Chuyen de He thuc luong trong tam giac vuong On thi vao 10

Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông và Phương pháp giải Lộc Trung Hiếu
MỞ ĐẦU
I: LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1-Cơ sở lý luận:
Trong qu¸ tr×nh ph¸t triĨn, x· héi lu«n ®Ị ra nh÷ng yªu cÇu míi cho sù nghiƯp ®µo t¹o
con ngêi .ChÝnh v× vËy mµ d¹y to¸n kh«ng ngõng ®ỵc bỉ xung vµ ®ỉi míi ®Ĩ ®¸p øng víi sù ra
®êi cđa nã vµ sù ®ßi hái cđa x· héi .V× vËy mçi ngêi gi¸o viªn nãi chung ph¶i lu«n lu«n t×m
tßi, s¸ng t¹o, ®ỉi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc ®Ĩ ®¸p øng víi chđ tr¬ng ®ỉi míi cđa §¶ng vµ Nhµ
níc ®Ỉt ra.
Trong ch¬ng tr×nh m«n to¸n ë c¸c líp THCS kiÕn thøc vỊ h×nh häc nãi chung vµ c¸c u
tè vµ tam gi¸c vu«ng nãi riªng so rÊt quan träng. §ã lµ nh÷ng tiỊn ®Ị c¬ b¶n ®Ĩ häc sinh tiÕp
tơc häc lªn THPT.
Khi gi¶i to¸n vỊ hƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng häc sinh n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc c¬
b¶n vỊ mét sè hƯ thøc vỊ c¹nh vµ ®êng cao, c¸c tû sè lỵng gi¸c, gi¶i tam gi¸c vu«ng ...
Häc sinh biÕt vËn dơng linh ho¹t, s¸ng t¹o c¸c kiÕn thøc, kü n¨ng tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc
t¹p.
“ HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng vµ Ph¬ng ph¸p gi¶i” gióp häc sinh ph¸t triĨn t duy,
ph¸t huy tÝnh tÝch cùc chđ ®éng, s¸ng t¹o trong gi¶i to¸n. §ång thêi gi¸o dơc t tëng, ý thøc, th¸i ®é,
lßng say mª häc to¸n cho häc sinh.
2.C¬ së thùc tiƠn:
HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng lµ lo¹i to¸n mµ häc sinh THCS coi lµ lo¹i to¸n khã, nhiỊu
häc sinh kh«ng biÕt gi¶i bµi to¸n h×nh häc nh thÕ nµo? cã nh÷ng ph¬ng ph¸p nµo?
C¸c bµi to¸n vỊ HƯ thøc lỵng lµ mét d¹ng to¸n hay, cã nhiỊu trong c¸c ®Ị thi häc sinh giái
c¸c cÊp, thi vµo líp THPT. Tuy nhiªn, c¸c tµi liƯu viÕt vỊ vÊn ®Ị nµy rÊt h¹n chÕ hc cha hƯ thèng
thµnh c¸c ph¬ng ph¸p nhÊt ®Þnh g©y nhiỊu khã kh¨n trong viƯc häc tËp cđa häc sinh, còng nh trong
c«ng t¸c tù båi dìng cđa gi¸o viªn.
V× vËy viƯc nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng lµ
rÊt thiÕt thùc, gióp gi¸o viªn n¾m v÷ng néi dung vµ x¸c ®Þnh ®ỵc ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y phÇn nµy
®¹t hiƯu qu¶, gãp phÇn n©ng cao chÊt lỵng d¹y vµ häc, ®Ỉc biƯt lµ chÊt lỵng häc sinh khi thi vµo
THPT.
II-Mơc ®Ých nghiªn cøu:

Nghiªn cøu vỊ “ Ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng”.
Gióp gi¸o viªn n©ng cao n¨ng lùc tù nghiªn cøu, ®ång thêi vËn dơng tỉng hỵp c¸c tri thøc ®·
häc, më réng, ®µo s©u vµ hoµn thiƯn hiĨu biÕt. Tõ ®ã cã ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y phÇn nµy cã hiƯu
qu¶.
Nghiªn cøu vÊn ®Ị nµy ®Ĩ n¾m ®ỵc nh÷ng thn lỵi, khã kh¨n khi d¹y häc phÇn hƯ thøc lỵng
trong tam gi¸c vu«ng, tõ ®ã ®Þnh híng n©ng cao chÊt lỵng d¹y vµ häc m«n to¸n.
Nghiªn cøu vÊn ®Ị nµy cßn gióp gi¸o viªn cã t liƯu tham kh¶o vµ d¹y thµnh c«ng vỊ gi¶i bµi
to¸n hƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng.
III- NhiƯm vơ nghiªn cøu:
1. Nghiªn cøu vỊ t×nh h×nh d¹y vµ häc vÊn ®Ị nµy ë líp 9 Trêng THCS Nh Thơy.
2. HƯ th«ng ho¸ mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng.
3. T×m hiĨu møc ®é vµ kÕt qu¶ ®¹t ®ỵc khi triĨn khai chuyªn ®Ị.
Trang 1
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông và Phương pháp giải Lộc Trung Hiếu
4. Ph©n tÝch rót ra bµi häc kinh nghiƯm.
IV- ®èi t ỵng, Ph¹m vi nghiªn cøu :
1. §èi tỵng nghiªn cøu:
a. C¸c tµi liƯu (SGK, STK, SBT To¸n 9)
b. Häc sinh trêng THCS Nh Thơy.
2. Ph¹m vi nghiªn cøu:
C¸c ph¬ng ph¸p ®Ĩ gi¶i bµi to¸n "HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng".
V- Ph ¬ng ph¸p nghiªn cøu :
1. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu tµi liƯu.
2. Ph¬ng ph¸p ®iỊu tra, kh¶o s¸t.
3. Ph¬ng ph¸p thư nghiƯm
4. Ph¬ng ph¸p tỉng kÕt kinh nghiƯm
Trang 2
b
2
=ab'; c

2
=ac' (1)
h
2
=b'c' (2)
bc=ah (3)
1 1 1
= +
2 2 2
h b c
(4)
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông và Phương pháp giải Lộc Trung Hiếu
Néi dung chuyªn ®Ị
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
* Dạng 1: Biết cạnh huyền và một cạnh góc vng (hoặc hai cạnh góc vng), tính
các hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền và ngược lại.
* Phương pháp giải:
Vận dụng hệ thức (1) b
2
=ab'; c
2
=ac'
* Ví dụ minh hoạ:
VD1: Tìm x và y trong hình
Hướng dẫn giải:
Áp dụng hệ thức (1) c
2

=ac' được x
2
=5.1 => x=
5
y
2
=5.4 => x=
20
VD2: Trong tam giác vng với các cạnh góc vng có độ dài là 3 và 4, kẻ đường
cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra
trên cạnh huyền.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí Pitago ta tính được cạnh huyền
BC=
2 2
3 4 5+ =
Áp dụng hệ thức: b
2
=ab' => b'=b
2
:a
=> HC=3,2
=> HB=1,8
Áp dụng hệ thức: h
2
=b' c' Tính được AH=
1,8.3, 2 2,4=
* Dạng 2: các bài tốn liên quan đến độ dài đường cao ứng với cạnh huyền.
*Phương pháp giải
Vận dụng các hệ thức (2) h

2
=b'c' hoặc (3) bc=ah.
*Ví dụ minh hoạ:
VD 3: Tìm x và y trong hình:
Hướng dẫn giải:
Trước hết tính được cạnh huyền
y = 74
Trang 3
A
bc
b'
a
CB
h
c'
Hình 1
yx
4
1
Hình 2
A
43
?
CB
?
?
Hình 3
75
y
x

Hình 4
y
x
2
1
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông và Phương pháp giải Lộc Trung Hiếu
Sau đó áp dụng hệ thức (3) được x.y=5.7 =>
35
74
x =
VD 4: Tìm x và y trong hình.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng hệ thức (2) được
2
2
= 1.x => x=4
Áp dụng hệ thức (1) được
y
2
= 5.4 => y= 20
*Dạng 3: Các bài tốn liên quan đến tổng các nghịch đảo bình phương của hai
đoạn thảng
* Phương Pháp giải:
Vận dụng hệ thức:
1 1 1
= +
2 2 2
h b c
* Ví dụ minh hoạ:
VD5: Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB

cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vng góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng
BC tại L. Chứng minh rằng:
a, Tam giác DIL là một tam giác cân.
b, Tổng
2 2
1 1
+
DI DK
khơng đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
*Hướng dẫn giải:
a,
( . . )ADI CDL g c g DI DL DIL∆ = ∆ => = =>∆
cân
b, Áp dụng hệ thức:
1 1 1
= +
2 2 2
h b c
vào tam giác vng DLK ta được:
DC DL DK
1 1 1
= +
2 2 2
hay
DC DI DK
1 1 1
= +
2 2 2
và DC khơng đổi nên
DI DK

1 1
+
2 2
khơng đổi
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: (Dạng 1) Tìm x và y trong hình sau:
Bài 2: (Dạng 1) Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE, cắt nhau tại H.
Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho
·
·
0
AMC = ANB = 90
. Chứng minh
AM=AN.
Bài 3: (Dạng 2) Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH. Biết
AB 20
=
AC 21
và
AH=420. Tính chu vi tam giác ABC.
Trang 4
Hình 5
10y
8
x
30y
32
x
Hình 6a Hình 6b
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông và Phương pháp giải Lộc Trung Hiếu

Bài 4: (Dạng 2) Cho hình thang ABCD vng góc tại A và D. Hai đường chéo vng
góc với nhau tại O. Biết AB= 2 13 ; OA = 6. Tính diện tích hình thang.
Bài 5: (Dạng 3) Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết
khoảng cách từ O tới mỗi cạnh hình thoi là h; AC =m; BD = n. Chứng minh rằng:
2 2 2
+ =
m n 4h
1 1 1
II. TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa: Cho góc nhọn α
c¹nh ®èi c¹nh kỊ
Sin ; Cosin
c¹nh hun c¹nh hun
c¹nh ®èi c¹nh kỊ
tan g ; cot ang
c¹nh kỊ c¹nh ®èi
= =µ µ
= =µ µ
2. Tỷ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cơsin góc kia, tang góc này bằng cotang
góc kia. (Hình trên)
SinB = cosC ; cosB = sinC
tan B = cot C ; cot B = tan C
3. Tỷ số lượng giác của các góc dặc biệt

Tỷ số α
lượng giác
30
0

45
0
60
0
Sin α
1
2
2
2
3
2
Cosin α
3
2
2
2
1
2
tan α
3
3
1
3
cot α
3
1
3
3
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1. Dạng 1: Viết các tỉ số lượng giác của một góc α cho trước

* Phương pháp giải: Dựng một tam giác vng có một góc là α, sau đó viết các tỉ số
lượng giác theo định nghĩa.
* Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Vẽ một tam giác vng có một góc nhọn 34
0
rồi viết các tỉ số lượng
giác của góc 34
0
Trang 5
cạnh huyền
cạnh đối
cạnh huyền
α
Hình 7