Một số mở rộng của định lí krasnoselskii về điểm bất động của tổng hai ánh xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hải Ngọc

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÍ
KRASNOSELSKII VỀ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hải Ngọc

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÍ
KRASNOSELSKII VỀ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ
Chuyên ngành:

Tốn giải tích

Mã số:

60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CẢM ƠN
Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin gửi đến PGS.TS. Nguyễn Bích Huy, thầy đã tận tình
hướng dẫn, có những chỉ bảo giúp tơi hiểu rõ vấn đề, hồn thiện luận văn.
Tơi xin cảm ơn q thầy cơ trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian
đọc, cho tôi những lời nhận xét quý báu.
Tôi xin gửi lời tri ân đến các Thầy Cô đã trực tiếp giảng dạy trong suốt thời gian
học Cao học tại trường. Các Thầy Cô không chỉ mang đến kiến thức môn học mà còn
chỉ dẫn cách làm việc, phương pháp học tập, nghiên cứu khoa học.
Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, q Thầy Cơ phịng Sau đại học
trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã hỗ trợ, tạo điều kiện thuận lợi
để tơi hồn thành khóa học.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã ở bên cạnh, động viên tinh thần
cho tôi.
Tôi đã cố gắng nghiên cứu, làm việc nghiêm túc nhưng luận văn khó tránh khỏi
cịn sai sót. Tơi rất mong nhận được những lời góp ý từ q Thầy Cơ và các bạn để
luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013
Nguyễn Hải Ngọc

1


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII CHO KHƠNG GIAN LỒI ĐỊA
PHƯƠNG ..................................................................................................................... 4
1.1. Các định nghĩa [1] .......................................................................................................4
1.2. Điều kiện (A) [1, tr. 95] ..............................................................................................4
1.3. Mệnh đề 1.1 (Nguyên lý hội tụ Solomon Leader) [1, tr. 96] ....................................5
1.4. Sự tồn tại của toán tử ( I − U ) ................................................................................5
−1

1.5. Định lí Schauder-Tychonoff .......................................................................................9
1.6. Một số định lí điểm bất động kiểu Krasnoselskii ...................................................10

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII TRONG TƠPƠ YẾU ...................... 16
2.1. Các định nghĩa và bổ đề sử dụng [9] .......................................................................16
2.2. Một số mở rộng của định lí Krasnoselskii trong tơpơ yếu ....................................21
2.3. Ứng dụng vào phương trình tham số [9, mục 3] ....................................................29
2.4 . Ứng dụng vào phương trình tích phân [9,mục 4, tr. 11] ......................................34

CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII TRONG KHƠNG GIAN NĨN
ĐỊNH CHUẨN ........................................................................................................... 39
3.1. Khơng gian Banach có thứ tự. [8, mục 2, tr. 2] ......................................................39
3.1.1. Nón và thứ tự trong nón. ....................................................................................... 39
3.1.2. Nón chuẩn, nón liên hợp. ...................................................................................... 39
3.1.3. Ánh xạ dương, ánh xạ tăng. .................................................................................. 39
3.2. Khơng gian nón định chuẩn.[8, mục 2, tr. 2] ..........................................................39
3.3. Mở rộng của định lí Krasnoselskii trong khơng gian nón định chuẩn ................42

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 46

2


MỞ ĐẦU
Phương pháp điểm bất động là phương pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và cấu trúc tập nghiệm của nhiều lớp phương trình xuất
phát từ các lĩnh vực khoa học Tự nhiên và Xã hội. Nghiên cứu về điểm bất động được
bắt đầu từ thế kỉ 20, được phát triển và hoàn thiện đến ngày nay.
Có hai định lí điểm bất động quan trọng nhất là định lí Banach về điểm bất động
của ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ và định lí Schauder về điểm bất động
của ánh xạ hồn tồn liên tục trên tập lồi, đóng của khơng gian định chuẩn. Năm
1955, nhà toán học Nga Krasnoselskii đưa ra một định lí là kết hợp của hai định lí
nêu trên, về tồn tại điểm bất động của tổng hai ánh xạ, một trong chúng là ánh xạ co
và ánh xạ thứ hai hồn tồn liên tục. Định lí này sau đó đã tìm được các ứng dụng
trong lí thuyết phương trình vi phân và tích phân.
Do ý nghĩa quan trọng của định lí Krasnoselskii và cũng để mở rộng phạm vi
ứng dụng của nó mà định lí này đã được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau trong
các cơng trình của Browder, Kirk, Lê Hồn Hóa,…
Trong luận văn này, chúng tôi giới thiệu một số mở rộng của định lí
Krasnoselskii, trong đó có nhiều kết quả mới nhận được gần đây.
Nội dung chính của luận văn gồm ba chương trình bày các mở rộng của định lí
Krasnoselskii trên ba lớp khơng gian khác nhau:
CHƯƠNG 1: Định lí Krasnoselskii cho khơng gian lồi địa phương. [1]
CHƯƠNG 2: Định lí Krasnoselskii trong tơpơ yếu. [9]
CHƯƠNG 3: Định lí Krasnoselskii trong khơng gian nón định chuẩn. [8]
[.]: tài liệu tham khảo chính

3

CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII CHO KHƠNG GIAN LỒI
ĐỊA PHƯƠNG
Trong chương này, ta thiết lập một số định lí điểm bất động cho những toán tử dạng
U+C trên một tập con lồi đóng bị chặn của khơng gian lồi địa phương, trong đó C là
tốn tử compact và U thỏa điều kiện (A) sẽ được xác định sau.
1.1. Các định nghĩa [1]
a) Cho X là không gian véctơ tôpô lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn tách P.
Giả sử D là tập con của X và ánh xạ U : D → X . Ta nói:
• U là ánh xạ φ − co nếu

p ( U(x) − U(y) ) ≤ φ ( p(x − y) ) , ∀x, y ∈ D, ∀p ∈ P

trong đó φ là hàm liên tục nhận giá trị trên tập số thực dương sao cho

0 < φ(r) < r với r > 0 .
• U là ánh xạ ( ε − δ ) − co nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, y ∈ D ,

ε ≤ p(x − y) < ε + δ ⇒ p ( U(x) − U(y) ) < ε, ∀p ∈ P .
• U là tốn tử liên tục đều trên D nếu với p ∈ P và ε > 0 cho trước, tồn tại

δ > 0 sao cho p(x − y) < δ ⇒ p ( U(x) − U(y) ) < ε, ∀x, y ∈ D .

Nhận xét 1.1. Nếu U là ánh xạ φ − co hoặc ( ε − δ ) − co thì U liên tục đều.
b) Cho X là khơng gian Banach, toán tử T được gọi là hầu như bị chặn nếu:
limsup

T(x)
x

x →∞

Khi đó, đặt T = limsup
x →∞

T(x)
x

<∞

thì T là giả chuẩn của T. Trường hợp T

tuyến tính bị chặn thì T chính là chuẩn của T như tốn tử tuyến tính.
1.2. Điều kiện (A) [1, tr. 95]
Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách
trên X, D là một tập con của X và U : D → X . Với bất kì a ∈ X ta định nghĩa:
4


U a : D → X bởi U=
U(x) + a .
a (x)
Toán tử U : D → X được gọi là thỏa điều kiện (A) trên tập con Ω của X nếu:
(A.1) Với bất kỳ a ∈ Ω, U a ( D ) ⊂ D .
(A.2) Với bất kỳ a ∈Ω và p ∈ P , tồn tại k a ∈ Ζ + với tính chất: ∀ε > 0 , ∃r ∈ 
và δ > 0 sao cho với x, y ∈ D ,

α ap ( x, y ) < ε + δ ⇒ α ap ( U ar ( x ) , U ar ( y ) ) < ε

{

}

trong đó α ap=
( x, y ) max p ( Uia ( x ) − U aj ( y=
) ) ;i, j 0,1,2,..k a ,  = {1,2,3,...} , Z+ =
ℕ ∪ {0}.

Nhận xét 1.2. [1, tr. 96]
Nếu U là ánh xạ φ − co hoặc ( ε − δ ) − co thì U thỏa mãn điều kiện (A.2) trên X với

k a = 0 và r = 1 .
1.3. Mệnh đề 1.1 (Nguyên lý hội tụ Solomon Leader) [1, tr. 96]
Cho q : Ζ 2+ → [ 0, +∞ ) là một hàm số sao cho:
q ( m,n ) ≤ q ( m,k ) + q ( k,k ) + q ( k,n ) , ∀m,l,k ∈  +

(1.1)

2

Khi đó ℤ+ q ( m,n ) → 0 khi m,n → ∞ nếu và chỉ nếu: ∀ε > 0 , tồn tại r ∈ Ν và δ > 0

sao cho với m,n ∈ Z+ , q ( m,n ) < ε + δ ta có:

q ( m + r,n + r ) < ε

1.4. Sự tồn tại của toán tử ( I − U )

(1.2)

−1

Định lí 1.1. [1, định lí 3.1, tr. 97-100]
Cho X là khơng gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách P, D là một tập con đầy
đủ theo dãy của X, U là toán tử liên tục đều trên D. Giả sử U thoả mãn điều kiện (A)
trên tập con Ω của X. Khi đó tốn tử ( I − U ) được định nghĩa tốt và liên tục trên Ω.
−1

Chứng minh. Ta chứng minh qua hai bước sau

5


Bước 1: Với bất kì a ∈Ω , tốn tử Ua có duy nhất điểm bất động trên D gọi là φ ( a ) và
dãy lặp {U an ( φ ( a ) )} hội tụ về φ ( a ) . Hơn nữa, ánh xạ a  φ ( a ) là đơn ánh.
n

Chứng minh bước 1: Từ điều kiện (A.2) ta suy ra với bất kì a ∈Ω và p ∈ P ,

∃k a ∈ Ζ + với tính chất ∀ε > 0 , ∃r ∈  và δ > 0 sao cho với x, y ∈ D ,
α ap ( x, y ) < ε + δ ⇒ α ap ( U ar ( x ) , U ar ( y ) ) < ε
Giả sử q : Ζ 2+ → [ 0, +∞ ) được định nghĩa bởi

q ( m,n ) = α ap ( U am ( x ) , U an ( y ) )
Khi đó q thỏa (1.1)-(1.2). Thật vậy:
• Kiểm tra (1.1): Với m,l,k ∈ Z+ ,

p�Uam (x) − Uan (y)� ≤ p �Uam (x) − Ual (y)� + p �Ual (y) − Ual (x)�
p

+p �Ual (x) − Uan (y)�

p

p

≤ αa �Uam (x), Uan (y)� + αa �Ual (x), Ual (y)� + αa �Ual (x), Uan (y)�
p

Suy ra: q(m, n) = αa �Uam (x), Uan (y)� ≤ q(m, l) + q(l, l) + q(l, n)
• Do U thỏa mãn điều kiện (A.2) nên (1.2) đúng.

Theo nguyên lý hội tụ Solomon Leader, lim q(m, n) = 0. Suy ra
m,n⟶∞

lim p ( U am (x) − U an (y) ) =
0

m,n →∞

Vì vậy với x, y ∈ D , {U an ( x )} , {U an ( y )} là các dãy Cauchy trong D. Vì D đầy đủ
n
n
theo dãy nên {U an ( x )} hội tụ về điểm bất động duy nhất của U a , ghi là φ ( a ) và do
n

đó ánh xạ a  φ ( a ) được định nghĩa tốt. Thật vậy:
• Đặt φ ( a ) :=
lim U an ( x ) . Vì U liên tục nên U a ( φ ( a ) ) =

lim U an +1 ( x ) . Từ tính duy
n →∞

n →∞

nhất của giới hạn suy ra U a ( φ ( a ) ) =
φ ( a ) . Vậy φ ( a ) là điểm bất động của U a .
U (φ(a )) + a =
φ ( a ) hay ( I − U ) ( φ ( a ) ) =
a.
n
m
• Giả sử φ=
1 ( a ) : lim U a ( x ) , φ=
2 ( a ) : lim U a ( y ) . Lúc đó:
n →∞

m →∞

6


0 ≤ p ( φ1 ( a ) − φ2 ( a ) ) ≤ p ( φ1 ( a ) − U an ( x ) ) + p ( U an ( x ) − U am ( y ) )
+ p ( U am ( y ) − φ2 ( a ) )

Cho m,n → ∞ ta được p ( φ1 ( a ) − φ2 ( a ) ) =0 . Vậy φ1 ( a ) =
φ2 ( a ) hay U a có
duy nhất điểm bất động.
Nếu φ ( a ) , φ ( b ) là hai điểm bất động của Ua , Ub và φ ( a ) =
φ ( b ) . Ta có

U ( φ ( a ) ) + a = U ( φ ( b ) ) + b ⇒ a = b . Điều này chứng tỏ φ đơn ánh. Vậy φ là song

ánh từ Ω vào φ ( Ω ) ⊂ D .

( I − U ) ( φ ( a ) )=

(I − U)

−1

Mà theo trên, U a ( φ ( a ) ) = φ ( a ) , ∀a ∈ Ω , suy ra

φ−1 hay φ=
a, ∀a ∈ Ω . Do đó I − U =

(I − U)

−1

. Điều này có nghĩa

được định nghĩa tốt trên Ω .

Bước 2: Chứng minh ( I − U ) liên tục trên Ω .
−1

Chứng minh bước 2: Với bất kì a ∈Ω , p ∈ P và ε > 0 , theo điều kiện (A.2), ∃r ∈ 
và δ > 0 ( δ < ε ) sao cho

α ap ( U ar ( x ) , U ar ( y ) ) < ε, ∀x, y ∈ D khi α ap ( x, y ) < ε + δ .
Vì U liên tục đều nên U ia (i = 0,1,2,...) cũng liên tục đều, suy ra ∃δo , 0 < δo < δ sao
cho:

p ( x − y ) < δo ⇒ p ( U ia x − U ia y ) < δ với mọi i = 0,1,2,...,k

(1.3)

Tương tự, ta sử dụng tính liên tục đều của U, ta có thể xây dựng một họ {δi }i=0 sao
r −1

cho với=
mọi i 1,2,...,r − 1
a) 0 < δi <

1
δi−1
2

b) p ( x − y ) < δi ⇒ p ( U(x) − U(y) ) <

1
δi−1
2

Nếu b ∈ Ω sao cho p ( a − b ) < δr −1 thì vì lim U nb (φ(a)) =
φ(b) và p liên tục nên:
n →∞

φ(a) − φ(b) = lim ( φ(a) − U nb (φ(a)) ) .

n →∞

Bằng quy nạp ta chứng minh được:
7


α ap ( φ(a), U arn (φ(a)) ) < ε + δ, ∀ n ∈ N

(1.4)

Đầu tiên ta chú ý rằng: p ( φ(a) − U rb (φ(a)) ) < δο . Thật vậy, p ( a − b ) < δr −1 nên:
p ( U a (x) − U b (x)=
) p(a − b) < δr −1 , ∀x ∈ D .
1
Suy ra: p ( U ( U a (x) ) − U ( U b (x) ) ) < δr −2 .
2
p ( U a2 ( x ) − U b2 ( x ) ) ≤ p ( U ( U a (x) ) − U ( U b (x) ) ) + p ( a − b )
1
1
< δr −2 + δr −2 =
δr −2
2
2

Tiếp tục ta có: p ( U ar −1 (x) − U rb−1 (x) ) < δ1 .

(

)

1
Suy ra: p U ( U ar −1 ( x ) ) − U ( U br −1 ( x ) ) < δο .
2
1
1
Do đó: p ( U ar ( x ) − U rb ( x ) ) < δο + δο =δο , ∀x ∈ D
2
2

(1.5)

Đặc biệt, lấy x = φ(a) , (1.5) trở thành:

p ( φ ( a ) − U rb ( φ ( a ) ) ) < δο

(1.6)

Bây giờ ta chứng minh (1.4) đúng khi n = 1 , nghĩa là:

α ap ( φ ( a ) , U br ( φ ( a ) ) ) < ε + δ
Để ý rằng U ia ( φ ( a ) ) =φ ( a ) , ∀i =0, k . Từ (1.3) và (1.6), ta có:

(

)

p φ(a) − U ia ( U rb ( φ(a) ) ) < δ, ∀i =0,1,2,...,k
⇒ α ap ( φ(a), U rb ( φ(a) ) ) < δ < ε + δ

Giả sử (1.4) đúng với n, nghĩa là

(

α ap φ(a), U b(

r n +1)

α ap ( φ(a), U rnb ( φ(a) ) ) < ε + δ . Khi đó:

( φ(a) ) ) < αap ( φ(a), Uar ( U brn ( φ(a) ) ) ) + αap ( Uar ( U rnb ( φ(a) ) ) , U br( n +1) ( φ(a) ) )

Cũng do α ap ( φ(a), U rn
b ( φ(a) ) ) < ε + δ nên theo điều kiện (A.2) ta suy ra:

(

)

(

)

α ap U ar ( φ(a) ) , U ar ( U brn ( φ(a) ) ) = α ap φ(a), U ar ( U brn ( φ(a) ) ) < ε

Thay=
x U rn
b ( φ(a) ) , (1.5) trở thành:

8

(1.7)


)

(

+1)
p U ar ( U brn ( φ(a) ) ) − U r(n
( φ(a) ) < δo .
b

Sử dụng (1.3), ta thấy rằng:

(

)

i
r(n +1)
p U ar +i ( U rn
( φ(a) ) ) < δ, ∀ i =0,1,2,...,k
b ( φ(a) ) ) − U a ( U b

(

)

r(n +1)
Hay: α ap U ar ( U rn

( φ(a) ) < δ .
b ( φ(a) ) ) , U b

(1.8)

+1)
Từ (1.7) và (1.8) suy ra α ap ( φ(a), U r(n
( φ(a) ) ) < ε + δ . Điều này kết thúc quá
b

trình quy nạp.
p
rn
Từ (1.4) suy ra: p ( φ(a) − U rn
b ( φ(a) ) ) ≤ α a ( φ(a), U b ( φ(a) ) ) < ε + δ < 2ε .

Cho n → ∞ , ta suy ra p ( φ(a) − φ(b)=
) lim p ( φ(a) − U rnb ( φ(a) ) ) ≤ 2ε .
n →∞

Vậy φ=

(I − U)

−1

Nhận xét 1.3.

liên tục trên Ω . ∎

Trong điều kiện (A), nếu δ được chọn độc lập với a ∈Ω thì từ bước 2 ta suy ra rằng
toán tử ( I − U )

−1

liên tục đều trên Ω . Đặc biệt, nếu U là ( ε − δ ) − co (hoặc φ − co )

thỏa mãn (A.1) với mọi a ∈Ω thì khi đó ( I − U ) liên tục đều trên Ω.
−1

1.5. Định lí Schauder-Tychonoff

Cho K là tập con lồi, compắc, khác rỗng của không gian véctơ tôpô lồi địa phương X.
Giả sử ánh xạ f : K → K liên tục. Khi đó f có điểm bất động trong K.
Chứng minh. Dùng phản chứng.
Giả
G
=

sử

f

khơng

có

{( x,f (x) ) ∈ X × X : x ∈ K}

điểm

bất

động

và tập đường chéo
=
∆

trong

K.

Khi

{( x, x ) : x ∈ X}

đó

tập

có giao bằng

rỗng. Tồn tại lân cận lồi, cân đối V của điểm gốc sao cho G + V × V khơng chứa ∆ .
Xét thấy f (x) ∉ x + V , ∀x ∈ K .
Gọi µ là phiếm hàm Minkowskii của V thì µ liên tục trên X và µ(x) < 1 khi
x ∈ V . Do K compắc nên tồn tại hữu hạn x1,x2,…, xn sao cho họ {x i + V}i=1 phủ K.
n

Đặt

=
α(x) max {0,1 − µ(x)}( x ∈ X ) .
9


Với mỗi i ∈1,n , đặt αi (x) =
α ( x − x i ) thì
=
0 khi x ∈ x i + V
α
i (x)

α i (x) > 0 khi x ∉ x i + V

αi (x)

n

Suy ra

∑ α (x) > 0, ∀x ∈ K . Do đó β (x) :=
∑ α (x)
i =1

i

i

n

i =1

xác định trên K.

i

n

Đặt H = co {x1 , x 2 ,..., x n } , g(x) =
∑ βi (x)x i ( x ∈ K ) .
i =1

Ta có g là hàm liên tục từ K vào H ⊂ K . Do đó g  f: K → H liên tục. Theo định lí
điểm bất động Brouwer, tồn tại x * ∈ H sao cho g ( f (x * ) ) = x * .
Ta

có

x − g ( x )=

x = f ( x* )

n

∑ β (x) ( x − x ) ∈ V, ∀x ∈ K .
i =1

i

i

Thay

ta

được

f ( x * ) − x * ∈ V . Suy ra f ( x * ) ∈ x * + V . Ta gặp mâu thuẫn.
Vậy f có điểm bất động trong K. ∎

1.6. Một số định lí điểm bất động kiểu Krasnoselskii
Định lí 1.2. [1, định lí 3.2, tr. 100]
Cho X là một khơng gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với họ nửa chuẩn tách P, D
là tập con lồi đóng bị chặn của X, C : D → X hoàn toàn liên tục và U : D → X liên
tục đều, thỏa mãn điều kiện (A.2) trên C ( D ) . Giả sử rằng:
U ( x ) + C ( y ) ∈ D, ∀x, y ∈ D .

(1.9)

Khi đó U+C có điểm bất động trong D.
Chứng minh. Lấy u ∈ U(D), v ∈ C(D) . Tập C ( D ) đóng nên tồn tại { y n } ⊂ C(D)
sao cho y n → v . Ta có {u + y n } ⊂ D, u + y n → u + v . Vì D đóng nên u + v ∈ D . Vậy
U ( D ) + C ( D ) ⊂ D . Như thế, U thỏa mãn điều kiện (A.1) trên C ( D ) và do đó thỏa

mãn điều kiện (A) trên C ( D ) . Áp dụng định lí 1.1, ( I − U )

−1

tồn tại và liên tục trên

������. Với giả thiết D bị chặn, từ tính compắc của C và sự liên tục của ( I − U )−1 ta có
C(D)
10


������ là tập compắc trong D. Do ( I − U )
(I − U)−1 C(D)

tập ( I − U )

−1

−1

( C ( D ) ) ⊂ ( I − U )−1 ( C ( D ) )

( C ( D ) ) compắc tương đối trong D. Suy ra ( I − U )

−1

nên

C là toán tử compắc

trên D. Mà tập D lồi, đóng nên theo định lí điểm bất động Schauder-Tychonoff,

(I − U)

−1

C có điểm bất động trong D, nghĩa là tồn tại xo ∈ D sao cho:

(I − U)

−1

C ( x o ) hay xo = U(xo ) + C(xo ).

Như vậy U+C có điểm bất động trong D. ∎

Nhận xét 1.4. Trong định lí 1.2, nếu thay giả thiết U liên tục đều, thỏa mãn điều kiện
(A.2) bởi giả thiết U là ( ε − δ ) − co (hoặc φ − co ) ta nhận được kết quả tương tự.
Điều này được suy ra từ nhận xét 1.2, 1.3.
Định lí 1.3. [1, định lí 3.3, tr. 101-103]
Cho X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách
P và giả sử U và C là toán tử trên X sao cho:
i)

U thỏa điều kiện (A) trên X.

ii)

Với bất kì p ∈ P, ∃k > 0 (phụ thuộc p) sao cho:
p ( U ( x ) − U ( y ) ) ≤ kp(x − y), ∀x, y ∈ X .

iii)

Tồn tại x o ∈ X với tính chất: ∀p ∈ P, ∃r ∈ N và λ ∈ [ 0,1) (r và 𝜆 phụ thuộc p)
sao cho:

(

)

p U rx o ( x ) − U rx o ( y ) ≤ λp(x − y) .
iv)

C hoàn toàn liên tục, A ⊂ X, p ( A ) < ∞ thì p ( C ( A ) ) < ∞ .

v)

p ( C(x) )
= 0, ∀x ∈ X, ∀p ∈ P .
p(x )→∞
p(x)
lim

Khi đó U+ C có điểm bất động.
Chứng minh. Vì U thỏa mãn điều kiện (A) nên I − U là một phép đồng phơi
trên X, do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một tập con lồi đóng bị chặn D của X sao
cho với bất kỳ x thuộc D, điểm bất động duy nhất của U C( x ) thuộc về D. Giả sử zo là
11


điểm bất động của Uxo (điều này có được là do định lí 1.1, bước 1). Với bất kỳ x ∈ X
và p ∈ P ta có:

(

)

r
r −1
r −1
U C(x
− U rx o ( y ) U ( U C(x
) ( y )=
) (y) ) − U U x o (y) + ( C(x) − x o ) , ∀y ∈ X .

Từ ii) và iii) ta suy ra rằng:

) (

(

r ( n −1)
r ( n −1)
r ( n −1)
rn
r
p ( U C(x)
U C(x)
( zo ) − zo ) ≤ p UC(x)
( zo ) − U rxo UC(x)
( zo ) + p U rxo UC(x)
( zo ) − U rxo ( zo )

((

) (

)

) (

)

r ( n −1)
r ( n −1)
r ( n −1)
r −1
= p U U C(x)
U C(x)
( zo ) + C(x) − x o + p U rxo UC(x)
( zo ) − U U rx−o1UC(x)
( zo ) − U rxo ( zo )

(

(

)

r ( n −1)
r ( n −1)
r ( n −1)
r −1
≤ kp U C(x)
U C(x)
( zo ) − ( zo )

( zo ) + p ( C(x) − x o ) + λp UC(x)
( zo ) − U rx−o1UC(x)

)

Tương tự ta nhận được:
 r −1 i 
r ( n −1)
rn
−
≤
p ( U C(x
z
z
)( o)
o)
 ∑ k  p ( C(x) − x o ) + λp U C(x ) ( z o ) − z o .
 i =0 

(

)

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được: ∀n ∈  ,

p(U

rn
C(x )

 r −1 i  n −1 i 
( zo ) − zo ) ≤  ∑ k  ∑ λ  p ( C(x) − x o )
=
 i 0=
 i 0 
r −1

≤

∑k

i

i =0

1− λ

p ( C(x) − x o )

≤ βp ( C(x) ) + βp ( x o )
r −1

∑k

Với
=
β

i

i =0

1− λ

>0.

Ta có: p(x) − p(z o ) ≤ p(x − z o ) ≤ p(x) + p(z o ) .
Do vậy: p(x − z o ) → ∞ ⇔ p ( x ) → ∞ .
Mặt khác:

p ( C(x) )
p ( C(x) )
p(x)
p ( C(x) )
≤
≤
⋅
p(x − z o ) p(x) − p(z o ) p(x) − p(z o )
p(x)

p ( C(x) )
p(x )→∞
p(x)

Mà lim

Vậy

p(x)
0=

1.
( theo (v) ) , p(xlim
)→∞ p(x) − p(z )
o

p ( C(x) )
=0.
p(x − z o )→∞ p(x − z )
o
lim

12

(1.10)

)


Suy ra với

1
> 0 tồn tại R1p > 0 sao cho
2β
p ( C(x) ) <

1
p ( x − z o ) nếu p ( x − z o ) ≥ R1p
2β

Từ iv) tồn tại R 2p > 0 sao cho ∀x, p ( x − z o ) ≤ R1p ⇒ p ( C(x) ) ≤ R 2p

(1.11)
(1.12)

Thật vậy, đặt B :={x ∈ X : p ( x − z o ) ≤ R1p } thì B là tập lồi đóng, bị chặn. Do giả thiết
thứ hai của (iv) nên tập C(B) bị chặn. Suy ra tồn tại R 2p > 0 sao cho
p ( C(x) ) ≤ R 2p , ∀x ∈ B .

Chọn R 3p > 2βp(xo ) + βR 2p .

Đặt Dp = �x ∈ X: p(x − zo ) ≤ R 3p � và D = ∩ D p . Khi đó D là tập lồi đóng, bị chặn
p∈P

và zo ∈ D.

Với mỗi x ∈ X và p ∈ P , ta xét thấy
• Nếu R1p ≤ p(x − zo ) ≤ R 3p thì theo (1.10), (1.11):

1
rn
p ( U C(x
p ( x − zo )
) ( zo ) − zo ) ≤ βp ( x o ) +
2
1
≤ β p ( x o ) + R 3p ≤ R 3p
2

• Nếu p ( x − z o ) ≤ R1p thì theo (1.10), (1.12):
rn

p ( U C(x)
( zo ) − zo ) ≤ βp ( x o ) + βR 2p ≤ R 3p .
rn
Cả hai trường hợp đều cho ta U C(x
) ( zo ) ∈ Dp .
rn
Như vậy: U C(x
) ( z o ) ∈ D, ∀x ∈ D .

rn
Vì D đóng và dãy ( U C(x
) ( z o ) ) n hội tụ về điểm bất động duy nhất ϕ(C(x)) của U C(x )

nên φ ( C(x) ) ∈ D, ∀x ∈ D . Điều này có nghĩa ( I − U )
của C và sự liên tục của

( I − U ) (C ( D)) ⊂ ( I − U )
−1

−1

(I − U)

−1

−1

( C ( D ) ) ⊂ D . Từ tính compắc

������ compắc. Suy ra

ta có (I − U)−1 C(D)

( C ( D )) là tập compắc tương đối. Vậy ( I − U )
13

−1

C là toán


tử compắc trên D. Theo định lí điểm bất động Schauder-Tychonoff, ( I − U ) C có
−1

điểm bất động trong D, chính xác đó là điểm bất động của U+C trong D. ∎

Cho X là không gian Banach, một sự mở rộng nổi tiếng về định lí điểm bất động

của Schauder bởi F.E Browder phát biểu rằng: nếu C compắc trên X sao cho với k
nào đó Ck ( X ) bị chặn thì khi đó C có điểm bất động. Ta xét tốn tử dạng U+C trong
đó U thỏa mãn điều kiện (A) trên X và C là tốn tử compắc sao cho với k nào đó
Ck ( X ) hầu như bị chặn. Ta có kết quả sau:

Định lí 1.4. [1, định lí 3.4, tr. 103-105]
Cho X là khơng gian Banach và tốn tử T : X → X có dạng U+C, trong đó U liên tục
đều và thỏa mãn điều kiện (A) trên X, C hoàn tồn liên tục. Nếu |U| + |C| < 1 thì T

có điểm bất động.

Chứng minh. Vì U liên tục đều và thỏa mãn điều kiện (A) trên X nên theo định lí
1.1, (I − U) là một phép đồng phơi.

Với mỗi k ∈ ℕ, ta định nghĩa ρk : X → X như sau:

nếu ‖x‖ ≤ k

x
ρk (x) = � kx
‖x‖

nếu ‖x‖ > k

Khi đó ρk liên tục và ( I − U ) Cρk là toán tử compắc trên X với ( I − U ) Cρk ( X ) bị
−1

−1

chặn (vì Cρk (X) compắc tương đối). Do đó, theo định lí của Browder nó có điểm bất
động xk , nghĩa là:

(I − U)−1 Cρk (xk ) = xk hay Cρk (xk ) = xk − Uxk .

(1.13)

Nếu ta chứng minh được rằng x ≤ k với k nào đó thì T có điểm bất động. Vì khi
x k , suy ra Cρk ( x k ) =
C ( x k ) . Mà Cρk ( x k ) =
x k − Ux k nên
x ≤ k thì ρk ( x k ) =
Ux k + Cρk ( x k ) =
x k , điều này kết thúc chứng minh.

Bây giờ ta giả sử rằng x > k, ∀k ∈  .
Vì x > k , (1.13) trở thành:
 kx k 
C=
 x
( λ k k ) x k − Ux k .

 C=
x
 k 
14

(1.14)


với λ=
k

k
< 1 và λ k x k = k, ∀k ∈  .
xk

Ta có thể giả sử lim λ k = λ, λ ∈ [ 0,1] (nếu khơng thì xét dãy con).
k →∞

Từ (1.14) ta có : U ( x k ) + C ( λ k x k ) = x k ⇒
Do đó:



=
 vì 1






U ( xk )
xk

+

λ C ( λk x k )
λk x k

U ( x k ) + C ( λk x k )
xk

≤

≥1−

xk

=
1.

λ − λk . C ( λk x k )

U ( xk )
xk

U ( x k ) + C ( λk x k )

λk x k
+

C ( λk x k )
xk

 U ( x k ) λ C ( λk x k )
= 
+
 x
λk x k
k



C ( λk x k )
 + ( λ k − λ )
λk x k











Vì C hầu như bị chặn và lim λ k =λ nên cho k → ∞ trong đồng nhất thức ở trên ta suy
k →∞

ra rằng: |U| + |C| ≥ 1, dẫn đến mâu thuẫn. ∎

15


CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII TRONG TƠPƠ YẾU
Trong chương này ta xét ( E, . ) là không gian Banach. Với {x n } ⊂ E và x ∈ E , ta ký
hiệu x n → x để chỉ sự hội tụ theo chuẩn . và x n  x để chỉ sự hội tụ đối với tôpô
yếu trên E.
Để chứng minh một số kết quả mở rộng, ta sử dụng các định lí sau:
Định lí 2.1. Cho X là không gian véctơ tôpô lồi địa phương, M là tập con của X và
x ∈ E . Khi đó:

i) x là điểm dính yếu của M thì x là điểm dính yếu của tập con đếm được nào
đó của M.
ii) Nếu tập M compắc yếu tương đối và x là điểm dính yếu của M thì tồn tại dãy

{ xn } ⊂ M

hội tụ yếu về x.

Chứng minh. Xem [6, định lý 8.12.4, tr. 549-550]

Định lí Eberlein − Smulian

Cho K là tập con của khơng gian Banach X. Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
i) K là tập compắc yếu tương đối.
ii) K compắc yếu theo dãy, nghĩa là mỗi dãy trong K đều chứa một dãy con hội tụ
về phần tử nào đó thuộc X.
iii) Mỗi tập con vơ hạn, đếm được của K đều có điểm giới hạn.
Chứng minh. Xem [5, tr. 430-433].

Định lí Krein − Smulian
Bao lồi đóng của một tập compắc yếu trong một khơng gian Banach là tập compắc
yếu.
Chứng minh. Xem [5, tr. 434-435].
2.1. Các định nghĩa và bổ đề sử dụng [9]
Định nghĩa 2.1. Giả sử X là tập con khác rỗng của E. Toán tử T : X → E được gọi là
liên tục yếu theo dãy trên X nếu với mỗi dãy
T ( xn )  T ( x ) .
16

{x n } ⊂ X ,

x n  x ∈ X thì


Định nghĩa 2.2. Cho (X,d) là không gian metric và M là tập con của X. Ánh xạ
T : M → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số h ∈ [0,1) sao cho
d(Tx,Ty) ≤ hd(x, y), ∀x, y ∈ M

Định nghĩa 2.3. Cho (X,d) là không gian metric và M là tập con của X. Ánh xạ
T : M → X được gọi là ánh xạ giãn nếu tồn tại hằng số h >1 sao cho
d(Tx,Ty) ≥ hd(x, y), ∀x, y ∈ M

(2.1)

Trường hợp (2.1) đúng với h = 1 thì T được gọi là ánh xạ không-co trên M. Nếu (2.1)
đúng với h > 0 nào đó thì T được gọi là ánh xạ giãn yếu.
Định nghĩa 2.4. Cho M, K là các tập con của khơng gian tuyến tính định chuẩn X và
các ánh xạ T : M → X, S: K → X . Ta ký hiệu
=
 ( M,K;T,S) =
Tx + Sy, y ∈ K} .
{x ∈ M : x =

Bổ đề 2.1. Cho K là tập lồi, compắc yếu trong E . Khi đó mỗi ánh xạ liên tục yếu
theo dãy f : K → K đều có điểm bất động trong K .
Chứng minh. Ta chứng minh f liên tục yếu, từ đó áp dụng định lí SchauderTychonoff, f có điểm bất động trong K. Nếu F là tập đóng yếu trong K thì

f −1 ( F ) ⊂ K là tập đóng yếu theo dãy. Giả sử {x α } ⊂ f −1 ( F ) , x α  x . Theo định lí
2.1, x là điểm dính yếu của tập con đếm được {x n } nào đó của {x α } . Vì K compắc

yếu theo dãy (định lí Eberlein − Smulian ) nên {x n } có dãy con hội tụ yếu về x. Ta có

x ∈ f −1 ( F ) (do f −1 ( F ) đóng yếu theo dãy). Suy ra
f −1 ( F ) đóng yếu trong K. Vậy f liên tục yếu. ∎

Bổ đề 2.2. Cho ( X,d ) là khơng gian mêtric đầy đủ và M là tập đóng trong X. Giả
sử T : M → X là ánh xạ giãn sao cho T(M) ⊃ M . Khi đó tồn tại duy nhất điểm

x * ∈ M sao cho T ( x * ) = x * .
Chứng minh. Từ định nghĩa ánh xạ giãn và T(M) ⊃ M ta thấy T : M → T(M) có
ánh xạ ngược và
d ( T −1 ( x ) ,T −1 ( y ) ) ≤

1
d ( x, y ) , ∀x, y ∈ T(M)
h
17

(2.2)


Tập M đóng trong X nên (M,d) là khơng gian mêtric đầy đủ. Từ (2.2) ta suy ra
T −1

M

: M → M là một ánh xạ co, với T −1

M

là hạn chế của T −1 trên M. Theo nguyên

lý ánh xạ co Banach, tồn tại x * ∈ M sao cho x * = T ( x * ) . Vậy x ∗ là điểm bất động của
T.

Chứng minh sự duy nhất: Giả sử
=
x Tx,
=
y Ty với x, y ∈ M . Khi đó:
d ( x, y ) =d ( Tx,Ty ) ≥ hd ( x, y ) , ( h > 1)

Suy ra: d ( x, y ) = 0 ⇒ x = y . ∎

Nhận xét 2.1. T −1 : T ( M ) → M liên tục nên T ( M ) là tập đóng. Điều này khơng
đúng trong trường hợp tổng qt vì một ánh xạ giãn có thể khơng liên tục. Ví dụ: Xét
ánh xạ T : R → R định bởi
2x − 1, x ≤ 0
T(x) = 
2x + 1, x ≥ 0

Rõ ràng T là ánh xạ giãn (h = 2) nhưng T(R) =

( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) khơng đóng.

Nhận xét 2.2. Cho T : E → E ánh xạ co hoặc giãn với hệ số h > 1. Khi đó nếu
T(E) = E thì ( I − T ) (E) =
E.

Chứng minh. Cố định y ∈ E , ta định nghĩa Ty : E → E bởi Ty (x)
= Tx + y .
Nếu T là ánh xạ co thì áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach, còn T là ánh xạ giãn thì

y.
theo bổ đề 2.2 ta tìm được x * ∈ E sao cho (I − T) ( x * ) =
Bổ đề 2.3. Cho ( X, . ) là khơng gian tuyến tính định chuẩn và M ⊂ X . Giả sử rằng
T : M → X là ánh xạ giãn với hằng số h >1. Khi đó: F :=I − T : M → ( I − T )( M ) có

ánh xạ ngược và
F−1 ( x ) − F−1 ( y ) ≤

1

x − y , ∀x, y ∈ F(M)
h −1

Chứng minh. Với x, y ∈ M, ta có
F( x ) − F( y) =

(Tx − Ty) − (x − y) ≥ (h − 1) x − y .

Suy ra F là đơn ánh. Do đó, F : M → F ( M ) có ánh xạ ngược.
18

(2.3)


Với x, y ∈ F ( M ) thì F−1 ( x ) , F−1 ( y ) ∈ M . Theo (2.3),
F−1 ( x ) − F−1 ( y ) ≤

1
x−y .∎
h −1

Bổ đề 2.4. Cho ( X, . ) là khơng gian tuyến tính định chuẩn, M ⊂ X . Giả sử rằng
T : M → X là ánh xạ co với hệ số α < 1. Khi đó F :=I − T : M → ( I − T )( M ) có ánh

xạ ngược thỏa mãn:

F−1x − F−1y ≤

1
x − y , ∀x, y ∈ F ( M )

1− α

Chứng minh. Với x, y ∈ M, ta có
F ( x ) − F ( y=
)

(x − y) − (Tx − Ty) ≥ (1 − α) x − y

(2.4)

(2.5)

Suy ra F đơn ánh. Do đó F : M → F ( M ) có ánh xạ ngược.
Với x, y ∈ F ( M ) thì F−1 ( x ) , F−1 ( y ) ∈ M . Từ (2.5) ta có

x − y ≥ (1 − α ) F−1x − F−1y
−1
−1
Hay: F x − F y ≤

1
x−y .∎
1− α

Bổ đề 2.5. Cho X là không gian Banach và ánh xạ T : X → X tuyến tính, bị chặn. Giả
sử rằng tồn tại p ∈ N để T p là ánh xạ co. Khi đó F :=
I − T : X → X là tồn ánh và
có ánh xạ ngược thỏa mãn

F−1x − F−1y ≤ γ p x − y , ∀x, y ∈ X

trong đó
𝑝
𝑛ế𝑢 ‖𝑇‖ = 1
⎧ 1 − ‖𝑇 𝑝 ‖ ,
⎪
⎪
1
,
𝑛ế𝑢 ‖𝑇‖ < 1
𝛾𝑝 =
⎨ 1 − ‖𝑇‖
‖𝑇‖𝑝 − 1
⎪
⎪
, 𝑛ế𝑢 ‖𝑇‖ > 1
⎩(1 − ‖𝑇 𝑝 ‖)(‖𝑇‖ − 1)

x Tx + z .
Chứng minh. Cố định z ∈ X , ta định nghĩa Tz : X → X bởi T z=
Lấy x, y ∈ E và chú ý rằng T tuyến tính, ta có:
19


Tz x − Tz y =Tx − Ty
Tz2 x − Tz2 y = T ( Tz x ) − T ( Tz y ) = T 2 x − T 2 y

Tiếp tục quá trình ta được: Tzp x − Tzp y = T p x − T p y .
Suy ra: Tzp x − Tzp y = T p x − T p y ≤ T p x − y

(2.6)

Vậy Tzp cũng là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, Tzp có điểm bất động
duy nhất x * ∈ X . Ta có Tzp ( x * ) = x * .
p
*
p *
T=
Tz ( x * ) nên Tz x * cũng là điểm bất động của Tzp . Từ tính
Do T=
z ( Tz x )
z ( Tz x )

duy nhất của điểm bất động ta có Tz ( x * ) = x * . Điều này có nghĩa x * cũng chính là
điểm bất động của Tz . Như vậy với z ∈ X tồn tại x * ∈ X sao
cho ( I − T ) x * =
z . Suy ra ( I − T ) là toàn ánh từ X lên X.
Ta có ánh xạ ( I − T p ) : X → X là toàn ánh. Mặt khác, ( I − T p ) đơn ánh vì với
x, y ∈ X, x ≠ y ,

( I − T ) x − ( I − T ) y ≥ (1 − T ) x − y
p

p

p

>0

Vậy ( I − T p ) là song ánh. Suy ra ( I − T ) xác định trên X và
−1

(I − T) =
( I − Tp )
−1

−1

p −1

∑T

k

(2.7)

k =0

Vì T p là ánh xạ co nên từ (2.4) ta có:

(I − T )

p −1

1
.
1 − Tp

1 p−1 k
Ta có: ( I − T ) ≤ ( I − T ) ∑ T ≤
∑T .

1 − Tp k 0
=
k 0=
p −1

−1

p −1

≤

k

1 − T ≤ 1 − Tp
p

Cho nên:
• Nếu T = 1 thì

(I − T)

−1

≤

p
.
1 − Tp
20

(2.8)


• Nếu T < 1 thì

• Nếu T > 1 thì

(I − T)

(I − T)

Vậy: ‖(I − T)−1 ‖ ≤

⎧
⎪

−1

−1

≤

p −1

1
1− T

p

1

≤
1 − Tp
p

1−‖Tp ‖
1

∑T

k

k =0

p −1

∑T

1
= .
1− T

T −1
p

k

k =0

= p
1− T

(

)(

T − 1)

.

nếu ‖T‖ = 1

,

nếu ‖T‖ < 1

,
1−‖T‖
⎨
‖T‖𝑝 −1
⎪
⎩(1−‖Tp‖)(‖T‖−1) ,

nếu ‖T‖ > 1. ∎

Bổ đề 2.6. Cho K là tập lồi, compắc yếu trong không gian Banach X. Khi đó mỗi ánh
xạ f : K → K demi-liên tục (nghĩa là ∀{x n } ⊂ K , x n → x thì f ( x n )  f ( x ) ) có một
dãy điểm bất động trong K.
Chứng minh. Xem [3, Định lý 3.3].
2.2. Một số mở rộng của định lí Krasnoselskii trong tơpơ yếu
Định lí 2.2. [9, định lí 2.6]

Cho K ⊂ E là tập lồi đóng, khác rỗng và các ánh xạ T,S: K → E . Giả sử rằng:
i) S liên tục yếu theo dãy.
ii) T là ánh xạ giãn.
iii) z ∈ S ( K ) ⇒ T ( K ) + z ⊃ K .
iv) Nếu {x n } ⊂  ( K,K;T,S) và x n  x,Tx n  y thì Tx = y .
v)  ( K, K;T,S) compắc yếu tương đối trong E.
Khi đó tồn tại điểm x * ∈ K sao cho Sx * + Tx * =
x* .
Chứng minh. Lấy y ∈ K . Xét ánh xạ T + Sy : K → E , ta có:
•

K ⊂ E là tập đóng.

• Với x, x′ ∈ K :

( T + Sy )( x ) − ( T + Sy )( x′ )

= Tx − Tx′ . T là ánh xạ giãn nên

T + Sy : K → E cũng là ánh xạ giãn.
•

( T + Sy )( K=)

T ( K ) + Sy ⊃ K (do iii) ).

Các giả thiết của bổ đề 2.2 đều được thỏa mãn, do đó phương trình
21

Tx + Sy =
x

(2.9)

có duy nhất nghiệm x =
τS ( y ) ∈ K . Vậy ánh xạ τS : K → K, y  τS ( y ) được định
nghĩa tốt. Theo bổ đề 2.3, ta thấy τ ( Sy ) =

(I − T)

−1

Sy, ∀y ∈ K . Hơn nữa

τS ( K ) ⊂  ⊂ K .

Với {x n } ⊂ K, x n  x trong K, do {τS ( x n )} ⊂  ,  compắc yếu tương
đối nên

{τS ( x n )}

có dãy con

{τS( x )}
nk

k

hội tụ yếu về y ∈ K . Ta khẳng định

τSx n  y . Giả sử trái lại, khi đó ∃f ∈ E* : f ( τSx n ) 
f ( y ) . Suy ra ∃ε > 0 :

(

)

f ( y ) . Khi n k đủ lớn thì
f ( τSx n ) − f ( y ) ≥ ε, ∀n . Do τSx n k  y nên f τSx n k →

(

)

f τSx n k − y < ε (mâu thuẫn). Vậy τSx n  y trong K.

Tiếp tục, ta chứng minh y = τS ( x ) , từ đó suy ra τS liên tục yếu theo dãy trên K. Ta
có:
τSx n =T ( τSx n ) + Sx n

(2.10)

Cho qua giới hạn T ( τSx n ) =
τSx n − Sx n ta được T ( τSx n )  y − Sx . Từ i) và iv) ta
có =
y Ty + Sx hay y = τS ( x ) .
Đặt C = co (  ) , với co (  ) là bao lồi đóng của  . Khi đó C ⊂ K và là tập compắc

yếu (theo định lí Krein − Smulian ). Ánh xạ τS : C → C liên tục yếu theo dãy nên theo

τSx *
bổ đề 2.1, tồn tại x * ∈ C sao cho τSx * =
x * . Từ (2.9) ta kết luận T ( τSx * ) + Sx * =
. Điều này có nghĩa Sx * + Tx * =
x * . Chứng minh hồn tất. ∎

Nếu T là ánh xạ co thì ta có kết quả tương tự.
Định lí 2.3. [9, nhận xét 2.7]

Cho K là tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian Banach E và các ánh xạ

T,S: K → E . Giả sử rằng:
i)

S liên tục yếu theo dãy.

ii)

T là ánh xạ k-co.

iii)

x = Tx + Sy, y ∈ K ⇒ x ∈ K .
22


iv) Nếu {x n } ⊂  ( K,K;T,S) và x n  x, Tx n  y thì Tx = y .
 ( K, K;T,S) compắc yếu tương đối trong E.

v)

Khi đó tồn tại điểm x * ∈ K sao cho Sx * + Tx * =
x* .
Chứng minh. Xem [2, định lý 2.9].
Hệ quả 2.1. [9, hệ quả 2.8]
Thay giả thiết iii) trong định lí 2.2 bởi giả thiết T : K → E là toàn ánh, ta nhận được
kết quả tương tự.
Chứng minh. Nếu T là toàn ánh thì điều kiện iii) của định lí 2.2 được thỏa mãn. Thật
vậy: với z ∈ S ( K ) , T ( K ) + z = E ⊃ K . ∎
Định lí 2.4. [9, định lí 2.9]

Cho K ⊂ E là tập lồi đóng, khác rỗng và các ánh xạ T : E → E, S: K → E . Giả sử
rằng:
i) S liên tục yếu theo dãy.
ii) T là ánh xạ giãn.
iii) S ( K ) ⊂ ( I − T )( E ) và [ x = Tx + Sy, y ∈ K ] ⇒ x ∈ K ( hay S ( K ) ⊂ ( I − T )( K )
).
iv) Nếu {x n } ⊂  ( E,K;T,S) và x n  x,Tx n  y thì y = Tx .
v)  ( E, K;T,S) compắc yếu tương đối.
Khi đó tồn tại điểm x * ∈ K sao cho Sx * + Tx * =
x* .
Chứng minh. Với y ∈ K thì S ( y ) ∈ ( I − T )( E ) (do giả thiết thứ nhất trong iii)), vậy
nên tồn tại x ∈ E sao cho x − Tx =
Sy . Do S ( K ) ⊂ ( I − T )( K ) và ( I − T ) đơn ánh
(xem chứng minh bổ đề 2.3) nên x =
( I − T ) −1Sy ∈ K , xác định duy nhất. Vậy ánh xạ

(I − T)

−1

S : K → K, y  x =
( I − T ) S(y) , được
−1

định nghĩa tốt.

23