De thi chon HSG Lop 9 nam hoc 2009-2010

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS TỈNH BÌNH DƯƠNG
Năm học 2009-2010
Môn Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 : ( 4 điểm)
Chứng minh rằng nếu x,y là hai số nguyên mà x
2
+ y
2
chia hết cho 3 thì x và y cùng
chia hết cho 3.
Câu 2: ( 4 điểm)
Cho P(x) =
14312
−−++−−
xxxx
Hãy tìm đoạn [a;b] sao cho với mọi x thuộc đoạn [a;b] thì P(x) là hằng số trên đoạn
đó.
Câu 3: ( 4 điểm)
Cho hai phương trình bậc hai : x
2
+ ax + b = 0 và x
2
+ cx + d = 0. Trong đó
ac>2(b+d).
Chứng minh có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
Câu 4 : ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Kẻ đường cao AH; gọi P,Q lần lượt là trung
điểm của BH, AH.
a/ Chứng minh hai tam giác ABP và CAQ là hai tam giác đồng dạng.
b/ Chứng minh AP

⊥
CQ.
Câu 5 : ( 4 điểm)
Cho tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng CD.
Chứng minh rằng nếu đường tròn đường kính CD tiếp xúc với đường thẳng AB thì
đường thẳng BC và AD song song.
HẾT