Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không gian giao hoán vào vành chia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Phạm Đình Khơi

BÀI TỐN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUN
KHƠNG GIAO HỐN VÀO VÀNH CHIA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Phạm Đình Khơi

BÀI TỐN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUN
KHƠNG GIAO HỐN VÀO VÀNH CHIA

Chun ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số

: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. BÙI TƯỞNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan luận văn “Bài tốn nhúng đẳng cấu miền ngun
khơng giao hốn vào vành chia” do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của PGS.TS. Bùi Tưởng Trí. Nội dung luận văn có tham khảo và
sử dụng một số kết quả từ nguồn sách, tạp chí, bài báo được liệt kê trong danh
mục tài liệu tham khảo. Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm về luận văn
của mình.
Tác giả luận văn

Phạm Đình Khơi


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh, tơi đã được Quý Thầy Cô cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên
sâu, giúp tôi trưởng thành trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tôi xin gửi
lời biết ơn đến tất cả Q Thầy Cơ đã tận tình giảng dạy tơi trong suốt thời
gian học tại trường.
Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Bùi Tưởng Trí. Thầy đã tận
tình hướng dẫn tơi trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Đặc biệt, tôi đã
được học ở Thầy phương pháp làm việc khoa học và sự am hiểu thấu đáo của
riêng Thầy.
Xin được phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng Bảo vệ
Luận văn Thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn.
Tôi cũng xin được phép gửi lời cảm ơn đến Q Thầy Cơ cơng tác tại
Phịng Sau Đại học của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh,
Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo nhiều điều kiện thuận

lợi và giúp đỡ tơi trong q trình học tập, thực hiện luận văn.
Cuối cùng, xin khắc sâu công ơn Cha Mẹ, cảm ơn người thân, bạn bè
luôn ủng hộ, động viên và giúp đỡ tơi trong suốt khóa học.
TP. Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2020
Phạm Đình Khơi


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các kí hiệu
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................... 3
1.1. Một số định nghĩa và tính chất trên vành giao hốn ....................................... 3
1.1.1. Định nghĩa nhóm ............................................................................. 3
1.1.2. Luật giản ước ................................................................................... 3
1.1.3. Đại số ............................................................................................... 4
1.1.4. Đại số nửa nhóm.............................................................................. 4
1.1.5. Định nghĩa vành .............................................................................. 4
1.1.6. Định nghĩa ideal .............................................................................. 5
1.1.7. Khái niệm ideal nguyên tố .............................................................. 5
1.1.8. Khái niệm ideal cực đại ................................................................... 5
1.1.9. Mệnh đề ........................................................................................... 5
1.2. Địa phương hóa trong vành giao hoán và bài toán nhúng đẳng cấu ......... 7
1.2.1. Định nghĩa vành địa phương ............................................................. 7
1.2.2. Địa phương hóa trong vành giao hoán .............................................. 9
Chương 2. VẤN ĐỀ ĐỊA PHƯƠNG HĨA KHƠNG GIAO HỐN ........ 14
2.1. Một số khái niệm cơ bản về vành khơng giao hốn ...................................... 15

2.1.1. Miền ngun (khơng giao hốn) ................................................... 15
2.1.2. Vành chia ....................................................................................... 15
2.1.3. Nửa nhóm (khơng giao hốn)........................................................ 15
2.1.4. Nửa nhóm tự do ............................................................................. 15


2.1.5. Đại số nửa nhóm kH trong một vành khơng giao hốn có
đơn vị ............................................................................................. 17
2.2. Bổ đề ................................................................................................................................. 17
2.3. Định lí............................................................................................................................... 19
2.4. Định lí............................................................................................................................... 21
Chương 3. MỘT

SỐ

HƯỚNG

NGHIÊN

CỨU

GỢI

MỞ

LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN ................................................ 23
3.1. Vấn đề bổ sung thứ tự trên H ............................................................................... 23
3.2. Tựa - đồng nhất thức (Quasi – identities) ..................................................... 23
3.3. Một số định nghĩa và định lý liên quan địa phương hóa trong
vành khơng giao hốn ............................................................................................. 24

3.3.1. Mệnh đề ........................................................................................... 27
3.3.2. Ví dụ ................................................................................................ 27
3.4. Những điều kiện cần cho khả năng nhúng của một miền R vào
một vành chia ............................................................................................................. 29
KẾT LUẬN..................................................................................................... 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 31


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

: Tập số tự nhiên.
: Tập số nguyên.
: Tập số hữu tỉ.
: Tập số thực.
: Tập số phức.



: Tổng.

RS

: Địa phương hóa của miền nguyên R tại tập nhân S.

U (R)

: Nhóm các phần tử khả nghịch của vành R .

IBN

: Đồng cấu vào trong trường k.


1
MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết trong vành giao hoán (có đơn vị) thì mọi miền
ngun đều có thể nhúng đẳng cấu vào một trường (trường các thương của
nó).
Bài tốn hồn tồn tương tự cho các vành khơng giao hốn là khả năng
nhúng một miền ngun khơng giao hốn vào một vành chia thì liệu có đơn
giản như vậy hay khơng.
Vì vành giao hốn (có đơn vị) và vành khơng giao hốn (có đơn vị) có
vài nét khác nhau nên việc nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên giao hoán
vào một trường thì ln ln làm được nhưng việc nhúng đẳng cấu từ một
miền ngun khơng giao hốn vào một vành chia thì lại khơng đơn giản như
vậy.
Chính vì vậy, tôi chọn đề tài này để đưa ra một bài tốn mà miền ngun
khơng giao hốn khơng thể nhúng đẳng cấu vào vành chia qua một ví dụ rất
nổi tiếng của Mal’ Cev. Luận văn gồm ba chương :
_ Chương 1: Những kiến thức cơ bản.
Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa và tính chất đã biết
trong đại số giao hốn và đại số khơng giao hốn, sau đó là giới thiệu đơi nét
về việc địa phương hóa trong vành giao hốn.
_ Chương 2 : Vấn đề địa phương hóa trong vành khơng giao hốn.
Chương này trình bày đơi nét về việc địa phương hóa trong vành khơng
giao hốn và đưa ra câu trả lời phủ định cho câu hỏi: “ phải chăng mọi miền
nguyên không giao hốn đều có thể nhúng được vào trong một vành chia
khơng giao hốn” thơng qua ví dụ nổi tiếng của Mal’ Cev.
_ Chương 3: Một số hướng nghiên cứu gợi mở liên quan đến bài toán.

2
Phần mở rộng này trình bày một số vấn đề gợi mở làm tiền đề cho những
nghiên cứu tiếp theo cho việc tìm ra điều kiện cần và đủ để có thể nhúng đẳng
cấu từ một miền ngun khơng giao hoán vào trong một vành chia.


3
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong chương này sẽ nhắc lại một số khái niệm, tính chất đã biết trong
đại số giao hốn và đại số khơng giao hốn có liên quan. Sau đó giới thiệu đơi
nét về việc địa phương hóa trong một vành giao hốn, và dẫn đến một số tính
chất cần thiết cho chương sau.
1.1. Một số định nghĩa và tính chất trên vành giao hốn
1.1.1. Định nghĩa nhóm
Cho G là tập hợp khác rỗng, trên G được trang bị một phép tốn hai
ngơi *.
*: GxG → G

( x, y )

x* y

a) Nếu phép toán * ở trên thỏa tính chất kết hợp, tức là :

( x * y ) * z = x * ( y * z ) thì ( G ,*) được gọi là nửa nhóm.
b) Nếu nửa nhóm G có thêm phần tử trung hòa, tức là :
e  G : x  G : x * e = e * x = x thì ( G ,*) được gọi là vị nhóm.

c) Trong vị nhóm, nếu như mọi phần tử khác phần tử trung hòa đều khả

nghịch, tức là : x  G, y  G : x * y = y * x = e thì khi đó ( G ,*) trở thành
một nhóm.
1.1.2. Luật giản ước
a) Một phần tử a trong ( G,*) có tính chất giản ước trái nếu :
b, c  G : a * b = a * c  b = c

.

b) Một phần tử a trong ( G,*) có tính chất giản ước phải nếu :
b, c  G : b*a = c * a  b = c

.


4
c) Một nửa nhóm ( G,*) có tính chất giản ước trái (hoặc giản ước
phải) nếu mọi phần tử a trong ( G,*) là giản ước trái (hoặc giản
ước phải).
1.1.3. Đại số
Cho K là một vành giao hốn có đơn vị. A được gọi là đại số trên K
nếu thỏa mãn:
•

A là K -module.

•

A là vành.

• k  K , a, b  A : k (ab) = (ka)b = a(kb) .

1.1.4. Đại số nửa nhóm
Cho H là nửa nhóm nhân, giao hốn, có luật giản ước và cho F là
trường thì đại số nửa nhóm FH là tập hợp các tổng hình thức :
k11 + k2 2 + ... + kn n , k j  F ,  i  H

.

. Phép cộng theo nghĩa thông thường.
. Phép nhân : Phân phối với các tổng hình thức.
. Nửa nhóm ln có đơn vị.
• Đặc biệt, trong đại số giao hoán đã chứng minh được rằng nếu H là
nửa nhóm giao hốn có luật giản ước hai phía thì FH (khơng có ước
của 0) là miền ngun.
• Tuy nhiên, trong các vành khơng giao hốn thì kết quả tương tự là
khơng cịn đúng. Việc trình bày lập luận này ta sẽ dành ở phần tiếp
theo.
1.1.5. Định nghĩa vành
Một vành là một tập hợp R được trang bị hai phép tốn hai ngơi, được
gọi là phép cộng và phép nhân và thường kí hiệu là “ + ” và “ . ” . Để tạo
thành một vành, hai phép toán này phải đáp ứng một số tính chất:


5

. Vành phải là một nhóm Abel với phép tốn cộng.
. Có tính kết hợp với phép tốn nhân.
. Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng.
Các phần tử đơn vị của phép cộng và phép nhân được biểu thị bằng 0
và 1.
a) Nếu phép nhân có tính giao hốn, nghĩa là a.b = b.a thì vành R

được gọi là vành giao hoán.
b) Nếu trong vành R tồn tại hai phần tử a  0, b  0 sao cho a.b = 0
thì các phần tử a, b được gọi là ước của 0.
c) Vành giao hốn, có đơn vị, khơng có ước của 0 được gọi là
miền nguyên.
1.1.6. Định nghĩa ideal
Một tập con  của vành R được gọi là ideal của R nếu thỏa mãn các
điều kiện sau:
i)  là nhóm con của nhóm cộng ( R; + ) .
ii) Nếu x  R và y  thì x. y  .
1.1.7. Khái niệm ideal nguyên tố
Ideal p của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu p  R và nếu
x. y  p thì x  p hay y  p .

1.1.8. Khái niệm ideal cực đại
Ideal  được gọi là ideal cực đại của vành R nếu   R và bất kì ideal I
chứa  nghiêm ngặt thì I = R .
1.1.9. Mệnh đề
i) p là ideal nguyên tố của vành R  vành thương R p là miền
nguyên.
ii)  là ideal cực đại của vành R  vành thương R  là trường.


6

Chứng minh:
i) (  ) Cho p là ideal nguyên tố của R. Ta chứng minh R p khơng có ước
của 0.
Thật vậy, lấy  = a + p ,  = b + p ;  ,   R p ; a, b  R sao cho  . = 0 .


( a + p ) .(b + p ) = 0

 a.b + p = 0
 a.b  p
 a  p  = 0

.
b  p
  = 0

Mà p là ideal nguyên tố  
Do đó R p là miền nguyên.

(  ) Cho

R

p

là miền nguyên. Ta chứng minh p là ideal nguyên tố.

Lấy a, b  p sao cho a.b  p .
 a.b + p = 0  ( a + p )( b + p ) = 0 (với ( a + p ) , ( b + p )  R p ).



a + p = 0 a  p

Mà R p là miền nguyên  

.
b + p = 0 b  p

Vậy p là ideal nguyên tố.
ii) (  ) Lấy a +   R  \ 0 . Dẫn đến a +   0  a   .
Nên ta có ideal của R là aR +  chứa hoàn toàn  .
Mà  là ideal cực đại của R nên aR +  = R .
Khi đó, tồn tại b  R, x   sao cho: ab + x = 1 .
 1 − a.b = x  
 a.b +  = 1 + 
 ( a +  ) .(b +  ) = 1 + 

Vậy tồn tại b +   R  \ 0 sao cho ( a +  ) . ( b +  ) = 1 +  .
Nên a +  là phần tử khả nghịch.


7

Do đó R  là trường.

(  ) Lấy I là ideal của R sao cho I chứa hoàn toàn  .
Lấy a  I \  thì a +   0 .
Do R  là trường nên tồn tại b +   R  \ 0 sao cho ( a +  ) . ( b +  ) = 1 +  .
 1 − a.b   . Và khi đó tồn tại x   sao cho 1 − a.b = x  a.b + x = 1 .

Vì a  I \   a.b  I và x    I  x  I .
Nên 1 I . Do đó I = R .
Vậy  là ideal cực đại của vành R
• Đặc biệt: Nếu (0) là ideal nguyên tố thì R là miền ngun. (Vì
nếu có a, b  R sao cho a.b = 0  (0) và do (0) là ideal nguyên tố nên a = 0

hay b = 0 )
1.2. Địa phương hóa trong vành giao hốn và bài toán nhúng đẳng cấu
1.2.1. Định nghĩa vành địa phương
Vành địa phương là vành giao hốn có đơn vị, trong đó có một
ideal cực đại duy nhất.
Ví dụ 1: Bất kì trường nào cũng là vành địa phương.
m

m  , ( n, 2 ) = 1 thì R là vành địa phương.
n


Ví dụ 2: Đặt R = 
Chứng minh:

* Chứng minh R là vành:
_ R   (hiển nhiên)
a c
b d

a
b

c
d

_  , R: − =

a.d − b.c
 R (vì a.d − b.c 

b.d

và do ( b, 2 ) = 1 và ( d, 2 ) = 1 nên

( b.d , 2 ) = 1 )
a c
b d

a c
b d

_  , R: . =

a.c
 R (vì a.c 
b.d

và do ( b, 2 ) = 1 và ( d, 2 ) = 1 nên ( b.d , 2 ) = 1 )


8
* Chứng minh R có ideal cực đại duy nhất là
m

M =  m = 2k , n = 2h + 1; k , h   . Thật vậy:
n


_ M là ideal thực sự vì trong R cịn có các phần tử dạng
m


 m = 2k + 1, n = 2h + 1; k , h   .
n


_ Giả sử có ideal thực sự I của R mà I chứa hoàn toàn M :


m
 I \ M  m = 2k + 1, k 
n
−1

−1

m m
m
     R : .   = 1 I (vì I là ideal)
n n
n

 I = R (!)

Do đó M là ideal cực đại của R .
_ Giả sử có N là ideal cực đại của R mà N  M thì:


m
 N \ M  m = 2k + 1, k 
n

−1

−1

m m
m
     R : .   = 1 N (vì N là ideal)
n n
n

 N = R (!)

Do đó M là ideal cực đại duy nhất của R .
Vậy R là vành địa phương.
m

m  , ( n, p ) = 1 thì R là vành địa phương, với p là
n


Ví dụ 3: Đặt R = 
số nguyên tố.

Ví dụ 4: Vành số nguyên
đại p. = p không là duy nhất.

không là vành địa phương vì các ideal cực


9

1.2.2. Địa phương hóa trong vành giao hốn
a) Tập con đóng nhân
Cho R là một vành có đơn vị, một tập con S của R được gọi là một tập
con đóng nhân của R nếu:
1 S , 0  S .

S đóng đối với phép tốn nhân được định nghĩa trong R.

b) Địa phương hóa theo một ideal nguyên tố
Cho R là vành giao hốn có đơn vị bất kì, p là ideal nguyên tố thực sự
của R. Xét tập S = R \ p thì S là tập đóng nhân .
(vì : 0  S ; 1 S ; a, b  p  a.b  p ;  a, b  S  a.b  S )
r
s



Xét tập RS = S −1R =  r  R, s  S , s  p 



Khi đó , RS là vành địa phương vì có một ideal cực đại duy nhất là
r

M =  r  p, s  S , s  p 
s
.

Chứng minh M là ideal cực đại duy nhất:
_ Giả sử có ideal thực sự I của RS mà I chứa hoàn toàn M :

r  p r
r
  I \ M  
 p
s
s
s  p
r
  
s

−1

khả nghịch.

 I  RS (!)

Do đó M là ideal cực đại của RS .
_ Giả sử có N là ideal cực đại của RS mà N  M thì:
r  p r
r
 N \M  
 p
s

p
s
s


10

r
  
s

−1

khả nghịch.

 N  RS (!)

Do đó M là ideal cực đại duy nhất của RS .
Vậy RS là vành địa phương.
• Tuy nhiên, nếu chọn M =  f  R f n  0, n  0 và
S = 1, f , f 2 ,..., f n ,... là tập đóng nhân thì RS khơng là vành địa

phương vì khơng có ideal cực đại duy nhất.
• Đặc biệt, khi R là miền nguyên thì (0) là ideal ngun tố và
S = R \ 0

r
s

thì khi đó RS là trường (vì   0  r  0  r  S 

r
khả
s

nghịch  RS là trường).
Một trong những điều quan trọng mà chúng ta đã được biết là cho bất kỳ
miền nguyên R giao hoán, ta có thể tùy ý nghịch đảo các phần tử khác 0 của
R để tạo thành một trường các thương duy nhất của R .
c)

Định

nghĩa

vành

S

–

khả

nghịch

Với một tập hợp nhân trong vành R, tức là một tập con S  R sao cho
S được đóng bởi phép nhân , 0  S ,1  S . Một đồng cấu  : R → R ' được
gọi là S – khả nghịch nếu  ( S )  U (R') . ( U (R') là nhóm các phần tử khả
nghịch của vành R’).

d)

Định nghĩa vành các thương RS
Chúng ta được biết về quy trình chung của địa phương hóa một vành

giao hốn R bất kỳ với một tập nhân S = R \ p , với p là một ideal nguyên tố
thực sự của R. Quy trình này mang lại một vành giao hoán RS và một đồng
cấu vành  : R → RS sao cho  ( s ) là một phần tử khả nghịch trong RS cho mọi


11
s  S , và  là “ phổ dụng “ với tương ứng cho tính chất này. Hơn thế nữa,

chúng ta có 2 chú ý sau đây cho  và RS :
a) Mỗi phần tử trong RS có dạng  (r ). (s)−1 , khi r  R, s  S .
b) Ker  = r  R | s  S : rs = 0 (là một ideal trong R) .
Vành RS được gọi là vành các thương của R theo một ideal nguyên
tố p .
Để đơn giản hóa kí hiệu, ta viết phần tử của RS là phân số r / s hay r .s −1
thay cho  (r ). (s)−1 . Ta cộng phân số bằng cách lấy mẫu số chung, và nhân
phân số bằng cách nhân tử số và mẫu số.
Trường hợp cổ điển về việc nhúng miền nguyên giao hoán R vào vành
thương của nó tương ứng với việc địa phương hóa của R tại tập nhân

R \ 0 .

e) Mệnh đề
Cho R là một miền nguyên giao hoán, S  R là một tập con đóng nhân,
khi đó tồn tại một đồng cấu S – khả nghịch  đi từ R đến một vành nào đó , kí
hiệu là RS , với tính chất phổ dụng sau: Cho bất kỳ đồng cấu S – khả nghịch
 : R → R ' , x  R ' : x =  ( r ) . ( s ) . Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành
−1

f : RS → R ' sao cho  = f o .

Chứng minh:

(  ) Với vành R, tập con đóng nhân S  R .
r
s



Đặt RS = S −1R =  r  R, s  S , s  p  .


Khi đó , RS là vành địa phương vì có một ideal cực đại duy nhất là
r

M =  r  p, s  S , s  p 
s
.


12
Đặt  : R → RS
 (r ) = r1 .

r





Ta có: ker ( ) = r  R r 1 = 0 = 01  r = 0 .
Do đó  là đơn cấu.
_ s  S ,  ( s ) = s 1 .
Khi đó  1 s  RS sao cho: s 1 . 1 s = s s = 11 .
_  r s  RS : r s = r 1 . 1 s =  ( r ) . ( s ) .
−1

−1
(  ) x  R ' : x =  ( r ) . ( s ) .

Giả sử có đồng cấu  là S – khả nghịch.
 : R → R'
r

 (r ) = r '

s

 (s) = s '.

Khi đó, f : RS → R ' .
 ( r ) . ( s )

−1

 ( r ) . ( s )

−1

Nói tóm lại, trong trường hợp vành R là vành giao hốn có đơn vị, ta đã

giải quyết được trọn vẹn bài tốn địa phương hóa vành R theo tập con đóng
nhân S, nghĩa là tồn tại vành RS và đồng cấu  : R → RS với các tính chất sau:
i)

s  S :  ( s )

ii)

Đồng cấu  có tính phổ dụng, nghĩa là với mọi đồng cấu

khả nghịch trong RS .

 : R → R ' có tính chất  ( s ) là khả nghịch s  S thì tồn tại đồng

cấu f : RS → R ' sao cho  = f  .
Trong trường hợp đặc biệt, khi S = R \ p , trong đó p là ideal ngun tố
thì  là một đơn cấu và RS là vành địa phương. Đặc biệt hơn nữa khi R là


13

miền ngun giao hốn thì (0) là ideal ngun tố và

S = R \ 0

ta có RS là một

trường, gọi là trường các thương của R, do đó  là phép nhúng R vào RS .
Và bây giờ nếu R là một vành khơng giao hốn bất kỳ thì liệu các tính
chất của RS và  có cịn thu được kết quả tốt như vậy hay không. Ta sẽ

nghiên cứu về câu hỏi này chương sau.


14
Chương 2. VẤN ĐỀ ĐỊA PHƯƠNG HĨA KHƠNG GIAO HỐN
Sau khi nhắc lại các lý thuyết cơ bản của vành giao hốn, trong chương
này ta tìm hiểu về lý thuyết của vành các thương trong bối cảnh của các vành
không giao hốn.
Trong chương này và cũng là nội dung chính của luận văn, ta cũng xét
bài tốn địa phương hóa một vành R khơng giao hốn có đơn vị theo một tập
con nhân S của nó, nghĩa là 0  S , 1 S , S đóng với phép nhân trong R. Khi đó
ta phải giải quyết hai vấn đề:
Thứ nhất là có tồn tại hay khơng vành mà được ký hiệu là RS và một
đồng cấu  : R → RS sao cho  là S – khả nghịch trong RS , nghĩa là  ( s ) khả
nghịch trong RS , s  S .
Thứ hai là với mọi đồng cấu  : R → R ' sao cho  là S – khả nghịch
trong RS thì tồn tại đồng cấu f : RS → R ' sao cho  = f  .
Tuy vậy, trong trường hợp R là vành khơng giao hốn thì bài tốn tổng
qt trên là quá lớn và không dễ dàng để giải quyết nên chúng ta chỉ xét
trường hợp riêng khi R là một miền ngun khơng giao hốn. Lúc này
S = R \ 0

là một tập con nhân và RS là một vành chia (vì mọi phần tử khác 0

đều khả nghịch) còn  là một đơn cấu nhúng R vào vành chia.
Câu hỏi đặt ra là có phải với mọi miền ngun khơng giao hốn R thì
đều tồn tại RS khơng, và nếu RS tồn tại thì sự tồn tại đó có phải là duy nhất
khơng?
Đó chính là chủ đề chính của luận văn của chúng ta, nói khác đi là bài
tốn nhúng đẳng cấu miền ngun khơng giao hốn vào vành chia.

Nội dung chính của luận văn này là đưa ra câu trả lời phủ định cho câu
hỏi trên thơng qua ví dụ nổi tiếng của Mal’cev, và sau đó là một vài gợi mở
nhỏ về điều kiện để một miền có thể nhúng được vào một vành chia.


15
2.1. Một số khái niệm cơ bản về vành không giao hốn
Để chuẩn bị cho nội dung chính của chương, tức là trình bày ví dụ của
Mal’cev ta cần nhắc lại một số khái niệm.
2.1.1. Miền ngun (khơng giao hốn)
Miền ngun là một vành (khơng giao hốn) khác khơng, có đơn vị và
khơng có ước của khơng cả hai phía.
2.1.2. Vành chia
Vành chia là một vành khác vành khơng, có đơn vị là 1  0 , mọi phần tử
a  A, a  0

đều có một nghịch đảo phép nhân: a  A, x  A : a  x = x  a = 1 .

Vành chia chỉ khác trường ở chỗ phép nhân không nhất thiết phải có
tính giao hốn.
* Nhận xét: Ta thấy ngay mọi vành chia đều là miền. Từ đó dẫn đến
câu hỏi tự nhiên là liệu có phải bất cứ một miền nào cũng có thể nhúng được
vào trong một vành chia hay khơng?
2.1.3. Nửa nhóm (khơng giao hốn)
Cho H là tập hợp khác rỗng, trên H được trang bị một phép toán hai
ngôi *.
*: H x H → H

( x, y )

x* y

Nếu phép tốn * ở trên thỏa tính chất kết hợp, tức là : ( x * y ) * z = x * ( y * z )
thì ( H,*) được gọi là nửa nhóm.
Nửa nhóm (khơng giao hốn) có đơn vị cả hai phía thì được gọi là vị
nhóm.
2.1.4. Nửa nhóm tự do
Định nghĩa: Cho A là một bảng chữ cái. Một nửa nhóm với các phần
tử là dãy hữu hạn có thể có của các chữ cái trong A với phép toán là đặt dãy
này nối tiếp dãy kia được gọi là một nửa nhóm tự do trên A, ký hiệu là A+


16
(hoặc là A*). Các phần tử trong một nửa nhóm tự do được gọi là các từ , và
phép toán được gọi là nối. Để thuận tiện, từ rỗng 1 thường được nối với nhau
(chiều dài của từ rỗng 1 được định nghĩa bằng không) bằng cách đặt 1w = w =
w1 với mọi từ w. Bảng chữ cái A cho nửa nhóm tự do A+ là tập hợp sinh bất
khả quy duy nhất chỉ bao gồm những phần tử khơng thể rút gọn được. Một
nửa nhóm tự do được xác định duy nhất theo đẳng cấu cho bởi tính chất cơ
bản của bảng chữ cái của nó, lực lượng của bảng chữ cái A được gọi là hạng
của nửa nhóm tự do.
Nửa nhóm tự do là vật tự do trong phạm trù các nửa nhóm, hay nói khác
đi thì mọi nửa nhóm đều là ảnh đồng cấu của một nửa nhóm tự do.
Mệnh đề: Cho một nửa nhóm F , các điều kiện sau là tương đương:
i)

F là nửa nhóm tự do.

ii)

F có một tập hợp sinh A sao cho bất kỳ phần tử nào của F đều có
thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích các phần tử của A .

iii)

F thỏa mãn luật giản ước (theo như 1.1.2), không chứa phần tử lũy
đẳng, mọi phần tử của F có một số hữu hạn các ước, và với mọi
u, v, u ', v '  F

đẳng thức uv = u ' v ' dẫn đến u = u ' hoặc là một trong u

và u’ là ước bên trái của từ còn lại.
Định nghĩa: Mỗi một nửa nhóm con H của một nửa nhóm tự do là nửa
nhóm con có một tập hợp sinh bất khả quy duy nhất bao gồm các phần tử
khơng thể phân tích được thành tích của các phần tử khác nhau trong H . Tuy
nhiên, khơng phải mọi nửa nhóm con của nửa nhóm tự do đều tự do.
Mệnh đề: Cho một nửa nhóm con H của một nửa nhóm tự do F , các điều
kiện sau là tương đương:
i)

H là nửa nhóm tự do.

ii)

w  F : H  wH  , H  Hw    w  H

iii)

w  F : H  wH  Hw    w  H .

.


17

Với bất kỳ các từ u, v khác nhau trong nửa nhóm tự do F thì hoặc là u và v
là các phần tử sinh tự do của nửa nhóm con sinh ra bởi chúng hoặc là có một
phần tử w sao cho w = u k = vl ; k , l  . Điều thứ hai xảy ra khi và chỉ khi
u.v = v.u .

Mỗi một nửa nhóm con với 3 phần tử sinh trong một nửa nhóm tự do thì
ln được biểu diễn hữu hạn. Tuy nhiên tồn tại nửa nhóm con với 4 phần tử
sinh khơng được biểu diễn hữu hạn.
2.1.5. Đại số nửa nhóm kH trong một vành khơng giao hốn có
đơn vị
Cho H là nửa nhóm nhân, khơng giao hốn, có luật giản ước cả hai
phía và cho k là miền ngun giao hốn thì đại số nửa nhóm kH là tập
hợp các tổng hình thức :
k11 + k2 2 + ... + kn n , k j  k ,  i  H

.

. Phép cộng theo nghĩa thông thường.
. Phép nhân : Phân phối với các tổng hình thức.
. Nửa nhóm ln có đơn vị.
2.2. Bổ đề
Ta trở lại với câu hỏi : Liệu có phải bất kì miền nào cũng được nhúng
vào trong một vành chia hay không? Thông qua một ví nổi tiếng , Mal’cev đã
trình bày câu trả lời phủ định cho câu hỏi này.
Tổng quát hơn, Mal’cev đã quan tâm đến vấn đề nhúng một nửa nhóm

giản ước H vào trong một nhóm G. (Với nửa nhóm giản ước là nửa nhóm
trong đó giữ cả hai quy luật giản ước trái và phải). Ta sẽ giả định rằng tất cả
nửa nhóm sử dụng trong phần sau là “ vị nhóm ”, (tức là nửa nhóm khơng
giao hốn có chứa phần tử {1}). Tuy nhiên, ta chỉ dùng giả thiết này xuyên
suốt chỉ để cho thuận tiện.


18
Trong đại số giao hốn ta đã biết bất kì nửa nhóm giao hốn H có luật
giản ước thì ln nhúng được vào một nhóm. Vậy liệu điều đó có cịn đúng
trong đại số khơng giao hốn hay khơng ?
Trong một bài báo nổi tiếng xuất bản năm 1937, Mal’cev đã xây dựng
một ví dụ về 1 nửa nhóm H có luật giản ước trái và phải mà khơng thể nhúng
được vào trong một nhóm G. Và hơn nữa, Mal’cev đã chỉ ra thêm rằng đại số
nửa nhóm QH (trong đó Q là một vành chia khơng giao hốn) là một miền.
Vì vậy, theo đó miền này khơng thể nhúng được vào trong một vành chia D,
vì nếu D tồn tại thì khi đó H sẽ có thể được nhúng vào trong nhóm đặc trưng
U(D) của D. (đây là điều mâu thuẫn).
Cái nhìn chủ yếu để làm cho cơng việc trên khả thi là bổ đề dưới đây:

Cho a , b, c, d, x , y, u, v là các phần tử của một nửa nhóm H. Nếu H
nhúng được vào trong một nhóm G, khi đó :
(2.2.a)

a.x = b. y 

c.x = d . y   c.u = d .v ( trong H )
a.u = b.v 

Chứng minh:

* Cách 1: Làm việc trong nhóm G, từ hai phương trình trên, ta có:
b−1.a = y.x−1 = d −1.c (1) .

Mặc khác: vì a.u = b.v  b−1.a = v.u −1 (2)
Từ (1) và (2), ta được : d −1.c = v.u −1 ( G )  c.u = d .v ( H ) (ĐPCM).
* Cách 2: Theo đề xuất của D.Moulton:
c.u = c.x.x −1.a −1.a.u = d . y. y −1.b −1.b.v = d .v
 c.u = d .v

( trong H )

Vậy ta có điều phải chứng minh.

(trong G )