đề thi sưu tầm 10 năm đề thi chọn đội tuyển imo cac de thi hsg cua dhsphn de chon doi tuyen ninh binh de de nghi toan 11 cua hai phong de hsg tphcm 2009 de kt doi tuyen chuyen quang trung de kt do

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (944.54 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 49: (đề thi vào chuyên Toán chuyên Phan Bội Châu) 
Cho các số thực a, b, c thoả mãn a,b≥0 ; c≥1 ; a+b+c=2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (6-a2-b2-c2) (2-abc)

( Chưa có lời giải ) 
Bài 50: (HELLO IMO 2007).

Cho các số thực không âm a,b,c. Chứng minh rằng



2 2 2







2 8 5

abc a b c   a b c
Lời giải:















2 2 2 2 2



2 1 2 2 2 3 2 1 0

VT VP  a b c  abc  ab bc ca  a  b c 



a 

Bài 51: ( Võ Quốc Bá Cẩn )

Cho , ,a b c 0thoả mãn khơng có hai số nào đồng thời bằng 0

Chứng minh rằng:





1

2

3 a

bc

ab bc ca









( Chưa có lời giải )

Bài 52: (Vasile Cirtoaje) Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:



2 2 2





3 3 3



a b c  a b b c c a 

Lời giải:

BĐT cần chứng minh



2 2

 

2 2 2

 

2 2 2



3 3 3 3 6 3 3 3 6 3 3 3 3 6 3 0

18 a ab ac b bc b ab bc ac c c ac bc ab a

 

                

 

BĐT cuối luôn đúng nên BĐT được chứng minh.

Bài 53: (Võ Quốc Bá Cẩn)

Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a+b+c=6; 2 2 2

a b c 

Chứng minh rằng 4a b 2c

Lời giải: 
Hướng giải: Đưa về đồng bậc

2 2 2

4 2

14 14

a b c a b c

a b  c k       

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 54:Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a+b+c=4. Chứng minh rằng:







3 3 3 26 143

a  b  c   abc

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải: 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :



 



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

9

27

26

143 a b c



a b



b c



c a



a



b



c



abc



Vì a b c  4 nên 24abc 6abc a(  b c)



 























2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

3 9 27 26

1 3 9 16 2 2 2 26

1 3 3 143 143

a b c a b b c c a a b c abc

abc ab bc ca ab bc ca

abc ab bc ca

        

         

       

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi a  b c 4;ab bc ca 3;abc 1

Hay a,b,c là 3 nghiệm của phương trình 3 2

4 3 1 0

x  x  x 

Bài 55:Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn: 1+x+y+z=2xyz

Tìm GTNN của

xy
P

x y



 



Lời giải:

Đặt



a b c, ,



1 1 1; ;

x y z

 

  

 .

Giả thiết viết lại thành :

ab bc ca abc





2

Hay



a1



1b1



1(1)



Ta cần tìm min của



ab 1a b

Theo CS ta có ab a b 9  1



a116



b1



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 56: Cho a,b,c là các số thực không âm thoả a2 b2 c2 3. Chứng minh rằng:





2 2 2 2 2 2

a b c b c a c a b  a b c 
Lời giải:

Theo CS thì, ta có:



2 2 2

 

2 2 2



a b c
a b b c c a    

CM tương tự thì ta suy ra





6(1)

ab a b

 



Theo CS tiếp và (1) thì









2 2

a b c  a b c  ab a b VP



Đến đây ta có đpcm.

Bài 57: Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta có:



2 2 2



2 2 2 2 2 2

4 2 2 2

3 13

2 2 2

a b c a b b c c a

ab bc ca a b b c c a

      

    

      

Lời giải: 
Theo AM-GM và CS thì:













2 2 2 2

3 2

3 6

3 6 2 3 2

a b
a b

a b a b a b






  



















2 2

2 2 2 2 2

3 2 27

2 2 5 7 2

a b a b c

a ab b a b c ab bc ca

  

 

      

Đến đây đặt 2 2 2

;

a  b c  x ab bc ca   y

Ta đi chứng minh 4 27( 2 ) 13

7 2

x x y

y x y



 



Đương nhiên đúng vì nó tương đương với 2

(xy) 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tìm GTNN của biểu thức P 2



a b c  



 1a  b1 1c

Lời giải: 
Ta có:





1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2 a b c a b c

a b c a b c

  

       

Ta có BĐT:







2 2

2 1 5

2 1 0

a a

a a
a

      

Vì 0a b c, , 2thì BĐT phụ trên ln đúng nên áp dụng BĐT trên, ta có:

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 15

a b c a b c

a b c

         

Vậy

P 

9

đạt tại a  b c 1

Bài 59: Cho x,y,z là các số dương thoả mãn xyz    x y z 2. Chứng minh rằng:

3

2 x



y



z



xyz

Bài 60: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn ab bc ca  3. Chứng minh rằng:

2 2 2

1

3

1

2 a



b



c





Lời giải:

Hướng giải: Giả sử c min và áp dụng BĐT 2 2

1 1 2

a  b  ab

Bài 61: Cho a,b,c là các số thực không âm, đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:







 



1 1 1

ab bc ca

a b b c c a

 

     

  

 

 

Lời giải:

Ta có:





 



 



2 2

2 2 2

ab c a b c a ab b
VT VP

a b b c c a

      

 

  

  



Bài 62: Cho a,b,c thực không âm và đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:





x y

x y z
x y

 

 




</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:







 



















2 2 2 2

1 1

5 9

x y y z z x x y

x y z x y

x y

x y y z z x x y

x y xy

xy x y

       

          

   

   

  

   


 

Bài 63: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:











6 3

a

 

b

c



a b b c



c



a

Lời giải: 
Bình phương 2 vế và giả sử c min.

Ta có:



ac



2 a2;



b c



2 b2

Cần chứng minh:



a b c



6  27.2ab ab a b.2







Theo AM-GM thì 27.2ab ab a b.2





 

2  ab

 

6  a b c



6
Vậy ta có đpcm.

Bài 64: Cho a,b,c > 0 thoả mãn

4
3

a  a



.Chứng minh rằng:

2 3 3

1 a

 

b

c





Lời giải: 
Theo Cauchy-Schwarz thì:













2 2

3 2 2 4 2 2

a

a b c a b c

VT

a

a ab a b a ab a b

   

  

   



Cần chứng minh:

 

a



a

Hay



 



2 3

4 3

a a  a

 



( đúng theo BĐT Holder ) 
Bài 65: Chứng minh với mọi số thực ta có BĐT:





2
2

, ,

2

x y z

x

y

z







</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

BĐT cần chứng minh







 



3 2 2 2 2 3 2 2 3

2 2 2

3

0 x

x y

x z

xy

xyz

xz

y

y z

yz

z

y

x

z

x

z

y



















luôn đúng

Do đó BĐT được chứng minh.

Bài 66: Cho các số dương x,y,z thoả mãn x2 y2 z2 3. Chứng minh rằng:

5 2

5 2 2

0 x

y

z









Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 5 2 2 2 2 2

1 3

x  y z  x  y z



Từ đây ta chỉ cần xét trương hợp: x2  y2 z2  nên bất đẳng thức cần 3
chứng minh trở thành:

5 2

1
3

x x  



Theo AM-GM, ta có:

6 6

2
1

x x

x

x x

 


Đặt a x b2;  y c2; z 2   a b c 3
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành







3



3 3 2 3 2

1 2 3 3

1 1

1 1 0(1)

2 2 2 3 2 2 3

3
1

a a a

a

a a a a a a a

a
a

   



    

     

 




Không mất tính tổng quát giả sử: a     . Xét hai trường hợp:b c a 1 c

TH1:b c   1 a 2, lúc đó:

3 3 3

2a 3a 3 0; 2b 3b 3 0; 2c 3c 3 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>



3 2







3 2

3 3

2 3 2 3

3 2

2 2 3 5 1 2 3 2

1 3 2 1 3 2

2 2 0

2 2 2 2

1 1

2 2 3 5

a a a a a a a

a

a a

a a a

a

a a a

        

   

           

   



 

  

Cần chứng minh: 3 2 3 2

1 1 4

2 2 3 2 2 3 5

b c

b b b c c c

   

     

Ta có bổ đề: Với mọi 0 x 1 ta có: 3 2 3







1 2

4 1 2 1

2 2 3 5

x

x x x



    

  

+TH1: Nếu 1

x  , ta có điều phải chứng minh

+TH2: Nếu 1

x  ta có:













 







3 3

2
3 2

4 1 2 1 4 2 2 1

2 2 2 1 2 2 1 2 1 0

x x x x x

     

        

Ta có điều cần chứng minh
Đạt tại:

a b c

  

1

Bài 67.1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn:abc=1. Chứng minh: 
1.

a b c

a b c
b     c a
2.

b c c a a b

a b c

  

     

Giải: 
1. Ta có:

2 3

3 3

3 3 3

a a b a b a

a
b  b c b c  abc 

Suy ra:

3(a a b)

b b c 3(a+b+c) đpcm

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

(APMO 1998): Chứng minh với mọi x,y,z dương, ta có:

2( )

1 x 1 y 1 z 2 x y z

y z x xyz

         
   

 

Gợi ý : nhân bung lụa ra rồi đưa về BĐT : xy yz zx x3 y z

xyz

 
  

Tiếp tục sử dụng cách giải như trên ta có đpcm.
2. Ta có :

   

2 2



   







2 2

2 2 2 2 2

b c

b c

a a b c b c

a a



       

(BĐT

2(

x



y

)



(

x



y

)

2)

Suy ra :





2 2

b c

a b c

a

   

(1)

Tương tự :





2 2

c a

b c a

b



   (2)





2 2

a b

c a b

c

   

(3)

Mặtkhác :

a



b



c



3 abc



3

(BĐT Cô-Si) hay

3 a



b



c



(4)

Kết hợp (1) ;(2) ;(3) và 4 ta có đpcm.

Bài 67.2:[Russia MO] Cho a,b,c>0 thỏa mãn : a+b+c=3. 
Chứngminh:

a



b



c



ab bc ca



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>









2 2 2 2

2 2 2

2 ( ) ( )

2 ( ) 9

a b c ab bc ca

a b c a b c a b c

a b c a b c

    

        

      

Vậycầnchứng minh:





2 2 2
2 a b c (a b c ) 9
      

Mặtkhác: 2 3 2

3 . . 3

a  a a  a a a  a

Suyra:





2 2 2





2 a b c (a b c )3 a b c  9

Hay





2 2 2

2 a b c (a b c )9đpcm.

Bài 67.4: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh:



5 2



5 2



5 2







3 3 3

a a  b  b c   c a b c 

Giải:

Theo BĐT Holder, ta có:





3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

(a b c  )  1.1.a1.1.b1.1.c (1  1 a )(1  1 b )(1  1 c )

Ta chứng minh:

3 5 2

2a  a a 3

2 2

(a 1) (a 1)(a 1) 0

     (đúng)

CMTT: 3 5 2

2b b b  3

3 5 2

2c c c  3
Do a,b,c dương và 5 2

3 0

a a   ;b5 b2   ;3 0 5 2

3 0

c c   suy ra:



5 2



5 2



5 2

 

3



2



2







3 3 3 2 2 2

a a  b  b c   c a  b  c   a b c 

Hay:



5 2



5 2



5 2







3 3 3

a  a b  b c   c a b c  (đpcm)

Bài 67.7: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: abc=1. Chứng minh:

(ab b)( c c)( a) 4(a  b c 1)
Giải:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

3 3
4

( )( )( ) 4 ( )( ) 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

3 3 3

( ) ( )

a b b c c a a b c ab bc ca

a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

         

           

   

   



4 ( )

4( )

9( )

ab bc ca
a b c

a b c

 

  

 

Mặt khác:





2 3

9 a b c  9abc a b c(   ) 3(ab bc ca  ) (ab bc ca  )

(vì 3 2 2 2

3 3

ab bc ca   a b c  )

Từ đó suy ra: (ab b)( c c)( a) 4 4(a  b c)
Suy ra: (ab b)( c c)( a)4(a  b c 1)(đpcm)

Bài 68: Cho a,b,c là số thực không âm, thỏa mãn a+b>0, b+c>0,c+a>0. Chứng 
minh rằng:

a b c ab bc ca

b c c a a b a b c

 

   

    

Lời giải: 
Sử dụng bất đẳng thức Holder















3 3

a b c a b c

a a b c

b c a b c a b c ab bc ca ab bc ca

     

  

       





Vậy bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

a b c ab bc ca

a b c
ab bc ca

   

 

 

( đúng theo AM-GM )

Dấu bằng xảy ra khi

a



0;

b



7 

2

3 5

c

và các hoán vị.
Bài 69: (THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội - Ngày thứ 3)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

























2 2 2 2

2 2

2 4 2 4

2 2 2 2

x y x y y x y x

P x y

x y y x

   

   

   

Lời giải:





















































2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 4 2 4

2 2 2 2

2 4 1 2 4 1

2 2 1

2 2

2 2 2 2

2 6 3 2 2 6 3 2

1 1

2 2 2 2

x y x y y x y x

P x y

x y y x

x y x y y x y x

x y y x

xy x y xy x y

x y y x

   

   

   

       

   

        

       

   

         

      

   

   

Bài 70: Cho x,y là các số thực dương. Chứng minh rằng:

1

y x

x



y



Bài 71: (Việt Nam TST 1996)

Cho a,b,c là 3 số thực bất kì. Chứng minh rằng:



 



4 

4 4 4



7 a b



 

b c

 

c

a



a



b



c

Lời giải:

Đặt x  a b y;  b c z;  c a. Khi đó ; ;

2 2 2

z x y x y z y z x

a   b   c   

Suy ra cần chứng minh 28 x



4 y4z4







x z y

 

4 y z x

 

4  x y z



Áp dụng đẳng thức



p q

 

4 p q



4 2



p4 q4 6p q2 2



ta có:



 







4 4





2 2



2 6

z x y   z x y  xz y  zx y

và



x y z

 

4 y z x



4 2



y4 



x z



4 6y2



xz



suy ra cần chứng minh



4 4 4





2 2 2 2 2 2





4 4 4



4 x  y z 24 x y y z z x 28 x  y z

tương đương với 4 4 4 2 2 2 2 2 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 72: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:











2 2 2 2 2 2 1 3 3 3

a ab b b bcc c caa  abc a b c

Bài 73: Cho (x+y)(z+t)+xy=88.Tìm min của

P



x



9 y



6 z



24 t

2
Bài 74: Cho x>1; y>0. Chứng minh rằng:





3
3 3

1 1 1 3 2

x x x

y y x y

x

     

      


    

</div>

đề thi sưu tầm 10 năm đề thi chọn đội tuyển imo cac de thi hsg cua dhsphn de chon doi tuyen ninh binh de de nghi toan 11 cua hai phong de hsg tphcm 2009 de kt doi tuyen chuyen quang trung de kt do































1

2

3

3

3

<i>a</i>

<i>bc</i>

<i>ab bc ca</i>























 

 













 



3

9

27

26

143

<i>a b c</i>



<i>a b</i>



<i>b c</i>



<i>c a</i>



<i>a</i>



<i>b</i>



<i>c</i>





<i>abc</i>





 





















