Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (160.81 KB, 9 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>Toán 12ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ & TỌA ĐỘ</b>
<b>ĐIỂM </b>
<b>VÀO VIỆC GIẢI</b>
<b>BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,</b>
<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH </b>
<i><b>Vấn đề 1</b><b> : Dạng toán chứng minh bất đẳng thức.</b></i>
<b>BÀI 1: Chứng minh rằng: </b> <i>a</i>2 2<i>a</i> 5 <i>a</i>22<i>a</i> 5 2 5<sub> (1)</sub>
<b>Cách giải: </b>
(1) (<i>a</i>1)222 (<i>a</i>1)222 2 5
Đặt <i>a</i> (1 <i>a</i>; 2),<i>b</i>(<i>a</i>1;2) <i>a b</i> (2;4)
Ta có:
2 2 2 2
(<i>a</i>1) 2 (<i>a</i>1) 2 <i>a</i><i>b</i> <i>a b</i> 2 5
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: <i>a b</i>;
cùng hướng 1-a = a+1 <sub>a = 0.</sub>
<b>BÀI 2: Chứng minh rằng: </b> <i>x</i>2<i>xy y</i> 2 <i>y</i>2<i>yz z</i> 2 <i>z</i>2<i>zx x</i> 2 ,<i>x y z R</i>, , (1)
Ta có
2 2
2 2
2 2 3 <sub>;</sub> 2 2 3
2 2 2 2
<i>x</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>xy y</i> <sub></sub><i>y</i> <sub></sub> <sub></sub> <i>x</i><sub></sub> <i>y</i> <i>yz z</i> <sub></sub><i>y</i> <sub></sub> <sub></sub> <i>z</i><sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Xét
3 3 3
; , ; ; ( )
2 2 2 2 2 2
<i>x</i> <i>z</i> <i>x z</i>
<i>a</i><sub></sub><i>y</i> <i>x b</i><sub></sub> <sub></sub> <sub></sub><i>y</i> <sub></sub> <i>z</i><sub></sub> <i>a b</i> <sub></sub> <i>x z</i> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
2 2
2 2
( ) 3( )
4 4
<i>x z</i> <i>x z</i>
<i>a b</i> <i>z</i> <i>zx x</i>
Do <i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i>
nên <i>x</i>2<i>xy y</i> 2 <i>y</i>2<i>yz z</i> 2 <i>z</i>2<i>zx x</i> 2 ,<i>x y z R</i>, , (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: <i>a b</i>;
cùng hướng
0 0
0
2 2 2
0
2 2
<i>x z</i> <i>x z</i>
<i>x z</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i> <i>x</i> <i>y x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>xy yz zx</i>
<i>z</i> <i>y z</i> <i>z</i> <i>y</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
0
, , 1
1
<i>x z</i>
<i>k</i>
<i>x kz y</i> <i>z k</i>
<i>k</i>
<sub></sub>
<b>BÀI 3: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng </b>
2 <sub>2</sub> 2 2 <sub>2</sub> 2 2 <sub>2</sub> 2
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<b>Cách giải:</b>
Chọn
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
; ; ; ; w ; w ;
<i>u</i> <i>v</i> <i>u v</i>
<i>b a</i> <i>c b</i> <i>a c</i> <i>a b c a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Ta có
2 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 1
w w 3
<i>u</i> <i>v</i> <i>u v</i>
<i>b</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a b c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
2 <sub>2</sub> 2 2 <sub>2</sub> 2 2 <sub>2</sub> 2
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 3
<b>BÀI 4: Chứng minh </b>
2
5 2 5 2 5 2 6 3, , , , 6
5
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x y z</i> <i>x y z</i>
<b>Cách giải:</b>
Xét hai vectơ: <i>u </i>
và <i>v</i>
Ta có <i>u</i> 3,<i>v</i> 5(<i>x y z</i> ) 6 6
<i>u v</i>. 5<i>x</i> 2 5<i>y</i> 2 5<i>z</i>2
Áp dụng bất đẳng thức <i>u v</i>. <i>u v</i>.
ta có
2
5 2 5 2 5 2 6 3, , ,
5
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x y z</i>
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: <i>u</i>
cùng hướng
5 2
5 2 5 2
2
1 1 1
<i>y</i>
<i>x</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y z</i>
<b>BÀI 5: Chứng minh </b>
2 2
sin<i>x</i> 2 sin + sin <i>x</i> <i>x</i> 2 sin <i>x</i> 3, <i>x</i>
<b>Cách giải:</b>
Xét hai vectơ:
2
sin ;1; 2 sin
<i>u</i> <i>x</i> <i>x</i>
và
2
1; 2 sin ;sin
<i>v</i> <i>x</i> <i>x</i>
Áp dụng bất đẳng thức <i>u v</i>. <i>u v</i>.
ta có
2 2 2 2 2 2
sin<i>x</i> 2 sin +sin<i>x</i> <i>x</i> 2 sin <i>x</i> sin <i>x</i> 1 2 sin <i>x</i> 1 2 sin <i>x</i> sin <i>x</i> 2 3, <i>x</i>
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
2
sin ;1; 2 sin
<i>u</i> <i>x</i> <i>x</i>
và
2
1; 2 sin ;sin
<i>v</i> <i>x</i> <i>x</i>
cùng hướng
2
2
2
sin 1
sin 1 2 sin
sin 2 sin 2
sin 2
1 <sub>2 sin</sub> sin 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
<b>BÀI 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức </b>
2 2 2 2
( 1) 4 ( 1) 1, ,
<i>A</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>
<b>Cách giải:</b>
Xét hai vectơ: <i>u</i>(<i>x</i>1; ; 2),<i>y</i> <i>v</i> ( ;<i>x y</i> 1;1) <i>u v</i> (1; 1;3)
Do <i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i>
ta có: <i>A</i> (<i>x</i>1)2<i>y</i>2 4 <i>x</i>2(<i>y</i>1)21 11<sub>.</sub>
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: <i>u</i>(<i>x</i>1; ; 2),<i>y</i> <i>v</i> ( ;<i>x y</i> 1;1)
cùng hướng
Tức là:
1 2 1 2
,
1 1 3 3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11<sub> khi </sub>
1 2
,
3 3
<i>x</i> <i>y</i>
<b>BÀI 7: Chứng minh </b>
2 2 2 2 2 2
(<i>x</i>1) (<i>y</i>1) (<i>z</i>1) (<i>x</i>1) (<i>y</i>1) (<i>z</i>1) 2 2,<i>x y z</i>, ,
Trong không gian Oxyz, lấy các điểm A(1;1;-1), B(-1;1;1),M(x;y;z). Khi đó
2 2
<i>AB </i> <sub>.</sub>
và <i>MA</i> (<i>x</i>1)2(<i>y</i>1)2(<i>z</i>1) ,2 <i>MB</i> (<i>x</i>1)2(<i>y</i>1)2(<i>z</i>1)2 <sub>.</sub>
Từ bất dẳng thức <i>MA MB AB</i> , ta suy ra
2 2 2 2 2 2
(<i>x</i>1) (<i>y</i>1) (<i>z</i>1) (<i>x</i>1) (<i>y</i>1) (<i>z</i>1) 2 2,<i>x y z</i>, ,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: M nằm giữa AB <i>AM</i> <i>t AB t</i>,
1 2
1 0;1
1 2
<i>x</i> <i>t</i>
<i>y</i> <i>t</i>
<i>z</i> <i>t</i>
<sub></sub>
<i><b>Vấn đề 2: Dạng tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.</b></i>
<b>BÀI 1: Giải phương trình </b>(4 <i>x x</i>) 2 7 2 <i>x</i> 85 57 <i>x</i>13<i>x</i>2 <i>x</i>3 <sub> (1)</sub>
<b>Cách giải:</b>
Ta có: (1) (4 <i>x</i>) <i>x</i> 2 7 2 <i>x</i> (5 <i>x x</i>)( 2 8<i>x</i>17)
(4 ) 2 7 2 (5 ) 4 1 , 2;
2
<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Xét <i>a</i>
Và
2
(4 ) 1, ( 2) (7 2 ) 5
<i>a</i> <i>x</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Khi đó (1)
4 1
. . os , 1
2 7 2
<i>x</i>
<i>a b</i> <i>a b</i> <i>c</i> <i>a b</i>
<i>x</i> <i>x</i>
(4 <i>x</i>) (7 2 )2 <i>x</i> <i>x</i> 2 <i>x</i>3
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
<b>BÀI 2: (A – 2014) Giải Hệ Phương trình </b>
2
3
12 (12 ) 12 (1)
8 1 2 2 (2)
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Điều kiện: 2 <i>y</i> 12, <i>x</i> 2 3.
Xét
2
; (12 ) , 12 ;
<i>a</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>b</i> <i>y</i> <i>y</i>
khi đó phương trình (1) có dạng
. .
<i>a b</i><i>a b</i>
,
<i>a b</i>
cùng hướng.
nên (1) <i>x y</i> (12 <i>x</i>2). 12 <i>y</i> <i>y</i>12 <i>x x</i>2, 0<sub> thay vào phương trình (2) </sub>
Ta có: <i>x</i>3 8<i>x</i>1 2 10 <i>x</i>2 <i>x</i>3 8<i>x</i> 3 2( 10 <i>x</i>2 1)
2
2
2
2(9 )
( 3)( 3 1)
10 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
2
2
2( 3)
( 3) 3 1 0
10 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2
2
3
2( 3)
3 1 0( )
10 1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>VN</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
x= 3 suy ra y = 3.
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3)
<b>BÀI 3: Giải hệ phương trình: </b>
4 4 4
2 2 2
1
2 7
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<b>Cách giải:</b>
Gọi ( ; ; )<i>x y z</i>0 0 0 là một nghiệm tùy ý của hệ nếu có. Xét hai vectơ sau trong không
gian:
2 2 2
0 0 0
( ; ; ), (1;1;2)
<i>u</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>v</i> <sub> khi đó </sub>
4 4 4
0 0 0 1, 6
<i>u</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>v</i>
, ta có <i>u v x</i>. 02<i>y</i>022<i>z</i>02 7
Mặt khác:
. 7
os( , ) 1
6
.
<i>u v</i>
<i>c</i> <i>u v</i>
<i>u v</i>
<b>BÀI 4: Giải hệ phương trình: </b>
2 2
2
2 2
( )
2
3 8 8 8 2 4 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>y x z</i>
<i>x</i> <i>x y</i> <i>yz</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>yz</i> <i>x</i> <i>z</i>
Hệ phương trình đã cho viết lại:
2 2 2 2
( ) ( ) 0 (1)
( 1) (2 1) 0 (2)
4( ) 4( ) ( 1) (2 1) (3)
<i>x x y</i> <i>y y z</i>
<i>x x</i> <i>y z</i>
<i>x y</i> <i>y z</i> <i>x</i> <i>z</i>
Xét các véctơ trong một hê trục nào đó
( ; ), ( ; ), w ( 1; 2 1)
<i>u</i> <i>x y v</i> <i>x y y z</i> <i>x</i> <i>z</i>
Khi đó hệ viết lại:
2 2
. 0 (4)
.w 0 (5)
4 w w 2 (6)
<i>u v</i>
<i>u</i>
<i>v</i> <i>v</i>
Chỉ có hai khả năng xảy ra:
Khả năng 1: Nếu <i>u </i> 0<sub> ta có x = y = 0 </sub>
1
0
2
<i>u</i> <i>z</i>
. Ta có nghiệm
1
0;0;
2
Khả năng 2: <i>u </i> 0
<b>TH1: </b>
1 0
2 1 0
w 0
0
0
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>v</i>
<i>x y</i>
<i>y z</i>
<b>TH2: Nếu </b><i>v</i>, w
cùng khác 0<sub>, do (4) và (5) thì </sub><i>v</i> , w<sub> là hai vectơ cộng tuyến, do (6) </sub>
ta có
<i>w 2v</i>
hoặc w <i>2v</i>
+ Nếu <i>w 2v</i>
0
1 2 2
1
2 1 2 2
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>z</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub> thay vào (1) ta có </sub>
1
+ Nếu w<i>2v</i>
1 3
1 2 2 <sub>2</sub>
2 1 2 2 3
4
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>z</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub>
Thay vào (1) ta có:
2
2 (1 3 ) 1 3 7<sub>.</sub> <sub>5</sub> 2 <sub>5</sub> <sub>2 0</sub>
4 2 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Phương trình này vơ nghiệm.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
1 1 1
0;0; , 0; ;
2 2 2
<sub>.</sub>
<b>BÀI 5: Giải hệ phương trình: </b>
2 2 2
3 3 3
1
1
1
<i>x y z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<b>Cách giải:</b>
Xét hai vectơ <i>u</i>( ; ; );<i>x y z</i>0 0 0 <i>v</i>(<i>x</i>02;<i>y</i>02;<i>z</i>02)
trong đó ( ; ; )<i>x y z</i>0 0 0 là nghiệm của hệ.
Ta có <i>u v x</i>. 03<i>y</i>03<i>z</i>03 1 (1)
Lại có
2 2 2
0 0 0 1
<i>u</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0
<i>v</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i>
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
1 2 <i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i> 1
Vậy <i>u v </i>. 1 (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra
2 2
0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 2
0 0
0
0 0
0
<i>x y</i>
<i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i> <i>y z</i>
<i>z x</i>
<sub></sub>
Vì <i>u v</i>. <i>u v</i>.
Nên ta có
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0
0
0
1
<i>x y</i>
<i>y z</i>
<i>z x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
suy ra phải có trong ba số <i>x y z</i>0; ;0 0 có hai số bằng 0, một số bằng 1.
Thử vào hệ thỏa mãn.
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm sau (1;0;0), (0;1;0),(0;0;1).
<b>BÀI 6: Giải phương trình: </b> <i>x</i>2 2<i>x</i> 5 <i>x</i>22<i>x</i>10 29<sub> (1)</sub>
<b>Cách giải:</b>
Tập xác định D = R
2 2 2 2
(1) (<i>x</i>1) 2 (<i>x</i>1) 3 29
Đặt
2 2
( 1;2) ( 1) 2
<i>u</i> <i>x</i> <i>u</i> <i>x</i>
2 2
( 1;3) ( 1) 3
<i>v</i> <i>x</i> <i>v</i> <i>x</i>
Suy ra <i>u v</i> ( 2;5) <i>u v</i> 29
Như vậy (1) <i>u</i> <i>v</i> <i>u v</i> <i>u v</i>,
cùng hướng
1
3( 1) 2( 1) 0
5
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
5
<i>x </i>
.
<b>BÀI 7: Giải bất phương trình: </b> 2(<i>x</i> 3)22<i>x</i> 2 <i>x</i>1 <i>x</i> 3<sub> (1)</sub>
<b>Cách giải:</b>
Điều kiện: <i>x </i>1
2 2
(1) 2 (<i>x</i> 3) ( <i>x</i>1) <i>x</i>1 <i>x</i> 3
Đặt
2 2
( 3; 1) ( 3) ( 1)
<i>u</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>u</i> <i>x</i> <i>x</i>
, <i>v</i>(1;1) <i>v</i> 2
Suy ra <i>u v</i> . <i>x</i>1 <i>x</i> 3<sub> và </sub>
2 2
. 2 ( 3) ( 1)
2 2
. 2 ( 3) ( 1) (1) . . ,
<i>u v</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>u v</i> <i>u v</i> <i>u v</i>
cùng hướng
3 1 5
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i><b>Vấn đề 3: Bài toán cực trị.</b></i>
<b>BÀI 1: Cho hai điểm A(1;1;0), B(3;-1;4) và đường thẳng (d): </b>
1 1 2
1 1 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
<b>Cách giải:</b>
Do điểm M trên đường thẳng (d), ta có: M(-1+t; 1-t; -2+2t)
Khi đó: <i>MA</i> (2 <i>t</i>)2<i>t</i>2(2 2 ) <i>t</i> 2 6<i>t</i>2 12<i>t</i>8
<i>MB</i> (4 <i>t</i>)2 (<i>t</i> 2)2(6 2 ) <i>t</i> 2 6<i>t</i>2 36<i>t</i>56
Khi đó
2 2
2 2 2 1 2 1
6 12 8 6 36 56 6 ( 1) (3 )
3 3
<i>MA MB</i><sub></sub> <sub></sub> <i>t</i> <sub></sub> <i>t</i><sub> </sub> <i>t</i> <sub></sub> <i>t</i><sub></sub> <sub></sub> <i>t</i><sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <i>t</i> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Xét hai vectơ
1 1
1; , 3 ;
3 3
<i>u</i><sub></sub><i>t</i> <sub></sub> <i>v</i><sub></sub> <i>t</i> <sub></sub>
Ta có <i>MA MB</i> 6
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi
1 1
1; , 3 ;
3 3
<i>u</i><sub></sub><i>t</i> <sub></sub> <i>v</i><sub></sub> <i>t</i> <sub></sub>
cùng hướng
1
1 2 (1; 1; 2)
3
<i>t</i>
<i>t</i> <i>M</i>
<i>t</i>