Nghiên cứu didactic về giải toán bằng cách lập hệ phương trình ở trung học cơ sở luận vănthạc sĩ giáo dục học chuyên ngành lí luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.22 MB, 100 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Minh Vân
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ GIẢI TỐN BẰNG CÁCH
LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Minh Vân
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ GIẢI TỐN BẰNG CÁCH
LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ
Chun ngành: Lý luận & PPDH mơn Tốn
Mã số
: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Ts. Trần Lương Cơng Khanh
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CÁM ƠN
Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Lương Công
Khanh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,
TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi
những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic tốn, cung cấp cho chúng tơi những
cơng cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Annie Bessot, PGS. TS. Claude
Comiti, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giải đáp những thắc mắc và truyền đạt cho
chúng tôi những kiến thức Didactic quý báu.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm
TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng thầy cơ trong tổ Tốn trường THPT Lương Văn Chánh
đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học
của mình.
- Tập thể lớp Didactic K20 đã ln cùng tơi chia sẻ những niềm vui và khó
khăn trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong
gia đình đã luôn động viên, giúp đỡ tôi về mọi mặt.
Nguyễn Thị Minh Vân
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cám ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
CHƯƠNG 1. TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP “GIẢI TỐN BẰNG CÁCH
LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” .............................................................................6
1.1.
Thế nào là “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” .......................6
1.1.1. “Giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” trong [1]......................7
1.1.2. “Giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” trong [8]......................9
1.1.3. Chỉ dẫn cho việc lập các phương trình trong [18] và [22] ............12
1.2.
Sự giao nhau giữa “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” và “giải
tốn bằng cách lập phương trình” ..........................................................................15
1.3.
Các bài tốn được giải bằng cách lập hệ phương trình .....................16
1.3.1.
Các bài tốn trong [1].....................................................................16
1.3.2.
Các bài tốn trong [8].....................................................................22
1.4.
“Giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” – một phương pháp giải
toán gắn với các “vấn đề thực tiễn”. ......................................................................28
CHƯƠNG 2. “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH”
TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC .......................................................................32
2.1.
Pháp
“Giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” trong thể chế dạy học
32
2.1.1. Những ghi nhận lý thuyết ..............................................................34
2.1.2. Bài tập ...........................................................................................38
2.2.
Nam
“Giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” trong thể chế dạy học Việt
46
2.2.1. Những ghi nhận lý thuyết ..............................................................47
2.2.2. Bài tập ...........................................................................................56
2.2.3. “Đặc điểm” của các bài toán được giải bằng “giải tốn bằng cách
lập hệ phương trình” ...........................................................................................63
2.3.
Kết quả phân tích thể chế ..................................................................70
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM........................................................................73
3.1.
Mục đích thực nghiệm .......................................................................73
3.2.
Hình thức và tổ chức thực nghiệm ....................................................73
3.3.
Phân tích thực nghiệm .......................................................................74
3.3.1. Giới thiệu câu hỏi thực nghiệm .....................................................74
3.3.2. Phân tích a priori ...........................................................................75
3.3.3. Phân tích a posteriori .....................................................................84
3. 4 Kết luận từ thực nghiệm.........................................................................88
KẾT LUẬN ......................................................................................................90
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................92
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GTHPT
: Giải toán bằng cách lập hệ
phương trình
GTPT
: Giải tốn bằng cách lập phương
trình
GV
: Giáo viên
HPT
: Hệ phương trình
HS
: Học sinh
PT
: Phương trình
SBT
: Sách bài tập
SGK
: Sách giáo khoa
SGV
: Sách giáo viên
Tr.
: Trang
THSC
: Trung học cơ sở
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1- Các cách giải bài toán “Vừa gà, vừa thỏ”………………………...........10
Bảng 1.2- Những vấn đề then chốt cần nắm vững khi lập PT………………...........13
Bảng 1.3-Phân
loại
các
bài
toán
được
giải
bằng
cách
lập
PT,
HPT…………………………………………. ……………………………... 16
Bảng 2.1-Lời giải bài tốn chứa quy trình của GTHPT trong thể chế
Pháp...………………………………………. ……………………………... 34
Bảng 2.2-Các điểm đặc trưng của GTHPT trong thể chế Pháp …………............... 45
Bảng 2.3-GTPT trong CT94 và CT20……………………….. …………............... 47
Bảng 2.4-So sánh giữa CT94 và CT20 về GTHPT……………………………. ….54
Bảng 2.5-Số lượng các loại toán được giải bằng GTHPT trong thể chế…….. ……56
Bảng 2.6-Một số bài toán trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 liên quan đến
GTHPT…………………………………………………………… ……….. .59
Bảng 2.7-Các vấn đề được đề cập trong các bài tốn được giải bằng
GTHPT……………………………………………………….…………….. 61
Bảng 3.1-Các lời giải có thể cho câu hỏi 1……………………………….…….. …77
Bảng 3.2-Các lời giải có thể cho câu hỏi 2……………………………….…….. …81
Bảng 3.3-Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 1…………….……......... 83
Bảng 3.4-Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 2…………….……......... 85
Bảng 3.5-Thống kê số lượng các lời giải có đặt điều kiện cho ẩn của câu hỏi
1………………………………………………….…………….…… ……….86
Bảng 3.6-Thống kê số lượng các lời giải có đặt điều kiện cho ẩn của câu hỏi
2………………………………………………….…………….…… ……….86
MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Một bài toán cổ mà nhiều thế hệ học sinh Việt Nam đều biết:
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho trịn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?
Bài tốn này đã có mặt trong sách giáo khoa lớp 8 xuất bản năm 1989, 1997
và cả trong sách giáo khoa lớp 8, 9 chương trình hiện hành (chương trình cải cách
năm 2000).
Ở sách giáo khoa lớp 8 năm 1989 và 1997, nó là một ví dụ trong bài học Giải
tốn bằng cách lập phương trình (trang 90 và trang 74). Đến sách giáo khoa lớp 8
hiện hành, bài toán này xuất hiện với tư cách là một “bài toán cổ rất quen thuộc ở
Việt Nam”, được đưa vào phần mở đầu của Chương III - PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT MỘT ẨN với câu hỏi “Nó có liên hệ gì với bài tốn: Tìm x, biết 2x + 4(36 –
x) = 100?”, rồi sau đó là Ví dụ 2 của bài học Giải toán bằng cách lập phương trình
(trang 24). Và đến sách giáo khoa lớp 9 hiện hành, các tác giả đã lấy bài toán này để
mở đầu Chương III - HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, cụ thể:
“trong bài tốn trên, ngồi đại lượng chưa biết là số gà, ta thấy còn một đại lượng
chưa biết khác là số chó. Nếu kí hiệu x là số gà và y là số chó thì:
- Giả thiết có tất cả 36 con vừa gà vừa chó được mơ tả bởi hệ thức x + y = 36.
- Giả thiết có tất cả 100 chân được mô tả bởi hệ thức 2x + 4y = 100.
Các hệ thức trên là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.” (trang 4).
Như vậy bài tốn trên khơng những được “phiên dịch” thành một phương trình
bậc nhất một ẩn mà cịn thành một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Điều này cịn
được trình bày cụ thể trong Giáo trình đào tạo giáo viên THCS, hệ Cao đẳng sư
phạm của Nhà xuất bản giáo dục năm 1998 (trang 111) qua đoạn sau:
-
Hay trong cuốn Sáng tạo Toán học, tập I (Mathematical discovery) của G.
Polia (bản dịch của Phan Tất Đắc, Nguyễn Sĩ Tuyển, NXB Hà Nội -1975), bài tốn
này có phiên bản khác là “một chủ trại nọ, nuôi gà và thỏ, cả thảy 50 con, gồm 140
chân. Hỏi chủ trại có bao nhiêu gà và thỏ?”. Tác giả đã trình bày nhiều cách giải
của bài toán như nhẩm, dùng sự nhanh trí (ý chói lọi - chia đơi số chân), tuy nhiên
nhấn mạnh đến một phương pháp “áp dụng được cả trong trường hợp các số lớn
lẫn số nhỏ, áp dụng được trong một tập hợp vơ hạn các bài tốn, nó chẳng cần phải
có những ý chói lọi hiếm hoi mà chỉ đòi hỏi phải nắm vững những điều cơ bản của
ngơn ngữ đại số”, sau đó “phiên dịch” bài tốn sang ngơn ngữ của các kí hiệu tốn
học đó là hệ phương trình
, với x là số gà, y là số thỏ. Sau đó sách
hướng dẫn bạn đọc đến phương pháp lập một “hệ thống phương trình rồi đưa đến
một phương trình” để giải một số bài toán (trang 49 - 59).
Như vậy, bài tốn cổ trên gắn bó chặt chẽ với một phương pháp giải toán dành
cho học sinh bậc Trung học cơ sở (THCS), đó là “giải tốn bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình”. Vì nội dung “giải tốn bằng cách lập phương trình” đã được
một học viên cao học khác nghiên cứu nên chúng tôi chọn nghiên cứu nội dung
“giải tốn bằng cách lập hệ phương trình”. Với những điều quan sát được ở trên,
chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát như sau:
Q’0: Vì sao bài tốn cổ “vừa gà vừa chó” lại được chọn để giới thiệu các bài
học mới về “giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”?
Q’1: Có sự giao nhau nào giữa “giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” và
“giải tốn bằng cách lập phương trình”? Bản chất của các phương pháp giải tốn
này là gì? Những ràng buộc nào của các bài tốn dẫn đến việc lập hệ phương trình
thay vì phương trình?
Q’2: Nội dung “giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” được trình bày như
thế nào trong sách giáo khoa qua các thời kì? Có được thể chế ưu tiên phát triển
khơng? Nó hướng đến mục tiêu dạy học nào? Tồn tại những quan niệm, những quy
tắc ứng xử nào của giáo viên và học sinh khi dạy và học nội dung này?
Q’3: Nội dung này có tồn tại ở thể chế dạy học các nước khác hay khơng? Có
gì giống và khác nhau với thể chế dạy học Việt Nam?
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích của luận văn là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên, qua đó có cái
nhìn tồn cảnh về nội dung “giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” theo quan
điểm Didactic Tốn. Vì vậy chúng tơi lựa chọn các cơng cụ lí thuyết sau đây:
- Thuyết nhân học: với thuyết nhân học, chúng tơi sẽ tiến hành phân tích các
thể chế, các tài liệu từ đó cho phép tìm ra sự tồn tại cũng như quá trình phát
triển của nội dung “giải tốn bằng cách lập hệ phương trình”…
- Lí thuyết tình huống: với khái niệm Hợp đồng didactic, chúng tơi muốn tìm
ra những quy tắc ngầm ẩn trong việc dạy – học nội dung này.
3. Câu hỏi nghiên cứu
Từ cơng cụ lí thuyết đã chọn, chúng tơi viết lại các câu hỏi nghiên cứu sau:
Q1: Thế nào là “giải tốn bằng cách lập hệ phương trình”? Có sự giao nhau
nào với “giải toán bằng cách lập phương trình”? Những bài tốn có ràng buộc như
thế nào thì được giải bằng cách lập hệ phương trình? Mục tiêu dạy học nào gắn với
“giải toán bằng cách lập hệ phương trình?
Q2:“Giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” được trình bày như thế nào
trong thể chế dạy học? Nó có được thể chế ưu tiên khơng? Có tồn tại ở thể chế dạy
học các nước khác khơng? Có sự giống nhau hay khác nhau nào so với thể chế Việt
Nam?
Q3: Tồn tại những quy tắc nào của hợp đồng didactic trong việc dạy và học
nội dung này?
4. Phương pháp nghiên cứu
Đầu tiên, chúng tơi sẽ tìm hiểu “giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” qua
các tài liệu về phương pháp giảng dạy mơn Tốn để nắm được nội dung cũng như
những vấn đề liên quan. Tiếp đó, chúng tơi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể
chế với nội dung “giải toán bằng cách lập hệ phương trình”. Chúng tơi sẽ tiến hành
trên 2 bộ sách giáo khoa lớp 9 ở Việt Nam: chương trình chỉnh lí hợp nhất năm
1994 và chương trình cải cách năm 2000 và sách Mathématiques 3è trong bộ
Triangle, bộ sách của Pháp dành cho học sinh chương trình song ngữ Pháp - Việt ở
Việt Nam. Chúng tôi sẽ tiến hành một so sánh, tìm kiếm sự giống nhau, khác nhau
cũng như sự ưu tiên của thể chế dành cho phương pháp giải toán này ở thể chế dạy
học Pháp và Việt Nam. Cuối cùng, chúng tơi sẽ tìm hiểu xem học sinh ứng xử như
thế nào thông qua hợp đồng dạy học nội dung này bằng một thực nghiệm.
Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi được sơ đồ hóa như sau:
Nghiên cứu
Nghiên cứu quan hệ thể chế
khoa học luận
(Pháp và Việt Nam)
GIẢ THUYẾT
NGHIÊN CỨU
THỰC NGHIỆM
(Hợp đồng didactic)
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 5 phần:
Phần mở đầu: gồm những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, mục đích
nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc
luận văn.
Chương 1: trình bày những nội dung và những vấn đề liên quan của phương
pháp “giải tốn bằng cách lập hệ phương trình”.
Chương 2: gồm những phân tích thể chế đối với thể chế dạy học Pháp và Việt
Nam và những kết luận được rút ra thông qua so sánh 2 thể chế.
Chương 3: trình bày thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết được rút ra ở
cuối Chương 2.
Phần kết luận: tóm lại một số kết quả đạt được từ Chương 1, 2, 3 và những đề
xuất, gợi mở cho luận văn.
CHƯƠNG 1. TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP “GIẢI TỐN
BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH”
Mục đích của chương:
Chương 1 sẽ trả lời cho câu hỏi Q1: Thế nào là “giải toán bằng cách lập hệ
phương trình” (GTHPT)? Có sự giao nhau nào với “giải tốn bằng cách lập phương
trình” (GTPT)? Những bài tốn có ràng buộc như thế nào thì được giải bằng cách
lập hệ phương trình? Mục tiêu dạy học nào gắn với GTHPT?
Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng tìm hiểu những vấn đề liên quan đến
phương pháp GTHPT để có cái nhìn tồn cảnh về nó ở cấp độ phương pháp dạy học.
1.1.
Thế nào là “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình”
“Giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” là một phương pháp giải tốn dành
cho học sinh cuối THCS, được bố trí vào học kì 2 của lớp 9. Vì thế nó hầu như vắng
mặt trong các giáo trình Tốn ở bậc đại học cũng như cao đẳng. Chúng tơi ghi nhận
sự có mặt của nó trong các tài liệu sau:
[1]: Giáo trình đào tạo giáo viên THCS_hệ Cao đẳng sư phạm. Tài liệu này là
một lựa chọn tốt nhất cho chúng tôi theo như tên gọi của nó.
[8]: Sáng tạo Tốn học, tập 1. Chúng tơi chọn tài liệu này vì tính phổ biến của
nó, nhất là [8] dành hẳn 1 chương để nói về GTHPT. Nó cũng là tài liệu tham khảo
cho các giáo trình phương pháp khác, chẳng hạn sách [12].
[18]: Chuyện hay Toán học. Tài liệu này tập hợp các vấn đề thú vị của toán
học và vấn đề nghiên cứu của chúng tơi có mặt trong đó.
[12]: Phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng (các tình huống dạy
học điển hình).
1.1.1. “Giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” trong [1]
Trong [1], GTHPT được trình bày trong Chương 6 CÁC BÀI TỐN THỰC
TẾ. Nó là “phương pháp chung nhằm giải các bài tốn loại tìm tịi, diễn đạt bằng
ngơn ngữ thơng thường và nội dung của bài tốn đề cập đến những vấn đề xung
quanh đời sống sinh hoạt, lao động và học tập mà ta gọi các bài toán đó là bài tốn
thực tế. ” (tr. 111).
Trước khi đi vào trình bày cụ thể phương pháp, [1] đã đưa vào bài tốn cổ
“Vừa gà, vừa chó” như là cách để dẫn dắt vấn đề. Phương pháp chung để giải các
bài tốn thực tế được [1] trình bày là:
- Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn số (nếu có).
- Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho.
- Lập phương trình (các phương trình).
- Giải phương trình (hệ phương trình).
- Chọn nghiệm thích hợp, trả lời. (tr. 112 – 113)
Các bước này được gọi là “trình tự các bước trong lời giải bài tốn bằng
cách lập phương trình, hệ phương trình”. (tr. 112, mục c). Với trình tự này ta
thấy khơng có sự phân biệt giữa GTHPT và GTPT về quy trình thực hiện, chỉ khác
nhau ở số phương trình được lập. Vậy đâu là lí do để dẫn đến việc lập hệ phương
trình HPT thay vì phương trình PT? Chúng tơi sẽ phân tích vấn đề này ở phần sau.
Từ đây, GTHPT được xác định gồm các bước:
- Chọn các ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn số (nếu có).
- Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho.
- Lập các phương trình.
- Giải hệ phương trình.
- Chọn nghiệm thích hợp, trả lời.
Để thực hiện quy trình 5 bước trên, sách [1] đã đưa ra những hướng dẫn cần
cho sinh viên bằng mục 2, tr.111 “nghệ thuật lập phương trình”. Nghệ thuật này
gồm có việc “đặt ẩn số” và “lập phương trình” được trình bày ở tr.112.
• Đặt ẩn số: “Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm. Thơng thường bài tốn u cầu tìm cái gì
(các cái gì) thì ta đặt cái đó (các cái đó) là ẩn (các ẩn)…Cũng có khi ta gặp những bài tốn và
với cách đặt ẩn như thế mà PT lập nên quá phức tạp và khó khăn thì cần thay đổi cách chọn
ẩn … hoặc chọn thêm ẩn … Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập
phương trình dễ dàng hơn.”
• Lập phương trình: “Sau khi đặt ẩn ta tiến hành biểu thị các đại lượng qua các số đã biết
và ẩn số. Để lập được PT (các PT) ứng với bài toán cần giải, ta cố gắng hình dung thật cụ thể
và rõ ràng điều kiện của bài tốn (quan hệ giữa cái cần tìm, cái chưa biết và cái đã cho).
Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, “phiên dịch” mỗi
phần theo ngôn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí, sau đó kết hợp những
phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một lượng bằng hai cách khác nhau thành
một đẳng thức. Như vậy ta sẽ có PT. Thơng thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn,
cần thiết lập bấy nhiêu PT. Cũng có trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó
khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến giải PT nghiệm nguyên”.
Việc lập PT, sau đó là HPT là bước chính trong GTHPT, và “muốn làm được
điều đó trước tiên ta phải nắm vững “ngôn ngữ đại số”, thứ ngôn ngữ khơng dùng
đến lời mà chỉ sử dụng các kí hiệu tốn học, sau đó ta phải biết ““phiên dịch”” từ
ngôn ngữ thông thường sang “ngôn ngữ đại số”.” (tr. 111).
Trong “nghệ thuật lập phương trình” trên, chúng tơi ghi chú cụm ““phiên
dịch” mỗi phần theo ngôn ngữ đại số”. Khơng có một chỉ dẫn nào cho từ ““phiên
dịch”” trong giáo trình này, tuy nhiên theo nghiên cứu của chúng tơi ở phần sau, có
thể hiểu cụm từ này là “viết lại các phần theo ngôn ngữ đại số” hay “viết các biểu
thức đại số”. Như thế để lập được PT, cần phải biết viết các biểu thức đại số biểu
diễn cho cùng 1 lượng.
1.1.2. “Giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” trong [8]
Một chỉ dẫn cho phép chúng tôi chọn tham khảo [8] là đoạn “khi cậu học sinh
trung học giải “bài tốn bằng lời” (word problem) nhờ “hệ thống phương trình” 1
thì cậu ta đang đi theo lược đồ Đề-các” (dịng 21, tr. 49).
Trong Chương 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỀ-CÁC, “Đề-các muốn nêu ra một
phương pháp tồn năng để giải tốn. Đây là lược đồ mà Đề-các mong đợi áp dụng
được vào mọi dạng bài tốn”:
“Bước 1: một bài tốn bất kì được đưa về một bài toán toán học.
Bước 2: một bài toán toán học được đưa về một bài toán đại số.
Bước 3: bất kì bài tốn đại số nào được đưa về giải một phương trình duy
nhất. ” (tr.48)
Cũng theo [8],
“mặc dầu lược đồ Đề-các không được áp dụng trong mọi trường hợp, thì cũng khơng loại trừ
một điều là nó lại thích hợp trong một số rất lớn các trường hợp, bao gồm cả nhiều trường
hợp quan trọng nhất. Ngay cả khi cậu học sinh trung học giải “bài tốn bằng lời” nhờ “hệ
thống phương trình” thì cậu ta đang đi theo lược đồ Đề-các và sẵn sàng vận dụng nghiêm túc
quan niệm toàn năng làm nền tảng cho lược đồ đó”. (tr. 49).
Như vậy, GTHPT là trường hợp áp dụng được của lược đồ Đề-các. Để làm rõ
hơn cho phương pháp tồn năng của Đề-các, [8] trình bày bài toán nhỏ “Vừa gà,
vừa thỏ” 2(tr.49):
Một chủ trại nọ, nuôi gà và thỏ, cả thảy 50 con, gồm 140 chân. Hỏi chủ trại có
bao nhiêu gà và thỏ?
[8] nêu ra 4 cách giải bài tốn này (trích từ trang 50 – 53), thể hiện qua bảng
sau.
1
2
Trong bản gốc là setting up equations: lập phương trình
Tên do chúng tơi đặt.
Bảng 1.1 - Các cách giải bài toán “Vừa gà, vừa thỏ”.
Nhẩm
(xấp xỉ liên tiếp)
Thử các đáp án có thể:
Số gà lần lượt là: 50 – 0 – 25 – 30 - … tương ứng số thỏ là 0
– 50 – 25 – 20 - … và tính số chân, so với dữ kiện được kết quả là
30 gà, 20 thỏ.
“bắt mỗi con gà đứng trên 1 chân và mỗi con thỏ đứng trên 2
Ý chói lọi
chân sau”, tức chỉ cịn 70 chân. 70 chính là số gia súc mà gà được
tính 1 lần và thỏ được tính 2 lần, do đó số thỏ bằng 70 – 50 = 20, số
gà là 30.
Gọi x là số gà và y là số thỏ thì x, y là nghiệm HPT
Bằng đại số
x y 50
2 x 4 y 140
Thay số gà là h, số chân là f. Gọi x là số gà, y là số chân thì
Khái quát hóa
f
, đưa đến kết quả y = h . Đây
2 x 4 y f
2
x y h
x, y là nghiệm hệ
chính là kết quả của cách giải “ý chói lọi” trên.
Hai cách giải “bằng đại số” và “khái quát hóa” thực ra là như nhau, chỉ khác ở chỗ
thay 2 số 50 và 140 bằng hai chữ “h và f”. Từ kết quả của bài toán nhỏ này, [8]
nhấn mạnh ưu thế của cách giải đại số so với cách giải trước.
Với việc dùng 1 bài tốn có thể giải bằng phương pháp số học để giới thiệu về
phương pháp đại số ta có thể xem GTHPT đánh dấu 1 bước chuyển trong giải toán,
từ số học sang đại số. Và cũng từ ví dụ cho thấy được tính cạnh tranh của cách giải
đại số, xem như là cách giới thiệu tốt nhất một phương pháp giải tốn.
“phương pháp đó áp dụng được cả trong trường hợp số lớn lẫn số nhỏ, áp dụng được trong
một tập hợp vơ hạn các bài tốn, nó chẳng cần phải có những ý chói lọi hiếm hoi mà chỉ đòi
hỏi phải nắm vững những điều cơ bản của ngôn ngữ đại số.” (tr. 52).
Ở trên ta thấy xuất hiện từ ““phiên dịch”” như ở [1]. Đối với [8], việc “phiên
dịch” đôi lúc thật dễ dàng trong các bài tốn nhỏ trên nhưng đơi lúc là một cơng
việc khó khăn, trích từ các trang 56 – 59:
“Bước 1: Khi đã hiểu rõ bài toán rồi thì trước hết bạn hãy đưa nó về việc tìm những lượng
chưa biết nào đó… Ta phải phân biệt thật rõ:
- đối tượng phải tìm thuộc loại nào (ẩn hay các ẩn là gì).
- cái gì đã cho hoặc đã biết (các dữ kiện là gì).
- các ẩn và các dữ kiện liên quan với nhau như thế nào, bằng những quan hệ nào (điều kiện là
gì).
Bước 2: Giả thiết rằng bài toán đã giải xong, hãy nghiên cứu nó một cách tự nhiên nhất và
theo một trình tự thích ứng, hãy cố hình dung thật cụ thể mọi quan hệ, mà theo đó điều kiện
cần phải có giữa các ẩn và các dữ kiện.
Bước 3: Hãy tách ra một phần điều kiện cho phép biểu diễn cùng một lượng bằng hai
phương pháp khác nhau để được một PT ràng buộc các ẩn số. Rút cuộc lại có bao nhiêu ẩn
số, bạn phải chia điều kiện ấy thành bấy nhiêu phần để bằng cách ấy đi đến bấy nhiêu PT.
Bước 4: hãy đưa hệ thống PT về một PT duy nhất”.
Dừng ở bước 3, [8] có đoạn “mục đích đặt ra khá là rõ ràng: ta cần có được
một hệ thống gồm n phương trình với n ẩn số…sau khi tính các ẩn số đó, ta phải
được lời giải của bài toán” (tr.57).
Đến đây, khi n ≥ 2, ta thấy được các bước giải một bài toán bằng cách đưa về
1 HPT và ta có thể xem GTHPT gồm ba bước 1, 2, 3 ở trên.
Để lập được PT, [8] nhấn mạnh “ muốn được một phương trình, cần biểu diễn
cùng 1 lượng bằng hai phương pháp khác nhau”. Điều này cũng được ghi nhận ở
[1]. Qua hai tài liệu trên, mấu chốt của GTHPT là việc lập phương trình. Vậy để
làm được điều này cần được trang bị những gì? Ta có thể thấy những hướng dẫn rõ
ràng từ 4 bước trên. Đồng thời, chúng tôi ghi nhận thêm những hướng dẫn cho việc
“phiên dịch” như sau:
1.1.3. Chỉ dẫn cho việc lập các phương trình trong [18] và [22]
Trước hết, chúng tơi đưa ra giải thích cho từ ““phiên dịch”” xuất hiện trong
[1] và [8]. Theo [22], “lập phương trình giống như “phiên dịch” (translate) từ một
ngôn ngữ này sang một ngôn ngữ khác. Sự so sánh này, được dùng bởi Newton
trong Arithmetica Universalis, cho phép làm rõ những khó khăn mà GV và HS gặp
phải” 3 (tr. 174, dòng 1 – 4).
Như vậy, việc lập PT chính là việc “phiên dịch” và [22] đã “định nghĩa” việc
lập PT như sau: “lập PT tức là diễn tả bằng các kí hiệu tốn học một điều kiện được
cho bằng lời; đó là “phiên dịch” từ ngơn ngữ thơng thường sang ngơn ngữ của các
cơng thức tốn học”. (tr. 174, dòng 6 – 10) 4
Với “định nghĩa” này thì muốn tạo thuận lợi cho việc lập PT ta phải cho HS có
cơ hội thực hành việc “diễn tả bằng các kí hiệu tốn học một điều kiện được cho
bằng lời”. G. Polya đã so sánh những khó khăn khi lập PT giống như khó khăn khi
dịch từ tiếng Anh sang tiếng Pháp mà gặp nhiều thành ngữ. Ngoài việc cố gắng hiểu
hết những điều kiện bài toán đặt ra, còn phải biết “tách điều kiện ra thành những
phần khác nhau và tự hỏi: liệu có thể viết chúng ra không?”
Ở đây ta gặp lại ý của cụm từ ““phiên dịch” mỗi phần theo ngôn ngữ đại
số” mà chúng tôi đã ghi chú ở trên. Một lần nữa cho thấy, biết viết các biểu thức đại
số là một việc phải được làm trước khi tiến hành lập các phương trình. Từ đây, một
vấn đề đặt ra: Trong thể chế dạy học, biểu thức đại số có được giảng dạy và học
sinh có được yêu cầu thực hành về chúng trước khi học giải tốn bằng cách lập
hệ phương trình? Những bài tập về viết biểu thức đại số có đủ để tạo thuận lợi
cho việc “phiên dịch” sau này hay không?
3
“Setting up equations is like translation from one language into another. This comparison, used by
Newton in his Arithmetica Universalis, may help to clarify the nature of certain difficulties often felt both by
students and by teachers” (p.174)
4
“To set up equations means to express in mathematical symbols a condition that is stated in words”
(p. 174)
Để hướng dẫn cho việc “phiên dịch”, [22] trình bày các ví dụ với các phân tích
chi tiết. Một kĩ thuật hỗ trợ được đưa ra, đó là chia trang giấy làm 2 bên. Một bên
trình bày những phần điều kiện được cho bằng lời, một bên diễn đạt lại các phần
điều kiện đó bằng ngơn ngữ đại số. Chẳng hạn, ví dụ trang 175:
Ngồi kĩ thuật chia cột trong [22], chúng tơi cịn ghi nhận thêm những hướng
dẫn cho việc lập phương trình trong [18]. Trong mục IV-18, trang 371, từ ngơn ngữ
đời thường đến ngơn ngữ tốn học, những vấn đề liên quan đến việc ““phiên dịch””
được trình bày như sau: “Đến những năm cuối cấp phổ thông cơ sở , chúng ta bắt
đầu tiếp xúc với PT. Lập được PT là một việc cũng đau đầu nhức óc lắm, nhiều em
thường vò đầu bứt tai khi lập PT. Kì thực, chỉ cần nắm vững những vấn đề then
chốt là khơng cịn cảm thấy khó khăn nữa. Đúng như Newton đã nói, vấn đề mấu
chốt là làm sao từ ngôn ngữ đời thường dịch sang ngôn ngữ đại số.” Những vấn
đề then chốt cần nắm vững ở đây là:
Bảng 1. 2 – Những vấn đề then chốt cần nắm vững khi lập phương trình
Phương pháp những quan hệ số lượng cơ bản
tốc độ * thời gian = quãng đường.
đơn giá * số lượng = tổng số tiền.
hiệu suất công việc * thời gian công việc = khối
lượng công việc…
Phương pháp công thức cơ bản:
các công thức về hình học là những loại quan
hệ có số lượng bằng nhau: cơng thức tính chu
vi, diện tích…,
Có một số quan hệ bằng nhau trong đề tốn
Phương pháp vẽ hình:
tương đối trừu tượng, phải dùng phương pháp
lập bảng hoặc vẽ hình để thể hiện được quan hệ
bằng nhau.
Phương pháp từ ngữ then chốt:
các từ như “nhiều bao nhiêu”, “ít bao nhiêu”,
“gấp(ít) mấy lần, bao nhiêu”…là các từ ngữ
then chốt.
Phương pháp khơng đổi:
Có những đề tốn, dù nhiều tình tiết biến đổi
nhưng chung quy vẫn có một đại lượng khơng
biến đổi.
Qua bảng trên ta thấy rằng việc nắm vững các kiến thức đã học và có khả năng suy
luận là điều kiện để một học sinh biết cách lập các PT. Vì vậy, địi hỏi thể chế phải
có những bước chuẩn bị hợp lí để tạo điều kiện thuận lợi cũng như giảm bớt khó
khăn khi lập các PT.
Tóm lại, GTHPT có thể được hiểu như sau:
1. Là một quy trình gồm các bước: lập phương trình (chọn ẩn, biểu thị các đại
lượng qua ẩn số và các số đã cho); giải hệ phương trình, chọn nghiệm và trả lời.
2. Là một phương pháp giải toán đánh dấu bước chuyển từ số học sang đại số.
3. Để thực hành giải toán bằng GTHPT cần nắm vững các vấn đề mấu chốt (quan
hệ số lượng cơ bản, công thức cơ bản, …) và biết viết các biểu thức đại số
chuyển từ ngôn ngữ đời thường sang ngôn ngữ đại số.
4. Để lập được một PT cần biểu diễn cùng 1 lượng bằng hai phương pháp khác
nhau.
1.2.
Sự giao nhau giữa “giải tốn bằng cách lập hệ phương trình” và
“giải tốn bằng cách lập phương trình”
Ở kết quả phân tích trên ta thấy cả [1] và [8] đều không phân biệt giữa
GTHPT và GTPT về mặt quy trình. Ý tưởng thực hiện là như nhau, khác nhau ở “số
ẩn được gọi và số phương trình được lập”. Sự giao nhau giữa 2 phương pháp giải
toán thể hiện qua các ý sau:
1. Quy trình thực hiện GTHPT và GTPT đều suy ra từ 1 quy trình chung:
Trong [1] là quy trình:
Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn số (nếu có).
Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho.
Lập phương trình (các phương trình).
Giải phương trình (hệ phương trình).
Chọn nghiệm thích hợp, trả lời. (tr. 112 – 113)
Trong [8], GTHPT hay GTPT là quy trình gồm ba bước 1, 2, 3 theo lược đồ
Đề-các.
2. GTHPT và GTPT đều được dùng để giải các bài toán bằng lời và có nội dung
liên quan giống nhau.
Các bài tốn được đưa ra trong [1] khơng có sự phân chia kiểu bài toán nào
giải bằng GTHPT và bài toán nào giải bằng GTPT mà chỉ đề nghị giải bằng quy
trình chung trên. Nhiều bài tốn đều có thể giải đồng thời bằng GTHPT và GTPT,
chẳng hạn bài toán cổ mở đầu hoặc Ví dụ 6, trang 118:
Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157.
[1] đề nghị 2 cách “phiên dịch” đối với bài tốn này, có thể đưa về HPT hoặc
x y 17
; x 2 (17 x) 2 157 .
x 2 y 2 157
PT sau
3. Học sinh được học về PT trước HPT. Các bài toán giải bằng cách lập PT được
giảng dạy trước. Khi đó, với 1 bài tốn đồng thời có thể lập PT và HPT để giải
thì rõ ràng GTPT được ưu tiên hơn.
Sự giao nhau giữa GTHPT và HPT sẽ được chúng tôi làm rõ hơn qua các
phần sau. Sau đây, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu các bài toán được [1] và
[8] đề nghị giải bằng GTHPT hoặc GTPT, từ đó rút ra những điểm đặc trưng của
các bài toán được giải bằng GTHPT, đồng thời rút ra những kết luận về tương
giao giữa GTHPT và GTPT.
Các bài tốn được giải bằng cách lập hệ phương trình
1.3.
1.3.1. Các bài tốn trong [1]
Trong mục II “CÁC BÀI TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI” của Chương 6,
[1] phân loại các bài toán “được giải bằng cách lập PT, HPT” thành 2 dạng: TOÁN
BẬC NHẤT và TOÁN BẬC HAI. Bậc của bài toán là bậc của PT, HPT thu được
sau khi “phiên dịch”, điều này được hiểu thơng qua các ví dụ chứ khơng có “định
nghĩa” rõ ràng.
Chúng tơi sẽ tóm tắt các dạng toán được [1] phân chia, kèm theo các ví dụ
điển hình qua bảng sau:
Bảng 1.3 – Phân loại các bài toán được giải bằng cách lập HPT, PT.
Loại tốn
Tốn tìm số
Tốn bậc 1
Tốn bậc 2
Hai số kém nhau 12 đơn vị. nếu
Tìm hai số biết tổng là
chia số nhỏ cho 7 và chia số lớn cho 5 17 và tổng các bình phương
thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ của chúng là 157. (HPT, PT)
hai 4 đơn vị. Tìm hai số đó. (HPT) 5
5
Ghi chú này chỉ kết quả “phiên dịch” là PT hay HPT trong bài giải sách [1].
Hai đội công nhân cùng làm
Dân số của thành phố Hà
chung một công việc và dự định làm Nội sau hai năm tăng từ
xong trong 12 ngày. Họ cùng làm với 2.000.000 lên 2.048.288 người.
Toán năng suất (toán
bậc nhất) và Tốn
tăng trưởng (tốn bậc
hai)
nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều Tính xem hàng năm trung bình
động làm việc khác, đội 2 tiếp tục dân số tăng bao nhiêu phần
làm. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất trăm? (PT)
gấp đơi nên đội 2 đã làm xong phần
việc cịn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi
nếu mỗi đội làm một mình thì bao
nhiêu ngày xong cơng việc trên (với
năng suất bình thường). (HPT)
Cho một tam giác vuông. Nếu
Cạnh huyền của một tam
tăng các cạnh góc vng lên 2 cm và giác vng bằng 10 m. Hai
Tốn hình học
3 cm thì diện tích tam giác tăng thêm cạnh góc vng hơn kém nhau
50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm 2 m. Tìm các cạnh góc vng.
thì diện tích tam giác sẽ giảm đi 32 (PT)
cm2. Tính hai cạnh góc vuông của tam
giác. (HPT)
Một ô tô dự định đi quãng
Một ca nô xuôi một khúc
đường AB dài 60 km tron một thời sông dài 90 km rồi ngược về
gian nhất định. Trên nửa quãng đường 36 km. Biết thời gian xi
Tốn chuyển động
đầu, do đường xấu nên thực tế ơ tơ chỉ dịng nhiều hơn thời gian
đi với vận tốc ít hơn dự định 6 km. Để ngược dòng là 2 giờ và vận tốc
đến B đúng dự định, ô tơ phải đi xi dịng hơn vận tốc ngược
qng đường còn lại mỗi giờ dự định dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc ca
hơn 10 km. Tìm thời gian dự định để nơ lúc xi dịng và lúc ngược
ơ tơ đi hết quãng đường. (PT)
Cho một lượng dung dịch chứa
dòng? (PT)
Người ta hòa lẫn 8 gam
10 % muối. Nếu pha thêm 200 gam chất lỏng này với 6 gam chất
Toán các loại khác
nước thì được một dung dịch 6%. Hỏi lịng khác có khối lượng riêng
có bao nhiêu gam dung dịch đã cho. nhỏ hơn nó 200 kg/m3 để được
(PT)
hỗn hợp có khối lượng riêng là
700 kg/m3. Tìm khối lượng
riêng mỗi chất lỏng. (PT)
Theo [1] các bài toán được giải bằng cách lập PT, HPT gồm 5 loại. Căn cứ
theo tên mỗi loại ta thấy nội dung của chúng liên quan đến nội tại toán học và các
lĩnh vực khác như vật lí, hóa học, đời sống sinh hoạt của con người... GTHPT và
GTPT có thể dùng để giải các bài tốn bậc 1 hoặc bậc 2. Chúng tơi sẽ bàn sâu hơn
về mỗi loại toán.
Đối với toán tìm số:
- Hầu hết các bài tốn đều u cầu tìm các số tự nhiên.
- Các dạng thường gặp: tìm 2 chữ số của một số có hai chữ số, tìm 2 số với dữ
kiện đủ để lập HPT hoặc PT. Ta xét thêm ví dụ sau:
Bài tập 2/122 6: Tổng của hai số bằng 136. Nếu lấy số nhỏ chia cho 4 và số
lớn chia cho 6 thì tổng của hai thương là 28. Tìm hai số đó.
Đối với tốn tìm số, các phép tốn trên tập các số tự nhiên là cơ sở để tạo đề
toán. Nên GTHPT có cơ hội được thực hành với 1 lớp vơ hạn các bài toán này.
Nếu tuân theo “bài toán yêu cầu tìm các cái gì thì ta đặt các cái đó là các ẩn”
như hướng dẫn trong nghệ thuật đặt ẩn số thì bài tốn 2/122 trên có thể giải bằng
cách lập HPT. Tuy vậy, ta cũng có thể lập PT để giải khi gọi số thứ nhất là x thì số
thứ 2 là 136 - x, mà điều này là dễ thực hiện vì mối liên hệ giữa 2 số phải tìm trong
trường hợp này là “dễ dàng thấy được”.
Tương tự, Ví dụ 6/118 7: với dữ kiện “tổng hai số bằng 17” thì mối liên hệ giữa
hai đại lượng cần tìm là khá rõ ràng, như vậy ta cũng có thể lập PT để giải tốn. Tuy
nhiên, [1] đưa ra hướng dẫn ở một khía cạnh khác:
6
7
Kí hiệu 2/122 là bài tập hay ví dụ 2 nằm ở trang 122, kí hiệu này thống nhất trong luận văn.
Xem cuối mục 1.2
