Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm thể tích khối chóp và một số bài vận dụng thực tế

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP NGÀNH
Chúng tơi ghi tên dưới đây:

TT

Họ và tên

1 Đinh Cao Thượng
2 Doãn Huy Tùng

Ngày tháng
năm sinh

Nơi
công tác

07/07/1983 Trường THPT
Kim Sơn A
05/06/1983 Trường THPT
Kim Sơn A

Tỷ lệ (%)
Trình độ đóng góp
Chức vụ chun mơn vào việc tạo
ra sáng
kiến
Tổ trưởng

Thạc sĩ
50%
Giáo viên

Đại học

50%

I. Tên sáng kiến:
“ Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm thể tích khối chóp và một số bài vận dụng
thực tế.”

Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học mơn Tốn
II. Nội dung sáng kiến:
1. Giải pháp cũ thường làm:
Kiểm tra đánh giá là khâu khơng thể thiếu trong q trình dạy học. Hoạt động này
không chỉ nhằm ghi nhận kết quả đạt được của học sinh mà còn hướng vào việc đề xuất
những phương hướng đổi mới, cải thiện thực trạng, điều chỉnh và nâng cao chất lượng, hiệu
quả giáo dục.
Trước những yêu cầu của xã hội đối với sản phẩm của giáo dục, kiểm tra đánh giá
trong dạy học mơn Tốn cần có những thay đổi. Nếu như trước đây, trong quá trình kiểm tra
đánh giá định kỳ cũng như trong các kì thi tuyển sinh đại học hoặc thi THPT Quốc gia đề thi
mơn Tốn đều thi theo hình thức tự luận, đây là một hình thức thi truyền thống đã được thực
hiện nhiều năm nay, tuy nhiên hình thức này có nhiều điểm hạn chế. Vì vây, từ kì thi THPT
Quốc Gia năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc
thay đổi này ít nhiều cũng gây khó khăn và cả sự bỡ ngỡ cho giáo viên cũng như học sinh.
Cái thay đổi nhiều nhất với giáo viên đó là vấn đề ra đề thi và kiểm tra, còn với học sinh đó

1

là vấn đề học đều tồn bộ chương trình khơng cịn tình trạng học tủ, cần phải chú ý đến cả
những nội dung mà trước đây hầu như không xuất hiện trong đề thi. Chẳng hạn, trong nội
dung về thể tích khối đa diện, là một nội dung khó đối với học sinh vì địi hỏi kiến thức tổng
hợp và tư duy trừu tượng cao, trước đây học sinh chủ yếu học tủ một số dạng câu hỏi thường
gặp trong các đề thi.
Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy trong năm học 2016 – 2017, nhằm chuẩn bị tốt
cho kì thi THPT Quốc gia năm 2017 đối với bộ mơn Tốn nói chung và với dạng bài tập trắc
nghiệm về thể tích khối chóp nói riêng chúng tơi đã viết sáng kiến “Phương pháp giải bài
tập trắc nghiệm thể tích khối chóp và một số bài vận dụng thực tế”.
Mục đích chính của Sáng kiến này là trình bày các phương pháp giải bài tập thể tích khối
chóp trong phần hình học trung học phổ thơng, đồng thời khai thác trong các bài tốn thực
tế gắn với khối chóp và các khối đa diện liên quan.

2. Giải pháp cải tiến:
2.1 Cơ sở lý luận:
2.1.1. Kiến thức cơ bản
1. Công thức tính thể tích khối chóp
1
V = S .h
3
Trong đó: S là diện tích đáy,
h là chiều cao khối chóp.

2. Các kiến thức cơ bản hình học phẳng
a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông ở A ta có :
2
2
2

a) Định lý Pitago : BC = AB + AC
2
2
b) BA = BH .BC; CA = CH .CB

A

c) AB. AC = BC. AH

b

c

d) BC = 2AM
e)

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

f)

BC = 2AM

B

M

H

C

a

2


g) sin B =

b
c
b
c
, cosB = , tan B = ,cot B =
a
a
c
b
b
b
=
,
sin B cosC

h) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =
b = c. tanB = c.cot C

b. Hệ thức lượng trong tam giác thường
* Định lý hàm số Côsin:

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

* Định lý hàm số Sin:

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sinC

c. Các cơng thức tính diện tích
a/ Cơng thức tính diện tích tam giác:

S=

1
1
a.b.c
= p.r =
a.ha = a.b sinC =
2

2
4R

Đặc biệt Tam giác ABC vuông ở A : S =

p.( p − a )( p − b )( p − c ) với p =

1
AB.AC ;
2

∆ABC

a+b+c
2

a2 3
đều cạnh a : S =
4

b/ Diện tích hình vng cạnh a : S = a 2 .
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng.
d/ Diên tích hình thoi : S =

1
(tích hai đường chéo).
2
1
2

d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao.
e/ Diện tích hình bình hành : S = cạnh đáy x chiều cao.
f/ Diện tích hình trịn : S = π .R 2 .
g/ Đa giác (H) phân chia thành các đa giác (Hi) thì

3. Khoảng cách trong không gian
a. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vng
góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Bằng độ dài đoạn vng góc chung của hai đường thẳng đó.
• Bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.
• Bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia.

3


4. Góc trong khơng gian.
a. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
b. Góc giữa đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’
của nó trên mặt phẳng (P).
c. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng
đó hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng cùng vng góc với giao
tuyến tại một điểm.

5. Tỉ số thể tích.
Cho khối chóp
thuộc

SA , SB , SC

S.ABC

và

A' , B' , C '

là các điểm tùy ý lần lượt

ta có

VS. A 'B'C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
.
VS.ABC
SA SB SC

Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp khơng xác
đinh được chiều cao một cách dễ dàng hoặc khối chóp cần tính
là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số
điều kiện sau
·

Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh.

·

Đáy hai khối chóp phải là tam giác.

·

Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng.

4


2.2 Giải pháp mới:
Dạng 1: Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại A với AB = AC = a, cạnh
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp
S.ABC.
A. V =

a3 3
6

B. V =

a3 3
2

C. V =

a3 3
3

D. V = a 3 3

Phân tích, lời giải và bình luận
1) Phân tích:
+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Thơng hiểu, tương đương Câu 36 trong đề minh
họa mơn Tốn của BGD.
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA =

2a . Tính thể tích V của khối chóp

S.ABCD.
2a 3
6

A. V =

B. V =

2a 3
4

C. V = 2a 3

D. V =

2a 3
3

+ Học sinh cần nắm được : Cơng thức tính thể tích khối chóp, cơng thức tính diện tích

tam giác vng.
2) Lời giải:
1
3

+ Xác định công thức: V = .SA.SABC
+ SA = a 3 .
1
2

+ SABC = AB.AC =

a2
.
2

1
3

1
3

Do đó: V = .SA.SABC = .a 3.

a 2 a3 3
=
2
6

Đáp án: A

3) Bình luận:
• Các phương án nhiễu:
+ B : Học sinh quên

1
trong công thức thể tích khối chóp.
3

5


+ C : Học sinh qn

1
trong cơng thức diện tích tam giác.
2

+ D : Học sinh quên cả

1
1
và trong hai cơng thức trên.
2
3

• Đề xuất: Có thể có phương án nhiễu khác, đó là: V =

3
, do học sinh sử dụng máy
6

tính và gán cho a = 1.
• Đây là dạng tốn liên quan đến hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy , do đó việc
xác định cơng thức tương đối dễ dàng, vấn đề chỉ nằm ở việc học sinh tính tốn 2 yếu
tố trong cơng thức là chiều cao và diện tích đáy. Cũng vì đó, các thầy cơ có thể đưa ra
câu hỏi cùng dạng tốn trên nhưng có thể mức độ khác nhau.
Chẳng hạn: + Biết đáy, chưa biết chiều cao (phải tính thơng qua giả thiết khác, ví dụ
góc giữa cạnh bên và mặt đáy…)
+ Biết chiều cao, chưa đủ yếu tố để tính diện tích đáy (phải tính thơng
qua giả thiết khác, ví dụ góc giữa cạnh bên và mặt đáy…)
+ Chưa đủ yếu tố tính diện tích đáy và chưa cho chiều cao (phải tính
thơng qua các giả thiết của câu hỏi).
+ Thay đổi đáy là các tam giác, tứ giác mà học sinh đã biết cơng thức
tính.
+Thay giả thiết cho cạnh bên vng góc với đáy bằng giả thiết hai mặt
bên kề nhau vng góc với đáy.
• Một số câu hỏi cùng dạng:
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V =

a3
4

B. V =

3a 3
4

C. V =

a3
2

D. V =

3a 3
2

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = a và góc BAC bằng
1200 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2 . Tính thể tích V của khối
chóp S.ABC.
6a 3
A. V =
6

6a 3
B. V =
4

6a 3
C. V =
12

6a 3
D. V =
2

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 0. Tính thể tích V của khối chóp

S.ABC.
A. V =

a3
4

B. V =

3a 3
4

C. V =

a3
2

D. V =

3a 3
2

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = a và góc BAC bằng

6


1200 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng
(ABC) bằng 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
3a 3
A. V =

24

3a 3
B. V =
12

3a 3
C. V =
8

6a 3
D. V =
4

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a và AD = a 2 ,
cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD.
A. V =

6a 3
3

6a 3
6

B. V =

C. V = 6a 3

D. V =

6a 3
2

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a và AD = a 2 ,
cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng đáy bằng
300. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
2a 3
A. V =
3

2a 3
B. V =
6

C. V = 2a

3

2a 3
D. V =
2

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD với AC = a, cạnh bên SA vng
góc với mặt phẳng đáy, SB =

a 5
. Góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 45 0.
2

Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

3a 3
12

3a 3
4

B. V =

C. V =

3a 3
6

D. V =

3a 3
2

Câu 8: (Trích đề thi TNTHPT năm 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam
giác đều cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC bằng 120 0. Tính
thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V =

2a 3
36

B. V =

2a 3
12

C. V =

2a 3
18

D. V =

2a 3
6

Câu 9: (Trích đề thi TNTHPT năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt
phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

6a 3
6

B. V =

6a 3
4

C. V =

6a 3

12

D. V =

6a 3
2

Câu 9: (Trích đề thi TNTHPT năm 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang vng tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a. Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng
đáy và cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 0. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD.

7


A. V =

2 2a 3
3

B. V = 2 2a 3

C. V =

2a 3
3

D. V = 4 2a 3

Câu 10: (Trích đề thi TNTHPT năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt
phẳng (SAB) một góc 300. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

3a 3
3

B. V = 3a 3

C. V =

2 3a 3
3

D. V = 2 3a 3

Câu 11: (Trích đề thi TSĐH Khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam
giác vng cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vng góc với
mặt phẳng đáy. Biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60 0. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD.
A. V =

4 3a 3
3

B. V = 4 3a 3

C. V =

8 3a 3

3

D. V = 8 3a 3

8


Dạng 2: Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy.
Ví dụ: (Trích đề thi TSĐH Khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vng ABCD cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt
phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

a3 3
6

B. V =

a3
3

C. V =

a3
6

D. V =

a3 3
2

Phân tích, lời giải và bình luận
1) Phân tích:
+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Vận dụng cơ bản.
+ Học sinh cần nắm được : Cơng thức tính thể tích khối chóp, cơng thức tính diện tích
hình vng, cách xác định chiều cao của hình chóp.
2) Lời giải:
+ Xác định cơng thức: Gọi H là trung điểm AB,
do tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB . Mà
(SAB) ⊥ (ABCD);(SAB) ∩ (ABCD) = AB;SH ⊂ (SAB)
1
3

nên: SH ⊥ (ABCD) . Do đó: V = .SH.SABCD
+ SH =
+ SABCD

a 3
, (đường cao tam giác đều cạnh a).
2
= AB2 = a 2 .
1
3

1 a 3 2 a3 3
.
.a =
3 2
6

Do đó: V = .SH.SABCD = .
Đáp án: A

3) Bình luận:
• Các phương án nhiễu:
+ B : Học sinh coi chiều cao là SA.
+ C : Học sinh xác định được SH nhưng tính tốn sai trong q trình áp dụng giá trị
lượng giác của góc trong tam giác vuông SAH hoặc SBH.
+ D : Học sinh qn

1
trong cơng thức tính thể tích.
3

• Đề xuất: Có thể có phương án nhiễu khác theo các sai lầm đã nói ở Bài 1.
• Đây là dạng tốn liên quan đến hình chóp có mặt bên vng góc với đáy , do đó việc
khó khăn nhất của bài tốn là xác định chiều cao của chóp. Vấn đề này liên quan đến
tính chất hai mặt vng góc mà học sinh đã được học lớp 11. Ta cần nhấn mạnh rằng:

9


“Đường cao của hình chóp chính là đường cao kẻ từ S của tam giác là mặt bên
nằm trong mặt phẳng vng góc đáy”. Nói cách khác, hình chiếu của S trên mặt
phẳng đáy nằm trên đường thẳng chứa cạnh đáy, là giao tuyến của mặt bên vng góc
với đáy và đáy. Để có thể tạo ra các bài tập ở dạng tương tự ta có thể:
Chẳng hạn: + Thay đổi các giả thiết tương tự Bài 1.
+ Cho trước ln hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là điểm cho
trước trên một cạnh đáy nào đó.
Một số câu hỏi cùng dạng:

Câu 1: (Trích đề thi TSĐH Khối D năm 2014)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
ABC vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vng góc
với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
3a 3
24

A. V =

B. V =

3a 3
8

C. V =

3a 3
12

D. V =

3a 3
4

Câu 2: (Trích đề thi TSĐH Khối D năm 2011)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
ABC vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC).
Biết SB = 2a 3 và góc SBC bằng 300. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V = 2 3a 3

B. V = 6 3a 3

C. V = 2a 3

D. V = 3a 3

Câu 3:(Trích đề thi TSĐH Khối A năm 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều
ABC cạnh a. Hình chiếu vng góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA
= 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 60 0. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABC.
A. V =

7a 3
12

B. V =

7a 3
4

C. V =

7a 3
6

D. V =

7a 3
2

Câu 4:(Trích đề thi TSĐH Khối A, A1 năm 2013)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
ABC vng tại A, góc ABC bằng 300 , tam giác SBC đều cạnh a và mặt bên (SBC) vng

góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
a3
A. V =
16

3a 3
B. V =
16

a3
C. V =
8

3a 3
D. V =
8

Câu 5:(Trích đề thi TSĐH Khối A, A1 năm 2014)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vng ABCD cạnh a, SD =

3a
, hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là
2

trung điểm của cạnh AB. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

a3
3

B. V = a 3

C. V =

a3
6

D. V =

a3
2

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D ,

10


(ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD.
A. V =

3a 3
24

B. V =

3a 3
8

C. V =

3a 3
12

D. V =

3a 3
4

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, có BC = a. Mặt bên
SAC vng góc với đáy, các mặt bên cịn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45 0. Tính thể tích
khối chóp SABC.
a3
A. V =
12

a3
B. V =
4

3a 3
C. V =
12

3a 3
D. V =
4

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , H là
trung điểm của cạnh AB. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt đáy,
đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp a.

A. V =

13a 3
2

B. V =

3 13a 3
2

C. V = 3 13a 3

D. V = 13a 3

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt
·
phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC
= 300 . Tính thể
tích khối chóp S.ABC.
A. V = 2 3a 3

B. V = 6 3a 3

C. V = 3a 3

D. V =

13a 3
3

11


Dạng 3: Thể tích khối chóp đều.
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.
Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V =

a 3 11
12

B. V =

a3 3
12

C. V =

a 3 47
24

D. V =

a 3 11
4

Phân tích, lời giải và bình luận
1) Phân tích:
+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Thông hiểu.
+ Học sinh cần nắm được : Cơng thức tính thể tích khối chóp, cơng thức tính diện tích

tam giác đều, cách xác định chiều cao của hình chóp đều.
2) Lời giải:

+ Xác định cơng thức: Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, do S.ABC là hình chóp đều
1
3

nên SH là đường cao của hình chóp. Do đó: V = .SH.SABC .
2

+ SH =

2 a 3
a 33
.
SA − AH = 4a −  .
=
÷
÷
3
2
3


2

2

1
2

2

a2 3
.
4
1 a 33 a 2 3 a 3 11
.
= .
.
=
3 3
4
12

+ SABC = AB.AC.sin 600 =
1
3

Do đó: V = .SH.SABC
Đáp án: A

3) Bình luận:
• Các phương án nhiễu: + B : Học sinh coi chiều cao là SA.

12


1
3

+ C : Học sinh tính AH sai: AH = AM =
+ D : Học sinh quên

a 3
6

1
trong công thức tính thể tích.
3

• Đề xuất phương án nhiễu: như Ví dụ Dạng 1, Dạng 2.
• Đây là dạng tốn liên quan đến hình chóp đều vì thế cần nắm vững định nghĩa hình
chóp đều cũng như các tính chất liên quan. Đơi khi giả thiết có thể cho đáy là tam giác
đều và các cạnh bên đều bằng nhau thì bản chất cũng là cho hình chóp đều. Để tạo ra
các bài tốn cùng dạng ta có thể áp dụng cách làm trong các bài toán trên.
Một số câu hỏi cùng dạng:
Câu 1: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a.
A. V =

2a 3
12

B. V =

2a 3
4

C. V =

2a 3
2

D. V =

2a 3
6

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 . Tính
thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

6a 3
6

B. V =

6a 3
2

C. V =

6a 3
3

D. V = 6a 3

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy một góc 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

2a 3
6

B. V =

2a 3
2

C. V =

2a 3
3

D. V = 2a 3

Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt
phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
3a 3
A. V =
24

3a 3
B. V =
8

3a 3
C. V =
12

3a 3
D. V =
4

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và chiều cao bằng

a 2
.
2

Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD..
A. V =

2a 3
6

B. V =

2a 3
2

C. V =

2a 3
12

D. V = 2a 3

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD,
tam giác SBD là tam giác vng. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD..

A. V =

2a 3
6

B. V =

2a 3
2

C. V =

2a 3
12

D. V =

2a 3
4

13


Câu 7: Tính thể tích của khối bát diện đều cạnh a.
A. V =

2a 3
6

B. V =

2a 3
2

C. V =

2a 3
12

D. V =

2a 3
4

Câu 8: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng
2a. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. V =

11a 3
12

B. V =

11a 3
4

C. V =

11a 3
6

D. V =

11a 3
2

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a 3 , và
SA = SB = SC = SD = a 2 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. V =

2a 3
6

B. V =

2a 3
2

C. V =

2a 3
12

D. V =

6a 3
6

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD có diện tích là 16cm 2, diện tích
một mặt bên là 8 3cm2 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. V =

32 11a 3
3

B. V = 32 11a 3

C. V =

64 11a 3
3

D. V = 64 11a 3

14


Dạng 4: Thể tích khối chóp có hình chiếu của đỉnh khơng thuộc cạnh đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a.
Hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho
AC = 4AH. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

a 3 14
12

B. V =

a 3 14
4

C. V =

a 3 14
24

D. V =

a 3 14
8

Phân tích, lời giải và bình luận
1) Phân tích: + Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Thông hiểu.
+ Học sinh cần nắm được : Cơng thức tính thể tích khối chóp, cơng thức tính diện tích
hình vng, cách tính đường cao trong một tam giác.
2) Lời giải:
1
3

+ Xác định công thức: V = .SH.SABC .
2

a 2
a 14
+SH = SA − AH = a − 
.
=
÷
÷
4

 4 
+ SABCD = a 2 .
2

2

2

1 a 14 2 a 3 14
.
.a =
3 4
12

1
3

Do đó: V = .SH.SABCD = .
Đáp án: A
3) Bình luận:
• Các phương án nhiễu:
+ B : Học sinh qn

1
trong cơng thức tính thể tích.
3

+ C : Học sinh nhân thêm

1

trong cơng thức tính diện tích hình vng.
2

+ D : Sai lầm của cả B và C
• Đề xuất phương án nhiễu: như Ví dụ Dạng 1, Dạng 2.
• Đây là dạng tốn liên quan đến hình chóp mà hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là
điểm khơng thuộc cạnh đáy, vị trí của nó trên mặt phẳng đáy đã chỉ rõ, vì vậy việc xác
định công thức là tương đối dễ dàng. Để tính được nó chỉ cần dựa vào giả thiết để đưa
chiều cao cần tính về tính chiều cao trong tam giác mà thơi.
• Một số câu hỏi cùng dạng

15


Câu 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng cân tại A, AB = a, hình chiếu của S
trên mặt phẳng đáy là trọng tâm G của tam giác ABC. Biết SA = a. Tính thể tích V của khối
chóp S.ABC.
A. V =

7a 3
18

B. V =

7a 3
6

C. V =

7a 3

9

D. V =

7a 3
3

Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O với AC = a, cạnh bên SA =
a, SO vng góc với (ABCD) và SO =
A. V =

3a 3
12

B. V =

a
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
2

3a 3
4

C. V =

3a 3
6

D. V =

3a 3
2

Câu 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a. Gọi M là trung điểm BC,
hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AM. Biết góc tạo bởi SA và
mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V =

a3
16

B. V =

3a 3
16

C. V =

a3
8

D. V =

3a 3
8

Câu 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD tâm O với AB = a và AD =
a 3 , SO = a. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vng góc với (ABCD). Tính thể tích V

của khối chóp S.ABCD.

A. V =

3a 3
3

B. V = 3a 3

C. V =

3a 3
6

D. V =

3a 3
2

Câu 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng ABCD tại A và D với CD = 2AB
= 2AD = 2a, SA = a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BD.
Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

2a 3
4

B. V =

3 2a 3
4

C. V =

2a 3
2

D. V =

3 2a 3
2

Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a .
a
Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc
2
với mặt phẳng (ABCD) và SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD.
4a 3
A. V =
15

4a 3
B. V =
5

8a 3
C. V =
15

8a 3
D. V =
5

16


·
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB = a 3 , ACB
= 600 , hình
chiếu vng góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung
điểm AC biết SE = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. V =

78a 3
18

B. V =

78a 3
6

C. V =

78a 3
9

D. V =

78a 3
3

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác ABC vng cân tại A, AB = AC = a và
M là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vng góc của điểm S lên mặt đáy (ABC) trùng
với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc giữa SA với mặt đáy (ABC) bằng 60 0.
Tính theo a thể tích khối chóp S.BMC.
A. V =

6a 3
16

B. V =

3 6a 3
16

C. V =

6a 3
8

D. V =

3 6a 3
8

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I, AB = 2a 3 , BC = 2a.Chân
đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy trùng với trung điểm DI. Cạnh bên SB tạo với đáy góc
600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V = 12a 3

B. V = 4a 3

C. V = 6a 3

D. V = 2a 3

Câu 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Hình chiếu của S lên
mặt phẳng ABCD trùng với trong tâm của tam giác ABD. Mặt bên SAB tạo với đáy một góc
600. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD .
A. V =

3a 3
9

B. V =

3a 3
3

C. V =

2 3a 3
9

D. V =

2 3a 3
3

17

Dạng 5: Thể tích khối chóp tính theo tỉ số thể tích.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a; cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng qua A và vng góc SC cắt
SB và SC lần lượt tại H và K. Tính thể tích V của khối tứ diện SAHK.
A. V =

8a 3
45

B. V =

8a 3
15

C. V =

16a 3
45

D. V =

16a 3
15

Phân tích, lời giải và bình luận
1) Phân tích:
+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Vận dụng cơ bản.
+ Học sinh cần nắm được : Cơng thức tính thể tích khối chóp, cơng thức tỷ số thể tích
của hai khối chóp tam giác, hệ thức lượng trong tam giác vng.

2) Lời giải:
+ Tam giác SAC vng tại A có AK là đường
SK SA 2 4a 2 2
=
=
= .
cao, nên:
SC SC2 6a 2 3

+Ta chứng minh được AH vng góc với SB
nên tương tự trong tam giác vng SAB ta có:
SH SA 2 4a 2 4
=
=
= .
SB SB2 5a 2 5

+ Ta có:

VSAHK SH SK 8
=
.
= .
VSABC SB SC 15
1 1
3 2

+ Mà: VSABC = . BA.BC.SA =
Do đó: V =

a3
3

8a 3
.
45

Đáp án: A
3) Bình luận:
• Bài tốn trên có thể tính thể tích bằng phương pháp trực tiếp: Tính chiều cao SK và
diện tích tam giác AHK.
• Các phương án nhiễu:
+ B : Học sinh qn

1
trong cơng thức tính thể tích.
3

18


+ C : Học sinh nhân thêm

1
trong cơng thức tính diện tích hình vng.
2

+ D : Sai lầm của cả B và C
• Đây là dạng tốn liên quan tính thể tích của khối chóp bằng phương pháp gián tiếp, cụ
thể là tỷ số thể tích. Học sinh cần nắm được tỷ số thể tích của hai khối chóp tam giác:

VS.A 'B'C ' SA ' SB' SC '
=
.
.
VS.ABC
SA SB SC

Đặc biệt:

VS.AB'C' SB' SC '
=
.
VS.ABC
SB SC

VS.ABC' SC '
=
VS.ABC SC

Thường thì ta áp dụng cơng thức trên trong trường hợp 2 chóp tam giác có chung đỉnh
nhưng hai đáy nằm trên 2 mặt phẳng khác nhau. Còn nếu trong trường hợp hai chóp
chung đỉnh và hai đáy cùng nằm trên mặt phẳng thì ta quy về tính theo tỷ số diện tích
của hai đáy(vì cùng chiều cao).
Ví dụ: Câu 37 đề minh họa của BGD
Câu 36: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đơi một vng góc với nhau,

19

AB = 6a, AC = 7a và AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD
và DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP.
A. V =

7a 3
2

C. V =

B. V = 14a 3

28a 3
3

D. V = 7a 3

• Một số bài tập cùng dạng:
Câu 1:Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vng góc
với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt
BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích V của khối tứ diện CDEF.
A. V =

a3
36

B. V =

a3
12

C. V =

a3
18

D. V =

a3
24

Câu 2:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo
với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vng góc với
SA. Tính thể tích V của khối chóp S.DBC.
A. V =

5 3a 3
96

B. V =

3 3a 3
96

C. V =

5 3a 3
32

D. V =

5 3a 3
192

Câu 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với
mặt đáy một góc 600. Gọi M là trung điêm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD,
cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích V của khối chóp S.AEMF.
A. V =

6a 3
18

B. V =

6a 3
6

C. V =

6a 3
9

D. V =

6a 3
12

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đơi một vng góc với nhau,
AB = a ; AC = 2a và AD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD , CD . Tính

thể tích V của tứ diện ADMN .

2a3
3a3
a3
A. V = a .
B. V =
.
C. V =
.
D. V = .
3
4
4
S
.
ABC
ABC
SA
Câu 5: Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vng tại B . Biết
vng góc
với mặt phẳng ( ABC ) , AB = a , BC = a 3 , SA = a . Một mặt phẳng ( α ) qua A vng góc
SC tại H và cắt SB tại K . Tính thể tích khối chóp S . AHK theo a.
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. VS . AHK =
.

B. VS . AHK =
. C. VS . AHK =
. D. VS . AHK =
.
20
30
60
90
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA=3a vng góc với mặt
3

1
3

1
5

phẳng đáy. Trên các cạnh SB, SC ta lần lượt lấy các điểm E, F sao cho SE = SB, SF = SC .
Tính thể tích của khối chóp S.AEF.

20


A.

a3 3
60

B.

a3 3
45

C.

a3 2
60

D.

a3 3
30

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân ở B, AC =a 2 , SA vng góc
với đáy ABC , SA = a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG và song
song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.
A.

2a 3
27

B.

2a 3
27

B.

a3
4

C.

a3
4

C.

a3
6

D.

a3
6

D.

a3
3

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vng
góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua C vng góc với BD,
cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
A.

a3
36

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A ' trên cạnh SA sao

1
SA . Mặt phẳng qua A ' và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh
3
SB, SC , SD lần lượt tại B ', C ', D ' . Khi đó thể tích chóp S . A ' B ' C ' D ' bằng:
V
V
V
V
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
3
9
27
81

cho SA ' =

Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có đường cao SA , đáy là tam giác vng cân có AB = BC = a
. Gọi B ' là trung điểm của SB và C ' chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC . Thể tích
khối chóp S . AB ' C ' tính theo a là:
A.

a3
6

B.

a3
36

C.

a3
12

D.

a3
24

21


Dạng 6: Tính tí số thể tích.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm
SC, mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F. Đặt V 1 =
VS.AEMF và V2 = VS.ABCD. Tính tỷ số
A.

V1 1
=
V2 3

B.

V1
.
V2
V1 1
=
V2 2

C.

V1 2
=
V2 9

D.

V1 2
=
V2 3

Phân tích, lời giải và bình luận
1) Phân tích:
+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Vận dụng cơ bản.
+ Học sinh cần nắm được : cách phân chia khối đa diện thành các khối đa diện thành
phần, công thức tỷ số thể tích của hai khối chóp tam giác.
2) Lời giải:
+ V1 = VS.EMF + VS.AEF.
+ Ta có: EF // BD và:
+

SE SF 2
=
= .
SB SD 3

VS.EMF SE SM SF 2 2 1 2
=
.
.
= . . =
VS.BCD SB SC SD 3 3 2 9
VS.AE F SE SF 2 2 4
=
.
= . =
VS.AB D SB SD 3 3 9
VS.BCD = VS.ABD =

→

1
V2
2

V1 VS.EM F + VS.AEF 1
=
= .
V2
V2
3

Đáp án: A
3) Bình luận:
• Các phương án nhiễu: + B : Học sinh nhầm tính tỷ số thể tích của hai phần thành
phần.
+ C : Học sinh áp dụng công thức tỷ số thể tích cho khối chóp
tứ giác.
+ D : Học sinh nhầm: VS.BCD = VS.ABD = V2
• Một số bài tập cùng dạng:

22


Câu 1:Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA và SB lần lượt lấy các điểm M và N sao
cho:

SM 1 SN
= ;
= 2 . Mặt phẳng qua MN và song song với SC chia tứ diện thành hai phần.
MA 2 NB

Đặt : V1 = VMNEFCS ; V2 = VMNEFAB . Tính tỷ số:
A.

V1 4
=
V2 5

B.

V1 1
=
V2 2

V1
.
V2

C.

V1
=2
V2

D.

V1 2
=
V2 9

Câu 2:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng đi qua A, B và trung điểm M
của SC cắt SD tại N. Đặt : V1 = VS.ABMN ; V2 = VABMNDC . Tính tỷ số:
A.

V1 3
=
V2 5

B.

V1 1
=
V2 4

C.

V1
.
V2

V1 1
=
V2 2

D.

V1
=1
V2

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC và thỏa
1
2

1
3

1
5

mãn SA ' = SA , SB' = SB, SC ' = SC . Khi đó tỉ số
A.

1
30

B. 30

C.

VS.ABC
bằng:
VS.A 'B'C '

1
15

D. 15

Câu 4: Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, và đáy là tam giác vng đỉnh B.
Biết độ dài các cạnh SA =AB = BC = a . Gọi M, N tương ứng là hình chiếu vng góc của
đỉnh A trên các cạnh SB, SC. Gọi V và V’ tương ứng là thể tích của các khối chóp S.ABC và
S.AMN. Tỉ số
A.

1
3

V'
bằng :

V

B.

1
6

C.

2
3

D.

3
4

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O. Gọi H và K lần lượt là
trung điểm của SB, SD. Tỉ số thể tích

VS.ABCD
bằng :
VAOMK

A. 12
B. 6
C. 8
D. 4
Câu 6: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (α ) qua A, B và trung điểm M
của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

A.

3
5

B.

5
36

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều

C.

5
3

D.

5
24

có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác

S.ABC
ABC, góc giữa SG và mặt phẳng ( SBC ) là 300. Mặt phẳng ( P ) chứa BC và vng góc với SA

chia khối chóp S.ABC thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là:
A. 1
6

B. 1
7

C. 6
7

D. 2
3

23


Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a, góc giữa mặt
1
bên và mặt phẳng đáy là α thoả mãn cosα = . Mặt phẳng ( P ) qua AC và vuông góc với mặt
3

phẳng ( SAD ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện
là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau:
A. 0,11
B. 0,13
C. 0,7
D. 0,9
Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó tỉ số
thể tích của khối tứ diện AMND và khối tứ diện ABCD bằng:
A.

1.
2

B.

1.
4

C.

1.
6

D.

1
8

24


Dạng 7: Thể tích khối đa diện tính bằng cách phân chia, lắp ghép.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a và góc CAB
bằng 300. Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu
của A trên SC và SC. Tính thể tích V của khối đa diện ABCHK.
A. V =

5a 3 3
21

B. V =

5a 3 3
7

C. V =

a3 3
4

D. V =

10a 3 3
21

Phân tích, lời giải và bình luận
1) Phân tích:
+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Vận dụng cơ bản.
+ Học sinh cần nắm được : cách phân chia khối đa diện thành các khối đa diện thành
phần, công thức tỷ số thể tích của hai khối chóp tam giác.
2) Lời giải:
+ Ta có: AB = 2a; AC = a 3 ; SC = a 7 .
SK 1
= .
SB 2
SH SA 2 4
=
= .
+ Tam giác SHK vuông tại A:
SC SC2 7
VS.AHK SH SK 2
V

5
=
.
= → ABCHK =
Cách 1:
VS.ACB SC SB 7
VS.ACB 7

+ Tam giác SAB cân nên:

a3 3
5a 3 3
VS.ABC =
⇒V=
3
21
Cách 2: Phân chia: V = VH.AKB + VH.ABC .

Đáp án: A

3) Bình luận:
• Các phương án nhiễu: + B : Học sinh quên

1
trong khi tính thể tích .
3

+ C : Học sinh nhầm H là trung điểm SC.
+ D : Học sinh khơng nhân

1
trong cơng thức tính diện tích
2

tam giác.
• Một số bài tập cùng dạng:
Câu 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD, đường thẳng MN
cắt AD tại P. Tính thể tích V của khối đa diện SABCNP.

25