Dạy học hệ đếm thập phân ở tiểu học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Minh Yến

DẠY HỌC HỆ ĐẾM THẬP PHÂN
Ở TIỂU HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Minh Yến

DẠY HỌC HỆ ĐẾM THẬP PHÂN
Ở TIỂU HỌC
Chuyên ngành : Lí luận và phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu của riêng tơi dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều
chính xác và trung thực.
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Minh Yến


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu,
cơ đã dành nhiều thời gian, tâm huyết tận tình hướng dẫn và đặc biệt là cô luôn tin
tưởng, động viên để tơi có đủ niềm tin và nghị lực hồn thành luận văn.
Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn:
 Thầy Lê Văn Tiến, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, thầy Tăng Minh Dũng, cô Vũ
Như Thư Hương, cô Nguyễn Thị Nga về những bài giảng didactic quý báu. Quý
thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tham gia giảng
dạy lớp Cao học khóa 26 để tơi có được những kiến thức bổ ích, góp phần trong
nghiên cứu của mình.
 GS.TS. Hamid Chaachoua và GS.TS. Annie Bessot về những lời góp ý cho đề
cương luận văn.
 Phịng Sau đại học, Khoa Tốn – Tin của Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí
Minh đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi.
 Q thầy cơ trong Hội đồng về những góp ý q báu để tơi có thể hồn thiện
luận văn hơn.
 Các bạn và các anh chị cùng lớp Didactic toán khóa 26 về những sẻ chia và giúp
đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn.
 Ban giám hiệu trường THPT Nam Kỳ Khởi Nghĩa và các đồng nghiệp trong tổ

Toán – Tin đã giúp đỡ, tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa học.
 Cơ Trần Thanh Hà cùng các em học sinh của trung tâm Thanh Hà đã giúp tơi
hồn thành tốt thực nghiệm.
Cuối cùng, xin tỏ lịng biết ơn đến những người thân trong gia đình và những
người bạn đã luôn quan tâm, nâng đỡ và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt thời
gian qua.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2017
Nguyễn Thị Minh Yến


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình ảnh
Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ............................................................................................... 1
1.1. Hệ đếm thập phân và hai phương diện của nó ......................................................1
1.1.1. Một số khái niệm về Hệ đếm..........................................................................1
1.1.2. Hệ đếm thập phân ...........................................................................................2
1.1.3. Lợi ích của hệ đếm thập phân.........................................................................4
1.2. Vài ghi nhận về khó khăn của học sinh tiểu học...................................................5
1.3. Vấn đề đặt ra ..........................................................................................................8
1.4. Lí thuyết tham chiếu .............................................................................................. 8
1.4.1. Thuyết nhân học trong Didactic toán ............................................................. 8
1.4.2. Đồ án dạy học ............................................................................................... 10
1.4.3. Biểu diễn trực quan trong dạy học toán .......................................................12
1.5. Câu hỏi nghiên cứu và thiết kế nghiên cứu .........................................................15

1.5.1. Câu hỏi nghiên cứu .......................................................................................15
1.5.2. Thiết kế nghiên cứu ......................................................................................15
Chƣơng 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ............................................................. 17
2.1. Tìm hiểu, lựa chọn các tổ chức tốn học tham chiếu ..........................................17
2.1.1. Các tổ chức toán học tham chiếu về phép đếm của Tempier ......................17
2.1.2. Một số tổ chức toán học cần dạy do Tempier đề xuất .................................19
2.2. Nghiên cứu thể chế dạy học toán lớp 3, 4 ở Việt Nam .......................................33


2.2.1. Những tổ chức tốn học cần dạy trong mơn Toán ở lớp 3 và 4 ..................33
2.2.2. Vấn đề khai thác biểu diễn trực quan trong sách giáo khoa Toán 3 và 4 ....43
2.3. Kết luận nghiên cứu thể chế ................................................................................50
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ...................................................................52
3.1. Đối tượng và mục đích thực nghiệm ...................................................................52
3.2. Các bài tốn thực nghiệm ....................................................................................52
3.3. Phân tích tiên nghiệm ..........................................................................................55
3.3.1. Các chiến lược dự kiến .................................................................................55
3.3.2. Biến tình huống............................................................................................. 66
3.3.3. Biến didactic và giá trị của biến ...................................................................67
3.4. Dàn dựng và phân tích kịch bản ..........................................................................69
3.5. Phân tích hậu nghiệm ..........................................................................................71
3.5.1. Pha 1..............................................................................................................71
3.5.2. Pha 2..............................................................................................................74
3.5.3. Pha 3..............................................................................................................80
3.6. Kết luận cho tiểu đồ án ........................................................................................85
KẾT LUẬN ....................................................................................................................87
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 88
Tiếng Việt ...................................................................................................................88
Tiếng nước ngoài ........................................................................................................90
PHỤ LỤC .........................................................................................................................1

Phiếu học tập 1 ..............................................................................................................1
Phiếu học tập 3 ..............................................................................................................2
Một số dụng cụ để thực hiện bài toán 2 .......................................................................3


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV

: giáo viên

HS

: học sinh

KNV

: KNV

LG

: lời giải

N1

: nhóm 1

PV

: phỏng vấn

SGK

: sách giáo khoa

SGV

: sách giáo viên

SBT

: sách bài tập

TCTH

: tổ chức toán học


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Bảng các tổ chức toán học tham chiếu về hệ đếm thập phân............18
Bảng 2.2. Những kiểu nhiệm vụ hiện diện trong các SGK được phân tích ......41
Bảng 3.1. Bảng tóm tắt kết quả pha 1 ................................................................ 72
Bảng 3.2. Bảng tóm tắt kết quả pha 2 – câu 2a ..................................................74
Bảng 3.3. Bảng tóm tắt kết quả pha 2 – câu 2b..................................................75
Bảng 3.4. Bảng tóm tắt kết quả Bài toán 3 theo chiến lược .............................. 81
Bảng 3.5. Bảng tóm tắt kết quả Bài tốn 3 từng câu .........................................82
Bảng 3.6. Bảng tóm tắt kết quả Bài tốn 4 theo chiến lược .............................. 83
Bảng 3.7. Bảng tóm tắt kết quả Bài toán 4 từng câu .........................................85


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 3.1. Bài làm nhóm 4 câu 2a (pha 2).......................................................................75
Hình 3.2. Bài làm nhóm 1 câu 2b (pha 2) ......................................................................77
Hình 3.3. Bài làm nhóm 4 câu 2b (pha 2) ......................................................................79


1

Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Cùng với dòng chảy thời gian, chữ số cũng có lịch sử dài phát triển và đi đến hệ
đếm hiện tại của chúng ta: hệ đếm thập phân dùng vị trí định lượng. “Đây là một hệ
đếm tuyệt vời, hồn chỉnh, vì nó ít tốn kí hiệu nhất và cho phép ghi một cách hợp lí bất
kì con số nào, dù lớn đến mấy và cũng hiệu quả nhất bởi tất cả mọi người có thể làm
số học” [21, tr.337]. Ngày nay, hệ đếm thập phân chiếm một vị trí quan trọng ở đầu
cấp tiểu học. “Hệ đếm thập phân đóng một vai trị quan trọng trong toán học ở tiểu
học. Việc hiểu chức năng của nó là cơ sở để hiểu các tính tốn, là điểm tựa để đổi các
đơn vị đo như đơn vị đo chiều dài, trọng lượng, …, và sau này còn được mở rộng cho
việc nghiên cứu các số thập phân” [37, tr.9]. Tuy nhiên, ở Việt Nam những nghiên cứu
về Hệ đếm thập phân còn khá khiêm tốn. Mặt khác, nhắc đến Hệ đếm thập phân, mọi
người thường chỉ đơn giản hiểu rằng Hệ đếm thập phân dùng 10 kí tự để viết số; tương
tự Hệ nhị phân dùng 2 kí tự; Hệ bát phân dùng 8 kí tự,…chứ chưa hiểu kĩ về hai
phương diện của hệ đếm thập phân. Chính vì vậy, ở cương vị một giáo viên (GV)
chúng tôi muốn nhân cơ hội thực hiện luận văn mà tiến hành một nghiên cứu về dạy
học Hệ đếm thập phân để bổ sung kiến thức nghề nghiệp cho mình.
Trước khi bàn về “dạy học hệ đếm thập phân”, câu hỏi đầu tiên chúng tôi cần làm
rõ là tri thức này có những đặc trưng gì. Ngay trong phần dưới, chúng tơi sẽ trình bày
ngắn gọn kết quả mà chúng tơi thu được về câu hỏi đó.
1.1. Hệ đếm thập phân và hai phƣơng diện của nó
Các khái niệm trong phần này được tổng hợp và viết lại từ những tài liệu: [7],
[21], [24], [26].
1.1.1. Một số khái niệm về Hệ đếm

a) Hệ đếm
Hệ đếm: Hệ đếm là tập các kí hiệu (bảng chữ số) và quy tắc sử dụng tập kí hiệu
đó để biểu diễn và xác định giá trị các số. Cơ số của hệ đếm là số lượng các kí hiệu
phân biệt được sử dụng. Có thể chia các hệ đếm làm hai loại: hệ đếm theo vị trí và hệ
đếm khơng theo vị trí.


2

Hệ đếm theo vị trí: là hệ đếm mà giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí của
nó trong biểu diễn số.
Ví dụ: Hệ đếm thập phân là một hệ đếm theo vị trí. Chữ số 5 trong số 15 có giá
trị là 5 đơn vị, chữ số 5 trong số 51 lại có giá trị là 50 đơn vị.
Hệ đếm khơng theo vị trí: là hệ đếm mà giá trị của mỗi chữ số không phụ thuộc
vào vị trí của nó trong biểu diễn số.
Ví dụ: Hệ đếm La Mã là một hệ đếm không theo vị trí. Số 285 được biểu diễn
trong hệ đếm La Mã như sau: CCLXXXV. Khi đó chữ số X đứng ở vị trí nào cũng có
giá trị là 10 đơn vị.
b) Nguyên tắc cộng tính – Nguyên tắc vị trí định lƣợng
Nguyên tắc cộng tính: giá trị của số bằng tổng giá trị của các kí hiệu (chữ số) có
mặt trong số đó. Đây là ngun tắc để tính giá trị của số trong cả hệ đếm theo vị trí và
hệ đếm khơng theo vị trí.
Ví dụ:
Trong hệ đếm thập phân, giá trị của số 285 được tính như sau: 285  200 80 5
Trong hệ đếm La Mã, giá trị của số CCLXXXV (285) được tính như sau:
CCLXXXV = C + C + L + X + X + X + V
Nguyên tắc vị trí định lƣợng: giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí của nó
trong biểu diễn số. Nguyên tắc này chỉ đúng cho hệ đếm theo vị trí.
1.1.2. Hệ đếm thập phân
Hệ đếm thập phân do người Hindu (Ấn Độ) phát minh vào khoảng thế kỉ thứ

VIII và sau đó được người A Rập truyền sang châu Âu, dần dần được cả thế giới thừa
nhận và được sử dụng rộng rãi cho đến ngày nay.
Khái niệm: Hệ đếm thập phân (hệ đếm cơ số 10) là hệ đếm theo vị trí và theo
nguyên tắc vị trí định lượng với:
- Bảng chữ số là tập gồm 10 kí hiệu: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
- Quy tắc biểu diễn số: ghép các chữ số lại với nhau để tạo thành số mới, các số
được ghi thành hàng.
- Quy tắc tính giá trị: nếu một số a được biểu diễn trong hệ thập phân là

a

CnCn 1...C1C0

0

Ci

9

thì

giá

trị

của

a

được

tính

như

sau:


3

Cn .10n

a

Cn 1.10n

1

... Ci .10i

... C1.101

C0 .100 . Tức là mỗi chữ số x đứng ở

vị trí thứ i tính từ phải qua có giá trị bằng x.10i 1 .
Đơn vị đếm và cấu tạo thập phân của một số:
- Đơn vị đếm của hệ đếm thập phân gồm có: đơn vị, chục, trăm, nghìn, chục
nghìn, trăm nghìn, triệu, chục triệu, trăm triệu, tỉ,….Hàng đơn vị, hàng chục, hàng
trăm hợp thành lớp đơn vị; hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn hợp thành
lớp nghìn; hàng triệu, hàng chục triệu, hàng trăm triệu hợp thành lớp triệu; hàng tỉ,

hàng chục tỉ, hàng trăm tỉ hợp thành lớp tỉ,…
- Nêu cấu tạo thập phân của một số tức là chỉ ra những đơn vị đếm cấu tạo nên số
đó và số lượng của mỗi đơn vị đếm.
Ví dụ: Số 45 gồm 4 chục và 5 đơn vị.
Số 718 gồm 7 trăm 1 chục và 8 đơn vị.
Cấu tạo thập phân của một số được thể hiện qua bảng sau:
...
…

Lớp triệu

Lớp đơn vị

Lớp nghìn

Hàng

Hàng

Hàng

Hàng

Hàng

Hàng

Hàng

Hàng

Hàng

Hàng

tỉ

trăm

chục

triệu

trăm

chục

nghìn

trăm

chục

đơn

triệu

triệu

nghìn

nghìn

vị

- Phân biệt số chục với chữ số hàng chục, số trăm với chữ số hàng trăm,... Ví dụ:
Số đã cho

Số trăm

2784

27

Chữ số
hàng trăm
7

Số chục
278

Chữ số
hàng chục
8

Các chữ số
2, 7, 8, 4

Hai phƣơng diện của Hệ đếm thập phân:
Như vậy, hệ đếm thập phân đặc trưng bởi hai phương diện là vị trí và thập phân:

+ Phương diện vị trí: giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào bản thân chữ số đó và
vị trí của nó trong cách ghi số. Ở mỗi hàng chỉ có thể viết được một chữ số.
+ Phương diện thập phân: mười đơn vị ở một hàng hợp thành một đơn vị ở hàng
trên tiếp liền nó.


4

Chính sự kết hợp hai phương diện này mang lại cho hệ đếm thập phân những tiện
lợi trong tính tốn.
1.1.3. Lợi ích của hệ đếm thập phân
Trong lịch sử, cùng với sự phát triển của tốn học, đã có rất nhiều hệ đếm ra đời.
Có thể kể tên một số hệ đếm như: hệ đếm cơ số 601 của người Babylon, hệ đếm dựa
vào cơ số 10 của người Ai Cập, hệ đếm cơ số 20 của người Maya, hệ đếm La Mã,…và
đặc biệt là hệ đếm thập phân, hệ đếm hiện đại mà ngày nay chúng ta sử dụng. Chúng
ta hãy xét một ví dụ sau để thấy được những lợi ích vượt trội của hệ đếm thập phân so
với những hệ đếm khác.
Hệ đếm của người Ai Cập (khoảng 3400 năm trước CN) còn gọi là hệ đếm tượng
hình, hệ đếm này là hệ đếm cơ số 10 và gồm 7 kí hiệu có giá trị tương ứng như sau:

Ta hãy xét một ví dụ về thực hiện phép cộng hai số trong hệ đếm Ai Cập. Số
1729 và 896 được viết trong hệ đếm Ai Cập bởi các kí hiệu tượng hình:
Số 1729:
Số 896:
Để cộng 1729 với 896, trước tiên người ta cần xếp chồng lên nhau các chữ số
tương ứng (xem ví dụ ở dưới). Sau đó phân nhẩm thành nhóm các vạch dọc (số 1), các
hình cái quai (số 10), dây xoắn (số 100), hoa sen (số 1000). Tiếp theo, người ta thay
mỗi mười vạch dọc bằng một hình quai, mười hình quai bằng một hình dây xoắn,
mười hình dây xoắn bằng một hình hoa sen, và cứ như thế. Thực hiện phép tính cho ra
kết quả:

Cơ số 60 ở đây được hiểu theo nghĩa cứ sáu mươi đơn vị của một hàng nào đó thì ứng với một đơn vị
của hàng kề trên. Tương tự như vậy đối với cơ số 20, cơ số 10.
1


5

1729
Trong khi phép tính trên được viết và tính đơn giản trong hệ đếm thập phân: 896
2625

Như vậy, với hệ đếm thập phân chúng ta có thể biểu diễn một con số lớn bao
nhiêu cũng được với những kí hiệu đơn giản, ngắn gọn. Nó cũng cho phép chúng ta
thực hiện phép tính dễ dàng hơn. Đặc biệt là “Hệ đếm dùng vị trí định lượng cho phép
số học phát triển mạnh mẽ bằng cách làm sáng tỏ hơn những đặc tính của con số”,
cũng từ đó “đưa con người vào thế giới con số vô cùng phức tạp và tạo một bước nhảy
vọt kì diệu cho ngành tốn học” [21, tr.343-347].
1.2. Vài ghi nhận về khó khăn của học sinh tiểu học
Nghiên cứu của Bednarz và Janvier (1984) đã chỉ ra những khó khăn mà học sinh
(HS) tiểu học Canada gặp phải khi làm việc với hệ đếm thập phân. Theo các tác giả,
những khó khăn này chủ yếu là liên quan đến phương diện thập phân của hệ đếm.
Chẳng hạn trẻ có khó khăn:
-

để hiểu các phép nhóm2 và vai trò của chúng trong cách viết số theo quy ước, dù rằng
việc nghiên cứu cách viết chiếm một vị trí cực kì quan trọng trong dạy học;

-

để hiểu sự cần thiết của các phép nhóm, cho dù phải giải nhiều bài tập mà đòi hỏi phải
thực hiện chúng;

-

để hiểu tại sao lúc thì nhóm, lúc thì lại tách;

-

khi phải làm việc đồng thời với việc nhóm ở hai hàng khác nhau;

Những phép nhóm mà các tác giả nói đến ở đây là nhóm 10 đơn vị của một hàng để đổi thành 1 đơn
vị của hàng đứng liền trước nó (tính từ trái sang phải). Ngược lại, phép tách là phép lấy 1 đơn vị từ
một hàng để đổi thành 10 đơn vị của hàng đứng liền sau.
2


6

-

trong việc dùng các phép nhóm để giải thích q trình tính tốn, dẫn đến những sai
lầm thường gặp trong tính tốn.

Parouty (2005) khi phân tích sai lầm của HS cũng khẳng định khó khăn liên quan
đến việc hiểu hệ đếm và tính tốn. Giải thích cho những sai lầm này, Bednarz và
Janvier (1984) cho rằng nguyên nhân nằm ở những hoạt động được đưa ra cho HS
trong dạy học. Trong những hoạt động ấy, “việc biểu diễn số theo hàng, tuân thủ thứ
tự trong cách viết số theo quy ước”, “việc áp đặt quá sớm một sự biểu diễn theo thứ tự
tất yếu sẽ dẫn trẻ đến chỗ giải thích cách viết bằng những thuật ngữ phân cắt, thứ tự,

vị trí, và tách xa khỏi nghĩa thực sự gắn với vị trí theo cách nhóm” (tham khảo Y.
Chaachoua, 2016).
Hai mươi sáu năm sau, Tempier (2010) cũng nhận thấy chính những khó khăn ấy
ở HS. Hơn thế, ơng cịn chỉ ra những ghi nhận tương tự trong dạy học ở Mỹ, thông qua
nghiên cứu của Liping Ma (1999). “Qua phỏng vấn nhiều GV ở Mỹ, tác giả này nhận
thấy một số người đã không huy động kiến thức về hệ đếm để giải thích những kĩ thuật
tính tốn trong phép trừ và phép nhân. Thậm chí, khi giải thích, những GV này đã sử
dụng thuật ngữ “place value” (giá trị của các chữ số tuỳ thuộc vào vị trí của chúng)
khơng hồn tồn đúng như nghĩa của từ. Cụ thể là họ chỉ tập trung vào một từ “place”
trong thuật ngữ. Khi nói về “cột hàng chục”, hay “cột hàng trăm”, họ không nhấn
mạnh vào giá trị của chữ số ở cột ấy. Họ sử dụng “hàng chục”, “hàng trăm” chỉ như
những cái nhãn (tên gọi) gán cho các cột ấy mà thôi (tham khảo Tempier (2010)).
[30, tr.4-5]
Tempier (2010) trong nghiên cứu của mình đã nêu một số bài làm của HS lớp
CE2 của Pháp:
Khía cạnh vị trí của số
Hãy bắt đầu với bài làm của Théo, một

3. Hoàn thành

HS lớp CE2, với bài tập viết lại số. Đó là vấn

a. 8 chục + 5 đơn vị = ……85……

đề chuyển từ các đơn vị đếm (hàng đơn vị,

b. 1 trăm + 9 chục + 3 đơn vị = .193..

hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn) thành một

c. 6 trăm + 9 đơn vị = ……69…..

số. Học sinh này đặt cạnh nhau những con số

d. 7 đơn vị + 2 chục + 4 trăm = .724..

theo thứ tự mà chúng được đưa ra.

e. 3 chục + 6 trăm = …36…….
Théo, CE2


7

Théo đã hiểu được bài tập này là một sự liên kết giữa các đơn vị đếm lại với
nhau, và những chữ số này cùng tạo ra được một số mới. Thế nhưng HS này không
biết làm thế nào để sắp xếp các chữ số này thành một số. Thực tế, điều này liên quan
đến việc sắp xếp (liên kết) các đơn vị đếm (hàng chục, hàng trăm, hàng đơn vị) theo
một thứ tự nào đó khi viết chúng. Thứ tự thứ nhất là dành cho hàng đơn vị (tính từ
phải sang), thứ tự thứ hai là dành cho hàng chục và cứ tiếp tục như vậy.
Khía cạnh thập phân của số
Đây là bài làm của Élisa, một HS khác của lớp CE2, trong đó có một bài tập mới
3. Hoàn thành

5. Hoàn thành

a. 8 chục + 5 đơn vị = ……85……

a. 2 chục + 15 đơn vị = …35…..

b. 1 trăm + 9 chục + 3 đơn vị = …193….

b. 4 trăm + 10 chục = …410……

c. 6 trăm + 9 đơn vị = ……69…..

c. 5 trăm + 12 chục + 3 đơn vị = …515…

d. 7 đơn vị + 2 chục + 4 trăm = …724…

d. 6 trăm + 21 chục +14 đơn vị = …635…

e. 3 chục + 6 trăm = …36…….
Élisa, CE2
Mặc dù Élisa đã hiểu khía cạnh vị trí của con số (thành cơng với bài 3), điều này
dường như không đủ, để đạt được thành cơng với bài 5.
Nếu chúng ta xem xét, ví dụ: “5 trăm + 12 chục + 3 đơn vị = ...”, để thành công
trong nhiệm vụ này, HS không chỉ cần biết cách kết hợp mỗi đơn vị với thứ tự của nó
(vị trí của con số) mà cũng phải biết rằng 10 chục = 1 trăm, và do đó mà 12 chục = 1
trăm + 2 chục. Như vậy, bằng cách cộng 1 trăm này vào hàng trăm, chúng ta có thể
nhận được 6 trăm + 2 chục + 3 đơn vị mà ta có thể viết 623. Các kiến thức khác được
đề cập đến do đó liên quan đến mối quan hệ giữa các đơn vị của số (đặc biệt ở đây, 10
chục = 1 trăm).

[36, tr.60-61]
Các bài tốn thực nghiệm trên chính là một số ví dụ minh chứng cho sai lầm và
khó khăn của HS Pháp khi học về hệ đếm thập phân mà chủ yếu là khó khăn khi học
về khía cạnh thập phân của số.
Ở Việt Nam, trong quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy HS vẫn mắc phải
những sai lầm trong khi viết số hoặc làm phép tính. Ví dụ:

 Đối với bài tập “Viết số hai mươi lăm”, đã có khơng ít HS cho đáp số “205”.


8

 Đối với bài tập “Viết số gồm 2 trăm, 11 chục và 5 đơn vị”, đa số HS cho đáp số
“2115” hoặc không đưa ra được đáp số nào.
 Tương tự, một số HS cũng đưa ra lời giải “34 + 5 = 84”
 Ngoài ra, một số HS khi thực hiện phép cộng có nhớ nhiều lần đã “quên nhớ” và
cho đáp số sai như sau:
642
 269
8 11

1.3. Vấn đề đặt ra
Ghi nhận về một số sai lầm của HS Pháp và Việt Nam nêu trên khiến chúng tôi
đặt ra câu hỏi những sai lầm trên xuất phát từ đâu? Dường như HS chưa nắm được
cách viết số trong hệ đếm thập phân ở cả hai phương diện là vị trí và thập phân tức là:
giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí của nó trong cách ghi số và ở mỗi hàng chỉ
có thể viết được một chữ số, cứ mười đơn vị ở một hàng lại hợp thành một đơn vị ở
hàng trên tiếp liền nó.
Vậy thì hệ đếm thập phân được xây dựng và trình bày trong chương trình và sách
giáo khoa (SGK) tiểu học như thế nào? Tình huống dạy học nào có thể giúp HS hiểu
rõ bản chất của hệ đếm thập phân và tránh được những sai lầm? Từ những câu hỏi ban
đầu trên dẫn chúng tôi đến với hướng nghiên cứu xây dựng tình huống dạy học hệ đếm
thập phân ở bậc tiểu học. Đó cũng chính là mục tiêu nghiên cứu mà chúng tôi hướng
đến trong luận văn này.
1.4. Lí thuyết tham chiếu
Các phân tích dưới đây về Thuyết nhân học được tham khảo từ những tài liệu:
[4], [8], [22].

1.4.1. Thuyết nhân học trong Didactic toán
Thuyết nhân học bắt đầu được nghiên cứu và ứng dụng trong Didactic Toán vào
giữa những năm năm mươi của thế kỉ trước, với người tiên khởi là Chevallard. Tư
tưởng chủ đạo của thuyết nhân học là mỗi tri thức là một sinh vật sống. Nghĩa là nó
cũng trải qua đầy đủ một vòng đời của tự nhiên: sinh ra, phát triển rồi biến mất. Trong


9

sự phát triển, nó lại thiết lập các mối quan hệ với các tri thức khác. Và dĩ nhiên, như
mọi động vật sống đều cần có một mơi trường để tồn tại, tri thức cũng như thế.
Hạt nhân trung tâm của thuyết nhân học là mối quan hệ giữa tri thức và thể chế.
Mọi tri thức đều tồn tại trong ít nhất một thể chế. Nó khơng tồn tại ở trạng thái vơ
định, mà nó phải bị ràng buộc bởi các quy tắc, yêu cầu được áp đặt của thể chế.
Một tri thức không tồn tại “lơ lửng” trong một xã hội rỗng: mọi tri thức đều xuất hiện ở
một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định, như là được cắm sâu vào một hoặc
nhiều thể chế. [Chevallard (1989)].

[4, tr.299]
Điều đó khiến cho tri thức phải bị biến đổi: “gồm các thao tác tạo ra tri thức, sử dụng
tri thức, dạy học tri thức và chuyển hóa cho phép chuyển từ một thể chế này sang một
thể chế khác” [4, tr.299]. Bởi nếu không bị biến đổi thì vị trí của tri thức trong thể chế
sẽ bị lung lay, và có thể dần biến mất. Nếu thể chế đích là thể chế dạy học thì nó là
một q trình chuyển hóa sư phạm. Đối với luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng một
trong các công cụ của thuyết nhân học - khái niệm tổ chức toán học (praxéologie toán
học).
Năm 1999, Bosch và Chevallard giới thiệu khái niệm tổ chức praxéologie (hay
ngắn gọn là praxéologie). Dựa trên bốn định đề cơ bản về thuyết nhân học3,
Chevallard đã trình bày về một praxéologie bao gồm 4 thành phần và được kí hiệu là

T , , ,  , mỗi thành phần được lí giải như sau:
1. Các kiểu nhiệm vụ (KNV) T - hiện diện trong một thể chế nào đó
2. Kĩ thuật τ - cho phép thực hiện các nhiệm vụ t của cùng một KNV T
3. Cơng nghệ θ - văn bản lí giải cho kĩ thuật τ
4. Lý thuyết Θ - là công nghệ của cơng nghệ θ
[8, tr.5]

“Định đề 1. Tồn bộ thực tiễn của thể chế được đưa vào phân tích, theo những quan điểm khác nhau
và theo những phương pháp khác nhau, bằng một hệ thống những nhiệm vụ tương đối giới hạn và
được tách ra từ dòng chảy của thực tiễn. Định đề 2. Việc thực hiện một nhiệm vụ nào đó là do vận
dụng một kĩ thuật. Định đề 3. Để có thể tồn tại trong một thể chế, một kĩ thuật phải xuất hiện sao cho
có thể hiểu được, có thể thấy được và phải được lý giải. Định đề 4. Bất kì một yếu tố cơng nghệ nào
cũng cần một sự lý giải” [8, tr.5].
3


10

Sự phân biệt kĩ thuật, cơng nghệ và lí thuyết là sự phân biệt chức năng của từng
thành phần, và ln phải xem xét nó trong cùng một KNV. Theo đó, khối T /   được
gọi là kĩ năng, và khối  /  được gọi là kiến thức. Thât vậy, phải nhờ kĩ thuật thì ta
mới có thể giải quyết được KNV T. Muốn tồn tại trong thể chế, một kĩ thuật khơng
phải tự nó sinh ra mà bản thân nó phải được lí giải. Tất cả những điều đó được giải
thích qua cơng nghệ. Tương tự, bất kể một cơng nghệ nào cũng cần một lí giải cho nó.
Đó chính là lý thuyết, hay cịn gọi là cơng nghệ của cơng nghệ. “Như vậy, một lí
thuyết được phân biệt với một cơng nghệ là ở chỗ nó có tầm phổ dụng lớn hơn, nghĩa
là nhiều kết quả có thể được bắt nguồn trực tiếp từ đó” [8, tr.5]. Trong một số trường
hợp, đôi khi một kết quả lí thuyết và một kết quả cơng nghệ sinh ra từ đó là tương tự
với nhau. Lúc ấy, hồn tồn khơng có sự khác nhau về bản chất giữa hai thành phần
này. Vì vậy, đơi khi người ta thường gộp chúng lại bằng cách sử dụng cụm từ “Công

nghệ - lí thuyết”. Nếu tồn bộ các thành phần của một praxéologie nào đó mang bản
chất tốn học, thì nó sẽ được gọi là một praxéologie toán học, hay một tổ chức tốn
học (TCTH).
Nhờ vào cơng cụ này, chúng tơi sẽ phân tích cuộc sống và mối quan hệ của hệ
đếm thập phân trong thể chế dạy học toán lớp 3 và lớp 4 ở Việt Nam. Việc xác định
các TCTH liên quan đến Hệ đếm thập phân giúp chúng tôi biết được KNV nào xuất
hiện, KNV nào vắng bóng liên quan đến tri thức này, từ đó tìm hiểu xem nó tác động
như thế nào đến sự hiểu biết của HS.
1.4.2. Đồ án dạy học
Các phân tích dưới đây về Đồ án dạy học được tham khảo từ những tài liệu:
[19], [22].
Khái niệm đồ án dạy học
Theo Artigue M. (1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án dạy học là một (hay
một chuỗi) tình huống dạy học mà nhà nghiên cứu đã xây dựng, trên cơ sở các kiến
thức của một lĩnh vực khoa học, nhằm làm cho người học làm việc trên những đối
tượng phức tạp, trong một mục đích dạy học nào đó.


11

Chức năng kép của đồ án dạy học
Đồ án dạy học cho phép:
- Vận hành trong hệ thống giảng dạy những hoạt động dạy học được xây dựng từ các
công trình nghiên cứu của Didactic Tốn và các kết quả thu được từ trước.
- Kiểm chứng các sản phẩm lí thuyết do nhà nghiên cứu thực hiện và triển khai
trong một hệ thống giảng dạy.
Các pha khác nhau của đồ án dạy học
Pha nghiên cứu tri thức
Để xây dựng một đồ án dạy học trước hết người ta phải tìm hiểu những kết quả
nghiên cứu liên quan đến tri thức nhắm đến trong đồ án, tiến hành các phân tích ban

đầu về:
- Đặc trưng tri thức luận của tri thức đó.
- Phân tích kiến thức (quan niệm) của HS cũng như những khó khăn, chướng
ngại gặp phải trong việc học.
- Phân tích quan hệ thể chế (chương trình, SGK,…)
Pha xây dựng đồ án
Ở pha này nhà nghiên cứu xác định vấn đề sẽ được đưa ra cho người học
nghiên cứu, dàn dựng kịch bản, phân tích tiên nghiệm đồ án đã xây dựng, dự kiến
những kiểu dữ liệu cần thu thập. Pha này phải tính đến những phân tích đã được thực
hiện ở pha trước và lựa chọn giá trị của các biến didactic sao cho cái nhà nghiên
cứu muốn xuất hiện sẽ phải xuất hiện khi triển khai đồ án trong thực tế. Phân tích
tiên nghiệm về đồ án được xây dựng là cần thiết. Nó cho phép dự kiến những cái có
thể quan sát khi thực hiện đồ án dạy học
Chúng tơi sẽ giải thích rõ hơn khái niệm biến didactique (variable didactique).
Biến didactic
Một biến didactic là một tham số, có thể nhận nhiều giá trị. Sự thay đổi giá trị
của biến didactic sẽ dẫn đến sự thay đổi thứ tự của các chiến lược giải của HS. Như
vậy, thông qua sự lựa chọn giá trị của biến didactic, nhà nghiên cứu có thể “tạo ra
những thích nghi và những điều chỉnh mong muốn, tức là tạo ra việc học tập”


12

(Brousseau, 1982). Cụ thể hơn, giá trị của biến phải được chọn sao cho chiến lược
cũ trở nên “đắt giá”, quá tốn kém, quá phức tạp hoặc thậm chí dẫn đến sai lầm.
Pha thực nghiệm: triển khai đồ án trong thực tế và tổ chức quan sát
trên lớp học
Tùy vào mục đích đặt ra mà nhà nghiên cứu tổ chức việc quan sát và thu thập
dữ liệu. Phân tích hậu nghiệm (những cái quan sát được) để xem có thể hợp thức hóa
(nội tại) hay khơng những gì đã dự kiến khi xây dựng đồ án.

Để đạt được mục đích của luận văn đã được đề ra ban đầu, chúng tơi sẽ sử dụng
lí thuyết đồ án dạy học để thiết kế một tiểu đồ án dạy học cho phần nghiên cứu thực
nghiệm của mình. Tiểu đồ án này hướng tới việc bổ sung và hồn thiện các kiến thức
cịn thiếu hụt của HS, sinh ra từ mối quan hệ của thể chể dạy học toán tiểu học lớp 3, 4
Việt Nam với đối tượng tri thức hệ đếm thập phân.
SGV toán 4 đã hướng dẫn phương pháp dạy học:
Định hướng chung của PPDH Toán 4 là dạy học trên cơ sở tổ chức và hướng
dẫn các hoạt động học tập tích cực, chủ động, sáng tạo của HS. Cụ thể là GV phải tổ
chức, hướng dẫn cho HS hoạt động học tập với sự trợ giúp đúng mức và đúng lúc của
SGK Toán 4 và của các đồ dùng dạy và học tốn, để từng HS (hoặc từng nhóm HS) tự
phát hiện và tự giải quyết vấn đề của bài học, tự chiếm lĩnh nội dung học tập rồi thực
hành, vận dụng các nội dung đó theo năng lực cá nhân của HS.

[16, tr.16]
Do đó xây dựng tiểu đồ án dạy học phù hợp với đối tượng HS tiểu học cần thiết
sử dụng thêm các phương tiện là các đồ dùng dạy học cũng là những biểu diễn trực
quan. Đây là phương tiện không thể thiếu đối với dạy học nhiều tri thức tốn ở bậc tiểu
học. Vì thế trong mục tiếp theo, chúng tơi sẽ trình bày về Biểu diễn trực quan trong
dạy học toán.
1.4.3. Biểu diễn trực quan trong dạy học toán
Phân loại biểu diễn toán
Theo Tadao (2007), các biểu diễn trong dạy học tốn có thể được tổ chức thành
năm dạng sau:


13

-

Biểu diễn thực tế: các biểu diễn dựa trên trạng thái thực của đối tượng. Loại biểu diễn

này có thể tác động trực tiếp, hết sức cụ thể và tự nhiên.

-

Biểu diễn bằng mơ hình thao tác được: chúng như là những cơng cụ hỗ trợ dạy học.
Đó là sự thay thế hay các mơ hình giả về đối tượng mà HS có thể tác động trực tiếp.
Loại biểu diễn này có thể tác động, có phần cụ thể và giả tạo.

-

Biểu diễn bằng hình ảnh (biểu diễn trực quan): các biểu diễn sử dụng tranh minh họa,
sơ đồ, đồ thị, biểu đồ. Đây là loại biểu diễn giàu tính trực quan và sinh động.

-

Biểu diễn bằng ngôn ngữ: là các biểu diễn sử dụng ngôn ngữ hằng ngày để diễn đạt
(nói hoặc viết). Loại biểu diễn này bị chi phối bởi các quy ước, nhưng thiếu tính ngắn
gọn; mặt khác, biểu diễn này có tính mơ tả và có thể tạo nên cảm giác quen thuộc.

-

Biểu diễn bằng kí hiệu: là các biểu diễn sử dụng kí hiệu tốn học như số, kí tự, biểu
tượng.

[27, tr.35]
Để hiểu rõ hơn các dạng trên, chúng ta xem xét các giai đoạn phát triển có tình trình
tự của biểu diễn được minh họa qua hình sau:

[28, tr.81]
Trong năm dạng biểu diễn trên, biểu diễn trực quan (biểu tượng) đóng vai trị

trung gian nối kết biểu diễn thực tế với biểu diễn kí hiệu. Trong luận văn này, chúng
tôi chú trọng đến biểu diễn trực quan đặc biệt là các biểu diễn trực quan được SGK sử
dụng để dạy học hệ đếm thập phân.
Vai trò của biểu diễn trực quan trong dạy học toán
Tác giả Trần Vui (2017) đã khẳng định “biểu diễn trực quan không những là
phương tiện để minh họa theo cách dạy học truyền thống mà cịn là cơng cụ hỗ trợ đắc
lực cho quá trình tư duy của học sinh” hay “biểu diễn trực quan được xem như một
công cụ để hiểu toán”.


14

Theo Trương Thị Khánh Phương (2015) biểu diễn trực quan là một công cụ hiệu
quả cho việc dạy và học tốn bởi vì chúng:
-

mang lại ý nghĩa cho các khái niệm toán học và các mối quan hệ toán học.

-

cung cấp các tiếp cận đơn giản, ngắn gọn và đầy nội lực cho các kết quả tốn học, góp
phần tạo ra sự kết nối giữa các lĩnh vực khác nhau của tốn học như số học, đại số và
hình học.

-

gợi ý hướng giải quyết vấn đề.

-

cung cấp thêm cho HS những công cụ và phương tiện, kĩ thuật khác nhau khi nhìn
nhận một tình huống tốn học.

-

giảm bớt độ phức tạp khi đối mặt với vô số thông tin.

[23, tr.44]
Một số biểu diễn trực quan trong dạy học toán
Việc sử dụng phương tiện và đồ dùng dạy học có ý nghĩa to lớn trong việc nâng
cao hiệu quả giờ học nói chung và đặc biệt là giờ học mơn tốn. So với bậc trung học
cơ sở và trung học phổ thơng thì ở bậc tiểu học các biểu diễn trực quan được sử dụng
nhiều hơn. Chúng mang lại hiệu quả tích cực trong q trình tiếp thu kiến thức của HS
tiểu học. GV thường sử dụng các dạng đồ dùng trực quan trong dạy học tốn:
-

Những vật thực có trong tự nhiên xung quanh trẻ: sách, vở, bút chì, thước kẻ,
viên phấn, bông hoa, quả cam,… Những mẫu vật cắt bằng giấy (bìa). Những vật
tuy khơng có trước mắt, nhưng đã quá quen thuộc với các em như: chó, mèo, nhà
cửa,…

-

Các bộ que tính, khác nhau về màu sắc, kích thước; các bộ ô vuông; bộ bảng và thẻ số
biểu thị các hàng, lớp đơn vị thập phân.

-

Những bàn tính vừa dùng để học cấu tạo của số, học các hàng và lớp. Bảng cài, bảng
nỉ, bảng từ tính,…

-

Các bảng tính (bảng cộng, bảng nhân…), các bảng đơn vị đo lường. Các sơ đồ
và bảng mô tả, chỉ dẫn cách giải tốn điển hình, chỉ dẫn cách viết số, các phương
pháp tính, cách tính chu vi, diện tích hình,…Những bảng, biểu này được dùng khi
giảng bài hoặc treo trong lớp khi ơn tập,…

-

Những sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ trên bảng lớp ngay trong từng giờ dạy, giới thiệu những
nét bản chất nhất của đối tượng và quan hệ toán học cần nghiên cứu.


15

[25, tr.19]
1.5. Câu hỏi nghiên cứu và thiết kế nghiên cứu
1.5.1. Câu hỏi nghiên cứu
Trong phạm vi lí thuyết đã chọn, để đạt được mục tiêu nghiên cứu chúng tôi đặt
ra các câu hỏi sau:
CH1: Trong thể chế dạy học Toán lớp 3 và lớp 4 hiện hành, hệ đếm thập phân
được trình bày ra sao? Có những praxéologie nào liên quan đến tri thức này? Trong
đó, praxéologie nào liên quan đến phương diện vị trí, và praxéologie nào liên quan đến
phương diện thập phân được xây dựng?
CH2: Những phương tiện trực quan nào được SGK Toán lớp 3 và lớp 4 khai thác
để đưa vào hai phương diện vị trí và thập phân của hệ đếm?
CH3: Lựa chọn các bài tốn, tình huống nào để xây dựng tiểu đồ án dạy học hệ
đếm thập phân giúp HS hiểu rõ bản chất về hệ đếm thập phân? Cụ thể hơn, trong tiểu
đồ án dạy học đó những praxéologie nào cần hiện diện, những biểu diễn trực quan nào

có thể khai thác?
1.5.2. Thiết kế nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi giới hạn nghiên cứu dạy học hệ đếm thâp phân
trong phạm vi các số có nhiều chữ số, tương ứng với chương trình lớp 3 và lớp 4. Đi
tìm câu trả lời cho ba câu hỏi trên là nhiệm vụ nghiên cứu mà chúng tôi cần thực hiện.
Trong phần đặt vấn đề, chúng tôi đã chỉ ra hai phương diện của hệ đếm thập
phân. Để trả lời cho CH1, trước hết chúng tôi cần làm rõ các praxéologie tham chiếu,
được sắp xếp theo từng phương diện vị trí và thập phân. Về điểm này, Y. Chaachoua
(2016) đã đưa ra các praxéologie gắn với phương diện thập phân.
Trên cơ sở “lưới” praxéologie tham chiếu đã được thiết lập, chúng tôi sẽ thực
hiện một phân tích thể chế nhằm trả lời cho CH1. Đồng thời, CH2 cũng cần được trả
lời qua nghiên cứu thể chế này. Kết quả nghiên cứu thể chế sẽ được chúng tơi trình
bày trong chương thứ hai của luận văn.
Cũng trên cơ sở hệ thống praxéologie được thiết lập, chúng tơi sẽ xác định các
bài tốn, tình huống có thể lấy làm cơ sở để xây dựng tiểu đồ án dạy học hệ đếm thập
phân. Tiểu đồ án mà chúng tôi xây dựng sẽ được triển khai trên lớp học, qua đó có thể


16

kiểm chứng tính thỏa đáng, thậm chí là sự khiếm khuyết, nếu có, của tiểu đồ án. Kết
quả nghiên cứu này sẽ được trình bày ở chương cuối của luận văn.