Bất đẳng thức tính phân dạng gronwall và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
YZ

NGUYỄN MINH KHẢI

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Giải Tích
Mã số

: 60.46.01

Người hướng dẫn: TS. Trần Minh Thuyết
Khoa Thống kê - Toán - Tin Học, Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh .

TP. HỒ CHÍ MINH
NAÊM 2006


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn TS. Trần Minh Thuyết, người đã tận tâm
hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc khoa Toán –Tin trường Đại học
Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa Học Tự Nhiên và phòng sau
Đại học đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá
trình học tập.
Xin trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Thành Long, Th.S Võ Giang Giai, Cử

nhân Phạm Thanh Sơn đã đọc luận văn và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích.
Xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Cao học Giải tích khoá 13, đã động viên
và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Vì kiến thức của học viên còn nhiều hạn chế nên trong luận văn có thể có
những thiếu sót. Kính mong quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp giúp đỡ.

Nguyễn Minh Khải


Chương 0 PHẦN MỞ ĐẦU
Vào năm 1919, Gronwall đã phát biểu và chứng minh kết quả sau:
Nếu u :[α ,α + h] → R liên tục, thỏa
t

0 ≤ u (t ) ≤ ∫ [a + bu ( s )]ds,

∀t ∈ [α , α + h],

α

thì
∀t ∈ [α , α + h] ,

u (t ) ≤ ahebh ,

trong đó, các hằng số thực a, b, h ≥ 0 và α > 0 là cho trước.
Đây là kết quả đầu tiên để nghiên cứu nhiều bất đẳng thức tích phân dạng
Volterra. Dạng bất đẳng thức nầy là công cụ cần thiết trong việc đánh giá tường
minh cho các ẩn hàm. Từ khi bất đẳng thức nầy xuất hiện, nó đã được quan tâm
nghiên cứu ở nhiều khía cạnh khác nhau. Trong số nhiều kết quả thuộc chủ đề

nầy, bất đẳng thức Bellman [3] quen thuộc sau:
Giả sử x(t ) và k (t ) là các hàm liên tục không âm với t ≥ α .
Nếu a là một hằng số, a ≥ 0 ,vaø
t

0 ≤ x(t ) ≤ a + ∫ k ( s )u ( s )ds, ∀t ≥ α ,
α

thì
⎛t
⎞
x(t ) ≤ a exp ⎜ ∫ k ( s )ds ⎟ , ∀t ≥ α .
⎝α
⎠

Dễ thấy rằng kết quả của Bellman tổng quát hơn kết quả của Gronwall. Vì
lí do nầy mà tại sao các bất đẳng thức thuộc loại nầy được gọi là “bất đẳng thức
Gronwall - Bellman” hay “bất đẳng thức Gronwall”. Các bất đẳng thức thuộc
loại Gronwall cung cấp một công cụ cần thiết để nghiên cứu lý thuyết phương
trình

vi phân, phương trình và bất phương trình tích phân các loại (xem

Gronwall [9] và Guiliano [10]). Một số ứng dụng của kết quả nầy để nghiên cứu

1


tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến có thể
tìm thấy trong Bellman [3]. Một số ứng dụng vào lý thuyết tồn tại và duy nhất

của phương trình vi phân có thể tìm thấy trong Nemyckii-Stepanov [14], Bihari
[4], và Langenhop [11]. Trong thời gian qua nhiều tác giả đã thiết lập nhiều bất
đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall theo hai hay nhiều biến độc lập. Dó
nhiên, các kết quả như vậy còn có thể áp dụng vào việc nghiên cứu lý thuyết
các phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình tích phân Volterra.
Hầu hết các vấn đề trình bày trong luận văn nầy là các kiến thức đã được
biết hay đã được nghiên cứu nên nội dung luận văn không có gì mới. Tuy nhiên
các kiến thức và kết quả trình bày trong luận văn được hệ thống lại một cách cơ
bản. Hơn nữa các chứng minh trong luận văn được trình bày chi tiết hơn và có
những giải thích rõ ràng mà trong các tài liệu khác không chứng minh hoặc bỏ
qua.
Luận văn nầy ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn
được chia thành 4 chương.
Chương 1 các kiến thức chuẩn bị.
Chương 2 chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức tích phân thuộc loại
Gronwall cho hàm theo hai biến độc lập, mà những tích phân nầy đều tồn tại
trên miền xác định của chúng.
Trong chương 3 chúng tôi giới thiệu một số dạng bất đẳng thức tích phân
thuộc loại Gronwall liên quan đến tích phân lặp mà hàm u trong bất đẳng thức
Gronwall được thay thế bởi hàm u p , và hằng số a được thay thế bởi hàm a
không âm, không giảm. Tùy theo giá trị p thay đổi mà chúng tôi thu được các
kết quả đánh giá địa phương hay toàn cục, bằng các phương pháp xử lý khác
nhau.

2


Trong chương 4 chúng tôi giới thiệu một số bất đẳng thức tích phân khác
đối với hàm cho hàm theo hai biến độc lập. Các bất đẳng thức tích phân nầy có
thể áp dụng như là công cụ đánh giá tính bị chận và chứng minh sự duy nhất

nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng.

3


Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương nầy chúng tôi trình bày và chứng minh một số bổ đề sẽ được
áp dụng trong các chương sau.
Bổ đề 1.1 (Gronwall)
Nếu u :[α ,α + h] → R liên tục, thỏa
t

0 ≤ u (t ) ≤ ∫ [a + bu ( s )]ds,

∀t ∈ [α , α + h],

α

thì
u (t ) ≤ ahebh , ∀t ∈ [α , α + h], a, b, h ≥ 0.

Chứng minh
t

Đặt v(t ) = ∫ ( a + bu ( s) ) ds, ∀t ≥ α .
α

Khi đó v(α ) = 0, 0 ≤ u (t ) ≤ v(t ).
Hay
v ′(t ) = a + bu (t ) ≤ a + bv(t )

v′(t ) − bv(t ) ≤ a

( v(t )e )′ = e ( v′(t ) − bv(t ) ) ≤ ae
− bt

− bt

− bt

.

Tích phân trên [α , t ] , ta được
t

v(t )e− bt ≤ a ∫ e− bs ds =
α

u (t ) ≤ v(t ) ≤

a − bα
e − e− bt )
(
b

a b (t −α )
( e − 1) ,
b

∀t ∈ [α ,α + h].

Mặt khác, do định lý Lagrange, ta coù θ ∈ (0,1) sao cho
eb (t −α ) − 1 = b(t − α )eθ b (α + h −α ) ,
≤ b(α + h − α )eθ b (α + h −α ) ≤ bhebh .

Vậy bổ đề 1.1 được chứng minh.

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị


Bổ đề 1.2 ( Bellman)
Nếu u, k :[α , +∞) → [0, +∞) liên tục, thỏa
t

u (t ) ≤ a + ∫ k ( s )u ( s )ds,

∀t ≥ α , a ≥ 0,

α

thì
t

∫ k ( s ) ds

u (t ) ≤ a eα

∀t ≥ α.

,

Chứng minh
t

Đặt v(t ) = a + ∫ k ( s)u ( s)ds > 0, ∀t ≥ α .
α

Ta coù
v(α ) = a, u (t ) ≤ v(t ),
v ′(t ) = k (t )u (t ) ≤ k (t )v(t ).

Do đó
v ′(t ) − k (t )v(t ) ≤ 0.

Suy ra
t
t
⎛ − ∫ k ( s ) ds
⎞′
− ∫ k ( s ) ds
⎜e α
v(t ) ⎟ = e α
( v′(t ) − k (t )v(t ) ) ≤ 0.
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠

Tích phân hai vế trên [α , t ] , ta được
t

∫

− k ( s ) ds

e

α

v(t ) − v(α ) ≤ 0, ∀t ≥ α
t

∫ k ( s ) ds

v(t ) ≤ v(α )eα

t

∫ k ( s ) ds

= aeα

,

∀t ≥ α.

Hay
t

∫ k ( s ) ds

u (t ) ≤ v(t ) ≤ aeα

,

∀t ≥ α .

Vậy bổ đề 1.2 được chứng minh.

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị


Bổ đề 1.3
Cho b(t ) là hàm liên tục, f (t ) là hàm khả tích , v(t ) là hàm khả vi trên
[α , ∞) thỏa
⎧v ′(t ) ≤ b(t )v(t ) + f (t ),
⎨
⎩v(α ) ≤ v0 .

∀t ≥ α,

Khi đó
⎛t
⎞ t
⎛t
⎞
v(t ) ≤ v0 exp ⎜ ∫ b( s )ds ⎟ + ∫ f ( s ) exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ds,
⎝α
⎠ α
⎝s
⎠

∀t ≥ α .

Chứng minh
⎛

t

⎞

⎝

α

⎠

Nhân hai vế bất đẳng thức v′(t ) ≤ b(t )v(t ) + f (t ) bởi exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ , ta được
⎛ t
⎞
⎛ t
⎞
⎛ t
⎞
v ′(t ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ − b(t )v(t ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ ≤ f (t ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ ,
⎝ α
⎠
⎝ α
⎠
⎝ α
⎠

hay
⎛ t
⎞⎞
⎛ t
⎞
d⎛
(
)
exp
(
τ
)
τ
(
)
exp
v
t
b
d
f
t
−
≤
⎜⎜
⎜ ∫
⎟ ⎟⎟
⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ .
dt ⎝

⎝ α
⎠⎠
⎝ α
⎠

Lấy tích phân hai vế từ α đến t , ta được
t
⎛ t
⎞
⎛ s
⎞
v(t ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ − v(α ) ≤ ∫ f ( s ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ ds.
α
⎝ α
⎠
⎝ α
⎠

Do đó
⎛t
⎞ t
⎛ s
⎞
⎛t
⎞
v(t ) ≤ v(α ) exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ + ∫ f ( s ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ ds
⎝α
⎠ α
⎝ α
⎠

⎝α
⎠
t
⎛t
⎞ t
⎛α
⎞
v(t ) ≤ v(α ) exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ + ∫ f ( s ) exp ⎜ ∫ b(τ )dτ + ∫ b(τ )dτ ⎟ ds
α
⎝α
⎠ α
⎝s
⎠

⎛t
⎞ t
⎛t
⎞
v(t ) ≤ v0 exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ + ∫ f ( s ) exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ ds,
⎝α
⎠ α
⎝s
⎠

Vậy bổ đề 1.3 được chứng minh.

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

∀t ≥ α .

Bổ đề 1.4
Cho u ( x, y ), a( x, y ), b( x, y ) là những hàm liên tục không âm với mọi x, y ∈ R+ .
(i) Giả sử a( x, y ) là hàm không giảm theo x , không tăng theo y, với mọi x, y ∈ R+ .
Neáu
x ∞

u ( x, y ) ≤ a ( x, y ) + ∫ ∫ b( s, t )u ( s, t )dtds,

∀x, y ∈ R+ ,

0 y

thì
⎛x∞
⎞
u ( x, y ) ≤ a( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ ,
⎜
⎟
⎝0 y
⎠

∀x, y ∈ R+ .

(ii) Giả sử a( x, y ) là hàm không tăng với mọi x, y ∈ R+ .
Neáu
∞∞

u ( x, y ) ≤ a ( x, y ) + ∫ ∫ b( s, t )u ( s, t )dtds,

∀x, y ∈ R+ ,

x y

thì
⎛∞∞
⎞
u ( x, y ) ≤ a( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ ,
⎜
⎟
⎝x y
⎠

∀ x, y ∈ R+ .

Chứng minh
i. Đặt aε ( x, y ) = a( x, y ) + ε > 0, ε > 0.
Ta coù
x ∞

u ( x, y ) ≤ aε ( x, y ) + ∫ ∫ b( s, t )u ( s, t )dtds,
0 y

Chia hai veá cho aε ( x, y ) ta được,
x ∞

u ( x, y )
1
u ( s, t )dtds
≤ 1 + ∫ ∫ b( s , t )

aε ( x, y )
aε ( x, y )
0 y
x ∞

≤ 1 + ∫ ∫ b( s, t )
0 y

1
u ( s, t )dtds.
aε ( s, t )

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

x, y ∈ R+ .


x ∞

Đặt v( x, y ) = 1 + ∫ ∫ b( s, t )
0 y

1
u ( s, t )dtds.
aε ( s, t )

Khi đó
u ( x, y )
≤ v( x, y ).
aε ( x, y )

v(0, y ) = 1,
∞

v x ( x, y ) = ∫ b ( x, t )
y

1
u ( x, t )dt
aε ( x, t )

∞

≤ ∫ b( x, t )v( x, t )dt
y

∞

≤ v( x, y ) ∫ b( x, t )dt.
y

Do đó
vx ( x, y ) ∞
≤ b( x, t )dt.
v( x, y ) ∫y

Lấy tích phân hai vế từ 0 đến x, ta được
x ∞
vx ( s, y )
∫0 v(s, y) ds ≤ ∫0 ∫y b(s, t )dtds.

x

Do đó
x ∞

v ( x, y )
ln
≤ b( s, t )dtds.
v(0, y ) ∫0 ∫y

Suy ra
⎛x∞
⎞
v( x, y ) ≤ v(0, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ .
⎜
⎟
⎝0 y
⎠

Hay
⎛x∞
⎞
u ( x, y ) ≤ aε ( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ .
⎜
⎟
⎝0 y
⎠

Cho ε → 0 , ta có

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị


⎛x∞
⎞
u ( x, y ) ≤ a ( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ .
⎜
⎟
⎝0 y
⎠

Vậy (i) được chứng minh.
ii. Đặt aε ( x, y ) = a( x, y ) + ε > 0,

ε >0

Ta coù
∞∞

u ( x, y ) ≤ aε ( x, y ) + ∫ ∫ b( s, t )u ( s, t )dtds,

x, y ∈ R+ .

x y

Chia hai vế cho aε ( x, y ) ta được
∞∞

u ( x, y )
1

u ( s, t )dtds
≤ 1 + ∫ ∫ b( s, t )
aε ( x, y )
aε ( x, y )
x y
∞∞

≤ 1 + ∫ ∫ b( s , t )
x y

∞∞

Đặt v( x, y ) = 1 + ∫ ∫ b( s, t )
x y

1
u ( s, t )dtds.
aε ( s, t )
1
u ( s, t )dtds.
aε ( s, t )

u ( x, y )
≤ v( x, y ),
aε ( x, y )

Khi đó v(∞, y ) = 1,

∞

v x ( x, y ) = − ∫ b ( x , t )
y

1
u ( x, t )dt
aε ( x, t )

∞

−vx ( x, y ) ≤ ∫ b( x, t )v( x, t )dt
y

∞

−vx ( x, y ) ≤ v( x, y ) ∫ b( x, t )dt
y

Do đó
−

v x ( x, y ) ∞
≤ b( x, t )dt.
v( x, y ) ∫y

Lấy tích phân hai vế từ x đến ∞ và chú ý rằng ln v(∞, y ) = 0, ta được
∞

∞∞

vx ( s , y )

ds ≤ ∫ ∫ b( s, t )dtds.
v
(
s
,
y
)
x
x y

−∫

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị


Do đó
∞∞

v ( x, y )
ln
≤ b( s, t )dtds.
v(∞, y ) ∫x ∫y

Hay
⎛∞∞
⎞
v( x, y ) ≤ v(∞, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ .
⎜
⎟
⎝x y

⎠
⎛∞∞
⎜
⎝x y

⎞
⎟
⎠

Khi đó u ( x, y ) ≤ aε ( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ .
Cho ε → 0, ta coù
⎛∞∞
⎞
u ( x, y ) ≤ a ( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b ( s, t ) dtds ⎟ .
⎜
⎟
⎝x y
⎠

Vậy (ii) được chứng minh.
Bổ đề 1.4 được chứng minh.

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị


Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO HÀM HAI BIẾN
Bổ đề 2.1
Cho u (t ), k (t ), b(t ) là hàm liên tục, a (t ) là hàm khả tích, b(t ), k (t ) không
âm trên [α , β ] .
(i) Neáu

t

u (t ) ≤ a(t ) + b(t ) ∫ k ( s )u ( s )ds,

∀t ∈ [α , β ],

α

thì
t
⎛t
⎞
u (t ) ≤ a (t ) + b(t ) ∫ a ( s )k ( s ) exp ⎜ ∫ b(r )k (r ) dr ⎟ ds,
α
⎝s
⎠

∀ t ∈ [α , β ].

(ii) Neáu
β

u (t ) ≤ a (t ) + b(t ) ∫ k ( s )u ( s )ds,

∀t ∈ [α , β ],

t

thì
β

⎛s
⎞
u (t ) ≤ a (t ) + b(t ) ∫ a ( s)k ( s) exp ⎜ ∫ b(r )k (r ) dr ⎟ ds,
t
⎝t
⎠

Chứng minh
t

i. Đặt v(t ) = ∫ k ( s )u ( s )ds,

∀t ∈ [α , β ].

α

Khi đó v(α ) = 0, u (t ) ≤ a(t ) + b(t )v(t ),

∀ t ∈ [α , β ].

Hay
v′(t ) = k (t )u (t ) ≤ k (t ) ( a(t ) + b(t )v(t ) )
≤ k (t )a (t ) + k (t )b(t )v(t ).

Áp dụng bổ đề 1.3, chọn v0 = v(α ) = 0, ta được
⎛t
⎞
v(t ) ≤ ∫ k ( s )a ( s ) exp ⎜ ∫ b(r )k (r ) dr ⎟ ds,
α

⎝s
⎠
t

∀t ≥ α.

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai bieán

∀t ∈ [α , β ].


t
⎛t
⎞
u (t ) ≤ a (t ) + b(t ) ∫ a ( s )k ( s) exp ⎜ ∫ b(r )k (r ) dr ⎟ ds,
α
⎝s
⎠

∀t ≥ α .

Phaàn (i) được chứng minh.
β

ii. Đặt v(t ) = ∫ k ( s )u ( s )ds,

∀t ∈ [α , β ].

t

Khi đó v(α ) = 0, u (t ) ≤ a (t ) + b(t )v(t ),

∀ t ∈ [α , β ].

Hay
v′(t ) = k (t )u (t ) ≤ k (t ) ( a (t ) + b(t )v(t ) ) ,
≤ k (t )a (t ) + k (t )b(t )v(t ).

Áp dụng bổ đề 1.3, chọn v0 = v( β ) = 0, ta được
β

⎛s
⎞
v(t ) ≤ ∫ k ( s )a( s) exp ⎜ ∫ b(r )k (r ) dr ⎟ ds,
t
⎝t
⎠

∀t ≤ β .

β
⎛s
⎞
u (t ) ≤ a (t ) + b(t ) ∫ a ( s )k ( s ) exp ⎜ ∫ b(r ) k (r )dr ⎟ ds,
t
⎝t
⎠

∀t ≤ β .

Phaàn (ii) được chứng minh.
Bổ đề 2.1 được chứng minh.
Định lý 2.1
Cho u ( x, y ), a ( x, y ), b( x, y ), c( x, y ), d ( x, y ), f ( x, y ) laø hàm thực liên tục
không âm trên x ≥ 0, y ≥ 0 . Cho H ( x) là hàm thực dương, liên tục, không giảm
trên x ≥ 0, W ( x) là hàm thực dương, liên tục, tăng và thỏa điều kiện
⎧W ( x + y ) ≤ W ( x) + W ( y ),
⎨
⎩W ( x. y ) ≤ W ( x)W ( y ),

∀x, y ∈ R+ .

Giả sử a( x, y ), f ( x, y ) là hàm không giảm theo biến x , trên x ≥ 0, cho trước

α ≥ 0 , nếu u ( x, y ) thỏa

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến


x

u ( x, y ) ≤ a ( x, y ) + b( x, y ) ∫ c( s, y )u ( s, y ) ds
α

⎛x∞
⎞
+ f ( x, y ) H ⎜ ∫ ∫ d ( s, t )W ( u ( s, t ) ) dtds ⎟ ,
⎜
⎟
⎝0 y

⎠

∀ x ≥ α ≥ 0, y ≥ 0, (2.1)

Khi ñoù

{

u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) a ( x, y ) + f ( x, y ) H ⎡⎣G −1 ( G (C )
x∞

}

+ ∫ ∫ d ( s, t ) W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds ) ⎤⎦ ,

∀ x, y ≥ 0,

(2.2)

0 y

trong đó
⎛x
⎞
p ( x, y ) = 1 + b( x, y ) ∫ c( s, y ) exp ⎜ ∫ b(r , y )c(r , y )dr ⎟ ds,
α
⎝s
⎠
x

∞∞

C = ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t )a ( s, t ) ) dt ds,

(2.3)
(2.4)

0 0

r

ds
,
W ( H (s) )
0

G (r ) = ∫

r > 0,

(2.5)

G −1 là hàm ngược của G , với mọi x ≥ 0, y ≥ 0,
x∞

G (C ) + ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds thuộc miền xác định của G −1 .
0 y

Chú thích
Hàm G xác định bởi (2.5) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0, +∞) , do đó

tồn tại hàm ngược G −1 xác định trên một khoảng tương ứng.
Chứng minh
⎛x∞
⎞
Đặt z ( x, y ) = a ( x, y ) + f ( x, y ) H ⎜ ∫ ∫ d ( s, t )W ( u ( s, t ) ) dtds ⎟
⎜
⎟
⎝0 y
⎠

Từ (2.1), ta được

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

(2.6)


x

u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + b( x, y ) ∫ c( s, y )u ( s, y )ds.

(2.7)

α

Ta coù z ( x, y ) là hàm liên tục không âm theo biến x ≥ 0 . Cố định y ≥ 0
trong (2.7) áp dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.7), ta được
⎛x
⎞
u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + b( x, y ) ∫ z ( s, y )c( s, y ) exp ⎜ ∫ b(r , y )c(r , y ) dr ⎟ds.

α
⎝s
⎠
x

Hơn nữa z ( x, y ) là hàm không giảm theo x ≥ 0 , ta được
(2.8)

u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) p( x, y ),

trong đó p ( x, y ) được xác định bởi (2.3), từ (2.6), (2.8), ta được

u ( x, y ) ≤ p( x, y ) ⎡⎣ a( x, y ) + f ( x, y ) H ( v( x, y ) ) ⎤⎦ ,
vaø

(2.9)

x∞

v( x, y ) = ∫ ∫ d ( s, t )W ( u ( s, t ) ) dtds.
0 y

Chú ý rằng W là hàm tăng, từ (2.9) ta được
x∞

(

)

v( x, y ) ≤ ∫ ∫ d ( s, t )W p ( s, t ) ⎣⎡ a ( s, t ) + f ( s, t ) H ( v( s, t ) ) ⎦⎤ dtds

0 y

Từ tính chất của W , ta có
x∞

v( x, y ) ≤ ∫ ∫ d ( s, t )W ( p( s, t )a( s, t ) ) dtds
0 y

x∞

+ ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) f ( s, t ) )W ( H ( v( s, t ) ) ) dtds
0 y

∞∞

≤ ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t )a ( s, t ) ) dt ds
0 0

x∞

+ ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) f ( s, t ) )W ( H ( v( s, t ) ) ) dtds.
0 y

Đặt r ( x, y ) là vế phải của (2.10), khi đó

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai bieán

(2.10)

∞∞

r (0, y ) = r ( x, ∞) = ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t )a ( s, t ) ) dt ds = C.
0 0

Từ (2.10) và r ( x, y ) là hàm không tăng theo y ≥ 0, v( x, y ) ≤ r ( x, y ) vaø
∞

rx ( x, y ) = ∫ d ( x, t )W ( p( x, t ) f ( x, t ) )W ( H ( v( x, t ) ) ) dt
y

∞

≤ ∫ d ( x, t ) W ( p ( x, t ) f ( x, t ) )W ( H ( r ( x, t ) ) ) dt
y

∞

≤ W ( H ( r ( x, y ) ) ) ∫ d ( x, t )W ( p ( x, t ) f ( x, t ) ) dt.

(2.11)

y

Chia 2 vế của (2.11) cho W ( H ( r ( x, y ) ) ) , ta được
∞
rx ( x, y )
≤ d ( x, t )W ( p ( x, t ) f ( x, t ) ) dt.
W ( H ( r ( x, y ) ) ) ∫y

(2.12)

Từ (2.5) và (2.12), ta được
∞

Gx ( r ( x, y ) ) ≤ ∫ d ( x, t ) W ( p ( x, t ) f ( x, t ) ) dt.

(2.13)

y

Đặt x = s trong (2.13), sau đó lấy tích phân theo s từ 0 đến x , ta được
x∞

G ( r ( x, y ) ) ≤ G ( r (0, y ) ) + ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds.
0 y

Do G −1 là hàm tăng nên
x∞
⎡
⎤
r ( x, y ) ≤ G ⎢G (C ) + ∫ ∫ d ( s, t ) W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds ⎥ .
⎢⎣
⎥⎦
0 y
−1

Từ (2.9) và v( x, y ) ≤ r ( x, y ) và (2.14), ta được

{

u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) a ( x, y ) + f ( x, y ) H ⎡⎣G −1 ( G (C )
x∞

}

+ ∫ ∫ d ( s, t ) W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds ) ⎤⎦ ,

∀x ≥ α ≥ 0, ∀y ≥ 0.

0 y

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

(2.14)


Định lý 2.1 được chứng minh.
Định lý 2.2
Cho u ( x, y ), a ( x, y ), b( x, y ), c( x, y ), d ( x, y ), f ( x, y ) là hàm thực liên tục
không âm trên x ≥ 0, y ≥ 0 . Cho H ( x) là hàm thực dương, liên tục, không giảm
trên x ≥ 0 , W ( x) là hàm thực dương, liên tục, tăng trên x ≥ 0 và thỏa điều kiện
⎧W ( x + y ) ≤ W ( x) + W ( y ),
⎨
∀x, y ≥ 0.
⎩W ( x. y ) ≤ W ( x)W ( y ),

Giả sử a ( x, y ), f ( x, y ) là hàm không tăng trên x ≥ 0 , cho trước β ≥ 0 , nếu
u ( x, y ) thoûa
β

u ( x, y ) ≤ a( x, y ) + b( x, y ) ∫ c( s, y )u ( s, y )ds
x

⎛∞∞
⎞
+ f ( x, y ) H ⎜ ∫ ∫ d ( s, t )W ( u ( s, t ) )dtds ⎟ , ∀x ∈ [0, β ], ∀y ≥ 0. (2.15)
⎜
⎟
⎝x y
⎠

Khi ñoù

{

u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) a ( x, y ) + f ( x, y ) H ⎡⎣G −1 ( G (C )
∞∞

}

+ ∫ ∫ d ( s, t ) W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds ) ⎤⎦ , ∀x ∈ [0, β ], ∀y ≥ 0,

(2.16)

x y

trong đó
β

⎛s
⎞
p ( x, y ) = 1 + b( x, y ) ∫ c( s, y ) exp ⎜ ∫ b(r , y )c( r , y )dr ⎟ ds,
x
⎝x
⎠
∞∞

(

)

C = ∫ ∫ d ( s, t )W p ( s, t ) a ( s, t ) dtds,

(2.17)
(2.18)

0 0

r

ds
,
W ( H (s) )
0

G (r ) = ∫

r > 0,

G −1 là hàm ngược của G và với mọi x, y ≥ 0,

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

(2.19)


∞∞

(

)

G (C ) + ∫ ∫ d ( s, t )W p ( s, t ) f ( s, t ) dtds thuộc miền xác định của G −1 .
x y

Chú thích
Hàm G xác định bởi (2.19) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0, +∞) , do đó
tồn tại hàm ngược G −1 xác định trên một khoảng tương ứng.
Chứng minh
Đặt
⎛∞∞
⎞
z ( x, y ) = a ( x, y ) + f ( x, y ) H ⎜ ∫ ∫ d ( s, t )W ( u ( s, t ) ) dtds ⎟
⎜
⎟
⎝x y
⎠

(2.20)

Từ (2.15), ta được
β

u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + b( x, y ) ∫ c( s, y )u ( s, y )ds.

(2.21)

x

Ta coù z ( x, y ) là hàm liên tục không âm theo biến x ≥ 0 . Cố định y ∈ R+
trong (2.21) áp dụng (ii) của bổ đề 2.1 vào (2.21), ta được
β

⎛s
⎞
u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + b( x, y ) ∫ z ( s, y )c( s, y ) exp ⎜ ∫ b( r , y )c( r , y ) dr ⎟ds.
x
⎝x
⎠

Hơn nữa z ( x, y ) là hàm không tăng theo x ∈ R+ , ta được
(2.22)

u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) p ( x, y ),

với p ( x, y ) được xác định bởi (2.17), từ (2.21), (2.22), ta được
u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) ⎡⎣ a ( x, y ) + f ( x, y ) H ( v( x, y ) ) ⎤⎦ ,

vaø

(2.23)

∞∞

v( x, y ) = ∫ ∫ d ( s, t )W ( u ( s, t ) ) dtds.
x y

Chú ý rằng W là hàm tăng, từ (2.23) ta được
∞∞

(

)

v( x, y ) ≤ ∫ ∫ d ( s, t )W p ( s, t ) ⎡⎣ a ( s, t ) + f ( s, t ) H ( v( s, t ) ) ⎤⎦ dtds.
x y

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến


Từ tính chất W ta được
∞∞

v( x, y ) ≤ ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t )a ( s, t ))dtds
x y

∞∞

(

)

+ ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) f ( s, t ) )W H ( v ( s, t ) ) dtds
x y

∞∞

≤ ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t )a ( s, t ) ) dt ds
0 0

∞∞

+ ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) f ( s, t ) )W ( H ( v( s, t ) ) ) dtds.

(2.24)

x y

Đặt r ( x, y ) là vế phải của (2.24), khi đó
∞∞

r (∞, y ) = r ( x, ∞) = ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) a ( s, t ) ) dt ds = C.
0 0

Từ (2.24) và r ( x, y ) là hàm không tăng theo y ∈ R+ , v( x, y ) ≤ r ( x, y ) vaø
∞

− rx ( x, y ) = ∫ d ( x, t ) W ( p ( x, t ) f ( x, t ) )W ( H ( v( x, t ) ) ) dt
y

∞

≤ ∫ d ( x, t ) W ( p ( x, t ) f ( x, t ) )W ( H ( r ( x, t ) ) ) dt
y

∞

≤ W ( H ( r ( x, y ) ) ) ∫ d ( x, t )W ( p ( x, t ) f ( x, t ) ) dt .

(2.25)

y

Chia 2 vế của (2.25) cho W ( H ( r ( x, y ) ) ) , ta được
∞
rx ( x, y )
−
≤ d ( x, t )W ( p ( x, t ) f ( x, t ) ) dt .
W ( H ( r ( x, y ) ) ) ∫y

(2.26)

Tích phân (2.26) và từ (2.19), ta được
∞

−Gx ( x, y ) ≤ ∫ d ( x, t )W ( p ( x, t ) f ( x, t ) ) dt .
y

Đặt x = s trong (2.27), sau đó lấy tích phân theo s từ x đến ∞ , ta được

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

(2.27)


∞∞

G ( r ( x, y ) ) ≤ G ( r (∞, y ) ) + ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds.
x y

Do G −1 là hàm tăng, ta có
∞∞
⎡
⎤
r ( x, y ) ≤ G ⎢G (C ) + ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds ⎥ .
x y
⎣⎢
⎦⎥
−1

(2.28)

Từ (2.23), (2.28) vaø v( x, y ) ≤ r ( x, y ) , ta được

{

u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) a ( x, y ) + f ( x, y ) H ⎡⎣G −1 ( G (C )
∞∞

}

+ ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds ) ⎦⎤ ,

∀x ∈ [0, β ], y ≥ 0.

x y

Định lý 2.2 được chứng minh.
Định lý 2.3
Cho u ( x, y ), a ( x, y ), b( x, y ), c( x, y ), f ( x, y ) là những hàm liên tục không âm
trên x, y ≥ 0.
Hàm L : R+3 → R+ liên tục thỏa điều kiện
0 ≤ L( x, y, u ) − L( x, y, v) ≤ M ( x, y, v)φ −1 (u − v), ∀x, y ≥ 0, u ≥ v ≥ 0,

(2.29)

trong đó M ( x, y, v ) là hàm thực liên tục không âm trên x, y, v ≥ 0.
Hàm φ : R+ → R+ liên tục và tăng ngặt, φ ( 0 ) = 0, hàm ngược φ −1 của φ thỏa
điều kiện φ −1 ( u.v ) ≤ φ −1 ( u ) φ −1 ( v ) , với mọi u , v ∈ R+ .
Giả sử a ( x, y ), f ( x, y ) là không giảm theo x ∈ R+ , cho α ≥ 0 cố định, nếu
hàm u ( x, y ) thoûa
x

u ( x, y ) ≤ a( x, y ) + b( x, y ) ∫ c( s, y )u ( s, y )ds
α

⎛x∞
⎞
+ f ( x, y )φ ⎜ ∫ ∫ L ( s, t , u ( s, t ) )dtds ⎟ ,

⎜
⎟
⎝0 y
⎠

∀x ≥ α , y ≥ 0,

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

(2.30)


Khi đó
u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) a ( x, y ) + f ( x, y )φ (e( x, y )

⎛x∞
⎞ ⎫⎪
× exp ⎜ ∫ ∫ M ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) φ −1 ( p( s, t ) f ( s, t ) ) dtds ⎟ ⎬ , ∀x, y ∈ R+ , (2.31)
⎜0 y
⎟
⎝
⎠ ⎪⎭

trong đó
⎛x
⎞
p ( x, y ) = 1 + b ( x, y ) ∫ c ( s, y ) exp ⎜ ∫ b ( r , y ) c ( r , y ) dr ⎟ ds,
α
⎝s
⎠

x

x∞

e( x, y ) = ∫ ∫ L ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) )dtds.

(2.32)
(2.33)

0 y

Chứng minh
Đặt
⎛x∞
⎞
z ( x, y ) = a ( x, y ) + f ( x, y )φ ⎜ ∫ ∫ L ( s, t , u ( s, t ) ) dtds ⎟ .
⎜
⎟
⎝0 y
⎠

(2.34)

Từ (2.30), ta được
x

u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + b( x, y ) ∫ c( s, y )u ( s, y )ds.

(2.35)

α

Ta có z ( x, y ) là hàm liên tục không âm theo x ∈ R+ . Cố định y ∈ R+ trong
(2.35) và sử dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.35), ta được
⎛x
⎞
u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + b( x, y ) ∫ z ( s, y )c( s, y ) exp ⎜ ∫ b( r , y )c( r , y ) dr ⎟ds.
α
⎝s
⎠
x

Hơn nữa z ( x, y ) là hàm không giảm theo x ∈ R+ , ta được
u ( x , y ) ≤ z ( x, y ) p ( x , y ) ,

(2.36)

với p ( x, y ) là hàm xác định bởi (2.32). Ta suy từ (2.34), (2.36), rằng
u ( x, y ) ≤ p( x, y ) ( a( x, y ) + f ( x, y )φ ( v( x, y ) ) ) ,

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

(2.37)


vaø

x∞

v( x, y ) = ∫ ∫ L ( s, t , u ( s, t ) ) dtds .

0 y

Từ (2.37) và giả thiết về hàm L và hàm φ , ta được
x∞

{(

v( x, y ) ≤ ∫ ∫ L s, t , p ( s, t ) ⎡⎣ a ( s, t ) + f ( s, t ) φ ( v( s, t ) ) ⎦⎤

)

0 y

− L ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) + L ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) )} dtds
x∞

≤ ∫ ∫ L ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) dtds
0 y

x∞

+ ∫ ∫ M ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) φ −1 ( p( s, t ) f ( s, t )φ ( v( s, t ) ) ) dtds.
0 y

Do đó
x∞

v( x, y ) ≤ e( x, y ) + ∫ ∫ M ( s, t , p ( s, t ) a( s, t ) ) φ −1 ( p( s, t ) f ( s, t ) ) v( s, t )dtds, (2.38)
0 y

trong đó e( x, y ) là hàm liên tục không âm, không giảm theo x ∈ R+ và không
tăng theo y ∈ R+ , như trong (2.33).
Áp dụng (i) của bổ đề 1.4 vào (2.38), ta được
⎛x∞
⎞
v( x, y ) ≤ e( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ M ( s, t , p( s, t ) a( s, t ) ) φ −1 ( p( s, t ) f ( s, t ) ) dtds ⎟ (2.39)
⎜
⎟
⎝0 y
⎠

Sử dụng (2.37) vào (2.39), ta được
u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) a ( x, y ) + f ( x, y )φ (e( x, y )

⎛x∞
⎞ ⎫⎪
× exp ⎜ ∫ ∫ M ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) φ −1 ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds ⎟ ⎬ , ∀x, y ∈ R+ .
⎜
⎟
⎝0 y
⎠ ⎪⎭

Định lý 2.3 được chứng minh.

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến


Định lý 2.4
Cho u ( x, y ), a( x, y ), b( x, y ), c( x, y ), f ( x, y ) là các hàm thực liên tục không
âm xác định cho mỗi x, y ∈ R+ .

Hàm L : R+3 → R+ là hàm liên tục thỏa điều kiện
0 ≤ L( x, y, u ) − L( x, y, v) ≤ M ( x, y, v)φ −1 (u − v), ∀x, y ≥ 0, u ≥ v ≥ 0.

trong đó M ( x, y, v) là hàm thực liên tục, không âm xác định trên x, y, v ≥ 0.
Hàm φ : R+ → R+ liên tục, tăng ngặt với φ (0) = 0 , φ −1 là hàm ngược của φ
thỏa điều kiện φ −1 (u.v) ≤ φ −1 (u )φ −1 (v) , với mọi u , v ∈ R+ .
Giả sử a( x, y ), f ( x, y ) là không tăng theo x ∈ R+ , cho β ≥ 0 coá định, nếu
hàm u ( x, y ) thỏa
β

u ( x, y ) ≤ a ( x, y ) + b( x, y ) ∫ c( s, y )u ( s, y )ds
x

⎛∞∞
⎞
+ f ( x, y )φ ⎜ ∫ ∫ L ( s, t , u ( s, t ) ) dtds ⎟ , β , x, y ∈ R+ , x ≤ β , (2.40)
⎜
⎟
⎝x y
⎠

Khi đó
u ( x , y ) ≤ p ( x , y ) {a ( x , y ) + f ( x , y ) φ [e ( x , y )
∞∞

× exp(

∫ ∫ M ( s, t , p(s, t )a(s, t ) )φ ( p( s, t ) f (s, t ) ) dtds)]}, ∀x, y ≥ 0,
−1

(2.41)

x y

trong đó
β

⎛s
⎞
p ( x, y ) = 1 + b( x, y ) ∫ c( s, y ) exp ⎜ ∫ b(r , y )c( r , y )dr ⎟ ds,
x
⎝x
⎠
∞∞

(

)

e( x, y ) = ∫ ∫ L s, t , p ( s, t )a ( s, t ) dtds.
x y

Chứng minh
Đặt
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai bieán

(2.42)
(2.43)

⎛∞∞
⎞
z ( x, y ) = a ( x, y ) + f ( x, y )φ ⎜ ∫ ∫ L ( s, t , u ( s, t ) ) dtds ⎟ .
⎜
⎟
⎝x y
⎠

(2.44)

Từ (2.40), ta được
x

u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + b( x, y ) ∫ c( s, y )u ( s, y )ds .

(2.45)

α

Ta có z ( x, y ) là hàm liên tục không âm theo x ∈ R+ . Cố định y ∈ R+ trong
(2.45) và sử dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.45), ta được
β

⎛s
⎞
u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + b( x, y ) ∫ z ( s, y )c( s, y ) exp ⎜ ∫ b(r , y )c( r , y ) dr ⎟ds.
x
⎝x
⎠

Hơn nữa z ( x, y ) là hàm không tăng theo x ∈ R+ , ta được
(2.46)

u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) p ( x, y ),

với p ( x, y ) là hàm xác định bởi (2.42). Ta suy từ (2.44), (2.46) rằng
u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) ( a( x, y ) + f ( x, y )φ ( v( x, y ) ) ) ,

vaø

(2.47)

∞∞

v( x, y ) = ∫ ∫ L ( s, t , u ( s, t ) ) dtds .
x y

Từ (2.47) và giả thiết về hàm L và hàm φ , ta được
∞∞

{(

v( x, y ) ≤ ∫ ∫ L s, t , p ( s, t ) ⎡⎣ a ( s, t ) + f ( s, t )φ ( v( s, t ) ) ⎦⎤

)

x y

− L ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) + L ( s, t , p ( s, t )a( s, t ) )} dtds
∞∞

≤ ∫ ∫ L ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) dtds
x y

∞∞

+ ∫ ∫ M ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) φ −1 ( p ( s, t ) f ( s, t )φ ( v( s, t ) ) ) dtds.
x y

Do đó

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai bieán