Bài giảng số 1: Khái niệm cơ bản về véc tơ và các dạng bài tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (402.04 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

b

a

D C

B
o

Bài giảng số 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .

+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được

kí hiệu là ( đọc là vectơ AB).

+ Một vectơ xác định cịn được kí hiệu là a b x y   , , , ,...

(Chú ý:  ABBA)

+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0


Ví dụ: MM AA , ,....

+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ ≠ , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ . Cịn vectơ

khơng AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó.

+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ.

+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. 
Chú ý:

+ Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a


kí

hiệu là |a


|, |AB|ABBA

 Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Nếu a


bằng b



thì ta viết a


=b

.

AA BB
 

= 0


, |0


|= 0.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm

AB



AB



0 

AB



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

D C

B
o

a) Tất các vectơ khác 0


;
b) Các vectơ cùng phương;

c) Các vectơ bằng nhau.

Các kí hiệu thường gặp

AB


cùng phương CD kí hiệu: AB//CD

AB


cùng hướng CD kí hiệu: ABCD

AB


ngược hướng CD kí hiệu: ABCD

B. CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN

Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng

Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0là AB BA,
 

Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu và điểm cuối là

các điểm đó.

Giải

Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},

{D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0

Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho:

AM cùng phương a
Giải

Gọi  là giá của a

Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM// 
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // 

Ngược lại, mọi điểm M thc m thì AM cùng phương a



Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau

Ta có thể dùng một trong các cách sau:

+ Sử dụng định nghĩa: | | | |a b a b
a b




 


 

   

 

+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì 
a





m

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

E
F

D
B

K
I

M
D

ABDC BCAD,…

(hoặc viết ngược lại)

+ Nếu a b b  , ca c

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

Chứng minh:  EFCD

Giải

Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD,

EF=1

2BC=CD EF=CD EF  CD
 

(1)

EF


cùng hướng CD (2)

Từ (1),(2)  EF CD

Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành

EF=1

2BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hànhEFCD
 

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là
giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.

Chứng minh:    AM NC DK, NI

Giải

Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành

 AM NC

Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm

của MD DK=KM. Tứ giá IMKN là hình bình hành,

suy ra NI=KM DK NI

Ví dụ 5: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung

điểm cuối (hoặc điểm đầu).

Giải

Giả sử  ABAC. Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng

góc A BC.

(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)

Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho:

a) AM =a;

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa 
Giải

Giả sử  là giá của a. Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// 

(nếu A thuộc  thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:

AM1=AM2=|a



Khi đó ta có:

a) AM1=a



b) AM1=AM2 cùng phương với a

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng

của B qua O. Chứng minh:  AH B C' .

Giải

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và 
điểm cuối là các đỉnh tam giác?

Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương



avà



b. Có hay khơng một véctơ cùng phương với cả hai véctơ

đó.

a



d

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa 
Bài 3: Cho ba vectơ





c
b

a, , cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai

véctơ trong chúng có cùng hướng

Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ ABvà ACcùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.

Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm

trên hình vẽ các véctơ bằng PQ



,QR


,RP.

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Tìm các vectơ cùng phương với AB;

b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB;

c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB;

d) Tìm các vectơ bằng với MO, bằng với OB.

Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA;

b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB;

c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C

+ Các điểm cuối là F, D, C

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O

a) bằng vectơ ;

b) Có độ dài bằng  

Bài 9: Cho tứ giác ABCD.

Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi  ABDC

Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu  ABDC thì  ADBC

Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.

Chứng minh :

Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:

a) AB và AC cùng hướng, |AB|>|AC|;

b) AB và AC


ngược hướng;

c) AB và AC


cùng phương;

Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng

AB



OB



OB



MQ

NP

QP

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

Q
P

N
M

O
D

. Chứng minh AQ 0

 
.

HƯỚNG DẪN

Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ. 
Bài 2: có, đó là vectơ-khơng

Bài 3: nếu



a ngược hướng



b và



a ngược hướng



a thì cùng hướng

Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C. 
Bài 5:

Bài 6:

Bài 7: a) DA AD BC CB AO OD DO FE EF        , , , , , , , ,

b) OC ED FO  , ,

c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB

khi đó  BB' AB

* FO


là vectơ cần tìm

* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB

Do CC’//AB CC ' AB 
+ tương tự

Bài 8: a) ABDC
 

,OBDO
 

BC

PQ

DC

NP

DA

MN

BA

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi

Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

b) |OB| | BO| | DO| | OD|

Bài 9:

Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành

Chứng minh chiều : * = , cùng hướng và

* và cùng hướng AB // CD (1)

* AB  CD AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành

Bài 10:  ABDC AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành  AD BC

Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 1
2AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành

 đpcm

Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:

a) AB và AC


cùng hướng, |AB|>|AC



b) AB và AC


ngược hướng;

c) AB và AC


cùng phương;

HD: a) AB và AC


cùng hướng, |AB|>|AC


| khi C nằm giữa A và B

b) AB và AC


ngược hướng, khiA nằm giữa B và C











CD
AB

CD
AB //

DC
AB
CD
AB

CD
AB









//

 AB DC  AB DC AB  DC

AB DC 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng

+ cùng hướng: nếu |AB|>|AC| thì theo a); nếu |AB|<AC| thì B nằm giữa A và C.

+ Ngược hướng thì theo b)

Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng

. Chứng minh  AQ 0.

HD: Ta có AM  BA NP;  DC AB
    

 AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1) 
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)

Từ (1)&(2) AQ  AQ 0

BÀI TẬP LÀM THÊM

1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0


2. Cho tứ giác ABCD

a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0


b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.

CMR :



MQ =

NP

3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.

a/ Xác định các vectơ cùng phương với

MN

b/ Xác định các vectơ bằng

NP

4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ



EHvà



FG bằng



AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.

5. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ 

CI =



DA. CMR :

a/ I là trung điểm AB và



DI =

CB



AI =



IB =

DC

6. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng



MK =

CP và



KL =

BN

a/ CMR :



KP =

PN

BC

PQ

DC

NP

DA

MN

BA

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

b/ Hình tính tứ giác AKBN

c/ CMR :



</div>

Bài giảng số 1: Khái niệm cơ bản về véc tơ và các dạng bài tập

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>AB</i>



<i>AB</i>



0



<i>AB</i>



<i>AB</i>



<i>OB</i>



<i>OB</i>



<i>MQ</i>

<i>NP</i>

<i>QP</i>

<i>BC</i>

<i>PQ</i>

<i>DC</i>

<i>NP</i>

<i>DA</i>

<i>MN</i>

<i>BA</i>

<i>BC</i>

<i>PQ</i>

<i>DC</i>

<i>NP</i>

<i>DA</i>

<i>MN</i>

<i>BA</i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về