Giải các phương trình và hệ phương trình vô tỉ (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2010
BTVN NGÀY 14-05
Giải các PT và hệ phương trình vô tỉ sau:
1,
3 5 3 4x x
− = − +
11,
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x
− + − = − + − +
2,
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x
+ + = + + +
12,
3
2 1 1x x
− = − −
3,
4 4
18 5 1x x
− = − −
13,
3
3
1 2 2 1x x
+ = −
4,
( )

3 2 2 2 6x x x
+ − = + +
14,
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x
+ + − − − = +
5,
2 2
2 8 6 1 2 2x x x x
+ + + − = +
15,
3
2 3 2 3 6 5 8x x
− + − =
6,
2
( 1) ( 2) 2x x x x x
− + + =
16,
2 7 5 3 2x x x
+ − − = −
7,
3 3
4 3 1x x
+ − − =
17,
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x
+ − = − + − + − +
8,

2 2
4 2 3 4x x x x
+ − = + −
18,
2
3
2 4
2
x
x x
+
+ =
9,
2 2
3 3 3 6 3x x x x
− + + − + =
19,
2
4 13 5 3 1x x x
− + − = +
10,
2 3
2 4 3 4x x x x
+ + = +
20,
2 2 2 2
5 5
1 1 1
4 4
x x x x x

− + − + − − − = +
2
3
2
2
2
3
5 2 7
2 1 1
21/ 22 /
3 2 4
5 2 7
2
2 9
23/
2
2 9
x y
x y x y
x y
y x
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y

 + + − =
+ + − + =

 
 
+ =
+ + − =





+ = +

− +



+ = +

− +

………………….Hết…………………
Phụ trách môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 12-05
1,
1 3

2
1 3
2
x
y x
y
x y

+ =




+ =


- đây là hệ đối xứng loại II
- Điều kiện:
0; 0x y≠ ≠
- Trừ vế theo vế ta được:
( )
1 1
2 4
2
x y
x y
xy
x y
=
  

− = − ⇔
 ÷

= −
  
Với
x y=
, hệ tương đương với
2
2 1x x
x
= ⇔ = ±
Với
2
2xy y
x
−
= − ⇒ =
, thế vào pt đầu được:
2 2
3 3 3
2
2 2
2 2
x y
x x
x
x x
x y


= → = −
− = ⇔ = ⇔

= − → =


- Vậy hệ có nghiệm:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
{ }
; 1;1 , 1; 1 , 2; 2 , 2, 2x y = − − − −

2,
( )
3
3
1 1
1
1 0
2 1
2 1
x y
x y
y x
xy
y x
y x

 


− = −
− + =


 ÷
⇔
 
 
 
= +
= +


⇒
ĐS:
( ) ( )
1 5 1 5
; 1;1 ; ;
2 2
x y
 
 
− ± − ±
 
=
 ÷
 
 ÷
 
 

 

3,
( )
( )
( )
( )
2
2
2
3 2 12
(3 2 )( 1) 12
2 4 8 0
3 2 8
x y x x
x x y x
x y x
x y x x

+ + =
+ + =


⇔
 
+ + − =
+ + + =




Page 2 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Đặt
2
3 2 ;u x y v x x
= + = +
suy ra:
12 6 2
8 2 6
uv u u
u v v v
= = =
  
⇔ ∨
  
+ = = =
  
Giải từng trường hợp ta dẫn tới đáp số:
( ) ( ) ( )
3 11
; 2;6 , 1; , 2; 2 , 3,
2 2
x y
 
   
= − − −
 

 ÷  ÷
   
 

4,
( )
2
2 2
0 1
4
2 4
2
( 1) ( 1) 2
2
x y x y
x y x y
x y x y xy
xy
x x y y y
xy

+ = ∨ + = −

+ + + =
+ + + − =

⇔ ⇔
  
= −
+ + + + =

= −





⇒
ĐS:
( )
( ) ( )
( ) ( )
{ }
; 2; 2 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2x y
= − − − −
5,
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y

+ =


− + =



- Đây là hệ đối xứng loại I đối với

2
x
và
2
y
- Đáp số:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 2; 1 , 2; 1 , 1; 2 , 1, 2x y
= ± − ± ± − ±
6,
2
2 2
3 2 16
3 2 8
x xy
x xy y

− =


− − =


- Đây là hệ đẳng cấp bậc 2
- Nhận xét x = 0 không thỏa mãn hệ, ta xét
0x
≠
, đặt
y tx

=

Hệ trở thành:
( )
( )
2
2 2
3 2 16
1 3 2 8
x t
x t t

− =


− − =



- Giải hệ này tìm t, x
- Đáp số:
( ) ( ) ( )
{ }
; 2; 1 , 2,1x y = − −

7,
( )
( )
( )
( )

( )
( )
2
2
2
2
2
1
4
1
1 4
1
1
1 2
2 1
3
x
y x
x
x y y x y
y
y
x
x y x y
y x
y x
y

+
+ + =


+


+ + + =
=
  
⇔ ⇔
  
+
+ + − =
  

+ − =
+ =



⇒
ĐS:
( ) ( ) ( )
{ }
; 1;2 ; 2;5x y
= −
Page 3 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
8,
2

2 2 2
2
2
1
1
7
7
1 7
1
1 13
1
13
13
x
x
x
x
y y
xy x y
y y
x
x y xy y
x
x
x
y y
y y

 


+ + =
+ + =

 ÷

+ + =

 
 
⇔ ⇔
  
+ + =
 

 
+ + =
+ − =
 ÷
 

 

9,
( )
( )
( )
( )
2
2
2

2
3
1
1 3 0
2
1
2
1
5
1 1
5
1
1 0
1
2
x x y
x y
x y
x y
x
x y
x y
x
x
x
x


+ + − =


+ =
+ − = −
+ =



   
⇔ ⇔ ∨
   
=
+ − + =
   
=
+ − = −







⇒
ĐS:
( ) ( )
3
; 1;1 ; 2;
2
x y
 
 

= −
 
 ÷
 
 

10,
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 3 0
2 3 4 6
4 4 12 3
4 4 12 3
x y
xy x y
x y x y
x y x y
 + + =
+ + = −


⇔
 
+ + + =
+ + + =



⇒

ĐS:
( )
1 3 3 3
; 2; ; 2; ; 2; ; 6;
2 2 2 2
x y
 
       
= − − − − − −
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 

11,
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
3( )
3( )
3( )
7( )
2
2
2
5 2 0
x xy y x y
x xy y x y

x xy y x y
y
x xy y x y
x y x
x y yx
− +

− + = −

− + = −

− + = −
 
⇔ ⇔
  
+ + = −
= ∨ =



=


⇒
ĐS:
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 0;0 ; 1;2 ; 1; 2x y
= − −

Page 4 of 14
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
12,
( )
( )
3 3
3 3
2 2
2 2
2
3
2
2
2
3 2
3
3 3
2
2
8 2
8 2 (1)
3 3 1
3 6(2)
8 0
0
8 0
*) ét 0 ( ô ý)
6

3 3
6
*) 2 ê' (1) à 2 ê' (2) ó :
1 8 2
.
6
3
x x y y
x y x y
x y
x y
x x
x
x x
X y V l
x
x
x
Chia v cho y v v cho y ta c
x x y
y y y
C
x
y y

− = +

− = +
 
⇔

 
− = +
− =





− =
=

− =

 
= ⇒ ⇔ ⇔
  
=
− =

=





 
− = +

 ÷


 

 

− =
 ÷

 

3
2
2
3
2
2
3 2 3 2 2
2
2 2
2 2
8 2
1
3
: 1 (8 2).
6
6
3
0
3 3 (4 1)( 3) 12 0 ( 12) 0 4
3
) 0 0 2 0( )

) 3 3 9 3 6 1 (3;1),( 3; 1)
) 4 4 16 3 6
t
t
y
x t
oi t t t
y
t
y
t
t t t t t t t t t t
t
t x y loai
t x y y y y
t x y y y y
+

− =

−

= ⇒ ⇒ − = +


− =


=



⇔ − = + − ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = −


=

+ = ⇒ = ⇒ = − <
+ = ⇒ = ⇒ − = ⇔ = ± ⇔ − −
+ = − ⇒ = − ⇒ − = ⇒ =
( )
6 6 6 6 6
( 4 ; );(4 ; )
13 13 13 13 13
6 6
â 3; 1 , 4 ;
13 13
V y S
± ⇒ − −
 
 
 
= ± ± ±
 ÷
 
 ÷
 
 
 
m
• BTVN NGÀY 14-05

1,
3 5 3 4x x
− = − +

- Điều kiện:
3x
≥
Với điều kiến trên ta biến đổi về dạng:
3 3 4 5x x
− + + =
sau đó bình phương 2 vế, đưa
về dạng cơ bản
( ) ( )f x g x=
ta giải tiếp.
- Đáp số:
4x
=
2,
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x
+ + = + + +

Page 5 of 14