De thi HSG cap Truong vong 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
+ 2011x + 2010
b) b)
4
x
+ 2012
2
x
+2011x + 2010
Câu 2: Tìm giá trị của x và y, biết x
2
+ y
2
+ x – xy + ½ = 0
Câu 3: Chứng minh rằng
2
44
ba
+
2233
babaab
−+≥
Câu 4: Cho hai số dương a, b và a = 5 – b
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P =
ba

11
+

Câu 5: Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện :

20 20 21 21 22 22
a b a b a b
+ = + = +
. Tính tổng: S =
2010 2011
a b
+

Câu 6: Tìm số đường chéo của một hình đa giác có 2010 cạnh.
Câu 7: Cho
2
2
2
;
1
x
y
x
=
+

2
2
2
;

1
y
z
y
=
+

2
2
2
;
1
z
x
z
=
+
. Tìm giá trị của S = (x + y + z)
4
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H
∈
BC).
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA. Đường thẳng vuông góc với BC
tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng
b) Chứng minh tam giác ABE vuông cân tại A.
c) Gọi M là trung điểm của BE, vẽ tia AM cắt BC tại G.
Chứng minh rằng:
HCAH
HD

BC
GB
+
=
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010-2011
I./ Biểu điểm:
Câu 1a 1b 2 3 4 5 6 7 8a 8b 8c
Điểm 1,0 1,0 1,0 0,75 1,0 0,75 1,0 0,75 1,0 1,0 0,75
II./ Đáp án cụ thể:
Câu 1: a) x
2
+ 2011x + 2010 = (x + 1)(x + 2010)
b)
4
x
+2009
2
x
+2008
x
+2009 = (
4
x
+
2
x
+1) +2010(
2
x

+
x
+1)
= (
2
x
+
x
+1)(
2
x
-
x
+1)+ 2008(
2
x
+
x
+1) = (
2
x
+
x
+1)(
2
x
-
x
+2010)
Câu 2: = 2x

2
+ 2y
2
+ 2x – 2xy + 1 = 0  (x+1)
2
+ (x – y)
2
+ y
2
= 0
Suy ra x + 1 = 0
x – y = 0
y = 0  Không tồn tại giá trị x, y thỏa mãn đề bài
Câu 3:
2
44
ba
+
2233
babaab
−+≥
≥+⇔
44
ba
2233
222 babaab
−+
−+⇔
44
ba

2233
222 babaab
+−
0
≥

)2()2(
22342234
baabbbabaa
+−++−⇔

0)()(
2222
≥−+−⇔
abbaba

Bất đẳng thức đúng. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = 1
Câu 4: P=
ba
11
+
=
ab
ba
+
=
ab
5
=
2

)(
20
4
20
baab
+
≥
=
5
4
; ( Do (a+b)
2

≥
4ab và a + b= 5)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
5
4
khi a = b =
2
5

Câu 5: Ta có:
22 22
a b
+ =
(
21 21 20 20
)( ) ( )a b a b ab a b
+ + − +

⇔
1=
abba
−+
⇔
0)1)(1(
=−−
ba

⇒
1,1
==
ba
; Vậy S=1+1=2
Câu 6: Ta có số đường chéo của 1 đa giác có n cạnh là:
( 3)
2
n n −

 Số cạnh của đa giác có 2010 cạnh là:
−
= =
2010(2010 3)
1005.2007 2017035
2
(cạnh)
Câu 7: Chuyển
2

2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
1 2
2
1 0
1
2 1 2 1 1 1
1 0 1 1 1 0
1
1 2
2
1 0
1
x
y
x y
x
y
z
y y z x y z
z
x
z x

x


− + =
=


+


 


   
= ⇔ − + = ⇔ − + − + − =
 
 ÷
 ÷  ÷
+
   
 
 
 
− + =
=
 

+

Suy ra x = y = z = 1. Vậy S = (1 + 1 + 1)

4
= 81
Câu 8: a) Chứng minh được hai tam giác
CDE và CAB đồng dạng:
=>
CD CA
CE CB
=
0,5
Chỉ được C là góc chung của hai tam giác BEC và ADC
Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c)
b) Theo câu ta suy ra:
·
·
BEC ADC=

lại có
·
·
·
0 0 0
90 45 135ADC EDC ADE= + = + =

Suy ra:
·
0
135BEC =
=>
·
0

45AEB =
=> Tam giác ABE vuông cân tại A
c) Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= ∆ ∆ = =:

Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= ⇒ = ⇒ =
+ + +

Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì giáo viên phân theo
từng bước và cho điểm tối đa của bài ./.