Phép chiếu phủ, nhóm cơ bản và một số ứng dụng vào lý thuyết nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Phương Anh

PHÉP CHIẾU PHỦ, NHĨM CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ
ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYẾT NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Phương Anh

PHÉP CHIẾU PHỦ, NHĨM CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ
ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYẾT NHÓM
Chuyên ngành: Hình học và tơpơ
Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Thái Sơn. Luận văn này trình bày lại các khái niệm, tính
chất và hệ quả trong tài liệu “Differential geometry and topology” của tác giả
Mehrdad Shahshahani với các chứng minh được viết một cách chi tiết và cụ thể
hơn.
Các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp
với các đề tài khác.
Học viên
Nguyễn Phương Anh


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các hình vẽ
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................................1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................................................. 3
1.1. Nhóm cơ bản................................................................................................................................... 3
1.2. Khơng gian phủ .............................................................................................................................. 7
1.3. Cấu trúc của khơng gian phủ ........................................................................................................ 8
1.4. Định lí van Kampen .....................................................................................................................11
1.5. Nhóm đồng điều thứ nhất ...........................................................................................................21
Chương 2. NHĨM TỰ DO VÀ NHÓM CON CỦA SL  2,

 .................................................24

Chương 3. ĐỊNH LÍ HUREWICZ VÀ NHĨM NÚT ................................................................ 36
3.1. Nhóm cơ bản và nhóm đồng điều thứ nhất ...............................................................................36

3.2. Định lí Hurewicz và đa thức Alexander....................................................................................40
3.3. Nút hình xuyến .............................................................................................................................46
Chương 4. NHÓM CON RỜI RẠC CỦA SL  2,



VÀ SL  2,

 .........................................51

4.1. Phép biến đổi hyperbolic và phép biến đổi đường tà hành.....................................................51
4.2. Nhóm quaternion..........................................................................................................................55
4.3. Trắc địa đóng ................................................................................................................................ 57
4.4. Hình học đường của mặt phẳng / khơng gian hyperbolic .......................................................59
KẾT LUẬN .........................................................................................................................................68
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...............................................................................................................69


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Số hiệu
Tên hình vẽ

Trang

hình vẽ
1.1

Biếu diễn con đường đóng đồng luân với f

13

1.2

Một phân hoạch của I  I

15

1.3

Nút hình xuyến K 2,3 và K3,4

18

1.4

Nút ba lá với các đường chui

20

2

Mơ hình của mặt giống g  3

26

3.1

Quan hệ đồng điều giữa f và g .

37

3.2

Quan hệ đồng điều giữa f  g và f  g

37


1

MỞ ĐẦU
Tơpơ đại số là một nhánh của tốn học sử dụng các công cụ của đại số để
nghiên cứu các khơng gian tơpơ. Mục tiêu cơ bản của nó là tìm các bất biến đại
số để phân loại các không gian tôpô. Tôpô đại số xây dựng và sử dụng các hàm
tử từ phạm trù các không gian tôpô vào phạm trù đại số, mà ở đây là phạm trù
các nhóm. Có hai hàm tử đơn giản và quan trọng mà ta đề cập đến là nhóm cơ
bản và nhóm đồng điều. Nhóm cơ bản có mối quan hệ gần gũi với nhóm các
đồng điều của nó. Tuy nhiên, ta sẽ xây dựng nhóm cơ bản một cách độc lập.
Trong việc xây dựng này, ta sẽ thu được những kĩ thuật đằng sau công cụ đại số
này.
Mặc dù Tôpô đại số sử dụng đại số để nghiên cứu các bài tốn tơpơ nhưng
cơng việc ngược lại đơi khi cũng có thể thực hiện được.
Tơpơ đại số là một ngành học kết hợp những kiến thức của tôpô đại cương và
lý thuyết nhóm, hơn nữa, là các vấn đề chuyên sâu của Đại số và Giải tích. Do
vậy, những vấn đề mà ngành học này đưa ra đều mang tính mới mẻ, thú vị và
được rất nhiều người quan tâm đến.
Nội dung của luận văn gồm 4 chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị có liên quan đến phép chiếu phủ và nhóm cơ
bản; tính nhóm cơ bản của đường trịn, mặt cầu, khơng gian xạ ảnh. Trong luận
văn này, chúng tơi chú ý trình bày nhóm cơ bản của không gian S 3 \ K - nút

trong S 3 .
Chương 2: Sử dụng kiến thức nhóm cơ bản để thiết lập một số tính chất cơ bản
của nhóm tự do và nhóm con của SL  2,

.


2
Chương 3: Trình bày về mối quan hệ giữa nhóm cơ bản và nhóm đồng điều thứ
nhất thơng qua định lí Hurewicz, nhờ đó mà ta có thể xây dựng một bất biến của
nút - đa thức Alexander – một công cụ quan trọng trong việc phân loại các nút.
Chương 4: Nghiên cứu một số tính chất cơ bản của nhóm con rời rạc của
SL  2,

 và SL  2,  .

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của
Thầy Nguyễn Thái Sơn. Nhờ đó, tơi có ý thức và trách nhiệm trong việc thực
hiện. Tơi xin phép được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy kính
mến.
Tơi xin chân thành được tỏ lịng biết ơn đến Q Thầy Cơ trong khoa TốnTin và Phịng Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm TP.HCM vì sự giảng
dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ trong suốt q trình học tập và
thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn cổ vũ,
động viên để tôi an tâm học tập và nghiên cứu.
Mặc dù tôi đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên
luận văn này khơng thể tránh khỏi những sai sót. Mong Q Thầy Cơ sẽ phê
bình để luận văn được hoàn thiện hơn.

3

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị có liên quan đến phép chiếu
phủ và nhóm cơ bản; tiếp theo đó là tính nhóm cơ bản của đường trịn, mặt cầu
và khơng gian xạ ảnh, đặc biệt là nhóm cơ bản của phần bù của nút. Cuối
chương là phần giới thiệu về nhóm đồng điều thứ nhất để chuẩn bị cho chương
sau.
1.1. Nhóm cơ bản
Giả thiết rằng mọi không gian tôpô đều liên thông đường địa phương và mọi
ánh xạ giữa các không gian tôpô đều liên tục.
1.1.1. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X , một con đường trong X là ánh xạ
liên tục  : I  0,1  X .
1.1.2. Định nghĩa. Con đường ngược lại của  là  1 được cho bởi

 1  t    1  t  .
1.1.3. Định nghĩa. Cho hai con đường  và  với điểm cuối  1 của  bằng
với điểm đầu   0  của  . Khi đó, ta có được tích    như là một con đường

 nối với  .
1.1.4. Định nghĩa. Một con đường mà điểm đầu trùng với điểm cuối được gọi là
con đường đóng.
1.1.5. Định nghĩa. Hai con đường đóng  và  được gọi là tương đương đồng
luân nếu có ánh xạ liên tục G : I  I  X sao cho:


4
G  t ,0     t 
G  t ,1    t 

G  0, s     0     0    1   1  G 1, s 

Ta kí hiệu: 



Quan hệ này là quan hệ tương đương.
1.1.6. Định nghĩa. Tập hợp các lớp tương đương của các con đường đóng tại x
kí hiệu là   X , x  . Mỗi phần tử của tập hợp này kí hiệu là   ,   ,…
Ta trang bị cho   X , x  một phép nhân như sau:        

  X , x  cùng với phép nhân như trên lập thành một nhóm, được gọi là nhóm cơ
bản của X (với điểm gốc x ).
1.1.7. Định nghĩa. Một không gian tôpô được gọi là đơn liên nếu nhóm cơ bản
của nó là tầm thường.
1.1.8. Định nghĩa. Một ánh xạ f :  X , x   Y , y  cảm sinh đồng cấu
f # :   X , x    Y , y  bởi f #     f   với      X , x  .

1.1.9. Tính chất. Nếu f :  X , x   Y , y  là phép tương đương đồng luân thì f #
là đẳng cấu. Cụ thể hơn, một không gian co rút được thì có nhóm cơ bản là tầm
thường.
Tích tự do
Để đưa ra ý tưởng tính nhóm cơ bản bằng cách tách không gian thành hai
phần đơn giản hơn, ta xét ví dụ sau. Xét khơng gian X là hai đường tròn A và

B giao nhau chỉ tại 1 điểm, mà ta đặt là x0 . Như ta đã biết   A là nhóm cyclic
vơ hạn sinh bởi con đường đóng a đi một vịng quanh A . Tương tự,   B  là


5

bản sao của

sinh bởi con đường đóng b đi một vịng quanh B . Mỗi tích các

luỹ thừa của a và b cho ta một phần tử của   X  . Chẳng hạn, tích a5b2a 3ba 2
là con đường đóng đi quanh A năm vịng, rồi quanh B hai vịng, sau đó quanh

A ba vịng theo chiều ngược lại, tiếp tục đi quanh B một vòng, rồi quanh A hai
vòng. Tập hợp các từ như vậy gồm các luỹ thừa của a với lũy thừa của b tạo

 . Phép nhân trong nhóm này được định nghĩa

thành một nhóm, kí hiệu là

như chúng ta mong muốn, chẳng hạn là  b4a5b2a 3  a 4b1ab3   b4a5b2ab1ab3 .
Phần tử đơn vị là từ trống và phần tử nghịch đảo được suy ra dễ dàng, ví dụ là

 ab a
2



3 4 1

b

 b4a3b2a 1 . Vậy mỗi từ của a và b ứng với chính xác một phần

tử trong   X  nên   X  là đẳng cấu với

 , nhóm gồm các từ là luỹ thừa

của hai chữ cái a và b .
Kí hiệu đại số của tích tự do các nhóm đóng vai trị quan trọng trong việc
tính nhóm cơ bản.
1.1.10. Định nghĩa. Ta kí hiệu các phần tử của nhóm G và H lần lượt là g j và
hk . Tích tự do G  H là tập hợp các biểu diễn có dạng ( l là số ngun dương

bất kì)
g1h1g2h2 ...gl hl , h1g1h2 ...hl gl , g1h1g2h2 ...hl 1 gl , h1g1h2 ...gl 1hl

với phép nhân được định nghĩa như sau:

 g ...h   h g ...  g ... h h  g
i1

Lúc đó, G  H là một nhóm.

il

j1

j1

i1

il

j1

j1

...


6
Cho nhóm A , các đồng cấu 1 : A  G và 2 : A  H , ta định nghĩa G A H là
nhóm thương của G  H bởi nhóm con chuẩn tắc sinh bởi các phần tử có dạng

1  a  2  a  . Rõ ràng G A H phụ thuộc vào đồng cấu i .
1

Tổng quát hơn, tích tự do  G được hiểu như “phiên bản khơng aben” của
 G .

Tính chất đơn giản sau là hữu dụng trong việc tính nhóm cơ bản:
1.1.11. Tính chất. Cho X và Y là các khơng gian tơpơ. Ta có:
1.   X  Y ,  x, y      X , x    Y , y  .
2. Cho X  Y là khơng gian có được bằng cách gắn X với Y tại các điểm
x  X và y  Y . Ta có:   X  Y , x  y  đẳng cấu với tích tự do của   X , x  và

 Y , y  . (kết quả này là trường hợp đặc biệt của định lí van Kampen được trình
bày ở sau).
Chứng minh:
1 được suy ra từ định nghĩa của các phép chiếu X  Y  X và X  Y  Y .
2 có thể được thấy ngay do khơng có mối quan hệ nào giữa các con đường đóng
trong X và Y .
1.1.12. Ví dụ
1. Nhóm cơ bản của xuyến n-chiều.

7
Ta đã biết   S 1  

(một chứng minh khác được trình bày ở phần sau). Tính

chất 1 dẫn đến nhóm cơ bản của xuyến n-chiều đẳng cấu với




  S 1  ...  S 1  


n



n

n

, nghĩa là

.

2. Nhóm cơ bản của bu-két họ n đường tròn.
Bu-két n đường tròn S 1  ...  S 1 là n đường tròn gắn với nhau tại một điểm và
n



ta có   S 1  ...  S 1  
n



 ...  . Do vậy, nhóm cơ bản của bu-két n đường trịn
n

là nhóm tự do Fn trên n phần tử sinh.
1.2. Không gian phủ
1.2.1. Định nghĩa. Một bộ ba  E, p, B  được gọi là phép chiếu phủ (hay không
gian phủ) nếu p : E  B , và với mỗi x  B tồn tại một lân cận U của x sao
cho p 1 U  là hợp rời Vi với hạn chế của p xuống mỗi Vi là đồng phôi lên U .
Thớ trên b là tập hợp p 1  b  và tập hợp này là rời rạc.
Ví dụ đơn giản nhất của không gian phủ là:
E  , B  S 1  , p  t   eit

1.2.2. Định nghĩa. Cái nâng của ánh xạ f : X  B là ánh xạ f ' : X  E sao
cho pf '  f . Tương tự, nếu f :  X , x    B, b  và e  p 1  b  thì cái nâng của
f đến f ' :  X , x    E, e  là cái nâng của f : X  B đến E thoả f '  x   e .

Lý thuyết khơng gian phủ phụ thuộc vào hai tính chất quan trọng mà được
giới thiệu như định nghĩa sau đây:


8
1.2.3. Định nghĩa

1.(Tính chất nâng đồng luân) Một bộ ba  E, p, B  với p : E  B (khơng nhất
thiết là phép chiếu phủ) có tính chất nâng đồng luân với không gian X , nếu cho
một phép đồng luân F : X  I  B ( I  0,1 ) và f  x   F  x,0  có một cái
nâng f ' : X  E thì phép đồng ln F có cái nâng F ' . Nếu tính chất nâng đồng
luân đúng với mọi X , ta nói rằng  E, p, B  có tính chất nâng đồng ln và lúc
đó,  E, p, B  được gọi là phân thớ.
2.(Tính chất duy nhất nâng con đường) Một bộ ba  E, p, B  với p : E  B có
tính chất duy nhất nâng con đường nếu cho  : I  B , và e  p 1   0   thì ln
có duy nhất một con đường  ' : I  E của  với  '  0   e .
1.2.4. Định nghĩa. Phép chiếu phủ  E, p, B  với E là đơn liên được gọi là
không gian phủ phổ dụng của B .
1.3. Cấu trúc của không gian phủ
Trong phần này, chúng ta tìm hiểu mối quan hệ giữa nhóm cơ bản và khơng
gian phủ và chủ yếu tìm hiểu cấu trúc của khơng gian phủ. Với phép chiếu phủ

 E , p, B 

ln có ánh xạ cảm sinh của nhóm cơ bản p# :   E, e     B, b  với

p  e   b , được xác định bởi p#     p  .

1.3.1. Hệ quả. p# là ánh xạ 1-1.
Chứng minh: Cho      E, e  và giả sử rằng p#    e    B, b  , p#  
là đồng luân với ánh xạ hằng b : I  b . Nâng phép đồng luân đến E (điều này
thực hiện được vì  là cái nâng của p đến E ). Chú ý rằng, ánh xạ hằng nâng


9
đến ánh xạ hằng, do vậy, ta có được phép đồng ln cần tìm giữa  và ánh xạ
hằng.

Tính chất nâng con đường duy nhất đảm bảo rằng với bất kì con đường đóng

 : I  B với   0   b , ta ln có duy nhất cái nâng  ': I  E với  '  0   e .
Tuy nhiên, cái nâng  ' có thể khơng phải là con đường đóng. Một phép chiếu
phủ với tính chất là với bất kì con đường đóng nào thì hoặc là mọi cái nâng của
nó là con đường đóng hoặc khơng có cái nâng nào là con đường đóng, được gọi
là chính qui.
1.3.2. Hệ quả. p#   E, e   gồm các lớp đồng luân của các con đường đóng

 :  I , I    B, b  mà cái nâng của nó đến

 E, e 

là con đường đóng.

p#   E, e   là nhóm con chuẩn tắc của   B, b  nếu và chỉ nếu  E, p, B  là
không gian phủ chính qui. Do đó,   B, b  / p#   E, e   là một nhóm.
Chứng minh: Khẳng định thứ nhất là đơn giản. Cho  : I  B với      B, b 
và  : I  E với

    E, e  .

Ta có thể nâng  thành  ': I  E với

 '  0   e . Nâng p thành  p  ': I  E với  p  '  0   '1 . Do tính chính
qui nên

 p  '

là con đường đóng. Ta có  '1  p  ' ' xác định một phần tử





trong   E , e  và p#  '1  p  ' '   

1

  

chứng minh tính chuẩn tắc

của p#   E, e   . Ngược lại, chú ý rằng  : I  E với   0   e và  1  e '
(với e '  p 1  b 

thì

p#   E, e '    p  p#   E, e   p  . Do đó, nếu
1

p#   E , e   là chuẩn tắc thì các lớp đồng luân của các con đường đóng mà cái
nâng của chúng đến  E , e ' là con đường đóng thì  E, p, B  là khơng gian phủ
chính qui.


10
1.3.3. Định nghĩa. Một nhóm  tác động gián đoạn thật sự (bên trái) lên không
gian X nếu với mỗi x  X có một lân cận

U của x sao cho với mọi

e   , U   U    .

Chú ý rằng,  tác động gián đoạn thật sự thì X   \ X là phép chiếu phủ.
Bây giờ, ta chứng minh rằng mọi không gian phủ chính qui đều có dạng này.
Cho khơng gian phủ, đặt     B, b  / p#   E, e   . Cho   và  ': I  B là
con đường đóng với  '  0    ' 1  b biểu diễn  . Với x  E , cho  : I  E là
con đường với   0   e và  1  x . Gọi  '' là cái nâng của  ' với  ''  0  e
và L  x,  ' : I  E là cái nâng của p với L  x,  ' 0   ''1 . Định nghĩa

  x   L  x,  '1 . Ta kiểm tra định nghĩa này là hợp lí, nghĩa là, việc chọn biểu
diễn cho  trong   B, b  , chọn con đường đóng  ' biểu diễn phần tử của nhóm
cơ bản và chọn con đường  : I  E không ảnh hưởng đến giá trị của   x  .
Chẳng hạn, nếu chúng ta thay  bởi con đường khác là  ' thì  '1  xác định
một phần tử trong   E , e  và vì vậy cái nâng của p '1  với điểm đầu  '' 1 là
con đường đóng (do giả thiết chính qui trên

 E, p, B  ).

Hơn nữa, cái nâng

L  x,  ' và  của p và p ' với L  x,  ' 0     0    '' 1 có cùng các đầu

mút  1   ' 1 . Tương tự, ta chứng minh định nghĩa độc lập với việc chọn con
đường đóng biểu diễn   . Tác động của  là gián đoạn thực sự vì nếu

e    thì   x   p 1  p  x   và là khác x .
1.3.4. Hệ quả. Mọi khơng gian phủ chính qui đều có dạng E   \ E với nhóm

 tác động gián đoạn thực sự trên E . Ngược lại, nếu nhóm  tác động gián
đoạn thực sự trên E thì p : E   \ E  B là khơng gian phủ chính qui, và

  B, b  / p#   E, e   đẳng cấu với  . Ở đây, e  p 1  b  là một điểm bất kì.


11
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh đẳng cấu   B, b  / p#   E, e     trong
chiều ngược. Xét ánh xạ Q :   B, b    được xác định bởi Q     1 với

 ' 1    e  và  ' là cái nâng của  thoả  '  0   e . Rõ ràng, Q là hợp lí và
tồn ánh. Ta cần chứng minh Q là đồng cấu. Giả sử Q     '1 . Cái nâng của
con đường đóng  với    '  0   e , là con đường    ' ' , với  ' là cái nâng
của  thoả  '  0   e . Do vậy, Q     '   '1  1  Q   Q   . Vì
1

hạt nhân của Q là p#   E, e   (hệ quả 1.3.2), ta có điều phải chứng minh.
1.3.5. Tính chất. Nhóm cơ bản của đường trịn S 1 đẳng cấu với nhóm các số
nguyên

.

Chứng minh: Ta có:




S1 

\

tác động gián đoạn thật sự lên

được cho bởi  n, t 
là

n  t . Do vậy, nhóm cơ bản của đường trịn

.

1.3.6. Tính chất. Nhóm cơ bản của khơng gian xạ ảnh
Chứng minh: Ta có:

P n đẳng cấu với

/ 2.

/ 2 tác động gián đoạn thật sự lên S n bởi tác động

/ 2  S n  S n được cho bởi  1, x 

gian xạ ảnh

bởi tác động

P n   / 2 \ S n là

 x . Do vậy, nhóm cơ bản của khơng

/ 2.

1.4. Định lí van Kampen
Một cơng cụ quan trọng nhất để tính nhóm cơ bản đó chính là định lí van
Kampen được giới thiệu sau đây.
1.4.1. Định lí. Nếu X là hợp của các tập mở liên thông đường A mà mỗi tập
đều chứa điểm gốc x0  X và nếu mỗi giao A  A là liên thơng đường thì


12
đồng cấu  :    A     X  là toàn ánh. Nếu thêm điều kiện mỗi giao
A  A  A là liên thông đường thì hạt nhân của  là nhóm con chuẩn tắc N

được sinh bởi tất cả các phần tử có dạng i   i  
i :   A  A     A 

và

do

đó



1

cảm

với     A  A  ,
sinh

đẳng

cấu

  X      A  / N .
Chứng minh:
* Đầu tiên ta chứng minh  là toàn ánh.
Xét con đường đóng tại điểm gốc x0 là f : I  X , ta ln có một phân hoạch
0  s0  s1  ...  sm  1 của I sao cho f  si 1, si   A với i  1, m . Nghĩa là, vì

f là liên tục, với mọi s  I ln có lân cận mở Vs trong I sao cho f Vs   A

với A nào đó. Chúng ta có thể lấy Vs là một khoảng mà bao đóng của nó qua
ánh xạ f nằm trong A . Do tính compact của I nên sẽ có hữu hạn khoảng như
trên phủ I . Những đầu mút của các tập hữu hạn này xác định một phân hoạch
cần tìm của I .
Kí hiệu A chứa f  si 1 , si  là Ai và đặt f i là con đường thu được bởi hạn chế
f xuống  si 1 , si  . Do đó, f là f1  f 2  ...  f m với f i là con đường trong Ai . Vì
Ai  Ai 1 là liên thơng đường nên chúng ta có thể chọn con đường g i trong
Ai  Ai 1 từ x0 đến f  si   Ai  Ai1 . Xét con đường đóng

 f  g g  f
1

1

1

2





 g 2  g 2  f3  g 3  ...   g m1  f m  đồng luân với f . Con đường

đóng này là hợp nối của các con đường đóng mà mỗi con đường đóng nằm trong
Ai . Do đó,  f  thuộc ảnh của  . Vậy  là toàn ánh.


13

Hình 1.1. Biểu diễn con đường đóng đồng ln với f
* Để chứng minh hạt nhân của  là N, ta giới thiệu một vài thuật ngữ.
Nhân tử hoá của phần tử  f     X  là tích  f1 ... f k  với:
+ Mỗi f i là con đường đóng trong A nào đó tại điểm gốc x0 và  fi     A 
là lớp đồng luân của f i .
+ Con đường đóng f là đồng luân với f1  ...  f k trong X .
Nhân tử hoá của  f  là một từ trong    A  , có thể khơng bị lược bỏ, mà ảnh
của nó qua  chính là  f  . Việc chứng minh  là toàn ánh chỉ ra rằng mỗi

 f    X  có một nhân tử hố.
Chúng ta quan tâm đến tính duy nhất của nhân tử hoá. Hai nhân tử hoá của  f 
gọi là tương đương nếu chúng được quan hệ bởi một dãy hai loại dịch chuyển
sau:
+ Tích hai phần tử  fi  fi 1  thành một phần tử  fi  fi 1  nếu  fi  và  fi 1  nằm
trong cùng nhóm   A  .
+ Chú ý phần tử

 fi    A 

đóng trong A  A .

nằm trong nhóm   A  nếu f i là con đường


14
Sự dịch chuyển đầu tiên không làm thay đổi phần tử của    A  được xác
định bởi nhân tử hố. Sự dịch chuyển thứ hai khơng làm thay đổi ảnh của phần
tử này trong nhóm thương Q     A  / N , bởi định nghĩa của N. Do vậy nhân
tử hoá tương đương cho ta cùng một phần tử trong Q .
Nếu chúng ta chứng minh được rằng bất kì hai nhân tử hố của  f  là tương
đương thì ánh xạ Q    X  cảm sinh bởi  là đơn ánh. Do đó, hạt nhân của

 chính là N.
Cho

 f1 ... fk 

và  f1'  ...  fl '  là hai nhân tử hoá của  f  . Hai con đường

f1  ...  f k và f '1  ...  fl ' là đồng ln, vì vậy có F : I  I  X là phép đồng luân

từ

f1  ...  f k

đến

f '1  ...  fl ' . Lúc

đó

sẽ

tồn

tại các phân hoạch

0  s0  s1  ...  sm  1 và 0  t0  t1  ...  tn  1 sao cho ảnh của hình chữ nhật

Rij   si1, si   t j 1, t j  qua F nằm trong một tập A , mà chúng ta kí hiệu là Aij .

Các phân hoạch này có được bằng cách phủ I  I bởi hữu hạn các hình chữ nhật

 a, b  c, d 

mà ảnh của mỗi hình chữ nhật nằm trong một tập A . Do tính

compact nên việc phân hoạch I  I bởi hợp của tất cả các đường nằm ngang và
đường thẳng đứng chứa các cạnh của những hình chữ nhật này. Chúng ta có thể
giả sử rằng s-phân hoạch chia nhỏ phân hoạch cho ta tích f1  ...  f k và f '1  ...  fl ' .
Vì F biến một lân cận của Rij thành Aij , ta có thể xáo trộn các cạnh thẳng đứng
của hình chữ nhật Rij vì vậy mỗi điểm của I  I nằm trong ít nhất ba tập Rij . Ta
có thể giả sử có ít nhất ba hàng gồm các hình chữ nhật nên ta có thể thực hiện
việc xáo trộn này chỉ trên các hình chữ nhật ở hàng giữa, cịn hàng trên và cuối
thì vẫn giữ nguyên. Đặt tên lại thành các hình chữ nhật mới là R1, R2 ,..., Rmn , sắp
xếp chúng như hình 1.2.

15

Hình 1.2. Một phân hoạch của I  I
Nếu  là con đường trong I  I đi từ cạnh bên trái đến cạnh bên phải, hạn chế
F | là con đường đóng tại x0 vì F biến cả hai cạnh trái và phải của I  I

thành. Đặt  r là con đường chia r hình chữ nhật R1, R2 ,..., Rr từ các hình chữ
nhật cịn lại. Do đó,  0 là cạnh nằm dưới và  mn là cạnh nằm trên của I  I . Ta
băng qua từ  r đến  r 1 bằng cách đẩy từ bên này sang bên kia hình chữ nhật
Rr 1 .

Gọi các góc của Rr là các đỉnh. Mỗi đỉnh v với F  v   x0 , đặt g v là con đường
từ x0 đến F  v  . Ta có thể chọn g v nằm trong phần giao của hai hay ba tập Aij
ứng với Rr chứa v vì ta có thể giả sử rằng phần giao của hai hay ba tập Aij là
liên thông đường. Nếu ta chèn vào F | r các con đường g v g v tại các đỉnh liên
tiếp như trong chứng minh  tồn ánh thì ta sẽ nhận được một nhân tử hoá của
 F | r  bằng cách xét con đường đóng ứng với đoạn thẳng nằm ngang và thẳng

đứng giữa các đỉnh kề nhau như nó nằm trong Aij cho một trong các Rs chứa
đoạn thẳng. Việc chọn khác mà vẫn chứa Rs làm thay đổi nhân tử hoá của
 F | r  với một nhân tử hoá tương đương. Hơn nữa, nhân tử hoá kết hợp với các

con đường liên tiếp  r và  r 1 là tương đương vì việc đẩy  r băng qua Rr 1 đến


16

 r 1 thay đổi F | r đến F | r 1 bởi phép đồng luân bên trong Aij ứng với Rr 1 . Ta
có thể chọn tập Aij này với tất cả các đoạn thẳng của  r và  r 1 trong Rr 1 .
Ta có thể sắp xếp lại để nhân tử hoá kết hợp với  0 là tương đương với nhân tử

hoá  f1 ... f k  bằng cách chọn con đường g v cho mỗi đỉnh v dọc theo cạnh thấp
hơn của I  I để không chỉ nằm trong hai tập Aij ứng với Rs chứa v mà còn
nằm trong A với f i chứa v trong miền xác định của nó. Trong trường hợp v là
điểm cuối chung của hai con đường liên tiếp f i ta có F  v   x0 , vì vậy khơng
cần chọn g v . Trong trường hợp tương tự, ta giả sử nhân tử hoá kết hợp với  mn
cuối cùng là tương đương với  f1'  ...  fl '  . Vì nhân tử hố kết hợp với tất cả các

 r là tương đương, ta kết luận rằng các nhân tử hoá  f1 ... f k  và  f1'  ...  fl '  là
tương đương.
1.4.2. Hệ quả. (van Kampen với hai không gian con) Giả sử X  A1  A2 với
A1 , A2 và A1  A2 đều khác rỗng, mở và liên thơng đường. Ta có:

  A1  A2 , x     A1, x    A  A , x    A2 , x 
1

2

với bất kì điểm gốc x  A1  A2 .
1.4.3. Tính chất. Nhóm cơ bản của mặt cầu:
Cho S n   x 

n1

: x  1 là n-mặt cầu. Với n  2 , ta có   S n  là tầm thường.

Chứng minh: Chú ý rằng không gian con U  x   x0 , x1,..., xn   S n : x0  1 là
đồng phôi với
với

n

n

. Tương tự, V  x   x0 , x1,..., xn   S n : x0  1 là đồng phơi

. Do đó, U và V là các tập mở co rút được và phần giao của chúng là

liên thơng đường: nó co rút biến dạng thành x0  0  S n1 , là liên thông đường


17
khi n  1  0 . Do hệ quả, ta được nhóm cơ bản của mặt cầu S n là tầm thường với
n  2.

Nút là phép nhúng trơn của đường tròn S 1 trong

3

hay S 3 . Chúng ta sử

dụng nút với nghĩa phép nhúng của đường tròn lẫn với ảnh của nó. Để phân biệt
các nút khác nhau, ta xem xét phần bù của nút trong không gian mong muốn.
Nhóm cơ bản của phần bù của nút là bất biến. Nhóm cơ bản của phần bù của nút

K được gọi là nhóm của nút K hay nhóm nút.
1.4.4. Tính chất. Đồng nhất S 3 với compact hố một điểm của
là qua phép chiếu nổi) và K 

3

. Khi đó,   S 3 \ K    

Chứng minh: Viết S 3 \ K như là hợp của

3

3

3

(chẳng hạn

\ K.

\ K và một quả cầu mở B . Trong

đó, B có được bằng cách compact hố một điểm cùng với phần bù của quả cầu
đóng lớn trong
B 

3

3

chứa K . Ta có B và B  

\ K  là đồng phôi với S 2 

phép nhúng

3

3

\ K  đều đơn liên,

. Áp dụng định lí van Kampen, ta suy ra

\ K  S 3 \ K cảm sinh đẳng cấu trên  .

Sau đây chúng ta giới thiệu một lớp các nút mà được biết đến như nút hình
xuyến. Chúng ta bắt đầu với việc mơ tả sự phân tích S 3 , điều này đóng vai trị
quan trọng trong việc nghiên cứu đa tạp 3-chiều.
1.4.5.

Tính

chất.

Xét

S3

với

phép

nhúng

chuẩn:

S 3  x   x1, x2 , x3 , x4  |  xi2  1 .

Khi đó, S 3 là hợp của hai hình xuyến đặc với phần giao là một hình xuyến.
Chứng minh: Xét hai tập con U và V của S 3 :


18

1
1


U   x  S 3 | x12  x22   và V   x  S 3 | x12  x22   .
2
2


Đồng nhất

4

với

2

với trục toạ độ z1 và z2 được cho bởi z1  x1  ix2 và

z2  x3  ix4 . Ta có: U và V là các hình xuyến đặc. Thật vậy, do U là bó đường

1
2

trịn với cơ sở là đĩa D   z2 | z2   và thớ (trên điểm z2 ) là đường tròn
2


z | z
1

1

2

 1  z2

2

.

Do vậy, U  S 1  D là hình xuyến đặc. Hơn nữa

1
2
2

U  V   z1 , z2  | z1   z2  là xuyến. Vì vậy, S 3 là hợp của hai hình
2



xuyến đặc với phần giao là một hình xuyến.
1.4.6. Định nghĩa. Cho m  1 và n  1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Nút được
gọi là nút hình xuyến với tham số  m, n  và được kí hiệu là K m,n , cho bởi phép
nhúng
 eim ein 
3
S  e   
,
  U V  S .
 2 2
1

i

Sau đây là hai nút hình xuyến ứng với  m, n    2,3 và  m, n    3,4  .

Hình 1.3. Nút hình xuyến K 2,3 và K3,4
Nhóm cơ bản của phần bù của nút


19
1.4.7. Tính chất. Nhóm của nút hình xuyến K m,n là đẳng cấu với nhóm thương
của nhóm tự do trên hai phần tử sinh 1 và  2 bởi quan hệ 1m  2n .
Chứng minh dựa vào định lí van Kampen và tính chất 1.4.4.
Chứng minh: Đặt U '  U \ K m,n , V '  V \ K m,n và x U '  V ' . Đơn giản để thấy
rằng A  U '  V ' là tương đương đồng luân với đường tròn. Do vậy,

  A, x   . Cũng do U ' và V ' là các hình xuyến đặc với nút K m,n mà nút này
nằm trong biên chung của chúng. Do vậy, U ' và V ' đều tương đương đồng luân
với đường tròn. Đặt  , 1 và  2 lần lượt là các phần tử sinh của nhóm cơ bản

của A , U ' và V ' , mà chúng đều có điểm gốc là x . Kí hiệu i1 và i2 lần lượt là
phép nhúng của A vào U ' và V ' . Sau khi thay một hay có thể nhiều hơn các
phần tử sinh bởi nghịch đảo của nó, ta có được
i1#    1m , i2 #    2n .

Để thấy được điều này, ta chú ý rằng A quay quanh U ' (tương ứng V ' )

m (tương ứng n ) lần. Điều cần chứng minh được suy ra từ định lí van Kampen.
Có nhiều cách để tính nhóm cơ bản của nút. Những phương pháp này cho
chúng ta cách biểu diễn của nhóm cơ bản theo thuật ngữ phần tử sinh và quan
hệ. Một phương pháp như thế là biểu diễn Wirtinger của nhóm cơ bản của nút.
Ví dụ sau đây đóng vai trị quan trọng trong biểu diễn Wirtinger. Thuật tốn
được giải thích rõ ràng bởi ví dụ sau và được áp dụng cho các trường hợp khác.
Ví dụ: Xét nút ba lá như hình 1.4.


20

Đường chui

Hình 1.4. Nút ba lá với các đường chui
Ta có thể giả sử rằng ngoại trừ đường chui thì nút nằm trong mặt phẳng z  0 .
Đường chui là cung có dạng

với đáy dưới nằm trong mặt phẳng z  1 . Chú

ý rằng K2,3   z  1 gồm 3 đoạn thẳng rời nhau mà ta kí hiệu là A1, A2 , A 3 .
Nút ba lá được dán tên x1, x2 , x 3 . Ta có thể giả sử đoạn xi đi ngang qua Ai . Để
tính nhóm nhóm của nút K 2,3 , ta biểu diễn

3

\ K2,3  X  Y1  Y2  Y3  Z và

áp dụng định lí van Kampen.
Cụ thể hơn, đặt X   x, y, z  | z  1 \ K 2,3 và v   v1, v2 , v 3   X với v3 lớn. Ta
có:   X , v   F3 .
Đặt các Yi ' là các hộp cubic đặc nhỏ trong nửa không gian z  1 được dán với

X sao cho Yi '  X là hình chữ nhật trong mặt phẳng z  1 mà trong phần
trong của nó chứa Ai . Đặt Li là đoạn thẳng nối v với Yi '  X . Giả sử rằng
Li  L j  v

với

i j.

Đặt

Yi  Yi '  Li ,

ta

có:

 Y , v   e

và

 Yi  X , v   . Áp dụng định lí van Kampen cho khơng gian X  Y1 và tính

các phần tử sinh cho các con đường đóng như trên, ta nhận được quan hệ

121131  e .
Tiếp tục dọc theo đường cong và dán Y2 với Y3 , ta nhận được hai quan hệ sau: