Bài giảng số 4: Hàm số liên tục và các ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (420.6 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài giảng đôc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 04: HÀM SỐ LIÊN TỤC 
I. Tóm tắt lý thuyết

- Hàm số y f x( ) liên tục tại xx0 thuộc miền xác định nếu thoả mãn một trong hai điều 
kiện sau:

+) 
0

0
lim ( ) ( )

xx f x  f x

+)

0 0

0
lim ( ) lim ( ) ( )

x x x x

f x f x f x

 

 

  .

- Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [a, b] và thỏa mãn điều kiện f a f b ( ) ( ) 0 thì tồn 
tại số c( , )a b sao cho f c ( ) 0.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Kiểu 1: Cho hàm số: 1 0

2 0

( ),
( )

( ),

f x x x

f x

f x x x




 




Phương pháp:

Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0, ta làm như 
sau:

Bước 1: Tính giới hạn

0 0

1
lim ( ) lim ( )

xx f x xx f x L

Bước 2: Tính f x( )0  f x2( 0)

Bước 3: Đánh giá hoặc giải phương trình f x2( 0)L, từ đó đưa ra kết luận.

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số

2
cos cos 2

0
( )

0
2

x x

khi x
x

f x

khi x








 

 




tại x = 0.

Giải:

Hàm số xác định với mọi xR

Ta có:

+) 2 2

0 0 0

3
2sin sin

cos os2 2 2

lim ( ) lim lim

x x x

x x

x c x

f x

x x

  



 

0 0 0 0

3 3 1 3

sin sin sin sin

2 2 2 2 2 2

2 lim .lim lim .lim

3 2 3

2 2 2 2

x x x x

   

  3.1.1 3

2 2

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài giảng đôc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

Vì
0

3
lim ( ) (0)

x f x  f  nên hàm số lien tục tại x = 0

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 = 1

2
1

( ) 1

1
x

khi x

f x x

x a khi x
 




 

  


Giải:

Hàm số xác định với mọi xR

Ta có:

1 1 1

lim ( ) lim lim( 1) 2
1

(1) 1

x x x

x

f x x

x

f a

  



   


 

Vậy ta được
+) Nếu

lim ( ) (1) 2 1 1

x f x  f    a a thì hàm số liên tục tại x0 = 1
+) Nếu

lim ( ) (1) 1

x f x  f a thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1

Kiểu 2: Cho hàm số 1 0

2 0

( ),
( )

( ),

f x x x

f x

f x x x




 




Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0, ta làm như

sau:

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) 
Bước 2: ( Liên tục trái). Tính:

0 0

1 1

lim ( ) lim ( )

xx f x xx f x L

Đánh giá hoặc giải phương trình L1  f x2( 0) kết luận về liên tục trái 
Bước 3: ( Liên tục phải ). Tính

0 0

2 2

lim ( ) lim ( )

x x x x

f x f x L

 

 

 

Đánh giá hoặc giải phương trình L2  f x2( 0)kết luận về liên tục phải 
Bước 4: Đánh giá hoặc giải phương trình L1 L2 kết luận

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của

a)

0
( )

1 0

x khi x

f x

x khi x

 

 

 



tại x = 0

b)

2
9

( ) 3

3 3

x

khi x

f x x

x khi x
 




 

  



tại x = 3

Giải:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài giảng đôc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

Ta có:

0 0

lim ( ) lim 0

x  f x x x

  và 2

0 0

lim ( ) lim ( 1) 1

x  f x x x

   

Vì

0 0

lim ( ) 0 lim ( ) 1

x x

f x f x

 

 

    nên không tồn tại
0
lim ( )

x f x
Vậy hàm số không lien tục tại x = 0

b) Hàm số xác định với mọi xR

Ta có:

3 3 3 3

9 (3 )(3 )

lim ( ) lim lim lim ( 3 ) 6

3 3

x x x x

x x x

f x x

x x

   

   

  

      

 

3 3

lim ( ) lim ( 3 ) 6

x  f x x   x  

Vì

3 3

lim ( ) lim ( ) 6

x x

f x f x

 

 

   nên hàm số liên tục tại x = 3

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng 
Phương pháp:

Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên một khoảng, ta làm 
theo các bước sau:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn 
Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số trên các điểm giao 
Bước 3: Kết luận

Ví dụ 3: Chứng tỏ hàm số sau liên tục trên R

2
1

cos 0

( )

0 0

x khi x

f x x

khi x





 

 



Giải:

Hàm số f(x) liên tục với mọi x 0

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 0

Ta có: x c. os 12 x c. os 12 x

x  x 

2
1
. os

x x c x

x

   

Vì

0 0

lim lim( ) 0

x x x  x  nên 0 2
1
lim . os 0

x x c x

 



 

 

Mặt khác f(0) = 0
Do đó

lim ( ) (0) 0

x f x  f  hàm số liên tục tại điểm x = 0
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số thực R

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài giảng đôc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

1
( )

ax 1 1

x x khi x

f x

khi x

  

 

 



Giải:

Hàm số xác định với mọi xR

 Khi x < 1, ta có f(x) = x2 + x nên hàm số liên tục với x < 1
 Khi x > 1, ta có f(x) = ax + 1 nên hàm số liên tục với x > 1
 Ta xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 1

Ta có:









1 1

lim ( ) lim 2

lim ( ) lim ax 1 1

(1) 1

x x

f x x x

f x a

f a

 

 

 

  

   

 

Do đó:

Nếu

1 1

lim ( ) lim ( ) (1) 1 2 1

x x

f x f x f a a

 

 

       thì hàm số liên tục tại x0 = 1
Nếu

1 1

lim ( ) lim ( ) 1 2 1

x f x x f x a  a thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1
Vậy: Nếu a = 1 thì hàm số liên tục trên toàn trục số

Nếu a 1, hàm số liên tục trên



;1

 

 1;



và gián đoạn tại x0 = 1

Dạng 3: Điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm và trên một khoảng

Ví dụ 5:

Cho hàm số:

3 2
, 1
1

( )

, 1

x x

x
x

f x

a x

  





 

 



a) Tìm a để f(x) liên tục trái tại điểm x =1 
b) Tìm a để f(x) liên tục phải tại điểm x =1 
c) Tìm a để f(x) liên tục trên R

Giải:

Ta có:

2, 1
( ) , 1

2 , 1

x x

f x a x

x x

 




 

  


a) f(x) liên tục trái tại điểm x = 1





1 1

lim ( ) (1) lim 2 1

x f x f x x a a

      

b) f(x) liên tục phải tại điểm x = 1





1 1

lim ( ) (1) lim 2 1

x x

f x f x a a

 

 

       

c) Hàm số liên tục trên R trước hết phải có

1 1

lim ( ) lim ( ) 1 1

x x

f x f x

 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài giảng đôc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

Vậy không tồn tại a để hàm số liên tục trên R

Ví dụ 6: Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0

1 1

0
( )

x x

khi x
x

f x

x

a khi x

x

   





 



  

 



Giải:

Hàm số xác định với mọi xR

Ta có:

0 0

lim lim 2

x x

x

a a

x

 

 



 

    



  và





0 0 0 0

1 1 2 2

lim ( ) lim lim lim 1

1 1

x x x x

x x x

f x

x x x x x x

   

   

    

    

  
  

+) f(0) = a + 2

Để hàm số lien tục tại x = 0 thì

0 0

lim ( ) lim ( ) (0)

x x

f x f x f

 

 

  a   2 1 a 3
Vậy với a  3 thì hàm số lien tục tại x = 0

Dạng 4: Ứng dụng của tính liên tục trong chứng minh phương trình có nghiệm

Ví dụ 7: Chứng minh rằng phương trình 2

cos sin 1 0

x xx x  có ít nhất một nghiệm thuộc 
khoảng



0;



Giải:

Hàm số 2

( ) cos sin 1

f x x xx x liên tục trên đoạn



0;



2
(0) 1
( ) 1
f

f  



   f(0). ( )f  0

Theo hệ quả của định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục tồn tại ít nhất một số thực





c  sao cho f(c) = 0

Vậy c là một nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 8: Khơng dùng máy tính chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 
3

3 1 0

x  x 

Giải:

Hàm số f(x) = x3 – 3x + 1 liên tục trên R
Ta có: f(- 2) = -1, f(0) = 1, f(1) = -1, f(2) = 6
Suy ra

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài giảng đôc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

 f(0).f(1) = -1 < 0, phương trình có một nghiệm thuộc (0; 1)
 f(1).f(2) = -6 < 0, phương trình có một nghiệm thuộc (1; 2)
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 9: Chứng minh rằng phương trình: 3sinx + 4cosx + mx – 2 = 0 có nghiệm với m.

Giải:

Xét hàm số f x ( ) 3sinx  4cosx  mx – 2 . Dễ thấy hàm số liên tục trên R
Ta có f(0)2.

Nếu m 0 thì ta có f( 2) 3sin( 4) 4 cos( 4) 6 32 42 6 1 0

m m m

            .

Suy ra f(0) (f 4) 0

m

  . Vậy theo tính chất của hàm liên tục tồn tại ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng
4

(0; )

m

 hoặc ( 4; 0)

m



Nếu m = 0 thay trực tiếp vào phương trình ta có: 3sinx +4cosx = 2
Dễ thấy 3242 22 nên phương trình trên có nghiệm

Vậy phương trình ln có nghiệm với mọi m.

III. Luyện tập

Trên lớp

Bài 1. Xét tính liên tục của

4 3

( ) 1

1 1

x x

x

f x x

x

  

 


 

   



Tại x = -1.

ĐS: hàm số liên tục tại x = -1

Bài 2. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2

3 2 2

( 2)
2

( )

( 2)
4

x

x
x

f x

ax x

  




 

 

  




ĐS: a = 0

Bài 3. Tìm m để 2
2

( ) 1

1
x

if x

f x x

m if x

 




  

 



Liên tục ( 0; )

ĐS: 1

m  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài giảng đôc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

0
1
5
5



 x

x có ít nhất 3 nghiệm.

HD: Tính f(-2), f(-1), f(0), f(2) 
Bài 5. Chứng minh rằng phương trình 3

1 0

x   x có nghiệm ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1
HD: Chứng minh tồn tại ít nhất một điểm c  



1; 0



sao cho f(c) = 0. Khi đó số c là nghiệm âm lớn
hơn -1 của phương trình đã cho

Bài 6. Chứng minh rằng phương trình (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 ln có nghiệm với mọi m

HD: Tính f(0) = -2, f(1) =

2 1 3

1 0

2 4

m m m   

 

Về nhà

Bài 1. Xét tính liên tục của

2 3

( ) 3

5 3

x x

x

f x x

x

  




 

 



. Trên tập xác định

ĐS: Hàm số ko liên tục

Bài 2. Tìm m để

( ) 1

x x

khi x

f x x

m khi x

  




 

 



liên tục tại x = 2

ĐS: m = 0 
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình:

a. x5  x3 70 ln có nghiệm
c. x3  x6 120 có nghiệm dương

d. x4  x3 3 10 có nghiệm trong (- 1; 3) không?
HD: a) Chứng minh f(0).f(2) < 0

b) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm c



0;1



sao cho f(c) = 0. Khi đó số c là

nghiệm một nghiệm dương của phương trình

c) Có

Bài 4. Tìm m để hàm số f(x) =

1 cos 4

0
sin 2

0
1

x

khi x
x

x

m khi x

x

 










  

 


liên tục tại x = 0.

ĐS: m  4

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài giảng đôc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

a) f(x) =











2
x
khi
1
2
x
khi
x
2
3
x
2
1

tại x0 = 2

ĐS: Hs liên tục tại x = 2

b) f(x) =












0
x
khi
4
1
0
x
khi
x
sin
x
cos
1
2

tại x0 = 0

ĐS: hàm số không liên tục tại x0 = 0

c) f(x) =












1
x
khi
1
x
khi
1
x
x
sin

tại x0 = 1

HD: hàm số liên tục tại x0 = 1 vì





1 1 1

sin( )
sin

lim ( ) lim lim
1

x x x

x
x

f x
x x
   

 
  
 
 
 





sin( ) os os sin

lim

x

x c c x

x
      
 

  
 
 











1 1

sin( ) sin

lim lim
x x
x x
x x
    
 
   
 
  
    

  = f(1)

Bài 6. Tìm m để hàm số sau liên tục tại x0= 0.

a) f(x) =

















0
x
khi
2
x
x
4
m
0
x
khi
x
x
1
x
1

ĐS: a) m  3

Bài 7. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên R

a) 0

1 0

sin x

khi x

f ( x ) x

khi x



 
 


b) 0

1 0

sin x

khi x
| x |

f ( x )

khi x




 
 


ĐS: a) liên tục b) không liên tục

Bài 8. Tìm m để hàm số

33 2 2

2
2
1
2
4
x
khi x
x

f ( x )

mx khi x

  


 
 
  




</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài giảng đôc quyền bởi 
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

ĐS: m = 0

Bài 9. Khơng giải phương trình, hãy chứng minh các phương trình sau ln có nghiệm

a) cosx + mcos2x = 0, b) m(x – 1)3(x + 2) + (2x + 3) = 0
HD:

a) Xét vế trái trên khoảng ;3
4 4

 

 

 

 

</div>

Bài giảng số 4: Hàm số liên tục và các ứng dụng











 







<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>





















Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về