Một số bài toán hình học lớp 7 nâng cao dành cho học sinh khá giỏi

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh _{Trang 1}</i>

Phần 1: Ôn tập các bài toán về tam giác
Phần Hình häc 7.

Buæi 1-2: tam giác -với bài toán tìm số đo góc

I/. Cơ sở lý thuyết

-Tổng các góc trong tam giác bằng 180O

- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phơ nhau.

- Trong tam giác vng cạnh góc vng bằng 1/2 cạnh huyền thì góc đối diện với

cạnh đó bằng 30O

- Các tính chất về góc của tam giác cân, tam giác đều, cặp tam giác bằng nhau, tớnh
cht phõn giỏc

II/. Một số bài toán

<i><b>Bài 1: Góc A của tam giác ABC bằng 75</b><b>O</b><b>. Từ đỉnh A, người ta vẽ một đường thẳng cắt </b></i>

<i><b>cạnh BC ở M. Đoạn thẳng AM cùng với các yếu tố của tam giác tạo thành 2 tam giác </b></i>
<i><b>cân. Tính các góc B và góc C của tam gi¸c, </b></i>

Hướng dẫn giải:

Từ giải thiết của bài tốn ta có các khẵng định sau:

a, C¸c tam giác AMB và AMC không cùng cân tại M vì nếu không thì AM = MB = MC
Suy ra tam giác ABC vuông tại A Trái giả thiết.

b, Các tam giác AMB và AMC không cùng cân tại A vì nếu không thì AM = AB = AC
Suy ra A, B, C, M thuộc đường tròn tâm A, Trái giả thiết.

c, Tam giác AMB không thể cân tại B và tam giác AMC không thể cân tại C. Vì nếu
không thì AB=AM và AC=CM. Suy ra AB+BC =BC tức là không tồn tại tam giác ABC.

Vậy: AMC cân tại M và AMB cân tại A.

Hoặc: AMC cân tại M và AMB cân tại B

* Trng hp AMC cõn ti M (AB<AC)v

AMB cân tại A (Hình 1)
Trên hình 1:

∠A2=∠C VËy ∠B=∠AMB = ∠A2+∠C =2∠C

Suy ra

∠C=(180O

-75O) : 3 =35O Vµ ∠B=75O

* Trường hợp:ΔAMC cân tại M (AB<AC) và
ΔAMB cân tại B

Trên hình 2: A1=AMB = 2C

A=A1+A2 = 3C. Vậy C=25

O_và

B = 80O

<i><b>Bài 2: Đường cao của một tam giác vuông Hạ xuống cạnh huyền chia cạnh huyền </b></i>

<i><b>thành hai đoạn mà hiệu của hai đoạn này bằng một trong hai cạnh góc vuông. </b></i>
<i><b>Tính các góc của tam giác. </b></i>

Hng dn gii:

Giả sử tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia
BC thành hai đoạn BH và HC mà HC-HB=AB

Trờn tia đối của tia HB lấy D sao cho HD=HB. Ta có DC=AB
ΔADB là tam giác cân tại A nên DA=BA và tam giác ADC
Là tam giác cân tại D

Suy ra ∠B= ∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C . Suy ra 3∠C=90O

A

1 2

B M C

A

H×nh 1

1 2

B M C

H×nh 2

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh _{Trang 2}</i>

Suy ra ∠C = 30O_vµ

∠B=60O

<i><b>Bài 3: Trong một tam giác đường cao đường trung tuyến phát xuất từ một đỉnh chia </b></i>

<i><b>góc ở đỉnh ấy ra làm 3 phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác. </b></i>

Hướng dẫn giải:

+ AMC là tam giác cân (vì AH vừa là đường cao,

vừa là đường phân giác)

=> MH=HC. T M kẻ MI vng góc với AB
Từ các tam giác bằng nhau AMI và AMH ta có
MH=MI. Từ đó MI=1/2 MB .

VËy ∠MBI = 30O

vµ ∠C= 60O

, ∠A=90O

<i>Bài 4: Biết số đo góc ở đỉnh A của tam giác cân ABC bằng 100O M là mọt điểm thuọc </i>

<i>miền trong của tam giác ấy với</i>∠<i>MBC=10O, </i>∠<i>MCB=20O Tính góc AMB? </i>
Hướng dẫn giải

Từ giả thiết của đề bài ta có: ∠ABC=∠ACB=40O

suy ra BC > CA. Trªn tia CA lÊy E sao cho CE=CB. DÔ suy ra

ΔMBC=ΔMCE => ME=MB và MEC = 10O

. Mặt khác

BCE cõn ti C với góc ở đỉnh C bằng 40O_=>

∠CEB=70O

=> ∠MEB=60O vậy tam giỏc MEB u.

Mặt khác dể thấy BA là phân giác EBM=> EBA=MBA

=>AMB = AEB = 70O

III/. Bµi tËp vỊ nhµ

Bài 1: Biết các góc ở đáy của tam giác cân là ∠A=∠C=80O

Từ A và C người ta kễ

các đường thẳng cắt các cạnh đối diện ở D và E sao cho ∠CAD=60O

, ∠ACE=50O

. TÝnh
∠ADE?

Bài 2: Trong tam giác ABC cân tại C. Kẻ trung tuyến CM và phân giác AD. Tính
các góc của tam giác, biết độ dài đường phân giác AD gấp đôi độ dài đường trung tuyến
CM

Bài 3: Trong tam giác ABC biết các đườgn cao hạ từ A và B xuống các cạnh đối
diện khơng nhỏ hơn các cạnh đối diện đó. Tính các góc của tam giác.

Bi 3-4: Tam giác với bài toán về đoạn thẳng.

I/. Cơ sở lý thuyết

- Cỏc phng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

- Quan hƯ vỊ c¸c u tè trong tam gi¸c, Quan hệ giữa đường vuông góc và đường
xiên.

- Quan hệ các cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác bng nhau .

II/. Một số bài toán

<i>Bi 1: Từ trung điểm D của cạnh BC của tam giác, người ta kẻ đường vng góc </i>
<i>với phân giác trong của góc A. Đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt </i>
<i>tại M Và N. Chứng minh rằng: a, BM=CN. b, Tính AM và BM theo AC=b và Ab=c. </i>

<i>Hướng dẫn giải </i>

a, Tõ B kẻ BE//AC cắt MN tại E

Khi ú DBE=DCN (g.c.g) =>BE=CN.

Dễ cm MBE cân tại B =>BM=CN(=BE)

A

I

B M H C

E

A

M

B C

A

B

D
N

M E

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh _{Trang 3}</i>

b, Ta cã AM=AB+BM vµ AN=AC- CN, mặt khác AM=AN
và BM=CN=>2AM=AB+AC

Hay AM = (AB+AC):2=> AM=(b+c):2.
NÕu AB<AC th× BM=AM-AB = (b+c):2- c
NÕu AB>AC th× BM=AB-AM = c - (b+c):2

<i><b>Bài 2: Gọi a,b,c lần lượt là 3 cạnh của tam giác có 3 đường cao tương ứng là h</b><b>_a</b><b>, </b></i>

<i><b>h</b><b>_b</b><b>, h</b><b>_c</b><b>. Chøng minh r»ng: </b></i> ₂ ₂ ₂

2
)
(

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i> <i>h</i> <i>h</i>
<i>h</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
+
+
+

+ <i><b>_{≥ 4}</b></i>

<i>Hướng dẫn giải: </i>

Vẽ tam giác ABC có các cạnh lần lượt là AB = c; AC = b; BC=a với các đường cao

tương ứng là ha, hb, hc.

KÏ Cx//BA

Gọi E là điểm đối xứng của A qua Cx
Theo Pitago ta có

AB2+ AE2 = BE2 ≤ (BC+CE)2

⇒ c2+4hc

2 _{≤ (a+b)}2

⇒ 4hc

2 _≤(a+b)2

- c2 (1)
Tương tự ta có:

4ha

2 _≤(c+b)2

- a2 (2)

4hb

2 _≤(a+c)2

- b2 (3)

Tõ (1), (2), (3) Ta cã: 4(ha

2

+ hb

2

+hc

2

)(a+b+c)2

Suy ra điều cần chứng minh.

2
2
2
2
)
(
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i> <i>h</i> <i>h</i>
<i>h</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
+
+
+

+ _{≥ 4}

Bài 3: Cho tam giác ABC, trên nữa mặt phẵng không chứa tia AC có bờ là đường thẳng AB ,
người ta vẽ AD vng góc với AB và AD=AB. trên nữa mặt phẵng khơng chứa tia AB có bờ là
đường thẳng AC , người ta vẽ AE vng góc với AC và AE=AC. Gọi P,Q,M theo thứ tự là trung
điểm của BD, CE, và BC. Chứng minh rằng:

a, BE=CD, BE vuông góc với CD.

b, PQM là tam giác vuông cân.

<i>Hng dn gii: </i>

a, DAC=BAE (c.g.c) nên DE=BE và AEB=ACD. Gọi giao

<i> điểm của BE víi CD vµ DC theo thø tù lµ I vµ N </i>

khi đó trong tam giác vngANE ta có ∠ANE+∠AEN=90O

Trong tam giác NIC thì INC+ICN= 90O Vậy NIC=90O

Hay DC vuông góc với BE.

b, Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có MP//DC
và MP=DC/2 , MQ//BE và MQ=BE/2. Từ các chứng minh trên ta có

MP=MQ và MP MQ vậy MQP vuông cân tại M.

Buổi 5-6: T a m g i ¸ c v í i b à i t o á n c ù c t r ị

<i><b>Bài 1: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng a. HÃy tìm trên a </b></i>

<i><b>một điểm M sao cho AM + MB là ngắn nhất. </b></i>

Giải: Nối A với B cắt a tại điểm M.

D

E

A

P Q

I
NN

M C
B

A

<i>M</i>, M a

B

H×nh 1

A

c D

b

B E

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh _{Trang 4}</i>

Dễ dàng chứng minh điểm đó thỏa mãn bài toán.
Thật vậy, trên a lấy một điểm M' khác điểm M

Ta thÊy r¾ng AM' +M'B ≥ AB =AM+MB

DÊu "=" x¶y ra khi M'≡M

<i><b>Bài 2: Bạn Tú đang ở vị trí A cần đến bờ sông để lấy nước rồi đi đến vị trí B </b></i>

<i><b>(Hình 2). Con đướng ngắn nhất mà bạn Tú nên ®i lµ </b></i>
<i><b>con ®­êng nµo? </b></i>

Hướng dẫn giải: (Hình 2)
* Lấy A' đối xứng với A qua a.

* Nối A'B cắt a tại M là điểm cần tìm

CM: Theo tớnh cht i xng trục ta có MA = MA'

=> AM + MB bÐ nhÊt khi AM' + MB bÐ nhÊt khi vµ chỉ khi A', M, B thẳng hàng.

<i><b>Bi 3: Trờn một nữa mắt phẳng bờ là đường thẳng a cho trước hai điểm A,B, trên a hẵy </b></i>

<i><b>tìm hai điểm M,N ( MN=d cho trước) sao cho AM + MN + NB bé nhất. </b></i>

Hướng dẫn giải:

Lấy A' đối xứng với A qua a, Nối A'B cắt a tại M
Trên A lấy MN=d (sao cho BN bé nhất) các điểm
MN là các điểm cần tìm.

<i><b>Bài 4: cho hai đường thẳng a, b song song với nhau và cách nhau một khoảng không </b></i>

<i><b>i d. Trên nữa mặt phẳng bờ a không chứa b lấy một điểm A. Trên nữa mặt phẳng bờ </b></i>
<i><b>b không chứa a lấy một điểm B Hãy tìm trên a điểm M, trên b điểm N sao cho </b></i>
<i><b>AM+MN+NB bé nhất. </b></i>

( Hướng dẫn - Lấy A' đối xứng với A qua a Nối A'B cắt b tại N từ N dựng NM vng góc

với a - M thuộc a- Các điểm M thuộc a, N thuộc b là các điểm cần tìm).

NÕu a,b kh«ng song song với nhau ta có bài toán 7 sau

<i><b>Bi 5: Cho góc xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox, Oy các </b></i>

<i><b>®iĨm M,N sao cho AM + MN + NA nhá nhất. </b></i>

Từ bài toán 5 ta có thể có ngay
cách giải của bài toán sau:

<i><b>Bµi 5': Cho tam giác nhọn ABC và </b></i>

<i><b>mt im I c nh trờn cnh BC tỡm trờn AB, AC </b></i>

<i><b>các điểm M, N sao cho chu vi tam giác IMN là nhỏ nhÊt. </b></i>

Và nếu không cố định điểm I trên cạnh BC ta có bài tốn khó sau:

<i><b>Bµi 6: Cho tam giác ABC nhọn tìm trên các cạnh AB, AC, BC các điểm M, N, I sao cho </b></i>

<i><b>Chu vị tam giác MNI là nhỏ nhất (M, N, I là chân 3 đường cao của tam giác ABC </b></i>
B

A

a
M N

A'

H×nh 5

B
A

M a

A'

H×nh 2

C x

M
O

A

N

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh _{Trang 5}</i>

Buổi 7,8: Ô n t Ë p t æ n g h ỵ p v Ị t a m g i ¸ c

<i><b>Bài 1 Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC, CB ly theo </b></i>

<i><b>thứ tự 2 điểm D và E sao cho BD=CE. </b></i>

<i><b>a, Chứng minh tam giác ADE là tam giac cân. </b></i>

<i><b>b, Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE </b></i>
<i><b>c, Từ B và C theo thứ tự kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. </b></i>
<i><b>Chøng minh: BH=CK </b></i>

<i><b>d, Chứng minh ba đường thẳng AM, BH và CK gặp nhau tại một điểm. </b></i>
<i>Hướng dẫn giải bài 1: </i>

a, ΔABC c©n ë A (gt) nên AB=AC và =
Suy ra = , BD = CE(gt).

ΔABD=ΔACE (c-g-c), do đó AD=AE
Vậy tam giác ADE cân ở A.

b, ΔAMD=ΔAME (c-c-c), suy ra: =
Vậy AM là tia phân giác của gốc DAE

c, ΔADE c©n ë A (theo c©u a) =

ΔBHD=ΔCKE (cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau) do đó BH=DK
d, Gọi giao điểm của BH,CK là O

Ta có ΔAHO=ΔAKO (cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau), do đó =

Nên AO là tia phân giác của góc DAE mặt khác theo câu b, thì AM là phân giác của góc

DAE . Vì thế AO trùng AM. Vậy AM, BH, CK đồng quy.

<i><b>Bµi 2: Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một </b></i>

<i><b>na mt phng bờ AB dựng các tam giác đều ADC, BEC. Gọi M,N lần lượt là trung </b></i>
<i><b>điểm của AE và BD. Chứng minh: </b></i>

<i><b>a, AE = BD, </b></i>

<i><b>b, Tam gáic MCN là tam giác đều. </b></i>
<i>Hướng dẫn giải bài 2: </i>

a, ∠ ACE = ∠ DCB = 1200

.

Δ ACE = Δ DCB (c-g-c), do ú: AE = BD

b, Vì AE=BD, M là trung ®iĨm cđa AE, N lµ trung
®iĨm cđa BD, Δ ACE = Δ DCB (theo a,)

do đó: ∠MEC=∠NBC.

ΔMEC=ΔNBC (c-g-c), suy ra CN=CM vµ

∠MCN = 600 suy ra Δ CMN là tam giác đều.

<i><b>Bài 3: Cho tam giác ABC . Các tia phân giác của các gốc B và C cắt nhau tại I. </b></i>

<i><b>Biết rằng: C=70</b><b>0 </b><b>, </b></i><i><b>BIC=120</b><b>0</b><b>. Tìm số đo c¸c gãc cđa tam gi¸c ABC. </b></i>

<i>Hướng dẫn giải bài 3: </i>

ACB
ABC

ABD ACE

_A

H K

D B
O

C E

MAD MAE

ADE AED

OAK OAE

E

D M

N

A C B

C

I

A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh _{Trang 6}</i>

Ta cã ∠ACI = ∠ICB = 35O_,

∠BIC = 120O

=> ∠IBC = 180O_-120O_-35O _{= 25}O

MỈt khác BI là phân giác góc B (I là giao điểm của
các phân giác trong của tam giác ABC)

=> ∠ B = 2∠IBC = 50O

=> ∠A = 180O_{- 70}O_{- 50}O _{= 60}O

<i><b>Bµi 4 Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH=12,6cm, BC=25,2cm </b></i>

<i><b>a, TÝnh (AB+AC)</b><b>2</b><b> vµ (AB-AC)</b><b>2</b></i>

<i><b>b, Tính BH, CH chính xác đến chữ số thập phân thứ nhất. </b></i>
<i>Hướng dẫn giải bài 4 </i>

<i>a, V× BC = 25,5 cm và AH =12,6 cm nên BC=2AH. Do tam giác ABC vuông ở </i>

A, có AH =

2
1

BC nên H là điểm giữa của BC Hay tam giác ABC là tam giác vuông

cõn. Do ú AB=AC=
2

<i>BC</i>

.

Chứng tỏ: (AB+AC)2=(2AB)2 = 4AB2 = 2 BC2

Tính trên máycho ta kết quả (AB+AC)2 = 1270,08.

Do tam giác ABC cân tại A nên (AB-AC)2 = 0

b, Cng do tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A nên BH=HC=HA=12,6cm
<i><b>Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại B, cạnh BC=18,6cm; hai trung tuyến BM, CN </b></i>

<i><b>vu«ng gãc víi nhau. TÝnh CN </b></i>

Hướng dẫn giải bài 5

KÝ hiÖu trọng tâm tam giác là G. Đặt BG=x, CG=y.

Khi Êy ta cã x2 + y2 = BC2 vµ y2 +

2

2⎟_⎠
⎞
⎜
⎝

<i>⎛ x</i> _=CM2

=AM2=BM2=

2

2
3

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
<i>⎛ x</i>

Từ phương trình cuối suy ra y2_=2x2_{thay vo phng trỡnh u}

ta được 2x2_+x2_=3x2_=BC2

Hay x2=

3
2

<i>BC</i>

suy ra y=

3
1
1
3

2
2

−
=

− <i>BC</i> <i>BC</i>

<i>BC</i> =15.18683641

Do đó CD = 22,78025461

2
3
2

3

≈

= <i>y</i>

<i>CG</i> Vậy CN 22,78025461 cm

<i><b>Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm M trong tam giác ta kẻ MI, </b></i>

<i><b>MJ, MK ln lt vuụng gúc với BC, CA, AB. Tìm vị trí của M sao cho tổng MI</b><b>2</b><b>+ MJ</b><b>2</b><b>+ </b></i>
<i><b>MK</b><b>2</b><b> nhỏ nhất. </b></i>

B

N

G

C

A
M

_A

B

H C

A

K J

M N

B I H C

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh _{Trang 7}</i>

Hướng dẫn giải: Kẻ AH ⊥BC, MN ⊥ AH (N thuộc AH)

Theo Pitago ta cã: AM2=MK2+MJ2

=> MK2+MJ2 ≥ AN2 ( AM>AN)

=> MK2+MJ2 +MI2 ≥ AN2+NH2

=> MK2+MJ2 +MI2 ≥

2
NH)

(AN 2

+

=> MK2_+MJ2 _+MI2_≥

2
(AH)2

DÊu "=" x·y ra khi M≡N Hay M thuéc ®­êng cao AH. Vậy Khi M thuộc đường cao AH

thì MK2+MJ2 +MI2 nhá nhÊt.

<i><b>Bài 7: Cho tam giác đều ABC, M là một điểm thuộc cạnh BC. Gọi D,E theo thứ </b></i>

<i><b>tự là hình chiếu của M lên AC, AB. Kẽ BH</b></i>⊥<i><b>AC t¹i H. MQ</b></i>⊥<i><b>BH t¹i Q. </b></i>
<i><b>a, TÝnh </b></i>∠<i><b>DME. </b></i>

<i><b>b, Chøng minh r»ng: BD=MQ. </b></i>

<i><b>c, Gäi I, N, K theo thứ tự là hình chiếu của D, H, E lên BC. chøng minh r»ng: </b></i>
<i><b>BI=KN. </b></i>

<i><b>d, Chứng minh rằng: Khi M di chuyển trên cạnh BC thì IK có độ dài không đổi. </b></i>

Hướng dẫn giải:

a, ∠DME = 90O + 30O = 120O

b, ΔMQB = ΔBDM (C¹nh hun - gãc nhän)
⇒MQ=BD.

c, EJ⊥KH

ΔHEJ=ΔDIB (C¹nh hun - gãc nhọn)

EJ = IB. Mặt khác EJ=NK (tính chất đoạn chắn)
IB=NK.

d, B c nh suy ra H cố định suy ra N cố định ⇒ BN cố định.

BN = IK suy ra IK có độ dài không đổi.

Bài 9: Cho Tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC , G là điểm
thuộc cạnh AB sao cho AG=1/3AB, E là chân đường vng góc hạ từ M xuống CG. Các
đường thẳng MG và AC cắt nhau tại D. So sánh độ dài DE và BC.

Hướng dẫn giải:

A

H

E J
D

C K N M I B

</div>

<!--links-->