Các công thức tích phân và ứng dụng trong lí thuyết hàm nguyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thanh Long

CÁC CƠNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG TRONG LÍ THUYẾT HÀM NGUN
Chun ngành : Tốn giải tích
Mã số :
60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS.ĐẬU THẾ CẤP

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010


LỜI CẢM ƠN

PGS.TS. Đậu Thế Cấp đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận
văn này .
Q thầy, cơ của trường đã nhiệt tình giảng dạy trong quá trình em học tập tại
trường và đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này .

Tp. HCM, tháng 8 năm 2010
Học viên
Lê Thanh Long

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là luận văn của tơi, do chính tơi làm.

Tác giả luận văn
Lê Thanh Long


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết giải tích phức được phát triển mạnh vào thế kỉ 19, gắn liền với tên tuổi các nhà
toán học Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass...
Ngày nay giải tích phức vẫn tiếp tục phát triển và hồn thiện. Giải tích phức khơng những
sâu sắc về lý thuyết mà cịn có nhiều ứng dụng khơng những trong tốn học mà cịn trong nhiều
ngành khoa học tự nhiên cũng như trong kĩ thuật.
Trong giải tích phức các cơng thức tích phân có một vai trị quan trọng. Các công thức này
được sử dụng để nghiên cứu hàm nguyên, hàm phân hình, chỉ ra mối liên hệ của hàm ngun và
hàm phân hình với các khơng điểm và cực điểm của chúng.
Vì vậy chúng tơi chọn đề tài này nhằm hệ thống lại các cơng thức tích phân thông dụng và
một số ứng dụng của chúng.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là trình bày các cơng thức tích phân và ứng dụng vào lý thuyết
hàm nguyên .

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các cơng thức tích phân và hàm nguyên.
Phạm vi nghiên cứu: chứng minh các công thức tích phân và vận dụng vào lý thuyết hàm
nguyên.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Lý thuyết hàm ngun có nhiều ứng dụng trong tốn học cũng như trong kĩ thuật.


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm chỉnh hình và các tính chất của hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.1.1
Cho hàm số f xác định trên miền D   . Xét giới hạn

lim

z 0

f ( z  z )  f ( z )
với z  D, z  z  D .
z

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z, kí hiệu là
f’(z) hay

df
f ( z  z )  f ( z )
( z ) . Như vậy f '( z )  lim
.
z 0
dz
z

Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay  – khả vi tại z .

Định nghĩa 1.1.2
Cho hàm f(z) = u(x,y) +iv(x,y) với z= x+yi  D với D là miền trong  .
Hàm f được gọi là  2 -khả vi tại z0  x0  y0i nếu các hàm hai biến thực u(x,y), v(x,y) khả vi tại

( x0 , y0 ) .
Hàm f gọi là thỏa phương trình Cauchy – Riemann ( hoặc điều kiện Cauchy – Riemann) tại

z0  x0  y0i nếu các đẳng thức sau đúng tại ( x0 , y0 )
u v u
v
 ,
 .
x y y
x
Định lí 1.1.1
Để hàm f là khả vi (  – khả vi ) tại z0  x0  y0i điều kiện cần và đủ f là  2 - khả vi và
thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann tại ( x0 , y0 ) .
Định nghĩa 1.1.3
Hàm f xác định trong miền D   , nhận giá trị trong  gọi là chỉnh hình tại z0  D nếu tồn
tại r > 0 để f là  – khả vi tại mọi z  B( z0 , r )  D .
Nếu f chỉnh hình tại mọi z  D ta nói f chỉnh hình trên D. Tập các hàm chỉnh hình trên D
kí hiệu A(D) .
Nhận xét . Ta có thể mở rộng định nghĩa trên tới trường hợp D là miền tùy ý trong  còn f là ánh
xạ từ D vào  như sau: khi z0 hữu hạn và f ( z0 )   ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu
1
z

tại z0 , cịn khi z0   ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu f ( ) chỉnh hình tại 0.

1

chỉnh hình
f ( z)


Hàm chỉnh hình cịn được gọi là hàm giải tích .
Hàm chỉnh hình trên  được gọi là hàm nguyên.
Định lí 1.1.2 (Định lí Cauchy )
Cho D là miền bị chặn, có biên là hữu hạn các đường cong trơn từng khúc. Nếu f chỉnh hình
trên D và liên tục trên D thì



f ( z )dz  0 .

D

Định lí 1.1.3
Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D và z0  D . Khi đó với mọi chu tuyến  sao cho
D  D ta có cơng thức tích phân Cauchy

f ( z0 ) 

1
f ( )
d .

2 i    z0

Nếu f liên tục trên D , chỉnh hình trên D và D là một chu tuyến thì với mọi z  D ta có
f ( z) 

1
f ( )
d .

2 i D   z

Giả sử  là chu tuyến và f là hàm liên tục trên  . Với mọi z   \  ta có  ( ) 

f ( )
là hàm
z

liên tục trên  . Đặt
F ( z) 

1
f ( )
d

2 i    z

ta được hàm số xác định trên  \  , F(z) được gọi là tích phân loại Cauchy.
Định lí 1.1.4
Hàm F ( z ) 

1
f ( )
d là hàm chỉnh hình trên miền  \  . Hơn nữa trên miền  \  , F có


2 i    z

đạo hàm mọi cấp và chúng được tính theo cơng thức
F (n) ( z) 

n!
f ( )
d với n nguyên dương và F (0)  F .
n 1

2 i  (  z )

Định lí 1.1.5
Giả sử f là hàm chỉnh hình trên D. Khi đó f có đạo hàm mọi cấp và các đạo hàm của nó cũng
chỉnh hình trong miền D. Các đạo hàm của f tại điểm z được biểu diễn bởi công thức
f ( n) ( z ) 

n!
f ( )
d , n=1,2,3…

2 i  (  z )n 1

trong đó  là chu tuyến sao cho z  D  D .
Định lí 1.1.6 (Định lí Morera )


Cho f là hàm liên tục trong miền đơn liên D và tích phân của f theo mọi chu tuyến nằm trong
D đều bằng 0. Khi đó f là một hàm chỉnh hình trên miền D .
Định lí 1.1.7 (Bất đẳng thức Cauchy )

Giả sử f chỉnh hình trên miền D, a D, 0  r  d (a, D) và M f (r )  max f ( z )
zB ( a , r )

Khi đó ta có bất đẳng thức

f ( n ) (a ) 

n ! M f ( a, r )
rn

, n  1, 2,... .

Định lí 1.1.8 (Định lí Liouville)
Nếu f là hàm nguyên và bị chặn trên  thì f là hàm hằng .
Định lí 1.1.9 ( Định lí giá trị trung bình)
Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền D và B( z0 , r )  D, r  0 thì
f ( z0 ) 

1
2

2



f ( z0  rei )d .

0

Định lí 1.1.10 (Bổ đề Schwarz)

Giả sử f là hàm chỉnh và hình biến hình trịn đơn vị vào chính nó, hơn nữa giả sử

f(0) = 0.

Khi đó
i) f ( z )  z với mọi z  B(0,1) .
ii) Nếu f ( z0 )  z0 với z0 nào đó trong B(0,1) khác 0 thì f(z)=  z, trong đó   1 .
Cho tập con A của  và z0   . Ta gọi khoảng cách từ z0 đến A là d ( z0 , A)  inf z  z0 .
zA

Nếu A   thì ta định nghĩa d ( z0 , A)   .
Định lí 1.1.11 ( Định lí Taylor)
Cho f là một hàm chỉnh hình trên miền D và z0  D . Khi đó trong hình trịn
B ( z0 , R), R  d ( z0 , D) . Ta có khai triển


f ( z )   ak ( z z0 )k .
k 0

Các hệ số ak là duy nhất, được tính theo công thức ak 

f ( k ) ( z0 )
.
k!

Định lí 1.1.12
Hàm f(z) xác định trên miền D là chỉnh hình khi và chỉ khi với mọi z0  D hàm f có thể khai
triển được thành chuỗi lũy thừa theo z- z0 mà nó hội tụ tới f(z) trong hình trịn tâm z0 bán kính hội
tụ R  d ( z0 , D) .

Từ định lí 1.1.12 ta có định nghĩa khác cho hàm nguyên: Hàm f(z) xác định trên  , được
biểu diễn dạng


f ( z )   ck z k , lim n cn  0
k 0

n 

gọi là hàm nguyên.
Định lí 1.1.13
Cho k > 0 thỏa mãn lim inf

M f (r )



 0 . Khi đó f ( z )   an z n là đa thức bậc

rk

r 

n 0

khơng vượt q k ( trong đó M f (r )  max f ( z ) ).
z r

Định lí 1.1.14 (Định lí Laurent)

Cho hàm f chỉnh hình trên hình vành khăn V :
r  z  z0  R , 0  r  R   .


Khi đó trên V ta có f ( z ) 

 a (z  z )
k

0

k

, trong đó các hệ số ak duy nhất và được tính theo cơng

k 

thức
ak 

1
f ( )
d

2 i C  (  z0 )k 1

với C   z : z    , r    R .
Định nghĩa 1.1.4
Điểm z0 gọi là điểm bất thường cô lập của hàm f nếu f không xác định tại z0 nhưng xác
định và chỉnh hình trong một hình trịn thủng 0  z  z0  R, R  0 .

Cho z0 là điểm bất thường cơ lập của f . Khi đó
z0 gọi là điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại lim f ( z ) ,
z  z0

 - điểm nếu lim f ( z )   ;
z  z0

c- điểm nếu lim f ( z)  c   .
z  z0

Nếu z0 là c- điểm thì bằng cách đặt f( z0 ) = c ta được hàm f chỉnh hình trên z  z0  R . Một
c – điểm với c  0 gọi là điểm đều


Giả sử f ( z ) 

 a (z  z )
k

k 

 ( f , z0 )  inf k : ak  0 .

Định lí 1.1.15

0

k

là khai triển Laurent của hàm f trong 0  z  z0  R . Đặt

Cho z0 là điểm bất thường cô lập của hàm f . Khi đó
a) z0 là điểm bất thường cốt yếu   ( f , z0 )   .
b) z0 là  -điểm  0   ( f , z0 )   .
c) z0 là điểm đều   ( f , z0 )  0 .
d) z0 là 0-điểm   ( f , z0 )  0 .
Nếu z0 là  -điểm thì số m =  ( f , z0 ) gọi là cấp của  - điểm z0 ; nếu z0 là 0 - điểm thì số
m =  ( f , z0 ) là bội của 0 - điểm z0 .
Định nghĩa 1.1.5
Giả sử z0 là điểm bất thường cô lập của hàm f . Khi đó tồn tại R > 0 sao cho f chỉnh hình
trên hình trịn thủng 0  z  z0  R . Kí hiệu c là đường trịn tâm z0 bán kính  . Ta gọi thặng dư

res[ f ( z ), z0 ] 

của f tại z0 là

1
f ( z )dz , 0    R .
2 i c

Theo định lí Cauchy tích phân trên khơng phụ thuộc vào  . Ta có thể thay c bởi một chu
tuyến  bất kì vây quanh z0 .
Định lí 1.1.16 ( Định lí cơ bản về thặng dư )
Cho hàm f chỉnh hình trong miền D trừ ra một số điểm bất thường cô lập z1 ,..., zn . Khi đó với
mọi chu tuyến  sao cho  z1 ,..., zn   D  D đều có
n



f ( z )dz  2 i  res  f ( z ), z j  .
j 1

Định lí 1.1.17
Cho hàm f  0, chỉnh hình trên miền D trừ ra các điểm bất thường cô lập và  là chu tuyến
sao cho D  D . Khi đó số  - điểm và số 0 – điểm của f trong D là hữu hạn.

1.2.Hàm điều hoà. Hàm logarit. Hàm phân hình
Định nghĩa 1.2.1
Cho U là tập mở của  . Hàm u : U   được gọi là hàm điều hoà nếu u C2 U  và
u 

 2u  2u

 0 trên U. Tập hợp các hàm điều hồ trên U kí hiệu
x 2 y 2

H(U).
Định lí 1.2.1
Cho D là miền trong  .


a) Nếu f  A( D ) và u = Ref thì u  H ( D) .
b) Nếu u  H ( D) và D là miền đơn liên thì tồn tại f  A( D ) sao cho u = Ref. Hơn nữa các
hàm f như vậy chỉ sai khác nhau một hằng số .
Định lí 1.2.2
Cho f là hàm chỉnh hình và f  0 trên miền đơn liên D . Khi đó tồn tại hàm
g  A( D ) sao cho f  e g .
Định nghĩa 1.2.2
Hàm g trong định lí 1.2.1 gọi là logarit của hàm f, kí hiệu g  log f . Chú ý rằng logarit của

một hàm là không duy nhất.
Số phức w gọi là logarit của số phức z nếu e w  z . Kí hiệu tập tất cả các logarit của z là

Log z . Ta có

L og z  ln z  i (arg z  k 2 ), k   .
Đặt log z  ln z  i arg z .
Định lí 1.2.3
Cho f là hàm chỉnh hình và f  0 trên miền đơn liên D. Khi đó log f ( z )  H ( D) .
Định lí 1.2.4
Nếu f : U1  U 2 là tồn ánh chỉnh hình, U1 , U 2 là tập mở trong  và h điều hoà trên U 2 thì
h  f điều hồ trên U1 .

Định lí 1.2.5 (Định lí giá trị trung bình )
Cho f là hàm điều hoà trên một lân cận của hình trịn đóng B  w,   . Khi đó
f (w) 

1
2

2



f ( w   ei )d .

0

Định nghĩa 1.2.1
Hàm chỉnh hình trên miền D   trừ ra một số điểm bất thường là cực điểm gọi là hàm phân

hình trên D.

1.3. Khơng gian đếm được chuẩn và phiếm hàm tuyến tính
Định nghĩa 1.3.1
Cho khơng gian lồi địa phương X. Họ nửa chuẩn  gọi là xác định tôpô của X nếu
họ  x : p ( x )  1 p là cơ sở lân cận (của 0) trong X.
Không gian lồi địa phương X gọi là khơng gian đếm được chuẩn nếu có tơpơ xác định bởi
một họ  đếm được chuẩn và thỏa mãn điều kiện tách : mọi x  0, tồn tại p   sao cho p(x) > 0.


Định lí 1.3.1
Cho khơng gian lồi địa phương X xác định bởi một họ nửa chuẩn  . Khi đó phiếm hàm tuyến
tính f trên X liên tục khi và chỉ khi tồn tại p   sao cho
f ( x )  p ( x ) với mọi x  X .

Định lí 1.3.2
Mọi phiếm hàm tuyến tính f liên tục xác định trên một không gian con M của khơng gian lồi
địa phương X, có thể mở rộng thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
Định lí 1.3.3
Cho X là khơng gian lồi địa phương, Hausdorff , x0  X , x0  0 . Khi đó tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho f ( x0 )  0 .
Định lí 1.3.4
Cho X là khơng gian đếm được chuẩn với hệ nửa chuẩn

. 
k

k*

thỏa

x 1  x 2  ...  x k  ... với mọi x  X . Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X thì tồn tại

một số nguyên dương k và một hằng số C > 0 sao cho f ( x )  C x k với mọi x  X .


Chương 2

CÁC CƠNG THỨC TÍCH PHÂN
2.1 Các cơng thức tích phân
Định lí 2.1.1 (Cơng thức Schwarz)
Giả sử f = u+iv là hàm liên tục trên B(0, r ) và chỉnh hình trên B(0,r). Khi đó
1
f ( z) 
2

2
i
 u (re )
0

rei  z
d  iv(0) với mọi z B(0,r) .
rei  z

(2.1)

Chứng minh. Với mọi z < r , theo cơng thức tích phân Cauchy ta có
1
f ( )

1
f ( z) 
d 

2 i B (0,r )   z
2

2



f (rei )

0

rei
d
rei  z

.

(2.2)

Đặc biệt là
1
f (0) 
2

Vì z  z  r nên

2



f (rei )d

.

(2.3)

0

r2
f ( )
ta có
 r , từ đó áp dụng định lí Cauchy với hàm chỉnh hình
r2
z

z

1
f ( )
1
0
d 
2

r
2 i B (0, r )

2

z

2


0

rei z
1
f (re ) i
d = 2
2
re z  r
i

2



f (rei )

0

z
re

 i

z

d

(2.4)

Từ (2.2) và (2.3) ta thu được
1
1
f ( z )  f (0) 
2
2

Nhân hai vế của (2.3) với

2


0

1 rei  z
f (re )
d .
2 rei  z
i

(2.5)

1
sau đó trừ đi (2.4) ta được

2

1
1
f (0) 
2
2

2



f (rei )

0

1 rei  z
d .
2 re i  z

Do đó
1
1
f (0) 
2
2

2



f (rei )

0

1 rei  z
d
2 rei  z

Cộng (2.5) và (2.6) ta được : f ( z ) 

1
2

2
i
 u (re )
0

(2.6)
rei  z
d  iv(0) . 
rei  z

Định lí 2.2.2 (Cơng thức Poisson)
Giả sử u là hàm điều hồ trên B(0, r ) . Khi đó


1
u( z) 

2

2

1
2

2

 u(re

i

r2  z

)

2

i

re  z

0

2

d với z B(0,r)

(2.7)

và
u (  ei ) 

i
 u(re )
0

r2  2
d
r 2  2  r cos(   )   2

với  < r .

(2.8)

Chứng minh. Theo định lí 1.2.7 tồn tại một hàm f chỉnh hình trên B(0, r ) sao cho

u=Ref .

2

2
rei  z (rei  z )(re i  z ) r  z
Vì i
=
,

2
2

re  z
rei  z
rei  z

nên từ công thức Schwarz (2.1) ta có
2

1
u ( z )  Re f ( z ) 
2

 u (re

i

0

)

r2  z

2

rei  z

2

d .

Vậy ta có (2.7).

Với z =  ei và

r2  z

2

rei  z

2



r2  2
r (cos   i sin  )   (cos   i sin  )

2

r2  2
.

(r cos    cos ) 2  ( r sin    sin  ) 2


r2  2
.
r 2  2  r cos(   )   2

Thay vào (2.7) ta có
u (  ei ) 

1
2

2
i
 u(re )
0

r2  2
d
r 2  2  r cos(   )   2

với  < r 

Định lí 2.1.3 ( Bổ đề thặng dư logarit)
Cho hàm f chỉnh hình trên miền D trừ ra các điểm bất thường cô lập là các  - điểm của f
và  là chu tuyến không đi qua các không điểm và  - điểm của f sao cho D  D . Khi đó
1
f '( z )
dz  N  P , trong đó N là số khơng điểm của f trong D (bội k được tính k lần ) và P là

2 i  f ( z )

số  - điểm của f trong D ( cấp k được tính k lần ).
Chứng minh. Hàm

f'
có các điểm bất thường cô lập là các 0- điểm và  - điểm của f. Nếu
f
m

z = a là không điểm bội m thì f ( z )   z  a  g ( z ), g ( z )  0 , suy ra

f '( z)
m
g '( z )


.Vì g ( z )  0
f ( z) z  a g ( z)


nên ta có

 f '( z ) 
m
g '( z )
, a  
res 
dz  
dz  m  0  m .
g ( z)
 f ( z )  c z  a
c
 f '( z )



Tương tự, nếu z = a là cực điểm cấp m thì res 
, a   m .

 f ( z) 
Kết hợp với các định lí 1.1.16 và 1.1.17 ta có
k
 f '( z )  l
 f '( z )

1
f '( z )
, z j    res 
, wj   N  P ,
dz

res



2 i  f ( z )
j 1
 f (z)
 j 1
 f ( z)


trong đó z1 ,..., zk là khơng điểm và w1 ,..., wl là cực điểm của f . 
Chú ý rằng khi f là hàm nguyên thì

1
f '( z )
dz  N .


2 i  f ( z )

Định lí 2.1.4
Cho  ( z ) là hàm chỉnh hình trên D z1 ,..., zk là không điểm và w1 ,..., wl là cực điểm của f .
Khi đó
k
l
1
f '( z )

(
z
)
dz


(
z
)

 (wj ) .


j
2 i  f ( z )
j 1
j 1

m

Chứng minh. Nếu z = a là không điểm bội m thì f ( z )   z  a  g ( z ), g ( z )  0 ,
suy ra

f '( z )
m ( z ) g '( z ) ( z )
 ( z) 

. Vì g ( z )  0 nên ta có
f ( z)
za
g ( z)

 f '( z )

m ( z )
g '( z )
res 
 ( z ), a   
dz  
dz  m ( a )  0  m (a ) .
g
(
z
)
 f ( z)
 c z  a
c
 f '( z )



Tương tự nếu z = a là cực điểm bội m thì res 
 ( z ), a   m (a ) . Vì vậy tương tự định lí 2.1.3
 f ( z)

ta có
k
l
1
f '( z )

(
z
)
dz


(
z
)

 (wj ) . 


j
2 i  f ( z )
j 1
j 1

Định lí 2.1.5

Cho hàm f (z) chỉnh hình và khác 0 tại mọi z thuộc đĩa  z : z  R . Khi đó ta có
1
log f ( z ) 
2
1
log f ( z ) 
2

2

Rei  z
0 log f ( Re ) Rei  z d  iC ;
i

2
i
 log f ( Re )
0

R2  r 2
d .
R 2  2 Rr cos(   )  r 2

( 2.9)


 z   : z  R

Chứng minh. Nếu f (z)  0 trên đĩa

thì log f (z) là hàm chỉnh hình trên đĩa .

Áp dụng định lí 2.1.1 ta có
2

Rei  z
0 log f ( Re ) Rei  z d  iC .

1
log f ( z ) 
2

i

Theo định lí 1.2.3 thì log f ( z ) là hàm điều hồ . Áp dụng định lí 2.1.2 ta có
1
log f ( z ) 
2

2
i
 log f ( Re )
0

R2  r 2
d . 
R 2  2 Rr cos(   )  r 2

Định lí 2.1.6 (Công thức Poisson - Jensen)
Giả sử f là hàm phân hình f khơng đồng nhất bằng 0 trên

 z   : z  R

và giả sử

a j (1  j  M ), bk (1  k  N ) là các không điểm và cực điểm của f trong miền  z   : z  R . Khi đó

nếu z  rei ( 0 < r < R ) và f(0)  0,  thì
log f ( z ) 

1
2

log f ( z ) 

1
2

2

M
R( z  a j ) N
R( z  bk )
Rei  z

  log 2
 iC1 . ;
d

log


i
2
Re  z
R  ajz
R  bk z
j
k

i
 log f ( Re )
0

2
i
 log f ( Re )
0

M
R( z  a j ) N
R( z  bk )
R2  r 2
d


log
  log 2
.

2

2
2
R  2 Rr cos(   )  r
R  aj z
R  bk z
j
k

Chứng minh. Xét trường hợp f

(2.10)

không có khơng điểm và cực điểm trên đường

trịn  z   : z  R , trường hợp tổng quát ta xét hàm f ( z ) và cho   0 .
Giả sử f khơng có khơng điểm và cực điểm trong miền  z   : z  R thì áp dụng định lí
2.1.5 ta có
1
log f ( z ) 
2
1
log f ( z ) 
2

2

Rei  z
0 log f ( Re ) Rei  z d  iC ,
i

2
i
 log f ( Re )
0

R2  r 2
d .
R 2  2 Rr cos(   )  r 2

Trong trường hợp tổng quát xét hàm
N

 R(  bk ) 

2
 bk  
k 1 
 ( )  f ( )
.
M  R (  a ) 

j 
 2


j 1 
 R  a j 

 R

Khi đó   0,  trong   R và  ( )  f ( ) trên   R . Bởi vì
R   a 
R 2  a



Rei  a
R  a e i

 1 , với mọi a < R
R  a ei
R  a ei

nên áp dụng định lí 2.1.5 với  ( ) thay cho f ( ) ta được


2

1
log ( z ) 
2
1
2

log  ( z ) 

i
 log  ( Re )
0

2
i
 log  ( Re )
0

Rei  z
d  iC ;
Rei  z

R2  r 2
d .
R 2  2 Rr cos(   )  r 2

Vậy
1
log f ( z ) 
2

1
log f ( z ) 
2

2

M
R( z  a j ) N
R ( z  bk )
Rei  z

  log 2

 iC. ;
d

log

i
2
Re  z
R  aj z
R  bk z
j
k

i
 log f ( Re )
0

2
i
 log f ( Re )
0

M
R( z  a j ) N
R( z  bk )
R2  r 2
d

  log 2


log
. Với

2
2
2
R  2 Rr cos(   )  r
R  aj z
R  bk z
j
k

giả

thiết trong định lí 2.16 ta có cơng thức Jensen
log f (0) 

1
2

2

M

i
 log f ( Re ) d   log
0

aj

j

R

M

aj

N

  log
k

bk
.
R

(2.11)

Nếu f chỉnh hình thì (2.11) trở thành
log f (0) 

1
2

2

i
 log f ( Re ) d   log
j

0

.

R

(2.12)

Nếu f(z) chỉnh hình và có 0 là khơng điểm bội k  0 thì ta có cơng thức
k log R  log

aj
f ( k ) (0) M
1
  log

k!
R 2
j 1

2

 log

f (Reit ) dt .

0

f (z)

ta
zk

Thật vậy viết f ( z )  cz k  an1 z n1  an 2 z n 2  ..., c  0 , áp dụng công thức (2.12) cho hàm
được
M

log c   log
j 1

aj
R



1
2

2

 log

f (Reit )

0

Rk

dt .

f ( k ) (0)
Mặc khác ta lại có
= c. Vậy
k!
M
aj
f ( k ) (0)
1
k log R  log
  log

k!
R 2
j 1

2

 log

f (Reit ) dt . 

( 2.13 )

0

Định lí 2.1.7 (Định lí Caleman)
Cho f(z) là hàm chỉnh hình trên miền z  l , 


2

 arg z 


2

và r1ei , r2ei ,..., rn ei là các

không điểm của hàm f ở trong chu tuyến gồm các đường z  l , z  R, 
f(z) khơng có khơng điểm trên chu tuyến thì

1


2

n

2

 arg z 


2

và trục ảo,




 1 rk 
1 2
log f (rei ) cos  d
  2  cos  k 


R 
R 
k 1  rk

n

(2.14)

2

R



1  1
1 
 2  2  log  f (iy ) f ( iy )  dy  O (1)

2 0  y
R 

O(1) là đại lượng bị chặn khi R   .
Chứng minh. Xét hàm I 

1
1 
1
log f ( z )  2  2 dz .

2 i 
R 
z

 là chu tuyến ABCDEF bắt đầu tại z = il.

Trên nửa đường tròn z  l thì

I

1
1 
 1
log f ( z )  2  2 dz

2 i Cl
R 
z

là bị chặn.
Trên nửa trục ảo âm z= -iy thì
R

I1 

 1
1
1 
log f (iy )  2  2  dy .

2 l
R 
y

Trên nửa đường trịn lớn z  Rei thì
1
2 i





2i
1  i
1
i  e
f
Re
log
(
)
 2  2  iRe d 

R 
R

 R

2

2



2

vì e i  ei  2cos  .
R

Trên trục ảo dương z = iy thì I 2 
Lấy phần thực của I ta được

 1
1
1 
log f (iy )  2  2  dy .

2 l
R 
y

 log



2

f ( Rei ) cos  d




Re I 

1
R

2





log f ( rei ) cos  d 

R
1  1
1 
 2  2  log  f (iy ) f ( iy )  dy  O(1) .

2 0  y
R 

2

Tính I bằng phương pháp tích phân từng phần ta được

I

1 
1
f '( z )  1 z 
 z 1 
log f ( z )  2    
 
dz .

2 i 
z   2 i  f ( z )  z R 2 
R

Chọn điểm đầu z = il và điểm kết thúc z = il, giá trị của logarit tăng thêm 2n i . Suy ra


 z 1 
 il 1 
 il 1 
 il 1 
log f ( z )  2     log(il )  2n i  2    log(il )  2    2n i  2   n là số không
z  
R
 R il 
 R il 
 R il 

điểm của f trong chu tuyến . Vậy

 il 1  1 f '( z )  1 z 
I  n 2   
  2 dz .

 R il  2 i  f ( z )  z R 
Theo định lí 2.1.4 ta có

 1
 n  1
rk eik
f '( z )  1 z  
Re I  Re 
  2 dz   Re   ik  2

R
 2 i  f ( z )  z R  
 k 1  rk e

  n  1 rk 
      2  cosk Vậy
  k 1  rk R 



 1 rk 
1 2
log f (rei ) cos  d
  2  cos  k 



R 
R 
k 1  rk

n

2

R



1  1
1 


 log  f (iy ) f ( iy )  dy  O (1)
2 0  y 2 R 2 



2.2. Đặc trưng Nevanlinna
Trước khi phát biểu và chứng minh định lí cơ bản thứ nhất của Nevanlinna, ta đưa ra một số
kí hiệu để viết cơng thức Jensen dưới dạng khác.

x 1
log x
1
Đặt log  x  
. Hiển nhiên ta có log x  log  x  log  với mọi x >0 do đó

x
0  x 1
 0

1
2

2
i
 log f ( Re ) d 
0

1
2

2

i
 log f ( Re ) d 
0

1
2

2

 log
0



1
d .
f ( Rei )

Đặt
1
m ( R,f ) =
2

2

 log
0



f ( Rei ) d .

(2.15)


Giả sử r1 ,...rN là môđun các cực điểm b1 ,...bN của f(z) trong z  R . Khi đó theo định nghĩa tích phân
Stieljest ta có
R

N

 log
k 1

N
R
R
R
  log   log dn(t , f )
bk k 1
rk 0
t

trong đó n(t,f ) kí hiệu số cực điểm của f trong z  t (cực điểm cấp m được tính m lần) . Tích phân
từng phần ta thu được
R

N

 log
k 1

R

R 
R
R
 n(t , f ) log    n(t , f )d log
(ở đây ta quy ước 0.  0 ).
bk 
t 0 0
t

Đặt
N

R

R
dt
.
N ( R, f )   log
  n (t , f )
bk 0
t
k 1

(2.16)

N
1
R R
1 dt
N ( R, )   log
  n(t , )
.
f
aj 0
f t
j 1

(2.17)

Bây giờ ta đặt
T(R,f) = m(R,f)+N(R,f) .
Công thức Jensen trở thành
T(R,f) = T(R,

1
) + log f (0) .
f

(2.18)

Lưu ý rằng số m(R,f) là trung bình của log f trên đường trịn z  R còn số N(R,f ) liên quan
mật thiết tới các cực điểm của f.
Hàm T(R,f) được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f .
Ta xét các tính chất đơn giản của hàm đặc trưng
p

Cho a1 ,..., a p là các số phức tuỳ ý thì log



a

k

k 1

p

log 

p

  log  ak và
k 1

p

 ak  log  p max ak   log  ak  log p .
k 1

1 k  p

k 1

Áp dụng các bất đẳng thức này vào p hàm phân hình f1 ( z ), f 2 ( z ),..., f p ( z ) ta có
 p
 p
m  r ,  f k ( z )    m(r , f k ( z ))  log p .
 k 1
 k 1
 p
 p
m  r ,  f k ( z )    m(r , f k ( z )) .
 k 1
 k 1

Hiển nhiên rằng nếu f(z) là tổng hay tích của các hàm fk(z) thì bậc của cực điểm của f(z) tại z0 không
lớn hơn tổng bậc của cực điểm các hàm fk(z) tại z0 . Từ đó ta có

 p
 N
N  r ,  f k ( z )    N (r , f k ( z )) .
 k 1
 k 1
 p
 N
N  r ,  f k ( z )    N (r , f k ( z )) .
 k 1
 k 1

Do T(R,f) = m(R,f)+N(R,f) nên ta có
 p
 N
T  r ,  f k ( z )    T (r , f k ( z ))  log p .
 k 1
 k 1
 p
 N
T  r ,  f k ( z )    T (r , f k ( z )) .
 k 1
 k 1

Đặc biệt nếu p = 2 , f1(z) = f(z) , f2(z) = a = const thì

T ( r , f  a )  T ( r , f )  log  a  log 2 .
Bởi vì có thể thay f  a bởi f , f bởi f  a và a bởi –a nên

T (r , f )  T ( r , f  a )  log  a  log 2 .

Định lí 2.2.1 ( Định lí Nevanlinna )
Nếu a là số thực tuỳ ý thì



1 
1 
m  R,
 N  R,

  T ( R, f )  log f (0)  a   (a, R ) ,
f

a
f

a




trong đó  (a, R )  log  a  log 2 .
Chứng minh. Theo định nghĩa hàm T(r,f) ta có



1 
1 
1
m  R,

 N  R,
 T ( R,
).


f a
 f a
 f a
Theo cơng thức Jensen ta có

T ( R,

1
)  T ( R, f  a)  log f (0)  a .
f a

Theo nhận xét trên ta có
T ( R , f )  T ( R , f  a )  log  a  log 2

từ đó suy ra
T ( R , f  a )  T ( R, f )  log  a  log 2 .

Vì vậy


1 
1 
m  R,
  N  R,
  T ( R, f )  log f (0)  a   (a, R) . 

 f a 
 f a




1





1



1

Nếu cố định f , thay cho m  R,
), T ( R, f ) lần lượt bởi m(R,a),
 , N  R,
 , n( R,
f a
 f a  f a
N(R,a), n(R,a), T( R) khi a hữu hạn

và m(R,  ), N(R,  ), n(R,  ) lần lượt thay cho

m(R,a),N(R,a),n(R,a) khi a vơ hạn thì đẳng thức trong định lí cơ bản thứ nhất trở thành
m(R,a)+N(R,a)=T(R)+O(1) với mọi a (chú ý O(1) phụ thuộc vào a ).

Trong mục này ta tiếp tục xem xét một số tính chất thơng dụng của hàm đặc trưng
Nevanlinna T(R, f) .
Định lí 2.2.2
Nếu f là hàm chỉnh hình trên một lân cận của B(0, R) thì
T (r , f )  log  M f (r ) 

Rr
T ( R, f ), r : 0  r  R .Trong đó M f (r )  sup f ( z ) .
Rr
z r

Chứng minh. Do f là hàm chỉnh hình nên ta có bất đẳng thức thứ nhất
1
T (r , f )  m(r , f ) 
2

2

 log



f (rei ) d  log  M f (r ) .

0

Mặt khác theo cơng thức Poisson- Jensen ta có
log f ( z ) 

1

2

2



f ( Rei )

0

M
R( z  a j )
R2  r 2
.
d


log 2

2
2
R  2 Rr cos(   )  r
R  aj z
j

M

Thêm nữa, R 2  a j z  R( z  a j ) vì r < R và R  a j , suy ra

 log

j

1
log f ( re ) 
2

2

1

2

2

i


0


0

R( z  a j )
R2  a j z

 0 . Từ đó ta có

R2  r 2
log f ( Rei ) d
2

2
R  2 Rr cos(   )  r
R2  r 2
Rr 1
log f ( Rei ) d 
2
(R  r)
R  r 2

2

 log

f ( Rei ) d .

0

Vì vậy

log f ( rei ) 

Rr
T ( R, f ) .
Rr

Từ đó ta có bất đẳng thức thứ hai

log  M f ( r ) 

Rr

T ( R, f ) với mọi 0  r  R . 
Rr

Định lí 2.2.3
Hàm f chỉnh hình trên  là đa thức bậc p khi và chỉ khi
T(r,f) = logr+O(1).
p

Chứng minh. Thật vậy giả sử f là đa thức bậc p. Khi đó f ( z )   z với   0 nào đó và r đủ
lớn. Suy ra T(r,f) = plogr+ O(1) .


Ngược lại giả sử T(r,f) = plogr + O(1). Do định lí 2.2.2 ta có

log  M f ( r ) 

Rr
( p log r  O(1)) với mọi R > r và r đủ lớn.
Rr

Cho R   ta được
log  M f (r )  p log r hay M f (r )  r p khi r đủ lớn.

Theo bất đẳng thức Cauchy đối với đạo hàm
ak 

M f (r )
rk




rp
ở
đây
f
(
z
)

ak z k .

k
r
k 1

Cho r   ta được ak  0 nếu k > p. Vậy f là đa thức bậc p. 


Chương 3

ỨNG DỤNG CỦA CÁC CƠNG THỨC TÍCH PHÂN
3.1 Định lí về dạng của hàm nguyên
Hàm nguyên được chia làm ba loại :
-Hàm hằng f(z) = a với mọi z.
-Hàm đa thức là hàm khác hằng số và chỉ có hữu hạn hệ số trong khai triển


f ( z )   ak z k , khác 0
k 0

-Hàm siêu việt là các hàm cịn lại.
Định lí 3.1.1
Cho f là hàm nguyên khi đó
a) f là hàm hằng   là c- điểm của f.
b) f là hàm đa thức   là  - điểm của f.
c) f là hàm siêu việt   là điểm bất thường cốt yếu của f.
Chứng minh.
a) Nếu f là hàm hằng hiển nhiên  là c- điểm của f .
Ngược lại nếu lim f ( z )  c   . Thì tồn tại số dương R sao cho
z 

B (0, R ) đóng và bị chặn nên tồn tại số dương M sao cho

f ( z )  1  c khi z  R . Do

f ( z )  M với mọi z thuộc B (0, R ) .

Đặt M *  max 1  c , M  . Tacó f ( z )  M * , z   . Theo định lí Liouville thì f là hàm hằng .
b) Giả sử f là hàm đa thức f ( z )  a0  a1 z  a2 z 2  ..  an z n , an  0, n  1 .
Đặt r0  max k (n  1)
0 k  n 1


ak
M (n  1) 
. Với mọi M > 0 chọn r  max r0 , n
.
an
an




Khi đó với mọi z sao cho z  r tacó

f ( z )  an z n

 a
a0
a
a 
 ...  n 1  1  an z n 1   0 n  ...  n 1   an z n
n
an z
an z
an z 
 an z

n 

1 
M .
 n 1

Vậy lim f ( z )   .
z 

1

Ngược lại giả sử  là  - điểm của hàm f . Đặt  ( z )  f   , z = 0 là  - điểm của  do đó

z
theo định lí 1.1.15 ta có




 ( z) 

az

k

k

, m  0, a m  0 ,

k  m

từ đó
k

m
k
1
a
a k  z  .



k 


 z  k 
k  m


f (z) 


Mặt khác f ( z )   ak z k , mà khai triển Laurent của f là duy nhất nên so sánh hai biểu thức trên ta
k 0

m

có f ( z )   a k z k là một đa thức .
k 0

c) suy ra từ a) và b). 

3.2 Cấp và kiểu của hàm nguyên
Chúng ta giới thiệu một số kí hiệu.
Nếu h( r ) < g( r ) đúng với r đủ lớn thì chúng ta gọi là một bất đẳng thức tiệm cận và kí hiệu
as

h( r )  g ( r ) .
n

Nếu h( r ) < g( r ) đúng với mọi dãy rn   thì chúng ta kí hiệu h(r )  g (r ) .
Định nghĩa 3.2.1



as

k



Cho f(z) là hàm nguyên . Đặt   inf k  0 : M f (r )  er . Ta gọi  là cấp tăng (hay cấp) của
f (với quy ước inf    ).
Nếu    thì f gọi là có cấp tăng hữu hạn, nếu    thì f gọi là có cấp tăng vơ hạn.
Từ định nghĩa suy ra
er

 

n

as

 

 M f ( r )  er ,   0 .

Lấy logarit ta được
n

  

log log M f (r ) as
  .

log r

Vậy
  lim sup
r 

Định nghĩa 3.2.2
Cho f là hàm nguyên có cấp tăng    . Đặt



as





  inf A  0 : M f (r )  e Ar .

log log M f (r )
log r

.


Ta gọi  là kiểu của hàm nguyên f . Nếu 0     thì f gọi là có kiểu trung bình, nếu    thì f
gọi là có kiểu tối đa, nếu   0 thì f gọi là có kiểu tối thiểu.
Từ định nghĩa suy ra


n

as



e(  ) r  M f (r )  e(  ) r ,   0 .

Lấy logarit ta được
n

  

Vậy   limsup

log M f ( r )
r

r 

log M f (r ) as
   .
r

.

Bây giờ ta đưa ra cơng thức tính cấp và kiểu của hàm nguyên theo hệ số của nó trong khai


f ( z )   cn z n .

triển Taylor

n 0

Định lí 3.2.1
as

 e A 
cn  

 n 

n



M f (r )  e Ar xảy ra với r đủ lớn thì

Nếu đối với hàm nguyên f(z) bất đẳng thức sau


với n đủ lớn.
as



Chứng minh. Theo bất đẳng thức Cauchy và giả thiết M f (r )  e Ar . Ta có
cn 

M f (r )
rn




e Ar
 n  e Ar  n log r , với r đủ lớn.
r
1

Xét hàm số g(r) = e
1

 n 
r

 A 



Ar   n log r

 n 
. Ta có g’(r ) = 0 khi r  

 A 



và tại đó g đạt cực tiểu.Thay giá trị

n

 e A  
vào ta có cn  
 . 
 n 

Định lí 3.2.2
Nếu đối với hàm nguyên f(z) hệ số Taylor của nó trong khai triển thỏa mãn đánh giá

 e A 
cn  

 n 

n



as



với n đủ lớn thì M f ( r )  e ( A ) r với mọi   0 .

Chứng minh. Có thể coi giả thiết đúng với mọi n  0 . Nếu z  r thì
n

n



 e A  n  e Ar 
cn z n  
r


 .

n
 n 



1
Vế phải <  nếu
2
nguyên của x ). Ta có



e Ar 
1
   n  2  e Ar  . Đặt N  [2  e Ar  ] ( trong đó [x] là phần
n
2