Bài giảng số 5: Cung chứa góc và một số ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (282.09 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI GIẢNG SỐ 5:

CUNG CHỨA GĨC

I. Tóm tắt lý thuyết

i) Cho đoạn thẳng AB, quĩ tích các điểm M sao cho góc



AMB

có số đo bằng



không đổi

0 180 là hai cung có số đo 36002 đối xứng nhau qua AB (được gọi là cung chứa góc



dựng trên đoạn AB).

ii) Trường hợp đặc biệt: Qũy tích những điểm nhìn đoạn AB dưới một góc vng là đường kính AB. 
iii) Muốn chứng minh tập hợp điểm M thỏa mãn một tính chất T là một hình H nào đó, ta chứng minh 
hai phần sau:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H 
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T. 
Giới hạn quĩ tích và kết luận.

II. Bài tập mẫu

Bài tập mẫu 1: Cho tam giác ABC vng ở A có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường 
phân giác trong tam giác

ABC

. Tìm quỹ tích điểm I khi

A

thay đổi

Giải:

a) Phần thuận:

Vì tam giác

ABC

tại A ta có

C

 



B



90

0
nên

C

 

1



B

1



90 : 2



45

Xét tam giác

BIC

có

C

 

1



B

1



45

0
Suy ra:

BIC 



180 

45 

135

Nên điểm

I

nhìn đoạn BC cố định dưới một
góc

BIC 



135

0 khơng đổi.

Vậy quỹ tích điểm

I

là cung chứa góc

135

0
khơng đổi.

b) Phần đảo:

Lấy I thuộc cung chứa góc '

135

0dựng trên
đoạn thẳng

BC

.Ta cần chứng minh

I

'

là giao
điểm của ba đường phân giác trong tam giác
vuông

ABC

cạnh huyền

BC

Dựng hai tia

Bt Ck

,

trên nửa mặt phẳng bờ 
chứa điểm

I

'

tBI



'



 

I BC kCI

'

;

'



I CB



'

.
Hai tia Bt Ck, cắt nhau ở

A

'

Vì

I B I C

' ; '

là các tia phân giác trong của
tam giác

A BC

'

nên A I cũng là tia phân '

giác của góc

BA C



'

. Mà



BI C 

'

135

0 nên

B

 

1



C

1



180 

135 

45

0
Do đó:

B

 



C



90 

BA C



'



90

0. Vậy tam giác

A BC

'

vuông tại A . '

t

k

1
2

I'

B

C

A'

2

1

2

1

I

B

C

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài tập mẫu 2: Cho đường tròn ( )O và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC

của đường tròn ( )O (A khác B , A khác C). Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn ( )O tại điểm D 
khác điểm C. Lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI DB. Đường thẳng BI cắt đường tròn ( )O tại 
điểm K khác điểm B .

a) Chứng minh rằng tam giác KAC cân.

b) Chứng minh rằng đường thẳng AI luôn đi qua một điểm Jcố định.

c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM  AC. Tìm quỹ tích các điểm M khi A di động trên 
cung lớn BC của đường trịn ( )O .

Giải:

a) Ta có  1
2

DBK  (sđ DA + sđ AK )

 1
2

DIB  ( sđ BD + sđ KC ).

Vì sđ BD = sđ DA và DIB cân tại D nên 
sđKC = sđ AK . Suy ra AK CK hay AKC

cân tại K .

b) Từ kết quả câu a) ta thấy I là tâm 
đường tròn nội tiếp ABC nên đường thằng

AI luôn đi qua điểm J(điểm chính giữa cung



BC khơng chứa A ). Ta thấy J là điểm cố
định.

c) Phần thuận:

Do AMCcân tại A , nên  1
2

BMC BAC. Giả sử số đo góc BAC là  (khơng đổi) thì khi A di 
động trên cung lớn BC thì M thuộc cung chứa góc  dựng trên đoạn BC về phía điểm O.

Phần đảo:

Tiếp tuyến Bxcắt với đường trịn ( )O cung chứa góc  vẽ trên đoạn BC tại điểm X . Lấy điểm 
M bất kì trên Cx (một phần cung chứa góc  và vẽ trên đoạn BC, M khác X và M khác C).
Nếu MB cắt đường tròn ( )O tại A thì rõ ràng A thuộc cung lớn BC của đường tròn ( )O . Vì

 2 ,

BAC  AMC suy ra AMC cân tại A hay AC AM .

Kết luận: Qũy tích các điểm M là cung Cx , một phần cung chứa góc  vẽ trên đoạn BC về
phía O trừ hai điểm C và X .

Bài tập mẫu 3: Cho trước điểm A trên đường thẳng dvà hai điểm C D, thuộc hai nửa mẳ phẳng đối nhau, 
bờ d. Hãy dựng một điểm B trên đường thẳng dsao cho  ACB ADB.

Giải:

 Phân tích:

Giả sử dựng được điểm B trên d sao cho ACBADB

.

Gọi D là điểm đối xứng của D qua ' d.

Khi đó ADBAD B' . Vậy: ACB AD B' .

Suy ra C và D cùng nằm trên một cung chứa góc dựng trên đoạn AB . Từ đó ta thấy B là giao '
điểm của d với đường tròn ngoại tiếp ACD'.

I
A

O

M

B C

K

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Cách dựng:

Dựng điểm D là điểm đối xứng của D qua đường thẳng ' d. Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác

ACD . Dựng giao điểm B của đường thẳng d với đường tròn (ACD').

 Chứng minh:

Rõ ràng với cách dựng trên, ta có:

ADBAD B' ACB

.

 Biện luận:

+) Nếu ba điểm A C D, , không thẳng hàng, hoặc
nếu ba điểm này thẳng hàng nhưng CD khơng
vng góc với d thì bài tốn có một nghiệm
hình.

+) Nếu ba điểm A C D, , thẳng hàng và d là
đường trung trực của đoạn CD thì bài tốn có
vơ số nghiệm hình.

+) Nếu ba điểm A C D, , thẳng hàng, d CD

nhưng d không phải là đường trung trực của

CD thì bài tốn khơng có nghiệm hình

.

Bài tập mẫu 4: Giả sử AD là đường phân giác góc A của tam giác ABC (D thuộc đoạn BC). Trên AD 
lấy điểm M và N sao choABN CBM. BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai

E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM tại điểm thứ hai F . 
a) Chứng minh rằng bốn điểm B C E F, , , cùng nằm trên một đường tròn. 
b) Chứng minh ba điểm A E F, , thẳng hàng.

c) Chứng minh BCFACM, từ đó suy ra ACN BCM.
Giải:

a) Ta có: BFCBAN (cùng chắn cung BN ) 

 

BFCBAN (cùng chắn cung BN ), mà

 

BFCBAN

, suy ra

BFCBAN (cùng chắn
cung BN ). 

Bốn điểm B C E F, , , cùng nằm trên một đường
trịn.

b) Từ kết quả trên ta có: CFENFA. Do đó 
hai tia FE và FA trùng nhau, nghĩa là ba điểm

, ,

A E F thẳng hàng.

c) Vì BCFBEF và do ACM BEF nên

 

BEF  ACM . Từ đó suy ra ACM BCF, dẫn
đến ACN BCM (dpcm).

Bài tập mẫu 5: Cho nửa đường tròn tâm ( )O đường kính AB . C là điểm di động trên nửa đường trịn đó. 
Vẽ tam giác đểuACD với D thuộc nửa mặt phẳng bờ ACkhông chứa B . Tìm quỹ tích trung điểm M của 
đoạn CD.

Giải:

d

B

D

A

D'

C

k

M

N

A

B

D

C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Phần thuận:

Giả sử ( )O là giao điểm của đường thẳng CD

với nửa đường tròn ( )O . Từ giả thiết ACD

đều ta thấy ACE 1200 nên sđBE 600.
Vì thế E là điểm cố định. Lại vì M là trung 
điểm của CD, mà ACD đều nên AM CD

hay AME 900. Từ đó M nằm trên nửa 
đường trịn đường kính AE .

Khi C trùng A thì M trùng A , khi C trùng
B thì M trùng E . Vậy M chỉ nằm trên nửa 
đường trịn đường kính AE .

b) Phần đảo:

Lấy điểm M bất kì trên nửa đường trịn đường kính AE . Đường thẳng EM cắt nửa đường tròn ( )O

tại C. Vẽ tam giác đều ACD, trong đó D thuộc nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa B . Khi đó sđ

 0

BE  , nên ta thấy ngay ABE 600, dẫn đến ACE 1200.

Suy ra ACD ACE6001200 1800 nên bốn điểm D M C E, , , thẳng hàng. Rõ ràng MDMC

(vì trong tam giác đều ACD đường cao AH cũng là đường trung tuyến).

c) Kết luận: Qũy tích trung điểm M của CD là nửa đường trịn đường kính AE nằm trên nửa 
mặt phẳng bờ AE không chứa B .

III. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Cho nửa đường trịn tâm ( )O đường kính BC2R. A là điểm di động trên nửa đường tròn đó. 
GọiD và E theo thứ tự là trung điểm của các dâyACvà AB . Tìm quỹ tích giao điểm M của đoạn BD và

CE

Hướng dẫn: Qũy tích các giao điểm M của BD và CE là nửa đường

trịn tâm O bán kính 
3
R

.

Bài tập 2: Cho đường trịn tâm ( )O bán kính R và dây cung ACR 3. C là điểm di động trên cung nhỏ
AB . Vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với AB . Từ A và B kẻ các tiếp tuyến khác AB với đường trịn tâm M
,chúng cắt nhau tại M .Tìm quỹ tích các điểm M .

Hướng dẫn: Qũy tích các giao điểm M là cung chứa góc 600vẽ trên 
đoạn AB thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa cung nhỏ AB của 
đường tròn ( )O

Bài tập 3: Dựng tam giác ABC, biết rằng

a) BC3cm, độ dài đường trung tuyến AM bằng 3cm

b) BC3cm, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác bằng 2, 5cm, bán kính đường trịn nội
tiếp tam giác bằng 1cm.

Hướng dẫn:

a) Điểm A thuộc cung chứa góc 500 vẽ trên đoạn BCvà A thuộc 
đường trịn tâm M bán kính R3cm (M là trung điểm của BC).

b) Dựng đường tròn ( ; 2, 5O cm).

M

C

O

A

B

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài tập 4: Cho bốn điểm A B C D, , , theo thứ tự cùng nằm trên đường trịn ( )O sao cho AC vng góc với
BD tại H ( khác O). Gọi M và Nlần lượt là chân các đường vng góc kẻ từ H xng các đường thẳng 
AB và BC, P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH và NH với các đường thẳng CD và DA .

a) Chứng minh rằng PQ/ /AC .

b) Chứng minh rằng bốn điểm M N P Q, , , cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn:

a) Chứng minh Qlà trung điểm đoạn AD và P là trung điểm đoạn

CD.

b) Chứng minh NQH NMH NMP.

Bài tập 5: Cho tam giác ABC, gọi D và E theo thứ tự là các tiếp điểm của đường tròn tâm O nội tiếp tam
giác với các cạnh AB và AC, H là giao điểm của đường thẳng BO và đường thẳng DE .

a)

Chứng minh rằng bốn điểm O E H C, , , cùng nằm trên một đường tròn.

b)

Chứng tỏ rằng đường phân giác trong của góc ABC , đường trung bình của tam giác ABC song song
với cạnh AB và đường thẳng DE đồng quy.

Hướng dẫn:

a) Chứng minh OHEECO

</div>

Bài giảng số 5: Cung chứa góc và một số ứng dụng

<b>BÀI GIẢNG SỐ 5: </b>

<b>CUNG CHỨA GĨC </b>

<b>I. Tóm tắt lý thuyết </b>



<i>AMB</i>

<i></i>

<i></i>

<b>II. Bài tập mẫu </b>

<i>ABC</i>

<i>A</i>

<i>ABC</i>

<i>C</i>

 



<i>B</i>



90

<i>C</i>

 



<i>B</i>



90 : 2



45

<i>BIC</i>

<i>C</i>

 



<i>B</i>



45

<i>BIC </i>



180



45



135

<i>I</i>

<i>BIC </i>



135

<i>I</i>

135

135

<i>BC</i>

<i>I</i>

'

<i>ABC</i>

<i>BC</i>

<i>Bt Ck</i>

,

<i>I</i>

'

<i>tBI</i>



'



 

<i>I BC kCI</i>

'

;

'



<i>I CB</i>



'

<i>A</i>

'

<i>I B I C</i>

' ; '

<i>A BC</i>

'

<i>BA C</i>



'



<i>BI C </i>