Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
NGUYỄN THÙY DUNG
NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
DẠNG BẢO TOÀN
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
• • •
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành
hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường đại học sư phạm Hà Nội 2,
Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè,
đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học
tập và hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả
Mục lục
3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai, việc
nghiên cứu về tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
cấp hai tổng quát là hết sức cần thiết. Đối với phương trình cấp hai tuyến tính
dạng bảo toàn có thể đưa vào lớp nghiệm suy rộng có độ trơn tối thiểu và phù
hợp với các đòi hỏi của thực tế.
Lớp nghiệm suy rộng thường được tìm trong các không gian Sobolev thích
hợp. Sau khi nghiệm suy rộng đã được chỉ ra sự tồn tại, thì các nghiên cứu về
tính chất định tính của chúng như về đánh giá độ lớn và độ trơn của chúng là
rất cần thiết. Để tìm hiểu những vấn đề đó tôi mạnh dạn chọn đề tài cho luận
văn thạc sĩ của mình là:
“Nghiệm suy rộng của phương trĩnh elliptic tuyến tính cấp hai
dạng bảo toàn”.
Luận văn gồm hai chương. Chương 1, trình bày các không gian hàm như
không gian Sobolev, không gian Holder và một số định lý, đặc biệt là định lý
Lax-Milgram dùng để nghiên cứu bài toán. Trong chương
2, phần đầu chúng tôi mô tả khái niệm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet,
trình bày Nguyên lý cực đại yếu và tính giải được của bài toán Dirichlet. Luận
văn trình bày một số tính chất định tính như tính khả vi của nghiệm suy rộng,
bất đẳng thức Harnack, tính chính quy toàn cục, tính bị chặn của nghiệm suy
rộng, cuối cùng là trình bày một số đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn Holder đối
với nghiệm suy rộng ở bên trong
4
miền và trên biên.
Nội dung chính của luận văn được tham khảo từ chương 8 của tài liệu
[3].
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày lớp nghiệm suy rộng cùng với các điều kiện về sự tồn tại và duy
nhất nghiệm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Khái niệm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet.

- Tính khả vi của nghiệm suy rộng.
- Nguyên lý cực đại yếu.
- Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng.
- Các đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm suy rộng.
- Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Loại phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn.
5. Phương pháp nghiên cứu
5
Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được
nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến
tính cấp hai dạng bảo toàn.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Luận văn là tài liệu tham khảo về chuyên đề này.
6
Chương 1
Một số không gian hàm
1.1. Không gian Sobolev
1.1.1. Không gian Ư

(íỉ)
Giả sử íỉ c R
n
là miền bị chặn với biên L

P

(íĩ) là không gian các hàm U(X

) =

U(XI,X

2

, ,X

N

),

1 < P <

+oo sao cho
Không gian L
p
(Q) với
ũ
Chuẩn trong L
2
(rì) được sinh bỏi tích vô hướng
7
8
và do đó L

2

(íỉ) là không gian Hilbert.
Khi P

= oo ta định nghĩa L°°

(íỉ) gồm các hàm U(X

) sao cho ||u (aO||
£
»(n) = esssup IU

(a:)| < +00.
x€Ũ
1.1.2. Đạo hàm suy rộng
Giả sử U, V

G L^

O C

(Q)

và A

là một đa chỉ số. Ta nói rằng V

là đạo hàm suy
rộng cấp A

của U

nếu
juD‘
ệ

d
x
={-irj
vệ i x
ũ ũ
đúng với mọi hàm thử Ộ

€ ơ£° (fỉ). Kí hiệu D

A

U

= V.
Trong trường hợp ri = (a, B

) c M, nếu w(:c) có đạo hàm suy rộng U'(X

) =
V(X

) G LL

O C

(A, B

) thì ta nói U(X

) là khả vi yếu trên (A, B

).
1.1.3. Khái niệm không giãn Sobolev
Với A; e N, 1 < P <

+00, không gian w
fe,p
(íỉ) là không gian bao gồm tất cả
các hàm U

(x) € L

P

(íỉ) có các đạo hàm suy rộng D

A

U

(z) € L

P

(íỉ), với mọi cc,
sao cho
ỊaỊ < K

:

A =

( a i , a
n
) , |a;| = ai + + a
n
,
n
a
= D
ữl
D
ữn
D A = d

n/A G N
LJ —

,IXJ

t: 1N 5
tức là
w
fe
’
p
(íì) = {uGƯ (Í2); € I/(n), V |a| < fc} .
9
Không gian W

K , P

(ri) là không gian Banach khi được trang bị chuẩn sau đây
ll
M
llifc,p;íì
=
IMIw*'P(fi)
=
ị Ị • (1.1)
Ta viết ||wỊỊ
fcp
thay cho ||w||
fc n
. Ta có thể xét chuẩn tương đương sau
E ll^llp- C
1
-
2
)
Khi P

= 2 người ta thường kí hiệu
H
k
(íì) = w*’
2
(íí),
H
K

Ữ
(n) = (fi),
trong đó Wo’
p
(fỉ) là một bao đóng của không gian C£° (fỉ) theo chuẩn của w
k
’
p
(íì).
1.2. Không gian Holder
1.2.1. Không gian C

L
Cho fỉ là miền bị chặn trong M
n
, íĩ là bao đóng của nó.
Ta kí hiệu C

(n) = C°

(íỉ) là không gian các hàm số liên tục trên Q

với chuẩn
Ỉ MI c ( n ) = I M I o . n =
S U
P \
u
(
x
) l • í

1
-
3
)
x£ÍÌ
Ta cũng định nghĩa được C

L

(rỉ) như sau
Ơ (H) = { U { X ) ; D
A
U E C ° (H) ,Va : |a| < /} và trang bị
chuẩn cho C
L
( Ũ ) như sau
= iMiỉ,n =
SU
P \

DỮ U

(aOi- (
L4
)
\a \<1
Q
1
\
c

l



(
Các không gian C

L

(Q)

với chuẩn (1,4) là không gian Banach.
1.2.2. Không gian C

1, 1

(n) với 0 < 7 < 1
và trang bị chuẩn cho ơ
0
,
7
(rĩ) như sau
(1.5)
Với / G N,

0 < 7 < 1 ta định nghĩa của không gian C

1, 1

(H) bởi điều
kiện
(n) = {« e c' (ự); \D"u\
lf l
< +00, V|a| = ỉ} , và trang bị
chuẩn sau cho c
l, 7
(fĩ)
(1.6)
Các không gian C

1 , 1

(H) là không gian Banach. Ta có C

L , Ữ

(H) = C

L

(H)
và ơ
0,1
(íỉ) là không gian các hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
1.3. Định lý nhúng
Một không gian Banach BỊ

được gọi là nhúng liên tục vào không
gian Banach B

2

,

ký hiệu BỊ

—>■ B

2

,

nếu tồn tại một đơn ánh tuyến
tính liên tục BỊ

—»■ B

2

.

Phép nhúng liên tục từ BỊ

—»• B

2

được gọi là
phép nhúng compact nếu ảnh mọi tập bị chặn là tiền compact.

c° (n) với p > n
Trước tiên ta định nghĩa không gian C
0
’
7
(fỉ)
như
c
0,7
(n) = < U E C°

(Ỉỉ) ; [U]


n
= sup
\
/
I
Định lý 1.1. [3] Ta có phép nhúng liên tục sau
hơn nữa, tồn tại một hằng số dương c = c (

n,p)

mà chỉ phụ
thuộc vào n và p sao cho với mọi u € Wq’

p

(íỉ),

ta có
(1.7)
trong đó không gian Wg’

p



(íỉ)

ta đưa vào chuẩn tương đương
sau đây
(1.8)
NHẬN XÉT

1.1. Các phép nhúng liên tục trong Định lý 1.1, Định lý 1.2
còn là phép nhúng compact.
1.4. Định lý Lax-Milgram
Dạng song tuyến tính B(X,Y)

trong không gian Hilbert H

được gọi là
bị chặn nếu tồn tại một hằng số K

sao cho
B {X,

Ị/)| < K

llxll llỉ/ll ,VX,Y £ H
và được gọi là bức nếu tồn tại một số U >

0 sao cho
B

(X,X

) > ỉ^||íc||
2
, Vx € H.
I M L p / ( „ - p ) < C\\Du\\
p
vâìp < n, sup 11 < C'|rì|
1
/
”
_
1
/I
’||Z?M||
vói p > n.
(1.
(1.1
Định lý 1.3. [3]

Giả sử B là một dạng song tuyến tính bị

chặn và bức trên không gian H. Khi đó với mọi phiếm
hàm, tuyến tính bị chặn F £ H*, luôn tồn tại duy nhất
một phần tử f € H sao cho
B (x, f) = F (x) ,Vx£H.
CHỨNG MINH.

Tồn tại ánh xạ tuyến tính T : H

—>■ H

định
nghĩa bởi B

(a;, /) = (X,T

/) ,\/X

G H.

Hơn nữa ||T/|| < K

11/11 bởi
(1.9), nên T

bị chặn. Từ (1.10) ta thu được ^||/||
2
< B

(/, /) = (/,T/)
< 11/11 ||T/|| , nên V

11/11 < ||T/|| < K

11/11 với V/ G H.

Đánh giá
này chỉ ra rằng T

là một đối một và T
-1
là bị chặn. Giả sử rằng T
(H

) Ỷ H.

Khi đó tồn tại một phần tử Z Ỷ

0 thỏa mãn (Z, TỊ)

= 0
với V/ € H.

Chọn / = Z,

ta thu được (Z,TZ)

= B

(Z,

Z

) = 0, kéo
theo Z =

0 bởi (1.10). Hệ quả T~

L

là ánh xạ tuyến tính bị chặn
trong H.

Ta có F

(X

) = (X,G

) = B

(X,T

_1

G

) với \/X

€ H

và duy
nhất G £ H,

kết quả được chứng minh với F = T~

X

G.

□
1.5. Nguyên lý loại trừ Fredholm trong không
gian Hilbert
Định lý 1.4. [3]

Giả sử H là không gian Hiỉbert và T là
ánh xạ compact của H vào chính nó. Khi đó tồn tại một
tập AcKíiổ

hạn đếm được trừ điểm A = ũ,

do đó nếu X

7^ 0

;
A

ị A

thì phương trình

Xx — Tx =

y, Xx — T*x =

y
có duy nhấtx e

H với mọiy e

H, và ánh xạ ngược (XI —

T)

-1



,

(XI —
T

*)
-1
là bị chặn. Nếu X G A,

thì hạch của các ánh xạ (XI —
T),

(XI — T*) có số chiều dương hữu hạn và phương trình

Xx — Tx = y,Xx — T*x =

y là
giải được khi và chỉ khi y trực giao vói hạch của (A/ —
T*) trong trường hợp đầu tiên và XI —

T trong trường
hợp khác.
Chương 2
Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic
tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn
2.1. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirich- let
2.1.1. Định nghĩa nghiệm suy rộng
Trong miền bị chặn íỉ c R
n
ta xét đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai L

mà
được viết dưới dạng bảo toàn
LU

= DỊ

(a
ij
(X

) D jU + Ứ

(X

) U)

+ Ổ

(X

) D ị U + D

(X

) U,

(2.1)
trong đó a
ij
, B\ C\D

(I,J =

1, RÌ)

là các hàm đo được, bị chặn trên íỉc M
n
. Ta
quy ước rằng phép cộng được lấy theo các chỉ số lặp từ 1 đến N. L

là elliptic
ngặt trong có nghĩa là tồn tại số dương A sao cho
(2.2)

Chúng ta cũng giả sử rằng L

có các hệ số bị chặn, tức là tồn tại các hằng số A
và V > 0 ta có với mọi X € íỉ:
Y,

Ịo
11
(x)|
2
< A
2
,A“
2
^2 (l
6
* w|
2
+ l
c
‘ M|
s
) +
Ằ_1
Mí*)! ^"
2
-
(2.3)
Định nghĩa 2.1.

Giả sử =

1,72

là khảtích địa phương trên
íỉ.
Hàm u (a;) e

H
1
(íỉ)

được gọi là nghiệm suy rộng của phương trình
không thuần nhất
1
ũ
Ta nhận xét rằng một nghiệm cổ điển cũng là nghiệm suy rộng và một
nghiệm suy rộng thuộc lớp c
2
(íỉ) cũng là một nghiệm cổ điển khi các hệ số
của L

là đủ trơn.
Giả sử = L,N

là khả tích địa phương trên íĩ. Ta xét bài toán
Dirichlet
Lu

(X) = g (x) + Dif (x), X Gũ u

(x) =

tp (x),

X & fỉ,
trong đó (P

(X

) ẽ H

1

(Q).
Khi đó một hàm U

thuộc vào không gian Sobolev H

1

(

ri) được gọi là một
nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet nếu U

là một nghiệm suy rộng của
phương trình (2.4) và U — Ụ>

e H

1

(

ri).
Hàm V

G HỊ(ỈL)

trong công thức (2.5) được gọi là hàm thử.
Từ điều kiện (2.3) và bất đẳng thức Schwarz, ta suy ra tồn tại c >

0 sao cho
|£(u,v)| < / {ỊA}

I

DJUD

I

VỊ +

|ò*M.Dju| 4- II + |dm;|} DX Ũ
— ^ IMI/r^n) IMI/r
1
^)- (2-8)
Cố định U

G HQ(ÍÌ),

từ điều kiện (2.3) ta suy ra ánh xạ V —> £(U,V)

là một
phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên HQ(Q).
2.1.2. Nguyên lý cực đại yếu
Nguyên lý cực đại yếu cổ điển cũng được mở rộng tự nhiên tới các phương
trình elliptic dạng bảo toàn. Để xây dựng nó, chúng ta đưa vào bất đẳng thức
tại biên cho các hàm số trong không gian Sobolev H

1

^).

Cụ thể là, ta nói rằng
U

e H

1
(íỉ) thỏa mãn trên ỡíỉ điều kiện U <

0 nếu phần dương của nó U

+

=
1
max{w,0} G HQ(Q).

Nếu U

là liên tục trên một lân cận của ỡíỉ, thì U

thỏa
mãn U <

0 trên ôíỉ theo nghĩa cổ điển tại từng điểm của ỡíỉ. Các bất đẳng thức
khác trên ỡíỉ như U < V

được đưa vào một cách tự nhiên.
VÍ DỤ

2.1. U >

0 trên ỡíỉ nếu —U <

0 trên ỡíỉ; U < V

€ H

1

^)

trên ôíỉ nếu U
— V <

0 trên ỡíỉ.
Ta có

supw = i i í ĩ ị k : u < k trên ỡfi, k G
R} , ỡíì
inf U = —

sup (—
U).

ãn an
Ta giả thiết các hệ số D(X

) và 6*(æ) thỏa mãn điều kiện sau
J

(dv — ỨDịv) dx < 0 Vì; > 0

,v & H Q (íỉ).

(2.9)

ũ
Do Ö* và D

là bị chặn, bất đẳng thức (2.9) sẽ vẫn được thỏa mãn với tất cả V

€
Wq’
1
(íỉ) không âm.
Chúng ta phát biểu Nguyên lý cực đại yếu như sau
Định lý

2.

1. [3]

Giải sử и £ H
1
(íì)

thỏa mãn Lu > 0 (< 0)

trong íì. Khi
đó
sup И

<

supií
+
, (2.10)
f2 díì
infM>infM
_
(2-11)
á díì
CHỨNG MINH.

Nếu И

€ Н

Г

(П),У

£ HQ(Ũ)

chúng ta có UV

G wj’
1
(FI)

và
DUV

= VDU + UDV.

Ta có thể viết bất đẳng thức £ (И

, V) <

0 dưới dạng
/ {a»D
j U
D
i V
- + é) vD
i U
} dx < / ịduv - b‘

D i
(«„)} d
x
< 0,
ũ ũ
với mọi V > 0 sao cho uv > 0, do được suy ra từ (2.9). Do các hệ số là bị chặn
nên
J a^DjuDivdx < 2ẰƯ j vịDuịdx (2.12)
íĩ íĩ với mọi V > 0 sao cho
uv > 0.
1
Trong trường hợp đặc biệt + É

= 0, ta có F A

L

*DJUDỊVDX <

0 suy ra
ũ
(2.10) đúng .
Ta xét trường hợp B

L

+ É

Ф

0, chứng minh trực tiếp bởi việc đặt V =

max {lí
— /,0}, ở đây L

= supw
+
. Ta chứng minh sup lí < L

là không
dĩì П
1
đúng, ta chọn K

thỏa mãn L < K <

supw và ta đặt V

= (U — K)

+

.

Theo
an
quy tắc dây chuyền, ta có V

e HQ(ÍÌ)

và
DU

khi U > K

(nói cách khác khi V

7^ 0)
1 khi U < K

(nói cách khác khi V =

0).
Kết quả nhận được từ (2.12)
trong đó
supp V = {x G ri; V (x) í 0}.
Do tính elliptic ngặt của L,

tức là điều kiện (2.2) ta suy ra
J\Dv?d
X
<2„Jv\Dv\d*<2vM
2ĩ r
\\Dv\\
Ũ

r
VÌ thế
I

Dv 11

2 <

M\
V
\Ì2-,T-
Bây giờ ta áp dụng bất đẳng thức Sobolev, cho N >

3 nhận được
11^ II 2rt/(rt—2) —
C\\v\\
2
.
T
< c\ supp Dv\
1/ n
\\v\\
2n / {n
_
2 )
.
ở đây c = c (N,Ư),

vì thế
IsuppDvỊ > c~
n
.
D
1

Ị V
\Dv\d.
T
/
aIi
DjvDịvdx <
n
X

, r = supp DV

c suppv,
2
(2.1
□
Trong trường hợp N

= 2, một bất đẳng thức có dạng giống như vậy với
c
= c (N, V,

|íỉ|) cũng chỉ ra từ bất đẳng thức Sobolev bởi việc thay thế 2N/ (N
—

2) bởi số bất kì lớn hơn 2. Vì các bất đẳng thức đó là độc
lập đối với К

nên chúng vẫn đúng khi К

tiến đến supw, К

= sup lí. Đó
íĩ íì
là hàm И

phải đạt được cận trên đúng trong íỉ trên một tập có độ đo dương,
đồng thời tại đó DU

= 0. Điều này mâu thuẫn với (2.13). Mâu thuẫn này chứng
tỏ (2.10) là đúng.
Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet tổng quát cho phương trình
(2.4) là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.
Hệ quả

2.

1. [3]

Giả sử и £ Щ(ri)

thỏa mẫn Lu = 0

trong Q. Khi đó и —
0

trong íỉ.
2.1.3. Tính giải được của bài toán Dirichlet
Định lý 2.2. [3]

Giả sử toán tử L thỏa mẫn điều kiện (2.2), (2.3)

và
(2.9) .

Khi đó với mọi ip €

H
l
{ỹì) và g,f
l


€

L
2
(íĩ),

ỉ =

1 П, bài toán
Dirichlet (2.7)

Lu = g + Dịp trong

г

l,u = <p trên dfì là giải được
duy nhất.
CHỨNG MINH.

Định lý 2.2 sẽ được suy ra như một hệ quả của Định lý Lax-
Milgram. Trước tiên ta quy bài toán Dirichlet về trường hợp giá trị biên bằng
không. Đặt ИЗ

= И

— (F,

ta thu được từ (2.4)
L Ü J = Lu

—

Lip
= g — àDịip —

dtp +

Di

(/*

—

—

ừip)
= 9 + Dịp.
trong đó G

=

G

— ÀDỊTP

— DIP,

Ỹ

= (/’ — A^DJIP

— ỨIP)

, và từ điều
kiện trên L

và Ự),

ta có G

, /* G L

2

(íỉ), Г

=

1 П

và ш € Яд
1
(ri). Do đó để
chứng minh, ta chỉ xét trường hợp <^3 = 0.
2
cho V e H. Từ
l ^ » l < l | g | |
2
I MI j ĩ i ( n ) -
Ta cỐ F £ H*.

Dạng song tuyến tính £ được định nghĩa bởi (2.6) là bức trên
H.

Khi đó từ Định lý 1.3 có thể kết luận về tính giải được duy nhất của bài
toán Dirichlet (2.7). □
Bổ đề 2.1. [3]

Giả sử L thỏa mãn điều kiện (2.2)

và (2.3).

Khi đó
£(u,v)>—J \Du\
2
dx —

\v

2
J u
2
dx
:
(2-14)

n n
trong đó có hằng số dương X và V được mô tả trong (2.2)

và (2.3).
Chứng minh.
£

(u, u) =

J [a^DịuD^u + (&* — c*)

uDịU — du
2



)

ỉí
> Ị y\\Du\
2
\Du\
2

— Xu
2
u
2
jdx
ũ
= —

J \Du\
2
dx —

Xu
2
Ị u
2
dx.
n n
Cho Ơ

€ M, ta định nghĩa toán tử L

Ơ

bởi
L
ơ
u =

Lu —

ơ u.
2
Ta
viết
d
F {v)

= - J (gv

- fDịv)

ũ
d
□
Từ Bổ đề 2.1 ta thấy rằng các dạng song tuyến tính tương ứng với L

Ơ



sẽ là bức
nếu Ơ

là số dương đủ lớn.
Tiếp tục, ta định nghĩa một phép nhúng I

: H —¥ H*

bởi

(2.15)
Từ đó ta có
Bổ đề 2.2. [3]

Ảnh xạ I từ H vào H*, được xác định bởi (2.15)

là
compact.
CHỨNG MINH.

Chúng ta có thể viết I = I

1I

2 Ỏ

đây /
2

:
H

—>■ L

2

(íỉ) là
phép nhúng tự nhiên và LỊ : L

2

(íĩ) —»• H*

được đưa ra bởi (2.15). Theo kết
quả của Nhận xét 1.1, /
2
là compact và do LỊ

rõ ràng là liên tục, điều đó chỉ ra
rằng I

là compact. □
Tiếp tục, ta chọn Ơ

0

sao cho dạng £
CTo
là bị chặn và bức trong không gian
Hilbert H.

Phương trình LU = F

với U

G H,F

G H*

tương đương với phương

trình
L
ơữ
u +

ơ
0
Iu =

F.
Từ Định lý Lax-Milgram, L

Ơ

L

F

là liên tục, ánh xạ 1 — 1 của H*

vào H

, áp
dụng vào phương trình ở trên, ta thu được phương trình tương đương
u + ơ
0
L
ơ
]ĩu =

L
Ơ
]F.
Ánh xạ T = —ƠQL~

L

I

là compact (do Bổ đề 2.2). Do đó theo Nguyên lý
Fredholm, sự tồn tại của hàm U

€ H

thỏa mãn phương trình (2.16) là hệ quả
của tính duy nhất nghiệm tầm thường trong H

của phương trình LU

= 0.
2
(2.1
Ta định nghĩa liên hợp hình thức L*

của L

bởi
ưu — Dị (a^DjU

—

êù) —

ỪDịU +

du. (2-17)

Từ £* (U,V)

= £(V,U

) với U,V

G H

= #o(fỉ) chỉ
ra
rằng L*

là liên hợp của L
trong không gian Hilbert H.

Khi thay L

bởi L

Ơ

trong lí luận trên, ta thấy rằng
phương trình L

Ơ

U =

F

sẽ tương đương với phương trình И

+ (<7
0
— Ơ)
L~

L

IU

= L~

X

F

và liên hợp Т*

của ánh xạ compact T

A

= {Ơ

0

- Ơ

) L~]Ĩ

được
đưa ra bởi T*

=

(<7
0
- Ơ) (LL

Ữ

Ỵ

L

I.
Ta có thể áp dụng Nguyên lý Fredholm để thu được kết quả sau.
Định lý 2.3. [3]

Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3).

Khi

đó tồn tại một tập đếm được, rời rạc M

sao cho nếu ơ ị bài toán
Dỉrỉchỉet, L
ơ
u, L*
ơ
u =

g + Dif\u =

ip trên díì là giải được duy nhất
với g,p G

ứ (ri)

và If G

H
1
^) tùy ý. Nếu ơ

G

thì không gian con các
nghiệm của bài toán thuần nhất, L
ơ
u, L*
ơ
=

о,

и = 0

trên ôíỉ

có số
chiều dương hữu hạn và bài toán L
ơ
u = g + Dịp, и = ip trên dQ là
giải được khi và chỉ khi
J{(9-c<D
iV
— dip + ơip) V —

(/*

—

ã^Dịip —

ữip) Dịv} dx — 0
(2.18)
với mọi V thỏa mãn L*
ơ
v =

о,

V = 0

trên dQ. Ngoài ra nếu điều kiện
(2.9) được thỏa mãn thì Ỵ2

с

(—

00,

0).
Toán tử G

Ơ

: H*

—»• H

cho bởi G

Ơ

= L~

L

với Ơ Ị

được gọi là toán tử
Green cho bài toán Dirichlet cho L

Ơ

.

Do G

Ơ

là toán tử tuyến tính bị chặn trên
H*

nên ta có định lý sau.
Định lý 2.4. [3]

Giả sử и £

я

1


(ri)

thỏa mẫn L
ơ
u = g + Dif \ и = ip trên
ôfĩ

với ơ Ệ. Khi đó tồn tại hằng số с chỉ phụ thuộc vào L, ơ và
ri

sao cho
2
IMIffi(n) <
c
(llg|l
2
+ IMIj?i(n)) • (
2
-
19
)
2.2. Tính khả vi của nghiệm suy rộng
Mục này chủ yếu dành cho việc xem xét tính trơn bên trong miền Q

của
nghiệm suy rộng. Ta sẽ nghiên cứu trong phần này sự tồn tại của đạo hàm suy
rộng cấp cao của nghiệm suy rộng của phương trình (2.4). Với sự trợ giúp của
các kết quả tính khả vi nhận được dưới đây, ta sẽ suy ra sự tồn tại nghiệm cổ
điển của bài toán Dirichlet. Trong các mục sau đây ta sẽ nghiên cứu các thuộc
tính của nghiệm suy rộng, chẳng hạn như bất đẳng thức Harnack, tính liên tục
Holder. Kết quả về tính trơn trong định lý dưới đây cho các điều kiện đủ để
nghiệm suy rộng của phương trình LU = F

là hai lần khả vi yếu.
Định lý 2.5. [3]

Giả sử u G

H
1
(ri)

là một nghiệm suy rộng của phương
trình Lu = f trên íì, trong đó L là elliptic ngặt trên các hệ số a

iJ



,
=

1

là liên tục Lipschitz đều trên ri,

các hệ số c\d]i =
1, ,n bị chặn thực sự (bị chặn hầu khắp nơi) và hàm f thuộc L
2
(fỉ).
Khi đó với miền con bất kì Q' cc

ta có u € H

2
(fi

7



)

và
IMIiĩ
2
(íi') — c (iMlíPíí )ĩ + ll/lli
2
(íi)) ’ (2.20)
vói c = c (n, A,K, đ), ở đây X được cho bởi (2.2),
K =

max {||a
y
, 6*1^0,i(n)> IK
d
L~(fi)}
V À

D

1

= DIST (Ư, DN).
Ngoài ra u thỏa mãn phương trình
Lu =

a^DiịU + {D
jữ
ji
+ Ứ + é) DịU +

(Dịứ + d) u = f
(2.21)
2
hầu khắp nơi trên ri.
CHỨNG MINH.

Từ đồng nhất thức tích phân (2.5) ta có
/ ““DỊUDIVDX =

/ GVDX,

\/V

€ ƠQ (íỉ), (2.22)
ở đây G

G L

2

(ri) được cho bởi
g= (ừ + é) DịU +

(Dịừ + d)u- f. (2.23)

Cho \2H\ <

dist(suppv, ỡfỉ), ta thay V

bởi tỷ sai phân của nó A ' V{X) - V(X -
H

L K

)

= A

_

H

^

Y Ô Ì K L

<

K

<

N

Ta thu được
J A
h
{a^D^ù) Dịvdx = — J
a}
ì
DjuD
i
A~
h
vdx n íĩ
= —

J
gA~
h
vd
x. ũ
Từ
A

H

{A^DJÙ)

(:r) = a
ij
(X + HEỴ)

A

H

DJU

(X

) 4- A
H

A

I I

(:r) DJU

(X

),
ta có
J a

ij



(íc +

he k) DjA
h
uDivdx = —

J (gD v + gA~
h
v)
dx
:
h fỉ
ỏ đây g =

(g
1
, g") và

gt = A

h
a
ìi
D
J
Sử dụng (2.23), ta có thể đánh giá
J a

ij





(x + he

k
)

DjA
h
uDivdx < (||g

||
2
+ ||#||

2

)
\\Dv\\
2
ũ
< (c»/i-|M|
H1(n)
+ ||/||
2
) ỊỊDVỊ
2
V
u