ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI 11-CB HAY

Gv: Lê Tấn Phước

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI NĂM HỌC 2010 2011
MÔN: ĐẠI SỐ KHỐI 11 CƠ BẢN
PHẦN A :PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A.CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau :
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ
−
,…)
2. Cung bù nhau :
và -
α π α
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)
3. Cung phụ nhau :

và
2
π
α α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6
ππ
,…)
4. Cung hơn kém
2
π
:
và
2
π
α α
+
(Vd:
3
2
&
6
ππ
,…)

5. Cung hơn kém
π
:
và
α π α
+
(Vd:
6
7
&
6
ππ
,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :

3. Cung phụ nhau :

LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 1
Cos đối
Sin bù
Phụ chéo
αα
αα
αα
αα
cot)cot(
tan)tan(
sin)sin(
cos)cos(

−=−
−=−
−=−
=−
ααπ
ααπ
ααπ
ααπ
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
−=−
−=−
−=−
=−
αα
π
αα
π
αα
π
αα
π
tan)
2
cot(
cot)
2
tan(

sin)
2
cos(
cos)
2
sin(
=−
=−
=−
=−
Gv: Lê Tấn Phước
4.Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt :
Góc
α
0
(0
0
)
( )
0
30
6
π
( )
0
45
4
π
( )
0

60
3
π
( )
0
90
2
π
( )
0
2
120
3
π
( )
0
3
135
4
π
( )
0
5
150
6
π
( )
0
180
π

Sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
Cos
α
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−

2
2
−
3
2
−
-1
Tan
α
0
1
3
1
3 3−
-1
1
3
−
0
Cot
α
3
1
1
3
0
1
3
−
-1

3−

II. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản
2. Công thức cộng :



3. Công thức nhân đôi:

4. Công thức hạ bậc:


5. Công thức biến đổi tích thành tổng :


6. Công thức biến đổi tổng thành tích :
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 2
α
α
α
ααα
2
2
2
222
sin
1
cot1;

cos
1
tan1;1cossin
=+=+=+
ba
ba
ba
ba
ba
ba
babababababa
babababababa
tan.tan1
tantan
)tan(;
tan.tan1
tantan
)tan(
;sincoscossin)sin(;sincoscossin)sin(
sinsincoscos)cos(;sinsincoscos)cos(
+
−
=−
−
+
=+
−=−+=+
+=−−=+
a
a

aaaa
aaaaa
2
2222
tan1
tan2
2tan;cos.sin22sin
sin211cos2sincos2cos
−
==
−=−=−=
a
a
a
a
a
a
a
2cos1
2cos1
tan;
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
+
−

=
−
=
+
=
[ ]
[ ]
[ ]
)sin()sin(
2
1
cossin
)cos()cos(
2
1
sinsin
;)cos()cos(
2
1
coscos
bababa
bababa
bababa
++−=
+−−=
++−=
1cot.tan;
sin
cos
cot;

cos
sin
tan
===
αα
α
α
α
α
α
α
Gv: Lê Tấn Phước

7. Các công thức thường dùng khác
π π π π
α α α α α α α α
+ = − = + − = + = − −cos sin 2 cos( ) 2 sin( ); cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4 4 4

B.PHU ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. CƠNG THỨC NGHIỆM CẦN NHỚ
Cơng thức nghiệm Các trường hợp đặc biệt
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk
∈
)

sin 1 x = 2
2

sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π π
π
π
π
= − ⇔ − +
⇔
= ⇔ +
= − ⇔ +
⇔
= ⇔
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) y = 2 + 3sinx 2)
3 2 siny x= −

3)
cos cos
3
y x x
π
 
= + −
 ÷
 
4)
2
cos 2cos2y x x= + 5)
2 siny x= −
6)
2cos 1y x= +
7) y = 3 – 4sin
2
2xcos
2
2x 8) y = 3 – 2cos
2
x – 2sin
2
x 9) y =
3
sin45
2
x
−
10) y =

xx 2sin2cos25
22
−
DẠNG 1 : GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SAU
Bài 1:
1)
=
1
sin2
2
x
2)
2
cos( )
4 2
x
π
− = −
3) sin2x = -
2
3
4) sin(2x-30
o
) =
2
2
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 3
vu
vu

vu
vu
vu
vu
vuvu
vu
vuvu
vu
vuvu
vu
vuvu
vu
coscos
)sin(
tantan;
coscos
)sin(
tantan
2
sin.
2
cos2sinsin;
2
cos.
2
sin2sinsin
2
sin.
2
sin2coscos;

2
cos.
2
cos2coscos
−
=−
+
=+
−+
=−
−+
=+
−+
−=−
−+
=+
);(2cotcot
)
2
;(2tantan
2
2
coscos
2
2
sinsin
ππ
π
π
π

π
π
ππ
π
kvukvuvu
kvukvuvu
kvu
kvu
vu
kvu
kvu
vu
≠+=⇔=
+≠+=⇔=



+−=
+=
⇔=



+−=
+=
⇔=
Gv: Lê Tấn Phước
5) cos(2x +
3
π

) = -
2
1
6)
032)
6
2sin(4
=+−
π
x
7)
03)
3
cos(32
=−+
π
x

Bài 2:
1) 2sin(3x)-
03
=
2)
5
7 tan 2 21 0
6
x
π
 
− − =

 ÷
 
3) cos2x - sin3x =0
4) tan3x.tan2x=-1 5) sin2x+ sin6x = 0 6) cot5x.cot4x = 1.
7) cos3x + cos5x = 0 8) sin7x - sin5x = 0 9)
0cos32sin
=−
xx
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A.L Ý THUYẾT CẦN NHỚ
Dạng phương trình Phương pháp giải

+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
tan tan 0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c

( )

, , ; 0a b c R a∈ ≠
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t =
cotx)
Ta được phương trình :
2
0at bt c+ + =
(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Nếu
sin , cost x t x= =
thì điều kiện
1 1t
− ≤ ≤
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1)
01sin3sin2
2
=++
xx
2) cos
2
2x – 3cos2x + 2 = 0 3) cos
2
x+cosx-2=0
4) 6cos
2
x + 7sinx – 7 = 0 5) 4sin
2
2x+8cos

2
x-8=0 6)
2 2
5 4sin 8cos 4
2
x
x− − = −
7)
2
2sin (2 3)sin 3 0x x− + + =
8) 6-4cos
2
x-9sinx=0 9)
2
4sin 2( 3 1)sin 3 0x x− + + =

10) sin
2
3x-2sin3x-3=0 11) 2cos2x+cosx-1= 0 12) sin
2
x-2cos
2
x+cos2x=0
13) sin
2
x+cos2x+cosx=0 14)
2
3tan 4 3 tan 3 0x x− + =
15)
02cos2cos2

2
=−+
xx
16)
01sincos
2
=++
xx

17)
01cos2sin2cos
2
=+−+
xxx
18)
012sin4cos2
=+−
xx
19)
2
3 cot 4cot 3 0x x− + =
20)
2
3
4 tan 2 0
cos
x
x
− − =
21)

2
cos 2 sin 2cos 1 0x x x+ + + =

22)
2 2
cos (3 ) cos (3 ) 3cos( 3 ) 2 0
2 2
x x x
π π
+ − − − + =
23)
2
3
3cot 3
sin
x
x
= +

Bài 2: Giải các phương trình sau
a)
2cos cos2 1 cos2 cos3x x x x= + +
b)
4 4
1
sin cos sin2
2
x x x+ = −

c)

0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+
xxx
π
d)
4 4
sin cos 1 2sin
2 2
x x
x+ = −

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Dạng phương trình Phương pháp giải
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 4
Gv: Lê Tấn Phước
+ = ≠sin os (1) ( a;b 0)a x bc x c
Chú ý:
-Phương trình có nghiệm
2 2 2
a b c⇔ + ≥
-Trong trường hợp phương trình cho dưới
dạng:
+ =os sin (1) ac x b x c
,
-Ngồi ra ta còn có thể đặt.

2 2 2 2
b
cos và sin
a
a
a b b
α α
= =
+ +
với
cách đặt như trên, phương trình được đưa về
dạng
α α
α
⇔
+
⇔
+
2 2
2 2
c
(2) sinx.cos + cos .sin =
a
c
sin(x+ ) = (3)
a
x
b
b
Vậy tùy theo dạng của phương trình, khi

áp dụng cơng thức cộng ta sẽ đưa về các
phương trình cơ bản khác nhau.
Chia hai vế của phương trình cho
2 2
a b+
thì pt
⇔ + =
+ + +
2 2 2 2 2 2
(1) sin os
a b c
x c x
a b a b a b
(2)
Đặt
α α
= =
+ +
2 2 2 2
b
sin và os
a
a
c
a b b
với
[
)
0;2
α π

∈
thì: (2)
α α
α
⇔
+
⇔
+
2 2
2 2
c
cosx.cos + sin .sin =
a
c
cos(x- ) = (3)
a
x
b
b

Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1/ 2 sin cos 2 2/ cos 3sin 2
3/sin 7 3 cos7 2 4 / 3 cos sin 2
5/ 5cos 2 12sin 2 13 6/ 2sin 5cos 4
7 / 3sin 5cos 4 2
x x x x
x x x x
x x x x

x x
− = + =
+ = + =
− = − =
+ =
8)
3
sin2x + 2cos
2
x =3 9) 3sinx + 4cosx = 5
10)
3
cosx – sinx =
2
11) cos3x – sin3x = 1
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 2
2
(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
2) 3sin 2 4cos(3 2 ) 5x x
π
+ + =
3) cos7 cos5 3 sin 2 1 sin 7 sin5x x x x x− = −

( ) ( )
4) 1 3 sin 1 3 cos 1x x+ + − =
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình Phương pháp giải
+ + = ≠
2 2

sin sin .cos cos (4) (a;c 0)a x b x x c x d
Chú ý
- Nếu a = d thì
2
x k
π
π
= +
là nghiệm của phuơng
trình (4),ngược lại nó khơng là nghiệm.
- Ngồi cách giải đưa về phương trình bậc 2 theo
tanx, ta còn có thể dùng các cơng thức
-Hạ bậc:
2
1 os2
sin
2
c x
x
−
=
,
2
1 os2
os
2
c x
c x
+
=

-Nhân đơi:
1
sin .cos sin 2
2
x x x=
Th1: Xét
cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
thay vào
phương trình, nếu thõa mãn thì
2
x k
π
π
= +
là
nghiệm của phương trình ngược lại khơng là
nghiệm của phương trình.
Th 2: Xét
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
, chia 2 vế của

phương trình cho
2
cos x
ta được

2
2
a tan tan
cos
d
x b x c
x
+ + =
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 5
Gv: Lê Tấn Phước
Đưa phương trình (4) về dạng (3) : phương trình bậc
1 theo sin2x và cos2x.
2
2
1
1 tan
os
x
c x
 
= +
 ÷
 
( )

( ) ( )
2 2
2
a tan tan 1 tan
tan tan 0 *
x b x c d x
a d x b x c d
⇔ + + = +
⇔ − + + − =
(*) là phương trình bậc 2 theo tanx đã biết cách
giải
KL: Hợp nghiệm của 2 trường hợp.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giái các phương trình sau
1) sin
2
x – 2sinxcosx – 3cos
2
x = 0 2) 3sin
2
x – sin2x – cos
2
x = 0
3) 6sin
2
x – sinxcosx – cos
2
x = 3 4) sin2x – 2sin
2
x = 2cos2x

5) cos
2
x – 3sinxcosx + 1 = 0 6) cos
2
x – sin
2
x –
3
sin2x = 1
7)sin2x – 2sin
2
x = 2cos2x 8) 2sin
2
2x –
2
3
sin4x – cos
2
2x = 2
Bài 2: Giải các phương trình sau
1)
2 2
5sin 2 3sin 2 cos2 2cos 2 0x x x x− − =
, 2)
2 2
5sin 10sin cos 4cos 0x x x x− + =

3)
2 2
2sin 3 5sin 3 cos3 cos 3 2x x x x− − = −

, 4)
2 2
3sin 3 cos (3 3)sin cos 0x x x x− − − =
,
5)
2 2
cos sin 3sin 2 1x x x− − =
6)
4 4
sin cos 3sin cos 0x x x x− − =
.
GIẢI TÍCH TỔ HỢP
QUY TẮC ĐẾM
Dạng 1: Bài tốn về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt cơng việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B
để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm cơng đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
1. Từ thành phố HCM đi Cần Thơ có hai công ty xe khách A và B. A có 5 xe khác nhau, B có 6
xe khác nhau. Anh Giao đi bằng xe công ty này và về bằng xe của công ty kia. Hỏi có mấy cách
để Anh Giao đi như vậy ? ĐS: 60
2. Cô Huỳnh Nhi có 5 bộ đồ, 4 đôi giầy, 3 cái bóp và 2 cái mũ, tất cả đều khác kiểu. Hỏi cô ấy
có mấy cách chọn lựa để đi ra phố ? ĐS: 120
3. Chữ QUESTION có 8 ký tự, lấy ra 4 ký tự khác nhau để lập thành một từ không cần nghóa.
Hỏi có bao nhiêu từ bắt đầu bằng ký tự Q và chứa ký tự E ? ĐS: 90
4. Xem từ “THỐNG KÊ” gồm 7 ký tự, lấy ra 4 ký tự để lập thành một từ không cần nghóa. Hỏi:
a.Có bao nhiêu từ được tạo thành. ĐS: 840
b.Có bao nhiêu từ:
 chỉ chứa phụ âm. ĐS: 120
 ký tự đầu và cuối là phụ âm. ĐS: 400
 bắt đầu bằng một nguyên âm. ĐS: 240
5. Có bao nhiêu cách xếp hai người Kim Thành và Hải Yến ngồi cạnh nhau vào 5 cái ghế theo

hàng ngang ? ĐS: 8
6. Có 4 con đường nối trường với nhà, 3 con đường nối trường với chợ. Bạn Thùy muốn đi từ nhà
đến trường rồi đến chợ, xong trở về trường rồi về nhà. Có bao nhiêu lối đi và về nếu bạn này
muốn lượt đi và lượt về theo các đường khác nhau ? ĐS: 72
7. Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Lấy ra 3 chữ số khác nhau để lập thành một số M.
a.Hỏi có bao nhiêu số có thể tạo được ? ĐS: 120
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 6
Gv: Lê Tấn Phước
b.Hỏi có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ? ĐS: 40
c.Hỏi có bao nhiêu số chẵn ? ĐS: 40
8. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hãy tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau trong đó phải có
chữ số 2? ĐS: 750
9. Từ các số 0, 1, 2, 4, 5, 6. Hãy tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau ? ĐS: 300
10.Tìm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau ? ĐS: 136080
HOÁN VỊ
Dạng 2: Thực hiện phép hốn vị
Phương pháp giải:
• Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: P
n
= n! = 1.2.3…n
Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
1. Trong phòng học có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học
sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chổ ngồi trong các trường hợp sau:
a.Tất cả học sinh ngồi tùy ý? ĐS: 10!
b. Tất cả học sinh nam ngồi vào cùng một bàn, nữ ngồi một bàn ? ĐS: 28800
2. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách môn Toán, 4 cuốn
sách môn Văn và 6 cuốn Sách môn Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các cuốn sách
lên một kệ sách dài, nếu mọi cuốn sách cùng môn được xếp gần nhau ? ĐS: 207360
3. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các

số đó
a.Có bao nhiêu số lẻ ? ĐS: 72
b.Có bao nhiêu số chẳn ? ĐS: 48
4. Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Hỏi có bao nhiêu
số:
a. Có thể tạo được ? ĐS: 24
b.Bắt đầu bằng chữ số 3 ? ĐS: 6
c.Không bắt đầu bằng chữ số 4 ? ĐS: 18
5. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4. Hãy tìm tất cả các số lẻ có 5 chữ số khác nhau ? ĐS: 36
6. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài ?
a.Bạn C ngồi ở giữa ? ĐS: 24
b.Hai bạn A và E ngồi ở đầu ghế ? ĐS: 12
7. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong
các số đó có bao nhiêu số:
a.Bắt đầu bằng chữ số 5 ? ĐS: 24
b.Không bát đầu bằng chữ số 1 ? ĐS: 96
c.Bắt đầu bởi 23 ? ĐS: 6
d.Không bắt đầu bởi 345 ĐS: 118
8. Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp ngồi vào 6 chổ đã ghi số thứ tự trên một bàn dài.
a.Số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn ? ĐS: 6!
b.Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này sao cho học sinh A và B không ngồi cạnh nhau ? (HD:
coi cách sắp xếp AB hay BA là 1 chọn lựa, để giải quyết đề bài ta coi như đây là hoán vò 5 phần
tử) ĐS: 6! – 2.5!
CHỈNH HP
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 7
Gv: Lê Tấn Phước
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
( ) ( )

( )
k
n
n!
A n. n 1 ... n k 1
n k !
= − − + =
−
1. Với các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau ? ĐS: 120
2. Cuộc đua ngựa có 10 con ngựa tham dự. Hỏi có bao nhiêu cặp nhất nhì ? ĐS:
2
10
A
3. Cuộc đua ngựa có 10 con ngựa tham dự, nhưng có 2 con ngựa bỏ cuộc ngay từ đầu. Hỏi có bao
nhiêu cặp nhất nhì xảy ra trong cuộc đua đó ? ĐS: 56
4. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số tạo thành từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể tạo ra bao nhiêu số
gồm 4 chữ số khác nhau. Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5 ? ĐS: 360 / 60
5. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số sao cho:
a.Các chữ số đều khác nhau ? ĐS: 60
b.Các chữ số không cần thiết khác nhau ? ĐS: 125
6. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 ? ĐS: 3024
7. Với 5 nghệ só có 2 nam và 3 nữ, tham gia một buổi biểu diễn, với mỗi người là một tiết mục.
Hỏi:
a.Có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình ? ĐS: 120
b.Có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình mà tiết mục đầu và cuối đều do nữ nghệ só biểu
diễn ? ĐS: 36
8. Cho tập hợp S =
{ }
2,3,4,5,6,8
. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên A gồm 3 chữ số khác nhau lấy từ

S, sao cho:
a.Không có điều kiện gì thêm ? ĐS: 120
b.A là một số chẵn ? ĐS: 80
9. Xét chữ số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao
nhiêu số như thế nếu các chữ số được sắp xếp tùy ý ? (HD: coi cách sắp xếp số gồm 9 chữ số là 1
chỉnh hợp 9 chập 4) ĐS:
4
9
A
10.Phải bầu 1 lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ trong một lớp gồm 30 học sinh. Hỏi có bao
nhiêu cách bầu ? ĐS: 24360
TỔ HP
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt khơng có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
( )
( )
k
n
n!
C 0 k n
k! n k !
= ≤ ≤
−
1. Một lớp học có 40 học sinh với 20 nam và 20 nữ. GVCN muốn chia lớp thành 4 tổ: 1, 2, 3, 4.
Mỗi tổ có 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ ? ĐS:
( )
2
5 5 5 5
20 15 10 5
C C C C

2. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. GVCN muốn chọn 4 em vào ban trật tự.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn như thế, nếu:
a.Số nam hoặc nữ tùy ý ? ĐS: 91390
b.Phải có 1 nam và 3 nữ ? ĐS: 12650
c.Phải có 2 nam và 2 nữ ? ĐS: 31500
d.Phải có ít nhất 1 nam ? ĐS: 90025
3. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 bi vàng. Người ta lấy 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn trong số viên bi lấy ra không có đủ cả 3 màu ? ĐS: 1665 – 720
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 8
Gv: Lê Tấn Phước
4. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở điểm A, 2
người điểm B, 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ? ĐS: 1260
5. Giả sử X là một tập hợp gồm 6 điểm của mặt phẳng. Trong đó không có điểm nào thẳng
hàng:
a.Hỏi có bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc X ? ĐS:15
b.Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh thuộc X ? ĐS: 20
6. Một tổ gồm 8 nam 2 nữ. Cần lấy nhóm 5 người trong đó có 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ? ĐS: 840
7. Một bộ đề thi gồm 15 câu hỏi. Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu. Hỏi có bao nhiêu khả năng có
thể xảy ra ? ĐS: 1365
8. Một người muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bó hoa cắm vào một bình bông. Bó hoa thứ nhất có 10
bông hồng, bó hoa thứ hai có 6 bông thược dược, có hoa thứ ba có 4 bông cúc:
a.Hỏi người ấy có thể chọn bao nhiêu bông hoa tùy ý ? ĐS: 38760
b.Nếu người ấy muốn chọn đúng 2 bông hồng, 2 thược dược và 2 cúc thì có bao nhiêu cách chọn
? ĐS: 4050
9. Một người muốn chọn 7 bông hoa từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng
đỏ(các bông hoa đôi một khác nhau) để làm một bó hoa:
a.Hỏi người ấy có thể chọn một bó hoa chỉ có đúng 1 bông hồng đỏ ? ĐS: 1848
b.Hỏi người ấy có thể chọn một bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông

hồng đỏ? ĐS: 150
10.Có bao nhiêu cách chia 3 thầy giáo dạy Toán vào dạy 6 lớp 12. Mỗi Thầy đứng dạy 2 lớp ?
ĐS:
2 2 2
6 4 2
C C C
XÁC SUẤT
1. Biến cố
•
Không gian mẫu
Ω
: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
•
Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A
⊂

Ω
.
•
Biến cố không:
∅ •
Biến cố chắc chắn:
Ω
•
Biến cố đối của A:
\A A=
Ω
•
Hợp hai biến cố: A
∪

B
•
Giao hai biến cố: A
∩
B (hoặc A.B)
•
Hai biến cố xung khắc: A
∩
B =
∅
•
Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố
kia.
2. Xác suất
•
Xác suất của biến cố: P(A) =
( )
( )
n A
n
Ω
•
0
≤
P(A)
≤
1; P(
Ω
) = 1; P(
∅

) = 0
•
Qui tắc cộng: Nếu A
∩
B =
∅
thì P(A
∪
B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì: P(A
∪
B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
•
P(
A
) = 1 – P(A)
•
Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)
1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc hai lần trên mặt phẳng và quan sát số chấm trên mặt ngửa:
a.Mô tả không gian mẫu ĐS: 36
b.Mô tả biến cố: tổng số chấm trên 2 mặt ngửa trong 2 lần gieo bằng 4.ĐS: 3
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 9
Gv: Lê Tấn Phước
c.Mô tả biến cố: tổng số chấm trên 2 mặt ngửa của 2 lần gieo bằng 2 ĐS: 1
2. Trong bình có 6 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 4 viên bi trắng, và 2 viên bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi:
a.Mô tả không gian mẫu ĐS: 20
b.Mô tả biến cố: có 2 viên bi trắng. ĐS: 12
c.Mô tả biến cố: có nhiều nhất 2 viên bi trắng. ĐS: 16

3. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền 3 lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp ngửa:
a.Mô tả không gian mẫu ĐS: 8
b.Mô tả biến cố: lần đầu xuất hiện mặt sấp. ĐS: 4
c.Mô tả biến cố: có đúng 3 lần xuất hiện mặt ngửa. ĐS: 1
d.Mô tả biến cố: có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp. ĐS: 3
e.Mô tả biến cố: có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa. ĐS: 7
(Hd: gieo n lần thì
n
N( ) 2=W
)
4. Xếp ngẫu nhiên 4 học sinh A, B, C, D vào bàn 4 chổ:
a.Mô tả không gian mẫu ĐS: 24
b.Mô tả biến cố: A, B ngồi cạnh nhau. ĐS: 12
c.Mô tả biến cố: A, B ngồi đầu bàn. ĐS: 4
5. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc 2 lần trên mặt phẳng. Tính xác suất sao cho:
a.Hai lần xuất hiện đều mặt lẻ. ĐS: 0,25
b.Tổng số chấm trên 2 mặt ngửa trong 2 lần gieo bằng 10. ĐS:
1
12
c.Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt 1 chấm. ĐS:
1
6
6. Trong bình có 6 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 4 viên bi trắng, và 2 viên bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất sao cho trong 3 viên bi có:
a.Có 2 viên bi trắng. ĐS: 0,6
b.Có nhiều nhất 2 viên bi trắng. ĐS: 0,8
7. Ba xạ thủ cùng bắn vào một bia, mỗi người một viên đạn. Tính xác suất các biến cố:
a.Có ít nhất một viên trúng bia ĐS: 0,875
b.Có đúng một viên trúng bia. ĐS: 0,375
c.Có 2 viên trúng bia trong đó 1 viên của xạ thủ thứ nhất. ĐS: 0,25

d.Cả 3 viên không trúng bia. ĐS: 0,125
e.Cả 3 viên đều trúng bia. ĐS: 0,125
8. Xếp ngẫu nhiên 10 người vào ghế dài có 10 chổ trong đó có A và B. Tính xác suất sao cho:
a.A , B ngồi đầu bàn. ĐS:
1
45
b.A, B ngồi cạnh nhau. ĐS: 0,2
c.A, B không ngồi cạnh nhau. ĐS: 0,8
9. Ghi các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lên 9 tấm phiếu như nhau, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên
thành một hàng ngang. Tính xác suất để được một số chẵn. ĐS:
4
9
10. Gieo đồng thời 2 con súc sắc. Tính xác suất để:
a.Tổng số chấm xuất hiện là 8 ĐS:
5
P
36
=
b.Tổng số chấm xuất hiện là chẵn. ĐS:
4
P
9
=
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 10
Gv: Lê Tấn Phước
11. Gieo đồng thời 3 con súc sắc. Tính xác suất để:
a.Tổng số chấm xuất hiện là 8 ĐS:
7
P

32
=
b.Tổng số chấm xuất hiện là 10 ĐS:
1
P
9
=
12. Cho một bát giác đều, chọn ngẫu nhiên một đường chéo của đa giác. Tính xác suất để đường
chéo có độ dài nhỏ nhất ĐS:
2
P
7
=
13. Công ty Tin Học cần tuyển 2 nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó 4 nam và 2 nữ. Giả sử
khả năng các ứng viên là như nhau. Tính xác suất để:
a.Người trúng tuyển là nam ĐS:
2
P
5
=
b.Người trúng tuyển là nữ ĐS:
1
P
15
=
c.Người trúng tuyển có ít nhất 2 nữ ĐS:
1
P
5
=

a.Gọi M là số tự nhiên có hai chữ số khác nhau và được lập thành từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy
ngẫu nhiên 2 phần tử của M. Tính xác suất để 1 trong 2 phần tử chia hết cho 6
14. Trong 100 tấm vé số có 1 vé trúng 10 triệu đồng, 5 vé trúng 5 triệu đồng và 10 vé trúng 3
triệu đồng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất các biến cố sau:
a.Người đó trúng 3 triệu đồng. ĐS:
83
P
385
=
b.Người đó trúng ít nhất 3 triệu. ĐS:
2372
P
5775
=
15. Có ba cửa hàng xe Honda ủy nhiệm. Có 3 người khách A, B, C chọn ngẫu nhiên một cửa
hàng để mua xe. Tính xác suất các biến cố sau:
a.Ba người khách vào cùng một cửa hàng ĐS:
1
P
9
=
b.Hai người khách vào cùng 1 cửa hàng, người còn lại vào cửa hàng kia. ĐS:
2
P
3
=
17. Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em. Trong đó có 7 học sinh khối 12. 6 học sinh khối
11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho:
a) Khối 12 và 11 có 3 em, khối 10 có 2 em.
b) Mỗi khối có ít nhất 1 em.

18. Một bình đựng 3 bi xanh và 2 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên lần 1 một viên bi (khơng bỏ vào lại), rồi
lần 2 một viên bi. Tính xác suất để lần 1 lấy một viên bi xanh, lần 2 lấy một viên bi trắng.
19: Từ một họp chứa 3 bi trắng và 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai bi.
a) Xác định khơng gian mẫu.
b) tính xác suất các biến cố sau
A:”Hai bi cùng màu trắng”;
B:”Hai bi cùng màu đỏ”;
C:”Hai bi cùng màu”;
D:”Hai bi khác màu”.
20: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một
viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh.
ĐS:
5
8
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 11
Gv: Lê Tấn Phước
CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN
CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ
hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công
sai.
Gọi d là công sai, theo đònh nghóa ta có: u
n+1
= u
n
+ d (n = 1, 2, ...).
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát u

n
của một cấp số cộng có số hạng đầu u
1
và công sai d được cho
bởi công thức: u
n
= u
1
+ (n - 1)d
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Đònh lí: Để tính S
n
tacó hai công thức sau:
• S
n
tính theo u
1
và d
[ ]
dnu
n
S
n
)1(2
2
1
−+=
• S
n
tính theo u

1
và u
n

)(
2
1 nn
uu
n
S
+=
CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng
thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi
là công bội.
Gọi q là công bội, theo đònh nghóa ta có
u
n+1
=u
n
.q (n = 1, 2, ...).

2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
u
n
= u
1
1

−
n
q
(q
0
≠
)
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
Cho một cấp số nhân với công bội q
≠
1
u
1
, u
2
, ...,u
n
, ...
Đònh lí: Ta có:
1
1
1
−
−
=
q
q
uS
n
n

(q
≠
1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
- Nếu
, ,a b c
lập thành một cấp số nhân thì
2
ac b=
Dạng toán 1: Xác đònh cấp số
n
u
Phương pháp: Xác đònh
1
u
và d nếu
n
u
là cấp số cộng
Xác đònh
1
u
và q nếu
n
u
là cấp số nhân.
Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:

,...8,5,2/
÷

a
tìm u
15
.

,...32,4,32/
−+÷
b
tìmu
20
.
ĐS:
31840/
44/
20
15
−=
=
ub
ua
Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
LƯU HÀNH NỘI BỘ ! CHÚC CÁC EM THI TỐT
Trang 12