3 đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán và đáp án

3 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN:
NGHỆ AN, HÀ NAM, THANH HOÁ
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1: (3.5 điểm)
a) Giải phương trình

3 3
2 7 3x x+ + − =
b) Giải hệ phương trình
3
3
8
2 3
6
2
x
y
x
y

+ =




− =


Bài 2: (1.0 điểm)
Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên

2
2 0x ax a− + + =
.
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường
tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại
K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC.
Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường
thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và
tứ giác BICK là hình bình hành.
Bài 5: (2.0 điểm)
a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc
bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.
b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:
a b c 3
+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 2
ab bc ca
P a b c
a b b c c a
+ +
= + + +
+ +
----------------------------------------Hết----------------------------------------

Họ và tên thí sinh …………………………………..……….. SBD……………..
* Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
* Giám thị không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2009 - 2010
1
Đề thi chính thức
SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
Năm học 2009 - 2010
Hướng dẫn chấm thi
Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang
Nội dung đáp án Điểm
Bài 1 3,5 đ
a 2,0đ

3
3
x 2 7 x 3+ + − =
( )
3 3
3 3
x 2 7 x 3 x 2. 7 x x 2 7 x 27⇔ + + − + + − + + − =
0.50đ
3

9 9. (x 2)(7 x) 27
⇒ + + − =
0.25đ
3
(x 2)(7 x) 2⇔ + − = ∈
0.25đ
(x 2)(7 x) 8⇔ + − =
0.25đ
2
x 5x 6 0⇔ − − =
0.25đ
x 1
x 6
= −

⇔

=

( thỏa mãn ) 0.50đ
b 1,50đ
Đặt
2
z
y
=
0.25đ
Hệ đã cho trở thành
3
3

2 3x z
2 3z x

+ =


+ =


0.25đ
( )
3 3
3 x z z x⇒ − = −
0,25đ
( )
( )
2 2
x z x xz z 3 0
⇔ − + + + =
0,25đ
x z⇔ =
(vì
2 2
x xz z 3 0, x,z+ + + > ∀
). 0,25đ
Từ đó ta có phương trình:
3
x 1
x 3x 2 0
x 2

= −

− − = ⇔

=

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
( )
(x,y) ( 1; 2), 2,1
= − −
0,25đ
Bài 2: 1,0 đ
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
2
0 a 4a 8 0
∆ ≥ ⇔ − − ≥
(*). 0,25đ
Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho ( giả sử x
1
≥ x
2
).
Theo định lý Viet:
1 2
1 2 1 2
1 2

x x a
x .x x x 2
x .x a 2
+ =

⇒ − − =

= +

0,25đ
1 2
(x 1)(x 1) 3
⇒ − − =
1
2
x 1 3
x 1 1
− =

⇒

− =

hoặc
1
2
x 1 1
x 1 3
− = −



− = −

(do x
1
- 1 ≥ x
2
-1)
0,25đ
2
1
2
x 4
x 2
=

⇒

=

hoặc
1
2
x 0
x 2
=


= −


Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )
Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25đ
Bài 3: 2,0 đ

Vì BE là phân giác
·
ABC
nên
·
·
¼
¼
ABM MBC AM MN
= ⇒ =
0,25đ
·
·
MAE MAN
⇒ =
(1) 0,50đ
Vì M, N thuộc đường tròn đường
kính AB nên
·
·
0
AMB ANB 90
= =

0,25đ
⇒

·
·
0
ANK AME 90
= =
, kết hợp
với (1) ta có tam giác AME đồng
dạng với tam giác ANK
0,50đ
AN AK
AM AE
⇒ =
0,25đ
⇒ AN.AE = AM.AK (đpcm)
0,25đ
Bài 4: 1,5 đ
Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên
·
·
ANM AIM
=
Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên
·
·
ANM ABC
=
·
·
AIM ABC

⇒ =
.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp
0,25đ
Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI
đồng dạng với tam giác AOB
AM AI
AI.AO AM.AB
AO AB
⇒ = ⇒ =
(1)
0,25đ
Gọi E, F là giao điểm của đường thẳng AO
với (O) (E nằm giữa A, O).
Chứng minh tương tự (1) ta được:
AM.AB = AE.AF
= (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)
= AO
2
- R
2
= 3R
2
0,25đ
⇒ AI.AO = 3R
2

2 2
3R 3R 3R R
AI OI
AO 2R 2 2

⇒ = = = ⇒ =
(2)
0,25đ
Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên:
OA.OK = OB.OC = R
2
2 2
R R R
OK
OA 2R 2
⇒ = = =
(3)
0,25đ
Từ (2), (3) suy ra OI = OK
Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC
Vì vậy BICK là hình bình hành 0,25đ
3
K
Bài 5: 2,0 đ
1,0 đ
Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.
Không mất tính tổng quát, giả sử A và O
nằm về 2 phía của đường thẳng BC
0,25đ
Suy ra đoạn AO cắt đường thẳng BC tại K.
Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
0,25đ
Suy ra AH ≤ AK < AO <1 suy ra AH < 1
0,25đ
Suy ra

ABC
AH.BC 2.1
S 1
2 2
∆
= < =
(mâu thuẫn với giả
thiết). Suy ra điều phải chứng minh.
0,25đ
b, 1,0đ
Ta có: 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
)
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ a

2
b + b
2
c + c
2
a + ab
2
+ bc
2
+ ca
2

0,25đ
mà a
3
+ ab
2
≥ 2a
2
b (áp dụng BĐT Côsi )
b
3
+ bc
2
≥ 2b
2
c
c
3
+ ca

2
≥ 2c
2
a
Suy ra 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) ≥ 3(a
2
b + b
2
c + c
2
a) > 0
0,25đ
Suy ra
2 2 2
2 2 2
ab bc ca
P=a b c
a b c
+ +
+ + +
+ +
2 2 2
2 2 2
2 2 2

9 (a b c )
P a b c
2(a b c )
− + +
⇒ ≥ + + +
+ +
0,25đ
Đặt t = a
2
+ b
2
+ c
2
, ta chứng minh được t ≥ 3.
Suy ra
9 t t 9 t 1 3 1
P t 3 4
2t 2 2t 2 2 2 2
−
≥ + = + + − ≥ + − =
⇒ P ≥ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4
0,25đ
Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
4
HÀ NAM NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN THI : TOÁN (ĐỀ CHUNG)
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2 điểm)
Cho biểu thức P =
( ) ( )
2
x x 1 x 2 3 x x
1 x
1 x
+ − + −
+
−
−
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn P
c) Tìm x để P > 0
Bài 2. (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
( )
( )
1 2 x y 2
2 2 x y 1

+ + =


+ − =


Bài 3. (2 điểm)
1) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = x + 6 và parabol y = x
2

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục Ox, trục Oy lần lượt tại các
điểm A , B và
∆
AOB cân ( đơn vị trên hai trục Ox và Oy bằng nhau).
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho
∆
ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm
của HC. Đường tròn đường kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại diểm
M và N.
a) Chứng minh
∆
ACB và
∆
AMN đồng dạng
b) Chứng minh KN là tiếp tuyến với đường tròn (AH)
c) Tìm trực tâm của
∆
ABK
Bài 5. (1 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thoả mãn: x + y + x = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1 1 1
16x 4y z
+ +
---------Hết---------
Họ và tên thí sinh:………………………………………..Số báo danh:………………....
Chữ ký giám thị số 1: ……………………………………Chữ ký giám thị số 2:………..
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
5