Dạng toán công việc làm đồng thời

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>I</b>

<b>I. Kiến thức cần nhớ:</b>

1. Để làm xong 1 cơng việc nào đó thì có thể người này cần ít thời gian hơn người kia. Nếu cả 2 người
cùng làm thì sẽ hồn thành cơng việc trong bao lâu? Đó chính là 1 bài tốn về công việc đồng thời

2. Để giải các dạng bài này, ta thường sử dụng phương pháp đơn vị quy ước: Coi tồn bộ cơng việc là đơn
vị, sau đó suy ra trong 1 đơn vị thời gian mỗi người nếu làm riêng thì làm được mấy phần cong việc, nếu
làm chung thì được mấy phần cơng việc, từ đó suy ra thời gian 2 hay nhiều người phải làm để hồn thành
cả cơng việc. Cần chú ý quy đổi đơn vị thời gian thích hợp cho việc tính tốn. Phương pháp này cịn gọi là
phương pháp đơn vị quy ước

3. Cần nhớ rằng trong cùng 1 đơn vị thời gian làm việc thì khối lượng cơng việc tỉ lệ với năng suất của
mỗi người ( Tính chất tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch )

4. Bài toán cơng việc cịn được phát biểu dưới dạng thường gặp là vòi nước chảy.

<b>II. Các dạng bài tập</b>

<b>Dạng 1: Giải tốn khi biết thời gian hồn thành cơng việc của mỗi người</b>

<b>Cách làm chung: Giả sử A làm xong công việc trong a giờ ( ngày, tuần …) và B làm xong công việc </b>
trong b giờ ( ngày, tuần …), ta thường đưa về những bước làm như sau:

<b>Bước 1: Người A làm cả công việc trong a giờ ( ngày, tuần …)  trong 1 giờ, A làm được </b>1

<i>a</i> công việc

<b>Bước 2: Người B làm cả công việc trong b giờ ( ngày, tuần …)  trong 1 giờ, B làm được </b>1

<i>b</i> công việc

<b>Bước 3: Trong 1 giờ cả 2 người làm được: </b>1
<i>a</i>+

1

<i>b</i> ( công việc )

<b>Bước 4: Thời gian để cả 2 người cùng làm xong công việc là: 1 : (</b>1
<i>a</i>+

1

<i>b</i>) ( giờ )

<b>Chú ý: Bước tính cuối cùng có thể thay đổi tùy theo câu hỏi của đề bài !</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 1. Hai anh em cùng làm việc nhà. Nếu một mình anh làm thì sau 4 giờ sẽ xong việc, cịn nếu em làm một </b>
mình thì sau 6 giờ sẽ xong việc đó. Hỏi cả 2 người cùng làm thì sau mấy giờ sẽ xong việc đó?

<b>Giải:</b>

1 giờ anh làm được số phần công việc là : 1 : 4 = 1

4( công việc )

1 giờ em làm được số phần công việc là: 1: 6 = 1

6 ( công việc )

1 giờ cả 2 anh em làm được số phần công việc là: 1
4+

1
6=

5

12 ( cơng việc )

Cả 2 người cùng làm thì sau số giờ sẽ xong công việc là: 1: 5
12=

12

5 ( giờ ) = 2 giờ 24 phút

<b>Chú ý: Ta có thể giải theo phương pháp quy về “Số phần chia hết” như sau</b>

Nhận thấy anh làm 4 giờ thì xong việc, cịn em mất 6 giờ. Vậy ta sẽ coi cả công việc là một số phần nào đó,
sao cho số phần đó chia hết cho cả 4 và 6 ( để thuận lợi trong việc tính số phần cơng việc trong 1 giờ )

Coi cả cơng việc là 12 phần bằng nhau. Khi đó:

1 giờ anh làm được số phần công việc là: 12: 4 = 3 ( phần )

1 giờ em làm được số phần công việc là: 12 : 6 = 2 ( phần )

1 giờ cả 2 anh em làm được số phần công việc là: 3 + 2 = 5 ( phần )

Thời gian cả 2 người cùng làm sẽ xong công việc là: 12 : 5 = 12

5 ( giờ )

<b>Dạng 2: Giải toán khi biết thời gian hồn thành cơng việc của 1 người và của cả 2 người</b>

<b>Cách làm chung: Giả sử A làm một mình xong cơng việc trong a giờ ( ngày, tuần …) , cả A và B làm </b>
xong công việc trong b giờ ( ngày, tuần …). Cần tính thời gian B làm một mình xong công việc, ta thường
đưa về những bước làm như sau:

<b>Bước 1: Người A làm cả công việc trong a giờ ( ngày, tuần …)  trong 1 giờ, A làm được </b>1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bước 2: Cả A và B làm xong công việc trong b giờ ( ngày, tuần …)  trong 1 giờ, A và B làm được </b>1
<i>b</i>
công việc

<b>Bước 3: Trong 1 giờ B làm được số phần công việc là ( Lấy tổng số phần trong 1 giờ của 2 người trừ đi </b>

số phần trong 1 giờ của người A) : 1
<i>b</i>-

1

<i>a</i> ( công việc )

<b>Bước 4: Thời gian để người B làm một mình xong cơng việc là: 1 : (</b>1
<i>b</i>-

1

<i>a</i>) ( giờ )

<b>Bài 2. Hai người cùng làm một công việc sau 2 giờ 24 phút sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm 1 mình xong </b>
cơng việc đó thì mất 4 giờ. Hỏi người thứ hai làm 1 mình thì sau bao lâu mới xong cơng việc đó ?

Giải: Đổi 2 giờ 24 phút = 12
5 giờ

1 giờ cả 2 người làm được số phần công việc là: 1: 12
5 =

5

12 ( công việc )

1 giờ người thứ nhất làm được số phần công việc là: 1: 4 = 1

4( công việc )

1 giờ người thứ hai làm được số phần công việc là: 5
12

-1
4=

1

6( công việc )

Thời gian người thứ hai làm một mình xong cả cơng việc là: 1 : 1

6= 6 ( giờ )

<b>Dạng 1 và Dạng 2 là những bài toán căn bản mà học sinh phải ghi nhớ cho hệ thống bài tốn cơng việc </b>
<b>làm đồng thời. Nhìn chung, các bài tốn về cơng việc thì những bước làm ban đầu về cơ bản là giống </b>
<b>nhau ( Tính xem trong 1 giờ người A, người B hay cả 2 người làm được bao nhiêu phần công việc .. ) . </b>
<b>Sau đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số dạng mở rộng, với nền tảng chính là sự kết hợp của 2 dạng </b>
<b>nêu trên</b>

<b>Dạng 3: Giải toán dạng “Chung trước, Riêng sau” hoặc ngược lại “Riêng trước, chung sau”</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài 3: Hai tốp thợ lặn cùng làm 1 cơng việc thì sau 12 giờ sẽ xong. Họ cùng làm được 4 giờ thì tốp thứ nhất </b>
nghỉ, tốp thứ hai làm nốt trong 20 giờ nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tốp phải mất bao nhiêu giờ
mới xong cơng việc đó ?

Giải:

1 giờ cả 2 tốp thợ làm được số phần công việc là: 1:12 = 1

12( công việc )

“Họ cùng làm được 4 giờ”  Trong 4 giờ cùng làm này thì cả 2 tốp làm được: 4 x 1
12=

1

3( công việc )

Số phần cơng việc cịn lại là: 1 - 1

3=

2

3( công việc )

2

3 công việc này là do tốp thứ hai làm trong 20 giờ. Vậy để làm xong cả cơng việc thì tốp 2 cần số thời gian

là: 20 : 2

3 = 30 ( giờ) ( Chú ý: Phép toán này liên quan đến lý thuyết Tỉ lệ thuận – Tỉ lệ nghịch )

Đến đây còn phải tính tiếp thời gian tốp thứ nhất làm một mình xong cơng viêc. Ta đưa về bài tốn quen
<b>thuộc ở Dạng 2: Hai tốp cùng làm thì 12 giờ xong, tốp 2 làm một mình thì 30 giờ xong ( như trên ). Hỏi tốp 1</b>
làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong ?

1 giờ tốp 2 làm được số phần công việc là: 1 : 30 = 1

30( cơng việc )

Ta đã tính được 1 giờ cả 2 tốp thợ làm 1

12 công việc

Vậy 1 giờ tốp 1 làm được: 1
12

-1

30=

1

20( công việc )

Thời gian để tốp thứ nhất làm một mình xong cả cơng việc là: 1 : 1

20= 20 ( giờ )

<b>Bài 4: Anh làm việc nhà thì sau 16 phút sẽ xong. Khi anh làm được 4 phút thì có thêm em cùng làm nên cả 2 </b>
anh em làm tiếp trong 10 phút là xong. Hỏi nếu em làm một mình thì sau bao lâu xong việc nhà ?

Giải:

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4 phút anh làm được: 4 x 1
16=

1

4 ( công việc )

Số phần cơng việc cịn lại là: 1- 1
4=

3

4( cơng việc )

3

4 công việc này cả 2 anh em làm trong 10 phút thì xong.

1 phút cả 2 anh em làm được: 3
4:10 =

3

40( công việc )

1 phút em làm được: 3
40

-1
16=

1

80 ( công việc )

Thời gian để em làm 1 mình xong cơng việc là: 1 : 1

80= 80 ( phút )

<i><b>Chú ý: Ta có thể làm cách khác như sau:</b></i>

Khi anh làm được 4 phút thì có thêm em cùng làm nên cả 2 anh em làm tiếp trong 10 phút, tức là anh làm
trong tổng cộng 10 + 4 = 14 phút và em làm trong 10 phút thì xong.

Ta đã biết 1 phút anh làm được 1

16 công việc, nên 14 phút anh làm được 14 x
1
16=

7

8 cơng việc, do đó em

làm trong 10 phút được 1 - 7
8=

1

8 cơng việc. Từ đó cũng tìm ra đáp số như trên

<b>Dạng 4: Giải toán dạng “Riêng trước, riêng sau”</b>

<b>Ở dạng bài này, chúng ta thường gặp các dữ kiện: “Người thứ nhất làm trước a giờ rồi nghỉ, sau đó </b>
<b>người thứ hai đến làm tiếp trong b giờ”. </b>

<b>Ở dạng này, cả 2 thời điểm đều là làm riêng với thời gian khác nhau. Ta có thể quy về thời gian làm </b>
<b>giống nhau, đó là người thứ nhất làm trước trong a giờ, và người thứ hai làm sau cũng làm trong a giờ,</b>
<b>điều này tương đương với “2 người cùng làm chung trong a giờ”, sau đó tính số phần cơng việc chênh </b>
<b>lệch so với đề bài.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Giải : </b>

1 giờ cả 2 tổ làm được : 1 : 48 = 1

48 ( công việc )

Giả sử tổ 1 làm một mình trong 32 giờ, tổ 2 làm tiếp trong 32 giờ, điều này tương đương với việc cả 2 tổ cùng

làm trong 32 giờ, sẽ được số phần công việc là : 32 x 1
48=

2

3 ( cơng việc )

Số phần cơng việc cịn thiếu là: 1 - 2
3=

1

3( công việc )

Sở dĩ thiếu mất 1

3 cơng việc này là bởi vì, lẽ ra tổ 1 phải làm 60 giờ, nhưng phép giả sử trên đã “ăn bớt” mất

thời gian làm của tổ 1 nên thay vì làm xong cả cơng việc (như đề bài) thì vẫn thiếu vẫn 1

3 cơng việc nữa

1

3 công việc này tương ứng với tổ 1 làm trong số giờ là: 60 – 32 = 28 ( giờ )

Tổ 1 làm một mình thì xong cơng việc sau số giờ là: 28 : 1

3= 84 ( giờ )

<b>Bài 6. ( Đề thi tuyển sinh vào THCS Amsterdam – 2013) Hai máy cùng gặt xong một thửa ruộng hết 12 </b>

giờ. Nếu máy I gặt một mình trong 4 giờ, rồi máy II gặt tiếp thêm 9 giờ nữa thì được 7

12 thửa ruộng. Hỏi nếu
máy I gặt một mình thì gặt xong thửa ruộng trong bao lâu?

Giải:

1 giờ cả 2 máy gặt được số phần thửa ruộng là: 1 : 12 = 1

12 ( thửa ruộng )

Giả sử máy I gặt 4 giờ, máy II cũng gặt 4 giờ thì được: 4 x 1
12=

1

3( thửa ruộng )

Số phần thửa ruộng còn thiếu là: 7
12 -

1
3=

1

4( thửa ruộng )

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

1 giờ máy II gặt được: 1
4:5 =

1

20 ( thửa ruộng )

1 giờ máy I gặt được: 1
12

-1
20=

1

30( thửa ruộng )

Thời gian để máy I gặt một mình xong cả thửa ruộng là: 1 : 1

30= 30 ( giờ )

<b>Bài tập tự luyện</b>

<b>Bài 1: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 12 phút sẽ đầy bể. Nếu một mình vịi thứ nhất chảy thì sau</b>

2 giờ sẽ đầy bể. Hỏi một mình vịi thứ hai chảy thì mấy giờ sẽ đầy bể?

<b>Bài 2. Hai lớp 5A và 5B cùng quét sân trường. Nếu chỉ có lớp 5A làm thì sau 2 giờ sẽ xong, nếu chỉ có lớp</b>
5B làm thì sau 3 giờ sẽ xong. Hỏi khi cả 2 lớp cùng quét thì sau bao lâu sẽ quét xong một nửa sân trường?

<b>Bài 3. Hai người làm chung một cơng việc thì sau 5 giờ sẽ xong. Sau khi làm được 2 giờ thì người thứ hai </b>
có việc phải nghỉ và người thứ nhất phải làm thêm 9 giờ nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người
phải làm trong bao lâu?

<b>Bài 4. Có hai vịi nước chảy vào một cái bể. Nếu vịi thứ nhất chảy một mình thì phải mất 6 giờ mới đầy</b>

bể ,vòi thứ hai chảy bằng 2

3 vòi thứ nhất . Hỏi nếu bể khơng có nước thì mở cả hai vịi cùng một lúc thì
sau bao lâu đầy bể ?

<b>Bài 5. </b>Một cửa hàng cần đóng gói 1 số thùng hàng. Nếu 2 người cùng làm thì sau 8 giờ sẽ xong. Người thứ
nhất làm một mình thì sau 12 giờ sẽ xong. Hỏi:

a) Nếu người thứ hai làm 1 mình thì sau bao lâu sẽ xong?

b) Nếu 2 người đóng gói được tổng cộng 216 thùng hàng thì mỗi người đã đóng gói được bao nhiêu thùng?

<i><b>Chú ý: Bài này để tính được số thùng hàng mỗi người, ta hãy để ý đển việc tính tỉ lệ năng suất làm việc</b></i>
<i><b>của mỗi người, và số thùng làm được sẽ tỉ lệ thuận với năng suất làm việc</b></i>

<i><b>Ví dụ: A làm 6 giờ xong việc, B làm 8 giờ xong việc thì tỉ lệ năng suất làm việc của A và B sẽ tỉ lệ</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Bài 6. Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất có thể hồn thành trong 3 tuần; người thứ hai có</b>
thể hồn thành một cơng việc nhiều gấp ba lần cơng việc đó trong 8 tuần; người thứ ba có thể hồn thành

một cơng việc nhiều gấp 5 cơng việc đó trong 12 tuần. Hỏi nếu cả ba người cùng làm cơng việc ban đầu
thì sẽ hoàn thành trong bao nhiêu giờ biết mỗi tuần làm 45 giờ?

<b>Bài 7. Hai người thợ cùng làm chung 1 cơng việc thì sau 12 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm 7 giờ và</b>
người thứ hai làm 4 giờ thì được một nửa cơng việc. Hỏi người thứ hai làm cơng việc đó một mình thì sau
bao lâu sẽ hồn thành cơng việc ?

<b>Bài 8. Hai cơng nhân cùng làm việc thì sau 12 giờ sẽ xong. Người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ thì</b>
có việc bận nên nghỉ, sau đó người thứ hai làm nốt trong 8 giờ thì xong. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi
người xong cơng việc trong bao lâu ?

<b>Bài 9. Có 3 máy đào đất cơng suất khác nhau. Máy A có thể hồn thành cơng việc sau 12 giờ, máy B sau</b>
18 giờ. Công suất máy C bằng trung bình cộng của 2 máy A và B

a) Chứng tỏ rằng thời gian để máy C làm một mình xong cơng việc nhỏ hơn trung bình cộng hai thời
gian của máy A và máy B

b) Cả 3 máy cùng làm thì sau 5 giờ có thể hồn thành cơng việc đó khơng ?

</div>

<!--links-->