Công thức tính diện tích tam giác lớp 10, hệ thức lượng, giải tam giác - Giáo viên Việt Nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (89 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TOÙM TẮT GIÁO KHOA 
I. Các ký hiệu:

• A, B, C: là các góc đỉnh A, B, C

• a, b, c : là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C
• ha, hb, hc : là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C

• ma, mb, mc : là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C

• la, lb, lc : là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C

• R : là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
• r : là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC
• p =

1(a+b+c) : là nữa chu vi tam giác ABC

• S : là diện tích tam giác ABC

a
b

ma
la

ha

H D M

II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông :

Trong tam giác vuông ABC . Gọi b', c' là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vng lên cạnh huyền ta có

các hệ thức:

⎩
⎨
⎧

=
=

⎩
⎨
⎧

=
=

=
+
=
=

+
=

=
=

gB
b

tgC
b
c

gC
c

tgB
c

b
B

a
C
a
c

C
a
B
a
b
c

b
h
a

c
b
h

c
b
a

c
a
b

a
b

cot
.
.

.
7
cos

.
sin
.

cos
.
sin
.
.

6
.

.
.
5

1
1
1
.
4

.
.

3
.
2

.
.

.
1

2
2
2

'
'
2

2
2
2

'
'

c

&

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

c b

a
h

c' b'

H
A

B C

II. Các hệ thức lượng trong tam giác thường 
1. Định lý hàm số CÔSIN:

Trong tam giaùc ABC ta luôn có :

C
ab
b

a
c

B
ca

a

c
b

A
bc
c

b
a

cos
2

2
2
2

2
2

−
+
=

c b

a
A

B C

Ghi nhớ: Trong một tam giác, bình phương mỗi cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai 
lần tích hai cạnh ấy với cơsin của góc xen giữa chúng.

Hệ quả: Trong tam giác ABC ta luôn có :

bc
a
c
b
A

2
cos

2
2
2 + −

= ,

ac
b
c
a
B

2
cos

2
2
2 + −

= ,

ab
c
b
a
C

2
cos

2
2
2 + −

2. Định lý hàm số SIN:

Trong tam giaùc ABC ta coù :

R
C
c
B
b
A
a

2
sin

sin

sin = = =

Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a
b
O

B C

Ghi nhớ:

Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường
kính đường trịn ngoại tiếp tam giác.

3. Định lý về đường trung tuyến: 
Trong tam giác ABC ta có :

4
2

2
2
2
2

c
b
a
m

b
c
a
m

a

c
b
m

c
b
a

−
+
=

4. Định lý về diện tích tam giác:

Diện tích tam giác ABC được tính theo các cơng thức sau:

)
)(
)(
(

.
5

.
4

4
.

sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
.

2
1
2

1
.

c
p
b
p
a
p
p
S

pr
S

R
abc
S

A
bc
B

ac
A
ab

S

ch
bh

ah

S a b c

−
−
−
=

=
=

a
b
ma

M
B

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a
b
ha

H
B

5. Định lý về đường phân giác:

b
a

C
ab
l

c
a

B
ac
l

c
b

A
bc

la b c

+
=
+

= 2 .cos 2 ; 2 .cos2 ; 2 cos2

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC

Để chứng minh đẳng thức lượng giác A=B ta có thể thực hiện theo một trong các phương pháp sau
Phương pháp 1: Biến đổi vế này thành vế kia

Phương pháp 2: Xuất phát từ một một hệ thức đúng đã biết để suy ra đẳng thức cần chứng minh
VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin A sin B sin C 4.cos .cos .cosA B

2 2

+ + = C

b) sin A sin B sin C 2 2 cosA.cosB.cosC2 + 2 + 2 = +
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + = (ΔABC khoâng vuoâng)
b) tg .tgA B tg .tgB C tg .tgC A 1

2 2 + 2 2 + 2 2 =

Dạng 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC

I. Bất đẳng thức trong tam giác :

Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
• a > 0, b > 0, c > 0

• b c a b c− < < +
• c a b c a− < < +
• a b c a b− < < +
• a b c> > ⇔ > >A B C

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Cho hai số không âm a; b ta coù :

2 ≥ ab

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b

Tổng quát

Cho n số không âm a1,a2,...an ta coù :

1 2

... n n . ...

n

a a a a a a

n

+ + + ≥

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an

2 . Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :

(ax by+ )2 ≤(a2+b x2)( 2+y2)

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx

Tổng quát :

Cho hai bộ số ( ,a a1 2,... )an vaø ( , ,..., )b b1 2 bn ta coù :

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

(a b a b+ + +... a bn n) ≤(a +a + +... an )(b +b + +... bn )

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi 1 2
1 2

... n

n

a

a a

b =b = = b với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng

3) Bất đẳng thức cơ bản:

1 1 1 1( )
4

≤ +

x y x y

a) Cho hai số dương x, y ta luôn có:

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi x = y

b) Với mọi số thực x, y ta ln có: x2 + y2 ≥2xy

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi x = y
III. Bất đẳng thức JENSEN :

1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) < 0 ∀x∈(a;b) (f là hàm lồi) thì

Với mọi x1,x2,...,xn∈(a;b) ta có:

( 1) ( 2) ... ( ) ( 1 2 ... )

n
x
x
x
f
n

x
f
x

f
x

f n + + n

≤
+

+

)

2
(n≥

Daáu "=" xãy ra khi và chỉ khi x1 =x2 =...=xn

2) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > 0 ∀x∈(a;b)(f là hàm lõm) thì

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

( 1) ( 2) ... ( ) ( 1 2 ... )
n
x
x
x
f
n
x
f
x
f
x

f n + + n

≥
+
+
+ 
)
2
(n≥

Dấu "=" xãy ra khi và chæ khi x1 =x2 =...=xn

Để chứng minh đẳng thức lượng giác A<B (>, ≥≤, ) ta có thể thực hiện theo một trong các phương 
pháp sau:

Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến một bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Phương pháp 2: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đã biết (Cô si, BCS,...) để suy ra bất đẳng thức cần
chứng minh

VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

8
1
2
sin
.
2
sin
.
2

sin A B C ≤

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
2
3
3

2
cos
2
cos
2

cos A+ B + C ≤

b)
2
3
3
sin
sin

sinA+ B+ C≤

c) 3
2
2

2 + + ≥

C
tg
B
tg
A
tg

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
8
3
3
2
cos
.
2
cos
.
2

cos A B C ≤

b) tgA+tgB+tgC ≥3 3

c)
3
3
1
2
.
2
.
2 ≤
C
tg
B
tg

A
tg

Daïng 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

KIỂU ĐỀ TỐN 1:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨

⎧
Δ
⇒
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
biệt....
đặc
góc
có
giác
tam
là
đều
giác
tam
là
cân
giác
tam
là
cân
vng
giác
tam
là
vng

giác
tam
là
ABC

trước"
cho
kiện
Điều
"

mãn
thỏa
ABC
giác
tam
Cho
THÌ

KIỂU ĐỀ TỐN 2:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

• Đẳng thức lượng giác + độ dài (cạnh, trung tuyến, phân giác,...)
• Đẳng thức độ dài

• Hệ đẳng thức

1) Nhận dạng tam giác vuoâng

Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả để biến đổi "Điều kiện cho
trước" đến một đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận được tính chất của tam giác
2) Nhận dạng tam giác cân

Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả để biến đổi "Điều kiện cho 
trước" đến một đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận được tính chất của tam giác
3) Nhận dạng tam giác đều

Ngoài phương pháp đã nêu trên ta có thể giải quyết bài tốn theo cách sau

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Gồm 2 bước (áp dụng khi "Điều kiện cho trước" có dạng 
đẳng thức A = B

Bước 1: CM bất đẳng thức A≥B hoặc A≤B (1)

Bước 2: Lập luận để đẳng thức ở (1) xãy ra mà khi đẳng thức (1) xảy ra thì tam giác ABC đều 
VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1: Tam giác ABC có tgA
A
B

B
A

=
+

+
cos

sin

cos

sin . Chứng minh rằng

ΔABC vuông

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu ΔABC thỏa mãn điều kiện cos2A+cos2B+cos2C+1=0 thì tam
giác đó là tam giác vng

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện sau là tam giác cân

1) tgA tgB 2.cot gC

+ = 2) sin A sin B sin C cot g .cot gA C

sin A sin B sin C 2 2

+ +

+ −

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện sau là tam giác đều

A B C

cos cos cos

2 2 2 3

1 cosA 1 cosB 1 cosC+ + + + + =
1) cosA.cosB.cosC 1

8
=

3) cosA cosB cosC sinA sinB sin

2 2

+ + = + + C

2 4)

1 1 1 1 1 1

A B

cosA cosB cosC sin sin sin

2 2

+ + = + + C

Ví dụ 5: Xác định dạng của tam giác ABC biết:
1) a b tg (a.tgA b.tgB)C

+ = +

2) b c a

cosB cosC sin B.sin C+ =

3) cosB cosC b c
a
+

+ =

4) a.cosA b.cosB c.cosC 1

a b c 2

+ + =

+ +

Ví dụ 6: Hãy tính các góc của tam giác ABC nếu trong tam giác đó ta có :

2 2 2 9

sin A sin B sin C 3cosC cos C

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ví dụ 7: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng

⎪⎩
⎪
⎨
⎧

−
=
≤
−

8
3
3
2
2
sin
2
sin
2
sin

)

(
4

C
B
A

bc
a
p
p

trong đó BC = a, AB = c,

c
b
a
p= + +

</div>

Công thức tính diện tích tam giác lớp 10, hệ thức lượng, giải tam giác - Giáo viên Việt Nam

<b>CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN </b>

Tổng quát

Tổng quát :

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về