Về sự tồn tại hạng của module tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thanh Hương

VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE
TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH
KHÔNG GIAO HỐN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thanh Hương

VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE
TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH
KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CẢM ƠN
Để thực hiện tốt luận văn này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân, tôi đã
nhận được sự quan tâm, giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè và gia đình. Nhân đây, tơi xin
được gởi lời cảm ơn.
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cơ trong Khoa Tốn - Tin
trường Đại Học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền thụ những kiến thức
bổ ích, làm nền tảng cho tơi trong q trình nghiên cứu luận văn này.
Và hơn hết, tơi xin gởi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người
đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo tơi phương pháp nghiên cứu khoa học, và tạo mọi
điều kiện để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong hội đồng chấm
luận văn đã dành thời gian xem xét, chỉnh sửa và đưa ra những nhận xét quý báu để
luận văn của tơi được hồn thiện.
Bên cạnh sự chỉ dạy của thầy cô, tôi cũng nhận được sự quan tâm của gia đình
và bạn bè. Xin chân thành cảm ơn mọi người.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 01 năm 2014.
Trần Thị Thanh Hương.


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
BẢNG KÝ HIỆU ...............................................................................................................1
DANH MỤC HÌNH VẼ....................................................................................................2
DANH MỤC BIỂU ĐỒ ....................................................................................................3
LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................................4
Chương 1 - KIẾN THỨC CƠ SỞ ..................................................................................5

1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành ............................................................................ 5
1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun ......................................................................... 6
1.3. Radical của vành ...................................................................................................... 14

Chương 2 - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO ............................. 20
HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHƠNG GIAO HỐN .......................... 20
2.1. Sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vơ hạn sinh trên các vành khơng giao hốn
......................................................................................................................................... 20
2.2. Điều kiện về sự tồn tại hạng của các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không
giao hoán ......................................................................................................................... 21

KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 46


1

BẢNG KÝ HIỆU
MR

R - môđun phải M

J ( R ) hoặc rad R

Căn Jacobson

HomR ( M , N )

Nhóm các R - đồng cấu từ M đến N

End R ( M )

Vành các R - tự đồng cấu của M

U ( R)

Nhóm các phần tử khả nghịch của vành R

diag A

Chéo của ma trận A

A

Lực lượng của tập hợp A

a.c.c

Điều kiện dây chuyền tăng

d.c.c

Điều kiện dây chuyền giảm

det A

Định thức của ma trận A

L(M )

Độ dài của một dãy hợp thành

lR ( M )

Độ dài của môđun M


2

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1 : Sơ đồ giao hốn 1 .................................................................................................... 14
Hình 2.1: Sơ đồ giao hốn 2 ..................................................................................................... 31


3

DANH MỤC BIỂU ĐỒ
BIỂU ĐỒ TÓM TẮT MỐI LIÊN HỆ CỦA LỚP CÁC VÀNH CÓ IBN ................................ 44


4

LỜI NĨI ĐẦU
Cấu trúc module (mơđun) xuất hiện trong hầu hết hết các lý thuyết tốn học hiện
đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, iđêan, nhóm Abel,
khơng gian vectơ. Tính linh hoạt và phổ quát của cấu trúc môđun đã mang lại những
ứng dụng to lớn. Thông qua lý thuyết môđun, chúng ta sẽ có dịp soi sáng, củng cố lý
thuyết về khơng gian vectơ và nhiều lý thuyết tốn học khác. Một lớp mơđun có cấu
trúc rất gần giống với cấu trúc của khơng gian vectơ đó là lớp mơđun tự do.
Trước hết, ta nhớ lại rằng một R - môđun M được gọi là tự do nếu M có một

cơ sở. Các cách mô tả môđun tự do rất thú vị vì thế nó có nhiều tính chất rất quan
trọng. Một trong những tính chất quan trọng đó là khái niệm về hạng và sự tồn tại hạng
của nó. Ta biết rằng hai cơ sở bất kỳ của cùng một R - môđun tự do hữu hạn sinh M
trên một vành giao hốn có đơn vị thì có cùng số phần tử và số phần tử đó ta gọi là
hạng của M. Như vậy, đối với vành giao hốn thì khái niệm hạng cho lớp các môđun tự
do hữu hạn sinh luôn tồn tại. Nhưng đối với vành không giao hốn thì khái niệm hạng
cho lớp các mơđun tự do hữu hạn sinh có tồn tại khơng? Câu trả lời là khơng? Vậy với
điều kiện nào thì mơđun tự do hữu hạn sinh trên các vành khơng giao hốn có khái
niệm hạng.
Đây là lý do tôi chọn đề tài “ Về sự tồn tại hạng của Module tự do hữu hạn
sinh trên các vành khơng giao hốn” để nghiên cứu và tìm hiểu.


5

Chương 1 - KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại số khơng giao
hốn. Quy ước trong chương: khơng nói gì thêm thì mơđun M là một R - mơđun phải,
R là vành khơng giao hốn.
1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành
Định nghĩa 1.1.1
Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phép toán thường được ký hiệu
là “ +” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói R, +, . là một vành nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) R, +
( 2 ) R, .
( 3)

là một nhóm giao hốn.

là một nửa nhóm.

Phép nhân phân phối với phép cộng tức là với các phần tử tùy ý x, y, z ∈ R

ta có x ( y + z ) = xy + xz và

( y + z ) x =yx + zx .

Nếu phép nhân là giao hốn thì ta gọi R là vành giao hốn, nếu phép nhân có
phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị.
Định nghĩa 1.1.2
Một bộ phận A khác rỗng của vành R cùng với hai phép toán của vành R cảm
sinh trên A thành một vành thì ta nói A là vành con của vành R.
Định nghĩa 1.1.3
Cho R là một vành, một vành con A của R được gọi là iđêan trái (iđêan phải)
của vành R nếu thỏa mãn điều kiện: ra ∈ A ( ar ∈ A ) ; ∀a ∈ A, ∀r ∈ R .
Vành con A của R được gọi là iđêan của vành R nếu A vừa là iđêan trái vừa là
iđêan phải của vành R .


6

Định nghĩa 1.1.4
Một ánh xạ từ vành R đến vành R′ gọi là đồng cấu (vành) nếu f bảo toàn các
phép toán. Tức là, với mọi x, y ∈ R ta có

f ( x + y=
) f ( x) + f ( y)
f ( x. y ) = f ( x ) . f ( y )
Một đồng cấu f từ vành R đến vành R gọi là một tự đồng cấu của vành R .

Một đồng cấu đơn ánh là đơn cấu, toàn ánh là toàn cấu, song ánh là đẳng cấu.
Một tự đồng cấu song ánh gọi là tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng cấu f từ
vành R đến vành R′ thì ta viết R ≅ R′ ta nói R và R′ là đẳng cấu.
Định nghĩa 1.1.5
Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả nghịch
thì R được gọi là một thể hay một vành chia.
1.2. Các định nghĩa, tính chất của mơđun
Định nghĩa 1.2.1
Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng aben. M được gọi là một R môđun phải nếu có một ánh xạ f : M × R → M

( m, r )  f ( m, r ) = mr
sao cho ∀m, m1 , m2 ∈ M và ∀a, b ∈ R thì:

(1) m ( a + b ) = ma + mb .
( 2 ) ( m1 + m2 ) a =m1a + m2 a .
( 3) ( ma ) b = m ( ab ) .
Chú ý: Ta dùng kí hiệu M R để chỉ M là R - mơđun phải, tương tự ta kí hiệu
R

M để chỉ M là R - môđun trái, M vừa là R - môđun phải vừa là R - môđun trái

gọi là song mơđun kí hiệu

R

MR.


7

Định nghĩa 1.2.2
Cho M là R - môđun và tập ∅ ≠ N ⊂ M . N được gọi là môđun con của M
nếu

(1) ∀x,

y∈N : x − y∈N ,

( 2 ) ∀a ∈ R,

∀x ∈ N : xa ∈ N .

Tất nhiên môđun con N là một R - mơđun với phép tốn cảm sinh và M N
cũng là R - môđun được gọi là môđun thương.
Định nghĩa 1.2.3
Cho M là R - môđun, X ⊂ M , X ≠ ∅ . Khi đó mỗi phần tử m ∈ M có dạng

=
m ∑ ai xi ( ai ∈ R, xi ∈ X ) được gọi là một tổ hợp tuyến tính của X .
n

i =1

Tập các tổ hợp tuyến tính của X được ký hiệu là X .
Nếu X = M thì X được gọi là hệ sinh của M hay M được sinh bởi X .
Khi X là một tập hữu hạn thì X được gọi là hệ sinh hữu hạn của M và M
được gọi là môđun hữu hạn sinh. Hệ sinh X của M được gọi là một hệ sinh cực tiểu
nếu X không chứa thực sự một hệ sinh nào của M . Nếu M có hệ sinh chỉ bao gồm
một phần tử thì M được gọi là môđun xyclic hay là môđun đơn sinh. Mơđun khơng có
hệ sinh nào hữu hạn được gọi là môđun vô hạn sinh.

Định nghĩa 1.2.4
Cho M là R - mơđun, X ⊂ M . Ta nói rằng:

1) X là hệ độc lập tuyến tính nếu ∑ ai xi = 0 ( ai ∈ R, xi ∈ X ) thì ai= 0, ∀i ∈ I .
n

i =1

2 ) X là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu X khơng phải là hệ độc lập tuyến tính.
3) X là cơ sở của M nếu X vừa là hệ sinh vừa là hệ độc lập tuyến tính.
4 ) M là R - mơđun tự do (gọi tắt là môđun tự do) nếu M có một cơ sở nào đó.


8

Quy ước: Môđun (0) là tự do với tập ∅ là cơ sở.
Định lý 1.2.5
R - môđun M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào
đó các bản sao của vành hệ tử R .
I
Kí hiệu: R ( ) là tổng trực tiếp ⊕ Ri ; R I là tích trực tiếp ∏ Ri
i∈I

i∈I

trong đó Ri là bản sao của R và I là tập chỉ số tùy ý.
Nếu I là tập hữu hạn với n phần tử thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp trùng
I
nhau tức là R ( ) = R I , và ta cịn kí hiệu hai tập trùng nhau này là R n .

Vậy R - môđun M là tự do khi và chỉ khi M ≅ R ( I ) .
Chứng minh
Nếu có tập I và một đẳng cấu R - môđun f : R ( I ) → M thì ta có thể kiểm tra
rằng M là một môđun tự do với cơ sở

{ f (e )
i

i ∈ I } trong đó {ei i ∈ I } là cơ sở chính

tắc của R ( I ) với ei có thành phần thứ i bằng 1 , các thành phần còn lại bằng 0. Khi đó
M là một R – mơđun tự do.
Ngược lại, giả sử M có một cơ sở là=
X

{x

i

i ∈ I } . Khi đó do X là hệ độc lập

tuyến tính của M , mỗi phần tử x ∈ M biểu diễn được duy nhất dưới dạng

x=
ai xi + ai xi + ... + ai xi với ai ∈ R, xi ∈ X , j =
1,..., n
1

1

2

2

n

n

j

j

Suy ra M = ⊕ Rxi (do mơđun con sinh bởi X chính là môđun con nhỏ nhất
i∈I

chứa X của M và môđun con này cũng là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của các
phần tử của X ).
Bây giờ ta nhận thấy rằng với mỗi i ∈ I toàn cấu R - môđun

ϕi : R → Rxi
a  axi


9

là một đẳng cấu do tính độc lập của xi . Vậy
=
M

⊕ Rx

i∈I

i

≅ R( I ) .

Định nghĩa 1.2.6
M là R - môđun tự do hữu hạn sinh nếu M là R - môđun tự do với cơ sở X
n

hữu hạn. R - môđun tự do hữu hạn sinh M thì đẳng cấu với R n = ⊕ Ri .
i =1

Định nghĩa 1.2.7
Cho M , N là các R - môđun, ánh xạ f : M → N . Ta nói f là đồng cấu R mơđun hay R - đồng cấu nếu :

f ( m1 + m2 )= f ( m1 ) + f ( m2 )
f ( am ) = a f ( m )

∀m, m1 , m2 ∈ M , ∀a ∈ R .

Tập hợp tất cả các đồng cấu từ M đến N được kí hiệu là HomR ( M , N ) .
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh, toàn cấu nếu f là toàn ánh
và đẳng cấu nếu f là song ánh. Nếu M = N thì đồng cấu f là tự đồng cấu. Tập các
tự đồng cấu của M được ký hiệu là End R ( M ) . Tự đồng cấu được gọi là tự đẳng cấu
nếu nó là song ánh. Tập các tự đẳng cấu của M được ký hiệu là AutR ( M ) .
Định lý 1.2.8
Cho M là một R - môđun tự do với cơ sở X và N là một R - mơđun bất kì.
Khi đó mỗi ánh xạ g : X → N đều mở rộng thành một đồng cấu duy nhất f : M → N .
Chứng minh

Vì X là cơ sở của M, X ⊂ M , X= { xi }i∈I . Với mỗi x ∈ M viết được duy nhất
dưới dạng x = ∑ ai xi trong đó các ai ∈ R bằng 0 hầu hết trừ ra một số hữu hạn i ∈ I .
i∈I

Từ đó ta suy ra quy tắc f :

M → N
∑ ai xi  ∑ ai g ( xi )

i∈I

i∈I


10

• f là một ánh xạ.
• f là một đồng cấu R - môđun.
Với mọi x = ∑ ai =
xi , y ∑ bi xi ∈ M , ∀α , β ∈ R ta có
i∈I

i∈I

f (α x + β y )= f  ∑ (α ai xi + β bi xi ) = f  ∑ (α ai + β bi ) xi = ∑ (α ai + β bi ) g ( xi )
 i∈I



 i∈I



i∈I

=
α ∑ ai g ( xi ) + β ∑ bi g ( xi ) =
α f ( x) + β f ( y) .
i∈I

i∈I

Vậy f là một đồng cấu R - môđun và nó là một mở rộng của g .
* Nếu cịn có một đồng cấu f ′ : M → N là mở rộng của g thì khi đó
 ax 
f ′=
ai f ′ ( x i ) ∑=
ai g ( xi ) f  ∑ ai xi 
 ∑ i i  ∑=
 i∈I



i∈I

i∈I

 i∈I



∀

 ∑ ai xi ∈ M 
 i∈I


Vậy f ′ = f .
Định nghĩa 1.2.9
Cho R là vành và M là R - mơđun
• M được gọi là R - môđun đơn (hay môđun bất khả quy) nếu MR ≠ ( 0 ) và
M chỉ có đúng hai môđun con là ( 0 ) và M .
• M được gọi là R - mơđun nửa đơn nếu mỗi R - môđun con N của M là
một hạng tử trực tiếp của M tức là tồn tại môđun con N1 sao cho M= N ⊕ N1 . Điều
này tương đương với R - môđun M được gọi là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực
tiếp của các mơđun đơn.
Định nghĩa 1.2.10
• Mơđun M được gọi là thỏa điều kiện dây truyền giảm (d.c.c) nếu mọi dãy
giảm các môđun con M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại n sao cho

=
=
Mn M
... . Khi đó M được gọi là môđun Artin.
n +1


11

• Mơđun M được gọi là thỏa điều kiện dây truyền tăng (a.c.c) nếu mọi dãy

tăng các môđun con M 1 ⊂ M 2 ⊂ ... dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại n sao cho

Mn M
... . Khi đó M được gọi là mơđun Noether.
=
=
n +1
Chú ý : Nếu N  M thì M là mơđun Noether hay Artin nếu và chỉ nếu cả N
và M N là môđun Noether hay Artin.
Mệnh đề 1.2.11
Cho M là R - mơđun. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(1)

M là môđun Noether.

( 2 ) Mỗi môđun con của
( 3)

M là hữu hạn sinh.

Mọi tập khác rỗng các môđun con của M có phần tử tối đại.

Định nghĩa 1.2.12
Nếu R là R - mơđun Noether thì R là vành Noether phải.
Nếu R là R - mơđun Artin thì R là vành Artin phải.
Hệ quả 1.2.13
Cho vành R . Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(1)

R là vành Noether.

( 2)

R thỏa điều kiện a.c.c.

( 3)

Mọi iđêan phải của R là hữu hạn sinh.

( 4 ) Mọi tập khác

rỗng các iđêan phải của R có một phần tử tối đại.

Hệ quả 1.2.14
Nếu R là vành Artin phải thì R là vành Noether phải.
Mệnh đề 1.2.15
Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether (Artin) thì M là mơđun
Noether (Artin).


12

Định lý 1.2.16
Nếu R là vành Noether thì vành đa thức R [ X ] cũng là vành Noether.
Chứng minh
Gọi I là một iđêan khác iđêan không của R [ X ] , ta cần chỉ ra I là hữu hạn
sinh. Giả sử trái lại I không hữu hạn sinh. Khi đó ta có một dãy đa thức bậc tăng dần

f1 , f 2 ,..., f n ,... sao cho f1 là một đa thức khác khơng của I có bậc thấp nhất trong I ,
f 2 là một đa thức có bậc thấp nhất trong I \ f1 , …, f m +1 là một đa thức có bậc thấp
nhất trong các đa thức của tập I \ f1 ,..., f m ,…
Gọi a j là hệ tử của hạng tử bậc cao nhất của đa thức f j và gọi J là iđêan của
R sinh bởi tất cả các a j . Vì R là vành Noether nên J hữu hạn sinh. Do đó tồn tại số
nguyên dương n để J = ( a1 ,...., an ) . Gọi m j là bậc của đa thức f j và bx m

n+1

là hạng tử

n

bậc cao nhất của f n +1 . Khi đó ta có b ∈ J , vì vậy b = ∑ λi ai với các λi ∈ R . Dễ thấy
i =1

n

rằng g =
f n +1 − ∑ λi f i x m

n+1 − mi

i =1

∈ I \ ( f1 ,..., f n ) và deg g < deg f n +1 (mâu thuẫn với cách chọn

f n +1 ) . Vậy I là một iđêan hữu hạn sinh, và do đó R [ X ] là một vành Noether.
Định nghĩa 1.2.17
Một dãy hợp thành của một R – môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu

hạn các môđun con M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n =
{0} sao cho M i −1 M i là một môđun
đơn với i = 1, 2,..., n . Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành.
Mệnh đề 1.2.18
M có một dãy hợp thành nếu và chỉ nếu M thỏa cả hai điều kiện dây chuyền
(d.c.c và a.c.c).


13

Định lý 1.2.19 (Định lý Jordan – Holder)
Nếu R - mơđun M có một dãy hợp thành với độ dài n thì tất cả các dãy hợp
thành của M cũng có độ dài n . Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các mô
đun con của M đều có độ dài khơng vượt q độ dài của các dãy hợp thành và đều có
thể mở rộng thành một dãy hợp thành.
Chứng minh
Giả sử R - môđun M có dãy hợp thành, khi đó ta kí hiệu L ( M ) là độ dài của
một dãy hợp thành có độ dài nhỏ nhất của M . Ta cần đến bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.2.20
Giả sử R - mơđun M có dãy hợp thành và N là một mơđun con của M . Khi
đó ta có các khẳng định sau đây:

(1) N

có dãy hợp thành với L ( N ) ≤ L ( M ) . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

N =M.

( 2 ) Mơđun thương M N

cũng có dãy hợp thành với L ( M N ) ≤ L ( M ) .

Chứng minh Định lý Jordan – Holder
Giả sử M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M m =

{0}

là một dãy hợp thành của M có độ dài

0 . Từ đó dễ dàng suy ra
m . Theo bổ đề 1.2.20, ta có L ( M ) > L ( M 1 ) > ... > L ( M m ) =
m ≤ L ( M ) . Mặt khác, theo định nghĩa của L ( M ) thì L ( M ) ≤ m . Ta nhận được
L ( M ) = m . Vậy mọi dãy hợp thành của M đều có độ dài là L ( M ) .
Bây giờ giả sử trong M có một dãy thực sự tăng hoặc giảm các môđun con. Ta
suy ra dãy phải có độ dài hữu hạn và độ dài đó khơng vượt q độ dài của các dãy hợp
thành. Bằng việc bổ sung M và {0} vào dãy đã cho (nếu M và {0} chưa có trong dãy),
ta ln coi dãy có dạng M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M d =

{0} .

thương M i −1 M i (1 ≤ i ≤ d ) có dãy hợp thành, chẳng hạn

Theo bổ đề 1.2.20, môđun


14

M i −1 M i = F0 M i ⊃ F1 M i ⊃ ... ⊃ Ft M i = {0} .
Từ đó ta có dãy M i −1 = F0 ⊃ F1 ⊃ ... ⊃ Ft = M i trong đó Fk −1 Fk ≅ ( Fk −1 M i ) ( Fk M i ) là
một môđun đơn với mọi k = 1, t . Tiếp theo thay mỗi dãy ngắn M i −1 ⊃ M i bởi dãy

M i −1 = F0 ⊃ F1 ⊃ ... ⊃ Ft = M i như trên, ta sẽ nhận được một dãy hợp thành mở rộng từ

M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M d =

{0} .

Định nghĩa 1.2.21
Nếu R - mơđun M có một dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp thành của M
có cùng một độ dài. Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài
của mơđun M và kí hiệu là lR ( M ) . Nếu R - mơđun M khơng có dãy hợp thành thì ta
quy ước độ dài lR ( M ) = ∞ và gọi nó là mơđun có độ dài vô hạn.
Định nghĩa 1.2.22
Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ : B → C , mỗi
đồng cấu f : P → C tồn tại một đồng cấu ϕ : P → B sao cho f = σϕ .
P

∃ϕ

f

σ

C
B
Hình 1.1 : Sơ đồ giao hốn 1
Định lý 1.2.23
Mỗi mơđun tự do M đều là môđun xạ ảnh.
Mệnh đề 1.2.24
Cho S là R - môđun. Khi đó R k ⊗ R S ≅ S k với số nguyên k khác 0.

1.3. Radical của vành
Định nghĩa 1.3.1
Radical Jacobson (căn Jacobson) của vành R , kí hiệu là rad R hoặc J ( R ) là
tập hợp tất cả các phần tử của R linh hóa được tất cả các R - môđun bất khả quy.


15

Nếu R khơng có R - mơđun bất khả quy thì rad R = R .
Định nghĩa 1.3.2
Vành R là vành đơn nếu R 2 ≠ 0 và R có đúng hai iđêan là ( 0 ) và R .
Định nghĩa 1.3.3
Vành R là vành nửa đơn nếu xem R là mơđun trên chính nó thì nó là mơđun
nửa đơn nghĩa là R là tổng trực tiếp hữu hạn của các iđêan phải tối tiểu của nó.
Định nghĩa 1.3.4
Vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu R rad R là vành Artin trái hay

R rad R là vành nửa đơn.
Nhận xét : Nếu R là vành nửa địa phương thì R có một số hữu hạn các iđêan trái
tối đại.
Định nghĩa 1.3.5
Phần tử e ≠ 0 ∈ R được gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e .
Định nghĩa 1.3.6
• Phần tử a ∈ R được gọi là lũy linh nếu a m = 0 , với m là số tự nhiên khác 0
nào đó.
• α là nil - iđêan phải (trái, 2 phía) nếu mỗi phần tử trong α là lũy linh.
• α là iđêan lũy linh phải (trái, 2 phía) nếu có một số ngun dương m sao
cho a1a2 ...am = 0 với mọi a1 , a2 ,..., am ∈ α .
Định lý 1.3.7 (Định lý Hopkins - Levitzki)
Cho R là vành mà rad R là lũy linh và R = R rad R là nửa đơn (vành R gọi

là nửa nguyên sơ). Khi đó, với bất kì R - mơđun M các phát biểu sau là tương đương:

(1)

M là Noether.

( 2)

M là Artin.

( 3)

M có một dãy hợp thành.


16

Đặc biệt : (A) Một vành là Artin trái nếu và chỉ nếu nó là Noether và nửa
nguyên sơ. (B) Bất kì mơđun trái hữu hạn sinh trên vành Artin trái có một dãy hợp
thành.
Chứng minh

(1) ⇒ ( 3) Ta có: M là mơđun Noether nên tồn tại một mơđun con cực đại M 1 của M ,
rồi tồn tại môđun con cực đại M 2 của M 1 …
Kết quả ta được một dãy thực sự giảm của các môđun con của M

M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M d
Nhưng R là vành nửa nguyên sơ nên ta thu được một dãy có độ dài hữu hạn

M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n =

{0}

(*)

trong đó M i là một mơđun cực đại của M i −1 tức M i −1 M i là môđun đơn ∀i =1, n .
Vậy M có một dãy hợp thành.

( 3) ⇒ ( 2 ) M có một dãy hợp thành nên M là mơđun Artin.
( 2 ) ⇒ (1) Ta có: M là mơđun Artin nên mọi iđêan nguyên tố trong vành Artin đều là
iđêan cực đại mà vành Artin chỉ có hữu hạn các iđêan cực đại. Mặt khác, trong vành
Artin thì linh căn là iđêan lũy linh nên tồn tại các iđêan cực đại không nhất thiết khác
n

k

i =1

i =1

nhau m1 ,..., mn để ∏ mi = 0 . Đặt J k = ∏ mi với k = 1, n và J 0 = M . Khi đó ta có
dãy M = J 0 ⊃ J1 ⊃ ... ⊃ J n = {0} . Vì J k −1 J k là một M mk - không gian vectơ Artin
nên =
lM ( J k −1 J k ) lM m ( J k −1 J k ) < ∞ với k = 1, n . Suy ra M là R - mơđun có độ dài
k

hữu hạn. Do đó M có một dãy hợp thành. Vậy M là môđun Noether.
Định nghĩa 1.3.8
Vành R được gọi là Dedekind - hữu hạn nếu ab = 1 kéo theo ba = 1 , với

a, b ∈ R bất kì.


17

Định nghĩa 1.3.9
Môđun M R được gọi là Hopfian nếu mọi toàn cấu f : M → M là một đẳng
cấu.
Định nghĩa 1.3.10
Vành E được gọi là có miền ổn định trái 1 nếu Ea + Eb
= E ( a, b ∈ E ) thì tồn
tại e ∈ E sao cho a + eb ∈ U ( E ) với U ( E ) là tập các phần tử khả nghịch trong E .
Chú ý: Nếu b = 0 thì vành E là Dedekind - hữu hạn.
Định nghĩa 1.3.11
Môđun hữu hạn sinh P trên vành R được gọi là ổn định tự do nếu tồn tại hai số
nguyên m và n sao cho P ⊕ R m ≅ R n .
Định lý 1.3.12 (Định lý giản ước)
Cho R là vành, A, B, C là các R - môđun phải. Giả sử E = End ( AR ) có miền
ổn định trái 1 (ví dụ: E là vành nửa địa phương) thì A ⊕ B ≅ A ⊕ C suy ra B ≅ C .
Chứng minh
Từ

A⊕ B ≅ A⊕C

tồn tại một toàn cấu chẻ

 f ′
ker ( f , g ) ≅ C . Cho   : A → A ⊕ B chẻ ra thì 1=
A
 g′ 

( f , g) : A⊕ B → A
 f ′

( f , g ) . = ff ′ + gg ′ .
 g′ 

với

Vì thế

E. f ′ + E.gg ′ =
E . Khi đó, E có miền ổn định trái 1 nên tồn tại e ∈ E sao cho
 f ′
f ′ + e. ( gg ′ ) =
u . Do u khả nghịch, nên
=
 g′ 

f ′ + e. ( gg ′ ) =
u ∈U ( E ) . Ta có (1, eg ) . 
 f ′
u −1 (1, eg ) .  =
 1=
A
 g′ 

 f ′
 , nên ker (1, eg ) ≅ ker ( f , g ) (vì mỗi hạt nhân này thì
 g′ 

( f , g ) .

 f ′
 ). Hơn nữa, ta dễ dàng thấy rằng ker (1, eg ) ≅ B (vì 1 là
 g′ 

đẳng cấu với A ⊕ B im 

đồng cấu đồng nhất của A , nên dễ thấy rằng, với mọi b ∈ B , tồn tại duy nhất


18

 ϕ ( b ) 

ϕ (b) 
ϕ (b) 
 b ∈ B  ≅ B ), mà theo cách

 ∈ A ⊕ B , sao cho (1, eg ) . 
 = 0 . Và 
 b 
 b 
 b 

đặt, ker ( f , g ) ≅ C . Vậy B ≅ C .
Định lý 1.3.13
Cho R là vành có miền ổn định trái 1 (ví dụ: R là vành nửa địa phương).

(1)

Cho A, B, C là các mơđun phải, trong đó A là hữu hạn sinh và xạ ảnh thì

A ⊕ B ≅ A ⊕ C suy ra B ≅ C .

( 2)

n
m
R có tính chất cơ sở bất biến nghĩa là với các số tự nhiên n và m , R ≅ R

thì suy ra n = m (ngoại trừ R = 0 ).

( 3)

Bất kì R - mơđun phải P (hữu hạn sinh) ổn định tự do là tự do.

( 4) M n ( R )

là Dedekind - hữu hạn với bất kì số nguyên n ≥ 1.

Chứng minh

(1)

Chọn một R - môđun A′ sao cho A ⊕ A′ ≅ R n với mọi số nguyên n . Khi đó

A ⊕ B ≅ A ⊕ C suy ra rằng R n ⊕ B ≅ R n ⊕ C . Cùng một lúc ta giản ước một bản sao
của R . Vì thế ta có thể khẳng định rằng A = R . Do đó, tự đồng cấu vành

End
=
( AR ) End ( RR ) ≅ R có miền ổn định trái 1. Theo định lý giản ước ta suy ra

B ≅C.

( 2 ) Giả sử R n ≅ R m
( 3)

với n > m , giản ước R m ta được R n − m = 0 suy ra R = 0 .

Giả sử rằng P ⊕ R r ≅ R s , nếu s < r ta có thể giản ước R s ta nhận được

R = 0 và P = 0 . Do đó, ta có thể giả sử s ≥ r , giản ước R r ta nhận được P ≅ R s − r .

( 4)

Cho α , β ∈ M n ( R ) thỏa α .β = I thì α xác định một tồn ánh của R -

mơđun α : R n → R n mà chẻ ra bởi β : R n → R n . Do đó, ta có một đẳng cấu


19

R n ≅ R n ⊕ ker (α ) . Giản ước R n ta được ker (α ) = 0 vì thế α : R n → R n là một đẳng
cấu. Vậy α khả nghịch trong M n ( R ) nên β .α = I .
Định nghĩa 1.3.14
Cho k là vành tùy ý và { xi : i ∈ I } là hệ độc lập, không giao hốn các biến trên

k thì ta có thể xây dựng R là k - vành tự do sinh ra bởi

{ xi : i ∈ I }

và kí hiệu

=
R k xi : i ∈ I . Các phần tử của R là các đa thức khơng giao hốn các biến { xi } với
hệ số thuộc k .
Hệ quả 1.3.15
Mọi k - vành tự =
do R k xi : i ∈ I đều có thể nhúng vào một vành chia.


20

Chương 2 - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO
HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHƠNG GIAO HỐN
Trong chương này, ta nghiên cứu về sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô
hạn sinh trên các vành khơng giao hốn, đưa ra được ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại môđun
tự do hữu hạn sinh trên các vành khơng giao hốn có hai cơ sở khác nhau nhưng số
phần tử khác nhau tức là khơng có khái niệm hạng, các điều kiện về sự tồn tại hạng của
các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành khơng giao hốn và đưa ra được biểu đồ
tóm tắt mối tương quan chính giữa các điều kiện.
2.1. Sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô hạn sinh trên các vành khơng giao
hốn
Bổ đề sinh 2.1.1
Cho {ei : i ∈ I } là một hệ sinh cực tiểu của R - mơđun M , trong đó lực lượng

I là vơ hạn thì M khơng thể được sinh ra bởi ít hơn I phần tử.

Chứng minh
Xét bất kì tập =
A

{a

j

}

: j ∈ J ⊆ M trong đó J < I . Mỗi a j được biểu thị qua

một số hữu hạn các ei .
Đầu tiên, ta giả thiết

J

là vơ hạn thì tồn tại một tập con I 0 ⊆ I với

I 0 ≤ J . ℵ 0 = J (trong đó ℵ 0 là lực lượng của tập vô hạn đếm được) sao cho mỗi
a j được biểu thị qua {ei : i ∈ I 0 } . Khi đó I 0 ≤ J < I . Suy ra môđun con sinh ra bởi A
con của môđun con sinh ra bởi {ei : i ∈ I 0 }  M .


21

Nếu J là hữu hạn thì mơđun con sinh ra bởi A nằm trong môđun con sinh ra
bởi một số hữu hạn các phần tử ei . Nhưng bản thân I là vô hạn nên môđun con sinh
ra bởi A không thể bằng M . Vậy M không thể được sinh ra bởi ít hơn I phần tử.
Chú ý: Như ta đã thấy, chứng minh trên đã làm việc với giả thiết yếu I là vơ hạn

và khơng có tập hợp con {ei : i ∈ I 0 } của {ei : i ∈ I } với I 0 < I có thể sinh ra M . Từ
bổ đề này, ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng " mơđun tự do hữu hạn sinh " là có thể xem
như " R n " , với số nguyên n không âm. Từ bổ đề trên có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.2
I
J
Nếu R ( ) ≅ R ( ) như những R - mơđun phải, trong đó R ≠ ( 0 ) và I vơ hạn thì
I
I = J . Vậy hạng của R ( ) là I .

Nếu I , J là các tập hữu hạn thì hệ quả này có thể khơng cịn đúng, ta sẽ thấy nó
ở ví dụ sau này.
2.2. Điều kiện về sự tồn tại hạng của các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành
khơng giao hốn
Định nghĩa 2.2.1
Vành R được gọi là có hạng (sau này ta cũng gọi là có IBN) nếu với bất kì số tự
nhiên n, m, R n ≅ R m thì n = m . Điều này có nghĩa là bất kì hai cơ sở trên một R mơđun M tự do hữu hạn sinh có cùng số phần tử. Số chung này được định nghĩa là
hạng của M .
Ta biết rằng, bất kì đồng cấu f : R m → R n có thể được biểu thị bởi một ma trận
cấp n × m qua các cơ sở tự nhiên trên R m và R n . Do đó, ta có thể sắp xếp lại định
nghĩa 2.2.1 trên các số hạng ma trận như sau: với bất kì số tự nhiên n, m, R n ≅ R m nếu
tồn tại các ma trận A, B trên R có cấp lần lượt là m × n và n × m sao cho AB = I m và