Du an PT bai toan hinh HK2 toan 9 (men)

GV Đinh Thị Mến
BÀI GÓP: DỰ ÁN PHÁT TRIỂN BÀI TỐN HÌNH HK2 TỐN 9
Bài 1: . Cho đường trịn (O) có dây BC . Trên cung lớn BC lấy điểm A bất kỳ (A khác
B,C). Kẻ BE vng góc với AC tại E, CF vng góc với AB tại F, chúng cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
2) Chứng minh HB.HE = HC.HF
3) Đường thẳng EF và BC cắt nhau tại I: K là giao điểm thứ 2 của AI và (O). Chứng
minh IK.IA=IE.IF
4) Tia AH cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Tam giác BMH là tam giác gì?
5) Kẻ đường kính AQ của (O). Tìm tâm đối xứng của tứ giác BHCQ?
6) Chứng minh độ dài AH không đổi khi A di động và dây BC cố định trên (O)
7) Xác định tâm đường tròn đi qua 5 điểm A,K,F,H,E.
8) Chứng minh 4 điểm K,H,P,Q thẳng hàng
9) Chứng minh EF vng góc với OA
10) Gọi S, N lần lượt là giao điểm của BE, CF với (O). Đường thẳng EF cắt (O) theo
thứ tự tại L và U (L nằm giữa I và U). So sánh hai cung SL và NU
11)
Gọi d là đường thẳng đi qua H và vng góc với EF. Chúng minh: Khi điểm
A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn thì đường
thẳng d ln đi qua một điểm cố định
12)
So sánh các bán kính đường trịn ngoại tiếp các tam giác BHC và BMC. Từ
đó Chứng minh bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB, HAC, HBC
bằng nhau

LỜI GIẢI:
A
K

E
F

H
O

I

B

C

P

M

Q

1) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp:
ˆ  BEC
ˆ  900 nên tứ giác BFEC nội tiếp
Xét tứ giác BFEC có BFC
2) Chứng minh HB.HE = HC.HF
Chứng minh được hai tam giác HBF và HCE đồng dạng (g-g)
1


GV Đinh Thị Mến


HB HF

 HB.HE  HC.HF

HC HE

3) Đường thẳng EF và BC cắt nhau tại I: K là giao điểm thứ 2 của AI và (O).
Chứng minh IK.IA=IE.IF
Tứ giác AKBC nội tiếp nên chứng minh được IK.IA = IB.IC
Tứ giác BFEC nội tiếp nên chứng minh được IF.IE = IB.IC
Từ đó ta có IK.IA = IB.IC
4) Tia AH cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Tam giác BMH là tam giác gì?
A
K

E
F
H
O

I

B

D

M

C

P

Q

Gọi D là giao điểm của BC và AM.
Có H là trực tâm tam giác ABC nên AH  BC tại H nên tam giác ADC vuông tại D
Chứng minh được hai tam giác ADC và AEH đồng dạng (g-g)
ˆ  AHE
ˆ  BHM
ˆ
ˆ
 ACB
 ACB
(1)
ˆ
ˆ
Xét (O)có: BMA  BCA (vì là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
(2)
ˆ
ˆ
Từ (1) và (2)  BMH  BHM  BMH cân tại B
5) Kẻ đường kính AQ của (O). Tìm tâm đối xứng của tứ giác BHCQ?
ˆ  ABQ
ˆ  900 (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))
Xét (O)có: ACQ
 BE // CQ (vì cùng vng góc với AC) và BQ//CF (vì cùng vng góc với AB)
Do đó tứ giác BHCQ là hình bình hành
Gọi P là trung điểm của BC  P là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành BHCQ
 P là tâm đối xứng của hình bình hành BHCQ
6) Chứng minh độ dài AH không đổi khi A di động và dây BC cố định trên (O)
Chứng minh OP là đường trung bình của tam giác AHQ  AH = 2.OP
Mà O và P cố định  độ dài OP không đổi  độ dài AH không đổi.
2

GV Đinh Thị Mến
7) Xác định tâm đường tròn đi qua 5 điểm A,K,F,H,E.
ˆ  900 (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  KQ  AK
Xét (O)có: AKQ
Chứng minh được 4 điểm A,K,H,E cùng thuộc đường trịn có đường kính AH
(3)
IK IE

 IAF đồng dạng với IKE (cgc)
IF IA
ˆ  IFK
ˆ  tứ giác AKFE nội tiếp
 IAF

Lại có IK .IA  IF .IE 

(4)
Từ (3) và (4) ta có 5 điểm A,K,F,H,E cùng thuộc một đường trịn đường kính AH
Vậy tâm đường trịn đi qua 5 điểm A,K,F,H,E là trung điểm của AH.
A

N
U

K

E
J

S

F
H
O

L

I

B

D

C

P

M

Q

8) Chứng minh 4 điểm K,H,P,Q thẳng hàng.
Vì 4 điểm A,K,H,E cùng thuộc đường trịn có đường kính AH
ˆ  900  KH  AK
 AKH
KQ  AK ; KH  AK  KQ  KH  K , Q, H thẳng hàng

Vì P là trung điểm của HQ và K,Q,H thẳng hàng nên 4 điểm K,H,P,Q thẳng hàng.
9) Chứng minh EF vuông góc với OA

ˆ )
ˆ
ˆ  ABC
ˆ  AEJ
ˆ  AQC
Có tứ giác BFEC nội tiếp  AEJ
(vì cùng bằng ABC
ˆ  900  EF  OA
ˆ  ACQ
 AEJ đồng dạng với ACQ (g-g)  AJE
10) Gọi N, S lần lượt là giao điểm của BE, CF với (O). Đường thẳng EF cắt (O)
theo thứ tự tại L và U (L nằm giữa I và U). So sánh hai cung SL và NU.
Xét (O) có hai góc NSC và NBC bằng nhau
ˆ  EFC
ˆ nên hai góc NSC và EFC bằng nhau
Có tứ giác BFEC nội tiếp  NBC
 SN // LU

Xét (O) có SN // LU  hai cung SL và NU bằng nhau.

3


GV Đinh Thị Mến
11) Gọi d là đường thẳng đi qua H và vng góc với EF. Chúng minh: Khi điểm A
di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn thì đường
thẳng d ln đi qua một điểm cố định
A

E

K

J
F
H

I

B

O

C

P

D

M

G

K

Gọi G là giao điểm của OP và d.
OP//AM (vì cùng vng góc với BC)
d//AK
(vì cùng vng góc với EF)
Do đó tứ giác OAHG là hình bình hành  OG = AH.  G là điểm cố định.

Vậy: Khi điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn thì
đường thẳng d ln đi qua một điểm cố định
12) So sánh các bán kính đường trịn ngoại tiếp các tam giác BHC và BMC. Từ đó
Chứng minh bán kính các đường trịn ngoại tiếp tam giác HAB, HAC, HBC bằng
nhau.
Gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC
Có BC là đường trung trực của HM  HBC, MBC đối xứng nhau qua BC
 O1 và O đối xứng nhau qua BC
 BO1 và BO đối xứng nhau qua BC  B O1 = BO .
Chứng minh tương tự ta có bán kính các đường trịn ngoại tiếp tam giác HAB, HAC,
HBC bằng nhau. (vì cùng bằng bán kính của (O)).

4


GV Đinh Thị Mến

5