sáng tạo của học sinh trong trường học.</b>
<b>II/ CƠ SỞ THỰC TIỂN </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Là một giáo viên dạy tốn tơi mong các em chinh phục được nó và khơng chút
ngần ngại khi gặp dạng tốn này. Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc
phán đốn, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tơi đưa ra từ dễ đến khó, bên
cạnh đó cịn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi được lồng vào các tiết
luyện tập. Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh
tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học tập
hơn rất nhiều.

<b>III/ NỘI DUNG VẤN ĐỀ</b>

Hệ thống hóa lý thuyết chia hết và bài tập vận dụng tương ứng, từ dạng cơ bản
nhất đến tương đối và khó hơn. Trong q trình giải nhiều dạng bài tập là đã hình
thành khắc sâu cho các em kỹ năng giải các dạng toán chia hết.Giáo viên nêu ra các
dấu hiệu chia hết hay là các phương pháp chứng minh chia hết trong SGK ,ngoài ra bổ
sung thêm một số phương pháp cần thiết nhất để vận dụng vào nhiều dạng bài tập

khác nhau.

<i><b>TÓM TẮT </b></i>

<i><b>LÝ THUY T</b></i>

<i><b>Ế</b></i>

<b>1. </b>

<b>ĐỊ</b>

<b>NH NGH A PHÉP CHIA</b>

<b>Ĩ</b>

Cho 2 s nguyên a v b trong ó b

ố

à

đ

 0 ta ln tìm

đượ

c hai s nguyên q v r

ố

à

duy nh t sao cho:

ấ

a = bq + r V i 0

ớ

 r <  b

<i> Trong ó</i>

<i>đ : a l s b chia, b l s chia, q l th</i>

à ố ị

à ố

à ươ

ng, r l s d .

à ố ư

Khi a chia cho b có th x y ra

ể ẩ

 b s d

ố ư

r  {0; 1; 2;

…  b-1}

;

c bi t: r = 0 thì a = bq, khi ó ta nói a chia h t cho b hay b chia h t a.

Đặ

ệ

đ

ế

ế

Ký hi u: a

ệ

b hay b\ a

V y:

ậ a  b  Có s nguyên q sao cho a =

ố

bq

<b>2. C C T NH CH T</b>

<b>Á</b>

<b>Í</b>

<b>Ấ</b>

1. V i

ớ  a  0  a  a

2. N u a

ế

 b v b

à  c  a  c

3. V i

ớ  a  0  0  a

4. N u a, b > 0 v a

ế

à  b ; b  a  a = b

5. N u a

ế

 b v c b t k

à

ấ ỳ  ac  b

6. N u a

ế

 b  (a)  (b)

7. V i

ớ  a  a  (1)

8. N u a

ế

 b v c

à  b  a  c  b

9. N u a + b

ế

 c v a

à  c  b  c

10. N u a

ế

 b v n > 0

à

 a

n

 b

n

11. N u ac

ế

 b v (a, b) =1

à

 c

 b

12. N u a

ế

 b, c  b v m, n b t k am + cn

à

ấ ỳ

 b

13. N u a

ế

 b v c

à  d  ac  bd

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>3. M T S D U HI U CHIA H T</b>

<b>Ộ</b>

<b>Ố Ấ</b>

<b>Ệ</b>

<b>Ế</b>



G i N =

ọ

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4></div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>



</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6></div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>



</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8></div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

2 78

<i>x</i>

+ N

 4 (ho c 25)

ặ

 4 (ho c 25)

ặ

<i>dcba</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

20006

10

 

8 72

+ N

 3 (ho c 9)

ặ

 3 (ho c 9)

ặ

<b>3.3. M t s d u hi u khác</b>

<b>ộ ố ấ</b>

<b>ệ</b>

3

10

<i>n</i>



2



9

+ N

 11   11

4

1

2

<i>n </i>



3 5



+ N

 101  101

4

7

<i>n</i>



1 5



+ N

 7 (ho c 13)

ặ



11 (ho c 13)

ặ

37

<i>abc</i>

+ N

 37  37

37

<i>bca</i>

+ N

 19 19

<b>4. </b>

<b>ĐỒ</b>

<b>NG D TH C</b>

<b>Ư</b>

<b>Ứ</b>

<b>4.1. </b>

<b>Đị</b>

<b>nh ngh a</b>

<b>ĩ : Cho m l s nguyên d</b>

à ố

ươ

ng. N u hai s nguyên a v b cho

ế

ố

à

cùng s d khi chia cho m thì ta nói a

ố ư

đồ

ng d v i b theo modun m.

ư ớ

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

V y: a

ậ

 b (modun)  a - b

 m

<b>4.2. Các tính ch t</b>

<b>ấ</b>

1. V i

ớ  a  a  a (modun)

2. N u a

ế

 b (modun)  b  a (modun)

3. N u a

ế

 b (modun), b  c (modun)  a  c (modun)

4. N u a

ế

 b (modun) v c

à  d (modun)  a+c  b+d (modun)

5. N u a

ế

 b (modun) v c

à  d (modun)  ac  bd (modun)

6. N u a

ế

 b (modun), d  Uc(a, b) v (d, m) =1

à

37

<i>cab</i>

_{ (modun)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

2 78

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13></div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

 (modun )

<b>5. M T S </b>

<b>Ộ</b>

<b>Ố ĐỊ</b>

<b>NH LÝ</b>

<b>5.1. </b>

<b>Đị</b>

<b>nh lý Euler</b>

N u m l 1 s nguyên d

ế

à

ố

ươ

ng



(m)

l s các s nguyên d

à ố

ố

ươ

ng nh h n

ỏ ơ

m v nguyên t cùng nhau v i m, (a, m) = 1

à

ố

ớ

Thì a

(m)

_{ 1 (modun)}

Cơng th c tính

ứ



(m)

Phân tích m ra th a s nguyên t

ừ ố

ố

m = p

11

p

22

…

p

kk

v i p

ớ

i

 p; 

i

 N

*

<i>dcbadcba ab</i>

_{Thì }

_(m)

_{= m(1 - )(1 - )}

_…

_{(1 - )}

<b>5.2. </b>

<b>Đị</b>

<b>nh lý Fermat</b>

N u

ế p l s nguyên t v a khơng chia h t cho p thì a

à ố

ố à

ế

p-1

<i>_{ 1 (modp)}</i>

<b>5.3. </b>

<b>Đị</b>

<b>nh lý Wilson</b>

N u p l s nguyên t thì

ế

à ố

ố

<i>( p - 1)! + 1  0 (modp)</i>

<i><b>C C PH</b></i>

<i><b>Á</b></i>

<i><b>ƯƠ</b></i>

<i><b>NG PH P GI I B I TO N CHIA H T</b></i>

<i><b>Á</b></i>

<i><b>Ả</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>Á</b></i>

<i><b>Ế</b></i>

<b>1. Ph</b>

<b>ươ</b>

<b>ng pháp 1: S D NG D U HI U CHIA H T</b>

<b>Ử Ụ</b>

<b>Ấ</b>

<b>Ệ</b>

<b>Ế</b>

<i>ab</i>

<i><b>Ví d 1</b></i>

<i><b>ụ : Tìm các ch s a, b sao cho </b></i>

ữ ố

 45

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<i>ab</i>

1980

<i>A</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

để  45   5 v 9

à

37

<i>abc</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

37

<i>bca</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

37

<i>cab</i>

N u b = 5 ta có s

ế

ố  9  a + 5 + 6 + 5  9

 a + 16

 9

 a = 2

V y: a = 7 v b = 0 ta có s 7560

ậ

à

ố

a = 2 v b = 5 ta có s 256

à

ố

5

<i><b>Ví d 2</b></i>

<i><b>ụ : Bi t t ng các ch s c a 1 s l không </b></i>

ế ổ

ữ ố ủ

ố à

đổ

i khi nhân s ó v i 5.

ố đ

ớ

Ch ng minh r

ứ

ằng s ó chia h t cho 9.

ố đ

ế

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

G i s ã cho l a

ọ ố đ

à

Ta có: a v 5a khi chia cho 9 cùng có 1 s d

à

ố ư

 5a - a

 9  4a  9 m (4 ; 9) = 1

à

 a

<i> 9 ( pcm)</i>

<i>Đ</i>

37

<i>abc</i>

<i><b>Ví d 3</b></i>

<i><b>ụ : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ s

ố  81

<i><b>Giải</b></i>

Ta thấy: 111111111  9



_{Có = 111111111(10}72_{+ 10}63_{+ … + 10}9_{+ 1)}

Mà tổng 1072_{+ 10}63_{+ … + 10}9

+ 1 có tổng các chữ số bằng 9  9
 1072_{+ 10}63_{+ … + 10}9

+ 1  9



_{Vậy:  81 (Đpcm)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<i><b>Giải</b></i>

19 ab 19 ab Vì chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và chia hết cho 8 nên suy ra b=0
<i>19 a 0</i> <i>19 a 0</i> <i>a 0</i> <i>19 a 0</i> <i>9 a 0</i> Mặt khác , chia hết cho 8 nên chia hết cho 4

khi chia hết cho 4 suy ra a {0;2;4;6;8}. Ta có chia hết cho 8 khi chia hết cho 8 nên
a=2 hoặc a=6. Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 nên số cần tìm là 1920 và 1960

aaaaa 96

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 5</b></i>

<i><b> :</b></i>

<b> Chữ số a là bao nhiêu để chia hết cho cả 3 v 8</b>

<i><b>Gii</b></i>

éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ

#####################################ỵ########

éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ

#####################################ỵ########

aaaaa 96 <i>_a96</i>  Vỡ 8 8 100a + 96 8 suy ra 100a8

éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ

#####################################ỵ########

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ

#####################################ỵ########

éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ

#####################################ỵ########

aaaaa 96    Vì 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3 5a + 15 3

éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ

#####################################ỵ########

M 153 5a3

M (5, 3) = 1

éẽ#Ă#ỏ################;###ỵ

#####################################ỵ########

Suy ra a 3 a  3, 6 ,9} (2).
Từ (1) và (2 ) suy ra a = 6

KL: Vậy số phải tìm là 6666696.

1 aaa1 _⋮

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 6</b></i>

<i><b> :</b></i>

<b> Tìm chữ số a để 11</b>

<i><b>Giải</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>



1 aaa1 ⋮

⋮ 112a – (a + 2)11



⋮

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>



a
-2=0



a = 2
.Vậy a=2

<i><b>B I T P T</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>Ậ</b></i>

<i><b>ƯƠ</b></i>

<i><b>NG T</b></i>

<i><b>Ự</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

34 5

<i>x y</i>

a.

 4 v 9

à

2 78

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<i>dcba</i>

<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : Cho s N = </b></i>

ố

Ch ng minh r ng:

ứ

ằ

a. N

 4  (a + 2b)  4

b. N

 16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 v i b ch n

ớ

ẵ

c. N

 29  (d + 3c + 9b + 27a)  29

<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : Tìm t t c các s có 2 ch s sao cho m i s g p 2 l n tích các ch</b></i>

ấ ả

ố

ữ ố

ỗ ố ấ

ầ

ữ

s c a s ó.

ố ủ ố đ

<i><b>B i 4</b></i>

<i><b>à : Vi t liên ti p t t c các s có 2 ch s t 19 </b></i>

ế

ế ấ ả

ố

ữ ố ừ

đế

n 80 ta

đượ ố

c s

A = 192021

…

7980. H i s A có chia h t cho 1980 khơng ? Vì sao?

ỏ ố

ế

<i><b>B i 5</b></i>

<i><b>à : T ng c a 46 s t nhiên liên ti p có chia h t cho 46 khơng? Vì sao?</b></i>

ổ

ủ

ố ự

ế

ế

20006

10  8 7210<i>n</i>2 93

<i><b>_{B i}</b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b>₆</b></i>

<i><b>_{: Ch ng minh r ng}</b></i>

ứ

ằ : a) b)

4 1

2 <i>n</i> 3 5

  74<i>n</i> 1 5

_{c) d)}

37

<i>abc</i>

<i>bca</i>

37

<i>cab</i>

37

<i><b>_{B i}</b></i>

<i><b>_à</b></i>

<i><b>₇</b></i>

<i><b></b></i>

_{: Chứng minh rằng nếu thì và}

<i><b> H</b></i>

<i><b>ƯỚ</b></i>

<i><b>NG D N - </b></i>

<i><b>Ẫ</b></i>

<i><b>ĐÁ</b></i>

<i><b>P S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

2 78

<i>x</i>

b. = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)

17  x = 2

Ta có s 2278

ố

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<i>ba</i>

_a.

N

4 4  10b + a 4  8b + (2b + a)  4

 a + 2b

 4

b. N

16  1000d + 100c + 10b + a16

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<i>dcba</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<i>dcba</i>

29

 (d + 3c + 9b + 27a)

29

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<i>ab</i>

_Gọ

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<i>ab</i>

_The

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<i>ab</i>

2  b {0; 2; 4; 6; 8}

Thay v o (1) a = 3; b = 6

à

<i><b>B i 4</b></i>

<i><b>à : </b></i>

Có 1980 = 2

2

_.3

2

_.5.11

Vì 2 ch s t n cùng c a a l 80

ữ ố ậ

ủ

à

 4 v 5

à

 A

 4 v 5

à

T ng các s h ng l 1+(2+3+

ổ

ố à

ẻ

…

+7).10+8 = 279

T ng các s h ng ch n 9+(0+1+

ổ

ố à

ẵ

…

+9).6+0 = 279

Có 279 + 279 = 558

 9  A  9

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

1980

<i>A</i>





<i><b>B i 5</b></i>

<i><b>à : </b></i>

T ng 2 s t nhiên liên ti p l 1 s l nên không chia h t cho 2.

ổ

ố ự

ế à

ố ẻ

ế

Có 46 s t nhiên liên ti p

ố ự

ế  có 23 c p s m i c p có t ng l 1 s l

ặ ố ỗ ặ

ổ

à

ố ẻ  t ng

ổ

23 c p không chia h t cho 2. V y t ng c a 46 s t nhiên liên ti p không chia

ặ

ế

ậ ổ

ủ

ố ự

ế

h t cho 46.

ế

37

<i>abc</i>

<i>bca</i>

37

<i>cab</i>

37

<i><b>_{B i}</b></i>

<i><b>_à</b></i>

<i><b>₇</b></i>

<i><b></b></i>

_{: Chứng minh rằng nếu thì và}

Bài làm :

37

<i>abc</i>





+ Ta có : 100 a + 10 b + c 37(1)

<i>abc</i>

_{+ Ta có : = 100 a + 10 b + c}

<i>bca</i>

_{= 100 b + 10 c + a}

<i>cab</i>

_{= 100c + 10 a + b}

………



<i>abc bca cab</i>



_{+ + = 111( a+ b + c) 37 (vì 111 37 ) (2)}

<i>bca</i>

_{+ = 100 b + 10 c + a}

= 10 (100a + 10 b + c) - 999a

100 10

37

37

999 37

<i>a</i>

<i>b c</i>

<i>bca</i>

<i>a</i>



















Do (3)

<i>cab</i>



Từ (1);(2);(3) ta suy ra : 37

<b>2. Ph</b>

<b>ươ</b>

<b>ng pháp 2: S D NG T NH CH T CHIA H T</b>

<b>Ử Ụ</b>

<b>Í</b>

<b>Ấ</b>

<i><b>Ế </b></i>

<i><b>* Chú ý: Trong n s nguyên liên ti p có 1 v ch 1 s chia h t cho n.</b></i>

ố

ế

à

ỉ

ố

ế

C

h ng minh

ứ

:

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

1,

<i>i</i>



<i>n</i>

* N u t n t i 1 s d l 0: gi s m + i = nq

ế ồ ạ

ố ư à

ả ử

i

;

 m + i

 n

* N u không t n t i s d l 0

ế

ồ ạ ố ư à  khơng có s nguyên n o trong dãy chia h t

ố

à

ế

cho n  ph i có ít nh t 2 s d trùng nhau.

ả

ấ

ố ư

m i nq r 1 i; j n

m j nq r

<i>i</i>

<i>j</i>



























Gi s :

ả ử

 i - j = n(q

i

- q

j

)

 n  i - j  n

m

à i - j< n  i - j = 0  i = j

 m + i = m + j

V y trong n s ó có 1 s v ch 1 s ó chia h t cho

ậ

ố đ

ố à

ỉ

ố đ

ế

n.

<i><b>Ví d 1</b></i>

<i><b>ụ : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ :

a. Tích c a 2 s nguyên liên ti p luôn chia h t cho 2

ủ

ố

ế

ế

b. Tích c a 3 s nguyên liên ti p chia h t cho 6.

ủ

ố

ế

ế

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

a. Trong 2 s nguyên liên ti p bao gi c ng có 1 s ch n

ố

ế

ờ ũ

ố

ẵ

 S ch n ó chia h t cho 2.

ố

ẵ đ

ế

V y tích c a 2 s nguyên liên ti p luôn chia h t cho 2.

ậ

ủ

ố

ế

ế

b. Tích 2 s ngun liên ti p ln chia h t cho 2 nên tích c a 3 s nguyên

ố

ế

ế

ủ

ố

liên ti p luôn chia h t cho 2

ế

ế

Trong 3 số nguyên liên ti p bao gi

ế

ờ c ng có 1 s chia h t cho 3.

ũ

ố

ế

 Tích 3 s ó chia h t cho 3 m (

ố đ

ế

à 2; 3) = 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<i><b>Ví d 2</b></i>

<i><b>ụ : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : T ng l p ph

ổ

ậ

ươ

ng c a 3 s nguyên liên ti p luôn

ủ

ố

ế

chia h t cho 9.

ế

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

G i 3 s nguyên liên ti p l n l

ọ

ố

ế ầ ượ à

t l : n - 1 , n , n+1

Ta có: A = (n - 1)

3

_{+ n}

3

_{+ (n + 1)}

3

= 3n

3

_{- 3n + 18n + 9n}

2

_{+ 9}

= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n

2

_{+ 1) + 18n}

Ta th y (n - 1)n (n + 1)

ấ

<i> 3 (Ch ng minh </i>

<i>ứ</i>

<i> Ví d 1)</i>

<i>ụ</i>

 3(n - 1)n (n + 1)

 9



 
9
18
9
)
1
(
9 2


<i>n</i>
<i>n</i>

m

à

 A

<i> 9 ( PCM)</i>

<i>Đ</i>

<i><b>Ví d 3</b></i>

<i><b>ụ : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : n

4

_{- 4n}

3

_{- 4n}

2

_+16n

 384 v i

ớ  n ch n, n

ẵ

_4

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

Vì n ch n, n

ẵ

4 ta

đặ

t n = 2k, k

2

Ta có n

4

_{- 4n}

3

_{- 4n}

2

_{+ 16n = 16k}

4

_{- 32k}

3

_{- 16k}

2

_{+ 32k}

= 16k(k

3

_{- 2k}

2

_{- k + 2)}

= 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)

V i k

ớ

 2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k l 4 s t nhiên liên ti p nên trong 4 s ó

à

ố ự

ế

ố đ

có 1 s chia h t cho 2 v 1 s chia h t cho 4.

ố

ế

à

ố

ế

 (k - 2)(k - 1)(k + 1)k

 8

M (k - 2) (k - 1)k

à

 3 ; (3,8)=1

 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k

 24

 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k

 16.24

V y n

ậ

4

_{- 4n}

3

_{- 4n}

2

_+16n

 384 v i

ớ  n ch n, n

ẵ

_{ 4}

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 4</b></i>

<i><b> : </b></i>

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
a. A= 3n+2_{– 2}n+2 _{+ 3}n_{– 2}n _{chia hết cho 10}

b. B = 10 n_{– 18 n – 1 chia hết cho 27}

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

a. A= 3n+2_{– 2}n+2 _{+ 3}n_{– 2}n

= 3n₍₃2_{+ 1) – 2}n₍₂2₊₁₎

= 10 . 3n_{– 5 .2}n

 _{= 10 . (3}n_–2n-1_{) 10}

Vậy A chia hết cho 10.
b. B = 10 n_{+ 18 n – 1}

= 10n_{– 1 – 9n +27n}



99...9 9

27

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>







</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

a) n5 _{- n chia hết cho 30 với n  N ;}

b) n4 _-10n2 _{+ 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n Z}

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

a)



n5 _{- n = n(n}4_{- 1) = n(n - 1)(n + 1)(n}2_{+ 1) = (n - 1).n.(n +}

1)(n2_{+ 1) 6}

Vì (n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khác n5_{- n = n(n}2_{- 1)(n}2_{+ 1) = n(n}2_{- 1).(n}2_{- 4 + 5)}

= n(n2_{- 1).(n}2_{- 4 ) + 5n(n}2_{- 1)}

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2_{- 1)}

Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5

5n(n2_{- 1) chia hết cho 5}

Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2_{- 1) chia hết cho 5 (**)}

Từ (*) và (**) suy ra đpcm

b) Đặt A = n4 _-10n2 _{+ 9 = (n}4_-n2 _{) - (9n}2_{- 9)}

= (n2_{- 1)(n}2_{- 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)}

_{Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) thì}

A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2,
3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384

<i><b>B I T P T</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>Ậ</b></i>

<i><b>ƯƠ</b></i>

<i><b>NG T</b></i>

<i><b>Ự</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ :

a. n(n + 1) (2n + 1)

 6

b. n

5

_{- 5n}

3

_{+ 4n}

 120 V i

ớ  n  N

<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : n

4

_{+ 6n}

3

_{+ 11n}

2

_{+ 6n}

 24 V i

ớ  n  Z

<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : V i

ớ  n l thì

ẻ

a. n

2

_{+ 4n + 3}

 8

b. n

3

_{+ 3n}

2

_{- n - 3}

 48

c. n

12

_{- n}

8

_{- n}

4

_{+ 1}

 512

(5

<i>n</i>



7)(4

<i>n</i>



6) 2



 

<i>n N</i>

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 4</b></i>

<i><b> : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : a)

(8<i>n</i>1)(6<i>n</i>5)

<i>n N</i>

 

b) không chia hết cho 2

2006

2005

(

<i>n</i>



2005

)(

<i>n</i>



2006

) 2



 

<i>n N</i>

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 5</b></i>

<i><b> : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ :

<i><b>H</b></i>

<i><b>ƯỚ</b></i>

<i><b>NG D N - </b></i>

<i><b>Ẫ</b></i>

<i><b>ĐÁ</b></i>

<i><b>P S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : </b></i>

a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n - 1) + (n + 2)]

= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2)

 6

b. n

5

_{- 5n}

3

_{+ 4n = (n}

4

_{- 5n}

2

_{+ 4)n}

= n(n

2

_{- 1) (n}

2

_{- 4)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : </b></i>

n

4

_{+ 6n}

3

_{+ 6n + 11n}

2

= n(n

3

_{+ 6n}

2

_{+ 6 + 11n)}

= n(n + 1) (n + 2) (n + 3)

 24

<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : </b></i>

a. n

2

_{+ 4n + 3 = (n + 1) (n + 3)}

 8

b. n

3

_{+ 3n}

2

_{- n - 3 = n}

2

_{(n + 3) - (n + 3)}

= (n

2

_{- 1) (n + 3)}

= (n + 1) (n - 1) (n + 3)

= 2k(2k + 4) (2k + 2) (v i n = 2k + 1, k

ớ

 N)

= 8k(k + 1) (k +2)

 48

c. n

12

_{- n}

8

_{- n}

4

_{+ 1 = n}

8

_(n

4

_{- 1) - (n}

4

_{- 1)}

= (n

4

_{- 1) (n}

8

_{- 1)}

= (n

4

_{- 1)}

2

_(n

4

_{+ 1)}

= (n

2

_{- 1)}

2

_(n

2

_{+ 1)}

2

_(n

4

_{+ 1)}

= 16k

2

_{(k + 1)}

2

_(n

2

_{+ 1)}

2

_(n

4

_{+ 1) v i n = 2k + 1}

ớ

Mà n

2

_{+ 1 v n}

à

4

_{+ 1 l nh ng s ch n}

à

ữ

ố

ẵ  (n

2

_{+ 1)}

2

 2

2

_v

à n

4

_{+ 1}

 2

 n

12

_{- n}

8

_{- n}

4

_{+ 1}

 (2

4

_.2

2

_{. 2}

2

_.2

1

₎

V y n

ậ

12

_{- n}

8

_{- n}

4

_{+ 1}

 512

<b>3. Ph</b>

<b>ươ</b>

<b>ng pháp 3: XÉT T P H P S D TRONG PHÉP CHIA</b>

<b>Ậ</b>

<b>Ợ</b>

<b>Ố Ư</b>

<i><b>Ví d 1</b></i>

<i><b>ụ : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : V i

ớ  n  N

Thì A

(n)

= n(2n + 7) (7n + 1) chia h t cho 6

ế

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

Ta th y 1 trong 2 th a s n v 7n +

ấ

ừ ố

à

1 l s ch n. V i

à ố

ẵ

ớ  n  N  A

(n)

 2

Ta ch ng minh A

ứ

(n)

 3

L y n chia cho 3 ta

ấ

đượ

c n = 3k +

r (k  N)

V i r

ớ  {0; 1; 2}

V i r = 0

ớ

 n = 3k  n

 3  A

(n)

 3

V i r = 1

ớ

 n = 3k + 1  2n + 7 = 6k + 9

 3  A

(n)

 3

V i r = 2

ớ

 n = 3k + 2  7n + 1 = 21k + 15

 3  A

(n)

 3

 A

(n)

 3 v i

ớ  n m (2, 3) = 1

à

V y A

ậ

(n)

 6 v i

ớ  n  N

<i><b>Ví d 2</b></i>

<i><b>ụ : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : N u n

ế

không chia h t cho

ế

3 thì

A

(n)

= 3

2n

+ 3

n

+ 1

 13 V i

ớ  n  N

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

Vì n khơng chia h t cho

ế

3  n = 3k + r (k  N); r  {1; 2}

 A

(n)

= 3

2(3k + r)

+ 3

3k+r

+ 1

= 3

2r

₍₃

6k

_{- 1) + 3}

r

₍₃

3k

_{- 1) + 3}

2r

_{+ 3}

r

_{+ 1}

ta th y 3

ấ

6k

_{- 1 = (3}

3

₎

2k

_{- 1 = (3}

3

_{- 1)M = 26M}

 13

3

3k

_{- 1 = (3}

3

_{- 1)N = 26N}

 13

v i r = 1

ớ

 3

2r

_{+ 3}

r

_{+ 1 = 3}

2

_{+ 3 +1 = 13}

 13

 3

2r

_{+ 3}

r

_{+ 1}

 13

v i r = 2

ớ

 3

2r

_{+ 3}

r

_{+ 1 = 3}

4

_{+ 3}

2

_{+ 1 = 91}

 13

 3

2r

_{+ 3}

r

_{+ 1}

 13

V y v i n

ậ

ớ

không chia h t cho

ế

3 thì A

(n)

= 3

2n

+ 3

n

+ 1

 13 V i

ớ  n  N

<i><b>Ví d 3</b></i>

<i><b>ụ : Tìm t t c các s t nhiên n </b></i>

ấ ả

ố ự

để

2

n

_{- 1}

 7

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

2

n

_{- 1 = 2}

3k

_{- 1 = 8}

k

_{- 1 = (8 - 1)M = 7M}

 7

v i r =1

ớ

 n = 3k + 1 ta có:

2

n

_{- 1 = 2}

8k +1

_{- 1 = 2.2}

3k

_{- 1 = 2(2}

3k

_{- 1) + 1}

m 2

à

3k

_{- 1}

 7  2

n

_{- 1 chia cho 7 d 1}

ư

v i r = 2

ớ

 n = 3k + 2 ta có :

2

n

_{- 1 = 2}

3k + 2

_{- 1 = 4(2}

3k

_{- 1) + 3}

m 2

à

3k

_{- 1}

 7  2

n

_{- 1 chia cho 7 d 3}

ư

V y 2

ậ

3k

_{- 1}

 7  n = 3k (k  N)



<i><b>_{Ví d}</b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b>₄</b></i>

<i><b>_:</b></i>

_{Tìm n N để:}

a) 3n_{– 1 chia hết cho 8}

b) A = 32n + 3_{+ 2}4n + 1_{chia hết cho 25}

c) 5n_{– 2}n_{chia hết cho 9}

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

_{a) Khi n = 2k (k N) thì 3}n_{– 1 = 3}2k_{– 1 = 9}k_{– 1 chia hết cho 9 – 1 = 8}

_{Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3}n_{– 1 = 3}2k + 1 _{– 1 = 3. (9}k_{– 1 ) + 2 = 3.8M + 2}

_{Vậy : 3}n_{– 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N)}

b) A = 32n + 3_{+ 2}4n + 1_{= 27 . 3}2n_{+ 2.2}4n

= (25 + 2) 32n_{+ 2.2}4n_{= 25. 3}2n_{+ 2.3}2n _{+ 2.2}4n

= 25. 32n_{+ 2(9}n_{+ 16}n₎

_{Nếu n = 2k +1(k N) thì 9}n_{+ 16}n_{= 9}2k + 1_{+ 16}2k + 1_{chia hết cho 9 + 16 = 25}

_{Nếu n = 2k (k N) thì 9}n_{có chữ số tận cùng bằng 1 , cịn 16}n_{có chữ số tận cùng bằng}

6

suy ra 2(9n_{+ 16}n_{) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không}

chia hết cho 25

_{Vậy :A = 3}2n + 3_{+ 2}4n + 1_{chia hết cho 25 khi n = 2k +1(k N)}

_{c) Nếu n = 3k (k N) thì 5}n_{– 2}n_{= 5}3k_{– 2}3k_{chia hết cho 5}3_{– 2}3_{= 117 nên chia hết}

cho 9

Nếu n = 3k + 1 thì 5n_{– 2}n_{= 5.5}3k_{– 2.2}3k

= 5(53k_{– 2}3k_{) + 3. 2}3k_{= 5. 9M + 3. 8}k

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

9



=5. 9M+9.N + 3(-1)k

Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n_{– 2}n_{khơng chia hết cho 9}

_{Vậy : 5}n_{– 2}n_{chia hết cho 9 khi n = 3k (k N)}

<b> Bài 61 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : </b>

a. 9n_{+ 1 khơng chia hết cho 100}

b. n2 _{+ n + 2 không chia hết cho 15}

Bài làm :

a.











ta có : 9n_{+ 1 2(mod 4) 9}n_{+ 1 4 9}n_{+ 1 100}

b.Ta chứng minh n2 _{+ n + 2 không chia hết cho 3 với mọi n}

Cách 1 :





Với n = 3k thì n2 + n + 2 = 9k2 +3k +2 3





Với n = 3k + 1 thì n2 + n + 2 = (3k + 1)2 + 3k + 1 + 2 1(mod 3)




Với n = 3k + 2 thì n2 + n + 2 = (3k + 2)2 + 3k + 2 + 2 2(mod 3)

Vậy n2 _{+ n + 2 không chia hết cho 3 với mọi n hay n}2 _{+ n + 2 không chia hết cho 15}

với mọi số tự nhiên n .

Cách 2 : ta có : n2 _{+ n + 2 = (n}2_{– 1 )+n + 3 = (n – 1 )(n+ 1)+n+3}





Nếu n 3 thì (n – 1 )(n+ 1) 3 do đó n2 + n + 2 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>





_n2 _{+ n + 2 3}



_{Vậy n}2 _{+ n + 2 3 với mọi số tự nhiên n hay n}2 _{+ n + 2 không chia hết cho 15 với}

mọi số tự nhiên n .

<b>Bài 62 : Chứng minh rằng : </b>



a. n2_{+ n + 1 không chia hết cho 9 với mọi n N}



b. n2_{+ 11n + 39 không chia hết cho 49 với mọi n N}

Bài làm :
a. Cách 1 :









Nếu n 3 thì n2 + n + 1 1(mod 3) n2 + n + 1 9

 Nếu n = 3k + 1 thì n2 + n +1=(3k + 1)2 + 3k + 1 + 1



_{= 9(k}2_{+k) +3 9}





Nếu n = 3k + 2 thì n2 + n + 2 = (3k + 2)2 +3k + 2 + 11(mod 3), suy

ra n2_{+ n + 1 9}



Vậy n2_{+ n + 1 9 với mọi n N}

Cách 2 :



_{Giả sử n}2_{+ n + 19 , khi đó n}2_{+ n + 13.Ta có :}





_

_n2_{+ n + 1= (n + 2 )(n – 1 ) + 3 3 (n + 2 )(n – 1 ) 3}



Vì 3 là số nguyên tố nên n + 2 3 hoặc n – 1 3,



nhưng hiệu (n + 2) - (n – 1 ) = 33 nên n + 2 và n – 1 đồng thời chia hết cho 3.







Khi đó (n+ 2)(n – 1 ) 9 mà (n + 2 )(n – 1 ) + 3 9 3 9(vơ lí )



_

_{Vậy n}2_{+ n + 1 9 với mọi n N}



Cách 3 : Giả sử n2_{+ n + 1 = 9k (k N) ,}

suy ra phương trình n2_{+ n + 1 –9k = 0 có nghiệm nguyên .}

  

ta có : = 1 – 4(1 – 9k ) = 36k – 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho
9 nên khơng là số chính phương (vơ lý )



_

_{Vậy phương trình khơng có nghiệm nguyên hay n}2 _{+ n + 2 9 với mọi n N .}

b.



Giả sử n2_{+11n + 39 49}













n2_{+11n + 39 = (n +9)(n+2) + 21 7 (n +9)(n+2) 7 n + 9 7 và n + 2 7}

( vì n + 9 – ( n + 2) = 7 7 )





(n +9)(n+2) 49







_{Mà theo giả sử n}2_{+11n + 39 = (n +9)(n+2) + 21 49 21 49 (vô lý )}



_

_{Vậy n}2 _{+ n + 2 9 với mọi n N .}

<i> Lưu ý : Các cách khác được tiến hành tương tự như trên</i>

<b>2.Bài tập đề nghị : </b>

Bài 63 : Cho n là một số tự nhiên , chứng minh :

a. n2_{+ 11n +39 không chia hết cho 49}

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

c. n2_{+ 4n + 5 không chia hết cho 8 với mọi n lẻ}

Bài 64 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có :
a.212n+1_{+ 17}2n + 1_{+ 17 không chia hết cho 19}

b. 42n+1_{+ 3}n+2_{– 1 không chia hết cho 13}

<i><b>B I T P T</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>Ậ</b></i>

<i><b>ƯƠ</b></i>

<i><b>NG T</b></i>

<i><b>Ự</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : A

n

= n(n

2

+ 1)(n

2

+ 4)

 30 V i

ớ  n  Z

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 2</b></i>

<i><b> : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : N u (n, 6) =1 thì n

ế

2

_{- 1}

 24 V i

ớ  n  Z

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 3</b></i>

<i><b> : Tìm s t nhiên </b></i>

ố ự

n

để

2

2n

_{+ 2}

n

_{+ 1}

 7

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 4</b></i>

<i><b> : Cho 2 s t nhiên m, n </b></i>

ố ự

để

tho mãn 24m

ả

4

_{+ 1 = n}

2

CMR: mn

 55

<i><b>H</b></i>

<i><b>ƯỚ</b></i>

<i><b>NG D N - </b></i>

<i><b>Ẫ</b></i>

<i><b>ĐÁ</b></i>

<i><b>P S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : + A</b></i>

(n)

 6

+ L y n chia cho 5

ấ

 n = 5q + r , r  {0; 1; 2; 3; 4}

r = 0  n

 5  A

(n)

 5

r = 1, 4  n

2

_{+ 4}

 5  A

(n)

 5

r = 2; 3  n

2

_{+ 1}

 5  A

(n)

 5

 A

(n)

 5  A

(n)

 30

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 2</b></i>

<i><b> : Vì (n, 6) =1  n = 6k + r (k  N)</b></i>

V i r

ớ  {1}

r = 1 n

2

_{- 1}

 24

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 3</b></i>

<i><b> : Xét n = 3k + r (k  N) </b></i>

V i r

ớ  {0; 1; 2}

Ta có: 2

2n

_{+ 2}

n

_{+ 1 = 2}

2r

₍₂

6k

_{- 1) + 2}

r

₍₂

3k

_{- 1) + 2}

2r

_{+ 2}

r

_{+ 1}

L m t

à

ươ

ng t VD3

ự

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 4</b></i>

<i><b> : Có 24m</b></i>

4

_{+ 1 = n}

2

_{= 25m}

4

_{- (m}

4

_{- 1)}

Khi m

 5  mn  5

Khi m khơng chia h t

ế 5 thì (m, 5) = 1  m

4

_{- 1}

 5

<i>(Vì m</i>

<i>5</i>

<i>_{- m}</i>

<i><b>_{ 5  m(m}</b></i>

<i>4</i>

<i>_{- 1)}</i>

<i><b>_{ 5  m}</b></i>

<i>4</i>

<i>_{- 1}</i>

<i><b>_{ 5)}</b></i>

 n

2

 5

V y mn

ậ

 5

<b>4. Ph</b>

<b>ươ</b>

<b>ng pháp 4: S</b>

<b>Ử Ụ</b>

<b> D NG PH</b>

<b>ƯƠ</b>

<b>NG PH P PH N T CH TH NH</b>

<b>Á</b>

<b>Â</b>

<b>Í</b>

<b>À</b>

<b>NH N T</b>

<b>Â</b>

<b>Ử</b>

Gi s ch ng minh a

ả ử

ứ

n

 k

Ta có th phân tích a

ể

n

ch a th a s k ho c phân tích th nh các th a s m

ứ

ừ ố

ặ

à

ừ ố à

các th a s ó chia h t cho các th a s c a k.

ừ ố đ

ế

ừ ố ủ

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 1</b></i>

<i><b> :</b></i>

chứng minh rằng

a) 251_{- 1 chia hết cho 7}_{b) 2}70_{+ 3}70_{chia hết cho 13}

c) 1719_{+ 19}17_{chi hết cho 18 d) 36}63_{- 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết}

cho 37

e) 24n _{-1 chia hết cho 15 với n N}

<i><b>Giải</b></i>

_{a) 2}51_{- 1 = (2}3₎17_{- 1 2}3_{- 1 = 7}

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

c) 1719_{+ 19}17_{= (17}19_{+ 1) + (19}17_{- 1)}

₁₇19_{+ 1 17 + 1 = 18 và 19}17_{- 1 19 - 1 = 18 nên (17}19_{+ 1) + (19}17_{- 1)}

_{hay 17}19_{+ 19}17₁₈

_{d) 36}63_{- 1 36 - 1 = 35 7}

3663_{- 1 = (36}63_{+ 1) - 2 chi cho 37 dư - 2}

_{e) 2}4n _{- 1 = (2}4₎ n_{- 1 2}4_{- 1 = 15}

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 2</b></i>

<i><b> : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : 3

6n

_{- 2}

6n

 35 V i

ớ  n  N

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

Ta có 3

6n

_{- 2}

6n

_{= (3}

6

₎

n

_{- (2}

6

₎

n

_{= (3}

6

_{- 2}

6

_)M

= (3

3

_{+ 2}

3

_{) (3}

3

_{- 2}

3

_)M

= 35.19M

 35

V y 3

ậ

6n

_{- 2}

6n

 35 V i

ớ  n  N

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 3</b></i>

<i><b> : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : V i

ớ  n l s t nhiên ch

à ố ự

ẵn thì bi u th c

ể

ứ

A = 20

n

_{+ 16}

n

_{- 3}

n

_{- 1}

 232

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

Ta th y 232 = 17.19 m (17;19) = 1 ta ch ng minh

ấ

à

ứ

A

 17 v A

à

 19 ta có A = (20

n

_{- 3}

n

_{) + (16}

n

_{- 1) có 20}

n

_{- 3}

n

_{= (20 - 3)M}



17M

16

n

_{- 1 = (16 + 1)M = 17M}

 17 (n ch n)

ẵ

 A

 17 (1)

Ta có: A = (20

n

_{- 1) + (16}

n

_{- 3}

n

₎

có 20

n

_{- 1 = (20 - 1)p = 19p}

 19

có 16

n

_{- 3}

n

_{= (16 + 3)Q = 19Q}

 19 (n ch n)

ẵ

 A

 19 (2)

T (1) v (2)

ừ

à

 A

 232

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 4</b></i>

<i><b> : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : n

n

_{- n}

2

_{+ n - 1}

 (n - 1)

2

_{V i}

ớ  n >1

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

V i n = 2

ớ

 n

n

_{- n}

2

_{+ n - 1 = 1}

v (n - 1)

à

2

_{= (2 - 1)}

2

_{= 1}

 n

n

_{- n}

2

_{+ n - 1}

 (n - 1)

2

v i n > 2

ớ

đặ

t A = n

n

_{- n}

2

_{+ n - 1 ta có A = (n}

n

_{- n}

2

_{) + (n - 1)}

= n

2

_(n

n-2

_{- 1) + (n - 1)}

= n

2

_{(n - 1) (n}

n-3

_{+ n}

n-4

₊

…

_{+ 1) + (n - 1)}

= (n - 1) (n

n-1

_{+ n}

n-2

₊

…

_{+ n}

2

₊₁₎

= (n - 1) [(n

n-1

_{- 1) +}

… +( n

2

_{- 1) + (n - 1)]}

= (n - 1)

2

_M

 (n - 1)

2

V y A

ậ

 (n - 1)

2

<i>_{( PCM)}</i>

<i>Đ</i>

<b>_{Ví dụ 5 : Cho n là số nguyên dương và k là số tự nhiên lẻ .Chứng minh rằng : 1}</b>k _{+ 2}k

+ …+ nk _{1+ 2+ …+ n}

Bài làm :

Đặt : S = 1k _{+ 2}k _{+ …+ n}k



_{2S = 1}k _{+ 2}k _{+ …+ n}k _{+ n}k _{+ (n- 1)}k _{+…+ 1}k
_{= (1}k _{+ n}k _{) + (2}k _{+ (n - 1)}k₎_+…+(nk _{+ 1}k₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

Mặt khác : 2S = ( 1k _{+ (n - 1)}k _{) + (2}k _{+ (n - 2)}k_{) + …+ ((n-1)}k₊₁k_{)+ 2n}k

_{Vì k lẻ nên 1}k_{+(n - 1)}k _{n ; 2}k_{+(n - 2)}k _{n ;…và 2n}k _{n cho nên 2S n (2)}

Mà ( n , n+ 1) = 1 (3)

_{Từ (1); (2); (3) suy ra 2S n(1+ n)}







n 1 n

2



Vì n(n+1) 2 nên S





n 1 n

2



Ta lại có : = 1+2+…+ n

_{Do đó : S 1+2+…+ n}





_{Vậy 1}k _{+ 2}k _{+ …+ n}k _{1+ 2+ …+ n (n Z}*_{, k lẻ )}

<i><b>B I T P T</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>Ậ</b></i>

<i><b>ƯƠ</b></i>

<i><b>NG T</b></i>

<i><b>Ự</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : a. 3

2n +1

_{+ 2}

n +2

 7

b. mn(m

4

_{- n}

4

₎

 30

<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ : A

(n)

= 3

n

+ 63

 72 v i n ch n n

ớ

ẵ

 N, n  2

<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : Cho a v b l 2 s chính ph</b></i>

à

à

ố

ươ

ng l liên ti p

ẻ

ế

Ch ng minh r ng

ứ

ằ : a. (a - 1) (b - 1)  192

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 4</b></i>

<i><b> : Ch ng minh r ng</b></i>

ứ

ằ :

a)

3636 9 4510

3 1 3 2

3<i>n</i> 3<i>n</i> 2<i>n</i> 2<i>n</i> 6 <i>_{n N}</i>

    

_b)

6 5 4

7 7 7 11 

_c)

<i><b>H</b></i>

<i><b>ƯỚ</b></i>

<i><b>NG D N - </b></i>

<i><b>Ẫ</b></i>

<i><b>ĐÁ</b></i>

<i><b>P S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : a. 3</b></i>

2n +1

_{+ 2}

n +2

_{= 3.3}

2n

_{+ 4.2}

n

= 3.9

n

_{+ 4.2}

n

= 3(7 + 2)

n

_{+ 4.2}

n

= 7M + 7.2

n

 7

b. mn(m

4

_{- n}

4

_{) = mn(m}

2

_{- 1)(m}

2

_{+ 1) - mn(n}

2

_{- 1) (n}

2

_{+ 1)}

 30

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 2</b></i>

<i><b> : Có 72 = 9.8 m (8, 9) = 1 v n = 2k (k </b></i>

à

à

 N)

có 3

n

_{+ 63 = 3}

2k

_{+ 63}

= (3

2k

_{- 1) + 64  A}

(n)

 8

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 3</b></i>

<i><b> : </b></i>

Đặ

t a = (2k - 1)

2

_{; b = (2k + 1)}

2

_{(k  N)}

Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k

2

_{(k + 1)(k - 1)}

 64 v 3

à

<b>5. Ph</b>

<b>ươ</b>

<b>ng pháp 5: BI N </b>

<b>Ế ĐỔ</b>

<b>I BI U TH C C N CH NG MINH V </b>

<b>Ể</b>

<b>Ứ</b>

<b>Ầ</b>

<b>Ứ</b>

<b>Ề</b>

<b>D NG</b>

<b>Ạ</b>

<b> T NG</b>

<b>Ổ</b>

Gi s ch ng minh A

ả ử

ứ

(n)

 k ta bi n i A

ế đổ

(n)

v d ng t ng c a nhi u h ng t

ề ạ

ổ

ủ

ề

ạ

ử

v ch ng minh m i h ng t

à

ứ

ọ ạ

ử đề

u chia h t cho k.

ế

<i><b>Ví d 1</b></i>

<i><b>ụ : CMR: n</b></i>

3

_{+ 11n}

 6 v i

ớ  n  Z.

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

Ta có n

3

_{+ 11n = n}

3

_{- n + 12n = n(n}

2

_{- 1) + 12n}

= n(n + 1) (n - 1) + 12n

Vì n, n - 1; n + 1 l 3 s nguyên liên ti p

à

ố

ế

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

V y n

ậ

3

_{+ 11n}

 6

<i><b>Ví d 2</b></i>

<i><b>ụ : Cho a, b  Z tho mãn (16a +17b) (17a +16b) </b></i>

ả

 11

CMR: (16a +17b) (17a +16b)

 121

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

Có 11 s nguyên t m (16a +17b) (17a +16b)

ố

ố à

 11






11
16b
17a
11
17b
16a




 (1)

Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b)

 11 (2)

16a 17b 11

17a 16b 11















T (1) v (2)

ừ

à



V y (16a +17b) (17a +16b)

ậ

 121

<i><b>B I T P T</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>Ậ</b></i>

<i><b>ƯƠ</b></i>

<i><b>NG T</b></i>

<i><b>Ự</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : CMR: 1</b></i>

3

_{+ 3}

3

_{+ 5}

3

_{+ 7}

3

 2

3

<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : CMR: 36n</b></i>

2

_{+ 60n + 24}

 24

<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : CMR: a. 5</b></i>

n+2

_{+ 26.5}

n

_{+ 8}

2n+1

 59

b. 9

2n

_{+ 14}

 5

<i><b>B i 4</b></i>

<i><b>à : Tìm n  N sao cho n</b></i>

3

_{- 8n}

2

_{+ 2n}

 n

2

_{+ 1}

<i><b>H</b></i>

<i><b>ƯỚ</b></i>

<i><b>NG D N - </b></i>

<i><b>Ẫ</b></i>

<i><b>ĐÁ</b></i>

<i><b>P S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : 1</b></i>

3

_{+ 3}

3

_{+ 5}

3

_{+ 7}

3

_{= (1}

3

_{+ 7}

3

_{) + (3}

3

_{+ 5}

3

₎

= 8M + 8N

 2

3

<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : 36n</b></i>

2

_{+ 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24}

Ta th y n v 3n + 5 không

ấ

à

đồ

ng th i cùng ch n ho c cùng l

ờ

ẵ

ặ

ẻ

 n(3n + 5)

 2  PCM

Đ

<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : a. 5</b></i>

n+2

_{+ 26.5}

n

_{+ 8}

2n+1

_{= 5}

n

_{(25 + 26) + 8}

2n+1

= 5

n

_{(59 - 8) + 8.64}

n

₌₅

n.

_{59 + 8.(64}

n

_{- 5}

n)

= 5

n

_{.59 + 8.59M}

 59

b. 9

2n

_{+ 14 = 9}

2n

_{- 1 + 15}

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

= 80m + 15

 5

<i><b>B i 4</b></i>

<i><b>à : Có n</b></i>

3

_{- 8n}

2

_{+ 2n = (n}

2

_{+ 1)(n - 8) + n + 8}

 (n

2

_{+ 1)  n + 8}

 n

2

_{+ 1}

2

2

2

2

2

8

1

1 8

1

1

8

1

1

<i>n</i>

<i>n n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>









 

















2

8

<i>n</i>

64

<i>n</i>

1









M

à n + 8  n

2

_{+ 1}

2

65

<i>n</i>

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>



0; 2; 8



<i>n</i>





 

th l i

ử ạ

V y n

ậ

 {-8; 0; 2}

<b>6. Ph</b>

<b>ươ</b>

<b>ng pháp 6: D NG QUY N P TO N H C</b>

<b>Ù</b>

<b>Ạ</b>

<b>Á</b>

<b>Ọ</b>

Gi s CM A

ả ử

(n)

 P v i n

ớ

 a (1)

B

ướ

c 1: Ta CM (1) úng v i n = a t c l CM A

đ

ớ

ứ à

(a)

 P

B

ướ

c 2: Gi s (1) úng v i n = k t c l CM A

ả ử

đ

ớ

ứ à

(k)

 P v i k

ớ

 a

Ta CM (1) úng v i n = k + 1 t c l ph i CM A

đ

ớ

ứ à

ả

(k+1)

 P

B

ướ

c 3: K t lu n A

ế

ậ

(n)

 P v i n

ớ

 a

<i><b>Ví d 1</b></i>

<i><b>ụ : Ch ng minh A</b></i>

ứ

(n)

= 16

n

- 15n - 1

 225 v i

ớ  n  N

*

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

V i n = 1

ớ

 A

(1)

= 225

 225 v y n = 1 úng

ậ

đ

Gi s n = k

ả ử

 1 ngh a l A

ĩ à

(k)

= 16

k

- 15k - 1

 225

Ta ph i CM A

ả

(k+1)

= 16

k+1

- 15(k + 1) - 1

 225

Th t v y: A

ậ ậ

(k+1)

= 16

k+1

- 15(k + 1) - 1

= 16.16

k

_{- 15k - 16}

= (16

k

_{- 15k - 1) + 15.16}

k

_{- 15}

= 16

k

_{- 15k - 1 + 15.15m}

= A

(k)

+ 225

m A

à

(k)

 225 (gi thi t quy n p)

ả

ế

ạ

225m

 225

V y A

ậ

(n)

 225

2

<i>n</i>

_{1 2}

<i>n</i>

2

<i>m</i>



 

<i><b>Ví d 2</b></i>

<i><b>ụ : CMR: v i </b></i>

ớ  n  N

*

_v

à m l s t nhiên l ta có

à ố ự

ẻ

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

2

<i>k</i>

_{1 2}

<i>k</i>

2

<i>m</i>



 

Gi s v i n = k ta có ta ph i ch ng minh

ả ử ớ

ả

ứ

1

2

<i>k</i>

_{1 2}

<i>k</i>

3

<i>m</i>





 

2

<i>k</i>

_{1 2}

<i>k</i>

2

<i>m</i>



 





2

<i>k</i>

_{1 2}

<i>k</i>

2

<i>m</i>



<i>q</i>

<i>q Z</i>







</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

2

<i>k</i>

₂

<i>k</i>

2

₁

<i>m</i>



<i>q</i>







 









1 2 2

2<i>k</i>

₁

2<i>k</i>

₁

_{2 .}

<i>k</i> 2

₁

_{1 2}

2<i>k</i> 4

_.

2

_{2 .}

<i>k</i> 3

₂

<i>k</i> 3

_{2 .}

<i>k</i> 1 2

₂

<i>k</i> 3

<i>m</i>



<i>m</i>



<i>q</i>



<i>q</i>



<i>q</i>

 

<i>q</i>

<i>q</i>

























Ta có

2

<i>n</i>

_{1 2}

<i>n</i>

2

<i>m</i>



 

V y v i

ậ

ớ  n  1

3

₃

2

_{5 3}

<i>A n</i>





<i>n</i>



<i>n</i>



<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 3</b></i>

<i><b> : Cho n l m t s nguyên d</b></i>

à ộ ố

ươ

ng, ch ng minh r ng:

ứ

ằ

<b> (1)</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>



Xét v i n=1 ta có: A = 9 3. V y (1) úng v i n=1

ớ

ậ

đ

ớ

3

₃

2

_{5 3}

<i>A k</i>





<i>k</i>



<i>k</i>



Gi s (1) úng v i n=k, t c l :

ả ử

đ

ớ

ứ à (2) (gi thi t quy n p)

ả

ế

ạ

Ph i ch ng minh (1) úng v i n=k+1, t c l ph i ch ng minh

ả

ứ

đ

ớ

ứ à

ả

ứ



1



3

3



1



2

5



1 3



<i>A</i>



<i>k</i>





<i>k</i>





<i>k</i>

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>





3





2





3

2

2

3

2

2

1

3

1

5

1

3

3

1 3

6

3 5

5

3

5

3(

3

3) 3

<i>A</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>A k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>A k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>



















 



 

















V y (1) úng v i n=k+1

ậ

đ

ớ

3

₃

2

_{5 3}

<i>A n</i>





<i>n</i>



<i>n</i>



V y v i n nguyên d

ậ

ớ

ươ

ng

2

2

2

1

7.2

<i>n</i>

3

<i>n</i>

5

<i>C</i>











<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 4</b></i>

<i><b> :Cho n l m t s nguyên d</b></i>

à ộ ố

ươ

ng, ch ng minh r ng:

ứ

ằ

(1)

<i><b>G</b></i>

<i><b> i i:</b></i>

<i><b>ả</b></i>

10 5

<i>C  </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

2

2

2

1

7.2

<i>k</i>

3

<i>k</i>

5

<i>C</i>











Gi s (1) úng v i n=k, t c l : (2) (gi thi t quy n p)

ả ử

đ

ớ

ứ à

ả

ế

ạ

Ph i ch ng minh (1) úng v i n=k+1, t c l ph i ch ng minh

ả

ứ

đ

ớ

ứ à

ả

ứ









2

1 2

2

1 1

7.2

<i>k</i>

3

<i>k</i>

5

<i>C</i>

 

 







Ta có:













2

1 2

2

1 1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

7.2

3

28.2

9.3

4. 7.2

3

5.3

5

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

 

 



























V y (1) úng v i n=k+1

ậ

đ

ớ

2

2

2

1

7.2

<i>n</i>

3

<i>n</i>

5

<i>C</i>











V y

ậ v i n l m t s nguyên d

ớ

à ộ ố

ươ

ng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>





Với n = 1 ta có : 41 + 15.1 – 1 =18 9.Vậy (1) đúng với n = 1




Giả sử (1) đúng với n = k , tức là ta có : 4k + 15n – 1 9





 ₄k _{+ 15k – 1 = 9m (m Z) 4}k _{= 9m – (15k – 1)}

 Với n = k+ 1 ta có :

4k+1 _{+ 15(k+1) – 1 = 4.4}k _{+ 15k +14 = 4 (9m – (15k – 1)) +15k +14}

= 36m – 45k +18

4.0 1
2

2

3





_

_{= 9(4m – 5m + 2) 9}

Vậy (1) đúng với n = k+1 ,do đó (1) đúng với mọi n ≥ 1

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 6</b></i>

<i><b> :</b></i>

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có :

4 1

2

2 11

3

<i>n</i>

 

₍₁₎

Bài làm :



4.0 1
2

2

3





_

_{Với n = 0 ta có = 11 11.Vậy (1) đúng với n =1}



4. 1
2

2

3

<i>k </i>



_

₃

24.( 1) 1<i>k  </i>

_

2



Giả sử (1) đúng với n = k , tức là : 11.Cần
chứng minh (1) đúng với n = k+1 tức là cần chứng minh 11

 Thật vậy : vói n = k+1 ta có :

4.( 1) 1
2

2

3

<i>k  </i>



₃

24. 5<i>k </i>

_

2

₃

24. 1.16<i>k </i>

_

2





16
4. 1

2

₂

₂

3

<i>k </i>





= = =



₂4. 1



16 ₁₆ ₁₆

₂

2

3

<i>k </i>





2



2





3

24. 1<i>k </i>



2

= (vì 16 là số
chẵn )

4. 1
2

₂

3

<i>k </i>



_





16

4 1 ₁₆
2

3

<i>k </i>



2



Theo giả thiết quy nạp : 11 nên 11



_{Mặt khác : 2}16 _{+2 = 2( 2}15 _{+ 1) = 2 . 3276911}

4.( 1) 1
2

2

3

<i>k  </i>



_

_{Do đó : 11}

4 1

2

_{2 11}

3

<i>n</i>

 

_

_{Vậy với mọi n N}

<i><b>B I T P T</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>Ậ</b></i>

<i><b>ƯƠ</b></i>

<i><b>NG T</b></i>

<i><b>Ự</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : CMR: 3</b></i>

3n+3

_{- 26n - 27}

 29 v i

ớ  n  1, m l s t nhiên l

à ố ự

ẻ

<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : CMR: 4</b></i>

2n+2

_{- 1}

 15

<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : CMR s </b></i>

ố đượ

c th nh l p b i 3

à

ậ

ở

n

_{ch s gi ng nhau thì chia h t cho 3}

ữ ố ố

ế

n

v i n l s nguyên d

ớ

à ố

ươ

ng.

<i><b>H</b></i>

<i><b>ƯỚ</b></i>

<i><b>NG D N - </b></i>

<i><b>Ẫ</b></i>

<i><b>ĐÁ</b></i>

<i><b>P S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : T</b></i>

ươ

ng t ví d 1.

ự

ụ

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>



3

aa...a

<i>n</i>

sè a

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

111 3

<i>aaa</i>



<i>a</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>



3

aa...a

<i>k</i>

sè a

Gi s (1) úng v i n = k t c l

ả ử

đ

ớ

ứ à  3

k

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>



1

3

aa...a

<i>k</i>

sè a

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

  

<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>aa</i>
3
3
3
3
...
...
...
...
1





a
sè



2.3

3

3

... .10

<i>k</i>

... .10

<i>k</i>

...

<i>k</i>

<i>aa a</i>

<i>aa a</i>

<i>aa a</i>







Có





2.3

3



1

3

... 10

<i>k</i>

10

<i>k</i>

1 3

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>aa a</i>







 

<b>7. Ph</b>

<b>ươ</b>

<b>ng pháp 7: S D NG </b>

<b>Ử Ụ</b>

<b>ĐỒ</b>

<b>NG D TH C</b>

<b>Ư</b>

<b>Ứ</b>

Gi i b i toán d a v o

ả à

ự

à đồ

ng d th c ch y u l s d ng

ư ứ

ủ ế à ử ụ

đị

nh lý Euler v

à

nh lý Fermat

đị

<i><b>Ví d 1</b></i>

<i><b>ụ : CMR: 2222</b></i>

5555

_{+ 5555}

2222

 7

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

Có 2222  - 4 (mod 7)  2222

5555

_{+ 5555}

2222

_{ (- 4)}

5555

_{+ 4}

5555

_{(mod 7)}

L i có: (- 4)

ạ

5555

_{+ 4}

2222

_{= - 4}

5555

_{+ 4}

2222

 



4 1



4

- 2222 3 1111



_{= - 4}

2222

₍₄

3333

_{- 1) =}

 

₄

3

1111

_{1 0}





Vì (mod 7)

 2222

5555

_{+ 5555}

2222

_{ 0 (mod 7)}

V y 2222

ậ

5555

_{+ 5555}

2222

 7

22

5
3
324 1 34 1



 

 <i>n</i>
<i>n</i>

<i><b>Ví d 2</b></i>

<i><b>ụ : CMR: v i </b></i>

ớ  n  N

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

3

10

_{ 1 (mod 11)}

2

10

_{ 1 (mod 11)}

Ta tìm d trong phép chia l 2

ư

à

4n+1

_{v 3}

à

4n+1

_{cho 10}





4

2



1

<i>mo</i>

d10





4

3



1

<i>mo</i>

d10



2,10





1 3,10







1

nh lý Euler

đị

v vì

à





4

1

2

<i>n</i>



2

<i>mo</i>

d10





</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>





4

1

3

<i>n</i>



3

<i>mo</i>

d10





 3

4n+1

_{= 10k + 3 (k  N)}

4

1

4

1

2

3

10

2

10

3

3

<i>n</i>



3

<i>n</i>



5 3

<i>q</i>



2

<i>k</i>



5



 





Ta có:

= 3

2

_.3

10q

_{+ 2}

3

_.2

10k

_{+ 5}

 1+0+1 (mod 2)

 0 (mod 2)

4

1

4

1

2

3

10

2

10

3

3

<i>n</i>



3

<i>n</i>



5 3

<i>q</i>



2

<i>k</i>



5



 





= 3

2

_.3

10q

_{+ 2}

3

_.2

10k

_{+ 5 0 (mod 11) Vì 3}

10

_{ 1 (mod 11), 2}

10

_{ 1 (mod 11)}

M (2, 11) = 1

à

22
5
3
324 1 34 1



 

 <i>n</i>

<i>n</i>

V y v i

ậ

ớ  n  N

11
7
224 1






<i>n</i>

<i><b>Ví d 3</b></i>

<i><b>ụ : CMR: v i n </b></i>

ớ

 N

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

Cách 1

Ta có: 2

4

_{ 1 (mod10)  2}

4n+1

_{ 2 (mod 10)}

 2

4n+1

_{= 10q + 2 (q  N)}

2
10

2 ₂

2 4 1 



 <i>_q</i>

<i>n</i>



Theo

đị

nh lý Fermat ta có: 2

10

_{ 1 (mod 11)}

 2

10q

_{ 1 (mod 11)}

7
2

7

224 1 10 2




 

 <i>_q</i>

<i>n</i>

 4+7 (mod 11)  0 (mod 11)

11
7
224 1






<i>n</i>

V y v i n

ậ

ớ

 N ( PCM)

Đ

Cách 2

4 1

2

<i>n</i> 4

2.2

<i>n</i>

2.16

<i>n</i>

+ Ta có : = =



Vì 16 1(mod 5) nên 16n_{1(mod 5) do đó :}



2. 16n _{2(mod 5) hay 2}4n+1 _{2 (mod 5)}



Đặt 24n+1_{= 5k+2 (k Z}

+ , k chẵn(vì 22n+1 là một số chẵn) )

4 1
2

2

<i>n</i> + Vậy = 25k+2_{= 4 .2}5k_{= 4.32}k



Do 32 - 1(mod 11) nên 32k_{1 (mod 11)(vì k chẵn )}



Suy ra : 4.32k _{4 (mod 11)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

4 1
2

2

<i>n</i> Vậy + 7 chia hết cho 11



<i><b>_{Ví d}</b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 4</b></i>

<i><b> : </b></i>

Chứng minh rằng : 22007 – 4 31
Bài làm :



Ta có : 25_{= 32 1 (mod 31) và 2007 = 401.5+2}

Do đó :

22007_{– 4 = 2}5.401+2_{– 4 =4.(2}5₎400_{– 4=4[ (2}5₎400_{– 1 ]}



4(1 – 1 )(mod 31)0(mod 31)



Vậy : 22007_{– 4 31}

<i><b>Ví dụ </b><b> 5 : </b><b> Cho hai nguyên tố khác p ,q.Chứng minh rằng : </b></i>

_p q – 1 _{+ q} p – 1 _{- 1 p.q}

Bài làm :

Vì p , q là hai số nguyên tố và p ≠ q nên (p , q) = 1
Áp dụng định lí Fermat ta có :





_pq -1 _{1 (mod q ) và q}p – 1 _{1 (mod p) p}q -1_{– 1 q và q}p-1_{– 1 p}

_{Mặt khác : p}q -1_{– 1 p và q}p-1_{– 1 q nên ta có :}

_p q – 1 _{+ q} p – 1 _{– 1 q và p} q – 1 _{+ q} p – 1 _{– 1 p}

_{Mà (p,q) = 1 nên p} q – 1 _{+ q} p – 1 _{- 1 p.q}

333

555

777

333

555

777<i><b>_{Ví dụ}</b><b>_{6 :}</b><b>_{Chứng minh rằng số + chia hết cho 10}</b></i>

Bài làm :







Ta có : 555 - 1(mod 4) 555777_(-1)777 _{-1 3(mod 4)}



555333_(-1)333 _{-1 3(mod 4)}

777

555

333



Do đó : = 34k + 3 ₃3_{. (3}4₎k_{7 (mod 10)}

333

555

777



= 74l+3₇3₍₇4₎l_{3 (mod 10 )}

333

555

777

333

555

777



Suy ra : + 10(mod 10) 0(mod 10 )

333

555

777

333

555

777_{Vậy + chia hết cho 10.}



4 1

2

7

<i>n</i>

₄

34 1<i>n</i>

_

<i><b>_{Ví dụ}</b><b>₇</b><b>_{: Chứng minh : với mọi n N}</b></i>*_{ta có : + - 65 100}

Bài làm



Ta có : 74 _{= 2401 1(mod 100) và 4}10_{76 (mod 100)}

4 1

2

7

<i>n</i>

7

2.24<i>n</i>

_

_{Do đó : = = 7}4k_{1(mod 100)}
4 1

3

4

<i>n</i>

4

3.81<i>n</i>



= = 410l + 3_{= 4}3_{. (4}10₎l_{64.76(mod 100)}
4 1

2

7

<i>n</i>

₄

34 1<i>n</i>

_

_{Suy ra : + - 65 1 +64 – 65 (mod 100)}



4 1

2

7

<i>n</i>

₄

34 1<i>n</i>

_

_{+ - 65 0 (mod 100)}



4 1

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

<b>PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG</b>

+ Để tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa cần chú ý rằng:

 Các số có tận cùng là 0;1;5;6 thì nâng lên lũy thừa (khác 0) nào

cũng có tận cùng là 0;1;5;6

 Các số có tận cùng là 2;4;8 thì nâng lên lũy thừa 4 thì có tận cùng

là 6

 Các số tận cùng là 3;7 thì nâng lên lũy thừa 4 thì có tận cùng là 1

 Các số có tận cùng là 9 thì nâng lên lũy thừa chẵn thì được số có

tận cùng là 1;nâng lên lũy thừa lẻ thì được số tận cùng là 9.
+ Để tìm hai chữ số tận cùng của lũy thừa cần lưu ý:

 Các số tận cùng là 01;25;76 nâng lên lũy thừa khác khơng nào cũng

có tận cùng là 01;25;76

 Các số 320 (hoặc 815) ; 74 ; 512; 992 có tận cùng là 01.
 Các số 220 ; 65 ; 184 ; 242; 682 ; 742 có tận cùng bằng 76
 Số 26n (với n > 1) có tận cùng bằng 76

+ Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của lũy thừa cần chú ý:

 Các số tận cùng bằng 001 ; 376 ; 625 nâng lên lũy thừa nào (khác

không) cũng tận cùng bằng 001; 376; 625.

 Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào (khác không)

cũng tận cùng bằng 0625.

 Cần lưu ý một số kết quả sau:



+ a100k_{000(mod 1000) nếu a 0(mod 10)}



+ a100k_{001(mod 1000) nếu a 1;3;7;9(mod 10)}



+ a100k_{625(mod 1000) nếu a 5(mod 10)}



+ a100k_{376 (mod 1000) nếu a 2;4;6;8(mod 10)}

<b>Ví dụ 8 : Chứng minh 8</b>102 _{- 2}102 _{chia hết cho 5}

Bài làm :
Cách 1 :

Ta có : 8102 _{= (8}4₎25 _{. 8}2 _{= (…6)}25 _{.64 = (…6) .64 = …4}

2102 _{= (2}4₎25_.22_{= 16}25_{.4 =}_{(…6).4 = …4}

 _{Vậy 8}102 _{- 2}102 _{có tận cùng là 0 8}102 _{- 2}102 _{chia hết cho 5}

Cách 2 :



Ta có : 8 - 2 (mod 10)





₈102 _{(- 2)}102 _{(mod 10) ( 2)}102 _{(mod 10)}





₈102 _{- 2}102 _{0 (mod 10)}

 _{Vậy 8}102 _{- 2}102 _{có tận cùng bằng 0 8}102 _{- 2}102 _{chia hết cho 5}

<b>Ví dụ 9: Chứng minh 16</b>101_.14101_{chia hết cho 4}

Bài làm :

Ta có : 16101_.14101_{= (16.14)}101_{= 224}101_{= (224}2 ₎50_.224



...76



50



...76





...24



= .224 = .224 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

<i><b>B I T P T</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>Ậ</b></i>

<i><b>ƯƠ</b></i>

<i><b>NG T</b></i>

<i><b>Ự</b></i>

19
3
226 2






<i>n</i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : CMR v i n </b></i>

ớ

 N

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 2</b></i>

<i><b> : Cho s p > 3, p </b></i>

ố

 (P). CMR 3

p

_{- 2}

p

_{- 1}

 42p

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 3</b></i>

<i><b> : CMR v i m i s nguyên t p </b></i>

ớ

ọ ố

ố đề

u có d ng

ạ

2

n

_{- n (n  N) chia h t cho p.}

ế

<i><b>H</b></i>

<i><b>ƯỚ</b></i>

<i><b>NG D N - </b></i>

<i><b>Ẫ</b></i>

<i><b>ĐÁ</b></i>

<i><b>P S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : L m t</b></i>

à

ươ

ng t nh VD3

ự

ư

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 2</b></i>

<i><b> : </b></i>

Đặ

t A = 3

p

_{- 2}

p

_{- 1 (p l )}

ẻ

D d ng CM A

ễ à

 2 v A

à  3  A  6

N u p = 7

ế

 A = 3

7

_{- 2}

7

_{- 1}

 49  A  7p

N u p

ế

 7  (p, 7) = 1

Theo

đị

nh lý Fermat ta có:

A = (3

p

_{- 3) - (2}

p

_{- 2)}

 p

t p = 3q + r (q

Đặ

 N; r = 1, 2)

 A = (3

3q+1

_{- 3) - (2}

3q+r

_{- 2)}

= 3

r

_.27

q

_{- 2}

r

_.8

q

_{- 1 = 7k + 3}

r

_(-1)

q

_{- 2}

r

_{- 1 (k  N)}

v i r = 1, q ph i ch n (vì p l )

ớ

ả

ẵ

ẻ

 A = 7k +3 - 2 - 1

 7

v i r =

ớ

2, q ph i

ả lẻ (vì p l )

ẻ

 A = 7k - 9 - 4 - 1 = 7k - 14

 7

V y A

ậ

 7 m A

à  p, (p, 7) = 1  A  7p

M (7, 6) = 1; A

à

 6

 A

 42p.

<i><b>B i </b></i>

<i><b>à</b></i>

<i><b> 3</b></i>

<i><b> : N u </b></i>

ế p= 2  2

2

_{- 2 = 2}

 2

N u n > 2 Theo

ế

đị

nh lý Fermat ta có:

2

p-1

_{ 1 (mod p)}

 2

m(p-1)

_{ 1 (mod p) (m  N)}

Xét A = 2

m(p-1)

_{+ m - mp}

A

 p  m-mp+1 p

 m = kq - 1

Nh v y n u p > 2

ư ậ

ế

 p có d ng 2

ạ

n

_{- n trong ó}

đ n = (kp - 1)(p - 1), k  N

đề

_u

chia h t cho p

ế

<b>8. Ph</b>

<b>ươ</b>

<b>ng pháp 8: S D NG NGUYÊN LÝ IRICHLET</b>

<b>Ử Ụ</b>

<b>Đ</b>

N u em n + 1 con th nh t v o n l ng thì có ít nh t 1 l ng ch a t 2

ế đ

ỏ

ố à

ồ

ấ

ồ

ứ ừ

con tr lên.

ở

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 1</b></i>

<i><b> :</b></i>

Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm đợc 2 số có hiệu chia
hết cho 5.

<i><b>Giải: </b></i>

Mét sè khi chia cho 5 cã thÓ nhËn mét trong các số ú là : 0; 1; 2; 3; 4.

Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng sè đó

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>



HiƯu cđa 2 sè
chia hÕt cho 5.

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 2</b></i>

<i><b> :</b></i>

<b> Cho ba số lẻ. chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho </b>
8

<i><b>Gi¶i: </b></i>

Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong bốn số sau: 1;3;5;7. ta chia 4 số
dư này ( 4 con thỏ) thành 2 nhóm (2 lồng)

Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 7
Nhóm 2: dư 3 hoặc dư 5

Có 3 số lẻ (3 thỏ) mà chỉ có hai nhóm số dư nên tồn tại hai số thuộc cùng một nhóm
- Nếu 2 số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8

- Nếu 2 số dư khác nhau thì tổng của chúng chi hết cho 8

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 3</b></i>

<i><b> :</b></i>

<b> Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc </b>
hiệu chia hết cho 12

<i><b>Gi¶i: </b></i>

Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là 1 trong 4 số
1; 5; 7; 11.

Chia làm hai nhóm:

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

Nhóm 2: dư 5 hoặc dư 7

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 4</b></i>

<i><b> : CMR: Trong n + 1 s nguyên b t k có 2 s có hi u chia h t cho n.</b></i>

ố

ấ ỳ

ố

ệ

ế

Gi i

ả

n +1 s nguyên ã cho chia cho n thì

ố

đ

đượ

c n s d nh n 1 trong các s sau:

ố ư

ậ

ố

0; 1; 2;

…

; n - 1

 có ít nh t 2

ấ

trong n+1 số có cùng s d khi chia cho n.

ố ư

Gi s a

ả ử

i

= nq

1

+ r

0  r < n

a

j

= nq

2

+ r

a

1

; q

2

 N

 a

j

- a

j

= n(q

1

- q

2

)

 n

V y trong n +1 s nguyên b t k có 2 s có hi u chia h t cho n.

ậ

ố

ấ ỳ

ố

ệ

ế

<i><b>B I T P T</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>Ậ</b></i>

<i><b>ƯƠ</b></i>

<i><b>NG T</b></i>

<i><b>Ự</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : CMR: T n t i n </b></i>

ồ ạ

 N sao cho 17

n

_{- 1}

 25

<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : CMR: T n t i 1 b i c a s 1993 ch ch a to n s 1.</b></i>

ồ ạ

ộ ủ ố

ỉ

ứ

à ố

<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : CMR: V i 17 s nguyên b t k bao gi c ng t n t i 1 t ng 5 s chia</b></i>

ớ

ố

ấ ỳ

ờ ũ

ồ ạ

ổ

ố

h t cho 5.

ế

<i><b>B i 4</b></i>

<i><b>à : Có hay khơng 1 s có d ng.</b></i>

ố

ạ

19931993

…

1993000

…

00

 1994

<i><b>H</b></i>

<i><b>ƯỚ</b></i>

<i><b>NG D N - </b></i>

<i><b>Ẫ</b></i>

<i><b>ĐÁ</b></i>

<i><b>P S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>B i 1</b></i>

<i><b>à : Xét dãy s 17, 17</b></i>

ố

2

_,

…

_{, 17}

25

_(t

ươ

_{ng t VD2)}

ự

<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : Ta có 1994 s nguyên ch a to n b s 1 l :</b></i>

ố

ứ

à

ộ ố

à

1

11

111

…


 

1
sè
1994
11
111

Khi chia cho 1993 thì có 1993 s d

ố ư  theo ngun lý irichlet có ít nh t 2

Đ

ấ

s có cùng s d .

ố

ố ư

Gi s ó l

ả ử đ à

a

i

= 1993q + r

0  r < 1993

a

j

= 1993k + r

i > j; q, k  N

 a

j

- a

j

= 1993(q - k)

111

_{       }



1100



0 1993(



<i>q k</i>



)

i- j 1994 sè 1

j sè 0

)
(
1993
10
.
11

111 <i>j</i> <i>q</i> <i>k</i>




 

1
sè
1994
j

-i

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

111

_{    }



11

i- j 1994 sè 1

 1993 ( PCM)

Đ

<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : Xét dãy s g m 17 s nguyên b t k l </b></i>

ố ồ

ố

ấ ỳ à

a

1

, a

2

,

…

, a

17

Chia các s cho 5 ta

ố

đượ

c 17 s d t ph i có 5 s d thu c t p h p{0; 1; 2;

ố ư ắ

ả

ố ư

ộ ậ

ợ

3; 4}

N u trong 17 s trên có 5 s khi chia cho 5 có cùng s d thì t ng c a

ế

ố

ố

ố ư

ổ

ủ

chúng s chia h t cho 5.

ẽ

ế

N u trong 17 s trên khơng có s n o có cùng s d khi chia cho 5

ế

ố

ố à

ố ư



t n t i 5 s có s d khác nhau

ồ ạ

ố

ố ư

 t ng các s d l : 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10

ổ

ố ư à



10

V y t ng c a 5 s n y chia h t cho 5.

ậ ổ

ủ

ố à

ế

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

1993

_{     }



1993

1994 sè 1993

a

1994

=

em chia cho 1994

đ

 có 1994 s d thu c t p {1; 2;

ố ư

ộ ậ

…

; 1993} theo ngun lý

irichlet có ít nh t 2 s h ng có cùng s d .

Đ

ấ

ố ạ

ố ư

Gi s : a

ả ử

i

= 1993

…

1993 (i s 1993)

ố

a

j

= 1993

…

1993 (j s 1993)

ố

 a

j

- a

j

 1994 1  i < j  1994

1993

_{     }



1993.10 1994

<i>i</i>



j-i sè 1993



<b>9. Ph</b>

<b>ươ</b>

<b>ng pháp 9: PH</b>

<b>ƯƠ</b>

<b>NG PH P PH N CH NG</b>

<b>Á</b>

<b>Ả</b>

<b>Ứ</b>

CM A

Để

(n)

 p (ho c A

ặ

(n)

 p )

+ Gi s : A

ả ử

(n)

 p (ho c A

ặ

(n)

 p )

+ CM trên gi s l sai

ả ử à

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>



<i><b>Ví d 1</b></i>

<i><b>ụ : CMR n</b></i>

2

_{+ 3n + 5 121 v i}

ớ  n  N

<i><b>Gi i</b></i>

<i><b>ả</b></i>

Gi s t n t i n

ả ử ồ ạ

 N sao cho n

2

_{+ 3n + 5}

 121

 4n

2

_{+ 12n + 20}

 121

 (2n + 3)

2

_{+ 11}

 121 (1)

 (2n + 3)

2

_{+ 11}

 11

 (2n + 3)

2

 11

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>



V y n

ậ

2

_{+ 3n + 5 121}

<i><b>Ví d </b></i>

<i><b>ụ</b></i>

<i><b> 2</b></i>

<i><b> :</b></i>

Chøng minh r»ng a2_{- 8 kh«ng chia hÕt cho 5 víi aN.}

<i><b>Gi¶i: </b></i>

⋮ Gi¶ sư A(n)=a2_{- 8 5,nghĩa là A(n) phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5,}

suy ra a2 _{(là một}_{số chính phơng) phải có chứ số tận cùng là một trong các chữ}

số 3;8 - Vô lý(vì một số chính phơng bao giờ cũng có các chữ số tận cùng
là:0;1;4;6;9)

Vậy a2_{- 8 kh«ng chia hÕt cho 5.}

<i><b>B I T P T</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>Ậ</b></i>

<i><b>ƯƠ</b></i>

<i><b>NG T</b></i>

<i><b>Ự</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>



<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : CMR: n</b></i>

2

_{+ n + 1 9 v i}

ớ  n  N

*



<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : CMR: 4n</b></i>

2

_{- 4n + 18 289 v i}

ớ  n  N

<i><b>H</b></i>

<i><b>ƯỚ</b></i>

<i><b>NG D N - </b></i>

<i><b>Ẫ</b></i>

<i><b>ĐÁ</b></i>

<i><b>P S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>

 (2n + 1)

2

_{+ 7}

 49 (1)  (2n + 1)

2

 7

Vì 7 l s nguyên t

à ố

ố  2n + 1  7  (2n + 1)

2

 49 (2)

T (1); (2)

ừ

 7

 49 vô lý.

<i><b>B i 2</b></i>

<i><b>à : Gi s t n t i n</b></i>

ả ử ồ ạ

2

_{+ n + 1}

 9 v i

ớ  n

 (n + 2)(n - 1) + 3

 3 (1)






3
1
3
2


<i>n</i>
<i>n</i>

vì 3 l s nguyên t

à ố

ố   (n + 2)(n - 1)  9 (2)

T (1) v (2)

ừ

à

 3

 9 vô lý

<i><b>B i 3</b></i>

<i><b>à : Gi s </b></i>

ả ử  n  N

để

4n

2

_{- 4n + 18}

 289

 (2n - 1)

2

_{+ 17}

 17

2

 (2n - 1)

 17

17 l s nguyên t

à ố

ố  (2n - 1)  17  (2n - 1)

2

 289

 17

 289 vơ lý.

<b>CHIA CĨ DƯ</b>

Bài 65 :

Tìm số dư trong phép chia :
a. A = 3638 _{+ 41}33_{+ 2 cho 7}

b. B = 570 _{+ 7}50 _{cho 12}

Bài làm :

Cách 1 : sử dụng định nghĩa

a. A = 3638 _{+ 41}33_{+ 2 = 36}38 _{– 1}38 _{+ 41}33_{+ 1}33 _{+ 2}

= (36 – 1)(3637₊₃₆36_{+…+1)+(41+1)(41}32_{– 41}31 _{+… + 1) + 2}

= 35(3637₊₃₆36_{+…+1) + 42(41}32_{– 41}31 _{+… + 1) +2}









37 36
32 31

35 36

36

1 7

42 41 – 41

1 7



_

_





 









Do nên A chia cho 7 dư 2
b. Ta có : B = 570 _{+ 7}50 _{= 25}35₊₄₉25_{= 25}35_{– 1}35_{+ 49}25_{- 1}25_{+ 2}

_{= (25 – 1)(25}34 _{+ 25}33 _{+…+ 1)+ (49 –1)(49}24₊₄₉23 _{+…+ 1) +2}

= 24 (2534 _{+ 25}33 _{+…+ 1) + 48(49}24₊₄₉23 _{+…+ 1) + 2}









34 33
24 23

24 25

25

1 12

48 49

49

1 12



_

_

















Do nên B chia cho 12 dư 2
Cách 2 : Sử dụng đồng dư :

a.



Ta có : 36 1(mod 7) nên 3638 _{1(mod 7)}



41 -1(mod 7) nên 4133 _{- 1(mod 7)}





A = 3638 _{+ 41}33 _{+ 2 1- 1 + 2 (mod 7) 2(mod 7)}

Vậy A chia cho 7 dư 2

b.



Ta có : 52_{1(mod 12) nên (5}2₎35 _{1(mod 12)}



72_{1(mod 12) nên (7}2₎25 _{1(mod 12)}





B= 570 _{+ 7}50 _{1 + 1 (mod 12) 2 (mod 12)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>

Bài 66 : Một số chia cho 3 dư 1 , chia cho 4 dư 3 , chia cho 5 dư 2.Hỏi số đó chia cho
60 dư bao nhiêu ?

Bài làm :

Cách 1 : Gọi số bị chia là A

1 1
2 2
3 3

3

1

20

60

20(1)

4

3

15

60

45(2)

5

2

12

60

24(3)

<i>A q</i>

<i>A</i>

<i>q</i>

<i>A q</i>

<i>A</i>

<i>q</i>

<i>A q</i>

<i>A</i>

<i>q</i>















_

_{ }



_

_







_

_



_

_





_{Ta có :}

Ta lấy 3 .(3) – (1) – (2) ta được :
A = 60 (3q3 – q2 – q1) + 7

Vậy A chia cho 60 dư 7

Chú ý : Với cách này ta có thể tạo ra các hệ tương đương khác miễn là tạo ra được
mối liên hệ giữa A và 60. Nhưng cách này chỉ nên áp dụng với các bài đơn giản,còn
đối với các bài phức tạp thì khó nhẩm tính được.

Cách 2 : Sử dụng đồng dư :
Gọi số đó là A

Theo bài ta có :

 

A 1(mod 3) A – 7 0(mod 3)

  

A 3(mod 4) A – 7 0(mod 4) A – 7 0(mod 3.4.5)

 

A 2(mod 5) A – 7 0(mod 5)

 

A – 7 0(mod 60)

 

A 7 (mod 60)
Vậy A chia cho 60 dư 7.

Nhận xét : Cách làm này ngắn gọn nhưng với các bài phức tạp thì cũng gây chút ít
khó khăn trong việc nhẩm tính .



_{Cách 3 : Gọi số tự nhiên là A A = 60k + r ( 0≤ r < 60 )}

Ta cần tìm k.

+ Vì A chia cho 5 dư 2 nên 60k + r chia cho 5 dư 2



2;7;12;17;22;27;32;37;42;47;52;57



<i>r</i>

Mà 0≤ r < 60 do đó :



7;27;47



<i>r</i>

Mặt khác A chia cho 4 dư 3 nên r chia cho 4 dư 3 .Do đó

 

7

<i>r</i>

Vì A chia cho 3 dư 1 nên r chia cho 3 dư 1.Do đó
Suy ra : A = 60k + 7

Vậy A chia cho 60 dư 7

Nhận xét : Cách làm này được sử dụng chung cho các bài toán dạng trên nhưng cách
làm này dài hơn so với hai cách làm bên trên .

Bài 67: Tìm dư trong phép chia 20042004 _{cho 11}

Bài làm :







_{Ta có : 2004 2 (mod 11) 2004}2004 ₂2004_{(mod 11)}



Mà 210 _{1 (mod 11) nên 2}2004_{= 2}4_.(210₎200 ₂4_{(mod 11) 5(mod 11)}

Vậy dư trong phép chia 20042004_{cho 11 là 5 .}

15

15

</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>

Bài làm :



Ta có : p = 7 ;(p – 1 )p = 6 .7 = 42 ;1542 _{1 (mod 49)}

Ta tìm dư trong phép chia 1515_{cho 42 .}







Ta có : 1515_{1 (mod 7); 15}15₃15_{(mod 6) mà 3}15 _{= 3.3}14_{= 3(2k+1) 3}

(mod 6) 1515_{3 (mod 6)}

Gọi r0 là dư trong phép chia 1515 cho 42 thì :





0;1;2;3;4;5





r0 = 7t + 1 với t .Với t = 2 thì r0 = 153 (mod 6).



Vậy 1515_{15(mod 42 )}

15

15

15



Do đó : = 1542k+15 ₁₅15_{(mod 49 )}



Ta có : 1515_{= (15}3₎5_{(- 6)}5_{(mod 42 ) 15(mod 49 ) .}

Bài 69 : Tìm dư trong phép chia 109345_{cho 14 .}

Bài làm :







Ta có : 109 11(mod 14 ) 109345 ₁₁345 _{(mod 14 )}

 

1

1

1

1

2

7























_{14 = 2 . 7 (14) = 14 = 6}



_{ }

_{Theo định lí Euler : 11} (14)_{1(mod 14 ) 11}6_{1(mod 14 )}



Suy ra 11345 _{= 11}6 x 57+3 ₁₁3_{(mod 14 ) 1(mod 14 )}

Vậy dư trong phép chia 109345 _{cho 14 là 1}

11
11

11

Bài 70 : Tìm dư trong phép chia cho 30

Bài làm :

 

1

1

1

1

₂

1

₃

1

₅

8

     
     
     









Ta có : 30 = 2 . 3 . 5 (30) = 30 .

8

11

1(mod30)











_{Ta có : 11}11₃11_{(mod 8) ; 3}11_{= (3}2₎5_{. 3 3(mod 8) 11}11_{= 8k + 3}

11
11

11



Vậy = 118k + 3 ₁₁3_{11(mod 30)}

11
11

11

_{Do đó số dư trong phép chia cho 30 là 11 .}

Bài 71: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho chia n cho 131 thì dư 112 , chia n
cho 132 thì dư 98 .

Bài làm :



_{Cách 1 : Ta có : 131x + 112 = 132y + 98 131x = 131y + y – 14}









_{y – 14 131 y = 131k + 14 ( k N)}



_{n = 132 .(131k + 14) +98 = 132 . 131k + 1946}

Do n có bốn chữ số nên k = 0 ,n = 1946

Cách 2 : Từ 131x = 131y + y – 14 suy ra : 131( x – y ) = y – 14 .

 

_{Nếu x > y thì y – 14 ≥ 131 y ≥ 145 n có nhiều hơn bốn chữ sơ (loại )}

Vậy x = y ,do đó y = 14 , n = 1946 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>



_{n = 131 . 132 ( x – y ) + 1946}

Vì n có bốn chữ số nên n = 1946
Vậy n = 1946 là sô cần tìm .

<b>2 . Bài tập đề nghị : </b>

2003
2

3

_{Bài 72 : Tìm số dư trong phép chia cho 11}

Bài 73 : Chứng minh rằng :
a.



18901930₊₁₉₄₅1975_{+ 1 7 ;}

b.

3

21990



2

91945



19

51980



7

4 1

2

3

<i>n</i> _{Bài 74 : Tìm số dư trong phép chia cho 55}

Bài 75 : Tìm dư trong phép chia :
a. 21000_{cho 25}

b. 22003_{cho 49}

Bài 76: Tìm dư trong phép chia 3 . 575_{+ 4 . 7}100_{cho 132}

Bài 77 : Tìm số dư trong phép chia sau :
a. 108n_{+ 57}n_{cho 7}

b. 3743n_{– 2}3n _{+ 6 cho 41}

Bài 78 : Tìm số dư trong phép chia sau :
a. 29459 _{– 3 cho 9}

b. 109345_{cho 14}

c. 270_{+ 3}70 _{cho 13}

d. 6595_{cho 11}

e. 340_{cho 83}

f. 35150 _{cho 425}

Bài 79 : Tìm tất cả các số tự nhiên n mà khi chia cho 11 có dư là 7 và chia cho 5 có dư

là 4 .

Bài 80 : Tìm dư trong phép chia 22003_{cho 35}

Bài 81 : Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho chia n cho 131 thì dư 112 , chia n
cho 132 thì dư 98 .

<b>Hệ thống các bài tập dạng chứng minh chia hết </b>

Bài 1 : Cho n là số nguyên dương,chứng minh các bài tốn sau bằng nhiều cách (nếu
có thể) :

1. 7n _{+3n – 1 chia hết cho 9 ;}

2. 4n _{+ 15n – 1 chia hết cho 9;}

3. 16n _{- 15n – 1 chia hết cho 225;}

4.

2

2

2

<i>n</i> + 5 chia hết cho 7 ;

5.

4 1

2

3

<i>n</i> _{+ 2 chia hết cho11;}

6. 122n+1 _{+ 11}n+2_{chia hết cho 133}

7. 42n+1_{+ 3}n+2 _{chia hết cho 13}

8. 5n₍₅n_{+ 1) – 6}n₍₃n_{+ 2}n_{) chia hết cho 91}

Bài làm :

</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>

Cách 1 :

7n _{+3n – 1 = (7}n _{– 1 ) + 3n = 6 (7}n – 1 _{+ 7}n – 2 _{+ …+1) - 6n + 9n}

= 6 (7n – 1 _{+ 7}n – 2 _{+ …+1 – n ) + 9n}

= 6 [ (7n – 1 _{- 1 ) + (7}n – 2 _{- 1) + …+ 1 – 1 ) ] + 9n}

= 6 [ 6 (7n – 2 _{+ 7}n – 3 _{+ …+1) + 6 (7}n – 3 _{+ 7}n – 4 _{+ …+1)+…+6) + 9n}

= 36 A + 9n



= 9 ( 4A + n ) 9



₇n _{+3n – 1 chia hết cho 9}

Cách 2 : Chứng minh bằng quy nạp





_{Với n = 1 ta có 7}1_{+ 3 . 1 – 1 = 9 9 (1) đúng với n = 1}



Giả sử (1) đúng với n = k tức là 7k_{+ 3 . k – 1 = 9 9 .Cần chứng minh (1) đúng}

với n = k+ 1 tức cần chứng minh 7k+1_{+ 3 . (k +1) – 1 = 9 9}

Thật vậy :



Theo giả thiết quy nạp ta có : 7k_{+ 3 . k – 1 = 9 9}





7k_{+ 3 . k – 1 = 9m (với m Z)}



₇k _{= 9m – 3k + 1}

7k+1 _{+ 3 . (k +1) – 1 = 7. 7}k _{+ 3 . (k +1) – 1}

= 7 (9m – 3k + 1) + 3 . (k +1) – 1= 63m – 18k + 9



_{= 9 (7m – 2k +1) 9}



_{(1) đúng với n = k+1}

Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương
2. 4n _{+ 15n – 1 chia hết cho 9 ;(2)}

Cách 1 :

4n _{+ 15n – 10 = (4}n _{- 1) + 15n – 9 = (4 – 1 )(4}n-1 _{+ 4}n-2 _{+ …+ 1 ) +15n - 9}

= 3 (4n-1 _{+ 4}n-2 _{+ …+ 1 ) – 3n + 18n – 9}

= 3(4n-1 _{+ 4}n-2 _{+ …+ 1 – n) +18n – 9}

= 3[(4n-1_{– 1 ) + (4}n-2 _{– 1 )+…+(1 – 1 )]+18n – 9}

=3[3(4n-2 ₊₄n-3 _{+…+ 1)+3(4}n-3 _{+ 4}n-4 _{+ …+ 1)+…+3]+18n–9}

_{=9 A + 18n – 9 = 9 (A + 2n – 1) 9}

Vậy 4n _{+ 15n – 1 chia hết cho 9 ;(2)}

Cách 2 : Chứng minh bằng quy nạp





_{Với n = 1 ta có : 4}1 _{+ 15.1 – 10 = 9 9 (2) đúng với n =1}

_{Giả sử (2) đúng với n = k tức là 4}k _{+ 15.k –10 = 9 9.Cần chứng minh (2) đúng}

với n = k + 1 tức cần chứng minh 4k+1 _{+ 15.(k+1) – 10 = 9 9}

Thật vậy :

_{Theo giả thiết quy nạp ta có : 4}k _{+ 15.k –10 = 9 9}

 

₄k _{+ 15.k –10 = 9m (m Z)}



₄k _{= 9m +10 – 15k}

4k+1_{+15.(k+1) –10 = 4.4}k _{+15(k+ 1)–10= 4(9m +10 – 15k)+15.(k+1) – 10}

_{= 36m – 45 k +45 = 9 (4m - 5k +5) 9}



_{(2) đúng với n = k + 1}

Vậy (2) đúng với mọi n nguyên dương
Cách 3 : Sử dụng đồng dư

</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>

(

1)

2

<i>n n </i>

Ta có : 4n _{= (3+1)}n_{= 3}n_{+n. 3}n- 1 _{+ .3}n-2_{+…+ n.3 + 1}



_{3n+1(mod 9 ) ( vì 3}k ₃2_{với k ≥ 2)}

 

₄n _{+ 15.n – 10 15n – 10 + 3n+1 18n – 9 (mod 9 ) 0(mod 9 )}



₄n _{+ 15.n – 10 chia hết cho 9}

<i>Chú ý : Các ý còn lại được tiến hành tương tự các ý trên .</i>

Bài 2 : Cho Cn = 3 + 32 + 33 +…+ 3100 .Chứng minh rằng Cn chia hết cho 120.

Bài làm :

Cn = (3 +32+33+34) + …+ (397+398+399+3100)

_{= 3(1+3+3}2 ₊₃3_)+…+397₍₁₊₃₊₃2 ₊₃3_{) = 120(3+ 3}5_+…+397_{) 120}

Vậy Cn chia hết cho 120

Bài 3: Cho a , b là số tự nhiên không chia hết cho 5.



Chứng minh rằng pa4m _{+ qb}4m _{,chia hết cho 5 khi và chỉ khi p + q chia hết cho 5(với}

p,q,m N)
Bài làm :

Ta có : pa4m _{+ qb}4m _{= p (a}4m _{– 1 ) + q (b}4m _{– 1 )+p+q (1)}

_{Mà a} 4m _{– 1 = (a}4₎m _{– 1 a}4 _{– 1 (1*)}

a4 _{– 1 = (a}2 _{– 1 )(a}2_{+ 1 )= (a}2_{– 1 )((a}2_{– 4 )+5) = (a}2_{– 1)(a}2 _{– 4)+5(a}2_{– 1)}

= (a – 2 )(a – 1 )(a+1)(a+2) + 5(a2 _{– 1) .}



_{Vì (a – 2 ) ; (a – 1 ) ;a; (a+1) ; (a+2) là 5 số ngun liên tiếp nên có ít nhất một số}

chia hết cho 5.Mà a không chia hết cho 5 một trong các số (a –2); (a – 1 ); (a+1) ;
(a+2) phải chia hết cho 5 .



Vậy a4_{– 1 5 (2*)}

 

Từ (1*) ,(2*) suy ra a4m _{– 1 và b}4m _{– 1 cùng chia hết cho 5 .Do vậy từ (1) suy ra :}

pa4m _{+ qb}4m _{5 p + q 5}

<i> *Nhận xét : * Bài toán này có thể áp dụng định lí Fermat để giải như sau :</i>



_{Ta có ( a ,5) = (b , 5) = 1 nên a}4_{1 (mod 5) và b}4_{1 (mod 5). Suy ra pa}4m

+ qb4m _{p +q (mod 5).}









_pa4m _{+ qb}4m _{0(mod 5) p +q 0(mod 5)}

 

Vậy pa4m _{+ qb}4m _{5 p + q 5}

* Bài toán tổng quát : Cho p là số nguyên tố ;a1 , a2,…,an là các số

nguyên không chia hết cho p.

p1 , p2,…,pn và k1 , k2,…,kn lầ các số tự nhiên .Chứng minh rằng :

1 2
1 2

1

( 1) ( 1) ( 1)
2

...

<i>_n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>p</i> <i>k</i> <i>p</i> <i>k</i> <i>p</i> <i>k</i>

<i>p</i>

<i>_a</i>



_

<i>p</i>

<i>_a</i>



_{ }

<i>p</i>

<i>_a</i>

_

chia hết cho p khi và chỉ
khi p1 + p2 + …+ pn chia hết cho p .

Bài 4 : Cho f(x) là đa thức với hệ số nguyên :



f(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a1x + a0 (ai Z; i = 0,1,…,n);a,b là hai số nguyên khác

nhau .



Chứng minh rằng : f(a) – f(b) a- b

Áp dụng : Chứng minh rằng khơng có đa thức P(x) nào với hệ số nguyên có thể có giá
trị P(7) = 5 và P (15) = 9.

Bài làm :

Ta có : f(a) = an an + an-1 an-1 +…+ a1a+ a0

</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>

suy ra : f(a) – f(b) = an (an – bn) + an-1( an-1 –bn-1)+…+ a1 (a– b )







_{Vì a}k_{– b}k _{a – b với k Z nên f(a) – f(b) a – b (đpcm)}







Áp dụng : giả sử có đa thức P(x) với hai hệ số nguyên sao cho P (7) = 5 và P(15)

= 9 khi đó P(15) – P(7) 15 – 7 =8 4 8( vơ lí ) .Vậy khơng có đa thức với hệ số
nguyên nào có thể có giá trị P(7) = 5; P (15) = 9.

Bài 5 :

5

5

<i>n</i>

3

3

<i>n</i>

7

15

<i>n</i>



a. Chứng minh rằng + + là số nguyên với mọi n Z

a.

12

<i>n</i>

2

8

<i>n</i>

3

24

<i>n</i>

Chứng minh với n chẵn thì + + là số nguyên .
Bài làm :

a.

7

15

<i>n 8</i>

15

<i>n</i>

5 3

<i>n n</i>



Ta có : = n - = n - ;

5 3

₇

5 3

5

3 15

5

3

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>



<i>n</i>



<i>_n</i>











Do đó :



Ta dễ dàng chứng minh được n5_{– n 10 và n}3_{– n 6 .}

2

2(5.

₁₀

1

3

<i>n</i>















5 3

5

3

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>



<i>n</i>



<i>_n</i>





Do đó là một số nguyên (đpcm )

b.



Giả sử n = 2m (m Z ) ta có :

2 3 2 3

₂

3

₃

2

₍

₁₎₍₂

₁₎

12 8 24 6

2

3

6

6

<i>n</i>

<i>_n</i>

<i>_n</i>

<i>m</i>

<i>_m</i>

<i>_m</i>

<i>_m</i>



<i>_m</i>



<i>m m m</i>



<i>m</i>







 







12

<i>n</i>

2

8

<i>n</i>

3

24

<i>n</i>

Dễ dàng chứng minh được m(m+1)(2m+1) 6 nên + + là số nguyên.

Bài 6 :

Cho A = (10n_{+ 10}n-1 _{+…+10+1)(10}n+1_{+ 5) + 1.Chứng minh rằng A là số chính phương}

nhưng khơng là lập phương của một số lập phương của một số tự nhiên .
Bài làm :

Ta có : 10n+1 _{– 1 = (10 – 1 )(10}n_{+ 10}n – 1 _{+…+ 10 + 1 )}

1

9

_{Suy ra : (10}n_{+ 10}n – 1 _{+…+ 10 + 1 ) = (10}n+1_{– 1 )}

1

9

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>

1

9

2
1 2
10

3

<i>n </i>

















_{= (10}2n+2_{+ 4.10}n+1_{+4) = .}



Vì 10n+1_{+2 3 nên A là số chính phương}

1

₂

10

3

<i>n</i>

_

Ta có : là số chẵn nên A chia hết cho 4

2
1 2
10

3

<i>n </i>

















2

2(5.

₁₀

1

3

<i>n</i>















_{A = = chia hết cho 4 nhưng khơng chia hết cho 8 vì}

5.10n_{+ 1 là số lẻ .Vậy A là không là số lập phương của một số tự nhiên .}

Bài 7 :Cho an = 22n+1 + 2n+1 +1 và bn = 22n+1 - 2n+1 +1.chứng minh rằng với mỗi số tự

nhiên có một và chỉ một trong hai số an ,bn chia hết cho 5.

Bài làm :

Ta có : an .bn = (22n+1 + 2n+1 +1)( 22n+1 - 2n+1 +1) = (22n+1 + 1)2 – (2n+1)2

= 42n+1_{+ 2 .2}2n+1_{+1 – 2}2n+2_{= 4}2n+1₊₁

_{Vì 2n +1 là số lẻ nên 4}2n+1_{+1 4 + 1 =5 .Vậy a}_n_.b_n_{5 (1)}

an – bn = 22n+1 + 2n+1 +1 – (22n+1 - 2n+1 +1) = 2n+2 không chia hết cho 5 (2)

Từ (1),(2) suy ra trong hai số an và bn có một và chỉ một số chia hết cho 5 với mỗi n

là số tự nhiên.

<i>Nhận xét : Để chứng minh một trong hai biểu thức chia hết cho một số nào đó ta xét </i>

tích và xét hiệu của hai biểu thức đó .

<i>2n</i>

<i>k</i>

_{Bài 8 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 và k là số tự nhiên lẻ ta có -}

1 2n+2 _.

Bài làm : chứng minh bằng quy nạp :

 _{Với n = 1 ta có k}2_{– 1 = (k – 1 )(k +1) 8 ( vì k – 1 , k + 1 là chữ số chẵn liên}

tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8 )





<i>k</i>

<i>2m</i>



<i>k</i>

<i>2m</i>





<i>k</i>

<i>2m</i>_{Giả sử với n = m ta có : - 1 2}m+2 _{- 1 = 2}m+2 _q

( q Z) = 2m+2 _{q +1}

 Với n = m + 1 ta có :

1

2<i>m</i>

<i>k</i>



<i>k</i>

<i>2m</i>_{- 1 = ( )}2 _{– 1 = ( 2}m+2 _{q +1)}2_{– 1 = 2}2m+4 _q2_{+ 2}m+3_q

_{= 2}m+3₍₂m+1 _q2_{+ q) 2}m+3
<i>2n</i>

<i>k</i>

_{Vậy - 1 2}n+2 _{với mọi n ≥ 1}

Bài 10 : Chứng minh rằng số được lập bởi 3n_{chữ số giống nhau thì chia hết cho 3}n _với

n là số nguyên dương
Bài làm :





3

aa...

<i>n</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>



<i>aaa</i>

_{Với n = 1 ta có = 111a 3}_{.Vậy (1) đúng với n =1}




3

aa...

<i>k</i>

<i>a</i>

Giả sử (1) đúng với n = k ,tức là ta có : 3k





1
3

aa...

<i>k</i>

<i>a</i>

 _

Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1 ,tức phải chứng minh: 3k+1

Thật vậy :

Ta có : 3k+1_{= 3}k _{.3 = 3}k₊₃k_{+ 3}k

















2.3 3
1

3 3 3 3 3 3 3
2.3 3 1

3

aa...

aa... aa... aa...a aa... .10

aa... .10

aa...

aa... .(10

10

1) 3

<i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i> <i>_k</i>

<i>k</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>
















 

Do
đó :



3

aa...

<i>k</i>

<i>a</i>

2.3 3 1

10

<i>k</i>

_

10

<i>k</i>

_{ }

1 3

<i>k </i>

(vì theo giả thiết quy nạp 3k _và

Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n ≥ 1

 1

<i>n</i>
<i>i</i>
<i>i</i>

<i>a</i>




3
1
<i>n</i>
<i>i</i>
<i>i</i>

<i>a</i>



_{Bài 11: Cho a}₁_,a₂_,...,a_n_{Z và 6.Chứng minh rằng 6}

Bài làm :

_{Ta cần chứng minh : n}3_{n(mod 6)}

_{Thật vậy : n}3_{– n = (n – 1 )n(n+1) 6(vì n – 1 ,n,n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên}

có một số chia hết cho 3 và có ít nhất một số chia hết cho 2 nên tích ba số đó chia hết
cho 6 )



 

3

1

<i>n</i>
<i>i</i>
<i>i</i>

<i>a</i>



 1
<i>n</i>

<i>i</i>
<i>i</i>

<i>a</i>



Thay n = a ta được a3_{a(mod 6) (mod 6) (1)}

1

<i>n</i>
<i>i</i>
<i>i</i>

<i>a</i>



_{Theo bài ta có : 6 (2)}

3
1

<i>n</i>
<i>i</i>
<i>i</i>

<i>a</i>



Từ (1) và (2) suy ra chia hết cho 6 (điều phải chứng minh )

26 ₃
1

.

₁₀

<i>k</i>

13

<i>k</i>

<i>k</i>









26
1

.( 1)

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>







Bài 12 : Chứng minh rằng : ; k Z
Bài làm :

_{Ta có : 10}3_{= 1000 - 1 (mod 13) vì 1001 = 13. 77}

</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>

26 ₃
1

.10

<i>k</i>
<i>k</i>

<i>k</i>






26
1

.( 1)

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>







Do đó : (mod 13)

26
1

.( 1)

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>







_{Mà : - 1 +2 – 3 +4 - … - 25 +26}

_{(-1+2) +(-3+4)+…+(-25+26) = 13}

26
1

.( 1)

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>








26 ₃
1

.

₁₀

<i>k</i>

13

<i>k</i>

<i>k</i>







Vậy 0(mod 13) hay (đpcm)

2003
9

2

Bài 13 : Tìm ba chữ số tận cùng của

Bài làm :

*Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 92003

_{Ta có : 9}2003 _{= 9}3_{. 9}2000₌₉3_.(320₎200_{29(mod 100)}

2003
9

2

_{Suy ra : = 2}100k + 29_{= 2}29_{. (2}100₎k _{912.376 (mod 1000)}

_{912( mod 1000)}
2003

9

2

Vậy ba chữ số tận cùng của là 912.

Bài 14 : Một số có 6n chữ số và chia hết cho 7. Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số
tận cùng lên đầu của số đó thì được một số mới cũng chia hết cho 7.

Bài làm :

Gọi số ban đầu là N= 10A + a ,với a là chữ số tận cùng của số đó và A là số có 6n –
1 chữ số .

Sau khi chuyển a lên đầu ta được số M = a. 106n – 1 _+A

Ta chứng minh N – 3M chia hết cho 7
Thật vậy :

Ta có : N – 3M = 7A – a(3. 106n – 1 _{– 1 )}

Áp dụng định lí Fermat ta có :

















₁₀6_{1(mod 7 ) 10}6n _{1(mod 7 ) 3.10}6n_{3(mod 7 )}

3.106n_{10 (mod 7 ) 3.10}6n – 1 _{1 (mod 7 )}



_3.106n – 1_{– 1}_{0 (mod 7 ) hay a(3. 10}6n – 1 _{– 1 ) chia hết cho 7 (1)}

Mà 7A chia hết cho 7 (2)

Từ (1),(2) suy ra N – 3M chia hết cho 7

Theo bài ta có N chia hết cho 7 nên suy ra 3M cũng chia hết cho 7
Mà ƯCLN (3,7) = 1 suy ra M chia hết cho 7.(đpcm)

<b>3.Bài tập tự luyện </b>

Bài 15 :Chứng minh rằng :

a.

11...1

<i>n</i>

  

2n + chia hết cho 3

b.

11...1

81

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>

9 ₉
9

9 9

₁₀

9



9



_

_{a. b.1}2013₊₂2013_+…+20132013₁₁

Bài 17: Chứng minh rằng tích của k số nguyên liên tiếp chia hết cho k!

Bài 18 : Cho a,b không chia hết cho 5 .Chứng minh rằng a4 _{- b}4_{chia hết cho 5 .}

Bài 19 :



_{Chứng minh rằng với mọi số nguyên m,n Z ta có :}



a.n2_(n2_{– 1 ) 12 c.n}2_(n4_{– 1 ) 60}



b. mn(m4_{– n}4_{) 30 d. 2n(16 – n}4_{) 30}

Bài 20 : Chứng minh rằng các biểu thức sau là số nguyên với mọi n nguyên :

9 7

₁₃

5

₈₂

3

₃₂

630 21

30

63

35

<i>n</i>

<i>n</i>

_

<i>n</i>

_

<i>n</i>

_

<i>n</i>

_

a. A =

9 7

₁₃

5

₈₂

3

32 ;

630 21

30

63

35

<i>n</i>

<i>n</i>

_

<i>n</i>

_

<i>n</i>

_

<i>n</i>

_

b.B =



_{Bài 21 :Chứng minh rằng biểu thức A = (2}3n+1₊₂n_)(n5_{- n) chia hết cho 30 với mọi n}

N





1

Bài 22: Cho f(x ) = xn_{+ a}

n – 1 xn – 1 +…+a1x+a0 ; ai Z; i = 0,1,…,n – 1. Giả sử m ≠

là nghiệm của f(x).



Chứng minh rằng f(1) (1 – m ) và f(-1 ) (1 + m )

1

<i>x</i>

<i>Z</i>

<i>x</i>

 

<i>x</i>

<i>n</i>

1

<i>_n</i>

<i>Z</i>

<i>x</i>





Bài 23 : Chứng minh rằng nếu thì với mọi số tự nhiên n .
Bài 24 : Chứng minh rằng :

7

7 ₇

7

7 7

₁₀

7



7



₂₂₀

11969



₁₁₉

69220



₆₉

220119



102

_{a. b.}

2003
2

3

_{Bài 25 : Tìm ba chữ số tận cùng của}

Bài 26: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có :

135 4 45

<i>x y</i>

₂

26<i>n</i>2

_

₁₉

₂

22 1<i>n</i>

_{ }

_{3 7}

₂

24 1<i>n</i>

_{ }

_{7 11}

a. _{b. c.}

Bài 27 : Cho p,k,n là các số nguyên dương.



Chứng minh rằng np+4k_{– n}p_{10 .}

Bài 28 : Cho 3 số nguyên x ,y,z thỏa mãn x + y + z chia hết cho 6 .Chứng minh rằng
M= (x+ y) (y + z)(z+ x) – 2 xyz chia hết cho 6

Bài 29 : Cho 4 số nguyên phân biệt a,b,c,d.Chứng minh rằng :

_{(a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) 12}

Bài 30 : Chứng minh rằng :

a. 

 

<i>n Z</i>

_n4 _{+ 6n}3 ₊₁₁2_{+ 6n 24 với}

b. _n4 _{- 4n}3 _{- 4n}2_{+ 16n 384 với n chẵn và n> 4}

Bài 31 : Chứng minh rằng biểu thức A = (23n+1_{+ 2}n_)(n5_{- n) chia hết cho 30 với mọi số}

</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>

<b> DẠNG 2 : CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM SỐ TỰ </b>

<b>NHIÊN N THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT </b>

<b>1. Phương pháp :</b>



- Giả sử tìm n N sao cho A(n) B(n)

 

- Biến đổi điều kiện A(n) B(n) k B(n) (với k là số tự nhiên khơng phụ

thuộc n) ,từ đó tìm n



- Thử lại các giá trị tìm được của n để có A(n) B(n)

<b>2. Hệ thống các bài tập </b>

Bài 32:

a. Tìm các số nguyên dương n sao cho n2_{+ 1 chia hết cho n + 1}

b. Tìm số nguyên n để 3n – 8 chia hết cho n – 4
Bài làm :

a.



Giả sử : n2_{+ 1 n + 1 ,khi đó n}2 _{+ 1 = (n}2 _{– 1 )+ 2 n + 1}



Vì n2_{– 1 = (n – 1 ) (n + 1 ) n + 1 nên suy ra 2 n + 1}



1;2



_{Mà Ư(2) = suy ra n + 1 = 1 hoặc n + 1 = 2}

Suy ra n = 0 hoặc n = 1
Vì n nguyên dương nên n = 1



Thử lại : với n = 1 ta có n2 _{+ 1 = 1}2_{+ 1 = 2 1 + 1 (đúng)}

Vậy với n = 1 thì n2_{+ 1 chia hết cho n + 1}



_{b. Giả sử 3n – 8 n – 4 khi đó 3n – 8 = 3(n – 4 ) + 4 n – 4}

  

  

1; 2; 4

_





5;3;6;2;8;0



_{4 n – 4 n – 4 = n}

Bài 31 :



a. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện (n + 5)(n + 6) 6n

b. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho (n – 1 )! chia hết cho n

Bài làm :

a. Ta có : P = (n + 5) (n + 6) = n2_{+ 11n + 30 = 12n + (n}2_{– n +30)}

  

P 6n n2_{– n +30 6n}



Vì n2 _{– n n nên 30 n và 30 6 nên n}2 _{– n 3}

Vậy n là ước dương của 30 và n chia hết cho 3 dư 0 hoặc dư 1



1;3;6;10;15;30



<i>n</i>

Suy ra :



1;3;10;30



<i>n</i>

Trong các giá trị trên chỉ có thỏa mãn điều kiện bài toán .
b. Ta có : (n – 1 )! = 1.2.3…(n – 1 )

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>





Nếu n là hợp số có dạng n = a.b (với a ≠ b và1< a < n; 1< b <n) thì
trong tích 1.2.3…(n – 1 ) có hai thừa số a và b nên (n – 1 )! n

 Nếu n là hợp số có dạng n = p2 ( với p là số nguyên tố ) thì :
+ Nếu p > 2 thì p2 _{– 1 ≥ 2p}

do đó 2p2_{= p(2p) là ước của (p}2_{– 1)! Suy ra p}2 _{= n là ước của (n – 1 )!}

+ Nếu p = 2 thì n = 4 khơng là ước của 3!



Vậy (n – 1 ) ! n khi n là hợp số khác 4
Bài 33 :

a. Tìm số tự nhiên n biết tích các chữ số của n bằng n2 _{– 10n – 22}

b. Tìm số tự nhiên n biết tổng các chữ số của n bằng :
S(n) = n2_{– 2003 n + 5}

c. Tìm số tự nhiên n sao cho n + S(n) + S(S(n)) = 60 ,với S(n) là tổng các chữ số của
n

Bài làm :

a. Để làm bài này trước hết ta chứng minh một nhận xét nhỏ : một số có n chữ số
bao giờ chũng khơng nhỏ hơn tích các chữ số của nó .

Thật vậy :

1 2 1 1
0 1 1 ₀ ₁ ₁ ₀ ₀

0 1 1

...

10

10

...

10

9

. ....

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i>

<i>a a a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a a</i>

<i>a</i>

   
 _






 







Ta có
Như vậy theo bài ta có :

0 ≤ n2 _{– 10n – 22 ≤ n}



2

₁₀

_{22 0}

₍

_{10) 22}

12

13

12

2

₁₁

_{20 0}

(

11) 22

<i>n n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

 _
 
 
 

















 















Thử lại : với n = 12 thì 1.2 = 122 _{– 10.12 – 22 (đúng )}

2

₁₀

_{22 0}

₍

_{10) 22}

12

13

12

2

₁₁

_{20 0}

₍

_{11) 22}

<i>n n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

 _
 
 
 

















 















Vậy n = 12 là
số tự nhiên cần tìm

b. Tìm n để S(n) = n2_{– 2003 n + 5 với S(n) là tổng các chữ số của n}

Ta ln có : 0 < S(n) ≤ n
Cách 1 :

+ Nếu 1 ≤ n ≤ 2002 thì (n – 1 )(n – 2002 )= n2 _{– 2003n +2002 ≤ 0}

Suy ra n2 _{– 2003 n + 5 < 0 .Vơ lí .}

+ Nếu n = 2003 thì S(n) = 20032_{– 2003 .2003 + 5 = 5 = 2+0+0+3 (thỏa mãn )}

+ Nếu n > 2003 thì n – 2003 ≥ 1 ,

khi đó S(n) = n2_{– 2003 n + 5 = n ( n – 2003) + 5 > n ,vơ lí}

Vậy với n = 2003 thì S(n) = n2_{– 2003 n + 5}

Cách 2 :

</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

2 2
2 2

2003 5 0

2003 2002 0

2003 5

2004 0

( 1)(

2002) 0

2002

2004

2003

(

2004) 0

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n n</i>



_

_{ }



_

_

_



_









 























_



 













Thử lại với n =2003 thì S(n) = n2 _{– 2003n + 5}

Vậy với n = 2003 thỏa mãn điều kiện đề bài .

c. Tìm n để n + S(n) + S(S(n)) = 60

 

_{Vì S(n) ≥ 1 nên n ≤ 59 S(n) ≤ 14 S(S(n)) ≤ 9.Do đó :}

n = 60 – S(n ) – S( S(n)) ≥ 60 – 14 – 9 = 37
Vậy : 37 ≤ n ≤ 59 (1)



Mặt khác : vì n S(n) (mod 9) và S(n) S(S(n)) (mod 0)











nên 60 = n + S(n) + S(S(n)) n +n + n (mod 9) 3 n 6(mod 9 ) n 2 (mod

9) (2)





38;41;44;47;50;53;56;59



Từ (1) ,(2) suy ra n
Thử lại ta thấy n = 44 ; n = 47 ; n = 50 thỏa mãn đề bài .

Bài 34 : Tìm các chữ số x ; y để :

7 36 5

<i>_{x y 135 4 45}</i>

<i>x y</i>

_{a. 1375 b.}

Bài làm :

7 36 5

<i>_{x y }</i>

_{a. 1375}

ta có : 1375 = 125 .11

7 36 5

<i>_{x y  6 5}</i>

<i>_{y }</i>

_{125 125 y =2 ;}

7 36 5

<i>_{x y  }</i>

_{11 (5 + 6 +x) – (2 + 3 + 7 ) = 12 – x 11 x = 1}

Vậy số cần tìm là 713625 .

135 4 45

<i>x y</i>

_b.

135 4 45

<i>_{x y  135 4}</i>

<i>_{x y135 4}</i>

<i>_{x y}</i>

_{Ta có : 5 và 9}

135 4

<i>_{x y}</i>

_{+ 5 y = 0 hoặc y = 5}



135 40

<i>x  </i>

Với y = 0 : 9 1+ 3 + 5 + x+ 4 + 0 9



_{x = 5}



_{ta được số 135540}



135 45

<i>x  </i>

Với y = 5 : 9 1+ 3 + 5 + x+ 4 + 5 9



_{x = 0 hoặc x = 9}

</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>





44...4 ...

<i>n</i>

<i>xx x </i>

<i>n</i>



11...1 ...

<i>n</i> <i>n</i>

<i>xx x</i>

Bài 35 : Với những số nguyên nào của x (0 ≤ x ≤ 9)

thì các số và đồng thời là tích của hai số tự nhiên liên tiếp với mọi số tự nhiên n ≥
1.

Bài làm :

<i>4x1x</i>

_{Với n = 1 hai số và đồng thời là tích của hai số tự nhiên liên tiếp chỉ}

với x = 2 (42 = 6.7 ;12 = 3.4 )

Ta sẽ chứng minh với x = 2 thì kết quả đúng với mọi n ≥ 1.
Thật vậy :

    10 1 10 1
44...4 22...2 44...4.10 22...2 4. .10 2.

9 9

<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

 
   

Ta có :

10 1 2.10 2 2.10 1
2. (2.10 1) .

9 3 3

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>

  
  

2(10 1) 2(10 1)
. 1
3 3

<i>n</i> _ <i>n</i> _

 
 _  _

 

Vì 10n _{– 1 = (10 – 1 ) (10}n – 1 ₊₁₀n – 2 _+…+10+1)

= 9.(10n – 1 ₊₁₀n – 2 _{+…+10+1) chia hết cho 3}

2(10 1)
3

<i>n</i>

  2(10 1) ₁
3

<i>n</i>

  

 

 _{Nên và là hai số tự nhiên liên tiếp}





44...4 ...

<i>n</i> <i>n</i>

<i>xx x</i>

Vậy là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp khi x = 2 .
Tương tự :

  10 1 10 1 10 1

11...122...2 .10 2. (10 2)
9 9 9

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>

  

   

10 1 10 1
1
3 3

<i>n</i> _ <i>n</i> _

 
 _  _

 _{cũng là tích của hai số tự nhiên liên tiếp}

với mọi n ≥ 1

Bài 36 : Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n + S(n) = 94 với S(n) là tổng các chữ số của
n .

Bài làm:

Vì n + S(n) =94 nên n < 94 ,do đó n có hai chữ số ,suy ra S(n) ≤ 18 .Theo bài n =
S(n) = 94 suy ra n = 94 – S(n) ≥ 94 – 18 = 76

<i>ab ab</i>



_{Gọi n = ta có : + a + b = 94 11a + 2 b = 94}





Với a = 7 thì b = (94 – 77) : 2 N ( loại )





Với a = 8 thì b = 3 N

Vậy số cần tìm là 83

<b>3.Bài tập đề nghị :</b>

1

<i>aaa</i>

1

_{Bài 37 : Tìm chữ số a để chia hết cho 11.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

<i>1234xy </i>

2 78

<i>x</i>



a. 72 b. 17

Bài 39 : Tìm tất cả số tự nhiên n thỏa mãn một trong các điều kiện sau :
a.



n + 11 n – 1 c. 7n n – 3

b.



n2_{+ 2n + 6 n + 4}



Bài 40 : Tìm n Z để :

a.



n 2 _{+ n + 1 n + 1 c. n}3 _{- 8n}2 _{+ 2n n}2 ₊₁

</div>

<!--links-->