Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Quang Minh

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã
tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tơi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS.
Trần Lương Cơng Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tơi
những kiến thức q giá về didactic tốn.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn cùng khóa; lãnh đạo và đồng nghiệp ở
Trường CĐSP Nha Trang nơi tôi công tác; lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH
Trường ĐHSP TP.HCM; Ban giám hiệu cùng các thầy cơ trong tổ Tốn Trường THPT Trần
Đại Nghĩa, Trường THPT Tân Bình và Trung tâm bồi dưỡng văn hóa Nguyễn Thượng Hiền
đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tơi trong q trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân u trong gia đình đã ln cho tôi niềm

tin và động lực để học tập và công tác tốt.
LÊ QUANG MINH


MỞ ĐẦU

1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong lịch sử phát triển của tốn học, hình học vectơ ra đời sau hình học giải tích
(HHGT). Sự ra đời này được phôi thai từ ý tưởng của Leibniz là xây dựng một hệ thống tính
tốn trong nội tại hình học, sao cho vừa khai thác được cơng cụ của đại số như phương pháp
giải tích, lại vừa tận dụng được yếu tố trực quan của phương pháp tổng hợp trong nghiên
cứu hình học.
Tuy ra đời sau, hình học vectơ và HHGT đã được hình thành theo những cách thức hoàn
toàn độc lập với nhau. Nhưng từ khi xuất hiện vectơ thì việc xây dựng HHGT đã trở nên dễ
dàng hơn. Có lẽ vì thế mà ngày nay hầu hết các giáo trình mơn tốn, từ phổ thơng đến đại
học, đều khai thác vectơ để trình bày HHGT. Đặc biệt, nếu như trước đó việc lập phương
trình các đường thẳng, mặt phẳng được giải quyết theo một cách thức phức tạp và khơng
trọn vẹn, thì giờ đây, với sự xuất hiện của công cụ vectơ, vấn đề trở nên dễ dàng, đơn giản
hơn nhiều. Về vấn đề này, ta biết rằng tồn tại một cách tiếp cận khác, được đặt trong phạm
vi của đại số tuyến tính. Tuy nhiên, ở bậc phổ thơng thì khơng thể tiếp cận theo cách đó vì
học sinh chưa được nghiên cứu ngành tốn học này. Trong trường hợp đó, đường thẳng, mặt
phẳng được tiếp cận như thế nào? Ngoài hai cách tiếp cận trên, liệu còn cách tiếp cận nào
khác ? Cách tiếp cận mà sách giáo khoa tốn bậc phổ thơng lựa chọn ảnh hưởng ra sao đến
việc dạy và học của giáo viên và học sinh?
Một cách cụ thể hơn, chúng tơi tự đặt ra cho mình hai câu hỏi :
-

Q’1 : Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng, mặt phẳng và các vấn
đề liên quan đến chúng đã được tiếp cận như thế nào ?

-

Q’2 : Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, những nội dung này xuất
hiện ra sao? Công cụ vectơ đã được khai thác như thế nào trong việc nghiên cứu
chúng? Cách trình bày của sách giáo khoa (SGK) có ảnh hưởng gì đến việc học
HHGT của học sinh?

Đề tài Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thơng mà chúng
tơi theo đuổi nhằm mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi trên.
Về các đối tượng “đường thẳng, mặt phẳng”, liếc qua chương trình mơn tốn hiện đang
được áp dụng ở bậc trung học phổ thông (THPT), chúng tơi thấy có một sự thay đổi quan


trọng : nếu như trước kia, các kiến thức về vectơ trong không gian chỉ được dạy ở lớp 12,
sau khi quan hệ vng góc (giữa các đường thẳng, mặt phẳng) đã được nghiên cứu ở lớp 11
bằng phương pháp tổng hợp, thì giờ đây, chương trình quy định sử dụng vectơ ngay từ lớp
11 để nghiên cứu quan hệ này. Ghi nhận đó càng khiến chúng tơi quan tâm hơn đến vai trị
của cơng cụ vectơ trong dạy học hình học ở THPT theo chương trình hiện hành. Nó dẫn
chúng tôi đến với việc mở rộng phạm vi nghiên cứu : không chỉ giới hạn trong nội dung
HHGT dạy ở lớp 10 và lớp 12, chúng tôi sẽ xem xét cả vai trò của vectơ trong việc nghiên
cứu quan hệ vng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ở đây, cần giải thích rõ là trong
phần HHGT dạy ở lớp 12 nội dung này cũng được xem xét, ngay cả theo chương trình cũ.
Vậy cái mới ở đây là gì ? Phải chăng câu trả lời nằm ở chú thích ghi trong sách giáo viên :
“Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vng góc trong khơng gian làm cho cách diễn
đạt một số nội dung hình học được gọn gàng hơn”. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ hơn câu trả
lời trong luận văn của mình.
Trong luận văn này chúng tôi dùng thuật ngữ “quan điểm vectơ” với nghĩa xem vectơ
như là công cụ để thiết lập các kiến thức của hình học liên quan đến đường thẳng và mặt
phẳng cũng như những vấn đề liên quan đến chúng mà chương trình đề cập đến. Trong
khn khổ của luận văn, chúng tôi giới hạn xem xét hai vấn đề :

- Thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng và xét vị trí tương đối giữa chúng.
- Nghiên cứu quan hệ vng góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Cũng do điều kiện hạn chế về thời gian, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu việc dạy học hình
học theo chương trình nâng cao.
2. Điểm qua những cơng trình có liên quan
Liên quan trực tiếp đến đề tài của chúng tơi, bằng tiếng việt, chúng tơi tìm thấy luận văn
thạc sĩ của Hoàng Hữu Vinh (2002) : nghiên cứu didactic tốn về hoạt động của cơng cụ
vectơ trong hình học lớp 10. Luận văn đã chỉ ra được những ứng dụng của công cụ vectơ
trong việc xây dựng các kiến thức và giải tốn hình học, cho thấy những điểm giống và khác
nhau trong cách trình bày của SGK năm 1990 và năm 2000. Đặc biệt, luận văn khẳng định
phương pháp sử dụng công cụ vectơ để giải tốn khơng được khắc sâu trong học sinh như
phương pháp tổng hợp. Công cụ vectơ chỉ luôn sẵn sàng sử dụng ở một số rất ít học sinh.
Khi thực hiện các bước giải tốn bằng cơng cụ vectơ, học sinh còn gặp sai lầm khi biến đổi
các biểu thức vectơ và khó khăn trong việc chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt được
kết quả.


Luận văn trên chỉ nghiên cứu vectơ trong chương trình và SGK hình học lớp 10 từ năm
2000 trở về trước. Ở đó, khơng có HHGT và việc xây dựng quan hệ vng góc trong khơng
gian hồn tồn khơng sử cơng cụ vectơ. Vì vậy, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu vai trị của
cơng cụ vectơ trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán HHGT cùng với quan hệ
vng góc trong khơng gian.
3. Khung lý thuyết tham chiếu
Chúng tơi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết Didactic tốn. Cụ thể,
chúng tơi sử dụng thuyết nhân học với các khái niệm sau:
3.1. Chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactic)
Trong nhà trường phổ thông, đối với một mơn học, người ta khơng thể dạy cho học sinh
tồn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích luỹ được trong suốt thời gian tồn tại trên
địa cầu. Hơn nữa, để tri thức bộ môn trở nên có thể dạy được, cần phải chọn lựa, sắp xếp và
tái cấu trúc lại nó theo một liên kết lơgic, phục vụ cho một mục tiêu dạy học xác định.

Chuyển đổi didactic, nói một cách đơn giản, là q trình biến đổi một đối tượng tri thức bác
học thành một đối tượng tri thức dạy học. Việc quy định các đối tượng cần dạy được thể
hiện thơng qua chương trình, SGK, đề thi, tài liệu ôn thi, nhất là Bộ Giáo dục và Đào tạo,
các tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK.
Khái niệm này được vận dụng nhằm xác định khoảng cách giữa tri thức khoa học và tri
thức cần giảng dạy đối với việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, vị trí tương
đối và quan hệ vng góc của đường thẳng, mặt phảng. Nó cũng giúp nghiên cứu tính hợp
pháp của tri thức cần giảng dạy và giải thích được một số ràng buộc của thể chế dạy học ở
phổ thông đối với các kiến thức nêu trên.
3.2. Cách đặt vấn đề sinh thái học
Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho phép sự
tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng vectơ, đường thẳng và mặt phẳng cũng như mối liên
hệ giữa chúng, bởi vì như Chevallard đã nói: “… Một đối tượng tri thức O không tồn tại độc
lập trong một thể chế mà nó có mối quan hệ trương hỗ và thứ bậc với các đối tượng khác
trong cùng thể chế. Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của nó
trong thể chế. Nói cách khác, các đối tượng này hợp thành điều kiện sinh thái cho cuộc sống
của đối tượng tri thức O trong thể chế đang xét.”
3.3. Quan hệ thể chế


Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I
có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có vai trị gì, tồn tại
ra sao,… trong I?
3.4. Quan hệ cá nhân
Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân
X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác
O ra sao?
Muốn nghiên cứu R(X,O) ta cần đặt nó trong R(I,O).
3.5. Tổ chức toán học
Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T,  ,  ,  ],

trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải T,  là công nghệ giải thích
cho kỹ thuật  , cịn  là lí thuyết giải thích cho cơng nghệ  . Một praxéologie mà các
thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức tốn học (TCTH).
Việc phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối
quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X duy
trì đối với tri thức O. Nói cách khác, nó giúp chúng tơi bổ sung cho phần trả lời cho câu hỏi
Q’2
4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu – phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận
văn
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, câu hỏi xuất phát Q’2
được cụ thể hóa thành những câu hỏi sau:
Q1. Từ cách tiếp cận sinh thái học, trong thể chế dạy học hình học ở phổ thơng, vectơ được
đưa vào ở thời điểm nào, nhằm mục đích gì? Nó có quan hệ như thế nào với những vấn
đề khác của chương trình, đặc biệt là với các nội dung về đường thẳng và mặt phẳng?
Q2. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được thiết lập như thế nào trong SGK hình
học nâng cao lớp 10 và lớp 12 ? Sự chuyển đổi didactic nào đã được thực hiện trong
việc thiết lập đó? Đâu là đặc trưng của quan hệ thể chế đối với cơng cụ vectơ trong
nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng?
Q3. SGK Hình học 11 nâng cao đưa khái niệm quan hệ vng góc trong khơng gian vào
như thế nào? Công cụ vectơ được khai thác ra sao trong việc thiết lập các kiến thức
thuộc phạm vi chương trình về quan hệ vng góc?


Để phân tích chương trình, đặc biệt là SGK, việc nghiên cứu khoa học luận về các đối
tượng đường thẳng, mặt phẳng là cần thiết. Thế nhưng, trong điều kiện của chúng tôi một
nghiên cứu tri thức luận đầy đủ được thực hiện thơng qua phân tích lịch sử hình thành tri
thức (nhằm làm rõ lý do nảy sinh tri thức, bài tốn mà nó cho phép giải quyết, những vấn
đề, những quan niệm gắn liền với nó, …) là khơng thể. Vì thế, chúng tơi sẽ chỉ nghiên cứu
đặc trưng khoa học luận của tri thức mà chúng tôi quan tâm qua việc phân tích một giáo
trình đại học. Cách làm này vẫn thường được thừa nhận trong nhiều cơng trình của didactic

tốn, với giả thuyết rằng tri thức trình bày ở bậc đại học thường khá gần với tri thức bác
học. Chúng tơi đặt ra cho mình một câu hỏi cần phải trả lời trước khi xem xét các câu hỏi
Q1, Q2, Q3.
Q0. Quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được tiến hành như thế
nào ở bậc đại học? Quan điểm vectơ đã được thể hiện ra sao trong việc xây dựng đó?
Câu hỏi này là một sự cụ thể hóa của câu hỏi Q’1 mà chúng tôi đặt ra từ đầu khi bắt đầu
quan tâm đến chủ đề nghiên cứu của luận văn. Chúng tơi sẽ phân tích một giáo trình đại học
để tìm câu trả lời cho Q0. Phân tích này sẽ được trình bày trong chương đầu tiên của luận
văn. Qua phân tích đó, chúng tơi sẽ làm rõ cách xây dựng phương trình đường thẳng, mặt
phẳng và vị trí tương đối của chúng. Chúng tôi sẽ cố gắng đánh giá vai trị của vectơ trong
việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng; làm rõ những đặc trưng của đối tượng
vectơ với tư cách là công cụ của HHGT. Phân tích này sẽ được thực hiện từ góc độ chuyển
đổi sư phạm (chuyển đổi didactique). Ngoài ra, để làm nổi bật thấy rõ vị trí của vectơ trong
việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, chúng tơi sẽ điểm lại vài nét lịch sử xây
dựng phương trình đường thẳng, cụ thể là cách xây dựng của Fermat.
Chương tiếp theo (chương 2) dành cho một nghiên cứu thể chế, nhằm mục đích trả lời
cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Trong chương này chúng tơi phân tích chương trình và SGK
Tốn phổ thơng của Việt Nam để thấy được vai trị của cơng cụ vectơ cũng như các đặc
trưng của nó trong nghiên cứu phương trình và mối quan hệ vng góc của đường thẳng,
mặt phẳng. Phân tích SGK lớp 10 và lớp 12 ban nâng cao hiện hành để làm rõ sự chuyển
hóa sư phạm đã được thực hiện trong việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng.
Phân tích SGK lớp 11 ban nâng cao hiện hành để nghiên cứu thêm vai trò của vectơ trong
việc thiết lập các kiến thức và giải bài tập về quan hệ vng góc trong khơng gian.
Để thấy rõ đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi quan tâm, chúng tơi sẽ đặt phân
tích chương trình, SGK trong sự so sánh với một thể chế khác. Giả thuyết công việc được


chúng tôi thừa nhận ở đây là : việc so sánh thể chế này với thể chế kia sẽ cho phép làm nổi
rõ những đặc trưng, những điều kiện, những ràng buộc của mối quan hệ được hình thành
trong từng thể chế đối với đối tượng tri thức được xem xét. Thể chế mà chúng tôi chọn để

đối chiếu ở đây là thể chế dạy học Hình học ở THPT của Mỹ theo chương trình hiện hành.
Như thế, trước khi phân tích các SGK Việt nam, chúng tơi sẽ nghiên cứu hai cuốn SGK của
Mỹ.
Nghiên cứu trình bày ở chương 2 sẽ giúp chúng tôi đưa ra những giả thuyết liên quan
đến câu hỏi Q4, cũng là một phần câu hỏi Q’2 mà chúng tôi đặt ra lúc đầu.
Q4. Cách trình bày của SGK có ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về phương trình
đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ vng góc trong khơng gian?
Giả thuyết này cần phải được kiểm chứng bằng một nghiên cứu thực nghiệm. Chương
cuối cùng (chương 3) của luận văn dành cho việc trình bày những kết quả đạt được từ
nghiên cứu này.
Phương pháp luận nghiên cứu và cấu trúc của luận văn được chúng tơi tóm tắt bằng sơ
đồ dưới đây.

NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN

NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ
(tham khảo)

Quan điểm so sánh

NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ

Giả thuyết về ảnh hưởng của thể chế

NGHIÊN CỨU
THỰC NGHIỆM

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG :
MỘT ĐIỀU TRA TRI THỨC LUẬN

1.1. Vài nét về lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng
1.1.1. Apollonius de Pergue là người đầu tiên đưa ra một “phương trình” của một đường
thẳng nhưng chỉ dưới hình thức “tu từ” khơng tượng trưng. Ông cho rằng nếu tọa độ x và y
của một điểm M có tỉ lệ cho trước y = ax, hoặc nếu x tăng một hằng số và có một tỉ lệ cho
trước đối với y, y = a(x + b), thì quỹ tích những điểm M nằm trên một đường thẳng.
1.1.2. Fermat là người đầu tiên đã đưa ra, dưới hình thức tượng trưng, phương trình biểu
diễn đường thẳng trong mặt phẳng. Ông xuất phát từ việc cho trước một phương trình và đi
xác định quỹ tích của những điểm liên kết với nó.
Bằng việc sử dụng sự đồng dạng của các tam giác Fermat chỉ ra rằng :
Nếu phương trình là ax = by (a và b là những hằng số), quỹ tích là một đường thẳng và
nếu phương trình là c2 – ax = b, quỹ tích vẫn là một đường thẳng.
Chứng minh của Fermat như sau :
I

y

N

x

Z

M

Hình 1.

Cho NZM là một đường thẳng, N là một điểm cố định. Cho NZ một đại lượng bất định
x và ZI một đại lượng bất định khác là y.
Nếu ax = by, điểm I vạch một đường thẳng xác định.
Thật vậy, ta có

b
x
x
= , bởi vậy
được cho, cũng như góc tại Z. Tam giác NIZ được
y
a
y

xác định. Vì điểm N và vị trí của đường thẳng NZ được cho nên vị trí của đường thẳng NI
được xác định.
Tiếp theo, Fermat nói rằng chúng ta có thể đưa phương trình ax = by về dạng y = ax + b
mà a và b không cùng âm – một tọa độ âm Fermat khơng muốn nói tới.


Để chứng minh điều đó, ơng lấy ví dụ phương trình c2 – ax = by, viết c2 dưới dạng ad và
nhận được phương trình

b
dx
=
. Bằng cách đặt MN = d, d – x chỉ là MZ, từ đó, ơng
a
y

nhận được một giá trị cố định cho tỉ lệ

MZ
và ông kết luận chúng, như một sự chứng minh
ZT

đầu tiên, rằng điểm I nằm trên một đường thẳng cố định.
Từ phương trình đường thẳng, Fermat đánh giá rằng chúng ta có thể tìm thấy tất cả
những quỹ tích của những đường thẳng mà những mệnh đề của Apollonius đã chỉ ra là một
trường hợp.
Nhưng, sau khi chứng minh phương trình xy = a2 biểu diễn một hyperbol và tổng quát
kết quả này với tất cả phương trình chứa một số hạng x, một số hạng y, một số hạng xy và
một hằng số, ơng đi đến phương trình đường thẳng. Fermat khẳng định rằng quỹ tích của tất
cả những phương trình được tạo thành duy nhất bởi những số hạng x2, y2 và xy, khơng có số
hạng hằng số, là một đường thẳng.
Để chứng minh kết quả này, ông lấy trường hợp một phương trình dạng x2 + xy = ay2 và
dẫn đến như sau :
Nếu tỉ số

NZ2 + NZ.ZI
ZI 2

chứng minh rằng

được cho và vẽ bất cứ đường song song OR nào, dễ dàng

NO 2 + NO.OR
OR 2

có cùng giá trị với tỉ lệ cho trước. Điểm I sẽ ở trên một

đường thẳng có vị trí xác định.
Bây giờ chúng ta có thể nói rằng điều mà Fermat đã chứng minh, đó chính là tất cả
những phần tử của đường thẳng NI xác định cùng một phương trình.
I

R

N

O

Z

Hình 2.
Theo đánh giá của những nhà nghiên cứu, Fermat, trong quá trình liên kết giữa phương
trình và đường thẳng và tổng quát giữa phương trình và quỹ tích đã gặp hai khó khăn sau :
Thứ nhất, gắn liền với sự tượng trưng hóa được sử dụng, chính việc khơng có duy nhất
một cách viết phương trình của một quỹ tích – ở đây là đường thẳng – hay tất cả các phương


trình của cùng một bậc – bậc hai chẳng hạn. Điều đó dẫn đến những chữ chỉ biểu diễn
những số dương, vì vậy khơng có một cách viết nào tính đến đồng thời hai phương trình ax
– c = by và ax + c = by bởi vì +c và –c khơng phải cùng một thứ như nhau.
Khó khăn thứ hai, chính sự lập luận hình học trên các hình chỉ cho phép giải quyết
những trường hợp đặc biệt. Sự lập luận này không thể tổng quát cho tất cả các trường hợp
hình vẽ. Fermat chỉ giải quyết mỗi lần một trường hợp đặc biệt và kết luận rằng chúng ta có
thể làm tương tự cho những trường hợp khác. Tuy nhiên, nếu chúng ta thay đổi trường hợp,
cần phải thay đổi hình vẽ.
Cũng theo các nhà nghiên cứu, trong trường hợp của Fermat, sự thiếu vắng các trục cho

trước làm phức tạp nhiều cho bài toán…
Fermat xuất phát từ một phương trình, xem xét một điểm nào đó mà ông giả sử xác định
phương trình này – bất kì một điểm có thể được xem như xác định tiên nghiệm một phương
trình cho trước vì khơng có trục cho trước và phương trình được xem xét có tất cả các
nghiệm – và vì vậy chỉ ra rằng tất cả các điểm nằm trên một quỹ tích nào đó xác định cùng
một phương trình.
Để xác định quỹ tích của những điểm liên kết với một phương trình, khơng chỉ cần phải
chứng minh rằng tất cả những điểm của một đường cong xác định cùng một phương trình,
như Fermat đã làm ở đây mà cịn phải chứng minh rằng đó là những điểm duy nhất xác định
phương trình này.
Ở đây, chúng ta đụng đến quan niệm về khái niệm số ở Fermat – những số âm thì khơng
được xem xét, ơng chỉ quan tâm đến những đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất (x
 0 và y  0) – việc xem xét lập luận về tỉ lệ trên hình 1 và 2 cho phép chứng minh rằng

những đường thẳng đối xứng với đường thẳng NI qua đường thẳng NZ xác định cùng
phương trình với NI.
Nhưng, sự trình bày của Fermat lại khác. Trong đó, ơng xuất phát từ việc cho trước một
phương trình và ơng xác định quỹ tích hình học tương ứng. Điều này dẫn ơng đến chứng
minh rằng những phương trình khơng cần thiết được viết theo cùng một cách, có thể được
rút lại thành những đường này hay những đường khác, nghĩa là người ta có thể đi từ đường
này sang đường kia bằng một “sự thay đổi biến” – thay đổi tọa độ. Từ những phương trình
như vậy xác định cùng một quỹ tích và trong trường hợp đó chúng ta có thể rút ra những
cách viết khác nhau của những phương trình này để dạng của chúng là đơn giản nhất (chứa
ít số hạng nhất có thể). Thật vậy, chẳng hạn phương trình c + xy = ax + by được rút lại


thành dạng xy = d và phương trình c2 – 2ax – x2 = y2 + 2by được rút lại thành dạng d2 – x2 =
y 2.
Nhưng sự biến đổi này – thay đổi tọa độ – chỉ cho phép so sánh những phương trình có
cùng bậc, nó khơng cho phép thay đổi bậc của một phương trình. Đó chính là lí do Fermat

đưa phương trình c – ax = by về phương trình ax = by nhưng khơng liên hệ được với những
phương trình mà ơng cho rằng chúng được biểu diễn bởi những đường thẳng như x2 = y2
hay x2 + axy = by2.
1.1.3. Với sự phát triển của những phương pháp giải tích cuối thế kỷ XVII và đầu thế kỷ
XVIII những khó khăn mà Fermat gặp phải đã được giảm bớt. Sự áp dụng hệ trục tọa độ
khơng phụ thuộc vào mỗi hình vẽ được nghiên cứu và việc xem xét tọa độ âm cho phép
đồng thời xây dựng đường cong từ phương trình của nó và xác định phương trình của một
đường cong cho trước. Vì vậy, có thể nói đến phương trình hoặc những phương trình của
một đường.
Theo Glaeser (86), loại phương trình đường thẳng đầu tiên được đề cập trong tác phẩm
của Lagrange xuất hiện năm 1770. Glaeser thêm rằng trong hai SGK xuất hiện trong cùng
năm đó, một của hầu tước L’Hospital và một của Marie-Gaetana Agnesi, các tác giả đưa ra
ba phương trình đường thẳng:
y = ax + b,

y = – ax + b,

y = ax – b.

Phương trình y = – ax – b khơng được đề cập vì đường thẳng liên kết với nó khơng đi
qua góc phần từ thứ nhất.
Cuối thế kỷ XVIII, những phương pháp xử lí giải tích của những đường cong trong mặt
phẳng hay khơng gian đã phát triển đầy đủ để được trình bày trong nhiều SGK và trong cả
chương trình phổ thơng.
1.1.4. Phương pháp xử lí giải tích đã khắc phục những khó khăn của cách xây dựng phương
trình đường thẳng bằng hình học của Fermat cũng như những yếu điểm khác của phương
pháp tổng hợp. “Tuy nhiên, do đã chuyển bài toán hình học thành bài tốn đại số, với
phương pháp giải tích người ta hồn tồn thốt khỏi phạm vi hình học, và do đó mà khơng
tận dụng được yếu tố trực giác trong q trình tìm tịi lời giải bài tốn…”. Từ đó, “ý tưởng
xây dựng một phương pháp mới để nghiên cứu hình học sao cho có thể sử dụng các phương

tiện của đại số nhưng vẫn ở lại trong phạm vi hình học” (Lê Thị Hồi Châu, Phương pháp
dạy – học Hình học) đã được Leibniz khởi xướng. Khuynh hướng này đã dẫn đến các nhà
toán học xây dựng nên lý thuyết về không gian vectơ vào thế kỷ XIX. Cho đến lúc này, tồn


tại ít nhất là ba phương pháp để tiếp cận hình học sơ cấp : phương pháp tổng hợp, phương
pháp giải tích và phương pháp vectơ. Hai phương pháp sau đều nhằm mục đích đại số hóa
hình học, tận dụng sức mạnh của đại số trong việc giải quyết các vấn đề của hình học.
Nhưng bản chất của chúng khơng giống nhau. Trong lịch sử, lý thuyết vectơ và HHGT được
xây dựng độc lập với nhau. Tuy nhiên, sự ra đời của lý thuyết vectơ đã làm cho việc nghiên
cứu HHGT trở nên dễ dàng hơn, bởi vì, như tác giả Lê Thị Hồi Châu (1997) đã phân tích,
bằng cách đặt các vectơ vào một hệ tọa độ, người ta đã tạo ra sự liên thông giữa hai phương
pháp vectơ và giải tích. Chính vì thế mà các giáo trình toán ngày nay đều xây dựng HHGT
trên cơ sở một khơng gian vectơ.
Dưới đây chúng tơi chọn một giáo trình đại học để phân tích chi tiết nhận định này. Đó
là giáo trình Hình học cao cấp của Nguyễn Mộng Hy, NXBGD, 2007. Phân tích của chúng
tơi nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi Q0. Cụ thể hơn, chúng tơi sẽ tìm hiểu vai trị
của vectơ trong việc :
-

xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng,

-

nghiên cứu quan hệ vng góc và vị trí tương đối giữa chúng.

Hai phần tiếp theo của chương dành cho việc phân tích vai trị của vectơ đối với hai nội
dung này.
1.2. Về phương trình đường thẳng và mặt phẳng
1.2.1. Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian afin

Đường thẳng, mặt phẳng là những m – phẳng đặc biệt. Trong các lý thuyết Hình học,
phương trình tham số và phương trình tổng quát của m – phẳng được tiếp cận từ không gian
vectơ của đại số tuyến tính.
Cho tập A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là một không gian vectơ trên trường K
và cho ánh xạ f : A x A  V được kí hiệu là





f(M, N) = MN với các điểm M, N thuộc A và vectơ MN thuộc V.
Bộ ba (A, f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn:







i) Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ u thuộc V có duy nhất điểm N thuộc A sao cho MN = u .







ii) Với mọi ba điểm M, N, P thuộc A ta ln có MN + NP = MP .
Khi đó ta nói rằng khơng gian afin (A, f, V) liên kết với không gian vectơ V trên trường K và được gọi



tắt là không gian afin A trên trường K. Không gian vectơ liên kết V cịn được kí hiệu là A , được gọi là
nền của không gian afin A. (trang 5)


Vì khơng gian afin được xây dựng từ khơng gian vectơ nên các khái niệm sau đó cũng
được hình thành từ vectơ. Chẳng hạn, mỗi hệ điểm độc lập gắn với một hệ vectơ độc lập
tuyến tính. Mỗi mục tiêu afin liên kết với một cơ sở của không gian vectơ và theo đó, tọa độ
của mỗi điểm tương ứng với tọa độ của vectơ và phụ thuộc vào mục tiêu afin cho trước, tức
phụ thuộc vào cơ sở của khơng gian vectơ liên kết.
Cũng trong mối liên hệ đó, cái phẳng trong không gian afin được định nghĩa qua khái
niệm khơng gian vectơ con. Phương của cái phẳng chính là không gian vectơ con.




Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A . Gọi I là một điểm thuộc A và α là một không







gian con của A . Khi đó tập hợp những điểm M thuộc A sao cho IM thuộc α được gọi là cái phẳng



afin α đi qua điểm I và có phương là α

 
α  M  A | IM  α .







Nếu α có số chiều bằng m thì α gọi là cái phẳng m chiều (được gọi tắt là phẳng m chiều) hay còn gọi
là m – phẳng.
Như vậy, 0 – phẳng chính là điểm, 1 – phẳng là đường thẳng, 2 – phẳng là mặt phẳng còn n – phẳng của
khơng gian afin n chiều An chính là An. Nếu dimA = n thì
(n – 1) – phẳng cịn được gọi là siêu phẳng của khơng gian đó. (trang 12)

Trong cách xây dựng này, phương trình tham số của m – phẳng được xây dựng dựa vào
tính chất của khơng gian vectơ. Một m – phẳng hồn tồn được xác định qua phương trình
tham số (ma trận lập được từ các hệ số của phương trình có hạng bằng m).
Trong An cho m – phẳng Am xác định bởi m + 1 điểm độc lập
A0, A1,…, Am.
Giả sử đối với mục tiêu {E0 ; Ei} cho trước, các điểm Ai có tọa độ là
Ai = (ai1, ai2,…, ain)



với i = 0, 1, 2,…, m.



X(x1, x2,…, xn)  Am  A 0 X  V m





 A 0 X  t1 A 0 A1  t 2 A 0 A 2  ...  t m A 0 A m
Với t1, t2,…, tm thuộc trường K.
Ta có phương trình tham số của m – phẳng Am dưới dạng ma trận là :

[x] = [a0] + t1([a1] – [a0]) + t2([a2] – [a0]) + … + tm[am] – [a0])
Nếu viết dưới dạng tạo độ ta có n phương trình sau:
xi = a0i + t1(a1i – a0i) + t12a2i – a0i) + … + tm(ami – a0i) với i = 1, 2,…, n. (trang 14)

Điều kiện quan trọng trong cách xây dựng trên là m – phẳng được xác định bởi m + 1


điểm A0, A1,…, Am độc lập, tức là hệ m vectơ { A 0 A i , i = 1,2,…, m} độc lập tuyến tính.


Phương trình tổng quát của m – phẳng được suy trực tiếp từ phương trình tham số bằng
cách khử dần các tham số. Mỗi m – phẳng trong không gian afin An được biểu thị bằng một
hệ phương trình tuyến tính với các biến x1, x2,…, xn và có hạng bằng n – m. Phương trình
đó được gọi là phương trình tổng quát của m – phẳng. Ngược lại, mỗi hệ phương trình với
các biến x1, x2,…, xn và có hạng bằng n – m đều biểu thị một m – phẳng hoàn toàn xác định
của An. Với cách xây dựng và định nghĩa này ta có thể giải thích được vì sao phương trình
tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng chỉ có một phương trình tuyến tính bậc nhất hai
ẩn nhưng trong khơng gian thì có hai phương trình tuyến tính bậc nhất ba ẩn.
Mỗi siêu phẳng trong An (ứng với m = n – 1) có phương trình tổng quát dạng:
a1x1 + a2x2 + … + anxn + b = 0

trong đó hạng của ma trận (a1, a2,…, an) bằng 1, tức là có ít nhất một ai  0. Trong khơng
gian afin khơng có khái niệm vectơ pháp tuyến vì khơng xét đến quan hệ vng góc.
Xét trường hợp n = 2 và n = 3.
Với n = 2, 1 – phẳng là đường thẳng và cũng chính là siêu phẳng. Khi đó, theo những gì
trình bày ở trên, phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng được xây
dựng như sau:
Giả sử đường thẳng d xác định bởi hai điểm độc lập A, B có tọa độ là A(a1; a2) và B(b1; b2). Khi đó:





Điểm M(x; y)  d  AX  tAB , t 



. AB gọi là phương của đường thẳng d.

 x  a1  t (b1  a1 )
.
 y  a2  t (b2  a2 )

Ta có phương trình tham số của d là : 

Khử tham số t trong phương trình tham số ta có phương trình tổng quát của d.

Với n = 3, 1 – phẳng là đường thẳng và 2 – phẳng là mặt phẳng và cũng chính là siêu
phẳng. Khi đó phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt
phẳng được xây dựng hoàn toàn như trường hợp n = 2. Chỉ khác là phương trình tổng quát
của đường thẳng được tạo bởi từ hai phương trình tuyến tính bậc nhất ba ẩn.

Như vậy, vectơ với vai trị cơng cụ trong việc thiết lập phương trình m – phẳng được sử
dụng theo tinh thần của đại số tuyến tính.
1.2.2. Đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian Ơclit
Không gian ơclit là một loại không gian afin liên kết với không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều.

Các định nghĩa có liên quan đến tích vơ hướng của hai vectơ :
 







1) a . b = | a |.| b |cos( a,b )







2) | a |2 = a 2  | a | =

2
a






 

3) a  b  a . b = 0. (trang 87)

Không gian ơclit ba chiều thông thường được học trong chương trình tốn ở bậc phổ
thơng được kí hiệu là E3. Trong không gian này, mặt phẳng ơclit là khơng gian ơclit hai




chiều và được kí hiệu là E2. Các không gian E3 và E2 là không gian các vectơ tự do ba




chiều và hai chiều. Tích vơ hướng trong không gian E3 và E2 được định nghĩa như sau:
 
 

a . b = | a |.| b |cos( a,b )

Vì khơng gian ơclit là một loại không gian afin nên trong không gian ơclit các phẳng
cũng có phương trình và tính chất giống như trong khơng gian afin. Cái mới trong không
gian ơclit gắn liền với tích vơ hướng chính là sự vng góc của các phẳng. Nhờ có quan hệ
vng góc này mà phương trình các phẳng có thể lập được theo một cách khác, thơng qua
vectơ pháp tuyến của nó.
Giáo trình của tác giả Nguyễn Mộng Hy trình bày vấn đề này ra sao ?
Trong En giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng α có phương trình

a1x1 + a2x2 + … + anxn + a0 = 0.







Gọi α là phương của siêu phẳng α . Ta xét vectơ n=  a1 , a 2 ,..., a n  và nhận thấy rằng n trực giao với



α (…). Ta gọi n là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng α . (trang 98)
Vectơ pháp tuyến được định nghĩa trực tiếp từ phương trình của siêu phẳng. Từ định
này có thể suy ra rằng vectơ pháp tuyến là vectơ trực giao với phương của phẳng, tức là trực
giao với bất kì vectơ nào thuộc phương của phẳng đó. Từ đó suy ra, vectơ pháp tuyến của
đường thẳng là vectơ vng góc với một vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng là vectơ vng góc với hai vectơ chỉ phương độc lập tuyến tính (khơng
cùng phương) của mặt phẳng.
Với n = 2, 3 tương ứng ta có phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng
và phương trình tổng qt của mặt phẳng trong khơng gian như sau:


a1x1 + a2x2 + a0 = 0 vectơ pháp tuyến là n   a1 ; a2 


a1x1 + a2x2 + a3x3 + a0 = 0 vectơ pháp tuyến là n   a1 ; a2 ; a3  .
Giáo trình khơng đưa ra cách viết phương trình siêu phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến – nếu
biết siêu phẳng có một vectơ pháp tuyến và đi qua một điểm có tọa độ cho trước thì phương
trình của siêu phẳng đó được viết như thế nào ? Tuy nhiên vấn đề này được giải quyết ở

phần bài tập. Chẳng hạn, bài tập 2.24 trang 139 với lời giải trong sách bài tập Hình học cao
cấp của cùng tác giả trang 162:


Trong E3 tìm điểm đối xứng của điểm (1, 2, 3) đối với
a) (…)
b) đường thẳng x1  8 

x2  1
  x3  4 .
3

Giải:
b) Gọi  là đường thẳng đã cho có phương trình:
x1  8 

x2  1 x3  4

1
3


Đường thẳng này có vectơ chỉ phương a  (1,3, 1) .
Mặt phẳn R đi qua M(1, 2, 3) và vng góc với đường thẳng  nên có phương trình dạng:

x1  3x2  x3  b  0 .
Vì MR nên ta có: 1 + 6 – 3 + b = 0  b = - 4.
Vậy mặt phẳng R có phương trình là: x1  3 x2  x3  4  0 .

1.2.3. Kết luận : hai cách tiếp cận để giải quyết bài tốn lập phương trình đường

thẳng, mặt phẳng

Phân tích trên cho thấy có hai cách tiếp cận phương trình m – phẳng : tiếp cận đại số và
tiếp cận hình học.
 Tiếp cận đại số

Trong khơng gian An, phương trình tham số của m – phẳng là một hệ m phương trình
tuyến tính n ẩn x1, x2,…, xn, trong đó ma trận lập được từ các hệ số của phương trình có
hạng bằng m. Phương của m – phẳng là một không gian vectơ con m chiều của không gian

An . Phương trình tham số được thiết lập dựa vào tính chất của khơng gian vectơ con.
Phương trình tổng qt của m – phẳng được suy trực tiếp từ phương trình tham số bằng cách
khử dần các tham số. Mỗi m – phẳng được biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tính với
các biến x1, x2,…, xn và có hạng bằng n – m.
Trong cách tiếp cận này, đại số tuyến tính đóng vai trị chính trong việc xác định phương
và chiều của cái phẳng. Khái niệm vectơ được sử dụng trong đại số tuyến tính với nghĩa
tổng quát của khái niệm khơng gian vectơ - các vectơ hình học chỉ là một trường hợp đặc
biệt của nó.
 Tiếp cận hình học

Cách tiếp cận này chỉ được thực hiện trong khơng gian ơclit hai chiều và ba chiều của
ình học ơclit. Ở đó phương của đường thẳng và mặt phẳng được định nghĩa dựa vào đặc
trưng định phương của vectơ hình học. Cách thiết lập phương trình của đường thẳng và mặt
phẳng dựa vào điều kiện cùng phương hoặc điều kiện trực giao của hai vectơ.


Theo cách tiếp cận này, tính chất trực quan của vectơ hình học đóng vai trị chính trong
việc xác định phương của đường thẳng, mặt phẳng. Tuy nhiên, khi viết phương trình thì
người ta hồn tồn tính tốn đại số trên toạ độ.
Như vậy, về phương trình đường thẳng và mặt phẳng có ít nhất là hai cách chuyển

đổi didactique có thể vận dụng trong dạy học hình học ở bậc phổ thông, một theo cách
tiếp cận đại số và một theo cách tiếp cận hình học. Cụ thể
a) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng:
- Tiếp cận hình học: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp vectơ (sử

dụng vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến).
- Tiếp cận đại số: Lấy kết quả thu được trong đại số tuyến tính, thừa nhận phương trình

siêu phẳng (n – 1) – phẳng là phương trình bậc nhất n ẩn:
a1x1 + a2x2 + … + anxn + a0 = 0.
Khi đó, với n = 2, siêu phẳng là đường thẳng với phương trình có dạng:
ax + by + c = 0.

Như vậy, phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp đại số - từ một phương
trình bậc nhất hai ẩn.
b) Phương trình mặt phẳng
- Tiếp cận hình học: Phương trình mặt phẳng được lập bằng phương pháp vectơ

(sử dụng vectơ pháp tuyến).
- Tiếp cận đại số: Phương trình mặt phẳng được lập bằng phương pháp đại số - từ một

phương trình bậc nhất ba ẩn: ax + by + cz + d = 0.
c) Phương trình đường thẳng trong khơng gian
- Tiếp cận hình học: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp vectơ (sử

dụng vectơ chỉ phương)
- Tiếp cận đại số: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp đại số - từ một

hệ hai phương trình bậc nhất ba ẩn:
a1 x  b1 y  c1 z  d1  0

.

a
x
b
y
c
z
d
0




 2
2
2
2
Nhận xét: Với cách tiếp cận đại số thì khơng thể thiết lập được phương trình tham số

của đường thẳng và mặt phẳng mà chỉ có thể chuyển từ phương trình tổng quát sang phương
trình tham số.


1.3. Về vị trí tương đối gữa đường thẳng và mặt phẳng

Vị trí tương đối giữa các phẳng trong khơng gian afin và không gian ơclit được định
nghĩa như sau :
Trong không gian afin An cho p – phẳng Ap có phương là Vp và q – phẳng Aq có phương là Vq. Ta giả
sử p  q. Căn cứ vào phương chung Vp  Vq và điểm chung Ap  Aq ta có vị trí tương đối của hai cái

phẳng đó như sau :



a) Nếu Vp  Vq = { 0 } :


và nếu Ap  Aq   thì Ap , Aq có một điểm chung duy nhất.



và nếu Ap  Aq =  thì Ap , Aq gọi là chéo nhau (hoàn toàn).

b) Vp  Vq = Vr với r > 0, khi đó ta nói rằng hai cái phẳng Ap, Aq có phương chung (hay Ap cùng
phương với Aq ).


Nếu r < p và nếu Ap  Aq   ta có giao của chúng là một r – phẳng có phương Vr.



Nếu r < p và nếu Ap  Aq =  ta nói rằng Ap , Aq khơng có điểm chung và có phương
chung (có thể xem chúng chéo nhau khơng hồn tồn).

 Nếu r = p tức Vp  Vq ta nói rằng Ap cùng phương với Aq và nếu Ap  Aq   ta nói
rằng Ap bị chứa trong Aq (Ap  Aq) còn nếu Ap  Aq =  ta nói Ap song song với Aq và
nếu p = q ta nói Ap và Aq song song với nhau. (trang 19)

Trong khơng gian ơclit cịn có thêm quan hệ vng góc được định nghĩa:




Trong khơng gian ơclit n chiều En cho phẳng α có phương α và phẳng β có phương β .





Hai phẳng α và β gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu α  β nếu hai không gian vectơ α và






β trực giao với nhau (mọi vectơ thuộc α đều trực giao với mọi vectơ thuộc β ).



Hai phẳng α và β gọi là bù vuông góc với nhau nếu α và β bù trực giao với nhau trong En
nghĩa là


  

α  β = En (dim α + dim β = n). (trang 93)

Với các định nghĩa trên, trong không gian ơclit 3 chiều E3 ta khơng có khái niệm chéo
nhau khơng hồn tồn và hai mặt phẳng vng góc. Khái niệm vng góc của hai mặt

phẳng trong E3 dùng ở trường phổ thông không thỏa mãn định nghĩa ở trên về sự vuông góc
của hai cái phẳng. Đó là sự vng góc khơng hồn tồn. Khái niệm vng góc của đường
thẳng và mặt phẳng ở phổ thơng chính là sự bù vng góc theo định nghĩa trên.
1.4. Kết luận
1.4.1.Về vai trò của vectơ trong việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng


- Cách xây dựng phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat đã gặp nhiều khó
khăn và chưa giải quyết triệt để. Điểm cơ bản nhất trong phương pháp của Fermat là việc
gán một phương trình (đại số) bởi một đường.
- Với phương pháp giải tích khi nghiên cứu hình học chúng ta hồn tồn thốt khỏi
phạm vi hình học, và do đó mà khơng tận dụng được yếu tố trực giác trong q trình tìm tịi
lời giải bài tốn.
- Với sự xuất hiện của vectơ những khó khăn và điểm yếu trên đã được giải quyết. Việc
nghiên cứu hình học có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng vẫn ở lại trong phạm
vi hình học. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng được tiếp cận hồn tồn dựa vào khơng
gian vectơ.
Như vậy, vectơ đã đóng một vai trị cơng cụ tối quan trọng trong việc nghiên cứu hình
học giải tích mà cụ thể ở đây đó là phương trình đường thẳng, mặt phẳng.
1.4.1.2. Về đặc trưng của đối tượng vectơ và cách tiếp cận phương trình đường thẳng,
mặt phẳng

- Vectơ là một phần tử của không gian vectơ thỏa mãn các tiên đề của không gian afin
hay khơng gian ơclit.
- Phương trình m – phẳng được tiếp cận theo tinh thần của đại số tuyến tính. Việc thiết
lập nó và các vấn đề liên quan hầu hết đều phải sử dụng tọa độ. Chính vì thế mà các đặc
trưng định hướng (phương và chiều) và đặc trưng độ dài của vectơ tự do là không được thể
hiện trong việc xây dựng phương trình của m – phẳng. Ngoài ra, đặc trưng định phương và
đặc trưng độ dài của vectơ tự do cũng hồn tồn khơng được sử dụng trong vấn đề xét vị trí
trương đối của các phẳng và quan hệ vng góc giữa chúng. Cơng cụ vectơ để thiết lập

phương trình đường thẳng, mặt phẳng và xét vị trí tương đối của chúng ở cấp độ tri thức
khoa học hoàn toàn được thể hiện theo tinh thần vectơ của đại số tuyến tính.
- Tuy nhiên, khi xét trong không ơclit hai chiều và ba chiều thì phương trình của đường
thẳng và mặt mặt cịn có thể được tiếp cận bằng hình học. Ở đó, đặc trưng định phương của
vectơ hình học được thể hiện.
- Có hai cách trình bày phương trình đường thẳng, mặt phẳng :
+ Bằng phương pháp vectơ
+ Bằng phương pháp đại số


Chương 2

VECTƠ VỚI VAI TRỊ LÀ CƠNG CỤ
TRONG NGHIÊN CỨU ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Trong luận văn này chúng tôi không tập trung sự chú ý đến phương diện “đối tượng”
mà chỉ quan tâm đến phương diện “công cụ” của vectơ. Cụ thể ở đây là vai trị cơng cụ của
vectơ trong nghiên cứu đường thẳng và mặt phẳng ở trường THPT theo chương trình hiện
hành.
Phân tích quan hệ thể chế của chúng tôi sẽ được thực hiện theo cách tiếp cận của thuyết
nhân học. Từ góc độ sinh thái học, phân tích chương trình hướng đến việc làm rõ lý do tồn
tại và môi trường phát triển của cơng cụ vectơ. Từ góc độ chuyển đổi sư phạm, phân tích
q trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong SGK cho phép chúng tôi
biết thể chế ưu tiên cách tiếp cận nào - đại số hay hình học (cách tiếp cận mà vectơ giữ vị trí
quan trọng). Phân tích SGK bằng cách chỉ ra các tổ chức tốn học được xây dựng sẽ cịn
cho phép làm rõ hơn vai trị cơng cụ của vectơ : nó tác động ra sao trong các kỹ thuật giải
quyết những kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương trình đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ
vng góc và vị trí tương đối giữa chúng. Từ những nghiên cứu này, chúng tôi cố gắng tìm
câu trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Nghiên cứu quan hệ thể chế cũng có thể cho phép
chúng tơi hình thành nên những giả thuyết về ảnh hưởng của sự lựa chọn của thể chế lên

việc học của học sinh.
Chúng tơi chọn phân tích chương trình và SGK Việt Nam hiện hành. Cụ thể là SGK
hình học ban nâng cao lớp 10, 11 và 12.
Những kết quả có được trong chương I sẽ là cơ sở tham chiếu đầu tiên cho phân tích
thực hiện ở chương này.
Ngồi ra, như đã nói khi trình bày phương pháp luận nghiên cứu, chúng tơi sẽ phân tích hai
cuốn SGK Toán hiện đang được sử dụng ở Mỹ cho các lớp 10 và 12, nhằm hình thành nên
cơ sở tham chiếu thứ hai cho việc làm rõ mối quan hệ của thể chế Việt nam đối với công cụ
vectơ trong dạy học đường thẳng, mặt phẳng.


PHẦN A
VECTƠ VỚI VẤN ĐỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở MỸ

Chương trình trung học ở Mỹ có ba cuốn sách, trong đó các nội dung về hình học chỉ
nằm trong hai cuốn của cùng một chương trình (khơng có SBT):
 GEOMETRY, 2007 (tương đương với sách Toán lớp 10 ở Việt Nam), ta kí hiệu là
M1. Cuốn này hồn tồn viết về hình học.
 PRECALCULU, 2007 (tương đương với sách Tốn lớp 12 ở Việt Nam), ta kí hiệu là
M2. Cuốn này bao gồm Graphical, Numerical và Algebraic.
Với việc nghiên cứu quan điểm vectơ với vai trị cơng cụ trong nghiên cứu đường thẳng,
mặt phẳng chúng tơi sẽ phân tích vectơ trong hệ thống tri thức đó. Ngồi ra, trong hai cuốn
sách trên khơng trình bày quan hệ vng góc trong khơng gian nên chúng tơi chỉ phân tích
vấn đề phương trình của đường thẳng, mặt phẳng.
Thứ tự trình bày các kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong M1
và M2 như sau:
…  Phương trình đường thẳng (M1)
 Vectơ (M1)
 Nhắc lại và bổ sung phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (M2)

 Phương trình mặt phẳng (M2)
 Vectơ trong khơng gian (M2)
 Phương trình đường thẳng trong khơng gian (M2).

Nhìn vào thứ tự trên ta có thể thấy được vectơ chỉ có thể được khai thác trong việc thiết
lập các kiến thức về phương trình đường thẳng trong khơng gian. Ta hãy xem SGK trình
bày như thế nào.
1. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (trong M1 và M2)

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng được đưa vào trước vectơ. Việc thiết lập nó
hồn tồn khơng sử dụng vectơ. Thứ tự trình bày trong M1 như sau:
Trước khi nghiên cứu đồ thị hàm số bậc nhất và phương trình đường thẳng trong mặt
phẳng tọa độ, SGK ôn lại kiến thức về hệ số góc đã được học năm trước trong phần đại số.


Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm bất kì  x1 , y1  và  x2 , y2  được định nghĩa là tỷ
số
y2  y1
.
x2  x1

Nếu đường thẳng là thẳng đứng thì x1 = x2 và hệ số góc là khơng xác định.
Trong đại số, học sinh đã biết rằng đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng.
- Dạng slope-intercept form (dạng hệ số góc-đoạn chắn) của một phương trình tuyến tính là y = mx +
b, ở đó m là hệ số góc của đường thẳng và b là y-intercept.

(chúng tôi tạm dịch y-intercept là tung độ giao điểm – giao điểm của đường thẳng với trục
tung).
- Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng là Ax + By = C, trong đó A, B và C là các số thực, A và

B không đồng thời bằng không. Để vẽ đồ thị của phương trình đường thẳng dạng tổng qt bạn có thể
tìm hai điểm, đó là tung độ giao điểm và hoành độ giao điểm. (M1, trang 166, 167)

Như vậy, phương trình của đường thẳng được định nghĩa dựa vào kết quả trong đại số
“đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng”.
Dạng thứ ba là point-slope form (điểm-hệ số góc).
- Dạng point-slope form đối với một đường thẳng không thẳng đứng đi qua điểm  x1 , y1  với hệ số góc
m là y – y1 = m(x – x1). (M1, trang 168)

Phương trình của đường thẳng nằm ngang và đường thẳng đứng được thiết lập từ một ví
dụ cụ thể bằng đồ thị.
Viết phương trình của đường nằm ngang và đường thẳng đứng chứa điểm P(3, 2).
y
8

6

4

3

P(3, 2)

2

-15

-10

-5

-2

O

2

5

4

10

15

x

-2

-4

-6

-8

Mọi điểm trên đường nằm ngang qua P(3, 2) có tung độ là 2. Phương trình của đường thẳng là y = 2. Nó
cắt trục tung tại (0, 2).
Mọi điểm trên đường thẳng đứng qua P(3, 2) có hồnh độ là 3. Phương trình của đường thẳng là x = 3.
Nó cắt trục hồnh tại (3, 0). (M1, trang 168)

- Một kết quả về quan hệ vng góc và song song của hai đường thẳng mà học sinh phải
thừa nhận ở thời điểm hiện tại: Hai đường thẳng không thẳng đứng song song nếu và chỉ
nếu chúng có cùng hệ số góc. Hai đường thẳng khơng thẳng đứng vng góc nếu và chỉ nếu


tích hệ số góc của chúng bằng –1. Tuy nhiên, kết quả này được chứng minh dựa vào hình vẽ
trên hệ trục toạ độ và các kiến thức về tam giác bằng nhau và tam giác đồng dạng. SGK chỉ
giới thiệu nó ở mục trị chơi trong các bài học sau đó khá xa. Chúng tơi cũng khơng tìm thấy
bài tập liên quan đến vấn đề này. Điều đó chứng tỏ, với cách trình bày phương trình đường
thẳng như trên, việc giải thích mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc
của hai đường thẳng là khá khó khăn, đồng thời thể chế cũng khơng chú trọng đến vấn đề
đó.
Chúng tơi khơng tìm thấy sự giải thích cho cách viết các dạng phương trình đường
thẳng ở trên trong M1 ngoài khẳng định “trong đại số, học sinh đã biết rằng đồ thị của một
phương trình tuyến tính là một đường thẳng”. Tuy nhiên, trong M2, ở phần điều kiện địi
hỏi ban đầu (Prerequisites) thì xuất hiện các giải thích như sau:
- Từ định nghĩa hệ số góc của đường thẳng ta có thể suy ra dạng điểm-hệ số góc
Trên hình P.24, đường thẳng đi qua điểm  x1 , y1  và có hệ số góc m. Nếu (x, y) là một điểm bất kì khác
trên đường thẳng đó thì hệ số góc được xác định bởi phương trình
m=

y  y1
hay y – y1 = m(x – x1).
x  x1

Một phương trình được viết cách này gọi là dạng điểm-hệ số góc”.
y

(x, y)

(x1, y1)
hsg = m

x

Hình P.24 Đường thẳng qua  x1 , y1  với hệ số góc m. (M2, trang 32)

- Một đường thẳng có hệ số góc m và tung độ giao điểm (0, b) có phương trình dạng
điểm-hệ số góc là
y – b = m(x – 0) hay y = mx + b.
Đây cũng chính là dạng hệ số góc-đoạn chắn.
- Về phương trình tổng quát của đường thẳng, M2 chỉ khẳng định rằng “mọi đường
thẳng có một phương trình được viết dưới dạng Ax + By = C, trong đó A và B không đồng
thời bằng không”. Dạng này gọi là dạng tổng quát đối với phương trình của một đường
thẳng.
- Tóm tắt các dạng phương trình đường thẳng:


Dạng tổng quát:

Ax + By = C, A và B khơng đồng thời bằng khơng

Dạng hệ số góc-đoạn chắn : y = mx + b
Dạng điểm-hệ số góc :

y – y1 = m(x – x1)

Đường thẳng đứng :

x=a

Đường thẳng ngang :

y=b

(M2, trang 34)

Phân tích trên cho ta thấy rằng :
 Cách thiết lập phương trình đường thẳng hồn tồn dựa vào hệ số góc của nó. Đặc
trưng về phương của đường thẳng cũng được thể hiện qua hệ số góc. Đây là cách tiếp
cận đại số - phương trình của đường thẳng là phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc là
hàm số bậc nhất.
 Chính vì dựa vào bản chất đại số và không sử dụng vectơ nên SGK đã gặp một số
hạn chế sau:
+ Khơng trình bày cách thiết lập phương trình tham số của đường thẳng
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng không được thiết lập một cách tổng quát,
chặt chẽ và triệt để
 Khó khăn trong việc thiết lập mối liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song
song của hai đường thẳng với hệ số góc của chúng chính vì thế mà vị trí tương đối
giữa hai đường thẳng khơng được giới thiệu.
 TCTH gắn liền với phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Liên quan đến phương trình đường thẳng, chúng tơi tìm thấy trong M1 các kiểu nhiệm
vụ sau :
Kiểu nhiệm vụ T1.vedt : Vẽ đường thẳng d : Ax + By = C

Ví dụ : (Ví dụ 2 trang 167)
Vẽ đồ thị 6x + 3y = 12.

Kỹ thuật τ1.vedt :

+ Tìm tung độ giao điểm (giao điểm của đường thẳng với trục tung) : (0, y0)
+ Tìm hồnh độ giao điểm (giao điểm của đường thẳng với trục hoành) : (x0, 0)
+ Vẽ trên hệ toạ độ đường thẳng đi qua hai điểm (0, y0), (x0, 0).
Công nghệ θ1.vedt : đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng.
Kiểu nhiệm vụ T1.ptdt : Viết phương trình đường thẳng d

Các nhiệm vụ và kỹ thuật giải cụ thể :


d-hsg
T1.ptdt
: Viết phương trình dạng điểm-hệ số góc