đề thi sưu tầm 10 năm đề thi chọn đội tuyển imo cac de thi hsg cua dhsphn de chon doi tuyen ninh binh de de nghi toan 11 cua hai phong de hsg tphcm 2009 de kt doi tuyen chuyen quang trung de kt do…

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (141.98 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài tập bất đẳng thức

Bµi 1:

Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta lu«n cã:

a a¿

+b2+c2≥ ab+bc+ca¿b¿( a+b)2(b+c )2≥ 4 abc ( a+b+c )¿

Bµi 2:

Chøng minh r»ng víi mäi sè d ong a, b, c ta lu«n cã:
(a+b )( b+c ) (c+ a) ≥8 abc

Bài 3:

DÃy số u1, u2,. . . ,unĐ ợc xác dịnh nh sau:

un= 1

n (n+1) (n+2) (n+3) với n = 1; 2; 3; . .. k

Đặt S = u1+u2+u3+.. .+uk. Chøng minh r»ng: 18<1

S≤ 24

Bµi 4:

Chøng minh víi mäi sè d ong a, b, c ta luôn có:

a2
+b2

a+b +
b2

+c2

b+c +
c2

+a2

c +a

(a

+b2+c2

)

a+b+c

Bài 5:

Cho a+b=2. Chøng minh r»ng:

a a¿

+b2≥2 b¿a4+b4≥ 2 c¿a8+b8≥2¿

Bµi 6:

Cho a+b+c +d =2. Chøng minh r»ng:

a2+b2+c2+d2≥ 1

Bµi 7:

Cho hai sè d ong a, b tho¶ m·n a+b=1 . Chøng minh r»ng:

(

a+1
a

)

(

b+1

b

)

≥25

Bµi 8:

Cho ba sè d o ng a, b, c tho¶ m·n: a+b+c=1. Chøng minh r»ng:

a+b ≥ 16 abc .

Bµi 9:

Cho ba sè d o ng a, b, c tho¶ m·n: a+b+c=4 . Chứng minh rằng:

a+b abc

Bài 10:

Chứng minh bất dẳng thức:

a+b

ab+c2+

b+c

bc+a2+

c+a

ca +b2 
1

a+

b+

c

Bài 11:

Cho ba số a, b, c thoả mÃn:

a+b+c=2
a2

+b2+c2=2

Chứng minh r»ng: 0 ≤ a ,b , c ≤4
3

¿
¿{¿

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c∈

[

0;1

]

ta lu«n cã:
(1+ a+b+ c )2≥ 4

(

a2+b2+c2

)

Bµi 13:

Chøng minh r»ng víi mäi a,b,c>0

a+bc +

b+c

a +

c+a

b 2

(

c
a+b+

a
b +c+

b
a+c

)

Bài 14:

Cho các số d o ng a, b, c tho¶ m·n: abc=1 . Chøng minh r»ng:

a3
(1+b)(1+c)+

b3
(1+a) (1+ c)+

c3
(1+ a) (1+ b)≥

3
4

Bµi 15:

Cho ba sè thùc d ong a, b, c tho¶ m·n: a+b +c=6 .
Chøng minh r»ng:

(

1+1

a3

)(

1+
1

b3

)(

1+
1

c3

)

≥
729
512 .

Bµi 16:

Cho a, b,c là các số d ong . Chứng minh bất dẳng thức:

a2

b+c+

b2
a+c+

c2
a+b

a+b+c

2 .

Bài 17:

Cho a, b, c >0 thoả mÃn: a+b+c=1. Chøng minh r»ng:

a a+1+

√

b+1+

√

c +1<3,5¿b¿

√

a+b+

√

b+c+

√

c +a<

√

6¿

Bµi 18:

Cho x>y, x . y=1. CHøng minh r»ng:

x2

+y2

x − y ≥ 2

Bài 19:

Cho các số a, b, c thoả mÃn:

a2+b2+c2=2
ab+bc+ca=1.

Chứng minh r»ng: |a|, |b|, |c|≤4

¿
¿{¿

Bµi 20:

Cho a, b≥ 0 Chøng minh r»ng:
(a+b)2

2 +

a+b

4 ≥ a

√

b+b

√

a.

Bµi 21:

Cho a, b, c >0 . Chøng minh r»ng:

√

b+ca +

√

b
c+a+

√

c
a+b>2.

Bµi 22:

¿
a>1 . Chøng minh r»ng: x

√

x-1≥ 2 .¿b¿ Cho a>1; b>1 . Chøng minh r»ng:

a2
b −1+

b2
a − 1≥ 8¿

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chøng minh r»ng: NÕu x, y, z >0 tho¶ m·n 1

x+

y+

z=4 thi

1
2x + y +z +

x +2 y +z+

x+ y+2 z≤

3
4

Bµi 23:

Cho ba sè d o ng x, y, z tho¶ m·n x+ y +z=1 . Chøng minh r»ng:
3

xy+ yz+zx+

x2+y2+z2>14

Bµi 24:

Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n x2+4 y2=1. Chøng minh r»ng:

|

x+y

|

≤

√

Bµi 25:

Cho x, y là hai số thực khác không . Chứng minh rằng:

x2
y2+

y2

x2+4 3

(

x
y+

y
x

)

Bài 26:

Cho a, b, c là các số thực thuộc d oạn

[

-1; 2

]

thoả mÃn: a+b +c =0
Chøng minh r»ng: a2

+b2+c2≤6

Bµi 27:

Cho a, b, c lµ ba sè d o ng . Chøng minh rằng:

a
b+c+

b
c +a+

c
a+b

3
2

Bài 28:

Cho các số x, y, z>0 và x+ y+z =1. Chøng minh r»ng:

x +2y +z ≥ 4 (1-x) (1 − y ) (1− z)

Bµi 29:

Cho a, b, c >0 vµ a+b+c ≤1 . Chøng minh r»ng:
1

a2+2 bc+
1

b2+2 ca+
1

c2+2 ab≥ 9

Bµi 30:

Chøng minh r»ng víi mäi a, b> 0 thoả mÃn a+b = 1 ta có:
1

ab+

a2+b26

Bài 31:

Chøng minh r»ng víi mäi a, b>0 tho¶ m·n: a. b = 1, ta cã:
1

a+

b+

a+b≥ 3

Bµi 32:

Cho a, b là hai số d o ng thoả mÃn: a2

+b2=4 . Chứng minh rằng:

a+b

a2+4

3
2

Bài 33:

Cho a, b >0 thoả mÃn: a+b = 1. Chứng minh rằng:
1

1+a+

1+b

3
4

Bài 35:

Cho xR thoả m·n: x >1 . Chøng minh r»ng: x4+1
x3 x 2

Bài 36:

Gi ả sử x, y 0 tho¶ m·n: x2+y2=1

a ≤ x + y ≤

√

2¿b¿ TÝnh giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P =

√

1+2x+

√

1+2 y¿

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n 1≤ x ≤5 , ta cã:

√

5-x+

√

x 1 2.

Bài 38:

Với các số a, b, c >0 thoả mÃn diều kiện abc=1. Chứng minh rằng:

a

(ab+a+1)2+

b

(bc+b+1)2+

c

(ca+c+1)2

a+b +c.

Bài 39:

Cho a, b tho¶ m·n:

√

a+

√

b=1 . Chøng minh r»ng: ab . (a+b )2≤ 1
64

Bµi 40:

Cho a>0; b>0 vµ a3

+b3=a −b . Chøng minh r»ng: a2+b2+ab<1 .

Bµi 41:

Cho a, b, c lµ ba sè d ong . Chøng minh r»ng:

a
b+

b
c+

c
a≥

a+b+c

√

abc

Bµi 42:

Chøng minh r»ng, víi mäi sè thùc d ong a, b, c ta cã:
ab

a+3b+2c+

b +3 c+2 a+

c +3 a+2 b≤

a+b +c

Bµi 43:

Chøng minh r»ng:
1

a2+2b2+3+
1

b2+2 c2+3+
1

c2+2 a2+3≤
1
2
trong dã a, b, c là các số thực d ong thoả mÃn: abc=1

Bài 44:

Cho các số d ong a, b, c. Chøng minh r»ng :
(a+b)2

c +

(b+c)2

a +

(c+a)2

b ≥ 4 ( a+b+c)

Bài 45:

Cho x, y là các số thực d ong tho¶ m·n: x+ y=1.
Chøng minh r»ng: 1

x3

+y3+

xy ≥ 4 +2

√

Mydocument/BAI TAP TOAN/ BAI TAP LOP 10/HOC KI II/bat dang thuc-coppy

1. Cho :x,y

vµ x

+y

=x+y

c/m : x

+y

2 1

2. Cho :a,b,c lµ 3 cạnh tam giác

c/m: a

+b

+c

< 2(a

b

+b

c

+c

a

)

3. Cho :

a , b , c∈

[

0 ;1

]

∧a+b+c=2. c /m:abc ≥(1− a)(1− b)(1 −c)

4. Cho :

a , b , c ≥ 0 ;c /m: a3

+b3+c3≥3 abc

5. Cho :a,b,c>0 c/m:

a) (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)

b) (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a+b+c

3 +

a+b+c¿

c +1/c¿2≥ 3¿
b+1 /b¿2+¿
a+1 /a¿2+¿

7. Cho :

0 ≤ x ≤1 ;0 ≤ y ≤ 2. c /m:(1 − x)(2 − y )(4 x+ y)≤2

8. Cho :

x+ y+ z=1. c /m:−1

2≤ xy+yz+zx ≤ 1

9. Cho :

x : y ≥ 0∧ x3

+y3=2. c /m: x2+y2≤ 2

10. Cho :x;y

[

0 ;1

]

∧ x2

+y2=x

√

1 − y2+y

√

1 − x2. c /m:(3 x+4 y )≤ 5

11. Cho : a>b>0 C/m :

a+ 1

(a −b)b≥ 3

12. Cho a;b;c;d>0 &

1+aa + b
1+b+

c

1+c+

d

1+d≤ 1. C /m :abcd ≤
1
81

13. Cho x;y;z

0∧ x (x− 1)+ y( y −1)+z(z− 1)≤4

3. C /m : x+ y+z ≤ 4

14. Cho:a;b;c>0 C/m:

a)

a+b+c¿

a(b2+bc+c2)+b (c2+ca +a2)+c (a2+ab+b2)≤1
3¿

b)

a3

b2+bc +c2+

b3

c2+ca+a2+

c3

a2+ab+b2≥

a+b+c

15. Cho a;b;c>0 t/m: ab+bc+ca=1

C/m:

a3

b+c+
b3
c +a+

c3
a+b≥

1
2

16. Cho:a;b>0 C/m: (a+b)

+(1/a+1/b)

2 8

17. Cho : a;b;c>0 vµ a+b+c=1 C/m

a)

a2

+4 b2+9 c2≥36
49

b)

ab2c3≤ 1

432

18. Cho a;b;c>0 t/m: a+b+c=1

C/m:

(2+1

a)(2+

b)(2+

c)≥ 125

19. Cho:a;b;c>0 C/m:

a)

a+b+c )(

b+c+a)(

c+a+b)≥ 64

b)

a+b+c )(

b+c+a)(

c+b+a)≥ 27

víi abc=1

20. Cho:a;b;c>0 vµ abc=1 C/m:

a)

a+b

2
2 +

c3

3 ≥
11

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b)

ab1 + 1
bc +

1
ca+

a+b+c≥ 4

21. Cho a;b;c>0 C/m:

C/m:

b+ca +b+c

a +
b
c +a+

c+a
b +

c
a+b+

a+b
c ≥

15
2

22. §H NNI 2000: Cho:a;b;c>0 , abc=1 t×m P min:

P=

a2b+a2c+
ca

b2a+b2c+
ab

c2b+c2a

23. §HQGHN 2000: Cho víi mäi a;b;c t/m a+b+c=0 C/m

8a+8b+8c≥2a+2b+2c

24. SPVinh 98: Cho x;y;z: (x-1)

+(y-2)

+(z-1)

=1 t×m x;y;z sao cho P max

P=(x+2y+3z-8 ) Tìm gtrị max đó

25. SPVinh 01: Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh tam giác và a+b+c=3 C/m:

3 a2+3 b2+3 c2+4 abc ≥13

26. Cho a;b;c t/m:

¿
a2

+b2+c2=2
ab+bc+ca=1

¿{

c/m:

−4

3≤ a ;b ;c ≤
4
3

27. HVNH HCM 01D:Cho a;b;c>0 C/m:

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)

28. víi mäi a;b;cC/m:

a)

a2

+b2+c2≥ ab+bc+ca

b)(ab+bc+ca)

❑2≥ 3 abc(a+b+ c)

(SP TP HCM 2000)

29. ĐHĐà Nẵng96:Cho a;b;c là 3 cạnh tam giác c/m:

1)a

+b

+c

<2(ab+bc+ca)

2)

a2+b2+c2=1; c /m :1

2≤ab+bc +ca≤ 1

Câu 1 Cho a, b, c là 3 số thực dương thoả mãn: a + b + c = 1. CMR:

2
3

b c c a a b

a b c abc

  

  

Câu 2: Cho 2 số thực dương x, y thoả mãn: x + y = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

2 3

3 4 2

x y

P

x y

 

 

Câu 4: Cho x, y > 0, CMR:





2
9

1 x 1 y 1 256

x y

 

       

   

Câu 5: Cho a, b, c > 0 và:

1 1 1
1

a b c  

CMR:

2 2 2

a b c a b c

a bc b ca c ab

 

  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 8: Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm GTLN của biểu thức:

2 2 2

xy yz zx

P

x y z y z x z x y

  

     

Câu 9: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn:

xy yz zx1

.

Tìm GTNN:

2 2 2

x y z

P

x y y z z x

  

  

</div>

đề thi sưu tầm 10 năm đề thi chọn đội tuyển imo cac de thi hsg cua dhsphn de chon doi tuyen ninh binh de de nghi toan 11 cua hai phong de hsg tphcm 2009 de kt doi tuyen chuyen quang trung de kt do…

<b>Bài tập bất đẳng thức</b>

<b>Bµi 1: </b>

<b>Bµi 2:</b>

<b>Bài 3:</b>

<b>Bµi 4: </b>

(a

)

<b>Bài 5: </b>

<b>Bµi 6:</b>

<b>Bµi 7:</b>

(

)

(

)

<b>Bµi 8: </b>

<b>Bµi 9:</b>

<b>Bài 10:</b>

<b>Bài 11:</b>

[

]

(

)

<b>Bµi 13:</b>

(

)

<b>Bài 14:</b>

<b>Bµi 15:</b>

(

)(

)(

)

<b>Bµi 16:</b>

<b>Bài 17:</b>

√

√

√

√

√

√

<b>Bµi 18:</b>

<b>Bài 19:</b>

<b>Bµi 20:</b>

√

√

<b>Bµi 21:</b>

√

√

√

<b>Bµi 22:</b>

√

<b>Bµi 23:</b>

<b>Bµi 24:</b>

|

|

√

<b>Bµi 25: </b>

(

)

<b>Bài 26: </b>

[

]

<b>Bµi 27:</b>

<b>Bài 28:</b>

<b>Bµi 29:</b>

<b>Bµi 30:</b>

<b>Bài 31:</b>

<b>Bµi 32:</b>

<b>Bài 33:</b>

<b>Bài 35:</b>

<b>Bài 36:</b>

√

√

√

√

√

<b>Bài 38:</b>

<b>Bài 39:</b>

√

√