Dạy học vị trí tương đối giữa các đối tượng cơ bản của hình học không gian trong môi trường geogebra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc

DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN
CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
TRONG MÔI TRƯỜNG GEOGEBRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc

DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN
CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
TRONG MÔI TRƯỜNG GEOGEBRA

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TĂNG MINH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin dành những dịng đầu tiên của luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
TS. Tăng Minh Dũng, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học cũng
như giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hồn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các quý thầy cơ đã tận tình giảng dạy, giải đáp thắc
mắc, dẫn dắt chúng tôi lĩnh hội những kiến thức nền tảng, truyền cho chúng tôi niềm say
mê đối với chuyên ngành Didactic Tốn. Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các giáo sư
Pháp: TS. Annie Bessot và TS.Hamid Chaachoua đã gợi mở và định hướng đề tài luận
văn cho chúng tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chun viên Phịng sau đại học, Khoa Tốn – Tin trường
Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi trong suốt
khóa học.
- Ban giám hiệu và các thầy cơ trong tổ Tốn trường THPT Chu Văn An,
Ninh Thuận đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập tại
trường ĐHSP TP.HCM cũng như hỗ trợ tôi trong phần thực nghiệm.
- Ban giám hiệu và cô Nguyễn Thị Minh Đào trường THPT Châu Thành,
Bà Rịa Vũng Tàu đã giúp đỡ tôi trong phần thực nghiệm.
- Vợ chồng bạn Nguyễn Thị Minh Yến giáo viên trường THPT Nam Kỳ
Khởi Nghĩa TP.HCM, bạn Lê Đình Nhân giáo viên trường THPT Bác Ái tỉnh
Ninh Thuận đã có nhiều ý kiến đóng góp cho tôi trong phần thực nghiệm.
Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học cùng khóa 27 đã cùng tơi chia sẻ
những buồn vui, những khó khăn trong suốt q trình học tập. Đặc biệt là nhóm của tơi:
anh Trần Văn Học, chị Nguyễn Thị Minh Đào, em Trần Thị Vân, những người đã động

viên tinh thần, hỗ trợ và góp ý cho luận văn của tơi.
Cuối cùng, tơi xin dành tấm lịng biết ơn của mình cho gia đình mình: bố mẹ, chị
gái. Những người đã ln động viên tinh thần và là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt.
Bùi Thị Minh Trâm Ngọc


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ “Dạy học vị trí tương đối giữa các đối tượng
cơ bản của hình học khơng gian trong mơi trường GeoGebra” là cơng trình nghiên
cứu của tơi dưới sự hướng dẫn của TS. Tăng Minh Dũng.
Mọi số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và chưa được
cơng bố trong bất kỳ cơng trình nghiên cứu nào trước đây. Tất cả những tham khảo và
kế thừa đều được trích dẫn và tham chiếu đầy đủ.
Tơi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.
Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2018
Người cam đoan

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các từ viết tắt
Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ .......................................................................................... 1
1.1. Câu hỏi xuất phát ............................................................................................ 1
1.2. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 2
1.3. Phạm vi lí thuyết tham chiếu ........................................................................... 3

1.4. Cơ sở lý thuyết ............................................................................................... 3
1.4.1. Khái niệm mơ hình trực quan ................................................................... 3
1.4.2. Danh mục thiết bị dạy học của bộ Giáo dục ............................................. 5
1.4.3. Hình nổi: một mơ hình trực quan mơ phỏng ............................................. 6
1.4.4. Ứng dụng hình nổi trong dạy học HHKG ................................................. 8
1.4.5. Giới thiệu về Geogebra ............................................................................ 9
1.5. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................... 13
1.6. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 13
1.7. Giả thuyết nghiên cứu ................................................................................... 13
1.8. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 14
Chương 2. NGHIÊN CỨU CÁC TÀI LIỆU HỌC ĐƯỜNG VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN .............................. 15
2.1. Yêu cầu dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong SGV Hình học 11 CB ..... 15
2.2. Các tổ chức toán học trong SGK Hình học 11 CB ........................................... 17
2.2.1. Phân tích chi tiết nhóm T .......................................................................... 17


2.2.2. Phân tích chi tiết nhóm T’ ......................................................................... 20
2.3. Kết luận chương 2 ........................................................................................... 27
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ VIỆC TÌM HAI ĐƯỜNG
THẲNG CẮT NHAU TRÊN HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HỌC SINH ..................... 29
3.1. Giới thiệu thực nghiệm 1 ................................................................................. 29
3.2. Phân tích tiên nghiệm ...................................................................................... 29
3.2.1. Các lựa chọn sư phạm của thực nghiệm .................................................... 29
3.2.1.1. Biến tình huống .................................................................................. 30
3.2.1.2. Biến didactic ...................................................................................... 30
3.2.2. Các chiến lược .......................................................................................... 31
3.3. Phân tích hậu nghiệm ...................................................................................... 34
3.3.1. Lời giải theo chiến lược S1 ........................................................................ 35
3.3.2. Lời giải theo chiến lược S2 ........................................................................ 40

3.3.3. Các lời giải khác ....................................................................................... 42
3.3.4. Lời giải chưa đi đến kết quả ...................................................................... 44
3.4. Kết luận chương 3 ........................................................................................... 45
Chương 4. DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG QUA
MƠ HÌNH TRỰC QUAN ........................................................................................ 47
4.1. Nghiên cứu việc sử dụng mơ hình trực quan của giáo viên .............................. 47
4.1.1. Mục đích nghiên cứu................................................................................. 47
4.1.2. Giới thiệu tiến trình tổ chức điều tra, phỏng vấn ....................................... 47
4.1.3. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................ 49
4.1.4. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................ 52
4.2. Thực nghiệm 2 ................................................................................................ 55
4.2.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................. 55


4.2.2. Giới thiệu thực nghiệm ............................................................................. 55
4.2.3. Tiến trình thực nghiệm .............................................................................. 55
4.2.4. Phân tích tiên nghiệm:............................................................................... 58
4.1.5. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................ 62
4.1.5.1. Phân tích phiếu A ............................................................................... 62
4.1.5.2. Phân tích phiếu B ............................................................................... 64
4.1.5.3. Phân tích phiếu C ............................................................................... 68
4.3. Kết luận chương 4 ........................................................................................... 71
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 74
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt

Từ đầy đủ

BTKG

Biểu tượng khơng gian

CB

Cơ bản

CNTT

Cơng nghệ thơng tin

HHKG

Hình học khơng gian

HHP

Hình học phẳng

KNV

Kiểu nhiệm vụ

MHTQ

Mơ hình trực quan

NC

Nâng cao

NXB

Nhà xuất bản

PTTQ

Phương tiện trực quan

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

THPT

Trung học phổ thông

TP.HCM

Thành phố Hồ Chí Minh

TTTKG

Trí tưởng tượng khơng gian

VTTĐ

Vị trí tương đối


1

Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1.

Câu hỏi xuất phát

Trí tưởng tượng khơng gian (TTTKG) có vai trị trong nhiều hoạt động của con
người như: định hướng di chuyển trong một thành phố lớn không quen biết hay trên
biển; biểu diễn những cái mình nhìn thấy;… (Lê Thị Hồi Châu, 2008). Đồng thời,
những sáng tạo mới trong khoa học, kỹ thuật, hội họa,…đều là sản phẩm của TTTKG
(Vũ Thị Thái, 2001).
Theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT của Bộ Giáo dục ban hành chương trình
giáo dục phổ thơng u cầu một trong những phẩm chất tư duy cần bồi dưỡng cho học
sinh là phát triển TTTKG. Trong khi đó, “đối tượng của TTTKG là các biểu tượng
khơng gian (BTKG). Đó là những biểu tượng phản ánh những đặc tính của khơng gian
gồm những tính chất khơng gian (hình dạng, kích thước) và những quan hệ khơng gian
(vị trí).” (Vũ Thị Thái, 2001, trang 4). Như vậy, vị trí của các vật thể trong khơng gian
nói chung và vị trí tương đối (VTTĐ) giữa các đối tượng cơ bản trong khơng gian nói
riêng là thành phần của TTTKG, do đó rất được quan tâm trong giáo dục Toán học:
“Ngay từ những giờ học đầu tiên thầy giáo cần phải tập cho học sinh biết cách
biểu diễn đường thẳng, mặt phẳng và vị trí tương đối của chúng trong khơng gian sau
khi giới thiệu hình ảnh của chúng trong thực tế.” (SGV Hình học 11 CB, trang 8)

Tuy nhiên, trong dạy học hình học khơng gian (HHKG), học sinh gặp nhiều khó
khăn khi nghiên cứu VTTĐ giữa các đối tượng cơ bản của HHKG (điểm, đường thẳng,
mặt phẳng). Chẳng hạn, trong bài toán (Bùi Đức Tước Hồn, 2012):
“Xét bài tốn: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi có các cạnh đối
khơng song song. Gọi E là điểm bất kì thuộc cạnh SB. Tìm giao điểm của DE và (SAC).
Có học sinh đưa ra lời giải như sau:
DE  SC  F

 F  DE

 DE  (SAC)  F .”
 F  SC , SC  ( SAC )


2

Sai lầm này có thể được giải thích: “trong hình học phẳng ta ln ln có thể thực
hiện một hình vẽ chính xác đúng với cái mà ta tưởng tượng…..Với HHKG thì khơng
phải như vậy – chẳng hạn hai đường thẳng cắt nhau trên hình biểu diễn lại có thể là
hai đường thẳng chéo nhau trên hình thực” (Lê Thị Hồi Châu, 2008, trang 206). Từ
đó, chúng tơi thấy việc tưởng tượng VTTĐ giữa các đối tượng của HHKG là điều cần
thiết phải rèn luyện cho học sinh.
Tuy nhiên, theo VuiBert (1912, trang 7) “một trong những khó khăn của việc dạy
hình học đến từ thực tế là khơng phải ai cũng có thể “nhìn hình khơng gian”. Một số
học sinh hoàn toàn bị bỏ lại bởi chướng ngại này: hình học đóng lại với chúng. Một số
khác có thể “nhìn” một cách khó khăn và khơng đầy đủ, họ có thể hiểu và nhớ các định
nghĩa nhưng khơng thể quen với những hình trong khơng gian, đặc biệt là khi chúng
phức tạp.” Theo SGV Hình học 11 NC (trang 43): “Trong học HHKG, hình vẽ là những
hình phẳng khơng phản ánh trung thành các quan hệ như vng góc, bằng nhau… của
các đối tượng. Đó là một khó khăn rất lớn cho học sinh. Vì thế, khi giảng những bài đầu

tiên, giáo viên cần chuẩn bị nhiều mơ hình trực quan (MHTQ), sau đó mới chú ý rèn
luyện tư duy logic cho học sinh.”
Từ những ghi nhận ban đầu trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi xuất phát:
CH1: Việc dạy học VTTĐ giữa các đối tượng cơ bản của HHKG đang diễn ra như
thế nào?
CH2: MHTQ là gì? Giáo viên có sử dụng MHTQ trong giảng dạy VTTĐ giữa các
đối tượng cơ bản của HHKG hay không?
1.2.

Phạm vi nghiên cứu

Đối tượng cơ bản của HHKG gồm điểm, đường thẳng và mặt phẳng. VTTĐ giữa
các đối tượng này tương đối nhiều và phức tạp. Trong phạm vi của một luận văn thạc
sĩ, chúng tôi chỉ nghiên cứu về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình HHKG
lớp 11 Chuẩn hiện hành.


3

1.3.

Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Với phạm vi nghiên cứu như trên, chúng tôi sẽ sử dụng lý thuyết nhân chủng học
trong Didactic Tốn. Lý thuyết này giúp chúng tơi phân tích mối quan hệ thể chế đối
với VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình, SGV, SGK lớp 11 CB hiện hành.
Đồng thời, có những sai lầm của học sinh mang tính cá nhân, do thiếu kiến thức
nhưng cũng có những sai lầm của học sinh khiến chúng ta phải quan tâm vì nó khơng
phải ngẫu nhiên được sinh ra. Những sai lầm này thuộc về kiến thức và là biểu hiện của
kiến thức. Chúng tôi sử dụng lý thuyết tình huống mà cơng cụ là quy tắc hành động để

nghiên cứu sai lầm và khó khăn của học sinh khi học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong
không gian, nhằm tìm cách hỗ trợ, khắc phục những chướng ngại này.
1.4.

Cơ sở lý thuyết

Các công cụ lý luận của Didactic tốn như thuyết nhân học, lý thuyết tình huống,..
là các yếu tố đã khá quen thuộc; do đó, trong mục này chúng tơi chỉ trình bày những cơ
sở lý thuyết mới, cần được làm rõ.
1.4.1. Khái niệm mơ hình trực quan
Theo chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (Dự thảo ngày 19/1/2018)
phương tiện học tốn có 2 loại là: phương tiện trực quan (PTTQ) thơng thường (bảng
phụ, mơ hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt trịn xoay,…) và phương tiện khoa học
công nghệ.
Theo Trần Trung (2013) để “học sinh biết nhìn hình thực và VTTĐ của các yếu tố
hình thực qua hình biểu diễn” “giáo viên cần sử dụng một dạng của phương tiện dạy
học đó là MHTQ để giúp học sinh dễ dàng chuyển tư duy từ cái cụ thể, cảm tính sang
tư duy trừu tượng, khái quát hóa.” (trang 52). Trong đó, MHTQ được khai thác trong
giảng dạy HHKG có 2 loại là: mơ hình hình thật và mơ hình được thiết kế từ các máy
tính điện tử.
Như vậy, trong luận văn này, chúng tơi cũng hiểu PTTQ dùng trong giảng dạy
HHKG gồm có hai loại là: PTTQ thơng thường như các hình vẽ, mơ hình, vật thật,… và
PTTQ khoa học cơng nghệ. Trong đó, MHTQ là một dạng của PTTQ, gồm 2 loại là:


4

MHTQ ở dạng vật thật và MHTQ mô phỏng được thiết kế từ các phần mềm hình học
động trên máy tính điện tử (Hình 1.1)

Hình 1.1. PTTQ trong dạy học HHKG
Trong đó:


Vật thật:

Vật thật là “các mơ hình hình học có thể làm bằng nhựa hoặc làm bằng gỗ, bằng
bìa cứng, bìa cát tơng,… với u cầu tương thích với các hình hình học” (Dương Văn
Kiên, 2006, trang 16) hay những hình ảnh trực quan trong thực tế. Theo SGV Hình học
11 NC “để giúp học sinh dễ hiểu, trong khi giảng bài, giáo viên cần dùng nhiều hình ảnh
trực quan và sử dụng các thiết bị dạy học do Bộ Giáo dục và Đào tạo trang bị” (trang
41). Do đó, chúng tơi sẽ tìm hiểu những mơ hình, đồ dùng trong danh mục thiết bị dạy
học của bộ Giáo dục quy định.


MHTQ mô phỏng:

MHTQ mô phỏng được tạo ra từ các phần mềm hình học động. Đây là một loại
phương tiện dạy học tích hợp nhiều tính năng, chương trình được lập trình sẵn và cài
đặt vào máy tính để người dùng điều khiển tạo ra những hình ảnh hai, ba chiều. Trong
dạy học HHKG có khá nhiều phần mềm hình học động như: Cabri, Geospace,
Sketchpad, Geogebra, …


5

1.4.2. Danh mục thiết bị dạy học của bộ Giáo dục
Theo thông tư số 01/2010 của bộ Giáo dục Việt Nam ban hành Danh mục thiết bị
dạy học tối thiểu cấp Trung học phổ thơng – mơn Tốn có hai bộ dụng cụ được sử dụng
trong dạy HHKG

Bảng 1.1. Bộ dụng cụ dạy học HHKG trong danh mục thiết bị dạy học của Bộ
Tên thiết bị

STT

Dùng cho lớp

Hộp chân đế
Bộ khung
Bản phẳng hình chữ nhật
Bộ dụng cụ Bản phẳng hình tam giác vng
1

tạo mặt

Bản phẳng nửa hình trịn

trịn xoay

Bản phẳng nửa hình lọ hoa,

12

Khung hình chữ nhật
Khung hình tam giác vng
Khung hình nửa đường trịn
Lăng trụ
Hình hộp xiên
Hình hộp chữ nhật
Bộ mơ hình Tứ diện; Bát diện

2

khối hình

Thập nhị diện đều

khơng gian

Nhị thập diện đều
Khối trịn xoay
Khối lăng trụ hình chữ nhật
Khối lăng trụ tam giác

12


6

Hình 1.2. Bộ dụng cụ tạo mặt trịn xoay

Hình 1.3. Bộ mơ hình khối khơng gian

Tuy nhiên, cả hai bộ đều được chỉ định cho dạy học HHKG lớp 12. Một số dụng
cụ trong bộ mơ hình khối khơng gian có thể sử dụng để dạy HHKG lớp 11 như tứ diện,
lăng trụ, hình hộp chữ chữ nhật…và để giảng dạy VTTĐ giữa hai đường thẳng cần phải
bổ sung và thiết kế thêm một số thiết bị dạy học khác.
1.4.3. Hình nổi: một mơ hình trực quan mơ phỏng
Theo Kmeťová (2015, trang 86):
Chương trình hình học động Geogebra là một người bạn đồng hành hữu ích cho
việc hình dung các quan hệ hình học trên mặt phẳng và trong khơng gian. Để hình

dung các hình dạng trong khơng gian chúng ta có thể sử dụng hai cơng cụ. Thứ
nhất là phép chiếu song song được sử dụng rộng rãi cho các đối tượng 3D đã cho
(…). Thứ hai là khả năng mới nhất để hình dung các đối tượng khơng gian trong
Geogebra là chọn Anaglyph. Chương trình tạo ra hai hình ảnh chiếu trong một
bức hình là một hình màu đỏ và màu xanh. Sử dụng bộ lọc kính 3D chúng ta có thể
nhìn thấy vật thể khơng gian trong một phần phía trước và phía sau màn hình. Đây
là một cơng cụ hồn hảo để rèn luyện khả năng HHKG, chủ yếu cho những học
sinh có TTTKG hạn chế.

Như vậy, Anaglyph là gì?
Theo Nguyễn Văn Khơn (1984) Anaglyph có nghĩa là đồ chạm, khắc nổi.


7

Theo Neufeldt & Guralnik (1997) Anaglyph có hai nghĩa: một là, vật trang trí như
là đá chạm được khắc nổi; hai là, một bức ảnh được tạo thành từ hai góc nhìn khác nhau
về màu khi cùng nhìn một thứ: khi nhìn qua một cặp bộ lọc màu tương ứng tạo ra hình
ảnh ba chiều.
Theo Kmeťová (2015) Anaglyph có nguồn gốc từ tiếng Hy lạp “ana” có nghĩa là
“một lần nữa” và “glyphẽ” có nghĩa là “điêu khắc”. Anaglyph chứa hai hình ảnh được
lọc màu khác nhau, mỗi hình ảnh cho mỗi mắt. Phương pháp này bao gồm việc xuất ra
hai hình tương phản để tạo thành một bức hình Anaglyph trong cùng một tờ giấy, một
cái màu xanh lam (hoặc xanh lá cây), một cái màu đỏ. Người xem sau đó sẽ dùng kính
có màu đỏ (cho mắt trái) và xanh (cho mắt phải). Mắt trái sẽ nhìn hình ảnh màu xanh
thành màu đen, nhưng lại không thấy màu đỏ; tương tự mắt phải sẽ thấy màu màu đỏ
thành màu đen. Não chúng ta sẽ tạo ra hình ảnh khơng gian 3 chiều.

Hình 1.4. Cơ chế của kính 3D

Hình 1.5. Hình Anaglyph qua kính 3D

Như vậy:
 Từ “Anaglyph” khơng phải là một từ thơng dụng nó hầu như khơng có mặt trong
các từ điển nhỏ và vừa.
 Xuất hiện từ thế kỷ 16 và được hiểu nhiều nhất theo nghĩa 1 (Đồ chạm, khắc nổi).
 Đến thế kỷ 19 xuất hiện nghĩa 2 (Hình ảnh tạo hiệu ứng ba chiều khi được xem
qua bộ lọc màu của kính 3D xanh – đỏ) và hiện nay được sử dụng nhiều với nghĩa
này.
 Trong luận văn này, chúng tôi sẽ dịch “anaglyph” là hình nổi theo nghĩa thứ 2.


8

1.4.4. Ứng dụng hình nổi trong dạy học HHKG
Theo Kmeťová (2015) hình nổi được phát minh đầu tiên vào năm 1852 bởi
Wilhelm Rollman ở Leipzig, Đức. Năm 1858, Joseph D'Almeida đã sử dụng kỹ thuật
này để chiếu những chiếc đèn lồng hình nổi lên màn hình rạp hát. William Friese-Green
đã tạo ra những hình nổi chuyển động 3D đầu tiên vào năm 1889. Năm 1953, truyện
tranh 3D được phát hành và phân phối cùng với “kính khơng gian” màu đỏ và xanh lá
cây. Sau đó, hình nổi khơng chỉ được sử dụng trong lĩnh vực giải trí, một số sách giáo
khoa hình học họa hình với hình minh họa hình nổi đã ra đời. Một trong số đó là sách
giáo khoa xuất bản năm 1961 của Hungary.
Trước đó, VuiBert (1912) đã đưa ra một số ứng dụng của hình nổi trong trường
hợp những hình khối như hình chóp, hình trụ, hình cầu, hình lập phương, … mà những
đường, mặt bên trong chúng khá phức tạp và khó thấy đối với những học sinh có TTTKG
hạn chế. Hay theo Judge (1926, trang 171):
Khơng có điều gì làm học sinh bối rối hơn so với một khối lượng các đường giao
nhau, nhằm biểu lộ những mặt phẳng có hướng khác nhau khi nghiên cứu HHKG.
Tuy nhiên, bằng hình nổi, những mặt phẳng khác nhau sẽ nổi bật trong vị trí tự

nhiên của chúng, chính xác như thể chúng được làm bằng những tấm kính mỏng
với những khung dây tốt và do đó có thể nhìn thấy qua các mặt phẳng gần hơn và
có được ấn tượng rất rõ ràng về tồn bộ bố cục, hoặc sắp xếp.

Kmeťová (2015) đã trình bày một ví dụ về ứng dụng hình nổi của chương trình
Geogebra để trình chiếu hình học trong phép chiếu trực giao (Monge projection – một


9

trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi phương chiếu vng góc) và đường
cong (curves), bề mặt (surfaces).
“Ví dụ: Xác định giao tuyến của hai tam giác ABC và MNP. Biết tọa độ của
A[-1, 0, 6], B[-4.5, 4.5, 0], C[2, 7, 1.5], M[0.5, 1, 0.5], N[3.5, 3, 4.5], P[-2.5, 7, 5].”
(trang 89)

Trong trường hợp xác định giao tuyến này “sau khi sử dụng chức năng xoay hình
và hình nổi, chúng tôi nhận được trải nghiệm không gian đầy đủ với các đối tượng hình
học phía trước và phía sau màn hình.” (Kmeťová, 2015, trang 89)
Như vậy, chúng tơi nhận thấy có thể tạo ra hình nổi trong Geogebra để hỗ trợ học
sinh có TTTKG hạn chế giải quyết bài tốn xác định giao tuyến nói riêng và nghiên cứu
VTTĐ giữa hai đường thẳng hay HHKG nói chung.
1.4.5. Giới thiệu về Geogebra
Markus Hohenwarter và Judith Preiner (Đại học Florida Atlantic, Hoa Kì) là những
người đã sáng tạo ra phần mềm GeoGebra. Ban đầu, nó được thiết kế là một chương
trình động kết hợp giữa hình học và đại số. Theo thời gian, các mô-đun mới được bổ
sung như là bảng tính, hệ thống đại số máy tính (CAS), đặc biệt là mô-đun 3D cho phép
biểu diễn các đối tượng trong hệ tọa độ ba chiều trong phiên bản 5.0. (Lindner, 2013)
Theo Bùi Minh Đức (2018) ở phiên bản này trên thanh cơng cụ xuất hiện dịng các
nhóm lệnh: hồ sơ, chỉnh sửa, hiển thị ....Với các nhóm lệnh này ta có thể lưu trữ, chỉnh

sửa, hiện thị (dạng 2D hoặc 3D ...), tùy chọn (ngôn ngữ, thiết lập định dạng hiển thị theo
đơn vị độ dài, độ lớn góc ...), thêm hoặc bớt các nút công cụ ....Khi hiển thị dạng 3D,
trên thanh công cụ xuất hiện các nút sau đây: nút di chuyển, xác định điểm (dựng điểm


10

mới, giao điểm, trung điểm ...), dựng đường thẳng (hoặc dựng tia, đoạn thẳng ...), dựng
đường vng góc (hoặc đường song song, các tiếp tuyến ...), dựng đường tròn hoặc
đường cô-nic, dựng giao của hai mặt, dựng mặt phẳng (qua ba điểm ...), dựng các hình
đa diện hoặc trải hình, dựng mặt cầu, tính các đại lượng hình học (góc, khoảng cách,
diện tích, thể tích), dựng ảnh của một điểm qua một phép biến hình, chèn chữ, thay đổi
góc nhìn 3D. (Hình 1.6)

Hình 1.6. Thanh cơng cụ của mơ-đun đồ họa 3D
Khơng những vậy, GeoGebra cịn hỗ trợ kết nối Hình học phẳng, HHKG, Đại số,
Xác suất, Thống kê, Bảng tính điện tử và các yếu tố tốn học khác một cách khá chặt
chẽ. Ngoài ưu điểm nổi bật của GeoGebra là vẽ hình trực quan, có thể xoay hình biến
đổi hình theo nhiều góc nhìn khác nhau, GeoGebra cịn có thể xử lý biến số, vectơ và
điểm, tìm đạo hàm và tích phân của hàm số.... Hình bên dưới minh họa cho khả năng
phối hợp các mô-đun cùng một lúc.

Hình 1.7. Geogebra với mơ-đun đại số, mơ-đun đồ họa 2D và mô-đun đồ họa
3D (Lindner, 2013)


11

Như vậy, chỉ xét riêng những tính năng trong mơ-đun đồ họa 3D thì Geogebra
khơng khác gì những phần mềm hình học động khác như Cabri 3D, Geospace, hay

Sketchpad,.. Đồng thời, khi dùng để nghiên cứu VTTĐ giữa hai đường thẳng trong
HHKG lớp 11, Geogebra đáp ứng các tính năng tương tự các phần mềm hình học động
khác. Tuy nhiên, theo Christou et al. (2006) các chương trình hình học động có thể xây
dựng cảm giác hình học 3D từ hình ảnh 2D nhưng các tính năng này chưa đủ để giúp
học sinh phát triển khả năng hình dung các vật thể 3D: Ví dụ, một người có kinh nghiệm
khơng gian có thể dễ dàng nhận ra rằng hình dạng phẳng trên màn hình máy tính là một
đối tượng 3D, cịn đối với người học một biểu diễn của hình ảnh khơng gian 3D có thể
khơng có được “chiều sâu” khơng gian hỗ trợ việc học và điều này có thể cản trở việc
học HHKG.
Để hỗ trợ tạo ra “chiều sâu” này, trên thanh thiết kế trong mô-đun đồ họa 3D của
Geogebra 5.0 đã thêm công cụ Projection for glasses (Phép chiếu cho kính) để tạo hình
nổi. (Hình 1.8)

Hình 1.8. Thanh thiết kế của mơ-đun đồ họa 3D
Trong đó, các yếu tố trong thanh thiết kế:
Xoay: trình diễn xoay quanh trục z với tốc độ không đổi
Xem theo hướng mp xy: xoay cấu trúc theo chiếu nganh
Xem theo hướng mp xz: xoay cấu trúc theo chiếu dọc
Xem theo hướng mp yz: xoay cấu trúc theo chiếu bên
Phép chiếu trực giao (phép chiếu song song)
Phép chiếu phối cảnh


12

Phép chiếu cho kính (Hình nổi)
Phép chiếu xiên
Bằng cách thay đổi phép chiếu một đối tượng có thể được hiển thị theo những
cách khác nhau.

Phép chiếu song song (trên cùng bên trái), Phép chiếu Phối cảnh (trên cùng bên phải),
Hình nổi (dưới cùng bên trái), chiếu xiên (phía dưới bên phải) (Lindner, 2013)
Hình 1.9. Các phép chiếu khác nhau trong GeoGebra 3D
Như vậy, với chức năng hình nổi trong Geogebra, giáo viên có thể tạo ra một mơi
trường “gần” với thực tế khi giảng dạy HHKG và hỗ trợ học sinh giải quyết những bài
tốn khơng gian.
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt tên đề tài luận văn của mình là: “Dạy học
VTTĐ giữa các đối tượng cơ bản của hình học khơng gian trong mơi trường
Geogebra” với đối tượng tri thức được nhắm đến là VTTĐ giữa hai đường thẳng trong
không gian được giảng dạy trong môi trường Geogebra trên tính năng hình nổi.


13

1.5.

Câu hỏi nghiên cứu

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu nói trên, chúng tơi trình bày lại câu hỏi xuất phát:
Q1: Trong chương trình, SGV Hình học 11 CB, khái niệm VTTĐ giữa hai
đường thẳng được yêu cầu giảng dạy như thế nào?
Q2: Các tổ chức tốn học nào có liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
được thể hiện trong SGK Hình học 11 CB? Trong đó, tổ chức toán học nào cần sử
dụng MHTQ?
Q3: Giáo viên đã sử dụng MHTQ trong giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai
đường thẳng như thế nào?
Q4: Có thể thiết kế một tình huống dạy học kiểu nhiệm vụ “Tìm hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ” như thế nào?
1.6.

Phương pháp nghiên cứu

 Để đi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1, Q2 chúng tôi sẽ:
-

Nghiên cứu những tài liệu, tóm tắt các kết quả đã nghiên cứu có liên quan đến
vấn đề xác định VTTĐ giữa hai đường thẳng trong HHKG.

-

Tiến hành phân tích chương trình, SGV, SGK Hình học 11 CB có liên quan đến
đối tượng tri thức đang nghiên cứu.

 Để trả lời cho câu hỏi Q3, Q4 chúng tôi sẽ:
-

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến MHTQ.

-

Điều tra, phỏng vấn thực hành của giáo viên.

-

Tiến hành thực nghiệm trên học sinh.

1.7.

Giả thuyết nghiên cứu

Để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2 chúng tơi đi tìm hiểu các sách giáo khoa
(SGK), sách bài tập, sách giáo viên (SGV) cơ bản (CB) và nâng cao (NC) trong chương
trình lớp 11 do nhà xuất bản (NXB) Giáo dục phát hành. Chúng tôi gọi chung những tài
liệu dùng trong nhà trường như SGK, SGV, sách bài tập, giáo án của giáo viên, vở ghi
chép của học sinh,v.v là tài liệu học đường. Khi nghiên cứu SGK Hình học 11 CB đối
với vấn đề tìm hai đường thẳng cắt nhau trên hình biểu diễn của học sinh chúng tôi đặt
ra các giả thuyết nghiên cứu sau:


14

H1: Khi gặp bài tốn “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh tìm điểm
chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm giao điểm
trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác. i
H2: Học sinh đồng nhất hình vẽ - mơ hình của đối tượng HHKG với hình vẽ mơ hình của đối tượng hình học phẳng (HHP) trong trường hợp hai đường thẳng
cắt nhau.ii
1.8.

Mục đích nghiên cứu

Thơng qua đề tài, chúng tơi hy vọng sẽ tìm ra được những nguyên nhân chủ yếu
dẫn đến những sai lầm của học sinh khi giải bài tốn có liên quan đến VTTĐ giữa hai
đường thẳng trong không gian, từ đó thiết kế được tình huống dạy học khắc phục những
khó khăn này trong mơi trường Geogebra. Thành cơng của đề tài sẽ tạo tiền đề cho việc
ứng dụng hình nổi của phần mềm Geogebra vào trong giảng dạy HHKG, đặc biệt dành
cho những đối tượng học sinh có TTTKG hạn chế.

i
ii

Giả thuyết H1 được đặt ra từ kết quả của chương 2
Giả thuyết H2 được đặt ra trong chương 3 khi lý giải cho giả thuyết H1


15

Chương 2. NGHIÊN CỨU CÁC TÀI LIỆU HỌC ĐƯỜNG VỀ
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Trong chương này, chúng tơi sẽ đi phân tích thể chế trong chương trình HHKG
lớp 11 Chuẩn hiện hành. Do đó, các tài liệu học đường được chúng tôi sử dụng để nghiên
cứu là SGK, SGV Hình học 11 CB.
2.1. Yêu cầu dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong SGV Hình học 11 CB
VTTĐ giữa hai đường thẳng được đưa vào bài 2: “Hai đường thẳng chéo nhau
và hai đường thẳng song song” sau bài 1: “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng”
trong chương II: “Đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian. Quan hệ song song”
Theo SGV Hình học 11 CB:
Về kiến thức:
-

Biết khái niệm hai đường thẳng trùng nhau, song song, cắt nhau, chéo

nhau trong không gian.
-

Biết (không chứng minh) định lý: “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt

chứa hai đường thẳng song song mà cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song
(hoặc trùng) với một trong hai đường đó.”
Về kỹ năng:
-

Xác định được VTTĐ giữa hai đường thẳng.

-

Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song.

-

Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trong

một số trường hợp đơn giản
Thời lượng dành cho nội dung này trong chương là 2/16 tiết cả lý thuyết và bài tập.
Trong đó, SGV nhấn mạnh tầm quan trọng phải sử dụng hình ảnh trực quan trước
khi định nghĩa chính thức:
“Trước khi xét VTTĐ của hai đường thẳng trong không gian, cần giới thiệu cho
học sinh quan sát hình ở đầu §2 SGK và tham gia Hoạt động 1 nhằm tìm hiểu về hình
ảnh của đường thẳng và VTTĐ của chúng trong thực tế, tìm được hình ảnh cụ thể của
hai đường thẳng song song và chéo nhau trong không gian.” (trang 61)


16

Trong mặt phẳng, hai đường thẳng chỉ có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau
cịn trong khơng gian giờ đây xuất hiện thêm quan hệ “chéo nhau” giữa hai đường thẳng.
Do đó, SGV nhấn mạnh, trang 61 – 62:
“Khái niệm hai đường thẳng chéo nhau là một khái niệm mới và khó đối với học
sinh. Trước hết cần giới thiệu lại những hình ảnh cụ thể của hai đường thẳng chéo nhau
có xung quanh chúng ta, hoặc bằng giáo cụ trực quan để minh họa cho khái niệm này.
Sau đó giáo viên giới thiệu một vài hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau a và

b để cho học sinh bắt chước vẽ theo, chẳng hạn như:

Cuối cùng có thể cho học sinh phân biệt hai đường thẳng song song với nhau và
hai đường thẳng chéo nhau để khắc sâu thêm những khái niệm vừa mới học.”
Như vậy, chúng ta thấy một trong những khó khăn của học sinh khi học HHKG
nói chung và VTTĐ giữa hai đường thẳng nói riêng là: “là phải biết biểu diễn các hình
khơng gian đơn giản trên mặt phẳng và biết đọc các hình biểu diễn đó để hình dung
được các hình thực trong khơng gian.” (SGV Hình học 11 CB, trang 8). Do đó, chương
trình và SGV u cầu giảng dạy là: “cần biết kết hợp việc dùng các mơ hình cụ thể
(bằng giấy, bằng tre, bằng nhựa v.v…) với việc rèn luyện trí tưởng tượng về khơng gian
để chuyển từ tư duy trực quan sang tư duy logic trừu tượng” (trang 8 – 9). Bởi vì, những
quan hệ trên hình có thể khơng phản ánh đúng tính chất hình học của nó (Lê Thị Thùy
Trang, 2010).


17

2.2. Các tổ chức tốn học trong SGK Hình học 11 CB
Chúng tôi thống kê các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng trong
chương II của SGK Hình học 11 CB qua bảng sau:
Bảng 2.1. Các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
KNV Nhóm T gồm các KNV liên quan trực tiếp (cấp độ 1)
đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

Số lượng hoạt
động, bài tập SGK

T1 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất

1

T2 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn

1

T3 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

1

T4 Chứng minh hai đường thẳng không cắt nhau

1

T5 Chứng minh hai đường thẳng song song

2

TỔNG CỘNG

6

KNV Nhóm T’ gồm các KNV liên quan gián tiếp (cấp độ 2)
đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
T’1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

10

T’2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

14

T’3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

3

TỔNG CỘNG

27

Như vậy, các KNV liên quan trực tiếp đến VTTĐ giữa hai đường thẳng (nhóm T)
khơng nhiều, đa số chỉ có một nhiệm vụ được SGK nêu tường minh. Trong khi đó, các
KNV liên quan gián tiếp đến VTTĐ giữa hai đường thẳng (nhóm T’) chiếm số lượng
tương đối lớn. Hai KNV có số lượng nhiều nhất là KNV T’1, T’2. Đây là những KNV
được SGK chú trọng do những KNV này sẽ góp phần giải quyết các KNV khác như:
dựng thiết diện, chứng minh ba điểm thẳng hàng, xác định góc giữa hai mặt phẳng,…
2.2.1. Phân tích chi tiết nhóm T
Khi xem xét các KNV ở nhóm T, chúng tơi chia chúng làm 2 loại:
L1: Tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất hoặc hình biểu
diễn. (gồm T1, T2)