Bài giảng số 5: Ôn tập tổng hợp giới hạn và hàm số liên tục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (403.65 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

BÀI GIẢNG SỐ 05: ÔN TẬP TỔNG HỢP

Phần 1: Giới hạn dãy số

A.Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim2n
2

+ n – 3

n2 +1 b) lim

( 1)(2 )( 1)

n

n n n  c) lim

4n – 1
n + 1

d) lim( n2 – 2n – n ) e) lim(3 2nn3   ) f) lim(n 1

2 2

2 4

n   n 
)

Giải:

2 2

1 3

2 3

lim lim 2

1 1

n n n n

n

 

 

 

lim lim 1

1 2 1

( 1)(2 )( 1)

1 1 1

n

n n n

n n n

 

        

  

     

     

1
4

4 1 2

lim lim 2

1 1

n n

n

n



  

 

d) Ta có:





2 2

lim 2 lim lim 1

2
2

1 1

n

n n n

n

 

     

 













3 3

2 3

3 3 2

2 3

3 3 2

3 3

2 2

2 ( 1)

lim 2 1 lim

2 ( 1) 2 ( 1)

3 5 1

lim

2 ( 1) 2 ( 1)

5 1

lim 1

2 1 2 1

1 (1 ) 1 (1 )

n n n

n n n

n n n n n n

n n

n n n n n n

n n

n n n n

  

    

     

  



     

  

  

 

     

 

 

2 2

1 4 2

lim lim

4 2

n n

    

  

 

  

 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a) lim 2
n

– 5.3n

3n + 1 b) lim

4.3n + 7n + 1

2.5n + 7n c) lim

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

Giải:

2
5

2 5.3 3

lim lim 5

3 1 1

1
3

n

n n

n
n

 

 

  

  

  

  
 

b) lim4.3
n

+ 7n + 1
2.5n + 7n

4. 7

4.3 7.7 7

lim lim 7

2.5 7 5

2. 1

n

n n

n

n n

 

 

  

  

  


 
 

c) lim (– 2)
n

+ 3n
(– 2)n + 1 + 3n + 1

2
1

1
3

3
2

2. 3

n



 



 

 

 



 

   

 

Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau:

a) lim 1 1 1 ... 1

1.22.33.4  n n( 1) b) lim

1 1 1 1

...

1.32.43.5 n n( 2)

Giải:

a) lim 1 1 1 ... 1 lim 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

1.2 2.3 3.4 n n( 1) 2 2 3 3 4 n n 1

   

            

   

   

 

1 1

lim 1 lim lim 1

1 1 1

n

n n

n

 

     

 

  

b) lim 1 1 1 ... 1 1lim 2 2 2 ... 2

1.3 2.4 3.5 n n( 2) 2 1.3 2.4 3.5 n n( 2)

   

        

   

 

   

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

lim 1 ... lim 1

2 3 2 4 3 5 n n 2 2 2 n 2

   

              

 

   

1 3 1 1 3 1 3

lim .(lim lim )

2 2 n 2 2 2 n 2 4

 

     

 

 

B. Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

1) lim– n
2

+ n – 1

2n2 – 1 2) lim

1
n
2
n

3
n
2

3 3






3) lim

2 1

n

n n



 

4) lim( n22n  ) 5) lim(n 1 2

4n 2n2n ) 1 6) lim(2 n n22n )

7) lim2n n

+ n

3n2 +2n + 1 8) lim n 3 1

1
n
3
n
n

n 2

3 3 2






9) lim( n2 + n – n2 + 1 )

10) lim 2n – 3 – n

3n + 1 11) lim( n 2n n

3 3 2



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

13) lim 4n

+ 1 – 2n – 1

n2 + 4n + 1 – n 14) lim(1 + n
2

– n4 + 3n + 1 ) 15) lim( n + 1 – n )

16)lim n
2

+ 3 1 – n6

n4 + 1 – n2 17) lim n( n + 1 – n ) 18) lim

n n – 1
3n2 +2

ĐS: 1) 1
2


2) 2 3) 0 4)  5) 0 6) 0 7) 2
3 8)

4 3
3 9)

2 10)
1

3 11) 0

12) 3
2 13)

1
2

 14) 1 15) 0 16) 0 17) 1

2 18) 0
Bài 2.Tính các giới hạn

1) lim 2
n

+ 2n + 1

2n + 4.3n 2) lim

3n – 4n

3n + 4n 3) lim

(– 1)n + 2n
1 + (– 3)n

4) lim

1 2

4 6

5 8

n n

 



 5) lim 1

1 2.3 6

2 (3 5)

n n

n n

 



ĐS: 1) 0 2) -1 3) 0 4) 0 5) 1
3
Phần 2: Giới hạn hàm số

A. Ví dụ mẫu

Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau

2
x

2
x
3
x
2
lim

x 




 4) x 3x 2

1
x
x
x
lim 2

2
3

x  





 12)

3 2

1
lim

2 1

x

x x





 

Giải:

2 2 2

2 3 2 (2 1)( 2)

lim lim lim(2 1) 5

2 2

x x x

x x x x

x

x x

  

   

   

 

3 2 2

1 1 1

1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

lim lim lim 0

3 2 ( 2)( 1) 2

x x x

x x x x x x x

x x x x x

  

      

  

    

4 2 2

3 2 2 2

1 1 1

1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)

lim lim lim 4

2 1 ( 1)( 1) 1

x x x

x x x x x x

x x x x x x x

  

     

   

      

Ví dụ 5: Tính các giới hạn sau

x
4

3
5
x
lim

x 




 2) 4x 1 3

x
2
x
lim

x  






3) 2

3 2

x x

x
1

lim  



3
1

1
lim

4 4 2

x





  5) x 1

x
x
lim

x 





Giải:

4 4 4

5 3 4 1 1

lim lim lim

4 (4 )( 5 3) 5 3 6

x x x

x x

x x x x

  

    

  

     

2 2 2

2 ( 2)( 4 1 3) ( 1)( 2)( 4 1 3)

lim lim lim

4 1 3 4( 2)( 2 ) 2( 2)( 2 )

x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

  

           

 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

( 1)( 4 1 3) 9

lim

2( 2 )

x

x x



    

 

 

3 2 2

2 2 2 2 3 2 2 2 3 2

0 0 3 0 3

1 1 1 1

lim lim lim

( (1 ) 1 1) (1 ) 1 1

x x x

x x

x x x x x x

  

 

  

       

2 3

3 3

3 3 2

1 1 3

( 1)( (4 4) 2 4 4 4)

lim lim

4 4 2 4( 1)( 1)

x x

x x x

x

x x x x

 

    




    

2 3

3 2

1 3

(4 4) 2 4 4 4 4 4 4

lim 1

4.3

4( 1)

x

x x



     

  

 

2 2

1 1 1

1 1 ( 1)( 1)( 1) 1

lim lim lim

1 1 1

x x x

x x x x x x x x

x x x

  

        

 

  

1 1

( 1)(( 1)( 1) 1)

lim lim( 1)( 1) 1 3

x x

x x x

x x

x

 

   

     



Ví dụ 6: Tính các giới hạn sau

1
x

2
x
x
lim

3
3
5

x 






 2)

1 1

lim

x

x x

x



  

4
x
5
x

x
4
x
lim 2

x  






9
x

5
x
10
x
2

lim 2

x 







 5) x 23 8 x 3 8 x

x
lim







Giải:

5 3 4 3 2 3

1 1

2 ( 1)( 2 2)( 1)

lim lim

( 1)
1

x x

x x x x x x x x

x
x

 

       






4 3 3 2 3
1

lim ( 2 2)( 1) 2

x x x x x x

       

3 3 3

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

lim lim lim lim

x x x x

x x x x x x

x x x x

   

           

  





0 0 3 2 3

lim lim

( 1 1) 1 (1 ) 1

x x

x x x x x

 



 

     

0 0 3 3

1 1 1 1 1

lim lim

2 3 6

1 1 1 (1 ) 1

x x x

x x

 



    

     

3 3 3

4 4 4 4

4 4 1 1 4 2 2

lim lim lim lim

5 4 ( 4)( 1) ( 4)( 1) ( 4)( 1)

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

   

        

  

       

4 3 3 4

4 4

lim lim

( 4)( 1)(2 )

( 4)( 1)( ( 4) 2 4 4)

x x

x x x

x x x x

 

 

 

  

     

4 3 3 4

1 1 1 1 1

lim lim

3.12 3.4 18

( 1)(2 )

( 1)( ( 4) 2 4 4)

x x x x

x x x

 



     

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

3 3 3

2 2 2 2

3 3 3 3

2 10 5 2 10 3 3 5 2 10 2 2 5

lim lim lim lim

9 9 9 9

x x x x

x x x x x x

x x x x

   

           

  

   

3 3 3 3

2( 3) 3

lim lim

( 3)( 3) ( 3)( 3)(4 2 5 ( 5)

x x

x x x x x x

 

 

 

       

3 3 3 3

2 1 1 1 3

lim lim

3 ( 3)(4 2 5 ( 5) 3 6.4 8

x x x

x x x

 



     

     

2 2

3 3 3

3 3

2 2

( (8 ) (8 )(8 ) (8 ) )

lim lim

8 8

x x

x x x x x

x

x x

 

     





  

2 2 3 3 3

3 3 3

(8 ) (8 )(8 ) (8 ) 36 60 100

lim

2 2

x

x x x x



       

 



Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau

a) 2

lim (2 1 4 4 3)

x x  x  x b)

3 3

lim ( 2 1 2 1)

x x  x c) x 2 2 2

1 1

lim

x 3x 2 x 5x 6



 



 

   

 

Giải:

a) lim (2 1 4 2 4 3)

x x  x  x = 2

4
4

lim lim 0

1 4 3

2 1 4 4 3

2 4

x x

x

x x x

   

   

b) 3 3

lim ( 2 1 2 1)

x x  x 3 2 3 3 2

lim 0

(2 1) (2 1)(2 1) (2 1)

x

x x x x





 

     

c) 2 2

x 2

1 1

lim

x 3x 2 x 5x 6



 



 

   

  2 2

1 1 2 4

lim lim

( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)

x x

x

x x x x x x x

 

  

   

      

 

2 2

2( 2) 2 2

lim lim 2

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 3) 1

x x

x

x x x x x

 



    

     

Ví dụ 8: Tính các giới hạn sau

2
x

x x 2 3x

lim

4x 1 x 1



  

  

2 2

9x x 1 4x 2x 1

lim

x 1



    

 c) x 4x

)
x
3
x
)(
1
x
(

lim 3

x 







3 3

x 2x 3

lim

x x 1



 

 

2
x

7x
lim

1 14x 16x x 1



   

Giải:

2 2

x x

1 2

x 1 3x

x x 2 3x x x

lim lim

4x 1 x 1

x 4 x 1

 

  


  

  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400



2 2

x x

1 2

1 3

x x 2 3x x x 4

lim lim 4

1 1

4x 1 x 1

4 1

x x

 

  

  

  



2 2

x x

1 2

1 3

x x 2 3x x x 2

lim lim

1 1

4x 1 x 1

4 1

x x

 

   

   

 

  

   

Ta thấy

2 2

x x

x x 2 3x x x 2 3x

lim lim

4x 1 x 1 4x 1 x 1

 

     

 

     

2
x

x x 2 3x

lim

4x 1 x 1



  

  

không tồn tại

2 2

9x x 1 4x 2x 1

lim

x 1



    

 =

2 2

5x x
lim

(x 1)( 9x x 1 4x 2x 1)





     

2 2

1
5

5
x

lim 1

1 1 1 2 1

1 9 4

x x x x x





  

 

       

 

   

1 3

1 1

( 1)( 3 )

lim lim 1

4
4

x x

x x x x x

x x

x

 

   

 

   

     

 



2 2

3 3

x x

2 3

x 2x 3 x x 1

lim lim 1

1 1

x x 1

x x

 

  

  

   

 

7 7 7 7

lim lim

14 4 10

1 1 1

1 14 16 1

14 16

x x

x

x x x

     

   

   

Ví dụ 9: Tính các giới hạn sau

2
15
lim

x

x
x






 b)

4
lim

x

x
x







 c) 2 2
2
lim

2 5 2

x

x x







 

Giải:

2
15
lim

x

x
x








13
0

  

2 2 2

( 2)( 2)

4 2 4

lim lim lim

2 2 2 0

x x x

x x

x x x

  

  

 

    

  

c) 2 2

2 2 2 2

2 2 2 1 1

lim lim lim lim

2 5 2 2 5 2 ( 2)(2 1) 2 1 3

x x x x

x x x

x x x x x x x

   

   

  

   

      

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

3
1 1
, 0
1 1
( )
3
, 0
2
x
x
x
f x
x
  


  
 
 



tại x = 0

Giải:

0 0

3 3

lim ( ) lim

2 2
x x
f x
 
 
 
+)









2 3
3 2
3
3
3

0 0 0 0

(1 ) 1 1 (1 ) 1 1

1 1 3

lim ( ) lim lim lim

1 1 1 1 1 1

x x x x

x x x x x

x
f x

x x x x

   
   
       
 
   
     

B. Bài tập tự luyện

Bài 1.Tính các giới hạn sau

1)
1
x
3
x
5
x
3
x

lim 2
2
3
1
x 




 2) x 4x 4

x
2
x
lim 2
2
2

x  





 3) x 2x 3

1
x

lim 3 2

x  




4)
9
x
8
x
9
x
3
x
5
x

lim 4 2

2
3

x  





 5) 2x x 1

3
x
2
x
lim 2
2
1

x  




 6) 2

x 4 x

2
x

3
x
lim





7)
1
x
x
x
5
x
4
lim 2
5
6
1
x 



 8)

2 3
0
1
lim

1
x

x x x

x



  

 9) 0

(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim

x

x x x

x



   

ĐS: 1) 1 2)  3) 4
7

 4) 0 5) 4
3 6)

4 7) 0 8) 1 9) 6
Bài 2.Tính các giới hạn sau:

1)
x
x
1
x
1
lim
0
x




 2) x 49

3
x
2
lim 2
7
x 




 3) 1 5 x

x
5
3
lim

x  





4)
3
x
4
x
4
x
7
x
2
lim
2

3
1

x  





 5) x 3 2

1
x
lim

x  



 6) x 1

2
x
3
x
lim 2
3
1

x 



7)
2
2 2
lim
7 3
x
x
x

 

  8)

2
0
1 1
lim
x
x
x

 
9)
0

9 16 7

lim
x
x x
x

   

ĐS: 1) 1 2) 1
14


3) 1
3


4) 4

15 5) 2 6)
3

4 7)
3

2 8) 0 9)
7
24
Bài 3.Tính các giới hạn sau:

1
x
1
x
lim
3
0

x   2)

3
3 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x

  

 3) x 2

2
x
x
10
lim

3
2
x 




 4)

2
x 2

8x 11 x 7

lim

x 3x 2



  

 

1 4 . 1 6 1
lim
x
x x
x

  
6)
3
0

1 2 . 1 4 1
lim
x
x x
x

  
7)
n
2
x 1

x nx n 1

lim

(x 1)



  



ĐS: 1) 3 2) 11
24


3) 0 4) 7

54 5) 5 6)
7

3 7) 0
Bài 4.Tìm 2 số a,b để

a)lim( x2 x 1 ax b) 0

x     

b) ax b)

1
x
1
x
(
lim
2

x   






</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

ĐS: a)

1
1,

2
1
1,

a b



 






   



b) a =1, b = -1

Bài 5:Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại các điểm đã chỉ ra

a)

, 2

8
( )

, 2

x x

x
x
f x

x

x
x

 




 
 



 

 



3 2

, 1

1
( )

, 1

x x

x
x

f x

x
x

  





 

 

 




ĐS: a)

1
lim ( )

x

f x






 ,

lim ( ) 32

x

f x







1
lim ( )

x

f x






 ,

1
lim ( )

x

f x








Bài 6 : Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm đã chỉ ra:

( ) 1

2
x

f x x

mx

 


 

 



b) ( ) 2 3

x m

f x

x x m



 

  



ĐS: a) m = 1 b) m = 2

Phần 3:Hàm số liên tục

A. Ví dụ mẫu

Ví dụ 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã cho

a) f(x) =

















2
x
khi

3
11

2
x
khi

2
x
x

6
x
x

2
3

tại xo = 2 b) f(x) =

x khi x 0

x 1 1

khi x 0
1 x 1



 





 

 

  



tại xo = 0

Giải:

a) Ta có:

3 2 2

2 2 2 2

6 ( 2)( 2 3) 2 3 11

lim ( ) lim lim lim

2 ( 2)( 1) 1 3

x x x x

x x x x x x x

f x

x x x x x

   

      

   

    

+) (2) 11
3

f 

Vì

11
lim ( ) (2)

x f x  f  nên hàm số liên tục tại x = 2

b) Ta có:

Khi x<1

Khi x  1

Tại x=1

Khi x<-1

Khi x  -1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

2 3 2 3

3 3

0 0 0 0

( (1 ) 1 1) (1 ) 1 1

1 1 3

lim ( ) lim lim lim

1 1 ( 1 1) 1 1

x x x x

x x x x x

x
f x

x x x x

   

   

       

 

   

     

0 0

3 3

lim ( ) lim

2 2

x x

f x x

 

 

 

   

 

+) f(0) = 3
2

Vì

0 0

3
lim ( ) lim ( ) (0)

x  f x x  f x  f  nên hàm số liên tục tại x = 0

Ví dụ 12: Xét tính liên tục của hàm số sau trên R

f(x) =




























5
x
khi

4

5
x
2
khi

2
x

3
2x

2
x
khi

4
x

10
x
3
x

2
2

Giải:

Ta có:

Khi x < 2, ta có

3 10

( )

x x

f x

x

 



 nên hàm số liên tục với x < 2

Khi x > 2, ta có f(x) = 2 3

2
x
x



 nên hàm số liên tục với x > 2

Khi x < 5, ta có f(x) = 2 3
2
x
x



 nên hàm số liên tục với x < 5
Khi x > 5, ta có f(x) = 3x – 4 nên hàm số liên tục với x > 5

Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 2 và x = 5

 Xét tính liên lục của hàm số tại x = 2

2 2 2 2

3 10 ( 2)( 5) 5 7

lim ( ) lim lim lim

4 ( 2)( 2) 2 4

x x x x

x x x x x

f x

x x x x

   

   

    

   

   

2 2

2 3 7

lim ( ) lim

2 4

x x

x
f x

x

 

 



 



(2) 7
4

f 

Ta thấy

2 2

7
lim ( ) lim ( )

x x

f x f x

 

 

  nên hàm số liên tục tại x = 2

 Xét tính liên tục của hàm số tại x = 5

5 5

lim ( ) lim (3 4) 11

x x

f x x

 

 

  

5 5

2 3 13

lim ( ) lim

2 7

x x

x
f x

x

 

 



 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

Ta thấy

5 5

lim ( ) lim ( )

x x

f x f x

 

 

 nên hàm số gián đoạn tại x = 5

Vậy hàm số liên tục trên



;5

 

 5;



và gián đoạn tại x = 5

Ví dụ 13: Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0

a) f(x) =














1
x
khi

a

1
x
khi

1
x

3
x
2
x

2
3

tại x0 = 1 b) f(x) =

3x 2 2

khi x 2
x 2

ax + khi x 2

  




 



 




tại x = 2 0

Giải:

a) Ta có:

3 2 2

1 1 1 1

2 3 ( 1)( 3) 3 3

lim ( ) lim lim lim

1 ( 1)( 1) 1 2

x x x x

x x x x x x x

f x

x x x x

   

      

   

   

(1)
f a

Để hàm số liên tục tại x0 = 1 thì

3
lim ( ) (1)

x f x  f a

Vậy với 3

a  thì hàm số liên tục tại x0 = 1

b) Ta có:

2 3

2 2 2 3

3 2 2 3( 2)

lim ( ) lim lim

2 ( 2)( (3 2) 2 3 2 4)

x x x

x x

f x

x x x x

  

  

  

 

     

2 3

3 3 1

lim

12 4

(3 2) 2 3 2 4

x  x x

 

   

2 2

1 1

lim ( ) lim ax 2

4 4

x x

f x a

 

 

 

    

 

+) f(2) = 2 1
4
a 

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì 0

2 2

1 1

lim ( ) lim ( ) (2) 2 0

4 4

x x

f x f x f a a

 

 

      

Vậy với a = 0 thì hàm số liện tục tại x = 2 0

Ví dụ 14: Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:

a) x3 – 2x – 7 = 0 b) cosx – x + 1 = 0

Giải:

a) Hàm số f(x) = x3 – 2x – 7 liên tục trên R
Ta có: f(2) = - 3 , f(3) = 14

(2). (3) 0

f f

  nên phương trình có nghiệm thuộc



2;3



Vậy phương trình có nghiệm

b) Hàm số f(x) = cosx – x + 1 liên tục trên



0;



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

(0). ( ) 0

f f 

  nên phương trình có nghiệm thuộc



0;



Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 15: Chứng minh rằng phương trình

a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)

Giải:

a) Hàm số f(x) = x3 – 3x2 + 3 liên tục trên R
Ta có: f(-1) = -1; f(0) = 3; f(2) = -1; f(3) = 3

Suy ra:

+) f(-1).f(0) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc



1;0



+) f(0).f(2) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc



0; 2



+) f(2).f(3) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc



2;3



Vậy phương trình có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)

b) Hàm số f(x) = 2x3 – 6x + 1 liên tục trên R
Ta có: f(-2) = -3; f(-1) = 5; f(1) = -3; f(2) = 5

Suy ra:

+) f(-2).f(-1) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc



 2; 1



+) f(-1).f(1) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc



1;1



+) f(1).f(2) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc



1; 2



Bài tập tự luyện

Bài 1.Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) f(x) =












1
x
khi

3
2x

1
x
khi

4
x
3
x2

tại xo = 1 b) f(x) =

1 2x 3

khi x 2

2 x

1 khi x 2

  




 

 



tại xo = 2

c) f(x) =

x 3x 2

khi x 1

x 1

khi x 1
2

  




 



 




tại xo = 1 d) f(x) =

4 x

khi x 2

x 2

1 2x khix 2

 







  



tại xo = 2

e) f(x) =














2
x
khi

x
1

2
x
khi

7
x
3
x2

ĐS: a) Hàm số ko liên tục b)Hàm số liên tục c)Hàm số ko liên tục
d)Hàm số ko liên tục e) Hàm số liên tục

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

a) f(x) =













1
x
khi

a
2x

1
x
khi

1
x
2
x
3 2

tại x0 = 1 b) f(x) =

1 x 1 x

khi x 0
x

4 x

a khi x 0

x 2

   









  



 

tại xo = 0

ĐS: a) a = 2 b) a = -3

Bài 3. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:

a) x5 + x3 – 1 = 0 b) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 c) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
HD: chứng minh

a) f(0). (1)f  0

b) f( 1). (0) f  0

c) f(4). (5)f  0

Bài 4. Chứng minh rằng phương trình

a) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
b) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
c) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
Bài 5.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0

Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;1
3 ]

HD: f(0) = c , 1 2 9

3 9 3 9

a b a b c

f      c  
 

9
2

9 18

c
c

c




  

(0). 0

3 18

c
f f   

   

 

Bài 6. Chứng minh rằng: các phương trình sau ln ln có nghiệm: 
a) cosx + m.cos2x = 0

b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
HD: Chứng minh

a) pt 2 cosm 2 xcosx m  . Chứng minh 0  0, m

b) f( 2). (1) f  0

c) f(0). (1)f  0

Bài 7.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo  (1;2) và xo >
7

</div>

Bài giảng số 5: Ôn tập tổng hợp giới hạn và hàm số liên tục

<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>

















<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>

<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>

<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>





<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>

<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>

<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>









<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>

a)

<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>

<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>

<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<b>Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 </b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về