Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng trong chương trình phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thu Hiền

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ KHÁI NIỆM TÍCH VƠ HƯỚNG
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thu Hiền

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ KHÁI NIỆM TÍCH VƠ HƯỚNG
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
Chun ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNGDẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Ái Quốc,
người đã tận tình hướng dẫn và động viên tơi trong suốt q trình thực hiện luận
văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn đến q thầy cơ: PGS. TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS.
Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Cơng Khanh về
những bài giảng didactic bổ ích. Tôi cũng xin chân thành gởi lời cảm ơn đến các
thầy cô của trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy lớp Cao
Học khóa 21 chúng tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot
và TS. Alain Birebent về những lời góp ý cho đề cương luận văn, quý thầy cô trong
hội đồng bảo vệ luận văn vì lời góp ý chân tình, sâu sắc.
Xin kính chúc q thầy cơ ln dồi dào sức khỏe và hạnh phúc.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng Khoa Học Cơng Nghệ và Sau Đại Học,
khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện
học tập tốt nhất cho chúng tôi.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn và các anh chị cùng lớp didactic
tốn khóa 21 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn,
đặc biệt là các em Vũ, Tú và Trang.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì những
sự quan tâm và động viên giúp tơi hồn thành khóa học. Luận văn này là món q
đặc biệt tơi dành tặng cho hai cô con gái nhỏ Nguyễn Phương Bảo Tâm và Nguyễn
Phương Bảo Phúc mới vừa chào đời.
Người thực hiện:
Trần Thị Thu Hiền

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................. 3
MỤC LỤC ........................................................................................ 4
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT............................................. 6
MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu ............................................................... 1
2. Khung lí thuyết tham chiếu .............................................................................. 4
3. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 4
4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ...................................... 5

Chương I KHÁI NIỆM TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ CÔNG
TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC PHỔ THÔNG LỚP 10 ............. 6
1. Khái niệm tích vơ hướng trong sách giáo khoa Hình học 10 ........................ 6
2. Khái niệm cơng trong sách giáo khoa Vật lí 10 ............................................ 16
3. Kết luận chương I ............................................................................................ 26

CHƯƠNG II THỰC NGHIỆM ................................................... 28
1.Mục đích thực nghiệm...................................................................................... 28
2. Hình thức thực nghiệm .................................................................................. 28
3. Xây dựng tình huống thực nghiệm ............................................................... 28
3.1. Tiểu đồ án didactic.....................................................................................28
3.2.Dàn dựng kịch bản .......................................................................................29
4. Phân tích tiên nghiệm..................................................................................... 31
4.1. Biến didactic, biến tình huống và giá trị của chúng ..................................31
4.1.1. Biến tình huống ...................................................................................31
4.1.2. Biến didactic .......................................................................................31
4.2. Các chiến lược ............................................................................................32
4.3. Phân tích kịch bản ......................................................................................34

5. Phân tích hậu nghiệm..................................................................................... 35
Pha 1 ..................................................................................................................35
Pha 2 ..................................................................................................................37
Pha 3 ..................................................................................................................41
Pha 4 ..................................................................................................................42

KẾT LUẬN .................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................. 1


PHỤ LỤC 1 ...................................................................................... 2
PHỤ LỤC 2: BÀI LÀM CỦA HỌC SINH ................................... 9


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK

: Sách giáo khoa.

SGV

: Sách giáo viên.

KNV

: Kiểu nhiệm vụ.

TVH

: Tích vơ hướng.

THPT

: Trung học phổ thông.

HS

: Học sinh


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu
Là giáo viên dạy Toán ở trường THPT, chúng tôi nhận thấy rằng đa số học sinh
cảm thấy áp lực khi đến trường vì bài vở quá nhiều, bài học của môn này chồng
chéo môn kia, các kiến thức chưa thật sự có sự liên kết chặt chẽ, liên thơng. Ngồi
ra kiến thức mơn Tốn thực sự có ứng dụng thực tế khơng, hay ít nhất, các em nghe
nói là Tốn học là mơn học cơ bản và nhờ sử dụng các kết quả Tốn học người ta
coi nó là công cụ đắc lực để giải quyết các vấn đề trong Vật Lý, trong Hóa học…
vấn đề này thể hiện như thế nào qua các bài học trong SGK? Hoặc theo như tinh
thần cải cách SGK của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo được viết trong Những vấn đề
chung về đổi mới giáo dục THPT mơn Tốn, NXB Giáo Dục 2007, trang 7 ghi:
“tích hợp nội dung để tiến tới giảm số môn học…tinh giản nội dung và tăng cường
mối liên hệ giữa các nội dung…” , hay trang 27 ghi: yêu cầu đổi mới SGK phải
“đảm bảo tính liên môn… các môn học hỗ trợ lẫn nhau, tránh trùng lặp, mâu
thuẫn”.Một vài lý do trên và cùng với sự tò mò của bản thân, mỗi khi giới thiệu
một kiến thức mới được giới thiệu cho các em, chúng tơi thường phải tìm hiểukiến
thức này có ứng dụng gì, từ đâu mà người ta nghĩ ra nó… Và với câu trả lời thỏa
đáng, đó thực sự là niềm vui lớn lao của chúng tôi và là niềm vui, động lực chính
đáng cho HS khi đến trường.Với khái niệm TVH của hai vec tơ ở năm lớp 10 cũng
vậy, chúng tơi rất muốn có câu trả lời thỏa đáng cho các câu hỏi đó của các em.

Với câu hỏi thứ nhất: nguồn gốc xuất hiện của khái niệm TVH, đây là một câu
hỏi lớn mà chúng tôi không đủ điều kiện để nghiên cứu vì khơng đủ thời gian và
khơng tìm được tài liệu và chúng tơi cũng rất tiếc vì điều này. Tuy nhiên, SGK Hình
Học 10 Nâng cao trang 46có viết:
Héc-man Grat-xơ-man (Hermann Grassmann 1808- 1877), nhà tốn học người
Đức, là cha đẻ của tích vơ hướng của hai vec tơ mà ông ký hiệu là 𝑢
�⃗
việc nghiên cứu thủy triều dẫn ông tới các khảo sát về vec tơ.

Trần Thị Thu Hiền

�⃗. Chính
𝑣

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


Vì vậy chúng tơi có nhận xét rằng khái niệm cơng là “nguồn cảm hứng” để hình
thành khái niệm TVH và khái niệm TVH ra đời xuất phát từ nhu cầu tìm một cơng
cụ để giải quyết các vấn đề trong vật lý? Nhận xét này chỉ có thể làm rõ bằng cách
đi tìm lịch sử hình thành khái niệm TVH. Tuy nhiên, chúng tơi khơng thực hiện
được vì các lý do như trên. Mặc dù vậy chúng tôi vẫn rất muốn tìm ra mối liên hệ,
các cách thể hiện của khái niệm TVH trong chương trình THPT.
Chúng ta đều nhận thấy Tích vơ hướng của hai vectơ là một khái niệm quan
trọng trong chương trình trung học phổ thơng mơn Tốn hiện hành ở Việt
Nam.Trong luận văn của mình, tác giả Đỗ Thị Hoàng Linh (2012) đã chỉ ra rõ vai
trị cơng cụ của tích vơ hướng của hai vectơ trong việc dạy học mơn Hình học lớp
10. Đó là TVH dùng để:
Chứng minh cơng thức hình chiếu
Chứng minh định lý cơsin trong tam giác thường

Xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng
Chứng minh một vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng
Ngồi ra, nó cịn được sử dụng để giải các bài tốn hình học phẳng như:
Chứng minh các tính chất hình học: chứng minh hai đường thẳng vng góc
với nhau, chứng minh tam giác vng cân, chứng minh bốn điểm cùng nằm
trên một đường trịn,…
Tính tốn: tính diện tích của hình phẳng, tính số đo một góc trong tam giác,
tính số đo góc của hai đường thẳng,…
Tìm quĩ tích
Tuy nhiên, tác giả này chỉ mới đề cập về vai trị cơng cụ cũng như những điều
kiện sinh thái cho phép khái niệm tích vơ hướng của hai vectơ được sống trong
chương trình Hình học 10. Chúng tơi muốn đề cập đến vai trị là cơng cụ của khái
niệm tích vơ hướng của hai vectơ trong cả chương trình trung học phổ thông nhằm
làm rõ hơn khái niệm này. Điều này khiến chúng tôi chọn đề tài “Một nghiên cứu
didactic về khái niệm tích vơ hướng trong chương trình trung học phổ

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


thơng”làm chủ đề cho luận văn của mình. Chúng tơi mong muốn tìm hiểu các nghĩa
của tích vơ hướng của hai vectơ có được HS khắc sâu sau khi họ học về khái niệm
này hay khơng.
Tuy nhiên, vì thời gian hạn hẹp nên chúng tôi không thể thực hiện việc nghiên
cứu một đề tài rộng lớn và thú vị như vậy. Hơn nữa, khái niệm TVH của hai vectơ
trong không gian ở các lớp trên chỉ là sự mở rộng tự nhiên của khái niệm TVH của
hai vectơ trong mặt phẳng ở lớp 10 và không tạo thêm thay đổi về bản chất khái
niệm. Chúng tôi xin hạn chế lại việc tìm hiểu của mình trong chương trình lớp 10

nhưng vẫn với mong muốn như trên với những vấn đề được đặt ra dưới đây.
Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến mối liên hệ giữa hai khái niệm tích vơ hướng
của hai vectơ và cơng vì chúng thể hiện được tính liên mơn trong việc dạy học hai
mơn: Tốn(mà cụ thể là mơn Hình học)và Vật lí ở trường phổ thông. Chúng tôi
quan sát được vấn đề xảy ra trong mơn Hình học 10 và Vật lí 10 như sau:
Khái niệm tích vơ hướng của hai vectơ được đưa vào trong dạy học mơn Hình
học 10 ở bài §2 “Tích vơ hướng của hai vectơ” tại chương II “Tích vơ hướng của
hai vectơ và ứng dụng”. Mở đầu bài này, SGK Hình học 10 đề cập:
Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực 𝐹⃗ tác động lên một vật tại điểm
O và làm cho vật đó di chuyển một qng đường s = OO’ thì cơng A của
lực 𝐹⃗ được tính theo cơng thức:

�������⃗� cosφ
𝐴 = �𝐹⃗ �. �𝑂𝑂′

Trong đó �𝐹⃗ � là cường độ của lực 𝐹⃗ tính bằng Niutơn (viết tắt là N),
�������⃗� là độ dài của vectơ 𝑂𝑂′
�������⃗ tính bằng mét (m),
�𝑂𝑂′

là góc giữa hai vectơ

�������⃗
𝑂𝑂′ và 𝐹⃗ , cịn cơng A được tính bằng Jun (viết tắt là J).

Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được
gọi là tích vơ hướng của hai vectơ 𝐹⃗ và �������⃗
𝑂𝑂′.
(Hình học 10, tr.41)

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


Khi quan sát các SGK mơn Vật lí cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông,
chúng tôi nhận thấy khái niệm công cơ học đã được đưa vào trong dạy học ở mơn
Vật lí lớp 8. Tuy nhiên, SGV Vật lí 8 nói rõ:
trưng của cơng cơ học thơng qua các ví dụ cụ thể. Cơng thức tính công A
= F.s học ở lớp 8 chỉ là một trường hợp đặc biệt (phương của lực tác dụng
trùng với phương Ở lớp 8, không đưa ra định nghĩa công cơ học mà chỉ
nêu dấu hiệu đặc chuyển dịch).
(SGV Vật lí 8, tr.72)
Phải đến lớp 10, HS được học định nghĩa khái niệm cơng cơ học của một lực và
có xét tất cả các trường hợp về công trong các SGK Vật lí lớp 10. Vậy tại sao tác
giả SGK lại không định nghĩa công bằng khái niệm TVH.
Từ đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi ban đầu sau:
- HS lớp 10 có thực sự nhận ra mối liên hệ giữa hai khái niệm tích vơ hướng và
cơng cơ học sau khi họ được học định nghĩa khái niệm công cơ học?
2. Khung lí thuyết tham chiếu
Chúng tơi lựa chọn phạm vi của chuyên ngành Didactic Toán để thực hiện việc
nghiên cứu của mình. Cụ thể, chúng tơi sử dụng các khái niệm “quan hệ thể chế”,
“quan hệ cá nhân”, “tổ chức tốn học” của lí thuyết nhân chủng học và các khái
niệm “tiểu đồ án”, “phân tích tiên nghiệm”, “phân tích hậu nghiệm” của lí thuyết
tình huống.
3. Mục đích nghiên cứu
Chúng tôi xác định các khái niệm:
- Mối quan hệ thể chế R(I,O 1 ),R(I,O 2 ) với I là thể chế dạy học phổ thơng mơn
Hình học và Vật lí lớp 10 hiện hành ở Việt Nam, O 1 là đối tượng tích vơ hướng của
hai vectơ, O 2 là đối tượng công cơ học. Trong luận văn này, đôi khi chúng tôi gọi

thay cụm từ “thể chế dạy học phổ thơng mơn Hình học và Vật lí lớp 10 hiện hành ở
Việt Nam” là “thể chế” hay “thể chế dạy học phổ thơng lớp 10”. Ngồi ra,cũng
trong luận văn này, các cụm từ “công cơ học” và “công” được sử dụng như nhau về

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


mặt nghĩa, các cụm từ “tích vơ hướng của hai vectơ” và “tích vơ hướng” cũng được
sử dụng như nhau về mặt nghĩa.
- Mối quan hệ cá nhân R(X,O 1 ), R(X,O 2 ) với X là HS.
Dựa theo khung lý thuyết tham chiếu đã chọn vàcâu hỏi được đặt ra ban đầu,
chúng tôi đặt lại những câu hỏi nghiên cứu sau mà việc tìm kiếm các yếu tố cho
phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:
CH1. Các khái niệm tích vơ hướng của hai vectơ và cơng được trình bày như thế
nào trong thể chế dạy học mơn Hình học và Vật lí lớp 10 hiện hành ở Việt Nam?
Chúng có mối liên hệ với nhau như thế nào?
CH2. HS hiểu như thế nào về mối liên hệ giữa hai khái niệm tích vô hướng và
công sau khi họ được học định nghĩa khái niệm công ở lớp 10?
4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
Nhằm đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi xác định phương pháp
nghiên cứu như sau:
Để trả lời cho câu hỏi CH1, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với các
đối tượng tích vơ hướng của hai vectơ và cơngthơng qua việc phân tích chương
trình và các SGKVật lí, Hình học lớp 10 hiện hành ở Việt Nam. Chúng tôi sẽ chỉ ra
mối liên hệ cũng như những chênh lệch trong việc học tậpliên mơn Hình học và Vật
lí lớp 10. Những điều này sẽ được trình bày trong chương I “Tích vơ hướng và
cơng trong thể chế dạy học phổ thông lớp 10”.
Để trả lời câu hỏi CH2, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trên đối tượng HS

lớp 10 nhằm làm rõ những suy nghĩ của họvề mối liên hệ giữa tích vơ hướng và
cơng thơng qua phiếu thực nghiệm. Từ đó, nếu khơng có sự hiện diện ở họ nghĩa
hình hoc (tích vơ hướng của hai vectơ)của khái niệm công, chúng tôi sẽ thiết kế một
dãy các tình huống để giúp họ hiểu rõ nghĩa này và khi đó, phần nào đảm bảo được
tính liên mơn giữa hai mơn Hình học và Vật lí lớp 10. Những điều này sẽ được trình
bày trong chương II “Thực nghiệm”.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


Chương I
KHÁI NIỆM TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ CƠNG
TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC PHỔ THƠNG LỚP 10
Mục đích của chương này là trả lời cho các câu hỏi CH1: “Các khái niệm
tích vơ hướng của hai vectơ và cơng được trình bày như thế nào trong thể chế dạy
học phổ thông mơn Hình học và Vật lí lớp 10 hiện hành ở Việt Nam? Chúng có mối
liên hệ với nhau như thế nào?”
Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và các sách
giáo khoa hiện hành. Tài liệu phân tích của chúng tơi gồm có: Chương trình giáo
dục phổ thơng mơn Tốn (2006); Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Vật lí
(2006); sách giáo khoa, sách bài tập và sách giáo viên Hình học; sách giáo khoa Vật
lí 8, sách giáo khoa, sách bài tập và sách giáo viên Vật lí 10. Chúng tơi cũng tiến
hành đối chiếu, so sánh với sách giáo khoa, sách bài tập và sách giáo viên Hình học
10 và Vật lí 10 Nâng cao.
1. Khái niệm tích vơ hướng trong sách giáo khoa Hình học 10
Trong SGK Hình học 10, khái niệm tích vơ hướng của hai vectơ được trình
bày ở bài §2 “Tích vơ hướng của hai vectơ” tại chương II “Tích vơ hướng của hai
vectơ và ứng dụng” (học kì I lớp 10). Nội dung bài §2 được trình bày thơng qua 4

đề mục:
-

Định nghĩa

-

Các tính chất của tích vơ hướng

-

Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng

-

Ứng dụng

Mục đích của bài §2:
- Học sinh nắm được định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ và các tính

chất của tích vơ hướng cùng với ý nghĩa vật lí của tích vơ hướng.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


- Học sinh biết sử dụng biểu thức tọa độ của tích vơ hướng để tính độ dài
của một vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ và
chứng minh hai vectơ vng góc với nhau.

(Sách Giáo viên Hình học 10, tr.41)
Ứng dụng của biểu thức tọa độ của tích vơ hướng đã được trình bày khá chi
tiết trong luận văn của tác giả Đỗ Thị Hoàng Linh (2012). Trong khuôn khổ của
luận văn này, chúng tôi chỉ quan tâm đến định nghĩa và tính chất của tích vơ hướng.
1.1. Định nghĩa và tính chất của tích vơ hướng
SGK Hình học 10 mở đầu bài học bằng ví dụ, một ứng dụng của tích vơ
hướng trong thực tế:
Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực 𝐹⃗ tác động lên một vật tại điểm
O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OO’ thì cơng A của
lực 𝐹⃗ được tính theo cơng thức:

�������⃗� cosφ
𝐴 = �𝐹⃗ �. �𝑂𝑂′

Trong đó �𝐹⃗ � là cường độ của lực 𝐹⃗ tính bằng Niutơn (viết tắt là N),
�������⃗� là độ dài của vectơ �������⃗
�𝑂𝑂′
𝑂𝑂′ tính bằng mét (m),

là góc giữa hai vectơ

�������⃗
𝑂𝑂′ và 𝐹⃗ , cịn cơng A được tính bằng Jun (viết tắt là J).

Trong tốn học, giá trị A của biểu thức trên (khơng kể đơn vị đo) được
gọi là tích vơ hướng của hai vectơ 𝐹⃗ và �������⃗
𝑂𝑂′.
(Hình học 10, tr.41)

Ngay sau ví dụ mở đầu, SGK đưa ra định nghĩa tích vơ hướng:

Định nghĩa
�⃗. Tích vơ hướng của 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ là một số,
Cho hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ khác vectơ 0
kí hiệu là 𝑎⃗. 𝑏�⃗, được xác định bởi công thức sau:
(Hình học 10, tr.41)

Trần Thị Thu Hiền

𝑎⃗. 𝑏�⃗ = |𝑎⃗|. �𝑏�⃗�. cos�𝑎⃗, 𝑏�⃗�.

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


trong đó, khái niệm góc giữa hai vectơ, kí hiệu �𝑎⃗, 𝑏�⃗� đã được trình bày ở bài §1

“Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ Oo đến 180o”. Cụ thể, SGK định nghĩa:

Cho hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ đều khác vectơ �0⃗ . Từ một điểm O bất kì, ta vẽ

�����⃗
� với số đo từ 0o đến 180o được gọi là góc
𝑂𝐴 = 𝑎⃗ và �����⃗
𝑂𝐵 = 𝑏�⃗. Góc 𝐴𝑂𝐵

giữa hai vectơ𝑎⃗ và 𝑏�⃗. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ là �𝑎⃗, 𝑏�⃗�. Nếu

���⃗ hoặc
�𝑎⃗, 𝑏�⃗� = 90° thì ta nói 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ vng góc với nhau, kí hiệu 𝑎⃗ ⊥ 𝑏
𝑏�⃗ ⊥ 𝑎⃗.

(Hình học 10, tr.38)
Sau khi định nghĩa tích vơ hướng, SGK chú ý:
���⃗khác vectơ �0⃗ ta có 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 0 ⇔ 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗
a)Với 𝑎⃗ và 𝑏

b) Khi 𝑎⃗ = 𝑏�⃗ tích vơ hướng 𝑎⃗. 𝑎⃗ được kí hiệu là 𝑎⃗2 và số này được gọi là
bình phương vơ hướng của vectơ 𝑎⃗.
Ta có 𝑎⃗2 = |𝑎⃗|. |𝑎⃗|. cos 0° = |𝑎⃗|2 .
(Hình học 10, tr.41)

Tiếp theo là ví dụ củng cố định nghĩa:
Ví dụ. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Khi đó ta
có (h.2.9)
1 2
𝑎 ,
2
1
�����⃗
𝐴𝐶 . �����⃗
𝐶𝐵 = 𝑎. 𝑎. cos120° = − 𝑎2 ,
2

�����⃗
𝐴𝐵 . �����⃗
𝐴𝐶 = 𝑎. 𝑎. cos60° =

������⃗
𝐴𝐻 . �����⃗
𝐵𝐶 = 𝑎. 𝑎. cos90° = 0.
(Hình học 10, tr.42)

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


Ngồi ví dụ nói trên, SGK cịn có hoạt động 1 “nhằm củng cố định nghĩa tích
vơ hướng của hai vectơ, đồng thời kết hợp ôn về các giá trị lượng giác của góc giữa
hai vectơ” (Sách Giáo viên Hình học 10, tr.58). Tuy nhiên, trong SGK, hoạt động 1
lại nằm trong mục2. Các tính chất của tích vơ hướng.
Về các tính chất của tích vơ hướng, SGK thừa nhận 4 tính chất sau đây:
Với ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏�⃗, 𝑐⃗ bất kì và mọi số k ta có:
𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 𝑏�⃗. 𝑎⃗ (tính chất giao hốn);

𝑎⃗. �𝑏�⃗ + 𝑐⃗� = 𝑎⃗. 𝑏�⃗ + 𝑎⃗. 𝑐⃗ (tính chất phân phối);
(𝑘𝑎⃗). 𝑏�⃗ = 𝑘. �𝑎⃗. 𝑏�⃗� = 𝑎⃗. (𝑘𝑏�⃗);
𝑎⃗2 ≥ 0, 𝑎⃗2 = 0 ⟺ 𝑎⃗ = �0⃗.
(Hình học 10, tr.42)

Các tính chất này được chứng minh chi tiết trong SGV. Từ 4 tính chất này, SGK
suy ra 3 tính chất hệ quả:
(𝑎⃗ + 𝑏�⃗)2 = 𝑎⃗2 + 2𝑎⃗. 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ 2 ;
(𝑎⃗ − 𝑏�⃗)2 = 𝑎⃗2 − 2𝑎⃗. 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ 2 ;
�𝑎⃗ + 𝑏�⃗��𝑎⃗ − 𝑏�⃗� = 𝑎⃗ 2 − 𝑏�⃗ 2 .
(Hình học 10, tr.42)

Tới đây, SGK đưa ra hoạt động 1. Ngồi ra, SGK khơng có hoạt động nào để
củng cố các tính chất này. Chúng tơi tự hỏi, liệu có phải do các tính chất của tích vơ
hướng có sự tương tự với các tính chất của phép nhân hai số thực mà SGK lại trình
bày “gọn nhẹ” như vậy hay không.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


Sau khi giới thiệu các tính chất của tích vơ hướng, SGK trình bày lại ứng dụng
của tích vơ hướng trong vật lí:
Ứng dụng. Một xe gng chuyển động từ A đến B dưới tác dụng của lực
𝐹⃗ . Lực 𝐹⃗ tạo với hướng chuyển động một góc 𝛼, tức là �𝐹⃗ , �����⃗
𝐴𝐵� = 𝛼
(h.2.10)

���⃗1 và ���⃗
���⃗1 vuông
Lực 𝐹⃗ được phân tích thành hai thành phần 𝐹
𝐹2 trong đó 𝐹
góc với �����⃗
𝐴𝐵 , cịn ���⃗
𝐹2 là hình chiếu của 𝐹⃗ lên đường thẳng AB. Ta có

���⃗2 . CơngAsinh ra lực 𝐹⃗ là A= 𝐹⃗ . �����⃗
���⃗1 + 𝐹
���⃗2 �. �����⃗
𝐴𝐵 =
𝐹⃗ = ���⃗
𝐹1 + 𝐹
𝐴𝐵 = �𝐹
���⃗
���⃗2 . �����⃗

𝐹1 . �����⃗
𝐴𝐵 + 𝐹
𝐴𝐵 = ���⃗
𝐹2 . �����⃗
𝐴𝐵.

���⃗1 không làm cho xe goòng chuyển động nên
Như vậy lực thành phần 𝐹
khơng sinh cơng. Chỉ có thành phần ���⃗
𝐹2 của lực 𝐹⃗ sinh cơng làm cho xe
gng chuyển động từ A đến B.

Cơng thức A= 𝐹⃗ . �����⃗
𝐴𝐵là cơng thức tính công của lực 𝐹⃗ làm vật di chuyển từ
A đến B mà ta đã biết trong vật lí.
(Hình học 10, tr.43)
Ứng dụng sử dụng các kết quả sau: phân tích một vectơ theo hai vectơ không
cùng phương (cụ thể là hai vectơ vng góc), tính chất kết hợp của tích vô hướng
và Chú ý “Với 𝑎⃗ và ���⃗
𝑏 khác vectơ �0⃗ ta có 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 0 ⇔ 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗”.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là: Tại sao lại phải phân tích lực 𝐹⃗ thành hai thành phần
���⃗
���⃗2 ?
𝐹1 và 𝐹

Đối chiếu với SGK Hình học 10 Nâng cao, chúng tơi nhận thấy phần định

nghĩa và các tính chất của tính vơ hướng được trình bày tương tự. Một số điểm khác
biệt có thể kể ra như sau:
- Khái niệm góc giữa hai vectơ được trình bày ngay trong bài §2 “Tích vơ
hướng của hai vectơ”.
- SGK Hình học 10 - Nâng cao khơng trình bày chú ý sau định nghĩa tích vơ
hướng. Thay vào đó, SGK đưa ra hoạt động 2 “Trường hợp nào thì tích vơ
hướng của hai vectơ 𝑎⃗và𝑏�⃗ bằng 0?”

- Các tính chất của tích vơ hướng được phát biểu thành định lí. Ngồi 4 tính
chất đã gặp trong SGK Hình học 10, SGKHình học 10 - Nâng cao giới thiệu
thêm tính chất phân phối đối với phép trừ: 𝑎⃗. �𝑏�⃗ − 𝑐⃗� = 𝑎⃗. 𝑏�⃗ − 𝑎⃗. 𝑐⃗.

- SGK Hình học 10 - Nâng cao chứng minh tính chất hệ quả số 3 và u cầu
học sinh chứng minh hai tính chất cịn lại.
- Sau khi trình bày các tính chất của tích vơ hướng, SGK Hình học 10 - Nâng
cao giới thiệu 4 bài tốn, trong đó có 3 bài ứng dụng tích vơ hướng để chứng
minh các tính chất hình học và 1 bài ứng dụng tích vơ hướng để tìm tập hợp
�����⃗ . Gọi B’ là hình chiếu
điểm. Đặc biệt, từ bài toán 3. “Cho hai vectơ������⃗
𝑂𝐴, 𝑂𝐵

của B lên đường thẳng OA. Chứng minh rằng �����⃗
𝑂𝐴. �����⃗
𝑂𝐵 = �����⃗
𝑂𝐴. �������⃗
𝑂𝐵′”,SGK cịn

thể chế hóa thành cơng thức hình chiếu:

�������⃗ được gọi là hình chiếu của vectơ �����⃗
Vectơ 𝑂𝐵′
𝑂𝐵 trên đường thẳng OA.
�������⃗ gọi là cơng thức hình chiếu.
Cơng thức �����⃗
𝑂𝐴. �����⃗
𝑂𝐵 = �����⃗
𝑂𝐴. 𝑂𝐵′
(Hình học 10 - Nâng cao, tr.49)

1.2. Các tổ chức tốn học liên quan đến tích vơ hướng
Trong phần này, chúng tơi phân tích các ví dụ và bài tập được đưa vào sách
giáo khoa và sách bài tập Hình học 10. Việc phân tích hệ thống bài tập cho phép chỉ
ra sự hiện diện của các tổ chức tốn học gắn liền với khái niệm tích vơ hướng.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


1.2.1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : Tính tích vơ hướng của hai
vectơ
�����⃗ .
Ví dụ. Tam giác ABC vng tại C có AC = 9, CB = 5. Tính �����⃗
𝐴𝐵. 𝐴𝐶
GIẢI

�����⃗

�����⃗ �. �𝐴𝐶
�����⃗ �. cos (𝐴𝐵
�����⃗ , 𝐴𝐶
�����⃗ ),
𝐴𝐵 . �����⃗
𝐴𝐶 = �𝐴𝐵
𝐴𝐶
�����⃗ , �����⃗
trong đó cos�𝐴𝐵
𝐴𝐶 � = (h.2.8)

�����⃗ = 𝐴𝐵. 𝐴𝐶.
Vậy �����⃗
𝐴𝐵. 𝐴𝐶

𝐴𝐵

𝐴𝐶

𝐴𝐵

= 𝐴𝐶 2 = 92 = 81.

(Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.79)

Kĩ thuật 𝝉𝟏 : Áp dụng công thức của định nghĩa 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = |𝑎⃗|. �𝑏�⃗�. cos�𝑎⃗, 𝑏�⃗�.
Cơng nghệ 𝜽𝟏 : Định nghĩa tích vơ hướng.

1.2.2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 2 :Chứng minh đẳng thức chứa
tích vơ hướng 1

Ví dụ. Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là một điểm tùy ý.
������⃗ = 𝑂𝑀2 − 𝑂𝐴2
Chứng minh rằng ������⃗
𝑀𝐴. 𝑀𝐵
GIẢI

������⃗. 𝑀𝐵
������⃗ + �����⃗
������⃗ + 𝑂𝐵
�����⃗ �
������⃗ = �𝑀𝑂
Ta có 𝑀𝐴
𝑂𝐴�. �𝑀𝑂

�����⃗ ) + �����⃗
�����⃗
�����⃗
= ������⃗
𝑀𝑂2 + ������⃗
𝑀𝑂. (𝑂𝐴
��
���
+ ��
𝑂𝐵
𝑂𝐴. 𝑂𝐵
�0⃗

�����⃗ = �0⃗ và �����⃗
�����⃗2 ).
(vì �����⃗

𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
𝑂𝐴. �����⃗
𝑂𝐵 = −𝑂𝐴

Vậy ������⃗
𝑀𝐴. ������⃗
𝑀𝐵 = 𝑂𝑀2 − 𝑂𝐴2 (vì �����⃗
𝑂𝐴2 = 𝑂𝐴2 , ������⃗
𝑀𝑂2 = 𝑂𝑀2 ).
(Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.79)
Kĩ thuật 𝝉𝟐 :

trong đó, vế trái của đẳng thức là một biểu thức liên quan đến tích vơ hướng, vế phải là một số thực hoặc
một biểu thức liên quan đến độ dài vectơ.
1

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


-

Phân tích các vectơ thành hai vectơ khơng cùng phương.

-

Sử dụng tích chất phân phối của tích vơ hướng, tính chất của bình
phương vơ hướng của một vectơ để biến đổi biểu thức liên quan đến
tích vơ hướng ở vế trái thành số thực hoặc biểu thức liên quan đến độ

dài vectơ ở vế phải.

Công nghệ 𝜽𝟐 : kĩ thuật phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương,

tính chất phân phối của tích vơ hướng, tính chất của bình phương vơ hướng của một
vectơ.

�⃗ và �𝒃⃗
1.2.3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 3 :Chứng minh hai vectơ 𝒂
vng góc với nhau

Ví dụ. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = 𝑎√2. Gọi K là trung
������⃗ vng góc với �����⃗
điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng 𝐵𝐾
𝐴𝐶 .
GIẢI

Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Ta có 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = √2𝑎2 + 𝑎2 = 𝑎√3.
�����⃗ = 0 (h.2.12).
Cần chứng minh ������⃗
𝐵𝐾 . 𝐴𝐶
1
������⃗ = �����⃗
������⃗ = �����⃗
Ta có 𝐵𝐾
𝐵𝐴 + 𝐵𝑀
𝐵𝐴 + �����⃗
𝐴𝐷
2

�����⃗
𝐴𝐶 = �����⃗
𝐴𝐵 + �����⃗
𝐴𝐷 .

�����⃗ = �𝐵𝐴
�����⃗ + 1 �����⃗
�����⃗ + �����⃗
������⃗ . 𝐴𝐶
Vậy 𝐵𝐾
𝐴𝐷 � . �𝐴𝐵
𝐴𝐷 �
2

1
1
= �����⃗
𝐵𝐴. �����⃗
𝐴𝐵 + �����⃗
𝐵𝐴. �����⃗
𝐴𝐷 + �����⃗
𝐴𝐷 . �����⃗
𝐴𝐵 + �����⃗
𝐴𝐷 . �����⃗
𝐴𝐷
1

2

2

= −𝑎⃗2 + 0 + 0 + �𝑎√2� = 0.
2

2

�����⃗ = 0. Ta có ������⃗
������⃗ . 𝐴𝐶
Do đó 𝐵𝐾
𝐵𝐾 vng góc với �����⃗
𝐴𝐶 .
(Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.82)

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


Kĩ thuật 𝝉𝟑 :
-

Phân tích các vectơ thành hai vectơ không cùng phương.

-

Chứng minh 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 0.

-

Kết luận hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ vng góc với nhau.

Cơng nghệ 𝜽𝟑 : kĩ thuật phân tích vectơ thành hai vectơ khơng cùng phương, tính

chất của tích vơ hướng: 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗ ⟺ 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 0.

�⃗ và
1.2.4. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụT 4 : Tính tích vơ hướng���⃗.
𝒂𝒃

�⃗, �𝒃⃗)
suy ra giá trị của góc (𝒂

Ví dụ. Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.
Tính �����⃗
𝐴𝐵. �����⃗
𝐴𝐶 rồi suy ra giá trị của góc A. (Bài tập 2.16a, Bài tập Hình học
10, tr.85)

GIẢI
�����⃗ − �����⃗
Ta có 𝐵𝐶 2 = �����⃗
𝐵𝐶 2 = (𝐴𝐶
𝐴𝐵 )2

�����⃗ . �����⃗
= �����⃗
𝐴𝐶 2 + �����⃗
𝐴𝐵2 − 2𝐴𝐶
𝐴𝐵

�����⃗ =
Do đó �����⃗
𝐴𝐵 . 𝐴𝐶

�����⃗ 2 +𝐴𝐵
�����⃗ 2 −𝐵𝐶 2
𝐴𝐶
2

=

82 +52 −72
2

= 20.

�����⃗ = 𝐴𝐵. 𝐴𝐶. cos 𝐴 = 5.8. cos𝐴 = 20,
Mặt khác �����⃗
𝐴𝐵 . 𝐴𝐶
suy ra cos𝐴 =

20
40

1
= ⟹ 𝐴̂ = 60°.
2

(Bài tập Hình học 10, tr.103)

Kĩ thuật 𝝉𝟒 :
-

Sử dụng các cơng thức tính chất hệ quả của tích vơ hướng để tính 𝑎⃗. 𝑏�⃗

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


-

�⃗
�⃗.𝑏

𝑎
Tínhcos�𝑎⃗, 𝑏�⃗� = |𝑎�⃗|.�𝑏
�⃗ �

Suy ra giá trị của �𝑎⃗, 𝑏�⃗�.

Nếu cos�𝑎⃗, 𝑏�⃗� > 0, suy ra �𝑎⃗, 𝑏�⃗� là góc nhọn, cos�𝑎⃗, 𝑏�⃗� < 0, suy ra �𝑎⃗, 𝑏�⃗�

là góc tù (nếu cần).

Cơng nghệ 𝜽𝟒 : các tính chất hệ quả của tích vơ hướng, tính chất của bình phương
vô hướng của một vectơ, công thức của định nghĩa tích vơ hướng, kĩ thuật tính giá
trị của góc 𝛼 khi biết cos 𝛼, tính chất của cos 𝛼 với 𝛼 từ 0o đến 180o.

Chúng tôi tổng kết số lượng nhiệm vụ tương ứng với 3 tổ chức toán học nói trên
trong bảng thống kê dưới đây:
T

Bài

Ví

Bài

tập

dụ

tập

SGK

SBT

SBT

0

4

6

7

0

1

3

1

5

�⃗ và �𝒃⃗ vng góc với nhau
𝒂

0

0

2

2

4

và suy ra giá trị của góc

0

0

0

3

3

Ví dụ

Kiểu nhiệm vụ

SGK

T 1 : Tính tích vơ hướng
của hai vectơ

ổ
n
g
1
7

T 2 : Chứng minh đẳng
thức vectơ liên quan đến
tích vơ hướng
T 3 :Chứng minh hai vectơ
�⃗. �𝒃⃗
T 4 : Tính tích vơ hướng𝒂
�⃗, �𝒃⃗)
(𝒂

Tổng

2
9

So với SGK Hình học 10, SGK Hình học 10 - Nâng cao có thêm kiểu nhiệm
vụ T 5 : Tìm tập hợp điểm thỏa mãn các đẳng thức liên quan đến tích vơ hướng.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


Tuy nhiên ta cũng có thể sắp xếp T4 nằm trong T1 vì KNV T4 cũng thực
hiện các kỹ thuật tính như T1 nhưng có thêm phần suy ra góc hợp bởi 2 vec tơ.
KNV T3 có thể sắp xếp nằm trong T2 với lý do nêu trên. Tuy nhiên ở đây chúng tôi
phân loại như thế này để khẳng định rõ hơn: bài tập và câu hỏi SGK đưa ra có thể
giúp HS vận dụng được TVH trong các bài tốn minh họa cho định nghĩa.
2. Khái niệm cơng trong sách giáo khoa Vật lí 10
Trước khi xem xét các khái niệm cơng trong SGK Vật lí lớp 10, chúng tôi
nêu lại khái niệm công được mô tả trong mơn Vật lí 8:
Nếu có một lực F tác dụng vào vật, làm vật dịch chuyển một quãng
đường s theo hướng của lực thì cơng của lực F được tính bằng cơng thức
sau: A = F.s, trong đó: A là công của lực F, F là lực tác dụng vào vật, s là
quãng đường vật di chuyển.
(Vật lí 8, tr.47)
Trong đó, SGK Vật lí 8 sử dụng hai thuật ngữ “công” và “công cơ học” như
nhau về mặt nghĩa. SGV Vật lí 8 lưu ý:
Thuật ngữ cơng cơ học chỉ dùng trong trường hợp có lực tác dụng vào vật
làm vật chuyển dời.
(Vật lí 8, tr.48)

Thật ra, “Cơng thức tính công A = F.s học ở lớp 8 chỉ là một trường hợp đặc
biệt” (SGV Vật lí 8, tr.72). SGV Vật lí 8 đề cập các trường hợp khác bằng hai câu
chú ý ngay sau khi mô tả khái niệm trên:
- Nếu vật chuyển dời không theo phương của lực thì cơng được tính bằng
một cơng thức khác sẽ học ở lớp trên.
- Nếu vật chuyển dời theo phương vuông góc với phương của lực thì
cơng của lực đó bằng khơng.
(SGK Vật lí 8, tr.47)

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


Tất cả các bài tập về công ở SGK và SBT Vật lí 8 cho thấy lực tác dụng lên
vật có hai loại: một là, cùng hướng với chuyển động của vật; hai là, vng góc với
phương chuyển động của vật.
Trong SGK Vật lí 10, khái niệm cơng được đưa vào dạy học ở bài §24
“Cơng và cơng suất” trong chương IV “Các định luật bảo toàn” của phần một “Cơ
học”(học kì II lớp 10). Khái niệm này được định nghĩa như sau:
Khi lực 𝐹⃗ không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt của lực đó chuyển

dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc 𝛼 thì cơng thực
hiện bởi lực đó được tính theo cơng thức: 𝐴 = 𝐹𝑠cosα.

(Vật lí 10, tr.129)
Tới đây chúng tôi nhận thấy:Học sinh chỉ thực sự học định nghĩa cơng trong
trường hợp tổng qt ở học kì II lớp 10. Trong khi đó, ngay từ khi học khái niệm
tích vơ hướng ở học kì I lớp 10, SGK Hình học đã giới thiệu cơng như một ví dụ
ứng dụng của khái niệm tích vơ hướng. Điều này là khơng hợp lí. Mặt khác, biểu

thức 𝐹𝑠cosα trong định nghĩa cơng nói trên thật ra chỉ là “dạng khai triển” của tích
vơ hướng 𝐹⃗ . 𝑠⃗, tại sao SGK Vật lí 10 không viết ngắn gọn là 𝐴 = 𝐹⃗ . 𝑠⃗?
Ngồi ra, SGV Vật lí 10 Nâng cao lưu ý:

Vì trong mơn Tốn ở lớp 10, thời gian này HS chưa được học tích vơ hướng,
nên dựa vào cách phân tích lực thành hai thành phần, ta loại bỏ được thành
phần lực vng góc với độ dời (vì khơng có độ dời theo phương của lực vng
góc, tức là thiếu một yếu tố của cơng). Từ đó xây dựng được cơng thức dạng
tổng qt 𝐴 = 𝐹𝑠cosα.

(SGV Vật lí 10 Nâng cao, tr.149)
Tóm lại, đã có một sự nhầm lẫn trong việc sắp xếp chương trình của hai bộ
mơn Tốn và Vật lí ở lớp 10.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


Trở lại với khái niệm công,trước khi phát biểu định nghĩa, SGK Vật lí 10 xây
dựng cơng thức tính cơng trong trường hợp tổng qt bằng cách “phân tích lực”
thơng qua ví dụ sau:
Xét một máy kéo, kéo một cây gỗ trượt trên đường bằng một sợi dây căng. Lực kéo 𝐹⃗

nằm theo phương nghiêng của dây được phân tích ra hai thành phần là 𝐹⃗𝑛 và 𝐹⃗𝑠 (Hình
24.2): 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑛 + 𝐹⃗𝑠 , trong đó 𝐹⃗𝑛 vng góc với phương chuyển dời và 𝐹⃗𝑠 nằm theo
�������⃗ của cây gỗ.
phương chuyển dời 𝑀𝑁

Hình 24.2

Ta thấy rằng nếu chỉ có 𝐹⃗𝑛 tác dụng thì khơng tạo ra chuyển dời mong muốn. Trái lại
�������⃗ (MN = s). Nói
chính thành phần 𝐹⃗𝑠 của 𝐹⃗ đã kéo cây gỗ chuyển dời theo hướng 𝑀𝑁

cách khác, chỉ có thành phần 𝐹⃗𝑠 của 𝐹⃗ sinh công. Công này gọi là công của lực 𝐹⃗ , được
tính theo cơng thức: 𝐴 = 𝐹𝑠 . 𝑀𝑁 = 𝐹𝑠 . 𝑠 (24.2)

�������⃗ (Hình 24.3), ta có: 𝐹𝑠 = 𝐹cosα.
Gọi 𝛼 là góc tạo bởi lực 𝐹⃗ và chuyển dời 𝑀𝑁

Hình 24.3
Vì vậy, cơng thức (24.2) có thể viết: 𝐴 = 𝐹𝑠cosα.

(Vật lí 10, tr.128 – 129)

Có thể thấy SGK Vật lí 10 đã sử dụng một trong những tính chất của tích vơ
hướng làm nền tảng để định nghĩa khái niệm cơng. Đó là cơng thức hình chiếu:
𝐴 = 𝐹⃗ . 𝑠⃗ = 𝐹⃗𝑠 . 𝑠⃗ = 𝐹𝑠 . 𝑠. cosα, trong đó 𝐹⃗𝑠 là hình chiếu của vectơ 𝐹⃗ trên đường
thẳng có phương cùng phương với giá của vectơ 𝑠⃗.

Việc sử dụng cách “phân tích lực” mà khơng dùng định nghĩa của tích vơ

hướng của hai vectơ để đưa đến khái niệm cơng có thể có hai lí do sau đây: một là,

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…


như đã nói, các nhà viết SGK Vật lí 10 cho rằng tại thời điểm này, HS chưa học về

khái niệm tích vơ hướng của hai vectơ; hai là, việc “phân tích lực” như cách mà
SGK đã làm là việc làm quen thuộc và có hệ thống từ bài đầu tiên ở chương II và
kéo dài qua chương IV của phần Cơ học. Từ đây, chúng tôi dễ dàng suy ra: “Phân
tích lực” là kĩ thuật được SGK ưu tiên sử dụng để giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên
quan đến cơng. Chúng tơi tự hỏi: Liệu HS có gặp khó khăn nào khơng khi sử dụng
kĩ thuật “phân tích lực” phải giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cơng? Và
nếu dùng khái niệm tích vơ hướng của hai vectơ để định nghĩa cơng thì HS có thể
khắc phục được những khó khăn đó khơng và việc dùng khái niệm tích vơ hướng có
thể gây cho HS khó khăn nào khác?
Sau khi định nghĩa khái niệm công, SGK Vật lí 10 biện luận theo góc
α (chính xác hơn là theo dấu của giá trị cosα) và giới thiệuhai loại công: công phát

động và công cản.
a)

nhọn, cosα > 0, suy ra A > 0; khi đó A gọi là công phát động.

b) α = 90𝑜 , cosα = 0, suy ra A = 0; khi điểm đặt của lực chuyển dời theo
phương vng góc với lực thì lực sinh công A = 0.
c)
[…]

tù, cosα < 0, suy ra A < 0.

Khi góc

giữa hướng của lực 𝐹⃗ và hướng của chuyển dời là góc tù thì lực 𝐹⃗ có

tác dụng cản trở chuyển động và công do lực 𝐹⃗ sinh ra A < 0 được gọi là công
cản (hay công âm).

(Vật lí 10, tr.129 – 130)

Tới đây, SGK Vật lí 10 đưa ra hoạt động C2 (xác định dấu của cơng A trong
một số trường hợp) và một ví dụ nhằm củng cố định nghĩa (tính cơng của lực kéo
của động cơ và công của lực ma sát trượt trong trường hợp lực kéo cùng chiều với
chuyển động).

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vơ hướng…