Ứng dụng chương trình tính toán để giải những bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN THỊ LỤA

ỨNG DỤNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TỐN
ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TỐN BIÊN
CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
BẬC HAI

Bộ mơn: Tốn lý
MSSV: 41.01.102.059

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. LƯƠNG LÊ HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019


LỜI MỞ ĐẦU
Để khóa luận đạt kết quả như hơm nay, trong q trình bắt đầu và hồn
thiện em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ quý thầy cơ, bạn bè và gia
đình. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
Đầu tiên là thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng và trực tiếp hướng
dẫn em trong suốt q trình làm khóa luận. Thầy ln đồng hành giúp đỡ,
động viên, chỉ dẫn tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu. Ngồi ra, em cịn
nhận được từ thầy sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mê nghiên cứu
khoa học.
Thứ hai, các thầy, cô trong khoa Vật Lý đã giảng dạy, truyền cho em
những kiến thức chuyên môn nền tảng, kĩ năng, phương pháp để em có thể
vững bước vào nghề trong tương lai.

Cùng với đó là gia đình và bạn bè thân thiết ln bên cạnh và giúp đỡ em
trong thời gian qua.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn.
Tp.HCM, ngày 30 tháng 04 năm 2019
Trần Thị Lụa


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay những hệ lượng tử ít chiều trong các trường ngoại lực như điện
trường hoặc từ trường được nghiên cứu và khảo sát một cách mạnh mẽ trong
các quá trình như quang ion hóa, tái hợp các nguyên tử và phân tử, chuyển
dịch bức xạ của các trạng thái Rydberg của nguyên tử trong các bẫy quang
từ [1–3], khuếch tán lượng tử trên bề mặt của các phân tử [4] hay truyền
ánh sáng trong các ống quang dẫn rời rạc không đều [5], [6]. Mơ hình tốn
học của các q trình trên là những bài tốn biên có chứa phương trình
Schrodinger, một phương trình cơ bản đặc trưng cho trạng thái của một hệ
lượng tử bất kì (các hạt cơ bản như electron, proton, hạt nhân, nguyên tử,
phân tử v.v..) hoặc hệ phương trình đạo hàm riêng bậc hai dạng Elip trong
miền vơ hạn với những hàm thế năng khác nhau.
Đã có một số cơng trình khoa học đưa ra những chương trình dựa trên các
sơ đồ tính tốn bằng phương pháp số và giải tích khác nhau để giải những mơ
hình tốn học trên với mục đích tìm ra hàm sóng và năng lượng riêng của hệ
lượng tử. Các chương trình này được viết trên các chương trình phần mềm
tính tốn như Mathcad, Mathematica. Tuy nhiên số lượng các cơng trình
như vậy cịn khá ít và kết quả của những cơng trình chỉ đưa ra những chương
trình tính tốn một cách sơ bộ, rời rạc và chỉ áp dụng cho một vài phương
pháp đơn giản với nhiều lí do như sự hạn chế tốc độ vận hành của mỗi phần
mềm, mã code chưa được chuẩn, hoặc sự hạn chế về mặt tính tốn số học
hay vẽ đồ thị v.v.. Vì vậy việc xây dựng và áp dụng những chương trình dựa

trên những phương pháp mới để khảo sát những mơ hình lượng tử phức tạp
là một nhiệm vụ cần thiết và quan trọng đối với những người nghiên cứu
khoa học, đặc biệt là trong lĩnh vực khoa học tự nhiên và kĩ thuật.
Trong khóa luận này chúng tơi sử dụng chương trình có tên gọi "KANTBP
4M — A program for solving boundary problems of the self-adjoint
system of ordinary second order differential equations " [7]. Đây là
chương trình được biên soạn trên phần mềm Maple (Maplesoft) bởi các cộng
tác viên khoa học ở Viện Liên hiệp Hạt nhân Dubna, Thành phố Dubna,
Liên Bang Nga. Chương trình có chứa hơn 1000 mã code và thuật toán phức
hợp được thể hiện qua các sơ đồ tính tốn dựa trên phương pháp phần tử
hữu hạn [8] với đa thức nội suy Hermite [9] để khảo sát các mơ hình tốn


3

học được đơn giản hóa từ các mơ hình vật lý lượng tử ít chiều phức tạp.
2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
Khóa luận trình bày lại vắn tắt cách chương trình giải các bài tốn bằng
phương pháp phần tử hữu hạn và nội dung bài toán trị riêng, bài tốn tán
xạ. Từ đó, vận dụng giải các bài tốn cụ thể tương ứng.
3. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP 4M
Chương này gồm các nội dung như giới thiệu chương trình KANTBP 4M,
bài tốn trị riêng và bài toán tán xạ, phương pháp phần tử hữu hạn, đa thức
nội suy Hermite.
Chương 2: Ứng dụng chương trình KANTBP 4M
Vận dụng chương trình KANTBP 4M để khảo sát các bài tốn trị riêng
và bài tốn tán xạ cho phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.

Mục lục
1

Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP 4M . . . . . . . .
1.1

2

5

Bài toán biên, bài toán trị riêng và phiếm hàm bậc hai
đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Mô tả ngắn gọn các dạng bài tốn

6

1.3

Sự hình thành phương pháp phần tử hữu hạn của bài
toán đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4
1.5

Đa thức nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Sự hình thành bài tốn trị riêng đại số . . . . . . . . . 14

. . . . . . . . . . .

1.6
Sơ đồ tính tốn của bài tốn tán xạ nhiều kênh . . . . 18
Ứng dụng của chương trình KANTBP 4M . . . . . . . . . . . 22
2.1

Bài toán 1: Nghiệm của bài toán trị riêng với phương
trình Schrodinger cho dao động tử điều hịa một chiều
và phương trình xuyên tâm cho dao động tử điều hòa
d – chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2

Bài toán 2: Nghiệm của bài toán trị riêng cho hệ phương

2.3

trình với hàm thế khơng đổi liên tục từng phần . . . . 31
Bài toán 3: Nghiệm của bài tốn tán xạ nhiều kênh cho
hệ phương trình với hàm thế không đổi liên tục từng
phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4

Bài toán 4: Nghiệm của bài tốn tán xạ nhiều kênh mơ
tả sự truyền qua rào thế của hệ hai hạt đồng nhất với

tương tác dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


5

1.

Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP
4M

1.1.

Bài tốn biên, bài toán trị riêng và phiếm hàm
bậc hai đối xứng

Chương trình KANTBP 4M [7] là chương trình dùng để giải những bài
tốn biên và bài tốn trị riêng có chứa hệ gồm N phương trình vi phân thường
bậc hai đối với hàm số chưa biết (hàm riêng) Φ(z ) = (Φ1 (z ) . . . , ΦN (z ))T
của biến số độc lập z ∈ Ω z min , z max bằng phương pháp phần tử hữu hạn

[8]:
d
d
1
I fA (z ) + V(z )
fB (z ) dz
dz

fA (z )
d
1 d fA (z )Q(z )
+
Q(z ) +
− EI Φ(z ) = 0 (1.1)
fB (z )
dz fB (z )
dz

(D − EI)Φ(i) (z ) ≡

−

Với fB (z ) > 0 và fA (z ) > 0 là những hàm liên tục hoặc liên tục từng
phần mang giá trị dương, I là ma trận đơn vị, V(z) là ma trận đối xứng,
Vij (z ) = Vji (z ) và Q(z) là ma trận phản xứng, Qij (z ) = −Qji (z ) của thế
hiệu dụng có kích thước N × N . Các phần tử của các ma trận này là những
hệ số liên tục hoặc liên tục từng phần mang giá trị thực hoặc phức thuộc
không gian Sobolev H2s≥1 (Ω), với điều kiện tồn tại các nghiệm bất thường
thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất: Dirichlet (loại I) hoặc Neumann
(loại II) hoặc loại III tại các điểm biên trong khoảng z ∈ z min , z max với giá
trị được cho sẵn của các phần tử thuộc ma trận thực hoặc phức R(z t ) có
kích thước N × N .
(I) :
(II) :
(III) :

Φ(z t ) = 0, t=min và (hoặc) max
(1.2)

d
limt fA (z ) I − Q(z ) Φ(z ) = 0, t=min và (hoặc) max (1.3)
z→z
dz
d
I − Q(z ) Φ(z )
= R(z t )Φ(z t ), t=min và (hoặc) max(1.4)
t
dz
z=z

Nghiệm Φ(z ) ∈ H2s≥1 (Ω) của các bài toán biên (1.1)–(1.4) được rút gọn
theo phép tính tốn số học các điểm dừng của phiếm hàm bậc hai đối xứng


6

bằng cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.
z max

Ξ(Φ, E, z

min

,z

max

.

)≡

= Π(Φ, E, z

Φ (z )(D − EI)Φ(z )dz

z min
min max

,z

.

) − f A (z max )Φ (z max )G(z max )Φ(z max )

.

+ f A (z min )Φ (z min )G(z min )Φ(z min ) (1.5)
z max

Π(Φ, E, z

.

.

dΦ (z ) dΦ(z )
+ f B (z )Φ (z )V(z )Φ(z )
dz
dz

z min
dΦ(z )
dΦ(z )
− f A (z )
Q(z )Φ(z )
+ f A Φ (z )Q(z )
dz
dz

min

,z

max

)=

f A (z )

.

.

.

− f B (z )EΦ (z )Φ(z ) dz (1.6)
Với G(z ) = R(z ) − Q(z ) là ma trận đối xứng có kích thước N × N , dấu

.

là hoán vị T hoặc liên hợp Hermite † , tức là chuyển vị với liên hợp phức phụ
thuộc vào loại bài tốn cần giải.

1.2.

Mơ tả ngắn gọn các dạng bài toán

Xét 2 dạng bài toán biên cơ bản:
Bài toán tán xạ nhiều kênh
Trên trục z ∈ (−∞, +∞) với giá trị năng lượng không đổi E = E,
(i)
(i)
N
nghiệm cần tìm ở dạng ma trận Φ(z ) ≡ {Φ(i)
v (z )}i=1 , Φv (z ) = (Φ1v (z ), . . . ,
(i)

ΦN v (z ))T , Φ(z ) ∈ W 12 (Ωz ) (chỉ số dưới v lấy giá trị → hoặc ← và có nghĩa là
hướng ban đầu của sóng tới là từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái hình
1.1) của bài tốn biên (1.1) dành cho hệ N phương trình vi phân thường
bậc hai trong khoảng z ∈ [z min , z max ] được tính bằng code của chương trình
[13,14]. Các nghiệm ở dạng ma trận này phải thỏa mãn điều kiện biên thuần
nhất loại III (1.4) tại các điểm biên trong khoảng z ∈ [z min , z max ] với tiệm
cận có dạng "sóng tới + sóng truyền qua" trong các kênh mở i = 1, . . . , No :


7

)m ( z o rf)

)o ( z o rf)
X(  ) ( z )

l

X(  ) ( z )

X( ) ( z )R o X(+) ( z )To
z0
z!0

X() ( z)Tm X(+) ( z)R m
z0
z!0

lm o
)

l o o rf
)

l


o





!

Hình 1.1: Sơ đồ biểu diễn nghiệm của bài toán tán xạ với tiệm cận có dạng
"sóng tới + sóng phản xạ và sóng truyền qua" trong các kênh mở.


X(+) (z )T ,


z ∈ [z max , +∞),
v




X(+) (z ) + X(−) (z )R , z ∈ (−∞, z min ],
v
Φv (z → ±∞) = 

X(−) (z ) + X(+) (z )R , z ∈ [z max , +∞),

v




X(−) (z )T ,
z ∈ (−∞, z min ],

v =→,

v =←,

v

(1.7)
Trong đó Tv và Rv là ma trận chữ nhật và ma trận vuông chưa biết của
biên độ truyền qua và phản xạ tương ứng, để thành lập ma trận tán xạ S có
kích thước No × No , No = NoL + NoR :
S=

R→ T ←
,
T→ R ←

S† S = S† S = I

(1.8)

là ma trận đối xứng và đơn nhất trong trường hợp hàm thế năng có giá trị
thực.
Đối với bài tốn tán xạ nhiều kênh trên bán trục z ∈ [z min , +∞) hoặc
z ∈ (−∞, z max ], nghiệm ở dạng ma trận cần tìm Φ(z ) của bài tốn biên
dành cho hệ N phương trình vi phân thường bậc hai (1.1) được tính trong
khoảng z ∈ [z min , z max ]. Các nghiệm của ma trận này phải thỏa mãn điều
kiện biên thuần nhất loại III (1.4) tại điểm biên z max hoặc z min của khoảng
đang xét, với tiệm cận của loại "sóng tới + sóng truyền qua" trong các kênh
mở i = 1, . . . , No :
Φ← (z → +∞) = X(−) (z ) + X(+) (z )R← ,
hoặc Φ→ (z → −∞) = X

(+)

(z ) + X

(−)

(z )R→ ,

z ∈ [z max , +∞)
z ∈ (−∞, z

min

]

l

o

(1.9)

và thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất (1.2)–(1.4) tại điểm biên z min hoặc





m

8

z max để thành lập ma trận tán xạ S = R← hoặc S = R→ là ma trận đối
xứng và đơn nhất trong trường hợp hàm thế năng có giá trị thực.
Trong nghiệm của bài toán tán xạ nhiều kênh các kênh đóng cũng được
xét. Trong trường hợp này điều kiện tiệm cận (1.7),(1.9) có dạng:

X(→) (z )T + X(c) (z )Tc , z ≥ z max
→
max
max
→
as
Φ→ =
X(→) (z ) + X(←) (z )R + X(c) (z )Rc , z ≤ z min
min

Φas
←

→

min

→

min



X(←) (z ) + X(→) (z )R + X(c) (z )Rc ,
←
max
max
max
←
=
X(←) (z )T + X(c) (z )Tc , z ≤ z min
←

min

(1.10)

z ≥ z max

(1.11)

←

min

(→)

(→)
trong đó Xmax
(z ) = X(+) (z ), z ≥ z max , Xmin (z ) = X(+) (z ), z ≤ z min ,
(←)
Xmin (z ) = X(−) (z ), z ≤ z min trong phương trình (1.10) và X(←)
max (z ) =

(←)

(→)
X(−) (z ), z ≥ z max , Xmax
(z ) = X(+) (z ), z ≥ z max , Xmin (z ) = X(−) (z ),
z ≤ z min trong phương trình (1.11).

Giả sử các số hạng chính của các nghiệm tiệm cận X(±) (z ) của bài toán
biên tại z ≤ z min và (hoặc) z ≥ z max có dạng như sau:
trong các kênh mở Vito io < E thì nghiệm dao động:

Xi±o j (z )
ptio

→

exp(±ıptio z )
fA (z )pti

fB (z t )
fA (z t )

=

δio j ,

E − Vito io

j = 1, . . . , N,

io = 1, . . . , No ,

(1.12)

trong các kênh đóng Vitc ic ≥ E thì nghiệm giảm theo hàm số mũ:
Xicc j (z ) →
ptic =

1
exp(−ptic |z|)δic j ,
fA (z )

fB (z t )
fA (z t )

Vitc ic − E

j = 1, . . . , N,

ic = No + 1, . . . , N. (1.13)

Các hệ thức này trở nên đúng đắn nếu các hệ số của phương trình đối với
z ≤ z min và (hoặc) z ≥ z max thỏa mãn điều kiện dưới đây:
fA (z )
fA (z t )
=
+ o(1), t = min, max,
fB (z )
fB (z t )

Vii (z ) = Viit + o(1), Vijt (z ) = o(1),
Qtij = o(1), i = j. (1.14)


9

Bài tốn trị riêng
Chương trình KANTBP 4M tính tốn một bộ M trị riêng năng lượng
E : E1 ≤ E2 ≤ . . . ≤ EM và bộ hàm riêng tương ứng Φ(z ) ≡
(m)

(m)

m
T
2
{Φm (z )}M
m=1 , Φ (z ) = (Φ1 (z ), . . . , ΦN (z )) thuộc không gian H2 đối
với hệ N phương trình vi phân thường bậc hai (1.1). Các hàm riêng này

phải thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất: loại I và (hoặc) loại II hay loại III
((1.2)–(1.4)) tại các điểm biên thuộc khoảng z ∈ [z min , z max ].
Trong trường hợp hàm thế năng có giá trị thực, nghiệm phải thỏa mãn
điều kiện chuẩn hóa và trực giao:
z max
(m)

<Φ

|Φ

(m )

fB (z )(Φ(m) (z ))† Φ(m ) (z )dz = δmm

> =

(1.15)

z min

.

và phiếm hàm bậc hai đối xứng (1.5) tương ứng được sử dụng, trong đó dấu
là liên hợp Hermite † cần thiết cho tính rời rạc của bài toán khi dùng phương
pháp phần tử hữu hạn.
Trong trường hợp, hàm thế năng có giá trị phức, nghiệm phải thỏa mãn
điều kiện chuẩn hóa và trực giao:
z max

fB (z )(Φ(m) (z ))T Φ(m ) (z )dz = δmm

< Φ(m) |Φ(m ) > =

(1.16)

z min

.

và phiếm hàm bậc hai đối xứng (1.5) tương ứng được sử dụng, trong đó là
chuyển vị T cần cho tính rời rạc của bài tốn khi dùng phương pháp phần tử
hữu hạn.
Để giải bài toán giới hạn trên trục hoặc nửa trục số, bài toán ban đầu được
xấp xỉ bằng bài toán biên (1.1)–(1.4) trên khoảng giới hạn z ∈ [z min , z max ]
với các điều kiện biên loại III (1.4) với ma trận R(z t ) đã cho phụ thuộc vào
trị riêng E chưa biết và một bộ trị riêng, hàm riêng xấp xỉ được tính tốn.
Nếu ma trận R(z t ) phụ thuộc vào trị riêng E chưa biết khi đó R(z t , E ) được
xác định bằng khai triển tiệm cận đã biết của nghiệm cần tìm. Trong trường
hợp đó, để tính trị riêng và hàm riêng xấp xỉ trong chương trình thì sơ đồ
lặp của Newton được triển khai để tính tốn. Sự xấp xỉ thích hợp ban đầu
được chọn từ nghiệm đã tính trước đó với điều kiện biên phụ thuộc vào E.


10

1.3.

Sự hình thành phương pháp phần tử hữu hạn của
bài tốn đại số

Các sơ đồ tính tốn có độ chính xác cao để giải bài tốn biên (1.1)–(1.4)
có thể được suy ra từ phiếm hàm biến phân (1.5)– (1.6) dựa trên phương
pháp phần tử hữu hạn. Ý tưởng chung của phương pháp này là trong không
gian một chiều khoảng z min , z max được chia thành nhiều phần nhỏ mà mỗi
phần được xem như là các phần tử. Kích thước của các phần tử này có thể
được xác định thơng qua các tính chất vật lý của hệ lượng tử đang khảo sát,
và dáng điệu cũng như tính chất trơn của nghiệm hàm cần tìm cùng với đạo
hàm.
min

Khoảng ∆ = z min , z max chứa một bộ n phần tử ∆j = zjmin , zjmax ≡ zj+1
,
tức là ∆ = ∪nj=1 ∆j . Vì vậy, chúng ta thu được một mạng lưới:

Ωhj(z) z min , z max = {z min = z1min , zjmax = zjmin + hj , j = 1, . . . , n − 1,
znmax = znmin + hn = z max } (1.17)
max
trong đó, zjmin ≡ zj−1
, j = 2, . . . , n là các điểm mắt và các bước hj =

zjmax − zjmin là độ dài của các phần tử ∆j .
Chương trình cịn có khả năng xác định một mạng lưới giả đồng nhất, mà
h1 = h2 = ... = hn1 , hn1+1 = hn1+2 = ... = hn1+n2 , hn1+n2+1 = hn1+n2+2 =
. . . = hn1+n2+n3 , . . . tức là khoảng ∆ = z min , z max đầu tiên được chia nhỏ
thành nmesh khoảng phụ (trong trường hợp tổng quát độ dài không bằng
nhau), mỗi khoảng phụ đó lại được chia thành ngrid(r0) = nr0 khoảng con
có cùng độ dài.

1.4.

Đa thức nội suy Hermite

Trong mỗi phần tử ∆j chúng ta định nghĩa mạng lưới con cách đều
h (z)
Ωj j [zjmin ,
zjmax ] = {z(j−1)p

zr ≡ z(j−1)p+r

= zjmin , z(j−1)p+r , r = 1, . . . , p − 1, zjp = zjmax } với điểm nút

được xác định bởi công thức:

z(j−1)p+r = ((p − r)zjmin + rzjmax )/p,

r = 0, . . . , p.
max

(1.18)

Đối với một bộ hàm địa phương {Nl (z, zjmin , zjmax )}ll=0 , lmax = Σpr=0 κmax
,
r
max
p
κ
−1
r
chúng ta sử dụng đa thức nội suy Hermite (IHPs) {{ϕκr (z )}r=0 }κ=0
tại


11

các điểm nút zr , r = 0, . . . , p của mạng lưới (1.18). Đối với mỗi điểm nút
zr giá trị của hàm ϕκr (z ) và đạo hàm của nó đến bậc (κmax
− 1) tức là
r
κ = 0, . . . , κmax
− 1, trong đó κmax
được hiểu như là bội số của điểm nút zr ,

r
r
được xác định bằng biểu thức [9]:
dκ ϕκr (z )
dz κ

ϕκr (zr ) = δrr δκ0 ,

= δrr δκκ

(1.19)

z=zr

Để tính đa thức nội suy Hermite chúng ta đưa vào hàm trọng số phụ
p

wr (z ) =
r =0,r =r

z − zr
zr − zr

κmax
r

wr (zr ) = 1.

,

(1.20)

Đạo hàm của hàm trọng số có thể được biểu diễn dưới dạng tích số
dκ wr (z )
= wr (z )grκ (z ),
κ
dz
Trong đó, thừa số grκ (z ) được xác định bằng hệ thức truy hồi
grκ (z )

dgrκ−1 (z )
=
+ gr1 (z )grκ−1 (z ),
dz

(1.21)

với điều kiện đầu
gr0 (z )

= 1,

gr1 (z )

1 dwr (z )
=
≡
wr (z ) dz

p

r =0,r =r

κmax
r
.
z − zr

(1.22)

Chúng ta sẽ tìm đa thức nội suy Hermite ϕκr (z ) ở dạng sau
κmax
−1
r

ϕκr (z ) = wr (z )

κ
aκ,κ
r (z − zr ) .

(1.23)

κ =0

Lấy đạo hàm hàm (1.23) theo z tại điểm zr và kết hợp phương trình (1.20),
ta thu được
dκ ϕκr (z )
dz κ

κ

=
z=zr

κ =0

κ!
grκ −κ (zr )aκ,κ
κ !.
r
κ !(κ − κ )!

(1.24)

Từ đó ta có biểu thức cho các hệ số aκ,κ
r


κ −1
κ κ
d ϕr (z )
κ!

aκ,κ
=
−
grκ −κ (zr )aκ,κ
κ ! /κ !. (1.25)
r

r
κ
dz
κ
!(
κ
−
κ
)!
z=zr
κ =0


12

Từ phương trình (1.19) và (1.25), ta thu được các hệ số khai triển cần tìm
aκ,κ
của đa thức nội suy Hermite (1.23):
r



0


aκ,κ
= 1/κ !,
r




1
κ −κ
− κ −1
(zr )aκ,κ
r
κ =κ (κ −κ )! gr

κ < κ,
κ = κ,
,

(1.26)

κ > κ.

Chú ý rằng tất cả các bậc của đa thức nội suy Hermite ϕκr (z ) không phụ
p
thuộc vào κ và bằng p = r =0 κmax
− 1. Dưới đây, ta chỉ xét đa thức nội suy
r
Hermite với các điểm nút có cùng bội số κmax
= κmax , r = 0, . . . , p. Trong
r
trường hợp này bậc của đa thức bằng p = κmax (p + 1) − 1. Đối với đa thức
này ta sẽ đưa vào một kí hiệu để thay thế như sau:
Nκmax r+κ (z, zjmin , zjmax ) = ϕκr (z ),

r = 0, . . . , p,

κ = 0, . . . , κmax − 1.

(1.27)
Đa thức nội suy Hermite này hình thành một cơ sở thuộc khơng gian các
đa thức có bậc p = κmax (p + 1) − 1 trong phần tử z ∈ [zjmin , zjmax ] và có đạo
hàm liên tục đến bậc κmax − 1 tại các điểm biên zjmin và zjmax của phần tử
z ∈ [zjmin , zjmax ].
Đa thức nội suy Lagrange và đa thức nội suy Hermite với bội số của nút
κmax = 2 (và đạo hàm bậc nhất theo z) được biểu diễn qua hình (1.1)–(1.4).
Hình vẽ cho thấy giá trị của đa thức nội suy Hermite Nκmax p+κ (z, zjmin , zjmax )
min max
và Nκ (z, zj+1
, zj+1 ) (tại r = p và r = 0) và đạo hàm của nó đến bậc κmax − 1
min
[7]. Điều này cho phép ta xây dựng một cơ
trùng nhau tại điểm zjmax = zj+1
sở các đa thức từng phần có đạo hàm liên tục tới bậc κmax − 1 trong bộ bất

kì ∆ =

n
j=1 ∆j

min
= [zjmin , zjmax ] của phần tử ∆j = [zjmin , zjmax ≡ zj+1
].

Hình 1.2: Các đa thức nội suy Lagrange có bậc p = p = 1, 2, 3, 4, 5, κmax =
1, nút zr của đa thức nội suy Lagrange được biểu diễn bằng đường thẳng
đứng.

13

Hình 1.3: Đa thức nội suy Hermite với bội số của nút κmax = 2, p = 1, p = 3
(bên trái) và đạo hàm cấp một (bên phải) tại zjmin = 0, zjmax = 6.

Hình 1.4: Đa thức nội suy Hermite với bội số của nút κmax = 2, p = 2, p = 5
(bên trái) và đạo hàm bậc một (bên phải) tại zjmin = 0, zjmax = 6.

Hình 1.5: Đa thức nội suy Hermite với bội số của nút κmax = 2, p = 3, p = 7
(bên trái) và đạo hàm bậc một (bên phải) tại zjmin = 0, zjmax = 6.


14

1.5.

Sự hình thành bài tốn trị riêng đại số

Chúng ta xem xét sự biểu diễn rời rạc của nghiệm Φ(z ) trong bài toán
(1.1)-(1.4) đã được rút gọn bằng phương pháp phần tử hữu hạn từ phiếm
hàm biến phân (1.5), (1.6) trên mạng lưới phần tử hữu hạn:

Ωphj (z) [z min , z max ] = [z0 = z min , zl , l = 1, . . . , np − 1, znp = z max ],

(1.28)

min
với điểm mắt zl = zjp = zjmax ≡ zj+1

của mạng lưới Ωhj (z) [z min , z max ] được

xác định bởi phương trình (1.17) và điểm nút zl = z(j−1)p+r , r = 0, . . . , p
h (z)
của mạng lưới con Ωj j [zjmin , zjmax ], j = 1, . . . , n, đã xác định bởi phương
trình (1.18). Nghiệm Φh (z ) ≈ Φ(z ) được tìm ở dạng khai triển theo các hàm
cơ sở trên cơ sở của hàm địa phương Nµg (z ) tại mỗi điểm nút z = zl của
mạng lưới Ωphj (z) [z min , z max ] trong khoảng z ∈ ∆ = [z min , z max ]:
L−1
h

Φhµ Nµg (z ),

Φ (z ) =
µ=0

với L = (pn + 1)κmax

Φh (zl ) = Φhlκmax ,

dκ Φh (z )
dz κ

= Φhlκmax +κ
z=zl

(1.29)
là số lượng hàm cơ sở Nµg (z ) và các hệ số cần tìm Φhµ

(là những ma trận cột có kớch thc N ì 1) m khi à = lmax + κ là giá

trị của đạo hàm bậc κ của hàm số Φh (z ) tại mỗi điểm nút zl của mạng lưới

Ωphj (z) [z min , z max ], bao gồm giá trị của chính hàm Φh (z ) khi κ = 0.
g
Các hàm cơ sở Nµg (z ) ≡ Nlκ
max +κ (z ) là những đa thức từng phần có bậc
p , đạo hàm của nó theo bậc κ với nút zl bằng 1 và đạo hàm của nó theo bậc
κ = κ tại nút đó bằng 0, trong khi đó giá trị của hàm Nµg (z ) với tất cả đạo
hàm của nó theo bậc (κmax −1) bằng 0 tại tất cả các nút zl = zl khác của mạng
dκ Nl κmax +κ
= δll δκκ , l = 0, . . . , np, κ = 0, . . . , κmax − 1.
lưới, tức là
κ
dz
z=zl
Để những nút zl của mạng lưới (1.28) không trùng với những điểm mắt
zjmax của mạng lưới (1.17) tức là tại l = jp, j = 1 . . . n − 1, đa thức Nµg (z ) tại
µ = ((j − 1)p + r)κmax + κ có dạng

N max (z, z min , z max ), z ∈ ∆ ;
κ
r+κ
j
j
j
g
N(p(j−1)+r)κmax +κ (z ) =
(1.30)
0,
z∈

/ ∆j ,
có nghĩa là nó được xác định như đa thức nội suy Hermite Nκmax r+κ (z, zjmin , zjmax )
trong khoảng z ∈ ∆j và khác 0. Khi điểm zjmin và zjmax là nút của bội số κmax ,


15

những hàm đa thức từng phần như vậy và đạo hàm của nó theo bậc κmax − 1
thì liên tục trong toàn bộ khoảng ∆.
Để những điểm nút zl của mạng lưới (1.28) trùng với một trong những
điểm mắt zjmax của mạng lưới (1.17), phụ thuộc vào hai phần tử ∆j và
∆j+1 , j = 1 . . . n − 1, tức là để l = jp thì đạo hàm của đa thức theo bậc κ
bằng 1 tại nút zl có dạng



N max (z, zjmin , zjmax ), z ∈ ∆j ;

 κ p+κ
g
min max
Npκ
max j+κ (z ) =
Nκ (z, zj+1
, zj+1 ),
z ∈ ∆j+1 ;



0,

z∈
/ ∆j ∪ ∆j+1 .

(1.31)

Nói cách khác, nó được xây dựng bằng liên kết giữa đa thức Npκmax +κ (z,
min max
zjmin , zjmax ) đã xác định trong phần tử ∆j với đa thức Nκ (z, zj+1
, zj+1 ) đã
xác định trong phần tử ∆j+1 . Hàm đa thức từng phần cơ sở này Nµg (z ) ≡
g
max
Nlκ
− 1 trong
max +κ (z ) cũng liên tục với tất cả đạo hàm của nó theo bậc κ
khoảng z ∈ ∆.

Thay khai triển (1.29) vào phiếm hàm biến phân (1.5), (1.6) đưa nghiệm
bài toán (1.1) − (1.4) về nghiệm bài toán đại số trị riêng tổng quát cụ thể là
L−1
bộ giá trị riêng E mong muốn và vec-tơ riêng {{Φhνµ }N
ν=0 }µ=0 mong muốn:

˜ − 2E B)Φh = 0
(A

(1.32)

˜ = A(2) + A(1) + V + Mmin − Mmax và B lần lượt là ma trận cứng
Với A

đối xứng có kích thước LN × LN và ma trận khối có kích thước N L × N L
mang giá trị thực.
(2)

(2)j

Aν1 ,ν2 ;µ1 +1,µ2 +1 =

Aν1 ,ν2 ;l1 ,l2 ,
(j,l1 ,l2 )∈D

(2)j
Aν1 ,ν2 ;l1 ,l2

zjmax

=
zjmin

dNl1 (z, zjmin , zjmax ) dNl2 (z, zjmin , zjmax )
δν1 ν2 fA (z )
dz,
dz
dz

(1)

(1)j

Aν1 ,ν2 ;µ1 +1,µ2 +1 =

Aν1 ,ν2 ;l1 ,l2 ,
(j,l1 ,l2 )∈D

(1)j
Aν1 ,ν2 ;l1 ,l2

zjmax

=
zjmin

fA (z )Nl1 (z, zjmin , zjmax )Qν1 ν2 (z )

zjmax

−
zjmin

dNl2 (z, zjmin , zjmax )
dz
dz

dNl1 (z, zjmin , zjmax )
fA (z )
Qν1 ν2 (z )Nl2 (z, zjmin , zjmax )dz,
dz


16

Vνj1 ,ν2 ;l1 ,l2 ,

Vν1 ,ν2 ;µ1 +1,µ2 +1 =
(j,l1 ,l2 )∈D

Vνj1 ,ν2 ;l1 ,l2

zjmax

=
zjmin

fB (z )dzNl1 (z, zjmin , zjmax )Vν1 ν2 (z )Nl2 (z, zjmin , zjmax ),
Bνj1 ,ν2 ;l1 ,l2 ,

Bν1 ,ν2 ;µ1 +1,µ2 +1 =
(j,l1 ,l2 )∈D

Bνj1 ,ν2 ;l1 ,l2

zjmax

=
zjmin

δν1 ν2 fB (z )Nl1 (z, zjmin , zjmax )Nl2 (z, zjmin , zjmax )dz (1.33)

với D = {j ∈ {1, . . . , n}, l1 ∈ {0, . . . , p }, l2 ∈ {0, . . . , p }|µ1 = pκmax (j −
1) + l1 , µ2 = pκmax (j − 1) + l2 }.

Các ma trận Mmax và Mmin với kích thước N L × N L có duy nhất một ma
trận khác 0 với kích thước N ×N tương ứng là: Mν1 ,ν2 ;11 = fA (z min )Rν1 ,ν2 (z min )
max
và Mνmax
)Rν1 ,ν2 (z max ).
max ,L+1−κmax = fA (z
1 ,ν2 ;L+1−κ
Nếu hệ số của phương trình (1.32) được cho theo dạng bảng, khi đó ta sử

dụng phần tử ma trận Vl1 ;l2 (z min , z max ) dưới đây từ (1.33):
zjmax
zjmin

fB (z )dzNL1 (z, zjmin , zjmax )V (z )NL2 (z, zjmin , zjmax )
p

κmax −1

Wlj1 ;l2 ;κmax r+κ (zjmin , zjmax )V (κ) (z(j−1)p+r ),

=
r=0

κ=0

trong đó Wlj1 ;l2 ;l3 (zjmin , zjmax ) được xác định bằng cách lấy tích phân các đa
thức nội suy Hermite
Wlj1 ;l2 ;l3 (zjmin , zjmax )

zjmax

=
zjmin

fB (z )Nl1 (z, zjmin , zjmax )Nl2 (z, zjmin , zjmax )Nl3 (z
, zjmin , zjmax )dz

Biểu thức thu được sẽ chính xác đối với hàm thế năng có bậc nhỏ hơn p .
Thường sự khai triển này dẫn đến trị riêng và hàm riêng số học với độ chính
xác của bậc p + 1. Nếu tích phân khơng tính được với dạng giải tích, khi
đó phép lặp Gauss [9] với các nút p + 1 được áp dụng và giúp ước tính lý
thuyết (1.34).
p

(2)j
Aν1 ,ν2 ;l1 ,l2

dNl1 (z, zjmin , zjmax )
=
δν1 ,ν2 wg fA (zg )
dz
g=0

z=zg

dNl2 (z, zjmin , zjmax )
dz

z=zg

17

p
(1)j
Aν1 ,ν2 ;l1 ,l2

wg fA (zg )Nl1 (z, zjmin , zjmax )Qν1 ν2 (zg )

=
g=0

dNl2 (z, zjmin , zjmax )
dz

z=zg

p

dNl1 (z, zjmin , zjmax )
wg fA (zg )
−
dz
g=0

Qν1 ν2 (zg )Nl2 (zg , zjmin , zjmax )
z=zg

p

Vνj1 ,ν2 ;l1 ,l2

wg fB (zg )NL1 (zg , zjmin , zjmax )V (zg )NL2 (zg , zjmin , zjmax ),

=
g=0

p

Bνj1 ,ν2 ;l1 ,l2

δν1 ,ν2 wg fB (zg )Nl1 (zg , zjmin , zjmax )Nl2 (zg , zjmin , zjmax )

=
g=0

với zg = (p − g )z min + gz max và wg , g = 0, p là nút Gauss và trọng số của đa
thức trực giao có bậc p + 1 thuộc phần tử z ∈ (zjmin , zjmax ).
Lưu ý, sử dụng tọa độ địa phương η ∈ [−1, 1] liên quan đến tọa độ tuyệt
dz
đối z tại z = zjmin + hj (1 + η )/2,
= hj /2, ta thường sử dụng dạng khai
dη
triển của hàm số cùng với đạo hàm bậc nhất:
p

κmax −1

ˆ (z ) =
Φ

ˆ (z )
dΦ
=
dz

r=0 κ=0
p κmax −1

r=0

κ=0

ˆ κmax r+κ Nκmax r+κ (η, −1, 1) dz
Φ
dη

ˆ κmax r+κ dNκmax r+κ (η, −1, 1)
Φ
dη

dz
dη

κ

κ−1

.

Với ma trận có kích thước ∼ 100, nghiệm của bài tốn được tìm nhờ sử

dụng chu trình trong gói lệnh đại số tuyến tính của Maple. Với ma trận có
kích thước lớn ∼ 100 ÷ 1000000 thì sử dụng phương pháp lặp, được thực
hiện trên ngơn ngữ Fortran trong gói chương trình SSPACE, có hiệu quả cho
những bài tốn trị riêng với dải ma trận đối xứng có kích thước lớn.
Theo đánh giá lý thuyết đối với chuẩn H 0 có sự khác biệt giữa nghiệm
max
chính xác Φm (z ) ∈ H22 và nghiệm số học Φhm (z ) ∈ Hκ có bậc [8, 11]
h
|Em
− Em | ≤ c1 h2p ,

||Φhm (z ) − Φm (z )||0 ≤ c2 hp +1 ,

với h = max1
(1.34)


18

1.6.

Sơ đồ tính tốn của bài tốn tán xạ nhiều kênh

Chúng ta xét nghiệm của bài toán đại số ở dạng ma trận Φh ≡ ((χ(1) )h , . . . ,
(χ(No ) )h )
Gp Φh ≡ (Ap − EBp )Φh = MΦh ,

(1.35)

thu được bằng sự cách điểm hóa của phương pháp phần tử hữu hạn với độ
chính xác bậc cao của phiếm hàm (1.5), (1.6) tương ứng với bài tốn biên
(1.1), (1.4), xấp xỉ hóa bài tốn tán xạ nhiều kênh tại với giá trị năng lượng
E không đổi. Ma trận Ap = A(2) + A(1) + V và M = Mmax − Mmin có kích
thước N L × N L được xác định ở (1.33). Ma trận Mmax và Mmin được tạo
thành do sự xấp xỉ của điều kiện biên loại III tại biên bên trái và biên bên
phải của khoảng z ∈ [z min , z max ]
dΦh (z )
= (G(z ) + Q(z ))Φh (z ),
dz

z = z min ,

z = z max .

(1.36)

L
Phần tử của ma trận M = {Ml1 l2 }N
l ,l =1 bằng 0 ngoại trừ khi cả hai chỉ số
1 2

l1 = (l1 − 1)N + ν1 , l2 = (l2 − 1)N + ν2 thuộc khoảng 1, . . . , N hoặc khoảng
(L − κmax N ) + 1, . . . , (L − κmax N ) + N , với N là số phương trình (1.1) và
L là số hàm cơ sở Nµg (z ) trong khai triển của nghiệm cần tìm (1.29) thuộc
khoảng z ∈ ∆ = z min , z max .
Bài toán (1.35) được viết lại dưới dạng sau:
 p
  
 

Gaa Gpab 0
Φa
−Gpmin 0
0
Φa
 p







p
p
0
0   Φb 
 Gba Gbb Gbc   Φb  =  0
0 Gpcb Gpcc
Φc
0
0 Gpmax
Φc

(1.37)

Ma trận Gpbb có kích thước (L − 2N ) × (L − 2N ), Gpba và Gpbc có kích thước là

(L − 2N ) × N , Gpcb ,Gpab có kích thước N × (L − 2N ), Gpaa ,Gpcc có kích thước
N × N được xác định bằng phép xấp xỉ phần tử hữu hạn và được xem như

đã biết. Sự tồn tại của ma trận con 0 được liên kết với dải cấu trúc của ma
trận Gp từ (1.37). Ma trận Gmin và Gmax có kích thước N × N , và Φa , Φc
có kích thước N × 1, nên được liên kết với khai triển tiệm cận và sẽ được xét
ở phía dưới, ma trận Φb có kích thước (L − 2N ) × 1 được suy ra thông qua
ma trận con Φa và Φc từ nghiệm của ma trận.


19

Chúng ta viết lại bài toán (1.37) với dạng tường minh
Gpaa Φa + Gpab Φb

= −Gpmin Φa ,

Gpba Φa + Gpbb Φb + Gpbc Φc = 0,

(1.38)

Gpcb Φb + Gpcc Φc = Gpmax Φc
Để khử Φb khỏi bài toán, từ phương trình thứ hai thu được biểu thức cụ thể
như sau:
Φb = −(Gpbb )−1 Gpba Φa − (Gpbb )−1 Gpbc Φc

(1.39)

Tuy nhiên, nó yêu cầu phép nghịch đảo của ma trận kích thước lớn. Để tránh
điều đó, ta xét bài toán phụ
Gpbb Fba = Gpba ,

Gpbb Fbc = Gpbc .

(1.40)

Khi đó Gpbb là ma trận khả nghịch, mỗi phương trình ma trận (1.40) có
nghiệm duy nhất
Fba = (Gpbb )−1 Gpba ,

Fbc = (Gpbb )−1 Gpbc .

(1.41)

Khi đó, đối với hàm Φb ta có biểu thức:
Φb = −Fba Φa − Fbc Φc ,

(1.42)

và bài toán (1.38) đưa về dạng:
Gpaa Φa − Gpab Fba Φa − Gpab Fbc Φc = −Gpmin Φa ,
−Gpcb Fba Φa − Gcb Fbc Φc + Gpcc Φc = Gpmax Φc .
Vì vậy, bài tốn đại số (1.37) với ma trận có kích thước L × L được đưa
về hai bài tốn đại số với ma trận có kích thước N × N
p
p
Yaa
Φa + Yac
Φc = −Gpmin Φa

(1.43)

p

p
Yca
Φa + Ycc
Φc = Gpmax Φc

p
với Y∗∗
được xác định thông qua nghiệm Fba và Fbc của bài toán (1.40)
p
Yaa
= Gpaa − Gpab Fba ,
p
Yca
= −Gpab Fba ,

p
Yac
= −Gpab Fbc ,

(1.44)

p
Ycc
= Gpcc − Gpcb Fbc .

Xét nghiệm (1.10) đối với sóng tới truyền từ trái sang phải

X(→) (z )T + X(c) (z )Tc , z > 0
→
max

max
→
Φ→ (z → ±∞) =
(→)
(←)
X (z ) + X (z )R + X(c) (z )Rc ,
min

min

→

min

→

z<0
(1.45)


20

và nghiệm (1.11) đối với sóng tới truyền từ phải sang trái

X(←) (z ) + X(→) (z )R + X(c) (z )Rc ,
←
max
max
max
←

Φ← (z → ±∞) =
(←)
(c)
X (z )T + X (z )Tc , z < 0
←

min

z>0

←

min

(1.46)
Với Φ→ (z → ±∞) và Φ← (z → ±∞) là nghiệm ma trận có kích thước

1 ×NoL và 1 ×NoR . Nói cách khác, NoL là nghiệm độc lập tuyến tính, mơ tả sóng
tới truyền từ trái sang phải và NoR là nghiệm độc lập tuyến tính, mơ tả sóng
(→)
(←)
tới truyền từ phải sang trái một cách riêng biệt. Ma trận Xmin (z ), Xmin (z )
(←)
R
có kích thước 1 × NoL và ma trận X(→)
max (z ), Xmax (z ) có kích thước 1 × No biểu
diễn nghiệm tiệm cận cơ sở tại biên bên trái và bên phải của một khoảng,
(c)
mô tả sự chuyển động của sóng theo hướng mũi tên. Ma trận Xmin (z ) có kích
R

thước 1 × (N − NoL ) và X(c)
max (z ) có kích thước 1 × (N − No ) là nghiệm rút
gọn cơ sở tiệm cận tại biên bên trái và bên phải trong một khoảng. Các phần
tử của các ma trận này thuộc ma trận cột có kích thước N × 1.
Tiếp theo, ma trận của biên độ phản xạ R→ và R← là ma trận vng có
kích thước NoL × NoL và NoR × NoR , trong khi đó ma trận của biên độ truyền
qua T→ và T← là ma trận chữ nhật có kích thước NoR × NoL và NoL × NoR .
Các ma trận con Rc→ , Tc→ , Rc← và Tc← là ma trận chữ nhật có kích thước lần
lượt là (N − NoL ) × NoL , (N − NoR ) × NoL , (N − NoR ) × NoR ,(N − NoL ) × NoR .
Khi đó, thành phần của hàm sóng có dạng:
NoL

N −NoL

(→)

(←)

(Φa )io iLo = Xio iLo (z min ) +

(→)

io =1
N −NoR
(←)

(c)

(→)

io =1

ic =1

NoL

N −NoL
(→)

(c→)

Xio ic (z max )Tic iLo ,

Xio io (z max )Tio iLo +
(←)

(c)

(c←)

Xio ic (z min )Tic iRo ,

Xio io (z min )Tio iRo +

(Φa )io iRo =

(c→)

Xio ic (z min )Ric iLo ,
ic =1

NoR

(Φc )io iLo =

(c)

Xio io (z min )Rio iLo +

(1.47)

ic =1

io =1
NoR
(←)

N −NoR
(→)

(Φc )io iRo = Xio iRo (z max ) +

(←)

(c)

io =1

(c←)

Xio ic (z max )Ric iRo

Xio io (z max )Rio iRo +
ic =1

trong đó, X(→) (z ) ≡ X(+) (z ), X(←) (z ) ≡ X(−) (z ) – nghiệm tiệm cận ở dạng
ma trận của bài toán biên tại z
thức (1.12)–(1.13).

z min và z

z max được xác định bởi các hệ


21

Đối với vế phải của hệ phương trình (1.43) ta có:
N −NoL

NoL
(→)

(←)

(Gpmin Φa )io iLo = Xio iLo (z min ) +

(c→)

Xio ic (z min )Ric iLo
ic =1

io =1
N −NoR

NoR
(→)

(←)

(Gpmax Φc )io iLo =

(c)

(c→)

Xio ic (z max )Tio iLo

Xio io (z max )Tio iLo +
ic =1

io =1

N −NoL

NoL
(→)

(Gpmin Φa )io iRo =

(c)

(→)

Xio io (z min )Rio iLo +

(c)

(←)

(c←)

Xio ic (z min )Tic iRo ,

Xio io (z min )Tio iRo +

(1.48)

ic =1

io =1
NoR
(←)

N −NoR
(→)

Gpmax Φa )io iRo = Xio iRo (z max ) +

(←)

(c)

Xio io (z max )Rio iRo +
io =1

(c←)

Xio ic (z max )Ric iRo
ic =1

Thay các đẳng thức (1.47) và (1.48) vào phương trình (1.43), ta thu được
(→) (→)
(←) (←)
(c→) (c→)
hệ phương trình khơng thuần nhất đối với Rio iLo ,Tio iLo ,Rio iRo ,Tio iRo ,Ric iLo ,Tic iLo ,
(c←)

(c←)

Ric iRo ,Tic iRo , và hệ này có nghiệm duy nhất.
Khi giải bài toán trên nửa trục số với điều kiện biên loại II hoặc loại III
tại điểm biên z min hoặc z max trên nửa trục số, thay vì R và T thì các ma
trận Φa hoặc Φc sẽ là các biến số độc lập, còn đối với điều kiện biên loại I
thì Φa = 0 hoặc Φc = 0, trong trường hợp này phương trình tương ứng sẽ
không được xét đến.


22

2.

2.1.

Ứng dụng của chương trình KANTBP 4M
Bài tốn 1: Nghiệm của bài tốn trị riêng với
phương trình Schrodinger cho dao động tử điều
hịa một chiều và phương trình xun tâm cho
dao động tử điều hòa d – chiều

Khi thay fB (z ) = fA (z ) = z d−1 , N = 1, Q(z ) = 0, V (z ) ≡ V11 (z ) = z 2 vào
phương trình ban đầu (1.1) ta thu được phương trình Schrodinger cho dao
động tử điều hòa d – chiều ở trạng thái liên kết :

(D − Em )Φm (z ) = −

1

d

z d−1 dz

z d−1

d
+ z 2 − Em Φm (z ) = 0.
dz

(2.1)

exact
Ứng với d = 1 phương trình (2.1) có nghiệm giải tích - trị riêng Em

và

hàm riêng Φexact
(z ) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và trực giao trên khoảng
m
vơ hạn z ∈ (−∞, +∞):
z max

fB (z )(Φ(m) (z ))† Φ(m ) (z )dz = δmm .

< Φ(m) |Φ(m ) > =
z min

Biểu thức hàm riêng giải tích đã biết:

Φexact
(z ) =
m

exp(−z 2 /2)Hm (z )
√ √
√
4
π 2m m!

với trị riêng tương ứng
exact
Em
= 2m + 1,

m = 0, 1, . . . .

trong đó: Hm (z ) là đa thức Hermite có dạng và tính chất như sau:
Hm (z ) = (−1)m exp(z 2 )

dm exp(−z 2 )
dz m

Hm+1 (z ) = 2zHm (z ) − 2mHm−1 (z )
Code của chương trình KANTBP 4M để giải bài tốn trị riêng với phương
trình Schrodinger cho dao động tử điều hịa d = 1 chiều có dạng như sau:
restart;read "kantbp4m.mwt";
psubint:=3;kappamax:=2;

1
2


23

vpot:=(z)^2;

3

ngrid:=16;zmin:=-8;zmax:=8;
numberf:=6;;filenamew:="1dosc.dat";

4
5

hermites();

6
7

read "1dosc.dat":
oscfun1(0):=0;

8
9

for ii from 1 to numberf do

oscfun1(ii):=‘if‘(ii=1

10

,exp(-z^2/2)/sqrt(sqrt(Pi))
,sqrt(2)*z/sqrt(ii-1)*oscfun1(ii-1)

11
12

-sqrt(ii-2)/sqrt(ii-1)*oscfun1(ii-2));
plots[logplot]([abs(abs(eigf||ii)-abs(oscfun1(ii)))]

13
14

,z=zmin..zmax,title=cat("1d osc: test by comparison with

",convert(ii,string),"-th exact w.f."));print(%);

15
16

plots[logplot]([abs(-diff(eigf||ii,z,z)
+z^2*eigf||ii-Re(eigv||ii)*eigf||ii)]

17
18

,z=zmin..zmax,title=cat("1d osc: test by substitution of
",convert(ii,string),"-th solution to ODE"));print(%);

19
20

od:

21

Giải thích các dịng lệnh tương ứng:
Dịng 1 − 2: Khởi động chu trình và chọn các tham số ban đầu cho mạng
lưới phần tử hữu hạn.
Dòng 3: Thế năng hiệu dụng của dao động tử điều hòa.
Dòng 4: Chọn khoảng lấy tích phân và chia nó thành 16 khoảng bằng
nhau.
Dịng 5: Tính tốn 6 hàm riêng đầu tiên và trị riêng tương ứng của dao động
tử điều hịa d = 1 chiều, sau đó kết quả thu được lưu vào file "1dosc.dat".
Dòng 8: Đọc file "1dosc.dat" chứa hàm riêng và trị riêng tương ứng được

tính tốn bằng chương trình KATNBP 4M của các trạng thái thứ 1, . . . , 6.
Dịng 9 − 11: Cơng thức truy hồi biễu diễn hàm riêng giải tích ứng với các
trạng thái thứ 1, . . . , 6 của dao động tử điều hòa d = 1 chiều.
Dòng 12−14: Vẽ đồ thị biểu diễn sai số εm (z ) với εm (z ) = Φhm (z ) − Φexact
(z ) ,
m
z ∈ [z min , z max ], m = 1, 2, . . . ,numberf khi so sánh hàm riêng được tính tốn
bằng chương trình và hàm riêng giải tích.


24

Dòng 15 − 18: Vẽ đồ thị biểu diễn độ chính xác của nghiệm số thu
h
được, khi thay vào phương trình (2.1) εm (z ) = |(D(z ) − Em
)Φhm (z )|, z ∈
[z min , z max ], m = 1, 2, . . . ,numberf.

Kết quả thu được:
Chương trình KANTBP 4M giải bài tốn dao động tử điều hòa d = 1
chiều ứng với các tham số p = 3, κmax = 2, p = 7 trong khoảng z ∈ [−8, 8]
ta thu được bộ gồm 6 hàm riêng đầu tiên và trị riêng tương ứng của các
trạng thái 1, . . . , 6. Trong đó, hàm riêng được biểu diễn thông qua đồ thị.
Tiếp theo là đồ thị biểu diễn sai số εm (z ) được tính bằng giá trị tuyệt đối
hiệu hàm riêng giải tích và hàm riêng số của các trạng thái 1, . . . 6. Ngồi ra
cịn có đồ thị biểu diễn sai số εm (z ), khi thay nghiệm số (hàm riêng và trị
riêng số) của bài tốn được tính tốn bằng chương trình KANTBP 4M ứng
với các trạng thái 1, . . . , 6 vào phương trình (2.1). Các đồ thị biểu diễn sai
số đều nhằm mục đích kiểm tra độ chính xác của nghiệm số được tính tốn
bởi chương trình KANTBP 4M.

Hình 2.1: Bộ hàm riêng và trị riêng tương ứng của các trạng thái thứ 1, . . . , 6
của dao động tử điều hòa d = 1 chiều được tính tốn bằng chương trình
KANTBP 4M với p = 3, κmax = 2, p = 7.