Sử dụng phương pháp toán tử khảo sát hiệu ứng zeeman của nguyên tử hydro ở mức năng lượng kích thích cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LÝ DUY NHẤT

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ KHẢO SÁT HIỆU
ỨNG ZEEMAN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Ở MỨC NĂNG
LƯỢNG KÍCH THÍCH CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

TP. HỒ CHÍ MINH – 2011



MỤC LỤC

MỤC LỤC ........................................................................................................3
CHƯƠNG 1: TỔNG QUANG VỀ HIỆU ỨNG ZEEMAN ........................5
1.1. Trường hợp ngun tử hydro khơng có từ trường ngoài............................................. 6
1.2. Trường hợp nguyên tử hydro đặt trong từ trường ngoài. ........................................... 6
1.2.1. Hiệu ứng Zeeman thường (trong từ trường mạnh)................................................. 6
1.2.2. Hiệu ứng Zeeman dị thường (từ trường yếu) . ........................................................ 7

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TỐN NGUN
TỬ HYDRO ...................................................................................................10
2.1. Phương trình Schrưdinger của bài toán nguyên tử hydro ......................................... 11
2.2. Biểu diễn hamiltonian qua tốn tử sinh, hủy .............................................................. 13
2.3. Tính yếu tố ma trận của Hˆ o và Vˆ ................................................................................... 14
2.4. Sử dụng sơ đồ vịng lặp tìm nghiệm chính xác bằng số của phương trình
Schrưdinger ........................................................................................................................... 17

2.5. Lưu đồ thuật giải chương trình tính mức năng lượng của ngun tử hydro ........... 18

CHƯƠNG 3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ KHẢO SÁT
HIỆU ỨNG ZEEMAN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Ở MỨC NĂNG
LƯỢNG KÍCH THÍCH CAO ......................................................................21
3.1.Phương trình Schrưdinger của bài tốn ngun tử hydro trong từ trường .............. 22
3.2. Biểu diễn hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường qua các toán
tử sinh hủy ............................................................................................................................. 24
3.3. Các yếu tố ma trận của Hˆ o và Vˆ ................................................................................... 26

3


3.4. Nghiệm của phương trình Schrưdinger ....................................................................... 29
3.5. Lưu đồ thuật giải chương trình tính mức năng lượng của ngun tử hydro đặt
trong từ trường đồng nhất ................................................................................................... 31
3.6. Mức năng lưựng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro trong từ trường có cường
độ bất kỳ ................................................................................................................................. 34
3.7. Khảo sát hiệu ứng Zeeman............................................................................................ 36
3.7.1. Hiệu ứng Zeeman cho từ trường có cường độ yếu ................................................ 36
3.7.2. Hiệu ứng Zeeman cho từ trường có cường độ mạnh ............................................ 40
3.7.5. Sự chuyển mức năng lượng .................................................................................... 45

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI ..........................49
1. Kết luận .............................................................................................................................. 49
2. Hướng phát triển tiếp theo của đề tài ............................................................................. 49

DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ...........................................51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................52
Tiếng Việt ............................................................................................................................... 52

Tiếng Anh .............................................................................................................................. 52

PHỤ LỤC .......................................................................................................54
PHỤ LỤC A. DẠNG CHUẨN HĨA CỦA TỐN TỬ ...................................................... 54
PHỤ LỤC B. TÍCH PHÂN EULER.................................................................................... 56
PHỤ LỤC C. XÂY DỰNG BỘ HÀM CƠ SỞ ĐỐI XỨNG TRỤ ..................................... 58

4


CHƯƠNG 1: TỔNG QUANG VỀ HIỆU ỨNG ZEEMAN

Hiệu ứng Zeeman là hiện tượng xảy ra khi đặt nguyên tử phát xạ trong từ trường làm cgo
một vạch quang phổ bị tách thành một số vạch nhất định gần nhau. Nguyên nhân của việc tách
vạch quang phổ là sự tách mức năng lượng. Nếu tính tốn được mức năng lượng tách ra và biết
qui luật chuyển trạng thái thì có thể suy ra được sự tách vạch quang phổ. Ngược lại, quan sát
hiện tượng tách vạch quang phổ và dựa vào qui luật chuyển trạng thái thì ta có thể hiểu biết
được các mức năng lượng của nguyên tử bị tách như thế nào. Trong chương này, hiệu ứng
Zeeman sẽ được trình bày một cách khái quát theo quan điểm cơ học lượng tử.
Trong gần đúng chuẩn tương đối tính, hamiltonian của electron chuyển động trong trường


điện từ có các thế A và V được xác định bằng biểu thức:
2
 ˆ e ˆ 
 p − A
e ˆ  ˆ
c 
ˆ
=

H 
+ eVˆ −
s B + Ws ,
2µ
2µ c



trong đó σˆ
Wˆs =

(1.1)

là tốn tử vectơ có các thành phần σˆ x , σˆ y , σˆ z là các ma trận Pauli,

( )

ˆ 
Ze 2
l
.
.sˆ là toán tử tương tác spin-quĩ đạo.
2µ 2c 2 r 3



Nếu nguyên tử đặt trong từ tường ngồi có cảm ứng từ B , thì:
− Ze 2  1  
 B × r 
=

eV
=
;A
r
2

(1.2)

Với các trường yếu, trong (1.1) có thể bỏ qua A2 và viết:
Hˆ= Hˆ + Wˆ ,

ˆ
Trong đó H=
0


pˆ 2 Ze 2
là hamiltonian của nguyên tử khi không đặt trong từ trường ngồi, cịn
−
2µ
r

tốn tử Wˆ có thể biến đổi về dạng:
 
Wˆ = − µˆ B .B,

(1.3)

5

Trong đó

=
µˆ B


pˆ 2 ˆ

l + 2 sˆ
2µ

(

)

(1.4)

Là moment xung lượng tồn phần của electron.
Ta có:
ˆ ˆ 
J = l + sˆ

(1.5)

1.1. Trường hợp ngun tử hydro khơng có từ trường ngoài.
ˆ
Hamiltonian được viết dưới dạng H=
0


pˆ 2 Ze 2
và phương trình Schrưdinger dừng cho
−
r
2µ

ngun tử hydro:
 pˆ 2 Ze 2 
−
En nlm

 nlm =
r 
 2m

(1.6)

Giải phương trình Schrưdinger sẽ thu được năng lượng của các trạng thái dừng của
electron trong hệ SI:
En = −

µ Z 2e4 1
32π 2e o2 Z 2 n 2

(1.7)

Như vậy, các mức năng lượng En suy biến theo số lượng tử m phù hợp với đối xứng xuyên
tâm của trường.
1.2. Trường hợp nguyên tử hydro đặt trong từ trường ngồi.

Để tính các mức năng lượng của nguyên tử dưới tác dụng của từ trường ngoài, ta dùng
phương pháp nhiễu loạn.
1.2.1. Hiệu ứng Zeeman thường (trong từ trường mạnh).
Khi từ trường ngoài tác dụng lên nguyên tử hydro đủ lớn để ta có thể bỏ qua tương tác
spin-quĩ đạo biểu thị bởi Wˆs =

( )

ˆ 
Ze 2
l
.
.sˆ , ta sẽ có hiệu ứng Zeeman thường. Khi đó, mơ
2µ 2c 2 r 3

6






hình vectơ cho thấy là các vectơ moment động lượng l và vectơ spin s thực hiện chuyển động




tuế sai quanh từ trường B một cách độc lập, có các hình chiếu là m và m s trên B .



B


s


l

Do bỏ qua tương tác spin quĩ đạo, cơ sở sử dụng là lsmms và như vậy, độ bổ chính cho
năng lượng là:

(

)

e ˆ
E (1) =
l3 + 2 sˆ3 .B lsmms
− lsmms
2m c

(1.8)

e
E (1) =
−
(m + 2ms ).B
2m c

(1.9)

Như vậy, mức năng lượng En sẽ tách thành một bộ bội khi hiện diện của trường mạnh (bậc
suy biến của En bị lấy đi một phần). Lúc này, các dịch chuyển từ En về En −1 thỏa ∆m =
0 gọi là
dịch chuyển π và dịch chuyển thỏa ∆m =±1 gọi là dịch chuyển σ .
1.2.2. Hiệu ứng Zeeman dị thường (từ trường yếu) .
Thiếu hình trang 3
Ta có hiệu ứng dị thường nếu nguyên tử hydro đặt trong từ trường có cường độ đủ yếu để
tương tác spin-quỹ đạo Wˆs =


( )

ˆ 
Ze 2
.
l
.sˆ chiếm ưu thế. Khi đó, liên kết moment động lượng
2µ 2c 2 r 3



quỹ đạo l và spin s của electron đủ lớn để ta phải tính đến moment động lượng toàn phần

ˆ ˆ 
ˆ

J = l + sˆ . Mơ hình vectơ cho thấy l và s thực hiện các chuyển đông tuế sai quanh J , trong khi
ˆ


J chuyển động tuế sai quanh B . Như vậy, đầu tiên ta sẽ xem tương tác spin-quỹ đạo như là

nhiễu loạn bậc nhất, các số lượng tử thích hợp sẽ là n, l, s, j, m j . Trong hamiltonian nhiễu loạn


Wˆ = − µˆ B thì từ trường B khơng phụ thuộc tọa độ, do đó có thể lấy trục Oz theo hướng từ trường

B . Năng lượng bổ chính được xác định:

7


(

)

e ˆ
E (1) =
− nljm j
l3 + 2 sˆ3 .B nljm j
2mo c

(1.10)

Hay:

(

)

eB
−
E (1) =
nljm j Jˆ3 + sˆ3 nljm j
2m c

(

eB
−
E (1) =
m j  + nljm j sˆ3 nljm j
2m c

)

(1.11)





Để tính nljm j sˆ3 nljm j ta chiếu s lên Jˆ rồi chiếu lên trục Oz ta có:
Thiếu hình 4
2 2 2

J
−l − s
   
   s2 +

 J s ( s + l ) s 2 + s .l
2
=
s j s=
.
=
=
J
J
J
J

Ta dễ dàng tìm được biểu thức tính s 3 :
  
J2 + s2 −l 2
=
s3 s=
J3
j cos θ jz
2J 2

(1.12)

Suy ra:
nljm j sˆ3 nljm j =

j ( j + 1) + s ( s + 1) − l (l + 1)
mj
2 j ( j + 1)

Từ (1.11) ta tìm được bổ chính năng lượng:
eBm j  
j ( j + 1) + s ( s + 1) − l (l + 1) 
E (1) =
−
1 +

2m c 
2 j ( j + 1)


Hay:
E (1) = −


Trong đó g= 1 +


eBm j 
2m c

(1.13)

g,

j ( j + 1) + s ( s + 1) − l (l + 1) 
 là thừa số Landé.
2 j ( j + 1)


8


Năng lượng của nguyên tử hydro trong phép gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn
được xác định bằng biểu thức:
Enjlm
= Enj −

eB
gm,
2m c

(1.14)

Trong đó m =± j; ±( j − 1);...
Như vậy, trong từ trường suy biến bội (2j+1) hoàn toàn bị khử. Độ dịch của mức xảy ra
đối với mức không nhiễu loạn Enj . Độ tách các mức:
eB
∆E = g ,
2µ c

(1.15)

Tỉ lệ với từ trường và thừa số Landé g; thừa số này phụ huộc các số lượng tử j, l, s.
Nếu không xét tới spin thì thừa số Landé g=1. Ki đó bổ chính năng lượng bằng:
E (1) = −

eB
m,
2m c

eB

Trong đó m =±l ; ±(l − 1);... độctách mức là ∆E = .
2µ c
Như vậy, từ trường càng lớn thì độ tách càng rộng. Khi đặt nguyên tử hydro trong từ
trường yếu thì độ tách mức là hàm bậc nhất the B. Tuy nhiên, khi xét cả từ trường mạnh và cao
thì độ tách mức khơng cịn là hàm bậc nhất theo B nữa. Vấn đề này sẽ được trình bày ở chương
sau của luận văn.

9


CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN
TỬ HYDRO
Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên phương pháp
toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư
Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một
nhóm các bài tốn trong vậy lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường…
Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ
ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như:
1. Đơn giản hóa việc tính tốn các yếu tố ma trận phức tạp mà thơng thường phải tính tích
phân các hàm đặc biệt. Trong suốt q trình tính tốn, có thể sử dụng các phép biến đổi đại số
và những chương trình tính tốn như Maple, Mathematica,…trong luận văn này chương trình
tính viết bằng ngôn ngữ Fortran 90 được sử dụng để tự động hóa q trình tính tốn.
2. Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với từ trường ngoài có cường độ bất kỳ.
Với phương pháp tốn tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương
pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển không ngừng về phương pháp trong việc
giải các bài toán vật lý. Trong chương này, phương pháp toán tử sẽ được giới thiệu và được
ứng dụng trong tính tốn mức năng lượng cơ bản mức kích thích thứ nhất và mức kích thích
thứ hai của nguyên tử hydro như là một bước để kiểm chứng tính đúng đắn của phương pháp

toán tử.
Các bước cơ bản để giải bài toán bằng phương pháp toán tử:
1. Xây dựng bộ hàm cơ sở phù hợp cho bài toán.
2. Biểu diễn hamiltonian qua các toán tử sinh, hủy phù hợp với bộ hàm cơ sở vừa xây
dựng.
3. Tách hamiltonian thành hai phần:
=
Hˆ Hˆ o + Vˆ ,

10

(2.1)


Trong đó ma trận của tốn tử Hˆ o là một ma trận chéo và ma trận của toán tử Vˆ có thành
phần nằm trên đường chéo bằng khơng.
4. Khai triển ϕn theo bộ hàm đủ, trực giao, chuẩn hóa n :
ϕn= n + ∑ Ck k

(2.2)

k ≠n

Thành phần trung hòa Hˆ o khi tác dụng lên bộ hàm cơ sở sẽ không làm thay đổi trạng thái
đang xét. Thành phần khơng trung hịa Vˆ khi tác dụng lên bp65 hàm cơ sở sẽ làm thay đổi trạng
thái đang xét.
5. Dựa vào bộ hàm cơ sở tìm các yếu tố ma trận của toán tử Hˆ o và Vˆ .
6. Sử dụng sơ đồ vịng lặp để tính trị riêng và hàm riêng tương ứng của bài toán đang xét.
2.1. Phương trình Schrưdinger của bài tốn ngun tử hydro
Khi khơng có từ trường ngồi, phương trình Schrưdinger của bài tốn nguyên tử hydro có

dạng:
Hˆ ϕn = En ϕn ,

(2.3)

Hˆ= Tˆ + Uˆ

(2.4)

∂2
∂2 
1  ∂2
−  2+ 2+ 2
Tˆ =
2  ∂x ∂y ∂z 

(2.5)

Với:

Z
Uˆ = −
r

(2.6)

Trong biểu thức (2.6) tốn tử thế năng Uˆ có số hạng chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây
khó khăn khi sử dụng phương pháp toán tử. Cụ thể trong phương pháp toán tử các biến số động
lực sẽ được chuyển về biều diễn tốn tử sinh hủy và sau đó tác dụng lên vectơ trạng thái. Chính
vì thế các tốn tử này không thể ở dưới mẫu số. Để khắc phục khó khăn trên chúng tơi sử dụng

phép biến đổi Laplace như sau:

11


1
1
Uˆ =
− =
−
r
π

+∞

∫
0

e − tr
dt
t

2

(2.7)

Để sử dụng phương pháp toán tử, ta định nghĩa các tốn tử sinh hủy có dạng:
ω
ω
1 ∂  +

1 ∂ 
aˆ1 =  x +
 , aˆ1 =  x −
ω ∂x 
ω ∂x 
2
2
ω
ω
1 ∂  +
1 ∂ 
,
aˆ2 =  y +
 , aˆ2 =  y −
ω ∂y 
ω ∂y 
2
2

(2.8)

ω
ω
1 ∂  +
1 ∂ 
aˆ3 =  z +
 , aˆ3 =  z −
ω ∂z 
ω ∂z 
2

2

Trong đó, ω là tham số thực dương.
Các toán tử (2.8) thỏa mãn các hệ thức giao hoán:
 aˆi , aˆ +j  = δ ij ,

(2.9)

Với i, j=1, 2, 3. Đây chính là cơng cụ chính cho các tính tốn đại số sau này, hệ thức này
giúp ta đưa các toán tử sinh, hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm về phía bên trái
và các tốn tử hủy nằm về phíc bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này. Từ đây về
sau, ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của tốn tử.
Dựa vào các tính chất của giao hốn tử, bộ hàm cơ sở đối xứng cầu của bài toán nguyên
tử hydro được xây dựng và có dạng như sau:
n =

1
Aˆ + n 0
(2n + 1)!

3

Với Aˆ + = ∑ aˆ i+aˆ i+
i =1

Các biểu thức thường dùng Aˆ j n , Aˆ + j n và Nˆ n được viết như sau:
Aˆ j n
=

(2n + 1)!

n− j
(2n − 2 j + 1)!

12

(2.10)


(2n + 2 j + 1)!
n+ j
(2n + 1)!

Aˆ + j n
=

(2.11)

Nˆ =
n (4n + 3) n
3

ˆ ˆ
Với: Aˆ = ∑ aˆ=
i ai ; N
i =1

3

∑ (2n + 1) thỏa mãn các hệ thức giao hoán:
i =1

i

ˆ ;  Nˆ , Aˆ +  4 Aˆ +
 ˆ ˆ+ 
=
=
Nˆ ;  Aˆ , Nˆ  4 A
 A, A  2=



2.2. Biểu diễn hamiltonian qua toán tử sinh, hủy
Từ định nghĩa toán tử sinh, hủy (2.8), (2.9), các biểu thức (2.10), (2.11) ta có thể biểu diễn tốn
tử động năng (2.5) và toán tử thế năng Coulomb (2.7) qua các toán tử sinh, hủy:

(

1
− ω Aˆ + + Aˆ − Nˆ
Tˆ =
4

)

(2.12)
Z
Uˆ = −

π

∫

+∞

dt

0

1 − 2tω ( Aˆ + + Aˆ + Nˆ )
e
t

(2.13)

Dựa vào các tính chất của giao hoán tử của các toán tử, ta đưa thành phần mũ trong toán tử thế
năng tương tác Coulomb và dạng chuẩn [2]:
− ( A + A+ N )
2ω
=
Sˆ e=
e
t

Với: η =

ˆ+

ˆ

ˆ

−

η
1+ 2η

Aˆ +

e

η ˆ
1
A
− Nˆ 1n (1+ 2η ) −
1+ 2η
2

e

,

(2.14)

t
2ω

Khai triển toán tử Sˆ theo chuỗi Taylor, ta có:
2ω Z
Uˆ = −

i + j +∞

(−1)
∑∑
π =i 0=j 0 i ! j !
+∞ +∞

∫
0

i+ j−

1
2

1
− Nˆ 1n (1+ 2 t )
t
+i
ˆ
dt
A e 2
Aˆ j
i+ j
(1 + 2t )

(2.15)

Hay:

Uˆ = −

2ω Z

2− i − j (−1)i + j
∑∑ i ! j !
π =i 0=j 0
+∞ +∞

+∞

∫
0

i+ j−

1

t 2 ˆ + i − 12 Nˆ 1n (1+t ) ˆ j
dt
A e
A
(1 + t )i + j

13

(2.16)


Lúc này, hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro được viết thành:

(

1
Hˆ =
− ω Aˆ + + Aˆ − Nˆ
4

)
i+ j−

1

ω Z +∞ +∞ 2−i − j (−1)i + j +∞
t 2 ˆ + i − 12 Nˆ 1n (1+t ) ˆ j
−
dt
A
∑∑ i ! j ! ∫ (1 + t )i + j A e
π =i 0=j 0
0

(2.17)

Trong phương pháp toán tử, hamiltonian được tách thành hai phần:
=
Hˆ Hˆ o + Vˆ ,

(2.18)

Trong đó, Hˆ o là tốn tử chứa các thành phần trung hịa có chứa tốn tử Nˆ và hai tốn tử Aˆ ,
Aˆ + có số mũ bằng nhau, khi Hˆ o tác dụng lên một trạng thái sẽ khơng làm thay đổi trạng thái đó,

ma trận của toán tử Hˆ o là ma trận chéo. Tốn tử Vˆ là tốn tử các thành phần khơng trung hòa
khi tác dụng lên một trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét và ma trận của tốn tử Vˆ có
thành phần nằm trên đường chéo bằng không. Cụ thể:
1 ˆ
ωZ
=
Hˆ o
ωN −
4
π

2i −

+∞

1

2−2i
t 2 ˆ + i − 12 Nˆ 1n (1+t ) ˆ i
dt
A
∑
∫ (1 + t )2i A e
i = 0 i !i ! 0
+∞

(

1
Vˆ =
− ω Aˆ + + Aˆ
4

(2.19)

)

i+ j−

1

t 2 ˆ + i − 12 Nˆ 1n (1+t ) ˆ j
ω Z +∞ +∞ 2−i − j (−1)i + j +∞
A
−
∑∑ i ! j ! ∫ dt (1 + t )i + j A e
π =i 0 j ≠i
0

(2.20)

2.3. Tính yếu tố ma trận của Hˆ o và Vˆ
Từ (2.11), ta có:
Aˆ + j n
=

(2n + 1)!

n− j
(2n − 2 j + 1)!

(2.21)

=
Aˆ + j n

(2n + 2 j + 1)!
n+ j
(2n + 1)!

(2.22)

Nˆ =
n (4n + 3) n

14

(2.23)


Yếu tố ma trận của toán tử Hˆ o :
1
n Hˆ o n
=
ω n Nˆ n
4

o

H nn
=

2i −

−2 i +∞

1
2

1
− Nˆ 1n (1+ t )
ωZ
t
2
+i
ˆ
−
dt
A e 2
Aˆ i n
∑
2i
∫
π i =0 i !i ! 0 (1 + t )
+∞

(2.24)

Từ (2.19), (2.21), (2.22) và (2.23) suy ra:

ωZ
1
o
=
ω (4n + 3) −
H
nn
4
π
+∞

Tích phân I =

∫ dt
0

t

2i −

(1 + t )

1
2
2n+

+∞

2−2i (2n + 1)!
∑

∫ dt
i = 0 i !i ! (2n − 2i + 1)! 0
+∞

t

2i −

(1 + t )

1
2
2n+

3
2

(2.25)

là tích phân Euler loại 2 [phụ lục B] được xác định bằng công

3
2

thức:
+∞

∫
0

dt

Γ(a )Γ(b)
t a −1
=
( a +b )
Γ ( a + b)
(1 + t )

(2.26)

Suy ra:
1

a= 2i + 2

b = 2n − 2i + 1

3
 a + b = 2n +
2


(2.27)

1

Γ  2i +  Γ(2n − 2i + 1)
2
I= 

1

Γ  2n + 1 + 
2


(2.28)

Tính chất của hàm gamma:
Γ ( n + 1) =
n!

1  2−2 n +1 (2n − 1)!

Γn +  =
π
2
(n − 1)!


15

(2.29)


1
Γ  =
π
2

Ta tính được:

I=

24 n − 4i + 2 (2n)!(4i − 1)!(2n − 2i )!
(2i − 1)!(4n + 1)!

(2.30)

Do tích phân I ở (2.30) có chứa các số hạng (4i-3) và (2i-2)! Nên H nno được tách thành:
ωZ
1
o
H
ω (4n + 3) −
=
nn
4
π

+∞

∫ dt
0

t

−

1

2

(1 + t )

ω Z +∞ 2−2i (2n + 1)! +∞
−
dt
∑
π i =1 i !i ! (2n − 2i + 1)! ∫0

t

2n+

2i −

(1 + t )

3
2

1
2
2n+

3
2

(2.31)

Vậy, ta thu được yếu tố ma trận của H nno là:
1
ω Z 24 n +1 (2n)!(2n)!
=
ω (4n + 3) −
H
4
(4n + 1)!
π
o
nn

−

(2.32)

ω Z +∞ 24 n −6i + 2 (2n)!(2n + 1)!(4i − 1)!(2n − 2i )!
∑
π i =1 i !i !(2i − 1)!(4n + 1)!(2n − 2i + 1)!

Yếu tố ma trận của toán tử Vˆ :

(

1
Vnk =
− ω k Aˆ + n + k Aˆ n
4

)

i+ j−

1

1 ˆ
ω Z +∞ +∞ 2−i − j (−1)i + j +∞
t 2
ˆ + i e − 2 N 1n (1+t ) Aˆ j n
dt
k
A
−
∑∑ i ! j ! ∫ (1 + t )i + j
π =i 0 j ≠i
0

(2.33)

Thực hiện các phép tính tốn tương tự như đối với H nno , cùng với tính chất của tốn tử
delta Kronecker:
1,=
i j
δ=
ij

0, i ≠ j '
δ=
ij

(2.34)

Ta có:

16


(

1
Vnk =
2n(2n + 1)δ k ,n −1 + (2n + 2)(2n + 3)δ k ,n +1
−
4

−

Z ω

π

k

∑

=i 0( k < n )
i=
k −n( k >n)

)

(−1) n − k 25 k − n −6i + 2 (2k + 1)!(2n + 1)!(2n − 2k + 4i − 1)!(2k − 2i )!(n + k )!
i !(n − k + i )!(2k − 2i + 1)!(n − k + 2i − 1)!(2n + 2k + 1)!

(2.35)

2.4. Sử dụng sơ đồ vịng lặp tìm nghiệm chính xác bằng số của phương trình Schrưdinger
Phương trình Schrưdinger có dạng:

(

)

Hˆ ϕn =
Hˆ + Vˆ ϕn =
En ϕn

(2.36)

Khai triển ϕn theo bộ hàm đủ, chuẩn hóa n :
ϕn= n + ∑ Ck k

(2.37)

k ≠n

Phương trình Schrưdinger (2.36) được viết thành:







Hˆ o  ϕn =
n + ∑ Ck k  + Vˆ  ϕn =
n + ∑ Ck k  =
En  ϕn =
n + ∑ Ck k 
k ≠n
k ≠n
k ≠n







(2.38)

Nhân hai vế phương trình (2.38) với n :
n Hˆ o n + n Vˆ n + ∑ Ck n Vˆ k =
En

(2.39)

k ≠n

En(0) + Vnn + ∑ CkVnk =
En

(2.40)

k ≠n

Nhân hai vế phương trình (2.38) với m ≠ n :

∑C
k ≠n

k

m Hˆ o k + m Vˆ n + ∑ Ck m Vˆ k =
Cm Em

(2.41)

Cm Em(0) + Vnm + ∑ CkVkm =
Cm En

(2.42)

k ≠n

k ≠n

Suy ra:
Cm =

Vnm + ∑ CkVkm
k ≠n

En − Em(0)

17

(2.43)


En = Em(0) + Vnm + ∑ CkVnk

(2.44)

k ≠n

Các biểu thức (2.43) và (2.44) là hai biểu thức chính trong sơ đồ vịng lặp được sử dụng
để tìm nghiệm chính xác bằng số của phương trình Schrưdinger.
2.5. Lưu đồ thuật giải chương trình tính mức năng lượng của ngun tử hydro
Để giải phương trình Schrưdinger theo phương pháp tốn tử kết hợp với sơ đồ vịng lặp,
ta dùng chương trình SOLVE ENEGY[phụ lục D]. Chương trình này được viết bằng ngơn ngữ
Fortran 90 với thuật giải có thể mơ tả khái quát thông qua các bước sau:
Trước hết, lập chương trình con tính các yếu tố ma trận của Hˆ o , Vˆ
Từ các biểu thức (2.32) có thể viết lại thành
=
H nno H Ioω − H IIo ω ,

(2.45)

Trong đó
=
H Io

=
H
o
II

1
(4n + 3)
4


Z  22 n +1 (2n)! n 2 n − 4 j +1 (2n + 1)! (4 j − 1)!!
1
+ ∑2


2
( j !) (4n + 1)!! 2n − 2 j + 1 
π  (4n + 1)!! j =1

(2.46)

Từ các biểu thức (2.35) có thể viết lại thành
V=
VI ω − VII ω ,
nk

(2.47)

Trong đó

(

1
2n(2n + 1)δ k ,n −1 + (2n + 2)(2n + 3)δ k ,n +1
VI =
−
4

VII =

k

Z

π =i

∑

0( k < n )
i=
k −n( k >n)

)

( −1)n−k 23 k −n−4 i +1 (2 k +1)!(2 n +1)!×
(2 n − 2 k + 4 i −1)!!
×
i !(2 k + 2 n +1)!!( n − k + i )!(2 k − 2 i +1)

(2.48)

Tiếp theo, lập chương trình con tính năng lượng theo sơ đồ vịng lặp các
biểu thức (2.43), (2.44).

18


Cm =

Vnm + ∑ CkVkm
k ≠n

En − Em(0)

; En = En(0) + Vnn + ∑ CkVnk
k ≠n

Tham số ω ở (2.45), (2.47) là tham số tự do. Tham số này ảnh hưởng đến tính hội tụ của

(H )
nghiệm theo sơ đồ vịng lặp [7]. Ở đây, chúng tơi dùng ω =
4(H )
o
II

2

o 2
I

Ta sử dụng lưu đồ thuật giải biểu diễn dưới đây:

19

, khi đó En( o ) sẽ đạt cực trị.


Chương trình cho ra kết quả ở bảng 2.1 như sau:
Bảng 2.1 Kết quả các mức năng lượng thấp của nguyên tử hydro theo phương pháp toán
tử
Mức năng lượng

Năng lượng E n

Cơ bản (n=0)

0.49999

Kích thích thứ nhất (n=1)

0.12499

Kích thích thứ hai (n=2)

0.05555

Từ bảng 2.1 cho thấy bằng phương pháp toán tử kết hợp với phép biến đổi Laplace và sử
dụng sơ đồ vòng lặp ta thu được các mức năng lượng cơ bản, kích thích thứ nhất, kích thích thứ
hai của nguyên tử hydro với sai số chấp nhặn được, nếu tiếp tục tăng số vịng lặp lên thì kết quả

thu được sẽ tiến đến nghiệm chính xác của cơ học lượng tử. Đến đây ta có thể khẳng định tính
đúng đắn của phương pháp.
Như vậy kết quả trong chương này cho ta kết luận:
1. Phương pháp toán tử kết hợp phép biến đổi Laplace ứng dụng cho việc giải phương
trình Schrưdinger, cho các mức năng lượng của ngun tử hydro, với sơ đồ vòng lặp ta thu
được nghiệm hội tụ về giá trị chính xác, ta gọi là nghiệm chính xác bằng số.
2. Vì cách giải rất tổng qt, khơng cần tính đến đặc điểm riêng của hamiltonian, cho nên
ta hy vọng là phương pháp này áp dụng cho các bài toán nguyên tử khác.
3. Kết quả trên cho thấy cách tách hamiltonian không phụ thuộc vào đặc điểm vật lý của
hệ, nên ta sẽ áp dụng để khảo sát hiệu ứng Zemann trong chương tiếp theo.

20


CHƯƠNG 3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ KHẢO SÁT
HIỆU ỨNG ZEEMAN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Ở MỨC NĂNG
LƯỢNG KÍCH THÍCH CAO

Ở chương 2, phương pháp tốn tử đã được kết hợp với phép biến đổi laplace để tìm
nghiệm chính xác bằng số của phương trình Schrưdinger cho bài tốn ngun từ hydro khơng
có trường ngồi. Kết quả cho thấy, cùng với chương trình tính SOLVE ENERGY[phụ lục D],
phương pháp tốn tử có thế mạnh trong việc giải nghiệm chính xác bằng số. Hơn nữa, phương
pháp nhiễu loạn chỉ sử dụng được khi trường ngoài là yếu so với tương tác Coulomb, trong khi
phương pháp toán tử với sơ đồ vịng lặp để giải quyết bài tốn có trường ngồi với cường độ
bất kỳ một cách hữu hiệu. Ưu điểm này thể hiện thông qua việc giải quyết thành công bài toán
nguyên tử hydro trong từ trường bất kỳ ở mức cơ bản [7] và mức kích thích thứ nhất. Trong
chương 3 này, phương pháp toán tử sẽ được áp dụng để khảo sát hiệu ứng Zeeman của nguyên
tử hydro ở mức năng lượng kích thích cao hơn.
Khi khơng có từ trường ngồi, bài tốn ngun tử hydro có tính chất đối xứng cầu nên bộ
hàm cơ sở đối xứng cầu được dùng đề giải quyết bài toán, nhưng khi có mặt từ trường đồng

nhất, tính đối xứng cầu mất đi, thay vào đó tính đối xứng trụ được thiết lập. Vì thế trong
chương này, bộ hàm cơ sở có tính đối xứng trụ sẽ được dùng để giải quyết bài toán.
Những bước tiến hành tương tự như với chương 2, hamiltonian của bài toán nguyên tử
hydro trong từ trường được tách thành:
=
Hˆ Hˆ o + Vˆ ,

trong đó: Tốn tử Hˆ o là tốn tử trung hịa có chứa các thành phần trung hịa: tốn tử Nˆ và hai
tốn xù Aˆ , Aˆ + có số mũ bằng nhau, khi Hˆ o tác dụng lên một trạng thái sẽ khơng làm thay đổi
trạng thái đó, ma trận của tốn tử Hˆ o là một ma trận chéo. Toán tử K là tốn tử khơng trung hịa
có chứa các thành phần khơng trung hịa: hai tốn tử Aˆ , Aˆ + có số mũ khác nhau, khi tác dụng lên
một trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét và ma trận của tốn tử Vˆ có thành phần nằm
trên đường chéo bằng không.

21


Sử dụng sơ đồ vịng lặp để tìm ra năng lượng kích thích bậc cao của nguyên tử hydro
trong từ trường đồng nhất có cường độ bất kỳ và so sánh kết quả với kết quả của các tác giả
khác. Sau đó, ta có khảo sát sự tách vạch quang phổ và chuyển mức của nguyên tử hydro trong
từ trường đồng nhất có cường độ bất kỳ.
3.1.Phương trình Schrưdinger của bài tốn ngun tử hydro trong từ trường
Phương trình Schrưdinger của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường khi khơng xét đến
spin có dạng:
Hˆ ϕn = En ϕn

(3.1)

Với
=

Hˆ

 2
 

1   e ˆ
1   2 e  ˆ ˆ  e2 ˆ 2  ˆ
ˆ
U
pˆ − pˆ . A + A. pˆ + 2 A  + U
 pˆ − A  +=
2µ 
c 
2 µ 
c
c


(

)

(3.2)

Trong hệ không thứ nguyên, từ trường không thứ nguyên γ được xác định bằng biểu thức
B=

2 µ cE∞
γ . Để đánh giá độ lớn tương đối của từ trường so với tương tác Coulomb, ta đưa ra
e

phép so sánh sau: thang năng lượng từ trường được đặc trưng bởi giá trị ωc =

eB
, trong khi
µc

năng lượng tương tác Coulomb được đặc trưng bởi năng lượng Rydberg E∞ . Với E∞ = hcRy ; Ry
là hằng số Rydberg.
Như vây hệ số so sánh giữa hai thang năng lượng là γ =

ωc
. Từ đây ta có thể gọi từ
2 Eω

trường yếu ứng với giá trị γ ≤ 2.10−3 , từ trường mạnh ứng với giá trị 2.10−3 < γ ≤ 2 và từ
trường cao γ > 2 [10], với γ = 1 tương ứng B =2.35 ×109 G =2.35 ×105 T
Như vậy, hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất hướng theo
trục Oz trong hệ không thứ nguyên có dạng:
1  ∂2
Z
∂2
∂2  1 ˆ 1 2 2
ˆ
H=
−  2 + 2 + 2  + γ l3 + γ ( x + y 2 ) −
2
2  ∂x ∂y ∂z  2
8
x + y2 + z2

22

(3.3)


Tiếp theo, hamiltonian (3.3) được biểu diễn các toán tử sinh hủy và được tách thành hai
thành phần: trung hòa và khơng trung hịa sau đó sử dụng sơ đồng vịng lặp để tìm nghiệm của
phương trình (3.1).
Dùng bộ hàm cơ sở đối xứng trụ của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường
n1n2 , ± m
=

(m)!
Aˆ + n1 A3+ n2 00, ± m
2 (n1 !)(2n2 )!(m + n1 )!
2 n1

(3.4)

Trạng thái n của nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất hướng theo trục Oz, được
định nghĩa thông qua trạng thái n1n2 , ± m như sau:
n=n 1 +n 2 +m,
với n 1 ,n 2 ,m=0,1,2…
Xét từng tường hợp cụ thể

23

(3.5)

Như vậy, ứng với một trạn thái n sẽ có bậc suy biến là:
g= (n + 1) 2

Với: n=0,1,2…
Với cách định nghĩa này, bài toán nguyên tử hydro trong phương pháp tốn tử có bậc suy
biến trùng với bậc suy biến của bài toán nguyên tử hydro được giải theo cách truyền thống
trong cơ học lượng tử.
3.2. Biểu diễn hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường qua các toán tử
sinh hủy
Hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất hướng theo trục Oz
có dạng (3.3). Ta sẽ biểu diễn Hˆ qua các toán tử sinh, hủy trong bộ hàm cơ sở đối xứng trụ.
ω ˆ+ ˆ ˆ ω ˆ+ ˆ
γ
γ
Hˆ =
−
A + A− N −
A3 + A3 − Nˆ 3 + lˆ3 +
Aˆ + + Aˆ + Nˆ
4
4
2
16ω

(

)

−

Z

π

(

∫

+∞

0

)

2

(

)

(3.7)

1 − 2ω ( Aˆ + + Aˆ + Nˆ ) − 2ω ( Aˆ3+ + Aˆ3+ Nˆ 3 )
dt
e
e
t
t

t

Sử dụng các định nghĩa toán tử:
ˆ Aˆ + Aˆ
A
=
1
2

(3.8)

+
Aˆ=
Aˆ 1+ + Aˆ 2+

(3.9)

ˆ Nˆ + Nˆ
N
=
1
2

(3.10)

Trong đó:
ˆ
=
=
Aˆa aˆa aˆa ; =

Aˆ a+ aˆ a+ aˆ a+ ; N
2nˆa + 1
a

24

(3.11)


Thỏa mãn cá hệ thức giao hoán tử:
ˆ ,  Nˆ , Aˆ +  4 Aˆ +
 Aˆ , Aˆ +  2=
=
=
Nˆ ,  Aˆ , Nˆ  4 A





(3.12)

 Aˆ3 , Aˆ3+  2=
=
Nˆ 3 ,  Aˆ3 , Nˆ 3  4=
Aˆ3 ,  Nˆ 3 , Aˆ3+  4 Aˆ3+ ,



Ta đưa thành phần e

−

(

t ˆ+ ˆ ˆ
A + A+ N
2ω

−

)

(

e

−

t ˆ+ ˆ ˆ
A + A+ N
2ω

(

t ˆ+ ˆ ˆ
A3 + A3 + N3
2ω

)

=
Sˆ e= e

−

Với: η =

ˆ+

ˆ

ˆ

trong hamiltonian (3.7) về dạng chuẩn:

η
1+ 2η

− ( A3 + A3 + N3 )
2ω
Sˆ3 e=
e
=
t

)

−

η ˆ
Aˆ − 1 N 1n (1+ 2η ) −
A
+
1
2η
2

η
1+ 2η

e

e

Aˆ3+

η ˆ
1
A3
− Nˆ 3 1n (1+ 2η ) −
1+ 2η
2

e

(3.13)

e

(3.14)

t
2ω

Kết quả hamiltonian (3.7) được viết thành:
ω ˆ+ ˆ ˆ
ω ˆ+ ˆ
γ
γ
Hˆ =
−
A + A− N −4
A3 + A3 − Nˆ 3 + lˆ3 +
Aˆ + + Aˆ + Nˆ
4
4
2
16ω

(

)

(

)

2

(

)

 (−1) j +i + h + k 2− ( j +i + h + k )

×


j !i !h !k !

Z ω +∞ +∞ 
−
1
∑
∑
 +∞

j +i + h + k −
1
1
π =
2
j , i 0=
h,k 0
− Nˆ 1n (1+ t ) − Nˆ 3 1n (1+ t )
t


ˆ + j ˆ +h 2

e 2
Aˆ i Aˆ3k 
 ∫ dt (1 + t ) j +i + h + k A A3 e
0


(3.15)

Trong phương pháp toán tử, hamiltonian (3.15) được tách thành hai thành phần:
=
Hˆ Hˆ o + Vˆ ,

(3.16)

trong đó: tốn tử Hˆ o là tốn tử trung hịa có chứa các thành phần trung hịa: tốn tử Nˆ và hai
tốn từ Aˆ , Aˆ + có số mũ bằng nhau, khi Hˆ o tác dụng lên một trạng thái sẽ không làm thay đổi
trạng thái đó, ma trận của tốn từ Hˆ o là một ma trận chéo; toán tử Vˆ là toán tử khơng trung hịa
có chứa các thành phần khơng trung hịa: hai tốn tử Aˆ , Aˆ + có số mũ khác nhau, khi tác dụng lên
một trạng thái sẽ làm thay đồi trạng thái đang xét và ma trận của tốn từ Vˆ có thành phần nằm
trên đường chéo bằng không.

25