SKKN Hướng dẫn học sinh sử dụng công thức tính diện tích tam giác

Phần I -đặt vấn đề
-Công thức tính diện tích của tam giác đợc học sinh làm quen từ bậc tiểu học ,
tới bậc THCS các em đợc hiểu rõ hơn về cách xây dựng công thức tính diện tích tam
giác và việc sử dụng công thức tính diện tích tam giác để giải các bài tập có liên quan
vốn rất đa dạng và phong phú ở các lớp 8và lớp 9.
-Sử dụng công thức tính diện tích tam giác giúp học sinh xây dựng đợc công
thức tính diện tích của : Hình thang , tứ giác có hai đờng chéo vuông góc, hình bình
hành, hình thoi Đặc biệt để tính diện tích các đa giác ta thờng quy về việc tính diện
tích tam giác bằng cách chia các đa giác thành các tam giác hoặc tạo ra một tam giác
có chứa đa giác (Trong thực tế việc phân chia đa giác nh trên tỏ ra rất tiện lợi).
-Nh vậy công thức tính diện tích tam giác có thể coi là một công cụ của toán
học , nó giúp chúng ta sử dụng để giải quyết đợc nhiều vấn đề trong giải bài tập toán ,
trong việc xây dựng công thức , chứng minh các định lý,
-Với nhận thức về tầm quan trọng của công thức tính diện tích tam giác , tôi đã
đi sâu tìm hiểu về Hớng dẫn học sinh sử dụng công thức tính diện tích tam giác
trong việc giải một số dạng toán trong chơng trình Hình học lớp 8,9.
-Trong phạm vi của bài viết này tôi muốn trình bầy kinh nghiệm hớng dẫn học
sinh sử dụng công thức tính diện tích tam giác để thiết lập về quan hệ độ dài giữa các
đoạn thẳng và tìm cực trị trong hình học lớp 8,9.Các dạng toán trên đã có nhiều cách
giải, với các phơng pháp khác nhau nhng tôi nhận thấy nếu dùng phơng pháp của kinh
nghiệm này học sinh sẽ thuận lợi hơn trong việc tìm ra những lời giải hay , dễ hiểu và
độc đáo .
-Trong thực tế giảng dậy tôi nhận thấy học sinh thờng lúng túng trong việc nhận
dạng , phân loại bài tập và vận dụng kiến thức nh thế nào cho hợp lý dể giải một bài
toán cụ thể .Đặc biệt là những bài toán về thiết lập quan hệ giữa các độ dài đoạn thẳng
và tìm cực trị hình học trong đó có liên quan tới việc sử dụng công thức tính diện tích
của tam giác .
-Nhận thức đợc tầm quan trọng của vấn đề , tôi đã cố gắng tìm ra những biện
pháp giúp học sinh chủ động , sáng tạo khi sử dụng công thức tính diện tích tam giác
trong việc giải các dạng toán thờng gặp trong chơng trình Hình học 8,9.Trong bài viết
này tôi muốn trao đổi cùng với đồng nghiệp một số kinh nghiệm nhỏ mong phần nào

giải toả đợc những băn khoăn , góp phần nâng cao hiệu quả học tập của học sinh.
4
Phần II-Giải quyết vấn đề.
- Để thiết lập về quan hệ độ dài các đoạn thẳng hoặc tìm cực trị hình học ,
học sinh ít chú ý tới phơng pháp sử dụng công thức tính diện tích của một tam giác .
- Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy : Học sinh tuy có nắm vững kiến thức , kỹ
năng cơ bản nhng việc sử dụng nó thế nào cho thích hợp thì còn hạn chế .
-Vậy làm thế nào để học sinh nhận dạng đợc bài toán để từ đó sử dụng vốn
kiến thức đã có cho hợp lý và hiệu quả nhất .
-Trong phạm vi của bài viết nhỏ này tôi muốn đi sâu tìm hiểu phơng pháp
sử dụng công thức tính diện tích tam giác trong việc giải hai dạng toán sau:
Dạng 1: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để thiết lập quan hệ về
độ dài đoạn thẳng.
Dạng 2: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm cực trị hình học.
I-các kiến thức trọng tâm
Để dậy tốt phơng pháp này chúng ta cần hớng dẫn học sinh nắm đợc cơ sở của
nội dung và phơng pháp đó là công thức tính diện tích tam giác:
S
ABC
=
2
1
BH.AC. B
S
ABC
: Diện tích của

ABC.
BH: Chiều cao .
AC: Cạnh đáy.

A C
H
-Với trình độ của học sinh khá, giỏi các em cần nắm vững việc xây dựng công
thức từ công thức tính diện tích của hình chữ nhật và biết áp dụng công thức trong việc
giải các bài toán có liên quan .Để học sinh sử dụng tốt công thức trong từng bài toán
cụ thể yêu cầu học sinh cần nắm đợc các kiến thức sau:
1-Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.

ABC =

A
,
B
,
C
,


S
ABC
= S
A
,
B
,
C
,
(Điều ngợc lại cha chắc đã đúng).

2-Nếu một đa giác (Tam giác ) đợc chia thành những đa giác (Tam giác ) không

có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác (tam
giác ) đó.
3-Hai tam giác có chung cạnh đáy và đờng cao tơng ứng với đáy bằng nhau thì
diện tích của hai tam giác đó bằng nhau.
5

ABC,

DBC,


S
ABC
=S
DBC
.
AK = DH D
A
B H
K C
4-Hai tam giác có độ dài hai đáy bằng nhau và có chung đờng cao thì chúng
có diện tích bằng nhau.
B

ABC ,

BCF


S

ABC
= S
B C F

BE

AC; BE

CF; AC=CF
A
E C F
5 -Hai tam giác có độ dài cạnh đáy bằng nhau thì tỷ số diện tích bằng tỷ số hai đ-
ờng cao tơng ứng.
A
D

ABC,

DBC
AO

BC


ABC
DBC
S
S
=
AO

DE
DE

BC
B O C E
-Hai tam giác có độ dài đờng cao bằng nhau thì tỷ số diện tích bằng tỷ số hai
cạnh tơng ứng .
A N
B C M
K Q P


ABC,

MNP
6
AK = NQ ,


MNP
ABC
S
S
=
MP
BC
AK

BC,NQ

MP
6-Chú ý: Một số bài toán liên quan tới miền của tam giác thì khi sử dụng công
thức tính diện tích tam giác ta có thể sẽ nhanh tìm ra cách giải .
II-Hệ thống bài tập
Để phát huy đợc sự sáng tạo của học sinh và rèn luyện kỹ năng giải bài tập ,
giúp học sinh từng bớc nhận dạng , phân loaị đợc bài tập , ở phần này tôi mạnh dạn
phân chia thành 2 dạng chính để đi sâu nghiên cứu , tất nhiên trong thực tế còn một số
dạng khác có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm ra lời giải.
Chúng ta cùng nghiên cứu dạng thứ nhất:
Dạng 1: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để thiết lập quan hệ về
độ dài của các đoạn thẳng.
Các công thức diện tích cho ta quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng , chúng rất
có ích để giải nhiều bài toán , chúng ta cùng nghiên cứu một số bài toán sau:
Bài 1-Cho tam giác đều ABC , chứng minh rằng điểm M thuộc miền trong của
tam giác ABC thì tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác bằng chiều cao
của tam giác .
1-H ớng dẫn tìm lời giải.
Điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC nên ta sử dụng công thức tính diện
tích tam giác và mối quan hệ giữa S
AMB,
S
AMC
, S
BMC
với S
ABC
để chứng minh.
2-Cách giải :
Gọi a,h là cạnh và chiều cao của tam giác ABC .
MA

,
,MB
,
,MC
,
là các khoảng cách từ M đến BC,AC,AB.
M thuộc miền trong của

ABC thì :
S
ABC
= S
AMB
+ S
AMC
+ S
BMC
.
Hay
2
1
BC . MA
,
+
2
1
AC.MB
,
+
2

1
AB.MC
,
=
2
1
BC.AH
hay
2
a
.( MA
,
+MB
,
+MC
,
) =
2
a
h.
Suy ra: MA
,
+MB
,
+MC
,
=h.
3-Khai thác bài toán :
7
1-Nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền trong góc A thì :

S
ABC
= S
AMB
+ S
AMC
- S
BMC


2
a
.(MB
,
+MC
,
) -
2
a
. MA
,
=
2
a
h.


MB
,
+MC

,
-MA
,
=h.
2- Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc A thì :
MA
,
-MB
,
-MC
,
=h.
3- Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc B thì :
MB
,
- MA
,
- MC
,
=h.
4-Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh góc C thì:
MC
,
-MA
,
- MB
,
=h.
Bài 2- Cho tam giác ABC với ba đờng cao A A
,

, BB
,
, CC
,
.Gọi H là trực tâm

ABC chứng minh rằng:
,
,
AA
HA
+
,
,
BB
HB
+
1
,
,
=
CC
HC
.
1-H ớng dẫn tìm lời giải.
Điểm H thuộc miền trong của

ABC, ta sử dụng công thức tính diện tích tam
giác và tỷ số của S
HBA

, S
HAC
, S
BHC
với S
ABC
để tìm cách giải.

2-Cách giải:
Điểm H là trực tâm tam giác ABC nên A A
,
,BB
,
,CC
,
đồng quy tại H.Ta có :
S
ABC
=
2
1
A A
,
.BC =
2
1
BB
,
.AC =
2

1
CC
,
.AB. A
S
BHC
=
2
1
HA
,
.BC ,
S
HBA
=
2
1
HC
,
.AB, S
HAC
=
2
1
HB
,
.AC C
,
B
,

Vậy :
ABC
BHC
S
S
= (
2
1
HA
,
.BC):(
2
1
A A
,
.BC ) =
,
,
AA
HA
.
( 1) H

ABC
BHA
S
S
= (
2
1

HC
,
.AB ):(
2
1
CC
,
.AB) =
,
,
CC
HC

(2) B A
,
C
8
ABC
AHC
S
S
= (
2
1
HB
,
.AC):(
2
1
BB

,
.AC) =
,
,
BB
HB
(3)
-Từ (1), (2), (3) ta có :
,
,
AA
HA
+
,
,
BB
HB
+
,
,
CC
HC

=
ABC
BHC
S
S
+
ABC

BHA
S
S
+
ABC
AHC
S
S
=
ABC
ABC
S
S
= 1.
Vậy:
,
,
AA
HA
+
,
,
BB
HB
+
,
,
CC
HC

= 1.
Bài 3-Cho hình bình hành ABCD .Các điểm E,F lần lợt nắm trên các cạnh
AB,BC, sao cho A F = CE , A F cắt CE tại I.
Chứng minh : ID là tia phân giác của góc AIC.
1-H ớng dẫn cách tìm lời giải:
-Vẽ DH

IA ,DK

IC tìm quan hệ giữa DH và DK, chứng tỏ S
A F D
= S
CDE
.
2-Cách giải.
-Từ D kẻ DH

AI , DK

IC ta có : S
A F D
=
2
1
DH.AF.
S
CDE
=
2
1

DK.CE.
S
A F D
= S
ABCD
-( S
AB F
+ S
CDE
)
= BC.h - (
2
1
h.BF+
2
1
h.CF)
=BC.h -
2
1
h.BC
=
2
1
(BC.h)
=
2
1
S
ABCD

.
-Tơng tự ta có: S
CDE
=
ABCD
S
2
1

Vậy S
ADF
= S
CDE
, A F=CE (gt) .
Suy ra DH=DK suy ra D thuộc ID là phân giác của góc AIC.
9
Bài 4-Cho điểm O thuộc miền trong của

ABC . các tia AO,BO,CO cắt các
cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở A
,
,B
,
,C
,.
Chứng minh: A
1,
,
,
AA

OA

+
,
,
BB
OB
+
,
,
CC
OC

= 1. C
,
B
,
O
2,
,
AA
OA

+
,
BB
OB
+
,
CC

OC

= 2 B C
1-H ớng dẫn cách tìm lời giải. A
,
-Gọi S
ABC
, S
OBC
, S
OAC
, S
BOA
lần lợt là: S

, S
1
, S
2
, S
3
tìm cách biểu diễn các
Tỷ số:
,
,
AA
OA

,
,

,
BB
OB
,
,
,
CC
OC
,

,
AA
OA

,
,
BB
OB
,
,
CC
OC

qua S

, S
1
, S
2
, S

3
2-Cách giải
Gọi S là diện tích tam giác ABC.
Gọi S
1
là diện tích tam giác OBC.
Gọi S
2
là diện tích tam giác OAC.
Gọi S
3
là diện tích tam giác OBA.
Ta có :
1
323
2
,
S
SS
S
S
S
S
OA
OA
OABOAC
+
===
(1)
S

S
SS
SS
S
S
S
S
AA
OA
AABAAC
BOACOA
BAA
B
OA
ACA
COA
1
,
,
,,
,
,
,
,
=
+
+
===
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

S
SS
AA
OA
32
,
+
=
Chứng minh tơng tự ta có :
S
S
BB
OB
2
,
=
,
S
S
CC
OC
3
,
,
=
,
S
SS
BB

OB
31
,
+
=
,
S
SS
CC
OC
21
,
+
=

1-Vậy :
,
,
AA
OA

+
,
,
BB
OB
+
,
,
CC

OC


=
S
S
S
S
S
S
3
21
++
=1.
10
2.
2
21
3132
,,,
=
+
+
+
+
+
=++
S
SS
S

SS
S
SS
CC
OC
BB
OB
AA
OA
3-Khai thác bài toán:
Với bài toán này ta có thể xây dựng đợc bài toán về cực trị ( Ta xét ở phần sau).
Chứng minh :
M =
6
,,,
++
OC
OC
OB
OB
OA
OA
.
Bài 5- Cho tam giác nhọn ABC có ba đờng cao A A
,
, BB
,
,CC
,
cắt nhau tại H.

A
1
,B
1
,C
1
là các điểm đối xứng của H qua BC,AC và AB.Chứng minh rằng tổng:
,
1
,
1
,
1
CC
CC
BB
BB
AA
AA
++
không đổi.
1-H ớng dẫn cách tìm lời giải.
-Biểu diễn
,
1
AA
AA
qua biểu thức của HA
,
và A A

,
rồi biểu diễn
,
,
AA
HA
qua
ABC
HBC
S
S
làm tơng tự ta xây dựng đợc quan hệ
của
,
1
BB
BB
với
ABC
HAC
S
S
:
,
1
CC
CC
với
ABC
HAB

S
S
từ đó tìm đợc cách chứng minh.
2-Cách giải:
-Xét tỷ số :
,
,
,
1
,
,
1
,,
,
1
11
AA
HA
AA
AA
AA
AAAA
AA
AA
+=+=
+
=
(A
,
A

1
=HA
,
Vì A
1
đối xứng với H qua BC).
-Ta lại có :
,
,
AA
HA
=
ABC
HBC
S
S
AABC
HABC
=
,
,
.
2
1
.
2
1

-Vậy :
ABC

HBC
S
S
AA
AA
+=
1
,
1
(1)
-Tơng tự ta có:
ABC
HAC
S
S
BB
BB
+=
1
,
1
(2)
11

ABC
HAB
S
S
CC
CC

+=
1
,
1
(3)
Cộng từng vế 3 đẳng thức (1),(2),(3) ta lại có:
,
1
,
1
,
1
CC
CC
BB
BB
AA
AA
++
=3 +
ABC
HABHACHBC
S
SSS
++
=3+
413
=+=
ABC
ABC

S
S
.
Bài 6- Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh a,b,c các chiều cao tơng ứng là
h
a
,h
b
,h
c
.Biết rằng : a+ h
a
=b+ h
b
=c+ h
c
.
Chứng minh: Tam giác ABC đều.
1-H ớng dẫn cách tìm lời giải.
-Xét các đẳng thức: a+ h
a
=b+ h
b
,
a+ h
a
= c+ h
c

b+ h

b
=c+ h
c
-Biểu diễn h
a
,h
b
,h
c
qua S
ABC
là S
từ đó xét mối quan hệ giữa a,b,c ta có điều cần chứng minh.
2-Cách giải:
-Gọi S là diện tích của tam giác ABC.
+Xét a+ h
a
=b+ h
b
ta lại có: a-b = h
b
- h
a
=
a
S
b
S 22

=2S (

ab
11

)=2S .
ab
ba
Suy ra: (a-b).(1-
ba
S2
) = 0. Suy ra tam giác cân ở C hay vuông ở C. (1)
+Xét a+ h
a
= c+ h
c
Ta có:a-c = h
c
-h
a


a-c=
a
S
c
S 22

.
Tơng tự ta có : (a-c) .(1-
ac
S2

) = 0 .
Suy ra tam giác cân ở B hay vuông ở B (2).
+Xét b+ h
b
=c+ h
c
.
Tơng tự ta có : (c-b).(1-
bc
S2
) = 0 .
Suy ra tam giác cân ở A hay vuông ở A . (3).
Xảy ra cả (1),(2),(3) khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
12
3-Nhận xét:
Tam giác ABC (Hình 1)

ABC
đều.
AB = c,BC= a, AC=b, h
a


a, h
b

b , h
c

c

Dạng 2- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm cực trị hình học.
Trong phần này ngoài các kiến thức trọng tâm của hình học đã nêu trên chúng
ta cần cho học sinh nắm đợc một số bất đẳng thức đại số , đặc biệt chú ý trờng hợp có
dấu = xảy ra của các bất dẳng thức để tìm Cực trị của bài toán .
1, x
2


o Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=0.
- x
2


0 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=0.
2,Bất dẳng thức Cô si:
-Cho a,b không âm ta có
ab
ba

+
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b.
- Cho a,b,c không âm ta có
3
3
abc
cba

++
.Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

-Hệ quả: Cho avà b không âm ,nếu (a+b) không đổi thì ab lớn nhất khi và chỉ khi a=b.
-Nếu ab không đổi thì (a+b) nhỏ nhất khi và chỉ khi a=b.
Sau đây chúng ta xét một số bài toán dạng này.
Bài 7-Cho tam giác ABC và điểm M thuộc miền trong của tam giác .
Kẻ MA
,
vuông góc với BC , MB
,
vuông góc với Acvà MC
,
vuông

góc với AB.
Đặt BC=a,CA=b,AB=c. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
,,,
MC
c
MB
b
MA
a
++
1-H ớng dẫn tìm lời giải.
Đặt MA
,
= a
,
;MB
,
=b

,
;MC
,
=c
,
.
Biểu diễn aa
,
qua S
MBC
; bb
,
qua S
MCA
; cc
,
qua S
MAB
.
-Tìm sự liên hệ của: aa
,
+bb
,
+ cc
,
với S
ABC.
-Xét tích của (aa
,
+bb

,
+ cc
,
).(
,,,
c
c
b
b
a
a
++
)
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho (
,
,
,
,
a
b
b
a
+
);(
,
,
,
,
b
c

c
b
+
); (
,
,
,
,
c
a
a
c
+
)
Suy ra :
,,,
c
c
b
b
a
a
++

)
(
S
cba
2
2

++
Xét dấu bằng xảy ra ta có điều cần tìm.
13
2-Cách giải:
Đặt MA
,
= a
,
;
MB
,
=b
,
;MC
,
=c
,
.
Ta có : aa
,
=2.S
MBC
bb
,
=2.S
MCA
cc
,
=2.S
MAB

Suy ra: aa
,
+bb
,
+ cc
,
=2S
(S là diện tích tam giác ABC).
Ta có : (aa
,
+bb
,
+ cc
,
).(
,,,
c
c
b
b
a
a
++
)
= a
2
+ b
2
+ c
2

+ab(
,
,
,
,
a
b
b
a
+
)+bc(
,
,
,
,
b
c
c
b
+
)+ca (
,
,
,
,
c
a
a
c
+

)

M
với M= a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)
2

Suy ra
,,,
c
c
b
b
a
a
++

)
(
S
cba
2
2
++
Do đó :

,,,
c
c
b
b
a
a
++
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
)
(
S
cba
2
2
++
khi a
,
=b
,
=c
,
tức là M là
giao điểm các đờng phân giác trong của tam giác ABC.
Bài 8-Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC .Các tia AO,BO,CO cắt các
cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở A
,
, B
,
, C

,
a- Chứng minh :M=
,,,
OC
OC
OB
OB
OA
OA
++

6
Tìm vị trí của O để tổng M có giá trị nhỏ nhất .
b, N=
,,,
OC
OC
OB
OB
OA
OA

8 .Tìm vị trí của O để N có giá trị nhỏ nhất.
1-H ớng dẫn cách tìm lời giải:
-Gọi S
ABC
;S
OBC
;S
AOC

;S
AOB
lần lợt là : S,S
1
, S
2
, S
3
.
-Tìm cách biểu diễn các tỷ số qua : S, S
1
, S
2
, S
3
, áp dụng bất đẳng thức Côsi
thích hợp , xét trờng hợp dấu = xảy ra từ đó xác định đợc vị trí của O.
2-Cách giải:
-Gọi S
ABC
;S
OBC
;S
AOC
;S
AOB
lần lợt là : S,S
1
, S
2

, S
3
.
-Ta có :
1
323
2
,
,,
S
SS
S
S
S
S
OA
OA
OBAOCA
+
===
(1)
-Tơng tự ta có :
2
31
,
S
SS
OB
OB
+

=
;
3
21
,
S
SS
OC
OC
+
=

a-Vậy: M=
,,,
OC
OC
OB
OB
OA
OA
++
=
1
32
S
SS +
+
2
31
S

SS +
+
3
12
S
SS +
14
=(
1
2
2
1
S
S
S
S
+
)+(
2
3
3
2
S
S
S
S
+
)+(
3
1

1
3
S
S
S
S
+
)

2+2+2=6.
- Ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng : (
1
2
2
1
;
S
S
S
S
);(
2
3
3
2
;
S
S
S
S

);(
3
1
1
3
;
S
S
S
S
).
1
2
2
1
S
S
S
S
+

2.
21
21
SS
SS
=2.
2
3
3

2
S
S
S
S
+

2.
23
23
SS
SS
=2,
1
3
3
1
S
S
S
S
+

2.
31
31
SS
SS
=2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi O là trọng tâm của tam giác ABC.

b, N=
,,,
OC
OC
OB
OB
OA
OA
=
1
32
S
SS +
.
2
31
S
SS +
.
3
12
S
SS +
Suy ra
N
2
= (
1
32
S

SS +
.
2
31
S
SS +
.
3
12
S
SS +
)
2


2
321
213132
)(
.4.4.4
SSS
SSSSSS
=64
Suy ra N

8.
-Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi O là trọng tâm tam giác ABC.
3-Khai thác bài toán.
-áp dụng bất đẳng thức Cô si ta còn chứng minh đợc :
E=

5,4
,,,
++
OC
CC
OB
BB
OA
AA
F=
5,1
,,,
++
OC
OC
OB
OB
OA
OA
- Thật vậy: E
3
=(
.3)
3
3
,,,
++
OC
CC
OB

BB
OA
AA

OC
CC
OB
BB
OA
AA
,,,

P
3
=(
.3)
3
,,,
++
CC
OC
BB
OB
AA
OA
,,,
CC
OC
BB
OB

AA
OA
Nhân từng vế 2 BĐT trên và chú ý: P = 2 (Theo câu b, bài 4-Dạng 1).
-Ta có : 2
3
.E
3

9
3
suy ra E
3

(9/2)
3
suy ra E

4,5.
-Viết E

4,5 dới dạng :
OA
OAOA
,
+
+
OB
OBOB
,
+

+
OC
OCOC
,
+

4,5 suy ra 3+
5,4
,,,
++
OC
OC
OB
OB
OA
OA

F

1,5.
-Dấu bằng xảy ra trong các bất đẳng thức E

4,5 và F

1,5 khi và chỉ khi O là
trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 9-Trong một tam giác , gọi h
a
là đờng cao ứng với cạnh a,h
b

là đờng cao ứng
với cạnh b .Chứng minh rằng : nếu a>b thì a+ h
a

b+ h
b
.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
1-H ớng dẫn cách tìm lời giải:
-Ta biểu diễn h
a
qua a và S: Diện tích tam giác ,biểu diễn h
b
qua b và S. Xét
15
a+ h
a
-(b+h
b
) để tìm ra lời giải.
A
2-Cách giải:
K
Gọi S là diện tích tam giác ABC thì: a.h
a
=bh
b
=2S.
Chú ý: h
a

b nên 2S=a. h
a

ab
ta có : a+ h
a
-(b+h
b
)
=a+
b
S
b
a
S 22

C H B
=(a-b)+2S(
o
ab
Sab
ba
ba


=
2
).()
11

-Vì a-b > o và ab-2S

o .
Dấu đẳng thức xảy ra khi : 2S=ab, tức là a vuông góc với b hay tam giác ABC
vuông.
Bài 10- Cho tam giác ABC , M là điểm nằm trong tam giác .
Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh BC,AC,AB lần lợt là x,y,z, AB =AC = BC.
-Xác định vị trí của M để tích xyz đạt giá trị lớn nhất .
1-H ớng dẫn cách tìm lời giải.
Dựa vào mối quan hệ giữa S
AMC,
, S
BMC,
, S
AMB
, S
ABC
,
để dẫn tới : x+y+z không
đổi và áp dụng BĐT Cô si cho x,y,z.Xét dấu = xảy ra ta có điều cần tìm.
2-Cách giải:
Ta có : S
AMC,
+ S
BMC,
+ S
AMB
= S
ABC

=
AB
S
zyxzyxBAzAByACxBC
ABC
2
).(
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
=++++=++
không đổi,áp dụng
BĐT Cô si cho ba só không âm ta có :
3
3
)
3
(
3
zyx
xyz
zyx

xyz
++

++

không đổi .
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=
AB
S
ABC
.3
.2


M là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 11-Cho tam giác dều ABC , M trên cạnh BC (M khác B,C) . Kẻ MD vuông
góc với AB , ME vuông góc với AC. Xác định vị trí của M để S
MDE
lớn nhất .
1-H ớng dẫn cách tìm lời giải.
16
Tìm mối quan hệ giữa S
ABM
và S
AMC
với S
ABC
.Từ đó có : MD+ME không đổi,
chứng minh : Góc DME không đổi .Sử dụng hệ quả của BĐT Côsi để từ đó tìm đợc vị
trí của M.

2-Cách giải:
Ta có: S
ABC
= S
ABM
+ S
AMC
=
2
.
2
. MEACCDAB
+

suy ra: S
ABC
=
)(
2
MEMD
AB
+


MD+ME=
AB
S
ABC
2
không đổi.

-Mặt khác
o
DAEDME 180=+
(Tứ giác AEMDcó:
o
ED 180=+
) suy ra:
o
DME 120=
.
DME
có
DME
không đổi nên S
MDE
lớn nhất khi và chỉ khi MD=ME
(MD+ME: Không đổi)
Khi đó AM là phân giác của
BAC
hay M là trung điểm của BC.
Vậy khi M là trung điểm của BC thì S
MDE
đạt giá trị lớn nhất .
Bài 12: Trong tam giác ABC có các cạnh là a,b,c , có tâm là đờng tròn nội tiếp
tam giác ABC và bán kính đờng tròn là r.
-Tìm tam giác có tổng độ dài ba đờng cao đạt giá trị nhỏ nhất .
1-H ớng dẫn tìm lời giải.
-Chú ý: S
ABC
=S

OBC
+S
OAC
+S
OAB
.
-Biểu diễn (h
a
+h
b
+h
c
) qua r,a,b,c. áp dụng bất đẳng thức Cô si cho:
(
a
b
b
a
+
);(
a
c
c
a
+
);(
b
c
c
b

+
) xét trờng hợp dấu = xảy ra ta suy ra điều cần chứng minh.
2-Cách giải:
S
ABC
= S
OBC
+S
OAC
+S
OAB.
= r.
2
a
+ r.
2
b
+ r.
2
c
= r.
2
cba ++
S
ABC
= r.
2
cba ++
Mặt khác : S
ABC

=
2
a
ah
=
2
b
bh
=
2
c
ch
Suy ra : h
a
=(1+
a
c
a
b
+
).r ;
h
c
=(1+
c
b
c
a
+
).r;

h
b
=(1+
b
c
b
a
+
).r .
Ta có :
17
h
a
+h
b
+h
c
=r. 3+(
a
b
b
a
+
)+(
a
c
c
a
+
)+(

b
c
c
b
+
)

r(3+2+2+2).
(áp dụng bất đẳng thức Cô si).
Hay h
a
+h
b
+h
c


9r.
-Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c tức là tam giác ABC đều.
Vậy h
a
+h
b
+h
c
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9r khi đó a = b = c và tam giác ABC đều.
III-Các bài tập tự giải
Bài 1: Có tam giác nào mà độ dài ba đờng cao bằng 3cm,4cm,7cm không?
Bài 2:Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 6cm và 4cm , nửa tổng các chiều cao
ứng với hai cạnh ấy bằng chiều cao ứng với cạnh thứ 3.

Tính độ dài cạnh thứ ba.
Bài3- Cho tam giác ABC cân ở A .Tìm tập hợp các điểm M thuộc miền trong tam giác
hoặc nằm trên cạnh của tam giác sao cho khoảng cách từ M đến BC bằng tổng các
khoảng cách từ M đến 2 cạnh kia.
Bài 4- Cho tam giác ABC đều cố định có chiều cao h.Tìm tập hợp điểm M có tổng
các khoảng cách đến ba cạnh của tam giác bằng độ dài m không đổi(m>h).
Bài 5- Cho C là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy có số đo bằng 60
0
, M là
điểm bất kỳ nằm trên đờng vuông góc với OC tại C và thuộc miền ngoài của góc
xOy .Gọi MA,MB thứ tự là khoảng cách từ M đến O x,Oy.
Tính độ dài OC theo MA,MB.
Bài 6- Tam giác ABC có BC bằng trung bình cộng của hai cạnh còn lại .Gọi I là giao
điểm các phân giác ,G là trọng tâm của tam giác .
Chứng minh: IG song song với BC.
Bài 7- Tìm một hình chữ nhật nội tiếp trong đờng tròn có diện tích lớn nhất .
18
IV-Kết quả thực hiện kinh nghiệm.
Với nội dung và phơng pháp đã trình bày ở trên , trong quá trình giảng dạy ,qua
thực nghiệm và đánh giá so với trớc khi dạy phơng pháp này tôi nhận thấy các em đã
đạt đợc những tiến bộ rõ rệt với kết quả nh sau:
Bảng 1: (Kết quả khi cha áp dụng kinh nghiệm)
Lớp
Tổng
số bài
Điểm
Tỷ lệ từ 5điểm
trở lên
Từ O
đến dới 5

Từ 5 đến dới 8 Từ 8 đến 10
9A 40
Số l-
ợng
% Số l-
ợng
% Số l-
ợng
% Số l-
ợng
%
23 57,5 17 42,5 0 0 17 42,5
Bảng 2:( Kết quả sau khi đã áp dụng kinh nghiệm)
Lớp
Tổng
số bài
Điểm
Tỷ lệ từ 5điểm
trở lên
Từ O
đến dới 5
Từ 5 đến dới 8 Từ 8 đến 10
9A 40
Số l-
ợng
% Số l-
ợng
% Số l-
ợng
% Số l-

ợng
%
9 22,5 26 65 5 12,5 31 77,5
So sánh hai bảng trên ta thấy :
- Sau khi áp dụng kinh nghiệm tỷ lệ học sinh đạt từ 5 điểm trở lên tăng 35% ,
trong đó học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng đáng kể.Nh vậy kinh nghiệm này áp dụng đ-
ợc đối với học sinh khá giỏi , với học sinh đại trà cũng có thể áp dụng đợc nhng đòi
hỏi giáo viên phải lựa chọn các bài tập đơn giản , có lời giải dễ hiểu hơn.
-Với học sinh khá ,giỏi kinh nghiệm này còn giúp các em tìm đợc phơng pháp
giải thích hợp đối với các bài tập hayvà khó. Các em còn làm đợc một số bài tập bằng
nhiều phơng pháp khác nhau, có hớng tìm dến những lời giải hay , ngắn gọn và độc
đáo.
V-Bài học kinh nghiệm:
Trên đây tôi đã trình bầy một số dạng toán sử dụng công thức tính diện tích tam
giác để tìm ra lời giải .
Để các em tiếp thu có hiệu quả chúng ta cần lu ý một số điểm sau:
19
1-Về giáo viên:
-Cần khắc sâu cho học sinh những kiến thức cơ bản về diện tích tam giác và các
kiến thức có liên quan.
-Cần yêu cầu học sinh nắm chắc các dạng toán , chú ý phơng pháp giải một số
bài toán trong một dạng cụ thể , chú ý tới các bớc:
+Tìm hiểu đề bài.
+Hớng tìm cách giải.
+Cách giải.
+Khai thác bài toán (Nếu có).
2-Đối với học sinh :
-Các em phải nắm chắc công thức tính diện tích của một tam giác và các kiến
thức có liên quan trong từng dạng toán ,bài toán.
-Các em phải định hớng đúng cho từng bài toán xem nó thuộc dạng nào?Sử

dụng kiến thức nào?Các em phải linh hoạt , sáng tạo trong việc vận dụng phơng pháp
đã học , phải thực sự yêu thích toán học .
VI-Phạm vi áp dụng
-Phơng pháp sử dụng công thức tính diên tích của một tam giác có thể áp dụng
cho học sinh khá giỏi ở lớp 8,9 đặc biệt là cho các đội tuyển học sinh giỏi , tuy nhiên
khi đem áp dụng dậy cho học sinh thuộc diện đại trà đòi hỏi ngời thầy phải tốn nhiều
thời gian , công sức hơn trong việc chọn lựa bài tập và đặc biệt phải có sự phân hoá
tốt trong giảng dậy.
VII-Những vấn đề còn phải tiếp tục nghiên cứu.
-Trong bài viết này tôi mới đề cập đến việc sử dụng công thức tính diện tích
cuả một tam giác để giải hai dạng toán đã nêu, trên thực tế còn có thể khai thác công
thức tính diện tích tam giác để giải các bài toán tìm tập hợp điểm hoặc sử dụng công
thức đó trong việc chứng minh một số định lý sẽ cho ta cách chứng minh đơn giản , dễ
hiểu và ngắn gọn hơn,
-Tôi luôn mong muốn đợc đồng nghiệp, những ngời yêu thích toán học quan
tâm tới đề tài này cùng nghiên cứu , trao đổi để đa ra những kinh nghiệm hay hơn ,
hoàn thiện hơn về vấn đề này, để chúng ta cùng đạt đợc mục đích chung là góp phần
nâng cao chất lợng dạy và học bộ môn toán trong trờng học bậc THCS.
20
Phần III- Kết luận,kiến nghị
-Trên đây là những ý kiến nhỏ của tôi về việc sử dụng công thức tính diện tích
tam giác để giải các bài toán thuộc hai dạng toán đã nêu .Với nhiều năm là giáo viên
dậy toán bậc THCS với tôi dậy toán thực sự là một công việc lý thú nhng thật sự vất
vả.Qua quá trình vừa dậy vừa học vừa tìm tòi đúc rút kinh nghiệm hớng dẫn học sinh
giải bài tập, Tôi thấy mình ngày một yêu nghề , từ đó thấy bớt đi phần nào khó khăn
trong phơng pháp giảng dậy.
-Với bài viết này tôi hy vọng giúp cho học sinh có thói quen suy nghĩ độc lập
sáng tạo ,các em biết tìm đợc lời giải của một bài toán dựa trên cơ sở những kiến thức
cơ bản đã học , từ đó có lời giải hay và hứng thú học toán .
-Trong đề tài tôi mới chỉ đề cập tới hai dạng toán có áp dụng công thức tính

diện tích tam giác , thực tế công thức này còn áp dụng cho nhiều dạng toán khác và
cũng cho ta nhiều lời giải hay,độc đáo.
-Để vận dụng các kinh nghiệm tốt vào thực tế giảng dạy cho học sinh đề nghị
nhà trờng và phòng Giáo dục thờng xuyên tổ chức các buổi thảo luận chuyên đề về đổi
mới phơng pháp giảng dậy, trao đổi các kinh nghiệm áp dụng sáng kiến có hiệu quả
vào thực tiễn dậy - học. Các trờng cần đầu t nâng cấp cơ sở vật chất , trang thiết bị
hiện có nhằm giúp cho giáo viên có thể vận dụng tốt nhất phơng pháp đổi mới trong
giảng dậy.
-Với khả năng của ngời viết còn nhiều hạn chế , cho nên chắc chắn không thể
tránh khỏi thiếu xót về nội dung cũng nh hình thức trình bầy.Vì vậy tôi xin chân thành
cảm ơn các thầy cô giáo ,các bạn yêu thích toán học và đặc biệt là các ý kiến đóng góp
của các đồng chí trong hội đồng khoa học các cấp.
21
Số phách:
Kinh nghiệm
Hớng dẫn học sinh sử dụng công thức
Tính diện tích tam giác để giải một số dạng toán
Trong chơng trình hình học lớp 8,9.
Môn: Toán
Khối Lớp:8,9
đánh giá của phòng giáo dục
(Nhận xét ,xếp loại ,ký,đóng
dấu)

Tên tác giả:
Đơn vị công tác:
22
.
23