Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (519.55 KB, 103 trang )
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP- TỰ DO- HẠNH PHÚC
----------
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG QUY TRÌNH BỐN
BƯỚC CỦA G.POLYA VÀO GIẢI TỐN TỌA ĐỘ TRONG
KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 12
Các tác giả:
Th.s Trần Quang Vinh
Th.s Lê Thị Hòa Bình
Đơn vị cơng tác: Trường THPT Đinh Tiên Hồng
Ninh Bình, tháng 5 năm 2015
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GTLN
: giá trị lớn nhất
GTNN
: giá trị nhỏ nhất
GV
: Giáo viên
HS
: Học sinh
Mp
: mặt phẳng
Đt
: Đường thẳng
Đk
: Đk
PT
: phương trình
PTTQ
: phương trình tổng quát
TH
: trường hợp
THPT
: Trung học phổ thông
VTCP
: Véc tơ chỉ phương
VTPT
: Véc tơ pháp tuyến
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ..........................................................................................................................................5
2. Mục đích nghiên cứu....................................................................................................................................5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu...................................................................................................................................5
4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................................................................5
5. Đối tượng nghiên cứu..................................................................................................................................5
6. Giả thuyết khoa học......................................................................................................................................5
7. Cấu trúc ........................................................................................................................................................5
Chương 1..........................................................................................................................................................6
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.........................................................................................................................6
1.1. Năng lực giải toán......................................................................................................................................6
1.1.1. Quan niệm về năng lực và năng lực giải toán.......................................................................................6
1.1.2. Nhiệm vụ phát triển năng lực giải tốn cho HS.....................................................................................7
1.2. Dạy học giải tốn.......................................................................................................................................7
1.2.1. Vai trị của bài tập Tốn..........................................................................................................................7
1.2.2. Quy trình giải bài tốn của G.Polya........................................................................................................7
Chương 2........................................................................................................................................................13
HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA ...............................................................................13
TRONG GIẢI TỐN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN...................................................................................13
2.1. Dạng tốn về viết PT mặt phẳng.............................................................................................................13
bb)2.2. Dạng toán về viết phương trình đường thẳng..................................................................................30
ow)2.4. Dạng tốn về tìm tọa độ điểm..........................................................................................................48
ox)Ở mục này tơi xin trình bày 03 ví dụ về tìm tọa độ điểm: tìm điểm thuộc đt; lập ptđt đi qua điểm
cần tìm; gọi tọa độ điểm cần tìm và lập hệ 03 pt với 3 ẩn là các thành phần tọa độ của điểm cần tìm.....48
ty)2.5. Dạng tốn về cực trị hình học.............................................................................................................55
uc)2.5.1. Lập PT MP........................................................................................................................................55
xw)2.5.2. Lập phương trình đường thẳng.....................................................................................................59
yn)2.5.3. Lập PT mặt cầu................................................................................................................................61
aae)2.5.4. Dạng tốn tìm điểm......................................................................................................................63
aeg)2.6. Tiểu kết chương 2.............................................................................................................................68
aez)KẾT LUẬN..................................................................................................................................................69
agh)TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................................................................71
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải bài tập là một trong những tình huống dạy học điển hình.
Nhờ quá trình này, người học hiểu được bản chất của kiến thức, có khả
năng vận dụng linh hoạt tri thức và phương pháp đã học, qua đó phát
triển năng lực tư duy. Chỉ có thơng qua các bài tập ở hình thức này hay
hình thức khác, mới tạo đk cho HS vận dụng linh hoạt những kiến thức
đã học để giải quyết thành cơng những tình huống cụ thể khác nhau và
những kiến thức đó mới trở nên sâu sắc, trở thành vốn riêng của HS.
Yêu cầu phát triển của đất nước trong thời kì mới địi hỏi các nhà
trường phải đào tạo được những con người có kiến thức, có năng lực tư
duy, hoạt động một cách tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo. Để đạt
được mục tiêu trên, cần đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục nói
chung và phương pháp giảng dạy từng bộ mơn nói riêng theo hướng
tiếp cận năng lực của HS. Trong dạy học mơn tốn, nói riêng là giảng
dạy hình học tọa độ trong không gian, bản thân nội dung môn học đã
có tính chất khái qt, trừu tượng khá cao, là mơi trường tốt để người
thầy khơi dậy ở trị khả năng tư duy linh hoạt, trí tưởng tượng phong
phú. Bởi vậy, q trình dạy học giải bài tập nói chung, giải bài tập hình
học tọa độ trong khơng gian nói riêng nếu có phương pháp tốt sẽ tạo
đk thuận lợi cho việc rèn luyện, phát triển tư duy và phẩm chất, nhân
cách ở người học.
Để dạy bài tập hình tọa độ trong khơng gian nói riêng và bài tập
tốn THPT nói chung, thơng thường GV chỉ trình bày, giảng giải và viết
lời giải, ít khi có sự hướng dẫn để HS tự tìm ra lời giải, đơi khi có hướng
dẫn song còn sơ sài, hay hướng dẫn theo kiểu dắt tay chỉ việc, ít khi
đặt vấn đề để HS tạo ra bài tập tương tự, đặc biệt, tổng quát hay tạm
thời bỏ đi một yêu cầu. Ngoài ra, thời lượng phân phối cho phân môn
không nhiều, bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, có sự hệ
thống chưa cao. Với mong muốn, giúp học sinh phát triển năng lực giải
bài tập theo bốn bước của G.Polya chương PPTĐ trong Không Gian nên
tôi đã chọn đề tài: “ Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn
5
bước của G.Polya vào giải tốn tọa độ trong khơng gian cho HS
lớp 12”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất những câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lời
giải bài tốn về tọa độ trong khơng gian theo quy trình của G.Polya, từ
đó phát triển năng lực vận dụng quy trình này trong giải tốn cho HS
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về phát triển năng lực, năng lực giải toán cho
HS, về phương pháp dạy học giải bài tập tốn học, về quy trình giải bài
toán theo bốn bước của G.Polya.
- Đề xuất những câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lời
giải bài tốn về “Tọa độ trong khơng gian” theo quy trình của G.Polya,
từ đó phát triển năng lực vận dụng quy trình này trong giải tốn cho
HS.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp điều tra – khảo sát
- Thực nghiệm sư phạm
5. Đối tượng nghiên cứu
Q trình dạy học có vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya để
giải bài tốn “Tọa độ trong khơng gian” lớp 12 THPT.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu GV biết cách hướng dẫn HS tìm lời giải bài tốn về tọa độ
trong khơng gian theo bốn bước của G.Polya thì góp phần phát triển
năng lực giải tốn cho HS: HS có kĩ năng giải tốn tốt hơn và học được
cách suy nghĩ tìm lời giải dạng tốn này ở trường THPT.
7. Cấu trúc
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, sáng kiến gồm hai chương.
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chương 2: HƯỚNG DẪN HS TÌM LỜI GIẢI BÀI TỐN VỀ TỌA ĐỘ
TRONG KHƠNG GIAN THEO QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.POLYA
6
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực giải toán
1.1.1. Quan niệm về năng lực và năng lực giải toán
Năng lực thường xét đến năng lực hành động, là khả năng thực
hiện hiệu quả một nhiệm vụ/một hành động cụ thể, liên quan đến một
lĩnh vực nhất định dựa trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo. Bởi vậy,
năng lực được thể hiện qua những kĩ năng nhằm hồn thành một cơng
việc nào đó. Năng lực được xây dựng trên cơ sở tri thức.
Năng lực: là khả năng ứng phó thành cơng hay năng lực thực hiện
hiệu quả một loại/lĩnh vực hoạt động nào đó trên cơ sở hiểu biết (tri
thức), biết cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, kinh nghiệm, kĩ
năng/kĩ xảo... để hành động phù hợp với những mục tiêu và đk thực tế
hay hồn cảnh thay đổi.
Nhóm năng lực chun mơn trong mơn Tốn bao gồm các năng lực
sau đây:
+) Giải quyết các vấn đề tốn học;
+) Lập luận tốn
học;
+) Mơ hình hóa tốn học;
+) Giao tiếp tốn học;
+) Tranh luận về các nội dung tốn học;
+) Vận dụng các cách trình bày tốn học;
+) Sử dụng các ký hiệu, cơng thức, các yếu tố thuật toán.
1.1.2. Nhiệm vụ phát triển năng lực giải toán cho HS
7
Xu thế đổi mới phương pháp dạy học trong những năm tới là dạy
học định hướng phát triển năng lực, vì vậy nhiệm vụ phát triển năng
lực giải tốn cho HS là cần thiết và phù hợp với xu hướng đổi mới
phương pháp dạy học.
Năng lực giải toán là khả năng thực hiện bốn bước trong phương
pháp chung để giải bài toán của G.Polya. Phát triển năng lực giải toán
cho HS chính là rèn luyện cho họ có ý thức, thói quen và thực hiện có
hiệu quả các bước giải đó.
Phát triển năng lực giải tốn hình học cho HS bằng phương pháp
tọa độ đóng góp một phần vào phát triển năng lực giải tốn nói chung.
Cần phải tập luyện cho HS biết phân loại các bài toán, rèn luyện để họ
thực hiện linh hoạt, độc lập và sáng tạo các bước trong quy trình giải
loại bài tốn đó.
Một điểm đáng chú ý nữa là: "Trong quá trình giải bài tập tốn, cần
khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều
dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều
cách giải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều
khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư
duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay
nhất, đẹp nhất...” [6].
1.2. Dạy học giải tốn
1.2.1. Vai trị của bài tập Tốn
Theo Nguyễn Bá Kim [2, tr.386], bài tập có vai trị quan trọng
trong mơn Tốn. Bài tập tốn nhằm phát triển tư duy cho HS, đặc biệt
là rèn luyện các thao tác trí tuệ. Vì vậy, trong q trình dạy học người
thầy giáo phải chú trọng phát triển năng lực giải toán cho HS.
1.2.2. Quy trình giải bài tốn của G.Polya
Theo G.PoLya [12], quy trình giải bài tốn gồm bốn bước sau:
Bước 1: Hiểu bài tốn
Trước khi tìm lời giải bài tốn, cần hiểu rõ:
8
- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là đk? Có thể thỏa mãn đk bài tốn?
Đk có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay còn thiếu? Hay có mâu
thuẫn?
- Vẽ hình.
- Sử dụng các kí hiệu thích hợp, có thể biểu diễn các đk, dữ kiện thành
công thức được không? Phân biệt rõ các phần của đk.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
Sau đây là những gợi ý cho việc tìm lời giải bài toán:
- Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi khác?
- Bạn có biết một định lý, một bài toán liên quan đến bài tốn này khơng?
- Hãy xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ xem có bài tốn nào có cùng cái
chưa biết khơng?
- Đây là bài tốn mà bạn đã có lần giải nó rồi, bạn có thể áp dụng được
gì ở nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào
mới áp dụng được?
- Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài tốn và nếu cần hãy quay về
các định nghĩa?
- Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ
dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn?
Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực
nào? Từ các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải
bài tốn? Với giả thiết nào thì bạn có thể giải được bài tốn này?
- Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?
Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra. Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng?
Bạn có thể chứng minh nó đúng?
Bước 4: Nhìn lại
- Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài tốn? Lời giải có ngắn hơn,
đặc sắc hơn.
- Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài tốn nào chưa?
- Bạn có thể áp dụng bài tốn này để giải các bài toán khác đã biết?
1.3. Giải pháp cũ thường làm
9
Khi dạy học giải bài tập tốn thơng thường GV không tuân thủ
theo 4 bước giải bài tập: Ở bước 1, thường chỉ dừng lại ở việc đọc đề
bài, không tìm hiểu rõ cái đã cho, cái cần tìm. Ở bước 2, GV thường
cung cấp lời giải sau đó giải thích hoặc gọi HS nêu hướng làm, ít có gợi
ý, hướng dẫn để HS tìm ra lời giải hoặc hướng dẫn theo kiểu dắt tay chỉ
việc. Ở bước 4, đa phần GV không hướng dẫn HS kiểm tra lại kết quả
bài tốn cũng như lời giải, khơng hướng dẫn để HS tìm ra nhiều cách
giải, khơng xét bài tốn đặc biệt, tương tự, khái quát hay đề xuất bài
toán khác.
*) Ưu điểm:
Nhanh chóng, đỡ tốn thời gian, GV khơng phải chuẩn bị nhiều, không cần chuẩn bị hệ
thống câu hỏi gợi ý, khơng phải tạo ra các bài tốn khác liên quan, không phải đầu tư quá
nhiều công sức để dạy được một bài tập. Một tiết học có thể chữa được nhiều bài tập.
*) Hạn chế:
+) Do khơng tìm hiểu kĩ đề bài ở bước 1 nên HS không hiểu rõ bài tốn, ít có sự hứng
thú, khơng rèn thói quen đọc kĩ đề khi làm bài, khó hướng dẫn bước 2.
+) HS không được tham gia nhiều vào q trình tìm lời giải, làm cho HS khơng hiểu rõ
cách tìm ra lời giải bài tốn, ít có sự hứng thú, lười suy nghĩ, giảm khả năng sáng tạo của
người học.
+) HS không được tập luyện với những câu hỏi, cách suy nghĩ để có thể tự mình đặt ra
câu hỏi, cách nghĩ với một bài toán khác.
+) HS không kiểm tra lại kết quả dẫn đến kết quả có thể thừa, thiếu, chưa thỏa mãn hết
các điều kiện của bài tốn; Các bước trình bày, lập luận có thể khơng lơgic, thiếu chính
xác; Khơng rèn tính cẩn thận cho người học.
+) HS khơng được phát triển tìm ra nhiều lời giải nên có thể khơng chọn ra cách tối ưu
nhất, dễ hiểu nhất, ít có cơ hội sáng tạo tìm ra những cách giải độc đáo, đặc sắc, giảm khả
năng nhìn nhận các khía cạnh, suy nghĩ khác nhau của bài tốn, cách nghĩ chưa bao qt.
+) Khơng giúp HS thấy được mối liên hệ giữa bài toán với bài toán đặc biệt, tương tự,
khái quát, bài toán khác nên chỉ giải quyết được một bài toán thay vì có thể giải quyết
được nhiều bài.
1.4. Giải pháp mới cải tiến: Dạy học theo quy trình bốn bước
của G.Polya
10
Dạy học theo quy trình bốn bước của G.Polya như đã trình bày
ở trên ngồi ra ở bước 4 khai thác bài toán theo hướng phát triển tư
duy cho người học.
*) Tính mới của giải pháp là:
+) Tuân thủ đầy đủ các bước của dạy học bài tập, không bỏ bước nào,
chuẩn bị hệ thống câu hỏi để hướng dẫn bài, suy nghĩ phát triển các
bài tập. Làm rõ bước 1, đề xuất hệ thống câu hỏi hướng dẫn tìm lời giải
cho tất cả các bài tập đã lựa chọn chữa trong chương, nghiên cứu lời
giải, đề xuất các cách giải khác, đề xuất bài tập liên quan. Làm sáng tỏ
lí luận 4 bước dạy học giải bài tập, đã khai thác gần như triệt để toàn
bộ chương phương pháp tọa độ trong không gian.
+) Ở bước 4, đã đưa ra hệ thống bài tập khá toàn diện, phù hợp, lôgic
làm rõ hơn, sâu hơn bước 4 mà G.Polya đã đưa ra.
+) Lựa chọn bài tập để dạy cho phù hợp, bài tập vừa gần gũi, thiết
thực vừa dễ khai thác, dễ phát triển tư duy, mang tính đa dạng.
+) Các ví dụ được sắp xếp theo từng vấn đề, từng dạng bài, mang tính
hệ thống cao. Các vấn đề đưa ra bao quét gần hết các dạng bài toán
trong chương, mang tính cập nhật.
*) Ưu điểm:
+) Khi làm rõ bước 1 sẽ giúp HS hiểu rõ bài toán, ham thích bài tốn, rèn thói quen đọc
kĩ đề khi làm bài, giúp định hướng cho việc tìm lời giải.
+) Thơng qua hệ thống câu hỏi mà GV đã chuẩn bị, HS có thể liên
tưởng, nhớ lại cách làm bài tương tự, kiến thức liên quan…để tìm ra lời
giải, HS khơng phải bị áp đặt lời giải.
HS là người chủ chốt tham gia vào quá trình tìm ra lời giải, HS có điều kiện hiểu được
cách suy nghĩ để tìm ra lời giải bài toán, được trải nghiệm nhiều hơn. Hơn thế, HS cịn
được học những kinh nghiệm giải tốn mang tính chất tìm tịi, phát hiện. Thơng qua hệ
thống câu hỏi lúc đầu do GV đưa ra, dần dần HS biết tự đặt ra câu hỏi, cách suy nghĩ phù
hợp để giải quyết một bài toán khác. HS học sáng tạo, khơng phải nhớ máy móc.
+) Qua bước 4, giúp HS: Kiểm tra sự chính xác của kết quả, của lập luận trong lời giải,
rèn tính cẩn thận. Tìm ra những cách giải khác, có thể ngắn gọn hơn lời giải đã tìm ra
cũng có thể có cách giải dài hơn, phức tạp hơn nhưng quan trọng HS đã nhìn bài toán với
11
những khía cạnh khác nhau, khai thác khác nhau. HS có cơ hội được sáng tạo, có thể với
cách giải khơng tối ưu trong bài tốn này nhưng lại giúp ích cho người học tìm ra lời giải
với bài tốn khác. HS thấy được mối liên hệ với các bài tốn đặc biệt, tương tự, khái
qt, bài tốn có liên quan. HS biết cách tạo ra các bài toán tương tự, khái quát giúp phát
triển tư duy người học.
+) Thông qua một bài tập dạy theo quy trình trên, HS khơng chỉ giải một bài tốn mà cịn
giải được nhiều bài tốn cùng dạng, bài tốn có liên quan.
*) Hạn chế: Việc dạy học theo quy trình bốn bước của G.PoLya mất nhiều thời
gian, GV cũng phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi chi tiết, GV phải đầu tư suy nghĩ, chuẩn bị,
sáng tạo, tìm ra hệ thống bài tốn, địi hỏi người GV cũng phải có tư duy tốt, GV phải
chọn lựa bài tập phù hợp để khai thác, đạt được ý đồ chỉ dạy một bài nhưng giải quyết
được nhiều bài. Việc hướng dẫn đôi khi là không cần thiết với HS giỏi. Việc vận dụng
cũng phải linh hoạt tùy theo mức độ nhận thức, tính tự giác và thái độ học tập của HS.
Sau đây là một ví dụ minh họa tổng thể.
Ví dụ minh họa
Trong Oxyz, lập PT mặt phẳng (P) chứa đt d: và vuông góc với mặt
phẳng (Q): 3x+y+2z-5=0.
Bước 1: Hiểu bài tốn
GV: Xác định giả thiết của bài toán và yêu cầu của bài toán.
HS: Giả thiết cho pt đường thẳng d và mặt phẳng (Q), cho quan hệ (P)
chứa d, (P) vuông góc với (Q).
Yêu cầu lập PT mặt phẳng (P).
GV: Dữ liệu của bài tốn có đủ để xác định Mp (P) khơng? (Đủ xác định
(P)).
GV: Em có thể vẽ hình minh họa bài tốn khơng?
12
HS:
Vẽ
hình
1.
Hình 1
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
GV: Ta có những cách nào để lập phương trình mặt phẳng?
HS: Cách 1: Xác định một điểm và một VTPT.
Cách 2: Tìm các hệ số của PTTQ.
GV: Theo cách 1, ta cần xác định mấy yếu tố? Là những yếu tố nào?
HS: Cần xác định hai yếu tố: một điểm và một VTPT.
GV: Đk (P) chứa d giúp gì cho việc tìm 2 yếu tố trên?
HS: Đk (P) chứa d: M thuộc đường thẳng d thì M thuộc Mp (P);
GV: ĐK (P) vng góc với (Q) thì có mối liên hệ gì về VTPT của (P) với
VTPT của (Q)?
HS:
GV: Từ và em hãy nêu cách xác định VTPT của (P)?
HS: Cách 1: Tích có hướng của cặp VTCP (Tích có hướng của 2 véc tơ
không cùng phương và cùng vuông góc với VTPT của mặt phẳng; với
khơng cùng phương)
Cách 2: Gọi tọa độ của VTPT, từ ; lập hệ 2 pt 3ẩn rồi chọn bộ số phù
hợp.
13
Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
Ta có: là một VTCP của d, là một VTPT của (Q).
= (3;1;-5). Vì nên nP là một VTPT của MP (P).
M(2;-2;0) d nên M MP (P). Vậy (P): 3(x-2)+1(y+2)-5z=0 hay 3x+y-5z4=0.
Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Mp (P) có pt như trên đã thỏa mãn đk của bài toán (P)
chứa d và vng góc với (Q) chưa? (Đã thỏa mãn).
GV: Nếu d vng góc với (Q) thì có tồn tại Mp (P) không? Đk nào để
biết d (Q)?
HS: Nếu d (Q) thì mọi Mp chứa d đều thỏa mãn. Nếu [ud, nQ ] = thì d
(Q).
Xuất phát từ phân tích tìm lời giải ở trên, em có cách khác giải bài tốn
này khơng?
Cách 2: Lấy M(2;-2;0) d nên M (P). Gọi nP = (a; b; c) là một VTPT
của Mp (P).
Vì (P) chứa d nên hay a + 2b + c = 0 (1)
Vì (P) ⊥ (Q) nên hay 3a + b + 2c = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta được: c = -5b; a = 3b. Chọn b = 1 thì a = 3; c = -5
Vậy (P) qua M và nhận = (3;1;-5) là một VTPT nên có PT: 3x+y-5z-4=0.
Nghiên cứu tiếp bài toán:
14
Trong bài toán trên nếu thay đổi cách cho từng đk thì ta sẽ có các bài
tốn tương tự.
Với đk (P) chứa đt d, với đt d được xác Với đk thứ hai, MP (Q) được xác
định bởi:
định:
+) d qua hai điểm.
+) qua ba điểm.
+) d qua một điểm và song song với đt +) qua một điểm nằm ngoài
d’.
một đt.
+) d qua một điểm và song song với +) qua hai đt cắt nhau.
BC.
+) qua hai đt song song.
+) d là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Một số bài tương tự: Cho đt d: (với các bài 1.11 đến 1.13)
Bài 1.1.1. Cho điểm A(1;2;1), B(2;-2;0). Lập PT mặt phẳng đi qua hai
điểm A, B và vng góc với (Q), trong đó (Q) xác định như sau:
a) MP (Q): 3x+y+2z-3=0.
b) (Q) qua ba điểm B(1;0;0), C(0;1;-2), D(2;3;5).
c) (Q) qua điểm B(1;0;0) và chứa đt d.
d) (Q) chứa d1 và d2 với d1: , d2: .
Bài 1.1.2. Cho điểm A(1;2;0). Lập PT mặt phẳng đi qua điểm A, song
song với d và vng góc với MP (Q) trong các trường hợp sau:
a) MP (Q): 2x+2y+z-9=0.
b) (Q) qua ba điểm B(1;0;0), C(0;1;-2), D(2;3;5).
c) (Q) qua điểm B(1;0;0) và chứa đt d’:
d) (Q) chứa d1 và d2 với d1: , d2: .
15
Bài 1.1.3. Cho A(1;2;0), B(-1;-1;0), C(0;1;2). Lập PT mặt phẳng đi qua
điểm A, song song với BC và vng góc với Mp (Q) trong các trường
hợp sau:
a) MP(Q): 2x+2y+z-9=0
b) (Q) qua ba điểm D(1;0;0), E(0;1;-2), F(2;3;5).
c) (Q) qua điểm D(1;0;0) và chứa đt d.
d) (Q) chứa d1 và d2 với d1: , d2: .
GV: Qua bài tập trên, em hãy cho biết cách tìm một VTPT của
(P) khi biết hai véc tơ a,b cùng vng góc với VTPT của (P) và
(biết cặp VTCP của Mp(P))?
HS: là một VTPT của (P).
Bài toán này thuộc dạng: Lập ptMp (P) đi qua một điểm và xác
định được VTPT thông qua đk VTPT vuông góc với hai véc tơ khơng
cùng phương đã biết. Có thể thay đổi đk xác định của VTPT để có
những bài toán tương tự, chẳng hạn như Mp (P) qua A và
+) (P) vng góc với hai mặt phẳng (Q), (R).
+) (P) vng góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (Q), (R).
+) (P) chứa đường thẳng d (A không thuộc d).
+) (P) qua hai điểm B, C.
+) (P) song song với hai đt d1, d2.
Như vậy, ta có thể khai thác một bài toán để đề xuất những bài
toán tương tự bằng cách thay đổi mỗi yếu tố trong bài tốn. Chẳng
hạn:
- Thay đt d có PT cho trước bởi hai điểm phân biệt; một điểm và một
VTCP; giao tuyến của hai mặt phẳng…
16
- Thay góc α cho trước bởi một góc bất kỳ như: 30 0; 450; 900; góc bé
nhất; góc lớn nhất.
- Thay góc giữa MP với MP bởi góc giữa MP với đt, góc giữa hai đt.
- Thay PT Mp(Q) cho trước bởi (Q) qua ba điểm phân biệt không thẳng
hàng; hai đt song song; hai đt cắt nhau; một điểm nằm ngoài một đt.
- Thay khoảng cách từ điểm đến MP bằng một số cho trước bởi khoảng
cách từ MP đến điểm này bằng k lần khoảng cách từ MP đến điểm, thay
khoảng cách từ MP đến điểm bởi khoảng cách từ MP đến đt, giữa hai
MP…
Bài tập vận dụng:
Bài 1.1.4. Cho A(2;1;3) và hai mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-9=0, (R): x2y+z+1=0. Lập PT mặt phẳng đi qua A và vng góc với hai mặt
phẳng (Q), (R).
Bài 1.1.5. Lập PT mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vng góc với giao
tuyến của hai mặt phẳng (Q):2x+2y-z+1=0, (R): x-2y+z+1=0.
Bài 1.1.6. Cho d1 , d2: . Lập PT mặt phẳng biết
a) (P) chứa hai đt d1 và d2.
b) (P) chứa đt d1 và song
song với d2.
c) Mp (P) qua gốc tọa độ và song song với d1, d2.
Bài 1.1.7. Cho A(1;-2;4), B(1;0;0), C(0;1;1). Lập PT Mp qua ba điểm A, B,
C.
Các ví dụ ở chương II sẽ làm rõ hơn các nhận định của chương I
Chương 2
HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA
TRONG GIẢI TỐN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Năng lực được thể hiện qua những kỹ năng; Năng lực vận dụng
quy trình giải tốn của G.Polya vào giải tốn “Tọa độ trong khơng gian”
17
cho HS lớp 12 THPT được thể hiện qua việc giải các dạng tốn thuộc
nội dung chương 3 Hình học 12. Để phát triển năng lực này ở HS, GV
cần phải phân tích một số bài tốn có tích chất làm mẫu. Trong đó GV
đặt ra các câu hỏi, các hoạt động để hướng đẫn HS tìm lời giải bài tốn
trong những trường hợp cụ thể. Trên cơ sở đó HS sẽ tự luyện tập vận
dụng vào những bài toán mới.
Trong chương này chúng tơi sẽ trình bày theo thứ tự từng dạng
tốn về tọa độ trong khơng gian. Trong mỗi dạng trình bày những
hướng dẫn vận dụng quy trình giải tốn của G.Polya vào một số bài.
Sau đó là những bài toán để HS tự luyện. Do bước 1 khá đơn giản (chỉ
cần hiểu rõ giả thiết, kết luận, vẽ hình minh họa nếu có tuy nhiên vẫn
phải tiến hành) nên trong tài liệu này chúng tôi chỉ tập trung trình bày
bước 2 và bước 4, ở bước 3 chỉ trình bày vắn tắt lời giải.
Để ngắn gọn, trong tài liệu này ta mặc định xét trong hệ trục tọa
độ Đề-Các vng góc Oxyz.
Trong chương này, chúng tơi xin trình bày 05 dạng tốn thường
gặp là viết PT mặt phẳng, viết phương trình đường thẳng, viết phương
trình mặt cầu, tìm tọa độ điểm và bài tốn cực trị.
2.1. Dạng toán về viết PT mặt phẳng
Với dạng toán về lập PT mặt phẳng, chúng tôi đưa ra một số bài toán:
1. Lập PTMP biết một điểm và cặp véc tơ chỉ phương.
2. Lập PTMP biết một điểm và tìm VTPT bằng cách lập hệ phương trình.
3. Lập PTMP biết một VTPT và tìm hệ số tự do của PTTQ.
4. Viết PTMP dưới dạng đoạn chắn
Chúng tôi đề xuất hệ thống câu hỏi, gợi ý, hướng dẫn HS như sau:
- Ta có những cách nào để lập PT mặt phẳng?
Cách 1: Xác định một điểm và một VTPT; Cách 2: Tìm các hệ số của
PTTQ.
- Theo cách 1, ta cần xác định mấy yếu tố? là những yếu tố nào?
Cần xác định hai yếu tố: một điểm và một VTPT.
- Một VTPT của mặt phẳng có thể được xác định bằng những cách nào?
18
Cách 1: Tích có hướng của hai véc tơ khơng cùng phương có giá song
song hoặc nằm trong MP cần tìm (cặp VTCP).
Cách 2: Hệ 2 PT với ba ẩn là ba thành phần tọa độ của VTPT.
- Theo cách 2, để xác định các hệ số của mặt phẳng ta cần mấy PT liên
quan đến các hệ số đó? (Hệ ba PT bốn ẩn).
Ví dụ 1.1. (Trình bày ở ví dụ chương I)
Ví dụ 1.2. Cho d1: và d2:. Lập phương trình mặt phẳng chứa đt d 1 và
tạo với d2 một góc bằng 300.
Bước 1: Hiểu bài tốn
GV: Xác định giả thiết của bài toán và yêu cầu của bài toán.
HS: Giả thiết cho PT đt d 1 và d2, cho quan hệ (P) chứa d 1, (P) tạo với d2
góc 300.
u cầu lập phương trình mặt phẳng (P).
GV: Dữ liệu của bài tốn có đủ để xác định Mp (P) không? (Đủ xác định
(P)).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
GV: Em có tìm được tọa độ một điểm trên (P) khơng? Nêu cách tìm?
HS: Có, đó là điểm bất kỳ trên d1.
GV: Em có tìm được ngay một VTPT của Mp(P) khơng? Hay có tìm thấy
cặp VTCP của Mp(P) khơng? Nếu chưa tìm được trực tiếp thì em phải
làm như thế nào?
HS: Khơng tìm được ngay VTPT của (P) cũng như không thấy ngay cặp
VTCP của Mp(P). (Nhớ lại cách giải 2 của bài 1). Gọi tọa độ của VTPT và
lập hệ PT để tìm tọa độ của VTPT.
GV: Dựa vào mối quan hệ của Mp (P) với hai đt, em cho biết các đẳng
thức véc tơ của VTPT của Mp(P) với các VTCP của 2 đt? Em có chuyển
được đẳng thức véc tơ đó sang đẳng thức tọa độ được không?
HS: =0, |cos()| = sin300 với lần lượt là một VTPT của (P), chỉ phương
của d1, d2. Có chuyển được sang đẳng thức tọa độ.
19
Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
M(1;0;- 1) d nên M ∈ (P). Gọi = (a; b; c) (a2+b2+c2 0) là một VTPT của (P).
Ta có: = (1;-1; 1), = (2; 1;-1) lần lượt là một VTCP của d1, d2.
Vì MP (P) chứa d nên =0 hay a-b+c=0
(1)
Vì MP (P) tạo với d2 góc 300 nên sin300= |cos()| hay
(2)
Từ (1) ta có: b = a + c thế vào (2) và bình phương 2 vế của (2) ta được:
4(2a+a+c-c)2 =6[a2+(a+c)2+c2] ⇔ 2a2 - ac - c2 =0 (*)
Nếu c = 0 thì a =0 do đó b =0 (loại)
Nếu c0 thì chia 2 vế của (*) cho c2 ta được: 2x2 – x – 1 = 0 với x= a/c.
Ta được x = 1 hoặc x = -1/2.
Chọn a = 1 thì c = 1 hoặc c =-2. Với c = 1 thì b = 2, với c =-2 thì b =-1
TH1: = (1;2;1) thì (P): 1(x-1)+2(y-0)+1(z+1) = 0 hay x+2y+z=0.
TH2: = (1;-1;-2) thì (P): 1(x-1)-1(y-0)-2(z+1) = 0 hay x-y-2z-3=0.
KL: Vậy có hai PT mặt phẳng (P): x+2y+z=0 và x-y-2z-3=0.
Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Trong 2 PT vừa tìm có loại pt nào khơng? Các bước
biến đổi là tương đương chưa? PTMp vừa lập có thỏa mãn các đk của
bài tốn khơng? (Khơng, vì các bước biến đổi là tương đương nên PT
mặt phẳng vừa lập thỏa mãn các đk của bài toán).
20
Ngồi cách giải trên, em cịn cách khác khơng? Thay vì việc sử dụng
em cịn cách sử dụng giả thiết (P) chứa d như thế nào nữa? (Còn cách
sử dụng: (P) đi qua điểm N thuộc d, N khác M)
Cách 2: Lấy M(1;0;-1), N(2;-1;0) là hai điểm phân biệt trên d.
Vì (P) chứa d nên M, N Mp (P). Gọi = (a;b;c) (a2+b2+c20) là một VTPT
của (P).
Ta có PT mặt phẳng (P): a (x-1) + by + c(z+1) =0
Vì (P) qua N nên: a (2-1)+b.(-1)+c(0+1) =0 hay a-b+c=0
(1)
= (2;1;-1) là một VTCP của d2. Vì MP (P) tạo với d2 góc 300 nên
sin300= |cos()| hay
(2)
Làm tương tự như cách 1 ta được kết quả như cách 1.
Nghiên cứu tiếp bài tốn: (Với hai đường thẳng d1, d2 trên)
Như đã trình bày trong ví dụ minh họa, có thể đề xuất các bài toán sau:
Bài 1.2.1. Lập PT Mp đi qua hai điểm A(1;0;-1), B(3;-2;1) và tạo với đt
d2 góc 300.
Bài 1.2.2. Cho A(0;2;-1), B(2;4;-3). Lập PT mặt phẳng chứa đt d1 và tạo
với AB một góc bằng 300.
Bài 1.2.3. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1) ,C(0;2;-1), D(2;4;-3). Lập PT Mp đi
qua hai điểm A, B và tạo với CD một góc bằng 30 0.
Bài 1.2.4. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), C(0;2;-1), D(2;4;-3). Lập PT Mp đi
qua điểm M(1;0;3) và
a) song song với d1 đồng thời tạo với d2 góc 300.
b) song song với AB đồng thời tạo với d2 góc 300.
c) song song với đt AB và tạo với CD một góc 30 0 .
21
Bài 1.2.5. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), Mp(Q): 2x+y-z+9=0. Lập PT mặt
phẳng (P):
a) (P) chứa đt d1 và tạo với MP(Q) góc 600.
b) (P) qua hai điểm A, B và tạo với Mp(Q) góc 60 0.
c) (P) qua điểm M(1;0;3), song song với AB và tạo với Mp(Q) góc 60 0 .
d) (P) chứa d là giao tuyến của Mp (Q) và Mp (R): x+2y-z+3=0, đồng
thời tạo với hai Mp (Q) và (R) các góc bằng nhau. (Nói cách khác: lập
PT mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi (Q) và (R)).
Bài 1.2.6. Lập PT MPđi qua điểm M(1;0;-3) và tạo với hai đt d 1, d2 các
góc lần lượt bằng 450, 300.
Bài 1.2.7. Cho M(1;0;-3), MP (Q): 2x+y-z+9=0. Lập PT mặt phẳng đi
qua điểm M và tạo với d1, Mp (Q) các góc lần lượt bằng 450, 600.
Khái quát hóa: Lập PT mặt phẳng (P)
1) chứa đt d1 và tạo với đt d2 một góc cho trước.
2) chứa đt d1 và tạo với mặt phẳng (Q) một góc cho trước.
3) chứa đt d và tạo với hai mặt phẳng (Q), (R) các góc bằng nhau.
4) đi qua điểm A, song song với đt d 1 và tạo với đt d2 một góc cho
trước.
5) đi qua điểm A, song song với đt d 1 và tạo với mặt phẳng (Q) một góc
cho trước.
6) đi qua điểm A, lần lượt tạo với các đt d1 và d2 các góc cho trước.
7) đi qua điểm A, lần lượt tạo với đt d 1 và tạo với mặt phẳng (Q) các
góc cho trước.
Chú ý: Đối với bài toán lập PT mặt phẳng đi qua một điểm và
liên quan đến góc, ta gọi tọa độ của VTPT cần tìm và giải hệ 2
PT để chọn được bộ số thích hợp.
Tương tự với bài tốn liên quan đến góc trên, GV có thể hướng dẫn HS
giải bài toán liên quan đến khoảng cách, chẳng hạn xuất phát từ bài
toán:
22
Ví dụ 1.3. Lập PT mặt phẳng chứa đt d sao cho khoảng cách từ
A(2;1;2) đến (P) bằng 13 với d: . Bằng cách tương tự như trên, có thể
đề xuất các bài toán sau:
Bài 1.3.1. Cho A(2;1;2), M(1;1;2), N(3;0;3). d: . Lập PT Mp (P)
a) đi qua hai điểm M, N và d(A,(P)) =.
b) đi qua điểm M, song song với d và d(A,(P)) = .
Bài 1.3.2. Cho A(2;1;2), B(-1;2;-2), C(1;1;-1), M(1;1;2). Lập PT mặt
phẳng đi qua điểm M, song song với BC và d(A,(P)) = .
Bài 1.3.3. Cho A(2;2;2), B(4;1;4), d: . Lập PT mặt phẳng chứa đt d sao
cho khoảng cách từ A đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ B đến (P).
Với bài toán này, thay vì sử dụng d(A,(P))=k ta có d(A,(P))=2d(B,(P)).
Ngồi ra ta cịn có thể giải bài tốn bằng cách quy về lập PT mặt
phẳng qua một điểm nằm ngoài một đt thơng qua việc tìm tọa độ giao
điểm I của AB với mặt phẳng (P) như sau:
Xét vị trí tương đối của 2 điểm A, B với MP (P).
Nếu A, B nằm khác phía với (P) thì (P) cắt AB tại I sao cho:. (Hình 2)
Nếu A, B nằm cùng phía với (P) thì (P) cắt AB tại I sao cho: IA=2IB.
23
(Hình 3)
Hình 2
Hình 3
Bài 1.3.4. Cho d1:, d2: . Lập PT mặt phẳng (P) chứa đt d1, song song với
d2 sao cho khoảng cách từ d2 đến (P) bằng .
Bài 1.3.5. Lập PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) qua M(1;1;2), N(3;0;3) và d(A,(P))=2d(B,(P)) với A(2;2;2),
B(4;1;4).
b) (P) qua M(1;0;-5), song song với AB và d(C;(P))=2d(D;(P)) với
A(1;1;2), B(3;0;3), C(1;2;1), D(-4;1;-4).
c) (P) chứa AB và d(CD,(P)) = với A(1;1;2), B(3;0;3), C(1;2;1) và ABCD là
hình bình hành.
d) (B-2009) (P) qua hai điểm A(1;2;1), B(-2;1;3) và khoảng cách từ
C(2;-1;1) đến (P) bằng khoảng cách từ D(0;3;1) đến (P).
Bài 1.3.6. Cho M(1;1;2), d: . Lập PT mặt phẳng (P) qua M, song song với
d và d(d, (P)) = .
Đặc biệt hóa:
Bài 1.3.7. Cho PT mặt cầu (S): (x-2)2+(y-1)2+(z-2)2 =. Viết PT mặt
phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) biết:
24
a) (P) chứa đt d: .
b) (P) đi qua hai điểm M(1;1;2), N(3;0;3).
c) (P) đi qua M(1;1;2) và song song với d: .
Khái quát hóa: (k là số thực dương cho trước). Lập PT mặt phẳng (P)
biết
1) (P) chứa đt d và d(A,(P))=k.
2) (P) chứa đt d và d(A,(P))=kd(B,(P)).
3) (P) đi qua điểm A, song song với đt d và d(B,(P))=k.
4) (P) đi qua điểm A, song song với đt d và d(B,(P))=kd(C,(P))
5) (P) đi qua điểm A, song song với d và d(d;(P))=k.
Chú ý: Với bài toán lập PT mặt phẳng chứa đt d và liên quan tới
khoảng cách đến mặt phẳng đó thì ta nên gọi tọa độ của một
VTPT của (P), suy ra ptMp. Dựa vào hai đk thiết lập hệ 2 PT với
ba thành phần tọa độ của nó.
Sau đây một số bài đơn giản nên xin khơng nêu ra bước 1.
Ví dụ 1.4. Cho d1: , d2: . Lập PT mặt phẳng song song với d1, d2 và
d(d1,(P)) = 2d(d2,(P)).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
GV: Trong hai yếu tố thơng thường em cần tìm để lập PT mặt phẳng (P),
em có thể tìm được ngay yếu tố nào khơng?
HS: Chưa tìm được ngay tọa độ một điểm hay một VTPT của (P).
GV: Dựa vào giả thiết (P) song song với các đt d 1, d2, em có thể tìm
được yếu tố gì để lập PT mặt phẳng (P)? Là yếu tố nào? Nêu cách xác
định.
25
