Chuyên đề 3 HHKG góc trong không gian đáp án

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

HHKG - GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Chuyên đề 3

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI
Dạng 1. Góc của đường thẳng với đường thẳng
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 trong khơng gian ta có thể thực hiện theo hai cách
Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên
d1

một trong hai đường thẳng).

d'1
O
d'2
d2

Từ O dựng các đường thẳng d1' , d 2' lần lượt song song ( có thể trịng nếu O nằm trên một trong hai đường
thẳng) với d1 và d 2 . Góc giữa hai đường thẳng d1' , d 2' chính là góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 .
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cơsin trong tam giác
cos A 

b2  c2  a2
.
2bc

 
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1 , u2 của hai đường thẳng d1 , d 2
 

u1.u2
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 xác định bởi cos  d1 , d 2     .
u1 u2
  
  
Lưu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a, b, c khơng đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc
  
 
giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1 , u2 qua các vec tơ a, b, c rồi thực hiện các tính tốn.

Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau và
OA  OB  OC . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai
đường thẳng OM và AB bằng

A. 450

B. 900

C. 300
Lời giải

D. 600

Chọn D

Facebook Nguyễn Vương  Trang 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Đặt OA  a suy ra OB  OC  a và AB  BC  AC  a 2
Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và MN 

a 2
2


OM , AB   
OM , MN  . Xét OMN
Suy ra góc 
a 2
nên O M N là tam giác đều
2
  600 . Vậy 
OM , AB   
OM , MN   600
Suy ra OMN

Trong tam giác O M N có ON  OM  MN 

Câu 2.

ABCD
(THPT
Lê
Quy
Đôn
Điện

Biên
2019)
Cho
tứ
diện
với
3
  DAB
  600 , CD  AD . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Chọn
AC  AD, CAB
2
khẳng định đúng về góc  .
A. cos  

3
4

B. 300

C. 600

D. cos  

1
4

Lời giải
Chọn D

       

Ta có AB. CD  AB. AD  AC  AB. AD  AB. AC  AB. AD. cos 600  AB. AC.cos 600





3
1
 AB. AD. cos 600  AB. AD.cos 600 
AB. AD
2
4
 
 
AB.CD 1
1
cos AB, CD 

 cos 
AB.CD 4
4



Câu 3.



(THPT Hồng Hoa Thám Hưng n 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D , biết đáy
ABCD là hình vng. Tính góc giữa AC và BD .

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. 90 .

B. 30 .

C. 60 .
Lời giải

D. 45 .

Vì ABCD là hình vng nên BD  AC .
Mặt khác AA   ABCD   BD  AA .
 BD  AC
Ta có 
 BD   AAC   BD  AC .
 BD  AA '
Do đó góc giữa AC và BD bằng 90 .
Câu 4.

(Chuyên KHTN 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
AD và BC . Biết MN  a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng.

A. 450 .

B. 900 .

C. 600 .
Lời giải

D. 300 .


AB, CD  PM
, PN .
Gọi P là trung điểm AC , ta có PM //CD và PN //AB , suy ra 



 



Dễ thấy PM  PN  a .

Xét PMN ta có cos MPN

PM 2  PN 2  MN 2 a 2  a 2  3a 2
1


2 PM .PN
2.a.a
2

  1200  
 MPN

AB, CD  1800  1200  600 .



Câu 5.



(Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương ABCD. ABC D ; gọi M là
trung điểm của BC  . Góc giữa hai đường thẳng AM và BC  bằng
A. 45 .
B. 90 .
C. 30 .
D. 60 .
Lời giải
Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
B

C

N
A
D
B'

C'

M

A'

D'

Giả sử cạnh của hình lập phương là a  0 .
Gọi N là trung điểm đoạn thẳng BB . Khi đó, MN //BC  nên  AM , BC     AM , MN  .
Xét tam giác ABM vuông tại B ta có: AM  AB2  BM 2  a 2 

Xét tam giác AAM vng tại A ta có: AM  AA2  AM 2  a 2 

Có AN  AM 

a2 a 5
.

4
2

5a 2 3a
 .
2
4

a 5
BC  a 2
; MN 
.


2
2
2

Trong tam giác AMN ta có:
9a 2 2a 2 5a 2


2
MA  MN  AN
1
4
4  6a . 4
cos 
AMN 
.
 4

2
2.MA.MN
4 6a 2
3a a 2
2
2. .
2 2
2

2

2

Suy ra 
AMN  45 .
Vậy  AM , BC     AM , MN   
AMN  45 .
Câu 6.

(Chun

Hạ

Long

-

2018)

Cho

hình

chóp

S . ABC

có

độ

dài

các

SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là?
A. 45 .
B. 90 .
C. 60 .
D. 30 .
Lời giải

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
cạnh


TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

Ta có BC  a 2 nên tam giác ABC vng tại A . Vì SA  SB  SC  a nên hình chiếu vng
góc của S lên  ABC  trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC .
 
AB.SC
 
Ta có cos  AB, SC   cos AB, SC 
.
AB.SC
    
 
1  
1
a2

AB.SC  AB SI  IC  AB.SI   BA.BC   BA.BC.cos 45   .
2
2
2
2
a
1
cos  AB, SC   22   
AB, SC   60 .
2
a
 
AB.SC
 
Cách 2: cos  AB, SC   cos AB, SC 
AB.SC
      
 
a2
Ta có AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC  SB.SC .cos 90  SA.SC .cos 60   .
2

















a 2
2
1
Khi đó cos  AB, SC   2 
a
2
Câu 7.

(Chuyên Đh Vinh 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . ABC  có AB  a và AA  2 a .
Góc giữa hai đường thẳng AB và BC  bằng

A. 60 .

B. 45 .

C. 90 .
Lời giải

D. 30 .

     
       

Ta có AB.BC   AB  BB BC  CC   AB.BC  AB.CC   BB.BC  BB.CC 







       
a2
3a 2
.
 AB.BC  AB.CC   BB.BC  BB.CC     0  0  2a 2 
2
2

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

3a 2
 
 
AB.BC 
1
2
Suy ra cos AB, BC     
  
AB, BC    60 .

AB . BC  a 3.a 3 2



Câu 8.



(Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  AC  AB  a , 
ABC  45 .
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DC .
A. 60 .
B. 120 .
C. 90 .
D. 30 .
Lời giải
Ta có tam giác ABC vuông cân tại A , tam giác BDC vuông cân tại D .
        
Ta có AB.CD  DB  DA CD  DB.CD  DA.CD





 
   
 
1
 DB CD cos DB, CD  DA CD cos DA, CD   a 2 .
2

 
   
 
 
AB.CD
1
Mặt khác ta lại có AB.CD  AB CD cos AB.CD  cos AB, CD     
2
AB CD
 
 AB, DC  120   AB, CD   60 .













Câu 9.









(Chuyên Trần Phú - Hải Phịng - 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABCD . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AD , BB. Cosin của góc hợp bởi MN và AC ' bằng
A.

3
.
3

B.

2
.
3

5
.
3
Lời giải

C.

D.

2
.
4

* Xét hình lập phương ABCD. ABCD cạnh a .
     
  
  
* Đặt a  AB, b  AD, c  AA  a  b  c  a, a.b  b.c  a.c  0 .
* Ta có:
       1  1 

1
1
a 3
MN  AN  AM  AB  BN  AM  a  b  c  MN  a 2  a 2  a 2 
2
2
4
4
2
      

AC   AB  AD  AA  a  b  c  AC   a 2  a 2  a 2  a 3
 
1
1
AC .MN  a 2  a 2  a 2  a 2
2
2
 
MN . AC 
 

2
.
cos  MN ; AC    cos MN ; AC     
3
MN . AC 





Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 10.

(Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật,
AB  2a , BC  a . Hình chiếu vng góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của
cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính cosin góc giữa hai đường
thẳng SB và AC
A.

2
.
7

2
.
35

B.

  60
 SC ,  ABCD     SC , CH   SCH
cos  SB, AC  

 
SB. AC

2
.
5
Lời giải
C.

0

D.

2
.
7

.

SB. AC
             
SB. AC  SH  HB AB  BC  SH . AB  SH .BC  HB. AB  HB.BC







    1
 HB. AB  HB.BC  AB 2  2a 2
2

 a 6.
AC  a 5 , CH  a 2  a 2  a 2 , SH  CH .tan SCH





2

SB  SH 2  HB 2  a 6  a 2  a 7 .
 
SB. AC
2
2a 2
cos  SB, AC  
.


SB. AC a 7.a 5
35

Câu 11.

(Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vng,
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và
BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng
A. 90 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 75 .
Lời giải

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Gọi I là trung điểm SA thì IMNC là hình bình hành nên MN // IC .
Ta có BD   SAC   BD  IC mà MN // IC  BD  MN nên góc giữa hai đường thẳng MN
và BD bằng 90 .

 
Cách khác: có thể dùng hệ trục tọa độ của lớp 12, tính tích vơ hướng BD.MN  0 .

Câu 12.

(Chun Thái Bình - 2018) Cho hình chóp đều S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và SC
là
A. 45 .
B. 60 .

C. 30 .
D. 90 .
Lời giải

Gọi P là trung điểm của CD .
Ta có: NP // SC   MN , SC    MN , NP  .
Xét tam giác MNP ta có: MN 
 MN 2  NP 2 

a 2
a
a
, NP  , MP 
2
2
2

a2 a2 a2


 MP 2  MNP vuông tại N
4
4
2

  90   MN , SC    MN , NP   90 .
 MNP

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 13.

(Sở Quảng Nam - 2018) Cho hình lăng trụ ABC . ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,
AB  a , AC  a 3 . Hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của
BC , AH  a 3 . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và BC . Tính cos  .

A. cos  

1
.
2

B. cos  

6
.
8

C. cos  

6
.
4

D. cos  

3
.

2

Lời giải

  
Gọi E là trung điểm của AC ; D và K là các điểm thỏa BD  HK  AB .

C .
Ta có BK   ABC  và BD / / AB   AB, BC    BD, BC   DB
Ta tính được BC  2a  BH  a ; BD  AB 

a 3 

2

 a 2  2a.

CD  AC 2  AD 2  3a 2  4a 2  a 7 ; CK  CE 2  EK 2 

3a 2 9a 2

 a 3.
4
4

BC  BK 2  CK 2  3a 2  3a 2  a 6.


D 
cos CB

Câu 14.

BD 2  BC 2  CD 2 4a 2  6a 2  7 a 2
6


.
2.BD.BC
8
2.2a.a 6

(Sở Yên Bái - 2018) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính giá trị của

cos  AB, DM  .
A.

3
.
2

B.

3
.
6

C.

1
.

2

D.

2
.
2

Lời giải

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a.
Gọi N là trung điểm của AC .


Khi đó: AB
, DM  MN
, DM



 



Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta có: MN 

a
a 3
, DM  DN 
.
2
2

a2
MN  MD  ND
3

4
cos NM
D


.
2.MN .MD
6
a a 3
2. .
2 2
2

Vậy cos AB, DM  
Câu 15.

2

2

3
.
6

(Sở Nam Định - 2018) Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam
giác ABC đều nằm trong mặt phẳng vng góc với  ABC  . M là trung điểm cạnh CC  . Tính
cosin góc  giữa hai đường thẳng AA và BM .
A. cos 

2 22
.
11

B. cos 

33
.
11

C. cos 

11
.
11

D. cos 

22

.
11

Lời giải

a 3
và AH  BC , AH  BC  BC   AAH   BC  AA hay
2
BC  BB . Do đó: BCC B là hình chữ nhật.

Ta có: AH  AH 

a 2 .6
22
a 3
a 6
 BM  a 2 
a
.
. 2
16
4
2
2
    
3a 2
Xét: AA.BM  AA. BC  CM  0  AA.CM 
.
4
Khi đó: CC   AA 



Suy ra cos  AA, BM  

Câu 16.



3a 2
4
a 6 a 22
.
2
4



33
.
11

(Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.MNP có tất cả các cạnh bằng nhau.
Gọi I là trung điểm cạnh AC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng NC và BI bằng
A.

6
.
4

B.

15
.
5

6
.
2
Lời giải

C.

D.

Giả sử các cạnh của lăng trụ bằng a .
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
10
.
4


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Gọi K là trung điểm của MP  BI / / NK   NC , BI    NC , NK  .
ABC.MNP là lăng trụ tam giác đều  CP   MNP 

CK  CP 2  PK 2 

a 5

2

CN  CP 2  NP 2  a 2
NK  NP 2  KP 2 


cos CNK

Câu 17.

a 3
2

NC 2  NK 2  CK 2
6
.

4
2 NC.NK

(Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC .
Khi đó cos  AB, DM  bằng
A.

2
.
2

B.

3
.
6

1
.
2
Lời giải

C.

D.

3
.
2

Chọn B

Gọi N là trung điểm của AC. Suy ra MN // AB
Do đó: cos  AB, DM   cos  MN , DM 
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD , suy ra MN 

a 3
a
; ND  MD 
2
2

Facebook Nguyễn Vương 11

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


Trong tam giác MND ta có: cos NMD

MN 2  MD 2  ND 2
3

2.MN .MD
6

 3.
cos  AB, DM   cos NMD
6

Câu 18.

(ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S . ABCD có đáy hình vng. Cho tam giác SAB vng
tại S và góc SBA bằng 300 . Mặt phẳng  SAB  vng góc mặt phẳng đáy. Gọi M , N là trung
điểm AB, BC . Tìm cosin góc tạo bởi hai đường thẳng  SM , DN  .
A.

2
.
5

B.

1
.
5

C.

1
.
3

D.

2
.
3

Lời giải
Chọn B
 SAB    ABCD 

Trong  SAB  , kẻ SH  AB tại H . Ta có:  SAB    ABCD   AB  SH   ABCD  .

 SH   SAB  , SH  AB
Kẻ tia Az // SH và chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ sau đây.

  a.cos 300  a 3 .
Trong tam giác SAB vuông tại S , SB  AB.cos SBA
2
a 3.
  3a và SH  BH .sin SBA

Trong tam giác SBH vuông tại H , BH  SB.cos SBH
4
4

AH  AB  BH  a 

 a a 3
3a a
 a 
  H  0; ; 0   S  0; ;
 .
4 4
 4 
 4 4 

 a 
a

M  0; ;0  , D  a;0;0  , N  ; a;0  .
 2 
2

  a a 3 
Ta có: SM   0; ; 
,
4 
 4

 
SM .DN

a2
  a
1

4
DN    ; a;0   cos  SM , DN  


.
SN .DN
a a 5
5
 2

.
2 2

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

Dạng 2. Góc của đường thẳng với mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và
hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P)
Gọi  là góc giữa d và mặt phẳng (P) thì 0    90
Đầu tiên tìm giao điểm của d và (P) gọi là điểm A.
Trên d chọn điểm B khác A, dựng BH vuông góc với (P) tại H. Suy ra AH là hình chiếu vng góc của d
trên mặt phẳng (P).
.

Vậy góc giữa d và (P) là góc BAH
Nếu khi xác định góc giữa d và (P) khó q ( khơng chọn được điểm B để dựng BH vng góc với (P)), thì
ta sử dụng cơng thức sau đây. Gọi  là góc giữa d và (P) suy ra:
. sin  

d  M ,  P 

AM
Ta phải chọn điểm M trên d, mà có thể tính khoảng cách được đến mặt phẳng (P). Còn A là giao điểm của d
và mặt phẳng (P).

Câu 1.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vng cạnh

3a , SA

vng góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng

A. 450 .

B. 600 .

C. 300 .

D. 900 .

Lời giải
Chọn C



Ta có SA  (ABCD) nên ta có (SC ,(ABCD ))  SCA

tan SCA
Câu 2.

SA

AC

2a
3a. 2



1
3

  300
 SCA

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  ,

SA  a 2, tam giác ABC vuông cân tại B và AC  2a (minh họa nhứ hình bên). Góc giữa đường
thẳng SB và mặt phẳng  ABC  bằng
Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. 30.

B. 45.

C. 60 .
Lời giải

D. 90 .

Chọn B
SB   ABC   B 
  AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng  ABC 
SA   ABC 


 
SB,  ABC    SBA

Ta có

2

Do tam giác ABC vng cân tại B  AB2  BC2  AC2 2AB2   2a 2AB2  4a2  AB  a 2.
  45.
Xét tam giác vng SAB vng tại A, có SA  AB  a 2  SAB vuông cân tại A  SBA

Câu 3.

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a ,

BC  2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  15a (tham khảo hình bên).
S

C

A

B

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
A. 45 .
B. 30 .
C. 60 .
D. 90 .
Lời giải
Chọn C
Do SA vng góc với mặt phẳng đáy nên AC là hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng


.
; ABC   SC
; AC  SCA
đáy. Từ đó suy ra: SC



 



Trong tam giác ABC vng tại B có: AC  AB 2  BC 2  a 2  4a 2  5a .

Trong tam giác SAC vng tại A có: tan SCA



SA
15a
  60 .

 3  SCA
AC
5a




; ABC   60 .
Vậy SC
Câu 4.

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vng tại B ,
AB  3a, BC  3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a (tham khảo hình vẽ).

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
A. 60 .

B. 450 .

C. 300 .
Lời giải

D. 900 .

Chọn C


Ta có:  SC; ABC   SCA

tan SCA

SA

AC

2a
2
3a    3a

2



3
  300.
 SCA

3

Vậy  SC; ABC   30o .

Câu 5.

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S . ABC và có đáy ABC là tam giác vng tại

B, AB  a, BC  3a; SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  30a (tham khảo hình bên). Góc
giữa đường thẳng SC và mặt đáy bằng

A. 45 .

B. 90 .

C. 60 .
Lời giải

D. 30 .

Chọn C

Do AC là hình chiếu vng góc của SC trên mặt phẳng  ABC  nên 
SC ,  ABC    SCA
Ta có: AC  AB 2  BC 2  a 10
Khi đó tan SCA 
Câu 6.

SA a 30
  600 .


 3  SCA
AC a 10

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a ;

BC  a 2 ; SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng
A. 900 .
B. 450 .
C. 600 .
D. 300 .
Lời giải
Chọn D
Facebook Nguyễn Vương 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

.
Ta có : Góc SC và đáy là góc SCA
Xét tam giác SCA vng tại A có:
AB 2  BC 2  a 3
  SA  a  SCA
  300 .
tan SCA
AC a 3
AC 

Câu 7.

(Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có AB  BC  a, AA  6a
(tham khảo hình dưới). Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng  ABCD  bằng:

A. 60 .

B. 90 .

C. 30 .
Lời giải

D. 45 .

Chọn A

Ta có góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng  ABCD  bằng góc giữa AC và AC và bằng góc

ACA .
Ta có AC  AB 2  BC 2  a 2 .
Xét tam giác ACA có tan 
ACA 

AA
6a

 3
ACA  60 .
AC
2a

Vậy góc AC và mặt phẳng  ABCD  và bằng 60 .

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 8.

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a , AD  2 2a ,
AA '  3a (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng A ' C và mặt phẳng  ABCD  bằng

A. 45 .

B. 90 .

C. 60 .

D. 30 .

Lời giải
Chọn D
Ta thấy: hình chiếu của A ' C xuống  ABCD  là AC do đó
A ' CA .
 A ' C ;  ABCD     A ' C ; AC   

Ta có: AC  AB 2  AD 2  3a .
Xét tam giác A ' CA vuông tại C ta có:
tan  A ' CA  

A' A
3a

3


AC
3a
3


A ' CA  30 .
Câu 9.

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD , có AB  AA  a , AD  a 2
(tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng  ABCD  bằng

A. 30 .

B. 45 .

C. 90 .
Lời giải

D. 60 .

Chọn A
Vì ABCD là hình chữ nhật, có AB  a , AD  a 2 nên



AC  BD  AB 2  AD 2  a 2  a 2



2

a 3

Ta có  AC ;  ABCD     AC ; CA   
ACA
Facebook Nguyễn Vương 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Do tam giác AAC vuông tại A nên tan 
AAC 
Câu 10.

(Mã

104

-

2020

Lần

Cho

2)

AA
a
1
AAC  30 .


 
AC a 3
3

hình

hộp

chữ

nhật

ABCD. A BC  D

có

AB  a, AD  3a, AA  2 3a (tham khảo hình vẽ).

Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng  ABCD  bằng
A. 45 .

B. 30 .

C. 60 .
Lời giải

D. 90 .

Chọn C

Do A A   ABCD  nên AC là hình chiếu của AC lên mặt phẳng  ABCD 

suy ra góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng  ABCD  bằng A
CA .

ACA 
Có tan 

Câu 11.

A A

AC

A A
2

AB  AD

2



2 3a
a2 



3a



2

 3
ACA  60 .

(Mã 103 2018) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại C , AC  a , BC  2a , SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
A. 60
B. 90
C. 30
D. 45
Lời giải
Chọn C

Có SA   ABC  nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng  ABC  .
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021




.
 SB
,  ABC   SB
, AB  SBA



 



Mặt khác có ABC vng tại C nên AB  AC 2  BC 2  a 3 .

  SA  1 nên SB
Khi đó tan SBA
,  ABC   30 .
AB
3



Câu 12.



(Mã 102 - 2019) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam
giác ABC vuông tại B , AB  a và BC  3a (minh họa như hình vẽ bên).

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  bằng
A. 30 .

B. 60 .

C. 45 .
Lời giải

D. 90 .

Chọn C
Vì SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC 

.
bằng SCA

Mà tan SCA

SA
2a

1.
2
AC
a  3a 2

  45 .
Vậy SCA
Câu 13.

(Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho khối chóp S. ABC có SA   ABC  , tam giác ABC
vuông tại B , AC  2a , BC  a , SB  2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng  SBC  .

A. 45 .

B. 30 .

C. 60 .
Lời giải

D. 90 .

Trong  SAB kẻ AH  SB  H  SB .
Facebook Nguyễn Vương 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

SA  BC

Vì 
 BC   SAB   BC  AH .



 AB  BC
Mà SB  AH do cách dựng nên AH   SBC  , hay H là hình chiếu của A lên  SBC  suy ra

ASH hay góc 
ASB .
góc giữa SA và  SBC  là góc 
Tam giác ABC vuông ở B  AB  AC 2  BC 2  a 3
AB 1

Tam giác SAB vuông ở A  sin 
ASB 
 
ASB  30
SB 2

Câu 14.

(Chun Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vng tại 1và B .
AB  BC  a, AD  2a . Biết SA vng góc với đáy ( ABCD ) và SA  a . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm SB, CD . Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( SAC )
A.

5
5

B.

55
10

3 5
10
Lời giải

C.

D.

2 5

5

Chọn C

Ta gọi E , F lần lượt là trung điểm của SC AB .
Ta có ME / / NF ( do cùng song song với BC . Nên tứ giác MENF là hình thang,
 MF / ISA
và 
 MF  ( ABCD ) hay tứ giác MENF là hình thang vng tại M , F
 SA  ( ABCD )
Gọi K  NF  AC , I  EK  M thì I  MN  ( SAC )
 NC  AC
Ta có: 
 NC  ( SAC ) hay E là hình chiếu vng góc của N lên ( SAC )
 NC  SA
Từ đó ta có được, góc giữa MN và ( SAC ) là góc giữa MN và CI
Suy ra, gọi Q là góc giữa MN và ( SAC ) thì sin  
NC 

2
1
a 2 IN KN
2
a 10
;
CD 
MF 2  FN 2 

 2  IN  MN 
2

2
3
3
M ME
3

Vậy sin  
Câu 15.

CN
IN

CN 3 5
.

IN
10

(Mã 102 - 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SA  2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
A. 45
B. 60
C. 30
D. 90
Lời giải

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chọn A

.
Do SA   ABCD  nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng góc SCA
  45 .
  SA  1  SCA
Ta có SA  2a , AC  2a  tan SCA
AC
Vậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45 .
Câu 16.

(Mã 101 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SB  2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
A. 45
B. 60
C. 90
D. 30
Lời giải
Chọn B

.
Do SA   ABCD  nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng góc SBA
  60 .
  AB  1  SBA
Ta có cos SBA
SB 2
Vậy góc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đáy bằng bằng 60 .
Câu 17.

(Mã 101 - 2019) Cho hình chóp S. ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam

giác ABC vuông tại B, AB  a 3 và BC  a (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường
thẳng SC và mặt phẳng  ABC  bằng:

A. 450 .

B. 300 .

C. 600 .
Lời giải

D. 900 .

Chọn A
Ta có SA   ABC  nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng  ABC  .
Facebook Nguyễn Vương 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

.
Do đó  SC ,  ABC     SC , AC   SCA

Tam giác ABC vuông tại B , AB  a 3 và BC  a nên AC  AB 2  BC 2  4a 2  2a .
  450 .
Do đó tam giác SAC vng cân tại A nên SCA
Vậy  SC ,  ABC    450 .
Câu 18.

(Đề Tham Khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M
là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng B M và mặt

phẳng  ABCD bằng

A.

2
2

B.

3
3

2
3
Lời giải

C.

D.

1
3

Chọn D

a2 a 2

2
2
Gọi M là trung điểm của OD ta có MH / / SO nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng

Gọi O là tâm của hình vng. Ta có SO   ABCD  và SO  a 2 

 ABCD

và MH 

1
a 2
.
SO 
2
4

.
Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD ) là MBH
a 2
MH
1

Khi đó ta có tan MBH 
 4  .
BH 3a 2 3
4

Vậy tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng  ABCD bằng

1
3

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 19.

(Mã 104 - 2019) Cho hình chóp S. ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam
giác ABC vuông cân tại B và AB  a 2 (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC
và mặt phẳng  ABC  bằng

A. 30o .

B. 90o .

C. 60o .
Lời giải

D. 45o .

Chọn D
Ta có SA   ABC  nên đường thẳng AC là hình chiếu vng góc của đường thẳng SC lên mặt
phẳng  ABC  .


 (tam giác SAC vuông tại A ).
Do đó,   SC
,  ABC   SC
, AC  SCA



 



Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC  AB 2  2a .
  SA  1 nên   45o .
Suy ra tan SCA
AC
Câu 20.

(Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a . Gọi M
là trung điểm của SD Tính tan của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng  ABCD  .
A.

2
.
2

B.

3
.
3

2
.
3
Lời giải

C.

D.

1
.
3

Trong tam giác SOD dựng MH //SO, H  OD ta có MH   ABCD  .

.
Vậy góc tạo bởi BM và mặt phẳng  ABCD  là MBH
Ta có MH 
BH 

1
1
1
a 2
.
SO 
SD 2  OD 2 
4a 2  2a 2 
2
2
2
2

3
3
3a 2

.
BD  2a 2 
4
4
2
Facebook Nguyễn Vương 23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


Vậy tan MBH

Câu 21.

MH 1
 .
BH 3

(Chun Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a và

a 6
. Tính góc giữa SC và  ABCD  .
3
B. 60
C. 75
Lời giải

SA   ABCD  . Biết SA 

A. 30

D. 45

Chọn A

Ta có AC  a 2
Vì AC là hình chiếu của SC lên  ABCD  nên góc giữa SC và  ABCD  là góc giữa SC và AC
a 6
  300
  3  3 . Suy ra SCA
Xét SAC vng tại A, ta có: tan SCA
3
a 2

Câu 22.

(Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng
cạnh a , SA vng góc với đáy và SA  a 3 . Gọi  là góc giữa SD và  SAC  . Giá trị sin 
bằng
A.

2
.
4

B.

2
.

2

3
.
2
Lời giải
C.

D.

2
.
3

 DO  AC
 DO   ABCD  .
Gọi O  AC  BD . Ta có: 
 DO  SA  SA   ABCD  

Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

  .
 SO là hình chiếu của SD lên mặt phẳng  SAC   
SD;  SAC    
SD; SO   DSO
Xét SAD vuông tại A : SD  3a 2  a 2  2a .
Xét SOD vuông tại O : có SD  2a , OD 
Câu 23.

a 2
  DO  2 .
 sin   sin DSO
2
SD
4

(Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Tam giác
SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc
60 , gọi M là trung điểm của BC . Gọi  là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng  ABC  .

Tính cos  .
A. cos  

6
.
3

B. cos  

3
.
3

C. cos  

3
.
10

D. cos  

1
.
10

Lời giải

Gọi H là trung điểm AB dễ thấy SH   ABC  .
  60 .
SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 suy ra SCH
Có HC 

a 3
  3a .
 SH  HC . tan SCH
2
2

 , HM 
Dễ thấy   SMH
Câu 24.

1
a
a 10
HM
1
AC   SM 

 cos  

.
2
2
2
SM
10

(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có AB  a , O là
trung điểm AC và SO  b . Gọi

 ABCD 
A.

   là

đường thẳng đi qua C ,

 

chứa trong mặt phẳng

a 14
. Giá trị lượng giác cos   SA ,     bằng
6
2a
a
a
B.

.
C.
.
D.
.
2
2
2
2
2
3 2 a  4b
3 2 a  4b
3 4b  2 a 2
Lời giải

và khoảng cách từ O đến    là

2a
3 4b 2  2 a 2

.

Facebook Nguyễn Vương 25