Vành hoàn thiện và nửa hoàn thiện và các đặc trưng đồng điều của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Văn Thị Kim Xuyến

VÀNH HỒN THIỆN VÀ NỬA HOÀN
THIỆN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU
CỦA CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Văn Thị Kim Xuyến

VÀNH HỒN THIỆN VÀ NỬA HOÀN THIỆN
VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU
CỦA CHÚNG
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI NĨI ĐẦU

Lý thuyết về các mơđun trên vành Artin một phía đã phát triển rất mạnh mẽ. Đến thập
niên 1960, một phần lý thuyết này đã được mở rộng đến vành nửa hoàn thiện và vành hoàn
thiện phải (trái). Điều này thật sự có ý nghĩa đối với đại số đồng điều bởi các đặc trưng khá thú
vị của chúng: mọi môđun (trái, phải) hữu hạn sinh trên vành nửa hồn thiện đều có cái phủ xạ
ảnh, mọi mơđun phải dẹt trên vành hồn thiện phải đều là mơđun xạ ảnh… Những đặc trưng
khá thú vị này đã đem lại nhiều ứng dụng cho phương pháp đồng điều trong lý thuyết vành.
Vành nửa hoàn thiện và vành hoàn thiện phải đều được khái quát từ vành Artin một
phía. Hơn nữa, chúng còn được khái quát từ vành nửa nguyên sơ. Ta đã biết vành R được gọi là
vành nửa nguyên sơ nếu R radR là vành nửa đơn và radR là lũy linh. Sự xuất hiện của vành
hoàn thiện phải và vành nửa hoàn thiện là kết quả của việc xem xét tính lũy linh của radR .
Ngồi ra, vành hồn thiện phải cịn được đặc trưng bởi điều kiện dây chuyền giảm (DCC) trên
các iđêan trái chính. Mối quan hệ giữa hai lớp vành này với các lớp vành cơ bản được thể hiện
qua sơ đồ sau:
{vành Artin một phía}
∩
{vành nửa ngun sơ}
∩
{vành hồn thiện phải}
∩
{vành địa phương} ⊂ {vành nửa hoàn thiện} ⊂ {vành nửa địa phương}

Luận văn nghiên cứu mối quan hệ giữa lớp các vành hoàn thiện, nửa hoàn thiện với các
lớp vành Artin trái (phải), vành nửa nguyên sơ, vành nửa địa phương, vành địa phương, đồng
thời nghiên cứu các đặc trưng đồng điều của vành nửa hoàn thiện và vành hoàn thiện phải.

Luận văn gồm ba chương:
- Chương 1: Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành và lý thuyết môđun

- Chương 2: Lớp các vành hoàn thiện, nửa hoàn thiện và mối quan hệ của chúng với các

lớp vành cơ bản

- Chương 3: Đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện và nửa hồn thiện
Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đối với PGS. TS Bùi Tường Trí, người đã trực
tiếp tận tình giúp đỡ và hướng dẫn luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cơ Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí
Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp tác giả làm quen dần
với việc nghiên cứu khoa học.
Vì kiến thức bản thân cịn nhiều hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi nhiều thiếu
sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cơ và sự góp ý chân thành của độc giả.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011
Văn Thị Kim Xuyến


Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU................................................................................................................... 3
Mục lục .............................................................................................................................. 5
Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ
THUYẾT MƠĐUN........................................................................................................... 8
1.1. Định nghĩa mơđun, mơđun con .......................................................................................................... 8
1.1.1. Định nghĩa môđun ...................................................................................................................... 8
1.1.2. Định nghĩa môđun con ............................................................................................................... 8
1.1.3. Ann(M) ....................................................................................................................................... 9
1.2. Đồng cấu môđun ................................................................................................................................ 9
1.3. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC) ...................................... 10

1.3.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) ........................................................................................... 10
1.3.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC) .......................................................................................... 10
1.4. Môđun Noether và môđun Artin ...................................................................................................... 10
1.5. Vành Noether và vành Artin ............................................................................................................ 11
1.5.1. Vành Noether ........................................................................................................................... 11
1.5.2. Vành Artin ................................................................................................................................ 11
1.6. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp ......................................................................................................... 11
1.7. Dãy khớp .......................................................................................................................................... 13
1.7.1. Định nghĩa dãy khớp ................................................................................................................ 13
1.7.2. Định nghĩa dãy khớp ngắn ....................................................................................................... 13
1.7.3. Định nghĩa dãy khớp ngắn chẻ ................................................................................................. 13
1.7.4. Một số tính chất ........................................................................................................................ 13
1.8. Môđun tự do ..................................................................................................................................... 14
1.9. Môđun xạ ảnh................................................................................................................................... 14
1.9.1. Định nghĩa mơđun xạ ảnh ........................................................................................................ 14
1.9.2. Một số tính chất ........................................................................................................................ 14
1.10. Hàm tử tenxơ.................................................................................................................................. 14
1.11. Môđun dẹt ...................................................................................................................................... 16
1.12. Môđun đơn, môđun nửa đơn .......................................................................................................... 17
1.12.1. Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui) ......................................................................... 17
1.12.2. Định nghĩa mơđun nửa đơn .................................................................................................... 17
1.12.3. Tính chất ................................................................................................................................. 17


1.13. Vành đơn, vành nửa đơn ................................................................................................................ 17
1.14. Vành nguyên .................................................................................................................................. 17
1.15. Vành chia ....................................................................................................................................... 17
1.16. Vành nguyên thủy .......................................................................................................................... 18
1.17. Tập nil , tập lũy linh ....................................................................................................................... 18
1.18. Radical Jacobson của một vành ..................................................................................................... 18

1.18.1. Định nghĩa radical Jacobson của một vành ............................................................................ 18
1.18.2. Định nghĩa vành J-nửa đơn (vành nguyên thủy) .................................................................... 18
1.18.3. Một số tính chất ...................................................................................................................... 18
1.19. Vành nửa nguyên sơ....................................................................................................................... 19
1.20. Iđêan nguyên tố, iđêan nửa nguyên tố ........................................................................................... 20
1.21. Radical nguyên tố của một vành .................................................................................................... 20
1.22. Vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố ............................................................................................ 20
1.23. Tập lũy linh địa phương ................................................................................................................. 21
1.24. Định nghĩa phần tử lũy đẳng .......................................................................................................... 21
1.25. Vành địa phương ............................................................................................................................ 21
1.26. Mơđun khơng phân tích được, mơđun thật sự khơng phân tích được............................................ 21
1.27. Vành nửa địa phương ..................................................................................................................... 22
1.28. Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng ................................................................................................. 23

Chương 2: LỚP CÁC VÀNH HOÀN THIỆN, NỬA HOÀN THIỆN VÀ MỐI
QUAN HỆ CỦA CHÚNG VỚI CÁC LỚP VÀNH CƠ BẢN ..................................... 27
2.1. Vành nửa hoàn thiện ........................................................................................................................ 27
2.2. Vành hoàn thiện ............................................................................................................................... 34
2.3. Một số nghiên cứu về các phát biểu tương đương của định lí Bass ................................................. 41

Chương 3: ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA VÀNH NỬA HOÀN THIỆN VÀ
VÀNH HỒN THIỆN ................................................................................................... 44
3.1. Mơđun con đủ bé.............................................................................................................................. 44
3.1.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 44
3.2.2. Một số nhận xét ........................................................................................................................ 44
3.2. Radical của môđun ........................................................................................................................... 45
3.2.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 45
3.2.2. Nhận xét 3.2 ............................................................................................................................. 45
3.3. Một số tính chất................................................................................................................................ 45
3.4. Cái phủ xạ ảnh.................................................................................................................................. 47

3.4.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 47
3.4.2. Một số nhận xét về cái phủ xạ ảnh ........................................................................................... 48
3.5. Đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện và vành nửa hoàn thiện ................................................. 49
3.6. Một số nghiên cứu thêm về các đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện phải và vành nửa hoàn
thiện......................................................................................................................................................... 59

Kết luận ........................................................................................................................... 61
Tài liệu tham khảo .......................................................................................................... 62


Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ
THUYẾT MƠĐUN

1.1. Định nghĩa mơđun, mơđun con
1.1.1. Định nghĩa mơđun
Cho R là vành có đơn vị. Nhóm cộng Aben ( M , + ) được gọi là một môđun phải trên
vành R nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R, tức có ỏnh x à :M ì R M m
kt qu µ ( x, r ) ta ký hiệu là xr và gọi là tích của phần x với hệ tử r, ngoài ra các tiên đề sau
cần được thỏa mãn:
M 1 : x.1 = x
M 2 : x ( rs ) = ( xr ) s
M 3 : ( x + y ) r =xr + yr
M 4 : x ( r + s ) = xr + xs
với mọi r , s ∈ R và mọi x, y ∈ M .
Ký hiệu: M R , ta gọi M là R-môđun phải, R là vành hệ tử.
Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M ta đã xác định
được một tác động trái từ R.
1.1.2. Định nghĩa môđun con

Cho A, B là các tập con của môđun M và K ⊂ R ( với A, B, K ≠ ∅ ), ta định nghĩa:
A + B = {a + b a ∈ A, b ∈ B}
KA =

{ra r ∈ K , a ∈ A}

Tập A ≠ ∅ trong X được gọi là bộ phận ổn định của M nếu A + A ⊂ A và RA ⊂ A .
Mỗi bộ phận ổn định A của mơđun M, cùng với các phép tốn cảm sinh lập thành một
R-môđun và ta gọi A là môđun con của mơđun M.
Nhận xét: - Mỗi mơđun bất kỳ ln có hai mơđun con tầm thường là (0) và chính nó.
- Mỗi vành R đều là R-môđun trái (phải) với các mơđun con chính là các iđêan
trái (phải) của R.


1.1.3. Ann(M)
Cho M là R-môđun, ta định nghĩa ann(M) là tập tất cả các phần tử của vành hệ tử R,
linh hóa M. Cụ thể:
- Nếu M là R-mơđun phải thì ann ( M ) =
( 0 )} .
{r ∈ R Mr =
- Nếu M là R-mơđun trái thì ann ( M ) =
( 0 )} .
{r ∈ R rM =
1.2. Đồng cấu môđun
Định nghĩa. Cho M, M’ là các R-môđun. Ánh xạ f : M → M ' được gọi là R-đồng cấu
nếu f ( r1 x1 + r2 x2 )= r1 f ( x1 ) + r2 f ( x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ M và với mọi r1 , r2 ∈ R .
Để giản tiện về mặt ngôn ngữ, các R-đồng cấu được gọi một cách đơn giản là các
đồng cấu.
Khi f là đồng cấu, ta định nghĩa:
+ Ảnh của f là =

f (M )

{ f ( x) x ∈ M }.

+ Hạt nhân của f là Kerf =
f −1 ( 0 ) =
0} .
{x ∈ M f ( x ) =
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f đồng thời là đơn ánh.
Đồng cấu f được gọi là toàn cấu nếu f đồng thời là toàn ánh.
Nếu f vừa là đơn cấu vừa là tồn cấu thì f được gọi là đẳng cấu.
Tính chất
- Cho f : M → M ' là đồng cấu. Khi đó nếu N là mơđun con của M thì f(N) là mơ đun
con của M’, cịn nếu N’ là mơđun con của M’ thì f −1 ( N ' ) là mơđun con của M.
- Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu. Tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)
là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).
- Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = (0).
-Nếu f : M → M ' là một đẳng cấu thì f −1 : M ' → M cũng là một đẳng cấu.
- Nếu f : M → M ' là một toàn cấu thì M Kerf ≅ Y .


1.3. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC)
1.3.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC)
Một họ các tập con {Ci }i∈I của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền
tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt:
Ci1 ⊂ Ci2 ⊂ ...
≠

≠

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(1) Mọi dây chuyền tăng Ci ⊆ Ci ⊆ ... trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n ∈  sao cho
1

2

Cin C=
C=
...
=
in+1
in+2

(2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại.
1.3.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC)
Một họ các tập con {Ci }i∈I của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền
giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt:
Ci1 ⊃ Ci2 ⊃ ...
≠

≠

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(1) Mọi dây chuyền giảm Ci ⊇ Ci ⊇ ... trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n ∈  sao
1

2

cho =
...

Ci C=
C=
i
i
n

n+1

n+ 2

(2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu.
1.4. Môđun Noether và môđun Artin
Cho vành R và M là R-mơđun trái (hoặc R-mơđun phải). Ta nói M là Noether (Artin) nếu họ
gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC).
Tính chất: - Mơđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.
- Môđun M vừa Noether vừa Artin khi và chỉ khi M có chuỗi hợp thành (hữu
hạn)


1.5. Vành Noether và vành Artin
1.5.1. Vành Noether
Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được xem như Rmơđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong
các điều kiện sau thỏa mãn:
-

Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng.

-

Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại.

1.5.2. Vành Artin
Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như R-mơđun
trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều
kiện sau thỏa mãn:
-

Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng.

-

Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu.

1.6. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp
Tích trực tiếp của họ các môđun
Cho họ bất kỳ khác rỗng các môđun {M i }i∈I trên cùng vành hệ tử R, ta xác định trên tập tích
Đêcac

∏M
i∈I

i

các phép tốn sau:

( xi ) + ( xi' ) =( xi + xi' )
r ( xi ) = ( rxi )
với mọi ( xi ) , ( xi' ) ∈ ∏ M i và mọi r ∈ R .
i∈I

Với các phép tốn trên,

∏M
i∈I

Nó cũng được ký hiệu là

∏M
i∈I

i

i

là một môđun và được gọi là tích trực tiếp của họ {M i }i∈I .

hay đơn giản hơn là

∏M

i

.

Với mỗi k ∈ I , ta có cặp phép nhúng jk : M k → ∏ M i và phép chiếu pk : ∏ M i → M k được
xác định bởi các công thức sau:

(

)

● jk ( xk ) =  jk ( xk )  i trong đó


 x khi i = k
 jk ( xk )  i =  k
0 khi i ≠ k

với mọi xk ∈ M k .

● pk ( xi )  = xk , với mọi ( xi ) ∈ ∏ M i .
Các phép nhúng jk là đơn cấu và các phép chiếu pk là các toàn cấu. Mối quan hệ giữa phép
nhúng và phép chiếu được mô tả bởi công thức:
pk jk = 1X k và pk jl = 0 nếu k ≠ l .

Hơn nữa, một phần tử bất kỳ x ∈ ∏ M i là hoàn toàn xác định bởi bộ giá trị chiếu của nó. Cụ
i∈I

thể: x = ( pi ( x ) )i∈I .
Cho các họ mơđun {M i } , {M i' } có cùng tập chỉ số I và họ các đồng cấu

{ f :M
i

→ M i' } .

i

i∈I

Khi đó đồng cấu f : ∏ M i → ∏ M i' được xác định bởi công thức
f ( xi )i∈I  = ( fi ( xi ) )i∈I , với mọi ( xi ) ∈ ∏ M i

được gọi là tích trực tiếp của họ đồng cấu { fi }i∈I , và được ký hiệu là f = ∏ fi .
Tổng trực tiếp của họ các môđun
Cho họ khác rỗng các môđun {M i }i∈I . Xét tập con của

∏M

i

gồm các bộ x = ( xi ) mà hầu

hết các thành phần xi = 0 , trừ ra một số hữu hạn. Đây là một môđun con của

∏M

i

và được

gọi là môđun tổng trực tiếp của họ {M i } . Ký hiệu: ⊕ M i hay đơn giản hơn là ⊕ M i .
i∈I

Khi thu hẹp f = ∏ fi trên tổng trực tiếp ⊕ M i ta được một đồng cấu gọi là tổng trực tiếp
của họ các đồng cấu { fi }i∈I , và ký hiệu là f = ⊕ fi .
Tổng trực tiếp trong của họ các môđun con
Cho họ {M i }i∈I các môđun con của môđun M thỏa:
i)

∑M

i

=M ,

ii) M i ∩ ∑ M=j

( 0 ) , ∀i ∈ I .

j ≠i

Khi đó ta có M ≅ ⊕ M i , và môđun M được gọi là tổng trực tiếp trong của họ môđun {M i } và
mỗi môđun M i được gọi là hạng tử trực tiếp của M.


1.7. Dãy khớp
1.7.1. Định nghĩa dãy khớp
Dãy các đồng cấu môđun (hữu hạn hay vô hạn)
f

g

(1)

... → A → B → C → ...

được gọi là khớp tại môđun B nếu Imf = Kerg .
Dãy đồng cấu (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi mơđun trung gian.
1.7.2. Định nghĩa dãy khớp ngắn

Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng:
χ

σ

( 2)

0 → A→ B →C → 0

Nhận xét: Dãy (2) là khớp khi và chỉ khi χ là đơn cấu, σ là toàn cấu, và
Imχ = Kerσ .

1.7.3. Định nghĩa dãy khớp ngắn chẻ
Cho dãy khớp dạng (1). Dãy khớp này được gọi là chẻ ra tại B nếu Imf là hạng tử trực
tiếp của B, tức tồn tại môđun con B 1 sao cho:=
B Im f ⊕ B1 .
Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian.
Dãy khớp ngắn (2) là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B.
1.7.4. Một số tính chất
χ

σ

Định lí 1.1. Đối với mỗi dãy khớp ngắn 0 → A → B → C → 0 , ba phát biểu sau là tương
đương:
(1) Dãy khớp là chẻ ra;
(2) Đồng cấu χ có nghịch đảo trái;
(3) Đồng cấu σ có nghịch đảo phải.
f

g

Hệ quả 1.1. Nếu dãy khớp ... → A → B → C → ... chẻ ra tại B thì ta có:
B ≅ Imf ⊕ Img


1.8. Môđun tự do
Cho môđun M. Tập S ⊂ M được gọi là cơ sở của môđun M nếu S là hệ sinh của M đồng
thời S độc lập tuyến tính.
Mơđun có cơ sở được gọi là mơđun tự do.
1.9. Môđun xạ ảnh
1.9.1. Định nghĩa môđun xạ ảnh
Môđun P được gọi là mơđun xạ ảnh nếu với mọi tồn cấu σ :B → C , mỗi đồng cấu
f : P → C , tồn tại đồng cấu ϕ :P → B sao cho f = σϕ .

1.9.2. Một số tính chất
Định lí 1.2. Mỗi mơđun tự do đều là mơđun xạ ảnh.
Định lí 1.3. Tổng trực tiếp của họ mơđun P = ⊕ Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi mơđun
i∈I

thành phần Pi là xạ ảnh.
Định lí 1.4. Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu sau là tương đương:
(1) P là môđun xạ ảnh;
(2) Mỗi dãy khớp 0 → A → B → P → 0 là chẻ ra;
(3) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một mơđun tự do nào đó.
Định lí 1.5. Khi R là vành chính, R-mơđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P tự do.
1.10. Hàm tử tenxơ
Tích tenxơ hai môđun
Cho vành R, M R và R N lần lượt là các R-môđun phải và R-môđun trái, G là nhóm Aben.
Ánh xạ ϕ :M × N → G được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa:

i) ϕ là cộng tính, tức là:
ϕ ( x1 + x2 , y )= ϕ ( x1 , y ) + ϕ ( x2 , y ) ,
ϕ ( x, y1 + y=
ϕ ( x, y1 ) + ϕ ( x, y2 ) ,
2)

với mọi x, x1 , x2 ∈ M và mọi y, y1 , y2 ∈ N .
ii) ϕ là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên M và N’, tức là:
ϕ ( xr , y ) = ϕ ( x, ry )


với mọi r ∈ R và mọi x ∈ M , y ∈ N .
Tích tenxơ của hai mơđun M và N’ là các nhóm Aben, mà ta ký hiệu là M ⊗ M ' , sao cho
có ánh xạ song tuyến tính τ :M × N ' → M ⊗ N ' có tính phổ dụng đối với bất kỳ ánh xạ song
tuyến tính ϕ :M × N → G , tức là với mỗi ánh xạ song tuyến tính ϕ đó, tồn tại duy nhất đồng
cấu f : M ⊗ N → G thỏa mãn ϕ = f τ . Ánh xạ song tuyến tính τ khi đó được gọi là ánh xạ
tenxơ.
Tích tenxơ của hai mơđun là tồn tại duy nhất và sai khác một đẳng cấu.
Tính chất: Cho họ {M i }i∈I là họ các R-môđun phải và { N j } j∈J là họ các R-mơđun trái.

(

) (

)

Khi đó ta có: ⊕ M i ⊗ ⊕ N j ≅ ⊕
i∈I

j∈J

( i , j )∈I × J

(M

i

⊗ Nj ).

Tích tenxơ hai đồng cấu
Cho f : M R → M R' là đồng cấu R-môđun phải và g : R N → R N ' là đồng cấu các R-mơđun
trái. Tích tenxơ của f và g là đồng cấu f ⊗ g : M ⊗ N → M ' ⊗ N ' mà với mỗi phần tử sịnh
x ⊗ y ∈ M ⊗ N , ta có:

( f ⊗ g )( x ⊗ y =)

f ( x) ⊗ g ( y) .

Tính chất
- Tích tenxơ của hai đồng cấu đồng nhất là một đồng cấu đồng nhất.
f

g

f'

g'

- Nếu A → B → C là các đồng cấu R-môđun phải và A' → B ' → C ' là các đồng cấu R-mơđun
trái thì ( f ' f ) ⊗ ( g ' g ) =

( f '⊗ g ')( f ⊗ g ) .
- Tích tenxơ của hai đồng cấu có tính chất phân phối cả hai phía đối với phép cộng các
đồng cấu.
Định lí. Cho f : M R → M R' và g : R N → R N ' là các tồn cấu R-mơđun phải và R-mơđun
trái. Khi đó, tích tenxơ f ⊗ g : M ⊗ N → M ' ⊗ N ' là tồn cấu nhóm, đồng thời hạt nhân
Ker ( f ⊗ g ) là nhóm con của M ⊗ N được sinh bởi các phần tử x ⊗ y trong đó x ∈ Kerf hoặc
y ∈ Kerg .

Hàm tử tenxơ
Với mỗi R-môđun phải A, ta xây dựng một hàm tử
A ⊗ − : R Mod → Ab

như sau:


● Đặt mỗi vật X ∈ R Mod tương ứng với nhóm A ⊗ X .
● Đặt mỗi đồng cấu α : X → Y tương ứng với đồng cấu nhóm 1A ⊗ α : A ⊗ X → A ⊗ Y .
Tương tự, với mỗi R-môđun trái B, ta xây dựng hàm tử − ⊗ B : Mod R → Ab :
● Đặt mỗi vật X ∈ Mod R ứng với nhóm Aben X ⊗ B .
● Đặt mỗi đồng cấu α : X → Y ứng với đồng cấu nhóm α ⊗ 1B : X ⊗ B → Y ⊗ B .

( A ⊗ − ) và ( − ⊗ B ) là các hàm tử khớp về bên phải, tức là:
χ

σ

χ

σ

● Với mỗi dãy khớp các R-môđun trái: 0 → X → Y → Z → 0 ta có dãy sau là khớp:
1A ⊗ χ

1A ⊗σ

A ⊗ X → A ⊗Y → A ⊗ Z → 0 .

● Với mỗi dãy khớp các R-môđun phải: 0 → X → Y → Z → 0 ta có dãy sau là khớp:
χ ⊗1B

σ ⊗1B

X ⊗B → Y ⊗B → Z ⊗B →0.

Các hàm tử tenxơ ( A ⊗ − ) và ( − ⊗ B ) bảo tồn tính khớp chẻ của dãy khớp ngắn và chẻ.
1.11. Môđun dẹt
R-môđun phải M R được gọi là môđun dẹt nếu hàm tử M ⊗ R − là hàm tử khớp. Nói cách
khác, M R là môđun dẹt nếu với mỗi dãy khớp ngắn các R-môđun trái:
S :0 → A → B → C → 0

ta ln có được dãy các nhóm Aben sau đây là khớp:
M ⊗ R S :0 → M ⊗ R A → M ⊗ R B → M ⊗ R C → 0

Ta đã biết M ⊗ R − là hàm tử khớp về bên phải. Do đó, tính dẹt phải của M R tương đương
với: Nếu A → B là đơn cấu thì M ⊗ R A → M ⊗ R B cũng là đơn cấu.
Tính chất: - Tổng trực tiếp các môđun dẹt là môđun dẹt.
- RR luôn là môđun dẹt.
- Mọi môđun tự do đều là môđun dẹt.
- Hạng tử trực tiếp của môđun dẹt là môđun dẹt.
- Môđun xạ ảnh là môđun dẹt.

1.12. Môđun đơn, môđun nửa đơn
1.12.1. Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui)
R-môđun M được gọi là môđun đơn (hay mơđun bất khả qui) nếu M chỉ có hai
mơđun con tầm thường là (0) và M.
1.12.2. Định nghĩa môđun nửa đơn
R-môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay mơđun hồn tồn khả qui) nếu mọi
mơđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M.
1.12.3. Tính chất
Định lí 1.6. Đối với mỗi R-mơđun M, các phát biểu sau đây là tương đương:
(1) M là nửa đơn;
(2) M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn;
(3) M là tổng của các môđun con đơn.
1.13. Vành đơn, vành nửa đơn
Vành R ≠ ( 0 ) được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là môđun đơn (nửa đơn) trên chính
nó.
Định lí 1.7. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là R-môđun trái nửa đơn;
(2) Mọi R-môđun trái đều là môđun xạ ảnh;
(3) Mọi R-môđun trái hữu hạn sinh đều là môđun xạ ảnh;
(4) Mọi R-môđun xyclic đều là môđun xạ ảnh.
1.14. Vành nguyên
Vành R được gọi là vành nguyên nếu R ≠ ( 0 ) và ab = 0 ⇒ a = 0 hoặc b = 0 .
Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên.
1.15. Vành chia
Vành R được gọi là vành chia nếu R ≠ ( 0 ) và mọi phần tử khác không trong R đều khả
nghịch.
Vành chia giao hoán là trường.

1.16. Vành nguyên thủy
R-môđun M R được gọi là môđun trung thành nếu ann(M) = (0).
Vành R được gọi là vành ngun thủy trái (phải) nếu có R-mơđun trái (phải) bất khả qui
trung thành.
1.17. Tập nil , tập lũy linh
Cho vành R, tập I ⊆ R .
Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại n ∈  sao cho x n = 0 .
I được gọi là tập nil nếu mọi phần tử của I đều lũy linh, và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là
nil iđêan.
I được gọi là tập lũy linh nếu tồn tại n ∈  sao cho I n = 0 , và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là
iđêan lũy linh.
Tính chất: Iđêan lũy linh là nil iđêan.
1.18. Radical Jacobson của một vành
1.18.1. Định nghĩa radical Jacobson của một vành
Cho vành R, ta định nghĩa radical Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan
trái tối đại của R (đồng thời cũng là giao của tất cả các iđêan phải tối đại của R). Ký hiệu: radR.
Nếu R = (0), ta định nghĩa radR = (0).
RadR là iđêan của R.
Tính chất: M n ( radR ) = radM n ( R )
1.18.2. Định nghĩa vành J-nửa đơn (vành nguyên thủy)
Vành R ≠ ( 0 ) được gọi là J-nửa đơn nếu radR = (0).
1.18.3. Một số tính chất
Bổ đề 1.1. Với mỗi y ∈ R , các phát biểu sau là tương đương:
(1) y ∈ radR ;
(2) 1 − xy khả nghịch trái với mọi x ∈ R ;
(3) yM = ( 0 ) với mọi R-môđun trái M.


Từ kết quả của bổ đề này ta suy ra 1 + radR ⊆ U ( R ) , với U ( R ) là tập các phần tử khả

nghịch của vành R.
Định lí 1.8. Cho R là vành Artin trái. Khi đó, radR là iđêan trái lũy linh lớn nhất của
R đồng thời là iđêan phải lũy linh lớn nhất của R.
Hệ quả 1.2. Trong vành Artin trái, mọi nil iđêan trái đều lũy linh.
Định lí 1.9. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là nửa đơn;
(2) R là J-nửa đơn và Artin trái;
(3) R là J-nửa đơn và thỏa mãn DCC đối với các iđêan trái chính.
Định lí 1.10 (Định lí Hopkins – Levitzki (1939))
Cho R là vành mà radR lũy linh và R = R radR là nửa đơn. Khi đó, với mỗi Rmôđun R M , các phát biểu sau đây là tương đương:
(1) M là Noether;
(2) M là Artin;
(3) M có chuỗi hợp thành.
Đặc biệt: - Một vành là Artin trái khi và chỉ khi nó là Noether trái và nửa nguyên
thủy.
- Mọi môđun trái hữu hạn sinh trên vành Artin trái đều có chuỗi hợp
thành.
Bổ đề Nakayama. Với mỗi iđêan trái J của vành R, các phát biểu sau tương
đương:
(1) J ⊆ radR ;
(2) Với mọi R-môđun trái hữu hạn sinh M, JM = M ⇒ M = ( 0 ) ;
(3)

Với

mọi

R-môđun

trái

N⊆M

mà

M

N

hữu

hạn

sinh,

N + JM = M ⇒ N = M .

1.19. Vành nửa nguyên sơ
Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R radR là vành nửa đơn và radR lũy linh.


1.20. Iđêan nguyên tố, iđêan nửa nguyên tố
Iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu ab ∈ P ⇒ a ∈ P hoặc b ∈ P .
Iđêan C của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu với mọi iđêan U ⊆ R mà
U 2 ⊆ C , ta ln có U ⊆ C .

Mệnh đề 1.1. Với mỗi iđêan C bất kỳ của vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) C là nửa nguyên tố;
(2) Với mọi a ∈ R mà ( a ) ⊆ C , ta ln có a ∈ C ;
2

(3) Với mọi a ∈ R mà aRa ⊆ C , ta ln có a ∈ C ;
(4) Với mọi iđêan trái (phải) U ⊆ R mà U 2 ⊆ C ta ln có U ⊆ C .
1.21. Radical nguyên tố của một vành
Radical nguyên tố của vành R là giao tất cả các iđêan nguyên tố của vành R.
Ký hiệu: Nil∗ R .
Nil∗ R là iđêan nửa nguyên tố nhỏ nhất của vành R.

1.22. Vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố
Vành R được gọi là vành nguyên tố (nửa nguyên tố) nếu ( 0 ) là iđêan nguyên tố (nửa
nguyên tố) của R.
Mệnh đề 1.2. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là vành nửa nguyên tố;
(2) Nil∗ R = 0 ;
(3) R khơng có iđêan lũy linh khác ( 0 ) ;
(4) R khơng có iđêan trái lũy linh khác ( 0 ) .
Hệ quả 1.3. Nếu A là iđêan trái tối tiểu của vành nửa nguyên tố R thì A = Re , với e là
phần tử lũy đẳng nào đó trong A .
Định lí 1.11. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là nửa đơn;
(2) R là nửa nguyên tố và Artin trái;
(3) R là nửa nguyên tố và thỏa mãn DCC đối với các iđêan trái chính.


1.23. Tập lũy linh địa phương
Tập S ⊆ R được gọi là tập lũy linh địa phương nếu mọi vành con được sinh bởi hữu hạn
các phần tử của S đều là tập lũy linh.
Nếu U ⊆ R là iđêan một phía thì
U là lũy linh ⇒ U là lũy linh địa phương ⇒ U là nil iđêan.

Ta ln có: Nil∗ R ⊆ L − radR ⊆ Nil ∗ R ⊆ radR , trong đó L − radR là tổng tất cả các iđêan lũy
linh địa phương của R, và là iđêan lũy linh địa phương lớn nhất của R, Nil ∗ R là tổng của tất cả
các nil iđêan của R và là nil iđêan lớn nhất của R.
1.24. Định nghĩa phần tử lũy đẳng
Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e 2 = e .
Nhận xét: - Mỗi vành ln có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1, và chúng được gọi là hai
phần tử lũy đẳng tầm thường..
- Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1.
1.25. Vành địa phương
Định lí 1.12. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R có duy nhất iđêan trái tối đại;
(2) R có duy nhất iđêan phải tối đại;
(3) R radR là vành chia;
(4) R \ U ( R ) là iđêan của R;
(5) R \ U ( R ) cùng với phép cộng làm thành một nhóm;
(5’) ∀n, a1 + a2 + ... + an ∈ U ( R ) ⇒ ∃i : ai ∈ U ( R ) ;
(5’’) a + b ∈ U ( R ) ⇒ a ∈ U ( R ) hoặc b ∈ U ( R ) .
Định nghĩa
Vành R thỏa mãn một trong các điều kiện của định lí 1.12 được gọi là vành địa
phương. Để nhấn mạnh vai trị của m = radR , ta nói ( R, m ) là vành địa phương.
1.26. Môđun không phân tích được, mơđun thật sự khơng phân tích được
Định nghĩa


R-môđun phải M ≠ ( 0 ) được gọi là khơng phân tích được nếu M khơng thể viết được
thành tổng trực tiếp của hai R-môđun con thật sự. Điều kiện sau dẫn đến: Vành End ( M R )
không có phần tử lũy đẳng khơng tầm thường.
R-mơđun phải M ≠ ( 0 ) được gọi là thật sự không phân tích được nếu End ( M R ) là
vành địa phương.
Nhận xét: Mơđun thật sự khơng phân tích được là mơđun khơng phân tích được. Chiều

ngược lại chưa chắc đúng.
Khi các mơđun khơng phân tích được mà suy ra chúng thật sự khơng phân tích được thì
lớp các mơđun như thế được gọi là có chiều dài hữu hạn, nghĩa là các môđun này thỏa mãn cả
DCC và ACC đối với các mơđun con.
Định lí 1.13
Cho M R là mơđun khơng phân tích được chiều dài n (hữu hạn). Khi đó,
E = End ( M R ) là vành địa phương và iđêan tối đại duy nhất của E là m = radE thõa mãn
m n = ( 0 ) . Hơn nữa, M là thật sự không phân tích được.

Định lí 1.14 (định lí Krull-Schmidt-Azumaya)
Cho vành R, giả sử M R có hai sự phân tích theo các môđun con:
M = M 1 ⊕ ... ⊕ M r = N1 ⊕ ... ⊕ N s

trong đó các N i là các mơđun khơng phân tích được, cịn các M i là các mơđun thật sự khơng
phân tích được.
Khi đó, r = s và sau khi sắp xếp lại ta được M i ≅ N i , i =
1, r .
1.27. Vành nửa địa phương
Định nghĩa
Vành R được gọi là nửa địa phương nếu R radR là vành Artin trái hoặc R radR là
vành nửa đơn.
Nhận xét: - Vành địa phương là nửa địa phương, vành Artin một phía là vành nửa địa
phương.
- Tổng trực tiếp của các vành nửa địa phương là vành địa phương.


Mệnh đề 1.3
Cho K là vành nửa địa phương giao hốn, R là K -đại số và là K -mơđun hữu hạn
sinh. Khi đó, R là vành nửa địa phương và radR ⊇ ( radK ) R ⊇ ( radR ) , với n ≥ 1 nào đó.
n

Mệnh đề 1.4. Vành nửa địa phương là Dedekind – hữu hạn.
1.28. Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng
Với mỗi phần tử lũy đẳng e của vành R, ta ln có ba sự phân tích sau:
(1) =
R Re ⊕ Rf
(2) =
R eR ⊕ fR
(3) R = eRe ⊕ eRf ⊕ fRe ⊕ fRf
trong đó f = 1 − e là phần tử lũy đẳng bù với e, và
eRe =∈
r=
re}
{r R er =
fRf =∈
r=
rf }
{r R fr =

(1) và (2) là sự phân tích theo các iđêan phải, trái.
(3) là sự phân tích theo nhóm con đối với phép cộng.
Mệnh đề 1.5
Cho e, e ' là các phần tử lũy đẳng của vành R, mơđun R M .
Khi đó, tồn tại đồng cấu nhóm cộng λ : HomR ( eR, M ) → Me . Đặc biệt, tồn tại đẳng cấu
nhóm cộng HomR ( eR, e ' R ) ≅ e ' Re .
Hệ quả 1.4. Với mỗi phần tử lũy đẳng e ∈ R , ta ln có End R ( eR ) ≅ eRe .
Mệnh đề 1.6. Với mỗi phần tử lũy đẳng e ≠ 0 trong R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) eR là R-môđun phải không phân tích được;
(1’) Re là R-mơđun trái khơng phân tích được;
(2) Vành eRe khơng có phần tử lũy đẳng khơng tầm thường;

(3) e= α + β , với α , β là các phần tử lũy đẳng trực giao khác 0.
Định nghĩa phần tử lũy đẳng nguyên thủy
Phần tử lũy đẳng e ≠ 0 thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.6 được gọi
là phần tử lũy đẳng nguyên thủy.


Mệnh đề 1.7. Với mỗi phần tử lũy đẳng e ∈ R , các phát biểu sau là tương đương:
(1) eR là R-mơđun phải thật sự khơng phân tích được;
(1’) Re là R-mơđun trái thật sự khơng phân tích được;
(2) eRe là vành địa phương.
Định nghĩa phần tử lũy đẳng địa phương
Phần tử lũy đẳng e ∈ R thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.7 được gọi
là phần tử lũy đẳng địa phương.
Định nghĩa phần tử lũy đẳng bất khả qui
Phần tử lũy đẳng e ≠ 0 trong vành R được gọi là bất khả qui phải nếu eR là iđêan
phải tối tiểu của R.
Phần tử lũy đẳng e ≠ 0 trong vành R được gọi là bất khả qui trái nếu Re là iđêan trái
tối tiểu của R.
Mệnh đề 1.8. Cho phần tử lũy đẳng e ∈ R .
(1) Nếu e bất khả qui phải thì eRe là vành chia.
(2) Nếu R là vành nửa đơn thì ta có chiều ngược lại của (1).
Hệ quả 1.5
(1) Phần tử lũy đẳng bất khả qui phải là phần tử lũy đẳng địa phương.
(2) Nếu R là vành nửa nguyên tố thì phần tử lũy đẳng e ∈ R là bất khả qui phải khi và
chỉ khi e bất khả qui trái.
(3) Nếu R là vành nửa đơn thì phần tử lũy đẳng e ∈ R là bất khả qui phải khi và chỉ
khi e lũy đẳng địa phương, khi và chỉ khi e nguyên thủy.
Mệnh đề 1.9. Cho phần tử lũy đẳng e ∈=
=
, R R . Ta có các phát biểu sau là

R , J radR
J
tương đương:
(1) e là phần tử lũy đẳng địa phương trong R;
(2) e là phần tử lũy đẳng bất khả qui phải trong R ;
(2’) e là phần tử lũy đẳng bất khả qui trái trong R ;
(3) eR eJ là R-môđun phải đơn;
(4) eJ là môđun con tối đại duy nhất của eR.


Mệnh đề 1.10. Cho e, f là các phần tử lũy đẳng của vành R. Các phát biểu sau là tương
đương:
(1) eR ≅ fR (đẳng cấu R-môđun phải);
(1’) Re ≅ Rf (đẳng cấu R-môđun trái);
(2) Tồn tại a ∈ eRf , b ∈ fRe sao cho
=
e ab
=
, f ba .
(3) Tồn tại a, b ∈ R sao cho
=
e ab
=
, f ba .
Định nghĩa các phần tử lũy đẳng đẳng cấu
Nếu các phần tử lũy đẳng e, f thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.10, ta
nói chúng là các phần tử lũy đẳng đẳng cấu với nhau. Ký hiệu: e ≅ f .
Chú ý 1.1. Cho e ∈ R là phần tử lũy đẳng bất kỳ, e ' = 1 − e . Ta ln có sự phân tích
=
R eR ⊕ e ' R . Do đó, P = eR là R môđun xạ ảnh, và với iđêan I ⊆ R , R = R

I

ta có

P= eR ≅ eR (đẳng cấu R -môđun).
PI
eI

Mệnh đề 1.11
Cho I là iđêan của vành R và I ⊆ radR . Khi đó, với e, f là các phần tử lũy đẳng của
R, ta có: e ≅ f trong R khi và chỉ khi e ≅ f trong R = R I . Đặc biệt, nếu e = f thì e ≅ f .
Định nghĩa phần tử lũy đẳng nâng lên
Cho I là iđêan của vành R, ta nói phần tử lũy đẳng x ∈ R I có thể được nâng lên từ R
nếu tồn tại phần tử lũy đẳng e ∈ R là tạo ảnh của x trong phép chiếu R → R I (hay e = x ).
Mệnh đề 1.12
Cho e ∈ R là phần tử lũy đẳng và I ⊆ radR là iđêan của R. Nếu e là nguyên thủy
trong R = R I thì e là nguyên thủy trong R. Chiều ngược lại đúng khi các phần tử lũy đẳng của
R có thể được nâng lên từ R.

Mệnh đề 1.13
Cho I ⊆ radR là iđêan của R sao cho các phần tử lũy đẳng của R = R I đều có thể
được nâng lên từ R. Khi đó, với bất lỳ tập đếm được (hoặc hữu hạn) các phần tử lũy đẳng trực