Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Xây dựng tài liệu về số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn sáng kiến
Theo Tạp chí Mathematical Reviews (Mỹ, 1997), mỗi năm có hơn mười vạn bài nghiên cứu
tốn học được công bố; nhịp điệu tăng trưởng theo hàm số mũ, cứ 10 năm lại tăng lên gấp đôi. Rõ
ràng không nhà trường nào có thể dạy cho người học hết tất cả các kiến thức đó. Trong khi đó nhu
cầu của con người cần phải học tất cả. Chỉ có biết cách tự học mới có thể đáp ứng được sự phát
triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật.
Nội dung số phức được đưa vào trường phổ thông từ những năm 1997, với chương trình thí
điểm và chính thức triển khai diện đại trà từ năm học 2008 – 2009. Từ khi được đưa vào chương
trình Tốn học phổ thơng, các bài tốn về số phức đã xuất hiện trong các kỳ thi Tốt nghiệp; thi
tuyển sinh Đại học, Cao đẳng; thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi. Nó là một nội dung cơ bản
nằm trong Cấu trúc đề thi Tốt nghiệp và thi tuyển sinh Cao đẳng, Đại học của Bộ Giáo dục và Đào
tạo. Qua nghiên cứu các đề thi Tốt nghiệp, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ những năm 2009 đến
năm 2014 và đề thi THPT Quốc gia năm 2015, tôi nhận thấy có ba dạng tốn liên quan đến số phức
thường xuất hiện trong các kỳ thi này. Đó là, biến đổi số phức; biểu diễn hình học của các số phức
thỏa mãn điều kiện cho trước và tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Câu hỏi về số phức trong các đề thi khơng q khó đối với các thí sinh nhưng khơng phải thí
sinh nào cũng đạt được điểm tuyệt đối trong câu hỏi này. Trong quá trình dạy học cũng như chấm
thi tốt nghiệp, tuyển sinh Đại học, tôi nhận thấy rằng lỗi phổ biến nhất đối với các thí sinh là ở khâu
trình bày, lập luận và kỹ năng biến đổi. Phần biểu diễn hình học của số phức cũng là một vấn đề khó
đối với thí sinh. Bởi lẽ, nội dung này có liên quan đến phân mơn Hình học. Bài tập về số phức vẫn
cịn nằm chủ yếu trong các cuốn sách tham khảo về Giải tích mà chưa có một tài liệu tham khảo
chun biệt về số phức cùng các dạng toán cơ bản liên quan đến nó. Nếu xây dựng một cách hợp lý
tài liệu về số phức thì học sinh khơng những được rèn kỹ năng giải tốn mà cịn được bồi dưỡng
năng lực tự học
Với những lý do nêu trên, tôi lựa chọn sáng kiến “Xây dựng tài liệu về số phức nhằm bồi
dưỡng năng lực tự học cho học sinh” để làm đề tài nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng dạy và
học trong nhà trường phổ thông. Đồng thời, góp phần bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh và
đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường THPT

2. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được một hệ thống bài tập và phân dạng một cách hợp lý các bài toán về số
phức và những nhận xét, đánh giá sau mỗi dạng tốn thì sẽ giúp cho người học hiểu rõ và sâu sắc về
nội dung số phức. Đồng thời, góp phần phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh.
Bên cạnh đó cũng giúp học sinh được bồi dưỡng năng lực tự học và do đó góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học trong nhà trường.
3. Mục đích của sáng kiến
Xây dựng hệ thống bài tập về số phức và phân dạng hợp lý các bài tập để từ đó giúp học
sinh biết cách nhận dạng từng bài toán và định hướng cách giải quyết đối với bài tốn đó. Cũng
thơng qua các dạng tốn đó học sinh thường xun được củng cố kiến thức về Đại số, Hình học và
Giải tích. Đồng thời, cũng là tài liệu tham khảo cho giáo viên trong khi giảng dạy nội dung số phức
ở trường phổ thông và là tài liệu để học sinh tự học.

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 1/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
4. Phạm vi nghiên cứu
Sáng kiến tập trung nghiên cứu nội dung số phức theo chương trình Chuẩn trong chương
trình Giải tích 12 ở trường THPT. Bên cạnh đó cũng có đề cập đến dạng lượng giác của số phức
một cách thích hợp.
5. Phương pháp nghiên cứu
a) Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu về các tài liệu đề cập đến số phức, đặc biệt là các đề thi tốt nghiệp
THPT, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và đề thi THPT Quốc gia.
b) Nghiên cứu thực tiễn: Tìm hiểu về cách giảng dạy nội dung số phức mà giáo viên thường làm.
Phân tích và làm rõ ưu điểm, nhược điểm của từng cách dạy để từ đó xây dựng tài liệu một cách
hợp lý nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.
c) Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệu quả và tính

phổ dụng của sáng kiến. Đồng thời, cũng nhằm hoàn thiện về mặt nội dung và lý luận trong sáng kiến.
6. Những điểm mới và ý nghĩa thực tiễn của sáng kiến
a) Về mặt lý luận:
- Phân dạng một cách hợp lý các bài toán về số phức trong sách giáo khoa, sách bài tập và trong các
đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
- Trong mỗi dạng tốn có đưa ra kiến thức cần nắm và phương pháp giải từng dạng tốn đó, các ví
dụ minh họa và bài tập đề nghị.
- Đề xuất phương án sử dụng tài liệu nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.
b) Về mặt thực tiễn:
- Các dạng toán mà sáng kiến đã xây dựng bám sát chuẩn kiến thức, kỹ năng và góp phần nâng cao
chất lượng dạy và học nội dung số phức.
- Rèn luyện tính cẩn thận, sự linh hoạt, tính tích cực, chủ động và sáng tạo trong giải tốn nói riêng
và trong các hoạt động nói chung. Đặc biệt là góp phần bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.
- Sáng kiến đã phân loại và giải được 50 ví dụ minh họa cho các dạng toán về số phức. Nội dung
sáng kiến này là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh.
7. Cấu trúc của sáng kiến
Sáng kiến gồm 54 trang, ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung của sáng kiến gồm
2 chương và phần phụ lục:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Xây dựng tài liệu về số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.
Phụ lục: Bài tập chọn lọc về số phức.

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 2/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Cơ sở lý luận
Luật Giáo dục năm 2005 có ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn
học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo
ghi rõ về mục tiêu của giáo dục phổ thông: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ,
thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng
nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng,
truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến
thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. ...”.
Theo các nhà lý luận thì trong quá trình học ở trường phổ thơng, học sinh có thể tiến hành
hoạt động tự học trong những điều kiện, hoàn cảnh khác nhau và dưới nhiều hình thức khác nhau.
Có thể nêu lên ba hình thức tự học cơ bản sau đây:
Một là, hoạt động tự học diễn ra nhằm đáp ứng nhu cầu hiểu biết riêng, bổ sung và mở rộng tri thức
ngoài chương trình đào tạo ở ngồi nhà trường phổ thơng. Người học tự đọc tài liệu tìm vấn đề, tự
suy nghĩ, tự xoay sở giải quyết vấn đề, tự rút ra kinh nghiệm và khơng cần có sự điều khiển của
giáo viên. Đó là hình thức tự học ở mức độ cao.
Hai là, hoạt động tự học của học sinh diễn ra khi khơng có sự điều khiển trực tiếp của giáo viên.
Học sinh tự sắp xếp thời gian, điều kiện vật chất để tự ôn tập, tự củng cố, tự đào sâu những tri thức
và tự hình thành những kỹ năng, kỹ xảo ở một vấn đề nào đó theo yêu cầu của giáo viên hoặc vấn
đề nào đó nằm trong quy định của chương trình đào tạo của nhà trường.
Ba là, hoạt động tự học của học sinh diễn ra dưới sự điều khiển trực tiếp của giáo viên. Thày là tác
nhân, hướng dẫn, tổ chức, đạo diễn để trò phát huy những phẩm chất và năng lực vốn có và tiềm ẩn
của mình như: óc quan sát, phân tích, tổng hợp; năng lực khái qt hóa, tương tự hóa; ... tự tìm ra tri
thức, hình thành và củng cố các kỹ năng, kỹ xảo mà thày đã định hướng cho hoạt động này.
1.2. Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Yêu cầu về chuẩn kiến thức, kỹ năng phần số phức
Thời gian dành cho nội dung số phức ở chương trình lớp 12 Chuẩn là 11 tiết trong tổng số
78 tiết. Theo tài liệu Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kỹ năng mơn Tốn lớp 12 thì việc giảng

dạy nội dung số phức cần giúp học sinh:
a) Về kiến thức:
- Biết dạng đại số của số phức;
- Biết cách biểu diễn hình học của số phức;
- Biết cách tính mơđun của số phức, xác định số phức liên hợp;
- Biết khái niệm căn bậc hai của số phức;
- Biết cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực và có nghiệm phức;
b) Về kỹ năng:
- Thực hiện được các phép tính cộng, trừ, nhân và chia số phức;
- Biết cách tính căn bậc hai của số phức;
- Biết tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực;
- Biết tìm các số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 3/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
1.2.2. Cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng
Qua nghiên cứu đề thi tuyển sinh Cao đẳng, Đại học từ năm 2009 đến năm 2014, và đề thi
THPT Quốc gia năm 2015, tôi nhận thấy đề thi được ra theo cấu trúc dưới đây:
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Câu 2 (1,0 điểm). Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều
biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến; tiệm cận
(đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao
giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng); ...
Câu 3 (1,0 điểm).
a) Số phức.
b) Phương trình mũ, lơgarit; bất phương trình mũ, lơgarit.
Câu 4 (1,0 điểm). Giới hạn. Nguyên hàm, tích phân. Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình

phẳng, thể tích vật thể khối trịn xoay.
Câu 5 (1,0 điểm). Phương pháp tọa độ trong không gian.
Câu 6 (1,0 điểm).
a) Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác.
b) Tổ hợp, xác suất, thống kê.
Câu 7 (1,0 điểm). Hình học khơng gian (tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ vng góc của
đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; thể tích
của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích
khối cầu.
Câu 8 (1,0 điểm). Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Câu 9 (1,0 điểm). Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
Câu 10 (1,0 điểm). Bài tốn tổng hợp (Ghi chú: thơng thường là: bất đẳng thức; giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất; các bài toán liên quan đến tham số; tổ hợp; khai triển nhị thức;...).
1.2.3. Kiến thức cơ bản về số phức
Trong phần này chúng tơi tóm tắt lại một số kiến thức cơ bản về số phức. Những kiến thức
này về cơ bản đã được trình bày trong sách giáo khoa. Bên cạnh đó, một số tính chất của số phức
khơng đề cập trong sách giáo khoa nhưng có trong các bài giảng về số phức ở trên lớp.
a) Dạng đại số của số phức và các phép toán về số phức.
- Mỗi số có dạng z = a + bi được gọi là số phức, trong đó a, b �� và i 2 =- 1 .
Số thực a được gọi là phần thực ( Re z ; Re là viết tắt của Real: thực, số thực, phần thực), còn b
được gọi là phần ảo ( Im z ; Im là viết tắt của Imaginary: ảo, số ảo, phần ảo) của số phức z .
Tập hợp các số phức, kí hiệu là � (C là chữ cái đầu trong Complex: số phức).
- Số phức z = a + bi, ( a, b ��) là số thuần ảo khi và chỉ khi a = 0 ;
Số phức z = a + bi, ( a, b ��) là số thực khi và chỉ khi b = 0 .
- Các phép toán về số phức:
Giả sử z1 = a + bi; z2 = c + di , trong đó a, b, c, d ��. Khi đó:
(a) z1 + z2 = ( a + c ) +( b + d ) i ; z1 - z2 = ( a - c ) +( b - d ) i .
(b) z1 z2 = ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac - bd ) +( ad + bc ) i .
(c)

z1 a + bi ac + bd ad - bc
=
=
i , với z2 �0 .
z2 c + di c 2 + d 2 c 2 + d 2

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 4/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
b) Số phức liên hợp.
- Cho số phức z = a + bi, ( a, b ��) . Khi đó số phức liên hợp của z là z = a - bi .
- Các tính chất về số phức liên hợp của số phức:
(a) z = z , " z ��;
(b) z1 �z2 = z1 �z2 , " z1 , z2 ��.
(c) z1.z2 = z1.z2 , " z1 , z2 ��;

�z1 �
z
�
= 1 , " z1 , z2 ι �, z2
(d) �
� �
�
�
�
�z2 � z2

0.

(e) z là số thực khi và chỉ khi z = z ; z là số thuần ảo khi và chỉ khi z =- z .
 Chú ý: Tính chất e) đôi khi được sử dụng để chứng minh một số phức là số thực hoặc một số
phức là số thuần ảo.
c) Môđun của số phức.
- Cho số phức z = a + bi, ( a, b ��) . Khi đó mơđun của số phức z là z = a 2 + b 2 .
- Các tính chất về mơđun của số phức:
2

2

(a) z = z = z.z , " z ��;
(c)

z
z1
= 1 , " z1 , z2 �� và z2 �0 ;
z2
z2

(b) z1 z2 = z1 . z2 , " z1 , z2 ��;
(d) z1 - z2 � z1 + z2 � z1 + z2 , " z1 , z2 ��.

d) Hai số phức bằng nhau.
a =c
�
Cho hai số phức z1 = a + bi; z2 = c + di , trong đó a, b, c, d ��. Khi đó z1 = z2 � �
.
�

�
b =d
�
 Chú ý: Điều kiện để hai số phức bằng nhau thường được vận dụng trong các bài tập về tìm số
phức thỏa mãn điều kiện cho trước nên chúng ta cần nắm vững điều kiện này.
e) Biểu diễn hình học của số phức.
r
Mỗi số phức z = x + yi, ( x, y ��) được biểu diễn bởi điểm M = ( x; y ) hoặc bởi vectơ u = ( x; y )
trong mặt phẳng tọa độ Oxy .
Nếu các số phức z1 , z2 được biểu diễn bởi các điểm A, B trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì số phức
uur uuu
r
uur uuu
r uur
z1 + z2 được biểu diễn bởi OA + OB ; số phức z1 - z2 được biểu diễn bởi OA - OB = BA .

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 5/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

Chương 2. XÂY DỰNG TÀI LIỆU VỀ SỐ PHỨC
NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH
A. XÂY DỰNG TÀI LIỆU VỀ SỐ PHỨC
Trong khuôn khổ sáng kiến này, tôi tập trung đề cập đến dạng đại số của số phức và bên
cạnh đó có đề cập đến cả dạng lượng giác của số phức. Liên quan đến dạng đại số của số phức,
chúng tơi đề cập đến một số dạng tốn như: Biến đổi số phức; Biểu diễn hình học của số phức; Tìm
số phức thỏa mãn điều kiện cho trước; Số phức với môđun lớn nhất, môđun nhỏ nhất; Bất đẳng thức

liên quan đến môđun của số phức và Số phức và ứng dụng. Việc phân dạng các loại toán về số phức
được căn cứ vào chuẩn kiến thức, kỹ năng và qua tìm hiểu, nghiên cứu các đề thi Tốt nghiệp THPT,
đề thi Đại học, Cao đẳng và đề thi THPT Quốc gia từ năm 2009 đến năm 2015.
Trong mỗi dạng tốn về số phức, chúng tơi trình bày 3 vấn đề: Kiến thức chuẩn bị; Các ví dụ minh
họa và Bài tập đề nghị. Riêng dạng toán Số phức và ứng dụng chúng tôi chỉ minh họa bằng một vài
ví dụ cụ thể. Dưới đây, là nội dung chi tiết cho từng dạng tốn đó.

2.1. DẠNG 1. BIẾN ĐỔI SỐ PHỨC
Trong phần này chúng ta đề cập đến hai loại biến đổi liên quan đến số phức.
- Biến đổi liên quan đến số phức cụ thể: ta sử dụng các phép toán về số phức (phép cộng, phép trừ,
phép nhân, phép chia, phép lũy thừa, ...) kết hợp với công thức xác định số phức liên hợp và môđun
của số phức để thực hiện phép biến đổi.
- Biến đổi liên quan đến số phức nói chung: ta sử dụng dạng đại số để thực hiện phép biến đổi. Tuy
nhiên, đối với dạng này chúng ta thường sử dụng các tính chất của số phức (chẳng hạn như tính
chất về số phức liên hợp, tính chất về mơđun) để biến đổi mà không cần viết dạng đại số của số
phức.
2.1.1. Kiến thức chuẩn bị
Để giải dạng toán này chúng ta cần nắm được các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân,
chia các số phức) và các tính chất của số phức (về môđun, về số phức liên hợp) đã được trình bày ở
trên. Bên cạnh đó, khi làm việc với số phức ta cần tách rõ phần thực và phần ảo của số phức để
thuận lợi cho việc xác định số phức liên hợp, tính mơđun của số phức và tìm điều kiện cho hai số
phức bằng nhau.
2.1.2. Một số ví dụ minh họa
 Ví dụ 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z , biết:
a) z =

24
�
�
1- i 3 �

�
�
b) z =�
�.
�
�
�1 + i �
�

( 8 + 3i ) ( 2 - 4i )
1+i

a) Ta có z =

( 8 + 3i ) ( 2 - 4i )
1+i

=

28 - 26i
=
1+i

Lời giải
( 28 - 26i ) ( 1- i )

( 1 + i ) ( 1- i )

=

2 - 54i
= 1- 27i .
2

� z = 1 + 27i . Vậy số phức z có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 27.
12

6
24
2
12
= ( 2i ) = 212.( i 2 ) = 212 .
b) Ta có +) ( 1 + i ) = �
(�1 + i ) �
�
�
�

(

)

2

(

)

(

+) 1- i 3 =- 2 1 + i 3 nên 1- i 3

)

24

8

8
2�
8
8
�
=�
1- i 3 �1- i 3 = ( - 2) �
1 + i 3 1- i 3 �
�
�
�
�
�
�

(

) (

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

)

(

)(

)

Trang 6/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

(

� 1- i 3

)

24

(

)

24

24
�
�
1- i 3

1
i
3
2 24
8 8
24
�
�
= 2 .4 = 2 . Do vậy z = �
=
=
= 212 = 4096 .
�
�
24
12
�
�
2
�1 + i �
�
( 1+ i)

Vậy số phức z có phần thực bằng 4096 và phần ảo bằng 0.
 Nhận xét: - Đối với ý a) chúng ta chỉ cần thực hiện phép nhân và chia hai số phức là có thể giải
2

(

)

2

quyết bài tốn. Tuy nhiên, đối với ý b) vì số mũ cao nên chúng ta cần tính ( 1 + i ) và 1- i 3 ; ...
để định hướng cho việc biến đổi.
- Nếu sử dụng dạng lượng giác của số phức thì chúng ta có giải ý b) một cách gọn gàng hơn. Các
bạn kiểm chứng điều này xem nhé.
- Tổng quát chúng ta có kết quả: Với k �� thì ( 1 + i )

4k

(

k

= 22 k.( - 1) ; 1 + i 3

)

3k

3k

= ( - 2) .

 Ví dụ 2. (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2010)
Cho số phức z

1thỏa mãn z = (

3i

)

3

1- i

. Tìm mơđun của số phức z +( 2 - i ) z .

Lời giải
- 8( 1+ i)
- 8( 1 + i)
3
- 8
=
=
=- 4 - 4i � z =- 4 + 4i .
Ta có 1- i 3 =- 8 nên z =
1- i ( 1 - i ) ( 1 + i )
2

(

)

Do đó z +( 2 - i ) z =- 4 - 4i +( 2 - i ) ( - 4 + 4i ) =- 4 - 4i - 4 +12i =- 8 +8i
� z +( 2 - i ) z =

2

( - 8) +82 = 8 2 .

 Ví dụ 3. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 2 z +10 = 0 .
2

2

Tính giá trị của biểu thức A = 2 z1 - 3 z2 + 3 z1 - 2 z2 .
Lời giải
2

2

Ta có z + 2 z +10 = 0 � ( z +1) =- 9 = ( 3i ) � z =- 1- 3i; z =- 1 + 3i .
2

Giả sử z1 =- 1 + 3i; z2 =- 1- 3i . Khi đó:
2

2

2

+) 2 z1 - 3z2 = 2 ( - 1 + 3i ) - 3( - 1- 3i ) = 1 +15i = 12 +152 = 226
2

+) Tương tự, ta cũng có 3z1 - 2 z2 = 226 . Vậy A = 226 + 226 = 452 .

( - 1+ i 3)
 Ví dụ 4. Tính giá trị của biểu thức A =

( 1- i )

15

20

( - 1+

i 3

( 1+ i)

)

15

20

.

Lời giải
2 10

5
20
10
5
= ( - 2i ) = 210.( i 2 ) = 210.( - 1) =- 210
Ta có: +) ( 1- i ) = �
(�1- i ) �

�
�
�
10
20
2�
10
10
2 5
1
+
i
=
2
i
=
2
.
i
+) ( 1 + i ) = �
(�
)
(
)
(
) = 210.( - 1) 5 =- 210
�
�
�

(

)

(

2

)

(

+) - 1 + i 3 =- 2 1 + i 3 nên - 1 + i 3

(

)(

)

)

15

5

2�
�
=�
- 1 + i 3 �- 1 + i 3

�
�

(

5

) (

(

)

5

5
5
= ( - 2) �
1 +i 3 - 1 +i 3 �
=- 25.( - 4) = 215 . Tương tự, ta có - 1- i 3
�
�
�
�

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

)

15

= 215 .

Trang 7/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
215
215
+
=- ( 25 + 25 ) =- 64 .
10
10
- 2
- 2
 Nhận xét: Trong ví dụ trên chúng ta đã thực hiện thao tác rút gọn từng thành phần trong tổng
trước khi tính tổng đó. Việc khai triển biểu thức với số mũ lớn gặp khơng ít khó khăn. Vì vậy, khi
gặp biểu thức với số mũ lớn đòi hỏi chúng ta phải linh hoạt và khéo léo trong khâu biến đổi. Một
cách làm đơn giản nhất là ta tính với số mũ 2, số mũ 3, …. để dự đoán được quy luật và từ đó đưa
ra cách tính hợp lý nhất.
 Ví dụ 5. Tìm các số thực x, y thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
Do đó A =

3

a) ( 2 x +1) ( 2 - i ) - y ( - 3 + 2i ) ( 2 - 3i ) = 6 - 94i
2

3

b) x ( 1- 3i ) +( x + 2 y ) ( 1 + 2i ) = 25 - 4i .
Lời giải
a) Ta có

3

3

( 2 - i) = 2 - 11i;( - 3 + 2i ) ( 2 - 3i ) = 13i nên ( 2 x +1)( 2 - i) - y ( - 3 + 2i )( 2 - 3i ) = 6 - 94i

� ( 2 x +1) ( 2 - 11i ) - 13 yi = 6 - 94i � ( 4 x + 2) - ( 22 x +11 +13 y ) i = 6 - 94i
�x = 1
�
�
4
x
+
2
=
6
�
��
��
�
61 . Vậy cặp số ( x; y ) cần tìm là
�
22 x +11 +13 y = 94 �
y=
�
�

� 13
3

2

� 61�
�
1; �
�
�
�.
�
� 13 �

2

3

b) Ta có ( 1- 3i ) =- 8 - 6i và ( 1 + 2i ) =- 11- 2i nên x ( 1- 3i) +( x + 2 y )( 1 + 2i ) = 25 - 4i
� x ( - 8 - 6i ) +( x + 2 y ) ( - 11- 2i ) = 25 - 4i � ( - 19 x - 22 y ) - ( 8 x + 4 y ) i = 25 - 4i
�
- 19 x - 22 y = 25
�
�
47
69
47 69 �
��
� x = ; y =;�
. Vậy cặp số ( x; y ) cần tìm là �

.
�
�
�
�
�
�
8x + 4 y = 4
25
25
25 25 �
�
 Nhận xét: Khi gặp dạng toán này chúng ta cần thực hiện các phép biến đổi số phức như phép
cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia hai số phức để tách rõ phần thực và phần ảo ở cả hai vế
của đẳng thức đã cho. Sau đó sử dụng điều kiện để hai số phức bằng nhau, dẫn đến một hệ phương
trình hai ẩn số x, y . Việc giải quyết hệ phương trình hai ẩn này địi hỏi chúng ta phải có kỹ năng
giải hệ như rút, thế; đặt ẩn phụ; sử dụng tính đơn điệu của hàm số; …..

(

 Ví dụ 6. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = 1 + i 3

)

5n

, biết rằng n là số nguyên dương

thỏa mãn điều kiện log 2 ( 3n - 5) + log 3 ( 2n +13) = 7 .
Lời giải

�
�
5
; +��
�
Xét hàm số f ( t ) = log 2 ( 3t - 5) + log 3 ( 2t +13) trên khoảng �
.
�
�
�
�
3
3
2
+
> 0 , với mọi t > 5 nên hàm số f ( t ) đồng biến trên khoảng
Do f '( t ) =
( 3t - 5) ln 2 ( 2t +13) ln 3
3
�
�
5
�
; +��
�
. Do vậy phương trình f ( t ) = 7 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng này.
�
�
�
�

3
Mặt khác f ( 7) = 7 nên phương trình f ( t ) = 7 có nghiệm duy nhất t = 7 .
Vậy log 2 ( 3n - 5) + log 3 ( 2n +13) = 7 � n = 7 .

(

Ta có 1 + i 3

)

2

(

)

(

=- 2 1- i 3 nên z = 1 + i 3

)

35

12

2�
�
=�
1+i 3 � 1+i 3

�
�

(

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

) (

)

11

Trang 8/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
� z = ( - 2)

(

12

( 1-

i 3

) ( 1+i 3)
12

11

(

)(

)(

)

11

= 212 1- i 3 �
1- i 3 1 + i 3 �
�
�
�
�

)

� z = 212 1- i 3 .411 = 234 - 234 i 3 .
Vậy số phức z có phần thực bằng 234 và phần ảo bằng - 234. 3 .
 Nhận xét: - Điểm mấu chốt trong lời giải trên là việc tìm ra số nguyên dương n và khéo léo biến

(

đổi để tính được giá trị của biểu thức 1 + i 3

)

35

.

- Việc tìm ra số nguyên dương n không thể dựa vào việc biến đổi logarit thuần túy mà phải dựa vào
tính đơn điệu của hàm số. Dấu hiệu nhận biết để sử dụng tính đơn điệu nằm ở chỗ: thứ nhất hai cơ
số không giống nhau và cũng không biểu diễn trực tiếp được qua nhau; thứ hai là các biểu thức lấy
logarit lại không giống nhau nên việc giải phương trình logarit bằng cách biến đổi tương đương
hay đặt ẩn phụ đều khơng thành cơng.
 Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi số phức z1 , z2 , ta ln có đẳng thức:
2

(

2

2

a) z1 + z2 + z1 - z2 = 2 z1 + z2

2

)

2

(

2

b) 1- z1.z2 - z1 - z2 = 1- z1

2

)( 1-

z2

2

)

Lời giải
a) Cách 1: (Sử dụng dạng đại số của số phức)
Giả sử z1 = a + bi; z2 = c + di , trong đó a, b, c, d ��. Khi đó:
2

2

2

+) z1 + z2 + z1 - z2 = ( a + c ) +( b + d ) i + ( a - c ) +( b - d ) i

2

(

)

2
2
2
2
2
2
=�
+�
a - c ) +( b - d ) �
= 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = 2 z1 + z 2 .
(�a + c ) +( b + d ) �
(
�
�
�
�
��
�
Cách 2: (Sử dụng các tính chất của số phức)
2

Sử dụng các tính chất z = z.z và z1 + z2 = z1 + z2 , ta có:
z1 + z2 + z1 - z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) +( z1 - z2 ) ( z1 - z2 )
2

2

(

= ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) +( z1 - z2 ) ( z1 - z2 ) = 2 ( z1 z1 + z2 z2 ) = 2 z1 + z2

2

2

).

b) Chứng minh tương tự như a).
 Nhận xét: Trong ví dụ này chúng tơi trình bày lời giải theo cả 2 cách để bạn đọc thấy được ưu
điểm của từng cách. Từ đó, có sự lựa chọn linh hoạt và sáng tạo trong giải quyết các bài toán về số
phức nói riêng và các bài tốn trong tốn học nói chung. Cách 1 có trong hầu hết các tài liệu tham
khảo về Số phức. Cách 2 là do tác giả đề xuất.
 Ví dụ 8. (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)
Cho hai số phức z1 , z2 bất kỳ. Chứng minh rằng z = z1.z2 + z1.z2 là một số thực.
Lời giải
Cách 1: (Sử dụng dạng đại số của số phức)
Giả sử z1 = a + bi, z2 = c + di , trong đó a, b, c, d ��. Khi đó z1 = a - bi, z2 = c - di .
Vì vậy z = ( a + bi ) ( c - di ) +( a - bi ) ( c + di ) = 2 ( ac + bd ) hay z là một số thực.
Cách 2: (Sử dụng các tính chất của số phức: Tác giả sáng kiến đề xuất)
Ta có z = z1 z2 + z1 z2 = z1 z2 + z1 z2 = z (do z1 = z1 ; z2 = z2 ). Vì vậy z là một số thực.
 Ví dụ 9. (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 9/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện z1 = z2 = 1 và z1 z2 +1 �0 . Chứng minh rằng
z=

z1 + z2
là một số thực.
1 + z1 z2
Lời giải

Cách 1: (Sử dụng dạng đại số của số phức)
Giả sử z1 = a + bi; z2 = c + di, ( a, b, c, d ��) . Theo giả thiết, ta có a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1 .
Ta có z =

�
.�
ac - bd +1- ( ad + bc ) i �
( a + c ) +( b + d ) i �
( a + c ) +( b + d ) i
z1 + z2
�
�
�
=
=�
2
2
1 + z1 z2 ac - bd +1 +( ad + bc ) i
( ac - bd +1) +( ad + bc)

Phần ảo của số phức z là

- ( a + c) ( ad + bc ) +( b + d ) ( ac - bd +1)
2

( ac - bd +1) +( ad + bc)

2

.

Ta có - ( a + c) ( ad + bc ) +( b + d ) ( ac - bd +1)
=- ( a 2 d + abc + acd + bc 2 ) +( abc - b 2 d + b + acd - bd 2 + d )
=- d ( a 2 + b 2 ) - b ( c 2 + d 2 ) + b + d = 0 (do a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1 ).
Vậy số phức z có phần ảo bằng 0 nên z là số thực.
Cách 2: (Sử dụng các tính chất của số phức: Tác giả sáng kiến đề xuất)
1
1
2
Do 1 = z1 = z1 z1 nên z1 = . Tương tự z2 = .
z1
z2
1
1
+
z + z2
z + z2
z + z2
z
z2
z + z2
= 1
= 1
= 1
= 1

= z . Vậy z là một số thực.
Ta có z = 1
1 + z1 z2 1 + z1 z2 1 + z1 z2 1 + 1 . 1 1 + z1 z2
z1 z2

 Nhận xét: - Trong lời giải ở cả 2 ví dụ trên chúng ta đã sử dụng đến kết quả: z là số thực khi và
chỉ khi z = z .
- Qua ví dụ 9, chúng ta thấy được việc sử dụng dạng đại số của số phức dẫn đến lời giải có phần
phức tạp hơn so với lời giải chỉ sử dụng tính chất của số phức. Qua ví dụ trên đây chúng ta thấy
được ưu điểm nổi bật của việc vận dụng các tính chất của số phức. Tuy nhiên, mỗi cách giải đều có
ưu điểm và nhược điểm của nó. Điều quan trọng là chúng ta biết lựa chọn cách giải quyết hợp lý
cho từng bài tốn, chứ khơng được rập khn máy móc.
 Ví dụ 10. (Trích đề thi thử đại học năm 2011, THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội)
Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện z1 = z2 = 1 và z1 + z2 = 3 . Tính z1 - z2 .
Lời giải
Cách 1: (Sử dụng dạng đại số của số phức)
Giả sử z1 = a + bi; z2 = c + di , với a, b, c, d ��. Khi đó, ta có :
2
2
2
2
+) z1 = z2 = 1 � a + b = c + d = 1 ( 1) .
2

2

+) z1 + z2 = 3 � ( a + c ) +( b + d ) i = 3 � ( a + c ) +( b + d ) = 3
� ( a 2 + b 2 ) +( c 2 + d 2 ) + 2 ( ac + bd ) = 3 ( 2) .
Từ ( 1) và ( 2) , ta có 2 ( ac + bd ) = 1 ( 3) .
2

2

2

Ta lại có z1 - z2 = ( a - c) +( b - d ) i = ( a - c ) +( b - d )
Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

2

Trang 10/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
� z1 - z2 = ( a 2 + b 2 ) +( c 2 + d 2 ) - 2 ( ac + bd ) .
2

Kết hợp ( 1) và ( 3) , ta có z1 - z2 = 1 � z1 - z2 = 1 .
2

Cách 2: (Sử dụng các tính chất của số phức: Tác giả sáng kiến đề xuất)
Ta có: +) z1 = z2 =1 � z1 z1 = z2 z2 = 1 .
+) z1 + z2 = 3 � ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = 3 � ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = 3
� z1 z1 + z1 z2 + z1 z2 + z2 z2 = 3 � z1 z2 + z1 z2 = 1 .
Ta lại có z1 - z2 = z1 z1 - ( z1 z2 + z1 z2 ) + z2 z2 nên z1 - z2 = 1 � z1 - z2 = 1 .
2

2

 Ví dụ 11. (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)

Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1 = z2 = 1 và z1 + z2 = 3 . Tìm số phức z =

z1
.
z2

Lời giải
Gọi z1 = a + bi; z2 = c + di , trong đó a, b, c, d ��.
Ta có z =

z1 a + bi ( a + bi ) ( c - di ) ac + bd bc - ad
=
=
=
+
i.
z2 c + di ( c + di ) ( c - di ) c 2 + d 2 c 2 + d 2

2
2
2
2
Theo giả thiết, ta có: +) z1 = z2 = 1 � a + b = c + d = 1 .

1
2
2
2
2
2

2
+) z1 + z2 = 3 � ( a + c) +( b + d ) = 3 � ( a + b ) +( c + d ) + 2 ( ac + bd ) = 3 � ac + bd = .
2
2
2
2
2
Mặt khác ( ac + bd ) +( bc - ad ) = ( a + b ) ( c + d ) nên kết hợp với các đẳng thức ở trên, ta
2

2

3
3
1
3
1
3
� bc - ad = � . Vậy z = i hoặc z = +
i.
4
2
2 2
2
2
 Nhận xét: - Qua các ví dụ trên chúng ta thấy được ưu điểm nổi bật của cách sử dụng các tính
chất của số phức là cho lời giải tương đối gọn gàng. Tuy nhiên, trong ví dụ này việc sử dụng các
tính chất của số phức tỏ ra khơng hiệu quả. Bạn đọc có thể kiểm chứng điều này. Vì vậy, chúng ta
cần phải linh hoạt trong việc lựa chọn các phương pháp giải cho một bài toán cụ thể.
- Nếu chúng ta biết được dạng lượng giác của số phức thì sẽ có lời giải ngắn gọn hơn.

- Điểm mấu chốt trong lời giải trên là phải tính được giá trị của bc - ad . Một điều rất tự nhiên là
chúng ta phải khai thác giả thiết để làm xuất hiện biểu thức đang cần tính. Hai biểu thức ac + bd và
bc - ad có dạng tương tự nhau nên chúng ta kết hợp chúng lại và từ đó có được lời giải nói trên.
- Tổng quát: Với z1 = m; z2 = n; z1 + z2 = p , trong đó m, n, p là độ dài ba cạnh của một tam giác
2

được ( bc - ad ) =

( m + n + p ) ( m + n - p) ( m - n + p) ( n + p - m)
z1
p 2 - m2 - n2
thì
=
�
i.
z2
2n 2
2n 2
 Ví dụ 12. (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)
Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn các điều kiện z1 = z2 = z3 = 1 . Chứng minh rằng
z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 .
Lời giải
Ta có z1 = z2 = z3 = 1 � z1 z1 = z2 z2 = z3 z3 = 1 nên z1 =

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

1
1
1
; z2 = ; z3 = .

z1
z2
z3
Trang 11/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
Do đó z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 =

z + z 2 + z3
1
1
1
+
+
= 1
z1 z2 z2 z3 z3 z1
z1.z2 .z3

= z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 (do z1.z2 .z3 = z1 z2 z3 =1 và z = z ).

 Nhận xét: Trong ví dụ này, nếu chúng ta sử dụng dạng đại số của số phức để giải thì lời giải bài
tốn tương đối phức tạp. Lời giải trên đã khai thác triệt để các tính chất của số phức: tính chất về
mơđun, tính chất về số phức liên hợp.
2.1.3. Bài tập đề nghị
1) Cho số phức z =-

1 i 3
và các số thực a, b, c . Tính:
+

2
2

A = ( a + bz + cz 2 ) ( a + bz 2 + cz ) ;

3

B = ( a + bz + cz 2 ) +( a + bz 2 + cz )

3

2) Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện z1 = z2 = 2 và z1 z2 + 4 �0 . Chứng minh rằng
số phức w =

z1 + z2
là một số thực.
4 + z1 z2

3) Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1 + z2 = 2; z1 - z2 = 4 . Tính giá trị của các biểu
2

2

2

2

thức: M = z1 + z2 và N = z1 + 2 z2 + 2 z1 + z2 .
4) (Bài đăng trên Tạp chí THTT tháng 6 năm 2011)
Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 = 3; z2 = 4; z1 - z2 = 37 . Tìm số phức w =

z1
.
z2

5) (BT 4.44 SBTGTNC). Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 �z2 . Chứng minh rằng z1 = z2 khi
và chỉ khi w =

z1 + z2
là số ảo.
z1 - z2

6) (Năm 2013) Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn các điều kiện z1 = 3; z2 = 4; z1 + z2 = 35 .
Tìm số phức z = z1 z2 .
7) (Trích đề thi thử ĐH năm 2012 trên Vietnam Mathematics Forum)
Chứng minh rằng nếu các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 2 thì z1 - z2 = z2

2.

8) (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Chuyên ĐH Vinh)
4

4

�z1 �
� �
z2 �
�
�
�

�
+
Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 - z2 = z1 = z2 > 0 . Hãy tính A = �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
z
z
�� ��
2

1

9) (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Đơng Thụy Anh, Thái Bình)
Cho số phức z

1thỏa mãn z = (

i 3

)

2

. Tìm mơđun của số phức z + iz .

1- i
10) (Trích đề thi thử ĐH năm 2012, THPT Chuyên ĐHSPHN)
z + 4i
z - 18
Cho số phức z thỏa mãn z - 1 =
. Hãy tính
.
z- 2
z - 2i

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 12/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

(

11) Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = 1- i 3

)

126 n

, trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn

điều kiện log 5 ( 2n - 7) + log 7 ( 3n +1) = 4 .

2.2. DẠNG 2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
2.2.1. Kiến thức chuẩn bị
Để tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước ta có thể tiến hành
theo các bước sau đây:
Bước 1: Giả sử z = x + yi , ( x, y ��) . Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Thay z = x + yi vào giả thiết và biến đổi.
Bước 3: Kết hợp với điều kiện (nếu có) để đưa ra kết luận về tập hợp điểm biểu diễn số phức z đó.
Một số phương trình xác định quỹ tích thường gặp:
STT
Phương trình
Tên quỹ tích
2
2
ax
+
by
+
c
=
0
1
, với a + b �0
Đường thẳng
2

2

( x - a ) +( y - b ) = R 2

2

2

Đường tròn

2

x
y
+ 2 =1, 0 < b < a
2
a
b
hoặc MF1 + MF2 = 2a, F1 F2 = 2c < 2a

3

Elip

y = ax 2 + bx + c
Parabol
ax + b
y=
, ( c �0; ad - bc �0)
5
Hyperbol
cx + d
 Chú ý: Nếu các số phức z1 , z2 có điểm biểu diễn tương ứng là A, B thì OA = z1 ; OB = z2 ;
4

AB = z1 - z2 .
2.2.2. Một số ví dụ minh họa
 Ví dụ 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện: z + z + 3 = 4 .
Lời giải
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Khi đó z = x - yi . Ta có z + z + 3 = 4 � x + yi + x - yi + 3 = 4
� 2x +3 = 4 � x =

1
7
hoặc x =- . Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
2
2

1
7
và x =- .
2
2
 Ví dụ 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
kiện đã cho là 2 đường thẳng x =

điều kiện:

z - 2 + 3i
=1 .
z + 3 - 2i
Lời giải

Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Khi đó z = x - yi .
3 2i 0 x 3
Điều kiện z +-��+-+�۹--

( y 2) i 0

( x; y ) ( 3; 2) .

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 13/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
Ta có

z - 2 + 3i
=1 � z - 2 + 3i = z + 3 - 2i � ( x - 2) +( y + 3) i = ( x + 3) - ( y + 2 ) i
z + 3 - 2i
2

2

2

2

� ( x - 2) +( y + 3) = ( x + 3) +( y + 2) � 5x - y = 0 .
Điểm M ( - 3; - 2) �V:5 x - y = 0 nên tập hợp điểm biểu diễn các số phức z đã cho là đường thẳng
V:5 x - y = 0 .

 Ví dụ 15. (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
z - ( 3 - 4i ) = 2 .
Lời giải
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Ta có z - ( 3 - 4i ) = 2 � ( x - 3) +( y + 4) i = 2
2

2

� ( x - 3) +( y + 4) = 4 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là
đường trịn ( C ) có phương trình ( x - 3) +( y + 4) = 4 .
2

2

 Ví dụ 16. (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2010)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
z - i = ( 1+i) z .
Lời giải
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) .
Ta có z - i = ( 1 + i ) z � x +( y - 1) i = ( 1 + i ) ( x + yi ) � x +( y - 1) i = ( x - y ) +( x + y ) i
2

2

2

2

� x 2 +( y - 1) = ( x - y ) +( x + y ) � x 2 + y 2 + 2 y - 1 = 0 � x 2 +( y +1) = 2 .

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là đường trịn ( C ) có phương
2

trình x 2 +( y +1) = 2 .
 Ví dụ 17. (Bài đăng trên TC Toán học và Tuổi trẻ số tháng 5/2011)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z sao cho u =

z + 2 + 3i
là
z- i

một số thuần ảo.
Lời giải
i ( x; y )
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Điều kiện z �۹
Ta có u =
�u=

( 0;1) .

�
x - ( y - 1) i �
( x + 2) +( y + 3) i �
z + 2 + 3i ( x + 2) +( y + 3) i �
�
�
�
=
=�
2

2
z- i
x +( y - 1) i
x +( y - 1)

x ( x + 2) +( y + 3) ( y - 1)
x +( y - 1)
2

2

+

x ( y + 3) - ( x + 2) ( y - 1)
x 2 +( y - 1)

2

i.

Do đó u là một số thuần ảo khi và chỉ khi x ( x + 2) +( y + 3) ( y - 1) = 0
2

2

� x 2 + y 2 + 2 x + 2 y - 3 = 0 � ( x +1) +( y +1) = 5 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là đường trịn ( C ) có phương
trình ( x +1) +( y +1) = 5 và loại bỏ đi điểm M ( 0;1) .
2

2

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 14/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
 Ví dụ 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện

z +i
là số thực dương.
z- i

Lời giải
i ( x; y )
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Điều kiện z �۹

( 0;1) .

�
x +( y +1) i �
x - ( y - 1) i �
z + i x +( y +1) i �
�
�
�
�
=

=
Ta có
2
2
z - i x +( y - 1) i
x +( y - 1)
=

x2 + y 2 - 1
x +( y - 1)
2

2

+

x ( y +1) - x ( y - 1)
x +( y - 1)
2

2

i=

x2 + y 2 - 1
x +( y - 1)
2

2

+

2x
x +( y - 1)
2

2

i.

�x 2 + y 2 - 1 > 0 �x = 0
�x = 0
�x = 0
z +i
��
��
là số thực dương khi và chỉ khi �
hoặc �
.
�
�2
�
�
�
�
�
z- i
2x = 0
�y <- 1
�y >1

�
�y >1 �
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là đường thẳng V có phương
Do đó

trình x = 0 và loại bỏ đi những điểm có tung độ nằm trong đoạn [- 1;1] .
 Ví dụ 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện: 2 z - i = z - z + 2i .
Lời giải
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Ta có 2 z - i = z - z + 2i
2

2

� 2 x +( y - 1) i = x + yi - ( x - yi ) + 2i � x +( y - 1) i = ( y +1) i � x 2 +( y - 1) = ( y +1) .
1
� y = x 2 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là parabol ( P )
4
1 2
có phương trình y = x .
4
 Ví dụ 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z , biết rằng
z +2 + z - 2 = 6 .
Lời giải
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) .
Ta có z + 2 + z - 2 = 6 � ( x + 2) + yi + ( x - 2) - yi = 6 �

2

2

( x + 2) + y 2 + ( x - 2) + y 2 = 6 .

Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn của số phức z . Xét hai điểm F1 ( - 2;0) , F2 ( 2;0) .
Khi đó hệ thức trên được viết lại thành MF1 + MF2 = 6 .
Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MF1 + MF2 = 6 là elip ( E ) nhận F1 , F2 làm hai tiêu điểm và
có độ dài trục thực bằng 6. Độ dài trục bé bằng 2 32 - 2 2 = 2 5 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là elip ( E ) có phương trình
x2 y2
+ =1 .
9
5

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 15/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
 Ví dụ 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
2
điều kiện: z - ( z ) = 4 .
2

Lời giải
2
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Ta có z - ( z ) = 4 � ( x + yi ) - ( x - yi ) = 4
2

2

2

1
1
hoặc y =- .
x
x
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là 2 đường hyperbol có
� 4 xyi = 4 � xy = 1 � y =

1
1
và y =- .
x
x
 Ví dụ 22. (Bài đăng trên TC Tốn học và Tuổi trẻ số tháng 3/2011)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức 2 z + 3 - i , biết rằng
phương trình y =

2

3 z + i �z z + 9 .
Lời giải
2

Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Ta có 3z + i �z z + 9 � 3( x + yi ) + i �x 2 + y 2 + 9
2

2

2

� ( 3 x) +( 3 y +1) �x 2 + y 2 + 9 � 4 x 2 + 4 y 2 + 3 y �4 ( *) .
Đặt w = 2 z + 3 - i . Giả sử w = a + bi, ( a, b ��) .
Ta có w = 2 z + 3 - i � a + bi = 2 ( x + yi ) + 3 - i � a + bi = 2 x + 3 +( 2 y - 1) i
a = 2x +3 �
2x = a - 3
�
��
��
.
�
�
�
b =2y- 1 �
2 y = b +1
�
�
2

2

Do đó từ hệ thức ( *) , ta có ( a - 3) +( b +1) +

3
7
15
( b +1) �4 � a 2 + b2 - 6a + b + �0
2

2
2

2
� 7�
�
73
�
� ( a - 3) +�
b + �� .
� 4�
� 16
2

2

� 7�
73
2
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức 2 z + 3 - i là hình trịn ( x - 3) +�
y+ �
� .
�
�
�
�
� 4 � 16

 Nhận xét: Trong các ví dụ trước thì chúng ta cần tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z với
điều kiện liên quan đến z . Trong ví dụ này, chúng ta cần tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức w

nhưng điều kiện lại liên quan đến z . Vì vậy, việc đưa điều kiện liên quan đến z về điều kiện liên
quan đến w là điều rất tự nhiên.
 Ví dụ 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức ( 1 + i ) z - 2 ,
biết rằng z là số phức thỏa mãn điều kiện z - 3 + 2i = 2 .
Lời giải
Cách 1: Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) .
2

2

Ta có z - 3 + 2i = 2 � ( x - 3) +( y + 2) i = 2 � ( x - 3) +( y + 2) = 4 ( *) .
Đặt w = ( 1 + i ) z - 2 . Giả sử w = a + bi, ( a, b ��) .
Ta có w = ( 1+ i ) z - 2 � a + bi = ( 1 + i ) ( x + yi ) - 2 � a + bi = x - y - 2 + ( x + y ) i
Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 16/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
� a +b + 2
�x =
�
a = x- y - 2 �
�
2
�
��
��
.
�

� b- a- 2
b= x+y
�
�
y=
�
�
2
�
�
a +b + 2
Do đó từ hệ thức ( *) , ta có �
�
� 2
�
2

2

2

� �
�
b- a- 2
�
�
3�
+
+
2

�
�
�
� �
�= 4
� 2
�
�

2

2

2

� ( a + b - 4) +( b - a + 2) = 16 � a 2 + b 2 - 6a - 2b + 2 = 0 � ( a - 3) +( b - 1) = 8 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức ( 1 + i ) z - 2 là đường trịn có phương trình
2

2

( x - 3) +( y - 1) = 8 .
Cách 2: Đặt w = ( 1 + i ) z - 2 . Khi đó ta có w - 3 - i = ( 1 + i ) ( z - 3 + 2i ) .
Từ giả thiết và tính chất của mơđun ta có w - 3 - i = ( 1 + i ) ( z - 3 + 2i )
� w - 3 - i = 1 + i . z - 3 + 2i � w - 3 - i = 2 2 .
Giả sử w = x + yi, ( x, y ��) thì w - 3 - i = 2 2 � ( x - 3) +( y - 1) = 8 .
2

2

Vậy tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức ( 1 + i ) z - 2 là đường trịn có
2

2

phương trình ( x - 3) +( y - 1) = 8 .

 Nhận xét: Trong ví dụ này, chúng tơi đã trình bày 2 cách giải. Cách 1 mang đậm tính Đại số cịn
cách 2 mang đậm tính chất của Số phức. Việc trình bày lời giải theo cách 1 có ưu điểm là tiếp cận
một cách tự nhiên nhưng nhược điểm là trong nhiều trường hợp việc biến đổi tương đối phức tạp,
dễ nhầm lẫn. Cách 2 cho lời giải gọn gàng hơn và chỉ sử dụng những tính chất rất cơ bản về Số
phức. Lựa chọn cách làm nào là tùy thuộc vào tư duy và thói quen của bạn. Lời giải ở cách 2 do tác
giả sáng kiến đề xuất cịn cách 1 có trong hầu hết các tài liệu tham khảo liên quan đến số phức.
 Ví dụ 24. Giả sử A, B, C , D lần lượt là các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các số
phức - 1 + i; - 1- i; 2i; 2 - 2i . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C , D cùng nằm trên một đường trịn.
Lời giải
Từ giả thiết ta có A ( - 1;1) , B ( - 1; - 1) , C ( 0; 2) , D ( 2; - 2) .
Bằng cách biểu diễn trên hệ trục tọa độ Oxy, ta có A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ giác ABDC .
uuu
r uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB. AC
2
�
Ta có AB = ( 0; - 2) ; AC = ( 1;1) � AB = 2; AC = 2 . Do đó cos BAC =
.

=AB. AC
2
2
�
Tương tự, ta có cos BDC =
.
2
�
�
�
�
Vậy cos BAC
=- cos BDC hay BAC + BDC = 1800 nên tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn hay
bốn điểm A, B, C , D cùng nằm trên một đường tròn.
 Chú ý: Để chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn chúng ta dựa vào những dấu
hiệu đã học ở lớp 9 như tổng hai góc đối bằng 1800 ; hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện
dưới những góc bằng nhau; tồn tại 1 điểm cách đều bốn điểm đã cho.
 Ví dụ 25. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Gia Viễn B)

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 17/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
2
2
Cho hai số phức z1 , z2 phân biệt và khác 0, thỏa mãn điều kiện z1 + z2 = z1 z2 . Giả sử A, B lần lượt

là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Chứng minh rằng OAB là

tam giác đều.
Lời giải
2
2
2
2
2
2
Ta có z1 + z2 = z1 z2 � z1 - z1 z2 + z2 = 0 � ( z1 + z2 ) ( z1 - z1 z2 + z2 ) = 0
3

3

� z13 + z23 = 0 � z13 =- z23 � z13 = - z23 � z1 = z2 � z1 = z 2 � OA = OB .
2

2

2

2
2
Ta lại có z1 + z2 = z1 z2 � ( z1 - z2 ) =- z1 z2 � ( z1 - z2 ) = - z1 z2 � z1 - z2 = z1 . z2

� AB 2 = OA.OB . Do đó ta có OA = OB = AB hay tam giác OAB là tam giác đều.
2.2.3. Bài tập đề nghị
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn một trong các
điều kiện sau:
a) 2iz - 1 = 2 z + 3
b) z 2 + z +1 là một số thực.

2) Gọi A, B, C , D lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 1 + 2i;1 + 3 + i;1 + 3 - i;1- 2i trong
mặt phẳng tọa độ Oxy . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho số phức z �0 và
1+ i
z . Chứng minh rằng OMN là tam giác vuông cân.
2
4) Giả sử z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình z 3 - 1 = 0 . Gọi A, B, C là các điểm trong mặt
z'=

phẳng phức lần lượt biểu diễn cho các số phức z1 , z2 , z3 . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam
giác đều và nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tim tập hợp điểm biểu diễn các số phức w = 2 z - i , biết rằng
z- 1 =2.
6) (Trích đề thi thử ĐH năm 2013, THPT Chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình)

(

)

a) Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = 2 - i 5 w +1 , biết rằng số
phức w thỏa mãn w- 1 �3 .
b) Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn hệ thức
2 z - 1 = z - z +2 .
7) (Trích đề thi thử ĐH năm 2013 trên Hocmai.vn)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức w = z + 2 + i , biết rằng
z - 1 + 2i = 1 .
8) (Trích đề thi thử ĐH năm 2012 trên Vietnam Mathematics Forum)
Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

( 2 - z ) ( i + z ) là số thuần ảo.

9) (BT 20 trong SGKGTNC)

(

)

Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức 1 + i 3 z + 2 , biết rằng
z là số phức thỏa mãn z - 1 �2 .
Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 18/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
z 2 + z +1
là
z 2 - z +1

10) Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z , biết rằng
số thực.

2.3. DẠNG 3. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
2.3.1. Kiến thức chuẩn bị
Khi giải phương trình nghiệm phức thường có hai loại dưới đây:
- Phương trình có thể quy về phương trình bậc hai với hệ số thực. Lúc này ta giải phương trình
theo công thức đã được đề cập trong SGK.
Nếu là phương trình bậc hai với hệ số phức thì chúng ta cần sử dụng hằng đẳng thức số 1 hoặc số
2

2 để đưa phương trình về dạng quen thuộc ( az + b) = c 2 .

Đối với các phương trình bậc ba hay bậc bốn chúng ta tìm cách đưa về phương trình bậc hai đã
biết cách giải.
- Phương trình khơng phải là phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức hoặc không quy
về dạng phương trình bậc hai thì chúng ta có thể tiến hành theo các bước dưới đây:
Bước 1: Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Đặt điều kiện (nếu có). Lưu ý rằng phải có điều kiện
x, y ��.
Bước 2: Thay vào phương trình (hoặc điều kiện) để dẫn đến một phương trình hoặc một hệ phương
trình đại số và tiến hành giải phương trình hoặc hệ phương trình đó để tìm ra x và y .
Bước 3: Kết hợp với điều kiện ban đầu và kết luận về nghiệm của phương trình ban đầu.
2.3.2. Một số ví dụ minh họa
 Ví dụ 26. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z 2 - 10 z + 29 = 0

b) z 3 - 4 z 2 + 21z - 34 = 0
Lời giải
a) Cách 1: (Theo đa số tài liệu tham khảo về số phức)
2

D ' = 25 - 29 =- 4 = ( 2i ) nên phương trình có hai nghiệm phức z = 5 + 2i và z = 5 - 2i .

Cách 2: (Do tác giả sáng kiến đề xuất)
2

2

2

Ta có z 2 - 10 z + 29 = 0 � ( z - 5) + 4 = 0 � ( z - 5) = ( 2i ) � z = 5 + 2i hoặc z = 5 - 2i .
Vậy phương trình có 2 nghiệm phức là z = 5 + 2i và z = 5 - 2i .
3

2
2
b) Ta có z - 4 z + 21z - 34 = 0 � ( z - 2) ( z - 2 z +17) = 0 � z = 2; z 2 - 2 z +17 = 0

�
�
z - 1 = 4i
z = 1 + 4i
2
2
��
Ta lại có z 2 - 2 z +17 = 0 � ( z - 1) = ( 4i ) � �
.
�
z - 1 =- 4i �
z = 1- 4i
�
�
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là z = 2; z = 1 + 4i; z = 1- 4i .

 Nhận xét: - Khi giải phương trình bậc ba, bậc bốn với hệ số thực cũng như với hệ số phức,
thông thường chúng ta biến đổi đưa phương trình về dạng bậc hai đã biết cách giải. Các cách
Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 19/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
thường sử dụng để đưa phương trình bậc cao về phương trình ở dạng bậc nhỏ hơn là đặt ẩn phụ,
nhẩm nghiệm để phân tích thành nhân tử. Vì vậy, khi gặp phương trình bậc ba hay bậc bốn chúng

ta lưu ý đến hai kỹ năng này.
- Trong ví dụ này tác giả đã đưa ra cách 2 để giải quyết ý a). Với cách giải 1, trong chương trình
Chuẩn khơng đề cập đến phương trình bậc hai với hệ số phức nên học sinh sẽ lúng túng khi giải
phương trình. Tuy nhiên, với cách giải 2 dù là phương trình bậc hai với hệ số phức chúng ta cũng
hoàn toàn giải được bằng cách tương tự. Có thể nói cách thứ 2 áp dụng được cho cả hai trường
hợp phương trình bậc hai với hệ số thực và hệ số phức.

 Ví dụ 27. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
2
a) z +( 5 - 4i ) z + 3 - 11i = 0

2
b) z - ( 4 + 5i ) z - 11 +13i = 0

Lời giải
2

� 5 - 4i �
� - 3 + 4i
a) Ta có z +( 5 - 4i ) z + 3 - 11i = 0 � �
z+
=
�
�
�
�
�
2 �
4
2

2

2

� 5 - 4i �
� �
1 + 2i �
�
�
z =- 3 + i .
��
z+
=
�
�
�
�
�� z =- 2 + 3i hoặc
�
�2 �
�
� �
2 �
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và z =- 3 + i .
b) Tương tự, ta thu được hai nghiệm của phương trình là z = 5 + 2i và z =- 1 + 3i .
 Chú ý: Mặc dù trong chương trình Chuẩn khơng nghiên cứu cách giải phương trình bậc hai với
hệ số phức nhưng chúng tôi vẫn giới thiệu phương trình bậc hai với hệ số phức. Tuy nhiên, cách
tiếp cận với các phương trình dạng này chỉ đơn thuần sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Đây
là những kỹ năng cơ bản và quen thuộc với tất cả các học sinh.

 Ví dụ 28. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 3 z ( 2 - i ) - 1 = 2iz ( 1 + i ) + 3i

b) ( 2 + i ) z +( 2 - i ) z = 10

Lời giải
a) Ta có 3 z ( 2 - i ) - 1 = 2iz ( 1 + i ) + 3i � z ( 8 - 5i ) = 1 + 3i
� ( 8 + 5i ) ( 8 - 5i ) z = ( 8 + 5i ) ( 1 +3i ) � 89 z =- 7 + 29i � z =-

7 29
+ i.
89 89

b) Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Khi đó z = x - yi .
Do đó ( 2 + i ) z +( 2 - i ) z = 10 � ( 2 + i ) ( x + yi ) +( 2 - i ) ( x - yi ) = 10
� 2 ( 2 x - y ) = 10 � y = 2 x - 5 . Vậy các số phức cần tìm là z = x +( 2 x - 5) i, x ��.

 Nhận xét: - Ở ý a) là phương trình bậc nhất đối với z nên ta tiến hành giải như giải phương
trình bậc nhất trên tập số thực. Cịn ở ý b) có xuất hiện cả z và z nên ta phải giải theo cách đặt
z = x + yi , ( x, y ��) .
 Ví dụ 29. (Bài đăng trên TC Tốn học và Tuổi trẻ số tháng 5/2011)
3
2
a) Giải phương trình z - ( 3 - i ) z - ( 2 - i ) z +16 - 2i = 0 , biết rằng phương trình có một nghiệm thực.
3
2
b) Giải phương trình z - ( 2 - 3i ) z + 3( 1- 2i ) z + 9i = 0 , biết rằng phương trình có một nghiệm

thuần ảo.
Lời giải

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 20/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
3
2
3
2
2
a) Ta có z - ( 3 - i ) z - ( 2 - i ) z +16 - 2i = 0 � z - 3 z - 2 z +16 +( z + z - 2) i = 0

� ( z + 2) ( z 2 - 5 z +8) +( z + 2) ( z - 1) i = 0 � ( z + 2) ( z 2 - ( 5 - i ) z +8 - i ) = 0
2
� z =- 2 hoặc z - ( 5 - i ) z + 8 - i = 0 .
2
2
2
� 5- i �
�
- 8 - 6i �
5- i �
1- 3i �
�
�
�
�
�
�

Ta lại có z - ( 5 - i ) z + 8 - i = 0 � �
z��
z�
�
�
�
�= 4
�= �
�
�
�
�2 �
�
�
2 �
2 �
� z = 2 + i hoặc z = 3 - 2i .
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là z =- 2; z = 2 + i; z = 3 - 2i .
b) Giả sử phương trình đã cho có nghiệm thuần ảo là z = yi, y ��.
2

3

2

Thay vào phương trình ta được ( yi ) - ( 2 - 3i ) ( yi ) + 3( 1- 2i ) ( yi ) + 9i = 0
�
2 y2 +6 y = 0
�
� 2 y + 6 y +( - y - 3 y + 3 y + 9) i = 0 � � 3

� y =- 3 nên z =- 3i .
�
- y - 3 y2 +3 y +9 = 0
�
2

3

2

3
2
2
Do đó, ta có z - ( 2 - 3i ) z + 3( 1- 2i ) z + 9i = 0 � ( z + 3i ) ( z - 2 z + 3) = 0

� z = i hoặc z 2 - 2 z + 3 = 0 � z = i hoặc z = 1 �i 2 .
Vậy các nghiệm của phương trình là z = i; z = 1- i 2; z = 1 + i 2 .

 Nhận xét: - Đối với ý a) chúng ta nhóm các số hạng không liên quan đến i với nhau, các số hạng
liên quan đến i với nhau vì giả thiết cho phương trình có nghiệm thực. Nghiệm thực nếu có phải
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 - 3 z 2 - 2 z +16 = 0 và z 2 + z - 2 = 0 . Giải hệ đó chúng ta tìm
được nghiệm z =- 2 nên phân tích vế trái của phương trình như trong lời giải.
- Đối với ý b) giả thiết cho phương trình có nghiệm thuần ảo nên chúng ta đi tìm nghiệm thuần ảo
để từ đó phân tích vế trái của phương trình thành dạng tích.
- Đối với các phương trình dạng này mà khơng có gợi ý phương trình có nghiệm thực hay nghiệm
thuần ảo thì chúng ta cũng phải tìm xem phương trình có nghiệm thực, nghiệm thuần ảo khơng. Nếu
có thì phân tích vế trái của phương trình thành dạng tích và giải theo các cách đã được học. Cịn nếu
khơng tìm được nghiệm thực hay nghiệm thuần ảo thì cần phải khéo léo nhóm các số hạng ở vế trái
để phân tích vế trái thành nhân tử. Cách đặt z = x + yi trong tình huống này tương đối phức tạp.
 Ví dụ 30. Tìm các số phức z thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

b) z = 5 và z 2 là số thuần ảo

a) z 2 = z

Lời giải
a) Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Khi đó:
z 2 = z � ( x + yi ) = x - yi � ( x 2 - y 2 ) + 2 xyi = x - yi
2

�x 2 - y 2 = x
�
x2 - y 2 = x �
x2 - y 2 = x
�
�
��
��
hoặc �
�
�
�
�
2 xy =- y
2 x =- 1
�
�
�y = 0
�
�
1

1
�
1
�
�
�
x
=x
=x
=2
�
�
�
�x - x = 0
x =0
�
�
�x = 1
2
2
2 ��
�
��
hoặc �
hoặc �
hoặc �
hoặc �
.
�
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
y =0
y =0
3
3
2
�
�
�
�
�y = 0
�
y
=
y=
y =�
�
�
�
�

�
4
�
2
2
�
�
Vậy các số phức cần tìm là z = 0; z = 1; z =-

1
3
1
3
+
i; z =- i.
2
2
2 2

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 21/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
b) Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Khi đó z 2 = x 2 - y 2 + 2 xyi .
2
2
Ta có: +) z = 5 � x + y = 5 .

+) z 2 là số thuần ảo khi và chỉ khi x 2 - y 2 = 0 .
�
�2 5
�
x =
x =�
�
�
�x 2 + y 2 = 5 �
�
�
2
�
�
��
��
Do đó, ta có hệ phương trình �2
�x - y 2 = 0 �
�
5
2
�y =
�
�
�
�
�
�y = �
2 �
�

10
2
.
10
2

Vậy các số phức cần tìm là
10
10
10
10
10
10
+
i; z =+
i; z =
i; z =2
2
2
2
2
2
 Ví dụ 31. (Bài đăng trên TC Tốn học và Tuổi trẻ số tháng 5/2011)
z=

10
2

10

i.
2

2
Tìm các số phức z thỏa mãn điều kiện z = ( 1 + i ) z +11i .

Lời giải
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Khi đó z = x - yi và z 2 = x 2 - y 2 + 2 xyi .
2
2
2
Do đó, ta có z = ( 1 + i ) z +11i � x - y + 2 xyi = ( 1 + i ) ( x - yi ) +11i

�x 2 - y 2 = x + y
� x - y + 2 xyi = x + y +( x - y +11) i � �
�
�
2 xy = x - y +11
�
�
�x - y - 1 = 0
x+ y =0
( x + y ) ( x - y - 1) = 0 �
��
��
hoặc �
�
�
�
�

�
�
2 xy = x - y +11
2 xy = x - y +11
2 xy = x - y +11
�
�
�
2

2

�x =- y
�x = y +1
�x = 3
�x =- 2
��
��
hoặc �
hoặc �
.
� 2
�2
�
�
�
�
�
2 y - 2 y +11 = 0
�y = 2

�y =- 3
�
�y + y - 6 = 0 �
Vậy các số phức cần tìm là z = 3 + 2i hoặc z =- 2 - 3i .
 Ví dụ 32. Tìm các số phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) w = ( z - 2) ( z + i ) là số thuần ảo

b) w = z 2 - 2 z + 4i là số thực.
Lời giải

a) Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Khi đó z = x - yi .
x +( 1 - y ) i �
= x ( x - 2) - y ( 1 - y ) + ( x + 2 y - 2) i .
Ta có w = ( z - 2) ( z + i ) = ( x - 2 + yi ) �
�
�

w là số thuần ảo khi và chỉ khi x ( x - 2) - y ( 1- y ) = 0 � x 2 + y 2 - 2 x - y = 0
2
2
�5�
� 1�
�
�
�
�
� ( x - 1) +�
y- �
.
�

�
�
�=�
� 2�
�
�
�
�2 �
2

5
1
5
5
1
5
sin t; y - =
cos t , với t �� thì x = 1 +
sin t ; y = +
cos t .
2
2
2
2
2
2
� 5
�
�
�

1
5
�
�
�
�
�
�
1
+
sin
t
+
+
cos
t
i, t ��.
�
Vậy các số phức cần tìm là z = �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2

�
��
�
Đặt x - 1 =

b) Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Khi đó z 2 = x 2 - y 2 + 2 xyi .
2
2
2
Ta có w = z - 2 z + 4i = ( x - y - 2 x) + 2 ( xy - y + 2) i .

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 22/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

w là số thực khi và chỉ khi 2 ( xy - y + 2) = 0 � y ( x - 1) =- 2 � y =

- 2
, với x �1 .
x- 1

2
i, x ��\ {1} .
x- 1
 Chú ý: - Ở trong ví dụ này chúng ta khơng thể tìm ra được số phức cụ thể như những ví dụ trước
đó mà chỉ tìm ra được dạng của số phức mà thơi. Nhiều học sinh lúng túng khi gặp phải bài toán
dạng này vì cố tìm ra số phức cụ thể. Đơi khi, thấy không ra kết quả cụ thể nên bỏ khơng làm.

- Thực chất đây là một bài tốn về tìm tập hợp điểm. Có điều đối với bài tốn về tìm tập hợp điểm
ta phải kết luận tập hợp điểm là hình gì cịn đối với bài tốn tìm nghiệm phức thì chúng ta phải chỉ
ra nghiệm của nó có dạng nào.
 Ví dụ 33. (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)
Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện z 3 = 2 +11i .
Vậy các số phức cần tìm là z = x -

Lời giải
3
2
2
3
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Khi đó ( x + yi ) = ( x - 3 xy ) +( 3 x y - y ) i .
3

�x 3 - 3 xy 2 = 2
Do đó z = 2 +11i � ( x - 3 xy ) +( 3 x y - y ) i = 2 +11i � �
.
� 2
�
3 x y - y 3 = 11
�
3

3

2

2

3

Hệ phương trình trên là hệ đẳng cấp bậc 3. Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn phương trình thứ hai
trong hệ. Xét y �0 , khi đó đặt x = ty, t �� thì hệ trở thành
�
11( t 3 - 3t ) = 2 ( 3t 2 - 1) �
( t - 2) ( 11t 2 +16t - 1) = 0
11t 3 - 6t 2 - 33t + 2 = 0 �
( t 3 - 3t ) y 3 = 2 �
�
�
�
�
�
�
�
��
�� 2
��
� 2
3
3
2
3
�
�
�
�
3
t

1
y
=
11
(
)
3
t
1
y
=
11
3
t
1
y
=
11
�
(
)
�
(
)
�
�
( 3t 2 - 1) y 3 =11
�
�
�

�
� - 8 �5 3
�
�
t
=
2
t=
�
�
11
�� 2
hoặc �
.
�
3
�
�
(�3t - 1) y =11
2
3
�
�
( 3t - 1) y =11
�
Vì x, y là các số nguyên nên t phải là số hữu tỷ. Do đó chỉ nhận được t = 2 .
Với t = 2 thì y = 1; x = 2 (thỏa mãn yêu cầu). Vậy các số nguyên cần tìm là x = 2; y = 1 .
 Ví dụ 34. (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)
z- 1
z - 3i

= 1 và
=1 .
z- i
z +i
Lời giải
�
( x; y ) �( 0;1)
z - i �0 �
�
��
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Điều kiện �
.
�
�
�
( x; y ) �( 0; - 1)
�z + i �0 �
z- 1
= 1 � z - 1 = z - i � ( x - 1) + yi = x +( y - 1) i
Ta có: +)
z- i
Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn các điều kiện

2

2

� ( x - 1) + y 2 = x 2 +( y - 1) � x - y = 0 .
z - 3i
2

2
=1 � z - 3i = z + i � x +( y - 3) i = x +( y +1) i � x 2 +( y - 3) = x 2 +( y +1) � y = 1 .
z +i
�x - y = 0
� x = y = 1 . Vậy số phức cần tìm là z = 1 + i .
Do đó ta có hệ phương trình �
�
�
�y = 1
+)

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 23/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

 Chú ý: Khi giải quyết bài tốn có nhiều dữ kiện thì chúng ta nên khai thác từng dữ kiện một sau
đó kết hợp lại.
 Ví dụ 35. (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu)
Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn các điều kiện z = 1 và

z z
+ =1 .
z z

Lời giải
2
Giả sử z = x + yi, ( x, y ��) . Khi đó z = x - yi; z 2 = x 2 - y 2 + 2 xyi; z = x 2 - y 2 - 2 xyi .

2
2
Do đó: +) z = 1 � x + y = 1
2

z z
z2 + z
2
= 1 � 2 x 2 - y 2 = 1 (do z.z = z = 1 ).
+) + = 1 �
z z
z .z
�x 2 + y 2 = 1
�x 2 + y 2 = 1
�x 2 + y 2 = 1
�
�
�
�
�
�
Vì vậy, ta có hệ phương trình � 2
hoặc
�
�2
1
1
2
2
2

�
�
�
2
x
y
=
1
x
y
=
x - y 2 =�
�
�
�
�
�
2
2
�
�
�
�
1
�2 3
1
�
3
2
�

�
�
�
x
=
�
x
=
x
=
x
=
�
�
�
�
�
�
�
2
�
4
4 ��
2 hoặc �
��
hoặc �
.
�
�
�

�
�
�
�
1
3
1
3
2
2
�
�
�
�
y =
y =
y =�
y =�
�
�
�
�
�
�
�
�
4
4
�
�

2
2
�
�
Vậy các số phức cần tìm là z =

3 1
3 1
3 1
3 1
+ i; z =+ i; z =- i; z =
- i;
2
2
2
2
2 2
2 2

1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
z= +

i; z = i; z =- +
i; z = +
i; z =- i.
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
 Chú ý: Trong ví này chúng ta khơng cần phải đặt điều kiện cho z �0; z �0 vì trong giả thiết đã
cho sẵn z = 1 rồi (giả thiết này đã bao hàm cả điều kiện z �0; z �0 ).
2.3.3. Bài tập đề nghị
1) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z 2 - 10 z + 29 = 0
2) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
2
a) z +( i - 6) z + 8 - 2i = 0

b) 4 z 2 - 12 z + 25 = 0
2
b) z +( 1 + i ) z - 10 +11i = 0

3) Tìm các số phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) ( 4 - 3i ) z = ( 2 + i ) ( 3 - 5i )

2

b) ( 2 + i - z ) ( 10 + 5i ) = ( 3 - i ) ( 2 z +1)

1
d) z - z = + i
2
4) (Trích đề thi thử ĐH năm 2013, THPT Gia Viễn A, Ninh Bình)
2
c) z + z = 0

a) Cho số phức z thỏa mãn z - 2 z = 3( - 1 + 2i ) . Tìm phần ảo của số phức z 2 .
b) Tìm số phức z , biết ( z +1 + i ) ( 3 - 2i ) là số thực và z - ( 2 - i ) = 5 .
5) (Trích đề thi thử ĐH năm 2013 trên Hocmai.vn)
25
a) Giải phương trình nghiệm phức: z + = 8 - 6i .
z
Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 24/55


Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh
b) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z +1- 2i = z + 3 + 4i và
c) Tìm tất cả các số phức z , biết

z - 2i
là một số ảo.
z +i

z
+z =2 .

z

d) Tìm tất cả các số phức z , biết 2 ( z +1) + z - 1 = ( 1- i ) z .
2

z- 1
z - 2i
= 1 và
=2 .
z- 3
z +i

6) (BT 4.48 SBTGTNC). Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
7) (BT 4.19 SBTGTNC). Giải các phương trình sau trên �:
a) 2 z 4 - 2 z 3 + z 2 + 2 z + 2 = 0

2

b) ( z 2 + 3z + 6) + 2 z ( z 2 + 3 z + 6) - 3 z 2 = 0 .

8) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
2
2
a) iz - 2 ( 1- i ) z - 4 = 0
b) z - ( 5 - i ) z + 8 - i = 0 .
9) (Trích đề thi thử ĐH năm 2012, THPT Quốc học, Huế)
Tìm mơđun của số phức z , biết z có phần thực âm và z 3 = z - 12i .
10) (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
9
Tìm số phức z thỏa mãn z - 3i = 1- i.z và z là số thuần ảo.

z

Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

Trang 25/55