Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy toán ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
---------------------

Phạm Lương Quý

NGHIÊN CỨU SINH THÁI CỦA
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp giảng dạy Tốn

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Phép tính tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Giải tích lớp 12 và
ln xuất hiện trong đề thi tú tài cũng như đề thi đại học. Những chướng ngại mà học sinh gặp phải khi
tính tích phân bắt nguồn từ bản chất khoa học luận của khái niệm tích phân hay từ việc xây dựng
những khái niệm có liên quan?
Câu hỏi này khiến chúng tôi chọn đề tài Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy
Tốn ở trung học phổ thơng.

2. Khung lý thuyết tham chiếu
Mục đích của luận văn là đi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi nói trên. Để làm việc này, chúng
tơi đặt mình trong lý thuyết nhân chủng học didactic và sử dụng cách tiếp cận sinh thái. Với khung lý
thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi phát biểu lại câu hỏi ban đầu như sau:
Những điều kiện sinh thái của phép tính tích phân được xây dựng như thế nào trong chương trình
trung học phổ thơng? Trong thực hành giải toán, những điều kiện trên vận hành như thế nào? Điều này
đem đến những hệ quả gì?

2.1. Lý thuyết nhân chủng học
Lý thuyết nhân chủng học với tư tưởng chủ đạo là xem một đối tượng tri thức toán học như là một
sinh vật sống nghĩa là có nảy sinh, tồn tại, tiến triển, mất đi, có những mối quan hệ ràng buộc với các
đối tượng khác.
Q trình lý thuyết hố nhân chủng học tốn học gắn liền với việc “đặt vấn đề sinh thái học”
(Problématique écologique). Theo Chevallard (1989), trong một thể chế đã cho, một tri thức O không
tồn tại một cách tách rời mà trong tác động qua lại với các đối tượng thể chế khác. Những đối tượng
này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại và hoạt động của tri thức O trong thể chế. Nói cách khác
chúng hình thành nên môi trường sinh thái của O.
Theo Boch và Chevallard (1999) thì “cách đặt vấn đề sinh thái học cho phép mở rộng phạm vi
phân tích và đề cập đến những đòi hỏi được tạo ra giữa các đối tượng tri thức khác nhau cần dạy. Sự
mô tả tri thức tốn học do đó khơng phải bao giờ cũng địi hỏi một cấu trúc làm sẵn mà ln được diễn
đạt nhờ những đối tượng hình thành nên nó. Nhưng những đối tượng này, bây giờ duy trì những mối
quan hệ qua lại theo thứ bậc cho phép nhận ra những cấu trúc sinh thái khách thể.
2.2. Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân
Theo Chevallard (1989), “một tri thức không thể tồn tại trong một xã hội trống rỗng, bất kỳ một
tri thức nào cũng xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định và được gắn với ít
nhất một thể chế nhất định nào đó”. Nói một cách khác, mỗi tri thức là một tri thức của một thể chế.
Ngoài ra, cùng một đối tượng tri thức có thể sống trong những thể chế khác nhau, và để một tri thức có


thể tồn tại trong một thể chế thì nó cần phải tuân thủ một số đòi hỏi nhất định của thể chế. Điều này
kéo theo rằng nó phải tự thay đổi, nếu khơng nó khơng thể duy trì trong thể chế bởi vì thể chế là một
cộng đồng, thực hiện một cơng việc nào đó.
Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức, chủ yếu dựa vào 3 thuật ngữ : đối tượng, cá thể và thể
chế trong đó khái niệm cơ bản là thể chế vì nó chỉ rõ hệ thống thực tiển xã hội. Trong phạm vi của sự
lý thuyết hoá này, một đối tượng tri thức O được coi là tồn tại ngay khi mà một cá nhân hay một thể
chế nhận biết nó như đã tồn tại. Chính xác hơn, người ta nói rằng đối tượng O tồn tại đối với một thể
chế I nếu như có một mối quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O là tập hợp tất cả các tác động qua lại mà I
có với O nghĩa là : nói về O, mơ về O, thao tác O, mô tả O, sử dụng O …

Quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O, nói chung phản ảnh những gì diễn ra trong I liên quan đến số
phận của O, cho biết O xuất hiện ở đâu trong I, O hoạt động như thế nào và giữ vai trị gì trong I. Cũng
như thế, đối tượng O tồn tại với một cá nhân X nếu như có một quan hệ cá nhân từ X đến O mà ta gọi
là quan hệ R(X,O), như vậy quan hệ cá nhân R(X,O) là toàn bộ những tác động qua lại mà X có thể
thực hiện với O, thể hiện cách mà X biết O, như vậy có thể nói rằng việc học của cá nhân X đối với tri
thức O nếu như quan hệ R(X,O) thay đổi : hoặc là nó bắt đầu được thiết lập (nếu chưa tồn tại) hoặc là
nó được thay đổi (nếu đã tồn tại).
Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một tri thức gắn liền với vị trí của các thành
tố trong thể chế. Nếu là thể chế dạy học, người ta phải xét đến ít nhất là : quan hệ thể chế đối với thầy
giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh. Quan hệ thể chế đối với thầy giáo xác định cái mà thể chế đòi
hỏi người thầy phải thực hiện và quan hệ thể chế đối với học sinh xác định cái mà thể chế đòi hỏi
người học sinh phải thực hiện.
Số phận của một đối tượng tri thức được đặt dưới sự vận động nhất thời của thể chế. Khi một đối
tượng tri thức cần dạy O được đưa vào thì mối quan hệ thể chế với đối tượng này sẽ được thiết lập.
Quan hệ đó sẽ tồn tại suốt thời gian mà đối tượng O còn là mục đích được thua của việc dạy học. Quan
hệ thể chế này được gọi là quan hệ thể chế chính thức với đối tượng O.
Như vậy, việc nghiên cứu mối quan hệ của một thể chế I đối với đối tượng tri thức O cho phép
hiểu O xuất hiện ở đâu và bằng cách nào trong thể chế I, O tồn tại ra sao và được sử dụng như thế nào
trong I. Nó cũng cho phép chúng ta nắm bắt tốt hơn những quan hệ thể chế của thầy giáo và của học
sinh đối với O, bởi vì quan hệ cá nhân của thầy giáo và của học sinh với tri thức O khơng hồn tồn
độc lập với quan hệ thể chế.
Trong một thể chế dạy học, cái được thua của việc dạy học là một tri thức được tiếp nhận như thế
nào với cá nhân X. Ý định của thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức này để
nó trở nên phù hợp với quan hệ thể chế. Điều này dẫn đến chỗ phải thiết lập một sự phân định, trong
bất kỳ một thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định, giữa những đối tượng thực sự là cái được
thua của việc dạy học với những đối tượng khác (đã từng có ích và bây giờ khơng cịn ích lợi nữa, hay
những đối tượng không hề là cái được thua của việc dạy học nhưng vẫn có sự hiện diện của nó ở đó).


Theo quan niệm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế giữ một vai trò rất quan trọng trong các thể

chế dạy học.Về mặt này,Chevallard cũng đã chỉ rõ :
“vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện và những hệ
quả của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt thực tiễn, và là thứ yếu về
mặt khoa học luận của việc dạy học” (1989).
Với lý thuyết nhân chủng học, chúng ta có những cơng cụ làm việc để nghiên cứu các ràng buộc
thể chế có ảnh hưởng đồng thời đến cuộc sống của tri thức cũng như đến quan hệ của các chủ thể của
thể chế đối với tri thức này.
2.3. Hợp đồng Didactic
Hợp đồng didactic : quy tắc địa phương và nghĩa của tri thức.
Theo quan điểm didactic, sự được thua chung của giáo viên và học sinh trong lớp là tri thức,
nhưng kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức này là rất khác nhau Điều đó trước hết là vị trí khơng đối
xứng của họ trong quan hệ didactic : giáo viên khác với học sinh ở chỗ giáo viên được “giả định là
biết”, và cũng còn ở chỗ được “giả định là có khả năng” đốn trước những gì học sinh sắp phải học.
Trách nhiệm của mỗi bên đối tác của tình huống giảng dạy khơng giống nhau : giáo viên phải
giảng dạy cái gì đó, bằng cách nào đó; học sinh phải học để biết cái gì đó và biết như thế nào.
Những gì mỗi bên có quyền làm hay khơng làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập
hợp các qui tắc có khi tường minh nhưng chủ yếu là ngầm ẩn. Ta đã thấy một thí dụ về kết quả các
phép tính căn số học, có lời giải chấp nhận được hay không chấp nhận được tuỳ từng trường hợp và tuỳ
từng nước.
Hợp đồng didactic là một sự mơ hình hoá các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học
sinh đối với các đối tượng tri thức tốn học đem giảng dạy. Sự mơ hình hố này do nhà nghiên cứu lập
ra. G. Brousseau (1980) đã trình bày khái niệm này như sau : “Trong một buổi học có mục đích là dạy
cho học sinh một kiến thức nhất định, học sinh hiểu tình huống được giới thiệu, những câu được hỏi
đặt ra, những thông tin được cung cấp, những ràng buộc áp đặt, tuỳ theo những gì giáo viên thực hiện,
có ý thức hay khơng, một cách lặp đi lặp lại trong thực tiễn giảng dạy của mình. Trong các thói quen
này, ta quan tâm đặc biệt hơn đến những gì là đặc thù cho kiến thức giảng dạy : ta gọi hợp đồng
didactic là tập hợp những cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh trông đợi và tập hợp
những ứng xử của học sinh mà thầy trơng đợi”
Ta nói hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi
bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được giảng dạy.

Những điều khoản của hợp đồng – không bao giờ được cơng bố hoặc nếu có thì cũng khơng phải
dưới dạng tồn văn, vì thực tế chúng khơng thuộc loại cơng bố được – tổ chức nên các mối quan hệ mà
Thầy và trị ni dưỡng đối mặt với tri thức.
Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các
hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối
với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các


phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập
trong nhà trường phải trải qua.
Phải làm gì đây? Nhìn vào đâu để biết mình đã thành cơng? Phải làm gì nếu ta khơng thành cơng?
Đã cần phải biết cái gì để thành cơng ? Phải nói cái gì đây? Vừa qua đáng ra phải làm gì khác? ... Có
biết bao nhiêu câu hỏi mà câu trả lời phụ thuộc vào hợp đồng didactic.
Ta chỉ có thể nắm được ý nghĩa của những lối chỉ đạo cách ứng xử của giáo viên và học sinh, rất
cần cho phân tích didactic, nếu biết gắn những sự kiện được quan sát vào trong khn khổ hợp đồng
didactic để giải thích.
Chẳng hạn, ta có thể gắn sự kiện “học sinh khơng mấy khi kiểm tra lại mình phát biểu những gì”
với sự tồn tại của một hợp đồng didactic, theo đó “giáo viên ln ln có nhiệm vụ kiểm tra và hợp
thức hoá những câu trả lời của học sinh”. Như vậy, học sinh có thể đưa ra một câu trả lời sai, một phép
chứng minh sai, dĩ nhiên là có nguy cơ bị thầy cho điểm kém. Hợp đồng didactic ngầm ẩn nói trên cho
phép học sinh khơng quan tâm kiểm tra mình đã trả lời thế nào cho các câu hỏi đặt ra mà khốn việc đó
cho giáo viên. (Theo Comiti – 2000 – Hợp đồng Didactic – bài giảng cho lớp Thạc sỹ - ĐHSP Tp
HCM và Đại học Joseph Foutier)
Vấn đề là làm sao để thấy được hiệu ứng của hợp đồng didactic? trong một tình huống nhất định?
tại một thời điểm nhất định? Người ta có thể làm theo một trong những cách tiến hành như sau :
D1: tạo một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt
(giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ (ta sẽ gọi tình huống đó là tình huống phá vỡ hợp
đồng).
D2: phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy trong thực tế.
Làm sao để đặt những thành viên chủ chốt vào một tình huống khơng quen thuộc?

Người ta có thể tiến hành theo nhiều cách:
1. Thay đổi những điều kiện sử dụng tri thức. Việc sử dụng tri thức toán nổi bật nhất khi giải các
bài tốn, do đó người ta có thể biến đổi các đặc trưng của bài toán.
2. Lợi dụng khi học sinh chưa biết cách vận dụng một số tri thức nào đó. Có nhiều trường hợp:
i) trong q trình học, nhằm lúc học sinh chưa nắm được một số cách vận dụng tri thức.
ii) lợi dụng những thay đổi về thể chế (như chương trình học, trình độ học sinh), làm thay đổi
cách vận dụng tri thức.
3. Đặt mình ra ngồi phạm vi của tri thức đang bàn đến hoặc sử dụng những tình huống mà tri
thức đó khơng giải quyết được. Đó là trường hợp những vấn đề địi hỏi một sự mơ hình hố bằng từ
ngữ tốn học (những vấn đề được gọi là cụ thể). Các tiêu chí cho phép chọn một cách mơ hình hố và
phán xét giá trị của cách mơ hình hố đã chọn nằm ngồi phạm vi tốn học và do đó đã khơng được
phát biểu trong việc dạy tri thức.
4. Đặt giáo viên trước những ứng xử của học sinh không phù hợp với những điều giáo viên mong
đợi. Chẳng hạn đó là những câu trả lời khác lạ cho một bài toán.


Thơng qua việc phân tích những thành phần của hệ giáo dục thực tế, chúng ta sẽ xác định những
quy tắc của hợo đồng didactic. Có nhiều cách để xác định các qui tắc của hợp đồng didactic và ta có thể
phối hợp chúng với nhau. Sau đây là một vài ví dụ :
 Nghiên cứu các câu trả lời của học sinh trong một lớp học.
 Phân tích những ước định. Nhờ vậy ta sẽ thấy rõ hơn trách nhiệm của học sinh trong việc sử
dụng tri thức.
Phân tích những bài tập được giải hoặc được giảng dạy ưu tiên trong sách giáo khoa và sách bài
tập qua đó ta sẽ thấy rõ hơn những quy tắc ngầm ẩn mà học sinh sử dụng.

3. Phương pháp nghiên cứu
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chọn ra 3 điều kiện sinh thái của phép tính tích phân là
phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp và phép tính đạo hàm. Với mỗi điều kiện sinh thái, chúng tôi
thực hiện các điều tra khoa học luận và đối chiếu với việc phân tích chương trình, sách giáo khoa Việt
Nam để rút ra đặc trưng của mỗi điều kiện trong thể chế Việt Nam. Từ đó, chúng tơi hình thành giả

thuyết nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết.

4. Tổ chức luận văn
Ngoại trừ phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương nghiên cứu lần lượt về phép tính
diện tích, khái niệm hàm số hợp và phép tính nguyên hàm. Cấu trúc của các chương giống nhau: điều
tra khoa học luận, phân tích chương trình và sách giáo khoa, đặc điểm của khái niệm, thực nghiệm.
Sau đây là một số tổ chức tốn học mà chúng tơi sẽ đề cập đến trong luận văn
4.1. Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là trường hợp đặc biệt của hoạt động xã hội. Vấn đề đặt ra là làm sao mơ tả,
giải thích được thực tế của xã hội này ? Cái gì cho phép mơ hình hố các thực tế này.
Một trong những cách mơ tả, giải thích là dựa vào khái niệm “tổ chức toán học” (Organismes
mathématiques hay praxéologies mathematiques) mà chúng ta sẽ xem xét đưới đây
4.1.1. Praxéologie
Theo Chevallard, quá trình lý thuyết hoá bao gồm các định đề về nhân chủng học được phát biểu
như sau :
Định đề 1 : Toàn bộ thực tiễn của chủ thể được đưa vào phân tích, theo những quan điểm khác
nhau và theo những phương pháp khác nhau, bằng một hệ thống những nhiệm vụ tương đối giới hạn
được tách ra từ những dòng chảy của thực tiễn.
Định đề 2 : Việc thực hiện một nhiệm vụ nào đó là do vận dụng một kỹ thuật.
Định đề 3 : Để có thể tồn tại trong một thể chế, một kỹ thuật phải xuất hiện sao cho có thể hiểu
được, có thể thấy được và phải lý giải được.
Tương ứng với các định đề này, Chevallard đưa vào khái niệm praxéologie. Đó là một bộ gồm 4
thành phần như sau :


1- T : kiểu nhiệm vụ, gồm ít nhất một nhiệm vụ t
2- τ: kỹ thuật để hoàn thành nhiệm vụ t
3-  : Công nghệ để lý giải cho kỹ thuật τ
4-  : lý thuyết để giải thích  cịn gọi là cơng nghệ của cơng nghệ 
Khi T là một kiểu nhiệm vụ tốn học thì tổ chức [ T, τ, ,] được gọi là một tổ chức toán học.

Sự xuất hiện của một praxéologies sẽ cho phép thiết lập mối liên hệ với khái niệm quan hệ thể
chế.
Cách tiếp cận chương trình và sách giáo khoa theo quan điểm các praxéologies toán học sẽ cho
phép ta thấy được và có thể giải thích được mối liên hệ giữa phần lý thuyết và phần bài tập, đồng thời
sẽ giúp chúng ta làm rõ quan hệ của thể chế I đối với tri thức O mà ta đang xem xét, cụ thể O xuất hiện
như thế nào, giữ vai trị gì trong I. Thực vậy, khi phân tích, chúng ta sẽ phải trả lời những câu hỏi sau :
* Về kiểu nhiệm vụ T : có được nêu lên một cách rõ ràng không ? ở đâu ? các lý do đưa T vào có
được làm rõ khơng ? Hay là T chỉ xuất hiện một cách ngẫu nhiên, thiếu gợi động cơ ? T có mối liên hệ
nào với các phần toán học khác
Giả sử T là một kiểu nhiệm vụ nào đó, ta được đặt trước câu hỏi Q : làm thế nào để thực hiện
nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ T ? Vấn đề là tìm một câu trả lời R cho câu hỏi Q này. Như vậy để tìm
câu trả lời cho Q trước hết là tìm một cách làm, nghĩa là tìm cái mà ta gọi là một kỹ thuật  (technique)
* Về kỹ thuật τ : có được nêu lên một cách rõ ràng không ? hay chỉ mới được phát thảo ?  có dễ
sử dụng khơng ? phạm vi sử dụng của  như thế nào, tương lai của  ra sao ?
T và  tạo thành “khối” [T , ] mà ta gọi là khối thực hành kỹ thuật (pratico-technique), và thường
đồng nhất nó với cách làm, kỹ năng (savoir – faire). Ở đây cần lưu ý ba điểm :
Thứ nhất : một kỹ thuật  - một cách làm chỉ cho phép thành công trên một phần của T. Ta ký hiệu
phần đó là P() và gọi đây là tầm ảnh hưởng của kỹ thuật, nó dẫn đến thất bại trên phần T \ P(), như thế,
sẽ có một kỹ thuật vượt lên một kỹ thuật khác.
Thứ hai : một kỹ thuật  không nhất thiết là một algorit hay gần như một algorit, thậm chí rất
hiếm khi như vậy. Nhưng đúng là dường như tồn tại khuynh hướng algorit hố các kỹ thuật, và q
trình hồn thiện các kỹ thuật này đơi khi khó mà dừng lại trong một thể chế nào đó, về một kiểu nhiệm
vụ nào đó.
Thứ ba : trong cùng một thể chế I, đối với một kiểu nhiệm vụ T xác định, nói chung chỉ tồn tại một
kỹ thuật duy nhất, hay cùng lắm là một số ít kỹ thuật, được thể chế thừa nhận, dù thực ra có thể tồn tại
những kỹ thuật khác, nhưng ở trong những thể chế khác. Cần phải phân biệt rõ thuật toán chỉ là trường
hợp đặc biệt của kỹ thuật.
* Về yếu tố công nghệ - lý thuyết : Việc mơ tả, giải thích cho kỹ thuật  có được đặt ra khơng ?
hay kỹ thuật  tự nó đã rõ ràng, tự nhiên ? Hình thức giải thích có gần với hình thức chuẩn của tốn học
khơng ?

Khi quan sát hoạt động của con người trong những thể chế khác nhau, ta thấy thường xuất hiện
một “bài giảng” về kỹ thuật cho phép thực hiện T. “bài giảng” đó có mục đích hợp thức hố, giải thích,
biện minh cho cách làm . Đó là thành phần thứ ba của praxéologie, mà ta gọi là công nghệ .Công
nghệ cũng có thể khác nhau tùy theo thể chế và cũng có thể chẳng quan hệ với một yếu tố lý thuyết nào
cả.
Cơng nghệ có 3 chức năng : biện minh, giải thích, và tạo ra kỹ thuật.
 biện minh : nhằm mục đích bảo đảm rằng kỹ thuật sẽ đưa lại kết quả chắc chắn đúng
 giải thích : làm cho người ta hiểu được vì sao lại làm như vậy.
 tạo ra kỹ thuật.
Đến lượt mình, trong cơng nghệ chứa đựng những khẳng định mà người ta có thể u cầu giải
thích. đó là lý thuyết  để giải thích cho cơng nghệ  mà ta gọi là công nghệ của công nghệ, thành
phần thứ tư của một praxéologie.
Như vậy  và  tạo thành khối công nghệ- lý thuyết [,]. Khối này thường được xác định như
một tri thức (savoir), còn khối [T , ] tạo thành một kỹ năng (savoir – faire). Với cách hiểu khái niệm
praxéologie đã trình bày ở trên thì :
- Kiểu nhiệm vụ T là có trước khối cơng nghệ- lý thuyết [,]. Như vậy một tổ chức toán học là
một câu trả lời cho một câu hỏi Q, đó là : làm thế nào để thực hiện một nhiệm vụ t  T ?
4.1.2. – Tổ chức toán học tham chiếu
Trong luận văn, chúng tôi khảo sát 3 vấn đề liên quan đến điều kiện sinh thái của tích phân, đó là
:
Phép tính diện tích - đạo hàm, hàm số hợp – phép tính nguyên hàm. Để làm sáng tỏ các vấn đề
này, chúng tơi đưa ra các tổ chức tốn học cần phân tích và được trình bày dưới đây : cụ thể là làm rõ
và đánh giá các thành phần của nó.
OM1 : Đạo hàm
Trong Chương Đạo hàm, của sách giáo khoa lớp 11–Đại số và Giải tích Nâng Cao (NXBGD –
tháng 06 năm 2007) chúng tơi thấy có những kiểu nhiệm vụ sau đây :
T1: Đạo hàm của hàm số tại một điểm (định nghĩa và đưa ra quy tắc tính đạo hàm theo định
nghĩa, ý nghĩa hình học của đạo hàm là bài toán tiếp tuyến, ý nghĩa cơ học của đạo hàm là bài toán vận

tốc tức thời)
T2 : Đạo hàm của hàm số trên một khoảng J (định nghĩa và ví dụ)
T3 : Tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp.
Các hàm số thường gặp là : y = C (hằng số) ; y = x ; y = xn ; y =

x kỹ thuật 1 : Dùng định

nghĩa đạo hàm tại một điểm để chứng minh định nghĩa được phát biểu như sau : Cho hàm số y = f(x)
xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số :


f(x) - f(x 0 )
khi x dần tới x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0) hoặc
x  x0
y’(x0), nghĩa là
f’(x0) = lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

công nghệ 1 : định nghĩa đạo hàm trên một khoảng. Nghĩa là hàm số f gọi là có đạo hàm trên khoảng J
nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc J
T4 : Các quy tắc tính đạo hàm (tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số có đạo hàm trên khoảng J).
T5 : Đạo hàm của hàm số hàm hợp

(khái niệm về hàm số hợp và định lý tính đạo hàm của hàm số hợp)
Trong kiểu nhiệm vụ này gồm hai kiểu nhiệm vụ sau :
T51 : khái niệm về hàm số hợp

 51 : nhận biết và tìm được hàm số hợp là hợp của hai hay ba hàm số khác đã cho công nghệ 51:
Định lý về hàm số hợp được trình bày như sau :
Giả sử u = g(x) là hàm số của x, xác định trên khoảng (a;b) và lấy giá trị trên khoảng (c;d) ; y =
f(u) là hàm số của u, xác định trên (c;d) và lấy giá trị trên . khi đó, ta lập một hàm số xác định trên
(a;b) và lấy giá trị trên  theo quy tắc sau : x → f(g(x)). Ta gọi y = f(g(x)) là hàm hợp của hàm y =
f(u) với u = g(x)
T52 : Đạo hàm của hàm số hợp
 52 : tính được đạo hàm của hàm số hợp 
công nghệ 52: Định lý về đạo hàm của hàm số hợp
“Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm là u’(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo biến x là y’x thì hàm
số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là y’x = y’u. u’x ”
T6 : Đạo hàm của các hàm số lượng giác
(y = sinx , y = cosx ; y = tanx ; y = cotx)
T7 : khái niệm vi phân tại một điểm
T8 : Đạo hàm cấp cao (đạo hàm cấp 2 và đạo hàm cấp n)
Chương đạo hàm ở lớp 11 nâng cao được dạy đến kiểu nhiệm vụ T8 thì tạm ngưng. Lên lớp 12,
học sinh được học tiếp. Sách Giải tích 12 ban khoa học tự nhiên trình bày thêm các kiểu nhiệm vụ sau :
T9 : Đạo hàm của hàm số lũy thừa được nêu ra trong bài hàm số lũy thừa (số mũ hữu tỷ y =

n

x ,

n   , n 2 và hàm số vô tỷ y = x ,   )
T10 : Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lơgarít được nêu ra trong bài hàm số mũ. hàm số
lơgarít.
Trong vấn đề nghiên cứu, chúng tơi chỉ quan tâm đến điều kiện sinh thái của phép tính tích phân
do đó chỉ quan tâm đến kiểu nhiệm vụ T3 và T5

OM2 : Điều kiện khả tích.

Kiểu nhiệm vụ T : khảo sát sự khả tích của một hàm số f(x) trên đoạn [a;b]
kỹ thuật  : xét tính liên tục của một hàm số đã cho trên đoạn [a;b]
công nghệ  : thừa nhận định lý : “ Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm
trên đoạn đó” (Sgk do Ngơ Thúc Lanh – Ngơ Xuân Sơn – Vũ Tuấn. Sách chỉnh lý hợp nhất năm
2000).
Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao cũng phát biểu tương tự, chỉ có khác là thay đoạn [a;b] bằng
khoảng K.
OM3 : Tính nguyên hàm

 f ( x)dx

Kiểu nhiệm vụ T : Tính nguyên hàm của một số hàm số

Để tính nguyên hàm của một hàm số, người ta đưa ra các kỹ thuật sau
1-kỹ thuật 1 : Dùng bảng các nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm
công nghệ 1 : Áp dụng định nghĩa nguyên hàm (Sgk 2000)

“Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x  (a;b),
ta có F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải có thêm F’(a+ ) = f(a) và F’(b-)
= f(b)”.
Với sách gk 2007 thì định nghĩa ngắn gọn như sau :
“Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi
x thuộc K”
Tuy nhiên có kèm theo chú ý là khi K = [a;b] thì các tác giả ghi là các đẳng thức F’(a) = f(a) ,
F’(b) = f(b) được hiểu là :
lim

xa

F ( x)  F (a )
 f (a )
xa

Sách gk 2007 cũng dùng ký hiệu

 f ( x)dx

và

lim

x b 

F ( x)  F (b)
 f (b)
xb

để chỉ một nguyên hàm bất kì của hàm f, vậy

(  f ( x)dx) '  f ( x)

x3
 Ví dụ : Hàm số F(x) =
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 trên đoạn [a;b] tùy ý vì
3

F’(x) = x2 , x  (a;b)

2-kỹ thuật 2 : Dùng đạo hàm của hàm số hợp
công nghệ 2 : Bảng các nguyên hàm

Ví dụ 3- trg 139
 a/



4 x 4 dx 

4 5
x C
5


 b/



1

1
2

1

x2
2 3
xdx   x dx 
C 

x C
1
3
1
2

x
 c/  cos dx 
2

x
2  2sin x  C
1
2
2

sin

Phần nguyên hàm, các tác giả trình bày đơn giản, dễ tiếp thu.
3-kỹ thuật 3 : Dùng phương pháp đổi biến số - chỉ có trong sgk 2007
cơng nghệ 3 : Dùng định lý sau đây :

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác
định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là

 f (u)du

= F(u) + C thì

 f [u( x)]u '( x)dx  F[u( x)]  C

Công thức đổi biến số này là cách giải tổng quát của kỹ thuật 2
Ví dụ 1 – trg 142 : tính

 (2 x  1) dx
4

Giải : Ta có (2x + 1)4 dx =

1
1
(2x + 1)4(2x + 1)’dx = (2x + 1)4d(2x+1)
2
2

Đặt u = u(x) = 2x+1. áp dụng công thức, ta có :



(2 x  1) 4 dx =

=

1

 2 (2 x  1)

4

1
1

d (2 x  1)   u 4 du   u 4 du
2
2

1 1 5
1
. u  C  (2 x  1)5  C
2 5
10

Chúng tôi nhận thấy hàm số hợp xuất hiện trong ví dụ như là một biến, do cách gọi tên là đổi biến
số. Các ví dụ kế tiếp bám sát với định lý, cùng có dạng

 f (u)u ' dx , học sinh dễ dàng nhận ra. Không

yêu cầu cao
4-kỹ thuật 4 : Dùng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
công nghệ 4 : Dùng định lý sau đây (Sgk 2000)

Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay đoạn nào đó, thì trên
khoảng hay đoạn đó

 u( x)v '( x)dx  u( x)v( x)   u '( x)v( x)dx
hay

 udv  uv   vdu
Với Sgk 2007 thì viết gọn hơn là : “Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ….”
Ví dụ : tính

 xe dx

x


Đặt u(x) = x và v’(x) = ex , ta được u’(x) = 1 và v(x) = ex. Do đó

 xe dx  ( xe )   e dx  xe
x

x

x

x

 ex  C

b

OM4 : Tính tích phân

 f ( x)dx
a

Kiểu nhiệm vụ T1 : Dùng phương pháp đổi biến số
kỹ thuật 1 : Đặt biến số phù hợp với đề bài, kỹ năng tính đạo hàm
1-cơng nghệ 11 : Định lý (về đổi biến số dạng 1) Sgk-ncao – trg 158

Nếu hàm số u = u(x) và có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm hợp
f[u(x)] xác định trên K; a,b là hai số thuộc K thì
b

u (b )

a

u (a)

 f ( x)dx  

g (u )du

2



Ví dụ 1 – trg 158 : Tính

xe x

2

bằng cách đặt u =x2

1

Chỉ có 1 ví dụ, khá dễ hiểu.
2-cơng nghệ 12 : Định lý (về đổi biến số dạng 2)


Giả sử cần tính

 f ( x)dx .



Đặt x =x(t) (t  K) và a,b  K thoả  = x(a),  = x(b) thì


b



a

 f ( x)dx   f [ x(t )]x '(t )dt


Ví dụ 2 – trg 159 : Tính

2



1  x 2 dx , sau đây là lời giải của sgk

0

Đặt x = sint. ta có dx = d(sint) = costdt , 0 = sin0 và 1 = sin


Vậy

2


0


2



1  x dx =
2

2



1  sin 2 tdt costdt, vì t [0;

0


2


0




2

] nên 1  sin 2 t  cos t , do đó :



12
1
s in2t
1  x dx =  cos tdt =  (1  cos 2t )dt  (t 
)
20
2
2
0
2

2

2





2
4
0

Cách đặt này có thể dẫn đến câu hỏi, đó là tại sao lại đặt như vậy, có cách đặt nào khác khơng?. Ở
đây hàm hợp khơng còn xuất hiện như dạng đổi biến số 1. Tuy nhiên nó vẫn được hiểu là một biến. Như
vậy, hàm số hợp có ảnh hưởng đến kỹ thuật tính tích phân của học sinh. Vai trò đạo hàm xuất hiện ngầm
ẩn nhưng vô cùng quan trọng.
Kiểu nhiệm vụ T2 : Dùng phương pháp tích phân từng phần


kỹ thuật 2 : Kỹ năng về đạo hàm và ngun hàm
cơng nghệ 2: Định lý về tích phân từng phần

Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K và a,b  K thì :
b

b

 u( x)v '( x)dx  (u( x)v( x))   u '( x)v( x)dx
b
a

a

a

b

hay

b

 udv  uv   vdu
b
a

a

a

1

 xe dx
x

Ví dụ 3 – trg 160 : tính

0

Chọn u(x) = x và v’(x) = ex. Khi đó u’(x) = 1, v(x) = ex. Do đó
1



1

1
0

xe x dx = ( xe x )   e x dx = e – (e – 1) = 1

0

0

OM5 : Tính diện tích
Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính diện tích hình phẳng
1-kỹ thuật 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh.
cơng nghệ 1 : Dùng cơng thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục

trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là :
b

S=

 f ( x) dx
a

Với công thức này, học sinh cần dựa vào đồ thị của hàm số f(x) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối hoặc
tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh sau đó xét dấu biểu thức f(x) trên đoạn tính tích phân.
2-kỹ thuật 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
công nghệ 2 : Dùng công thức
b

S

 f ( x )  g ( x ) dx
a

Trong đó f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b]
Với kỹ thuật này, học sinh cần tìm giao điểm của hai đường cong trên đoạn [a;b] hoặc để xác định
hai cận tích phân nếu đề bài chưa cho hai cận này sau đó hoặc là xét dấu biểu thức hoặc dựa vào vị trí

đồ thị của hai hàm f(x), g(x) để gở bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Nhận xét : Việc tính đạo hàm của một hàm số thơng thường là dễ thực hiện hơn tính tích phân,
bởi vì trong định nghĩa đạo hàm ta dùng phép lấy giới hạn từ đó thiết lập nhiều cơng thức tính đạo hàm
của các hàm số sơ cấp, hàm lượng giác, mũ và lơgarít, với hệ thống cơng thức này, giúp học sinh tính
đạo hàm của hàm số được dễ dàng. Trái lại định nghĩa nguyên hàm của một hàm số khơng cho ta một
cơng cụ như vậy vì theo định nghĩa, phải tìm hàm F sao cho F’(x) = f(x). Công cụ chủ yếu là dựa vào


hai phương pháp đổi biến số và từng phần, mà đổi biến số thì liên quan đến hàm hợp, kiến thức này
được học hết sức đơn giản, vì vậy đối với học sinh, việc tính tích phân thì khó hơn tính đạo hàm.
OM6 : Tính thể tích
Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính thể tích vật thể
kỹ thuật 1 : Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng song song.

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng song song (P) và (Q) vng góc với trục Ox lần lượt tại x = a
và x = b (a < b). Một mặt phẳng tuỳ ý vng góc với Ox tại điểm x (a  x  b) cắt theo thiết diện có
diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b].
b

công nghệ 1 : Dùng công thức V =  S ( x)dx
a

nhờ công thức này, học sinh chứng minh được thể thích của lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt đã
dùng ở mơn hình học lớp 12 mà chưa được chứng minh.
Kiểu nhiệm vụ T2 : Tính thể tích vật thể trịn xoay :
kỹ thuật 2 : Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b (a < b) quay quanh trục Ox.
b

công nghệ 1 : Dùng công thức V =   f 2 ( x)dx
a

nhờ công thức này, học sinh chứng minh được thể tích hình cầu, hình nón, hình nón cụt đã dùng ở mơn
hình học lớp 12 mà chưa được chứng minh. Dưới đây là phần phân tích các tổ chức tốn học trong
sách bài tập
OM

Sách bài tập CT hợp nhất năm 2000

Sách bài tập CT Phân ban 2007

OM1 T5 xuất hiện ở các bài tập 1.12 a,c,e – trg T5 xuất hiện ở các bài tập 2.68
7,8 ; 1.14 e,h,i,k,l,m,n – trg 8. hợp của 3

b,c,d – trg 81; 2.75 a,d – trg 82 ;

hàm. Ví dụ y = sin2(cos3x)

2.83 c,d –trg 83. Các hàm số
hợp cho theo dạng hợp của ba
hàm số. ví dụ y = 3 ln 2 2x

OM2
OM3

Khơng có bài tập về điều kiện khả tích.
a-

Xuất hiện dạng tìm ngun hàm

Tương tự như chương trình

của hàm f mà khơng trình bày bằng kí hợp nhất
hiệu - kĩ thuật 1 , 2 , thường xuất hiện
b-

Các bài tập tính f(x)dx , kĩ thuật

3, 4
Tìm hàm f(x) biết f’(x) OM4

Các kỹ thuật về đổi biến số và từng phần xuất hiện


OM

OM5

Sách bài tập CT hợp nhất năm 2000

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Sách bài tập CT Phân ban 2007

Tương tự

- đường cong và trục hoành
- đường cong, trục hoành và đường thẳng
- đường cong, trục hoàng, trục tung và

đường thẳng
- đường cong, trục hoành và 2 đường
thẳng
- đường cong, và 2 đường thẳng
- hai đường cong cắt nhau
Ngoài ra cịn tính thể tích vật giới
hạn bởi đường cong, trục hoành. đường
cong, trục hoành và hai đường thẳng

Tương tự


Chương 1.
Phép tính diện tích hình phẳng với tư cách là một điều kiện sinh thái của phép
tính tích phân
Chương này gồm bốn phần chính. Trong phần đầu, chúng tơi thực hiện một nghiên cứu khoa học
luận về phép tính diện tích hình phẳng bằng cách đặc biệt quan tâm đến mối liên hệ của nó với phép
tính tích phân trong lịch sử toán học. Trong phần hai, sau khi lướt qua q trình đưa phép tính diện tích
vào chương trình từ tiểu học đến trung học phổ thơng, chúng tôi tập trung vào mối quan hệ thể chế đối
với phép tính diện tích trong chương trình hiện hành (áp dụng chính thức cho lớp 12 từ năm học 20082009). Hai phần đầu này cho phép chúng tơi hình thành trong phần ba đặc trưng về kênh dinh dưỡng
“diện tích – tích phân” mà chúng tơi sẽ kiểm chứng trong phần bốn.

1.1. Nghiên cứu khoa học luận về phép tính diện tích hình phẳng
Các ý tưởng giúp hình thành mơn vi tích phân phát triển qua một thời gian dài. Các nhà toán học
Hi Lạp là những người đã đi những bước tiên phong. Leucippe (thế kỷ V trước công nguyên),
Démocrite (460-370 trước công nguyên) và Antiphon (480-411 trước công nguyên) đã có những đóng
góp vào phương pháp "vét cạn" của Hi Lạp, và sau này được Euxode (408-355 trước cơng ngun)
nâng lên thành lí luận khoa học. Ý tưởng của

c

A

b

H

G

phương pháp “vét cạn” là dựng hai hình phẳng U,
V chặn dưới và chặn trên cả hình phẳng có diện
tích A cần tính lẫn hình phẳng S cho trước sao

K

cho hiệu V – U bé tùy ý. Sau đó, ta chứng minh A
= S bằng phản chứng.
Đặc biệt, Archimède (287-212 trước công

B

E

M

F

C

nguyên) đã áp dụng phương pháp vét cạn để giải

các bài tốn về độ dài, diện tích, thể tích. Trong tác phẩm Về phép cầu phương parabole, ông chứng
minh chặt chẽ rằng “một hình viên phân giới hạn bởi một đường thẳng và một parabole có diện tích
bằng 4/3 diện tích của tam giác có cùng đáy và chiều cao với viên phân”.
Giả sử BAC là viên phân parabole đã cho, A là điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến
BC ; Bb, Cc là hai đường thẳng song song với AM (M là trung điểm BC). Archimède chứng minh rằng
diện tích tam giác ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành bBCc và lớn hơn một nửa diện tích viên
phân. Ơng tiếp tục dựng một tam giác nằm trong viên phân giới hạn bởi cát tuyến AC và parabole. Dễ
dàng chứng minh rằng diện tích tam giác AHC bằng 1/8 diện tích tam giác ABC. Hơn nữa, mỗi một


tam giác trong hai tam giác này phủ kín hơn một nửa diện tích viên phân ngoại tiếp nó. Archimède có
thể lập lại tiến trình này và dựng một đa giác có diện tích xấp xỉ viên phân parabole với sai số bé tùy ý.
Tuy nhiên, phương pháp vét cạn khơng giúp ta phát hiện kết quả mới. Nó chỉ cho phép chứng
minh một cách chặt chẽ bằng một cách khác những kết quả cảm nhận được. Bức thư của Archimède
gửi Eratosthène (chỉ mới được phát hiện vào đầu thế kỷ 20) cho phép hiểu được tốt hơn phương pháp
khám phá của Archimède. Dựa trên ý tưởng hình phẳng được tạo từ các “đường”, phương pháp của
Archimède cho phép so sánh diện tích của viên phân với diện tích của tam giác nhờ các xem xét cơ
học, chẳng hạn “cân” các đoạn thẳng tạo thành viên phân và tam giác. Phương pháp này sử dụng
nguyên lý đòn bẩy: khối lượng tỷ lệ nghịch với cánh tay đòn. Các cánh tay đòn này cho phép thiết lập
tỷ số của các diện tích mà người ta chứng minh một cách hình học bằng phương pháp vét cạn.
Johannes Kepler (1571 – 1630) đồng nhất đường trịn với một đa giác đều vơ hạn cạnh nội tiếp đường
trịn và tính diện tích hình trịn bằng cách lấy tổng vơ hạn diện tích các tam giác vơ cùng bé có đáy là
cạnh đa giác đều và đỉnh là tâm hình trịn. Theo cách viết hiện đại, ơng thu được kết quả sau:

S(hình trịn) =



 ( tam giac)

= R2

1

Năm 1635, Cavalieri (1598 – 1647) đề xuất phương pháp những cái không thể phân chia được.
Theo ông, bề mặt được tạo thành bởi việc sắp xếp sát nhau những “đường” song song. “Đường” ở đây
được hiểu là đoạn thẳng hoặc cung tròn đồng tâm. Mỗi “đường” được gọi là một cái không thể phân
chia được của bề mặt cần tính diện tích. Hai hình phẳng cùng tạo thành bởi những “đường” cùng độ
dài thì có diện tích bằng nhau. Nguyên lý tương tự cho thể tích phát biểu rằng thể tích của hai vật thể
bằng nhau nếu các thiết diện thẳng tương đương của chúng luôn bằng nhau (Hai thiết diện thẳng gọi là
tương đương nếu chúng cùng là giao của vật thể với một mặt phẳng cách đều mặt phẳng đáy cho
trước).
Tính diện tích hình trịn bán kính R theo Cavalieri

Hình trịn được phủ kín bởi những đường trịn đồng tâm có độ dài 2r với r biến thiên từ 0 đến R.
Các đường tròn này là những cái khơng thể phân chia được của hình trịn. Tam giác có đáy 2πR và
chiều cao R được phủ kín bởi các đoạn thẳng có độ dài 2πr với r biến thiên từ 0 đến R. Các đoạn
thẳng này là những cái không thể phân chia được của tam giác. Hai hình phẳng đang xét được tạo


thành từ những cái khơng thể phân chia được có cùng độ dài nên có cùng diện tích. Diện tích của
chúng là 2πR.R/2 = πR².

Độc lập với Cavalieri, trong khi xác định diện tích giới hạn bởi một cung cyclọde, Roberval
(1602-1775) phát triển một phương pháp những cái không thể phân chia được, dựa trên quan điểm gần
như số học với các cấp số cộng vô hạn thay cho cách tiếp cận hình học của Cavalieri. Trái với
Cavalieri xem hình phẳng được tạo từ các đường, Roberval cho rằng nó được tạo từ các mặt.
Khi thiết lập một phương thức chung để tính diện tích giới hạn bởi các parabol và hyperbol nhờ
cấp số nhân, Fermat (1601-1665) tìm cách phát biểu bài tốn diện tích dưới dạng đại số. Điều này

khiến các lời giải của Fermat mang tính tổng quát và cho phép phát triển khía cạnh thuật tốn của giải
tích các vơ cùng bé.
Pascal (1623-1662) thay thế các lập luận trực giác của Cavalieri bằng những lập luận số học về chuỗi.
Khi tính diện tích hình phẳng nằm dưới parabol y = x2, tại các điểm trên trục hoành có hồnh độ lập
thành cấp số cộng cơng sai d, ơng dựng các hình chữ nhật có hai kích thước là d và (id)2 (i = 1, 2, ...,
n), tính diện tích và xác định tổng S của chúng:
S = d.d2 + d.(2d)2 + ... + d.(nd)2 = d3 + 4d3 + ... + n2d3 = d3(1 + 22 + ... + n2) = d3[n(n + 1)(2n +
 n3 n 2 n 
1)/6] = d  3  2  6 
3

Nếu số hình chữ nhật tăng lên vơ hạn, Pascal loại các số hạng n2/2 và n/6, giữ lại số hạng n3/6.
Khi đó, tổng diện tích các hình chữ nhật bằng S = d3n3/3 = (nd)3/3 = x3/3.
Trong tác phẩm Philosophiae naturalis principia mathematica của Newton (1642-1727) xuất bản
năm 1687, ta tìm thấy ba quan niệm khác nhau về phép tính vi tích phân: quan niệm về vơ cùng bé chịu
ảnh hưởng của Barrow và Wallis, phương pháp dòng chảy, phương pháp tỷ số đầu và tỷ số cuối.
Newton cũng thu được kết quả về mối liên hệ giữa diện tích và hàm số được phát biểu bằng ngơn ngữ
hiện đại như sau: S’(x) = f(x).
Độc lập với Newton, Leibniz (1646-1716) cho rằng việc tìm tiếp tuyến với đường cong phụ thuộc
vào tỷ số giữa hiệu tung độ và hiệu hồnh độ khi các hiệu này trở thành vơ cùng bé. Ơng cũng cho rằng
việc tính diện tích phụ thuộc vào tổng các hình chữ nhật vơ cùng bé dựng trên các khoảng vơ cùng bé
của trục hồnh. Sau năm 1673, Leibniz đồng nhất bài toán ngược của tiếp tuyến với bài tốn diện tích.
Ơng xây dựng phương pháp tính của mình dựa trên khái niệm vi phân (khơng hồn tồn giống khái
niệm vi phân hiện đại). Phép tính hiệu là phép toán cơ bản của Leibniz. Việc lấy tổng là phép tốn
ngược. Trái với Newton ln xét tích phân bất định và tính diện tích, thể tích từ tỷ số biến thiên,
Leibniz đưa vào tích phân xác định. Năm 1673, ơng tìm được định lý về biến hình cho phép thực hiện


phép cầu phương một đường cong thông qua một đường cong phụ. Dưới đây là ví dụ minh họa mối
liên hệ giữa việc đổi tung độ z = x2 và phép biến hình do Leibniz thực hiện trong một phép cầu phương

đặc biệt.
z = x2 biến hàm số

2
4x
thành
. Các điểm x và x + Δx được biến thành z = x2 và z + Δz = x2 + 2xΔx +
2
1 z
1 x
1, 5

2

Δx . Khi Δx tiến đến 0, các hình chữ nhật màu đen có cùng diện tích và do đó, hai tích phân

4x

1 x

2

0

2 , 25


2

dx

,

2
dz có cùng giá trị.
1 z

1.2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về phép tính diện tích trong chương trình và sách giáo
khoa Việt Nam
Trong phần này, chúng tơi tìm hiểu phép tính diện tích hình phẳng được dạy từ tiểu học đến trung
học phổ thơng.
1.2.1. Trong chương trình và sách giáo khoa tiểu học

Từ lớp 3, diện tích một hình (phẳng) được trình bày nhờ các ví dụ về so sánh diện tích nhưng
khơng định nghĩa. Thơng qua các ví dụ này, khái niệm diện tích lấy một cách ngầm ẩn các ý nghĩa
khác nhau:
- Diện tích là chỗ bị chiếm bởi một bề mặt;
- Diện tích là số ơ vng cần thiết để lát một bề mặt;
- Diện tích là số nhận được khi áp dụng một công thức.
Ở lớp 3, thơng qua hình vẽ và phép đếm các hình vng đơn vị, sách Tốn 3 trình bày các ví dụ sau:
- Diện tích của hình này nhỏ hơn diện tích hình kia.
- Hai hình khác nhau nhưng có diện tích bằng nhau.
- Diện tích của một hình bằng tổng diện tích của hai hình khác.


- Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật.
- Cơng thức tính diện tích hình vng.
Như vậy, ở lớp 3, học sinh học cơng thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vng, so sánh diện tích
của hai hình và tính chất cộng tính của diện tích.
Ở lớp 5, học sinh học cơng thức diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình

trịn. Trong phần bài tập, xuất hiện các kiểu nhiệm vụ sau:
T1. Tính diện tích tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng.
T2. Tính diện tích một đa giác ghép bởi tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vng có hình vẽ và
kích thước cho trước.
T3. Tính một kích thước của hình chữ nhật biết diện tích và kích thước kia
1.2.2. Trong chương trình và sách giáo khoa trung học cơ sở :

Ở các lớp 6 và 7, việc tính diện tích khơng được nhắc đến. Ở lớp 8, các cơng thức tính diện tích đã học
ở tiểu học được phát biểu lại dưới dạng định lý và thừa nhận, khơng chứng minh.
1.2.3. Trong chương trình và sách giáo khoa trung học phổ thơng :

Sách Hình học 10 (ban cơ bản) trình bày thêm 4 cơng thức diện tích tam giác:
S

1
1
1
ab sin C  bc sin A  ca sin B
2
2
2

S

abc
4R

S = pr
S

p ( p  a )( p  b)( p  c)

với BC = a, CA = b; AB = c; R và r lần lựợt là bán kính đường trịn ngọai tiếp, nội tiếp tam giác; p là
nửa chu vi tam giác. Diện tích của hình trịn khơng được nhắc đến trong sách này vì chương trình chỉ
quan tâm đến phương trình của đường trịn.
Sách Hình học 11 (ban cơ bản) viết về hình học khơng gian, trong đó thừa nhận, khơng chứng minh
các cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của khối trịn xoay. Sách Giải tích 12 (ban
cơ bản) phát biểu bài tóan diện tích hình thang cong và đưa vào khái niệm tích phân. Trong phần lý
thuyết, tích phân được dùng để chứng minh một số cơng thức diện tích như diện tích hình trịn, hình
elíp.
Như vậy, việc tính diện tích được dạy cho học sinh từ lớp 3 nhưng mãi đến lớp 12 thì cơng cụ tích
phân mới cho phép tính diện tích của những “đa giác cong” và do đó hồn chỉnh việc tính diện tích một
hình phẳng bất kỳ.


1.3. Đặc trưng của phép tính diện tích trong thể chế dạy học Việt Nam
Đối chiếu với nghiên cứu khoa học luận, phép tính diện tích trong thể chế Việt Nam có đặc trưng
sau đây:
- Việc tính diện tích ở Việt nam chủ yếu là vận dụng các công thức đã học để tính diện tích một
hình cho trước. Ứng dụng của tích phân là để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi giới hạn một
số hữu hạn đường, cụ thể là :
 Giới hạn bởi đường cong y = f(x) , y = 0 , x = a , x = b
 Giới hạn bởi đường cong y = f(x) và đường thẳng y = ax + b cắt nhau.
 Giới hạn bởi 2 đường cong y = f(x) , y = g(x) cắt nhau.
Giới hạn bởi đường cong y = f(x) và 2 đường thẳng cắt nhau đơi một.
- Khái niệm tích phân được đưa vào sau khi đã xây dựng các khái niệm hàm số và giới hạn. Sách
giáo khoa trình bày phép lấy tích phân như sự tổng qt hóa của bài tốn diện tích hình thang cong.
Phép tính diện tích được ưu tiên trong số các ứng dụng của tích phân được giảng dạy trong chương
trình. Tuy nhiên, việc biểu diễn hình học tích phân hồn tồn vắng bóng trong sách giáo khoa. Trong
phần lý thuyết, các tính chất của tích phân được phát biểu một cách đại số, không được xem là tính

chất của diện tích (đại số hoặc số học). Trong phần bài tập, khơng có bài tập nào liên quan đến biểu
diễn hình học tích phân.
- Phương pháp đổi biến số, một trong hai phương pháp tính tích phân được chính thức giảng dạy,
cho phép thực hiện phép tính khơng cần đến phép biến hình.
Chúng tơi hình thành giả thuyết sau: Ở lớp 12, việc tính diện tích hình phẳng (giới hạn bởi các đường
thẳng hoặc đường cong) được giải về mặt thể chế nhờ việc tính tích phân bằng các phương pháp đã
học, ngay cả khi các công thức diện tích sơ cấp hoặc việc biểu diễn hình học tích phân là tối ưu trong
một số trường hợp.

1.4. Thực nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành trên 80 học sinh lớp 12 của hai trường trung học phổ thông tại thành
phố Hồ Chí Minh. Vào thời điểm thực nghiệm, các học sinh này đã học xong chương Nguyên hàm, tích
phân và ứng dụng theo quy định của chương trình phân ban hiện hành. Mỗi học sinh được phát một
phiếu câu hỏi và phải độc lập soạn thảo lời giải trong thời gian 20 phút dưới sự giám sát của người làm
thực nghiệm. Tồn văn phiếu câu hỏi được trình bày ở phần phụ lục. Dưới đây là các bài tập nêu ra
trong phiếu câu hỏi:


Bài 1. Trên đoạn [0, 2], cho hàm số f xác định bởi:
2 khi 0  x  1
3  x khi 1  x  2

f(x) = 
y

a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2

b) Tính tích phân: I =

2

 f ( x)dx
0

Bài 2.

1

2

x
1

a) Tính tích phân: J =



4  x 2 dx .

0

2

b) Em có thể tính J bằng một cách khác với cách em đã
làm không?

1.4.1. Phân tích a priori

Hàm số f trong bài 1 được xác định bằng hai công thức trên đoạn [0, 2]. Đây là một sự phá vỡ hợp

đồng vì các hàm số phải tính tích phân trong sách giáo khoa đều được cho bằng một cơng thức. Biểu
thức giải tích của f trên mỗi đoạn [0, 1] và [1, 2] đều là đa thức có bậc khơng vượt q 1. Do đó, có thể
dùng các cơng thức tính diện tích đa giác để tính tích phân I.
Mục đích của bài 1 khơng phải là đánh giá kỹ năng tính tích phân của học sinh mà là kiểm chứng
học sinh có dùng phép tính diện tích để phục vụ cho phép tính tích phân khơng, nhất là khi đề bài có
u cầu vẽ đồ thị hàm số, nghĩa là có sự xuất hiện của phạm vi hình học và đồ thị trở thành một ngôn
ngữ biểu đạt tạo thuận lợi cho sự chuyển đổi tích phân-diện tích.
Bài 2 nhằm kiểm chứng sự sống của việc tính diện tích trong việc tính tích phân. Phần b của bài
này khuyến khích một cách giải khác với phương pháp đổi biến số.
Chúng tôi nêu ra dưới đây các chiến lược có thể quan sát được đối với bài 1:

Chiến lược S1. Phân tích thành tổng và áp dụng công thức Newton-Leibniz
2

 f ( x)dx
0

2

1

=

 f ( x)dx
0

+


1

2

Chiến lược S2. Cơng thức diện tích sơ cấp
S2a. Tổng hai diện tích

2


3
7
x2 
f ( x)dx =  2dx +  (3  x)dx = 2 x 0 +  3x   = 2 +
=
2 1
2
2

0
1
1

1


I là tổng diện tích (tính bằng đvdt) của hình chữ nhật (2 đvdt) và hình thang (3/2 đvdt). I = 2 + 3/2 =
7/2.
S2b. Hiệu hai diện tích

I là hiệu diện tích (tính bằng đvdt) của hình vng (4 đvdt) và hình tam giác (1/2 đvdt). I = 4 – 1/2 =

7/2.
S2 (a hoặc b) là chiến lược tối ưu của bài tập 1.
Với bài tập 2, các chiến lược có thể quan sát là:
S1. Đổi biến số
S1a. Đổi biến số x = 2sint (hoặc x = 2cost) với 0  t  /2
S1b. Đổi biến số u =

4  x 2 (chiến lược sai)

S2. Biểu diễn hình học tích phân

Đặt y =

2

2

4  x 2 , (0  x  2) (*) thì (*)  x + y = 4, y  0. Như thế, đồ thị của hàm số đang xét là nửa

đường tròn tâm O, bán kính 2, nằm phía trên trục hồnh. J là diện tích của nửa hình trịn tương ứng nên
J = 2.
S2 là chiến lược tối ưu của bài tập 2.
1.4.2. Phân tích a posteriori

Đối với bài tập 1b, chỉ có 2 trong số 80 học sinh không trả lời. Điều này cho thấy bất chấp việc
2

hàm số f được cho bằng 2 cơng thức trên đoạn [0, 2], việc tính tích phân

 f ( x)dx

là quen thuộc đối với

0

học sinh. Tuy nhiên, dù đã vẽ được đồ thị của hàm số đã cho, toàn bộ 78 học sinh tham gia giải bài này
đều chọn chiến lược S1 (phân tích thành tổng và áp dụng cơng thức Newton-Leibniz) thay vì chọn
chiến lược tối ưu S2a hoặc S2b (cơng thức diện tích sơ cấp). Như vậy, học sinh sử dụng tích phân xác
định để tính diện tích nhưng khơng sử dụng diện tích để tính tích phân.
Đối với bài tập 2a, chỉ có 1 học sinh không trả lời. Điều này chứng tỏ một lần nữa tính chất quen
thuộc của kiểu bài tập này. Trong số 79 học sinh tham gia giải bài này, không học sinh nào chọn chiến
lược tối ưu S2 (biểu diễn hình học tích phân) mà đều chọn S1a (x = 2sint) hoặc S1b (u =

4  x 2 ). Hơn

nữa, trong phần b của bài tập 2, không học sinh nào nêu ra cách giải khác phương pháp đổi biến số.
Chúng tôi tổng hợp kết quả thực nghiệm trong bảng sau:


Số lượng
Bài
1b

Bài
2a

S1

78

S2a

0

S2b

0

S1a

78

S1b

1

S2

0

Không trả lời

2

1

1.4.3. Kết luận

Kết quả thực nghiệm đã chứng minh giả thuyết mà chúng tôi nêu ra ở phần trên. Quan hệ giữa
tích phân và diện tích trong chương trình hiện hành vẫn là quan hệ một chiều như Trần Lương Công

Khanh (2006) đã chỉ ra khi nghiên cứu các chương trình trước 2006: tích phân phục vụ cho việc tính
diện tích nhưng diện tích khơng phục vụ cho việc tính tích phân. Hơn nữa, dù phép tính diện tích được
ưu tiên trong số các ứng dụng của tích phân, việc sử dụng biểu diễn hình học để minh họa cho các tính
chất tích phân và để giải bài tập hồn tồn vắng bóng. Nguồn gốc khoa học luận của tích phân trở nên
khá mờ nhạt.


Chương 2.
Khái niệm hàm số hợp với tư cách là một điều kiện sinh thái của công thức đổi
biến số trong phép tính tích phân
2.1. Nghiên cứu khoa học luận khái niệm hàm số hợp
Thời cổ đại: Từ 1000 năm trước cơng ngun, những nhà tốn học Babilon đã biết lập những
bảng tỉ số thực nghiệm trong thiên văn, các bảng bình phương, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay
bảng căn bậc ba trong hệ thập lục phân. Còn người Hylạp thì thiết lập các bảng sin.Các bảng này xuất
hiện để giải quyết các vấn đề về hình học đo đạc, nghiên cứu các đường cong, vật lý, thiên văn học….
Thuật ngữ hàm số chưa xuất hiện trong thời kỳ này, tuy nhiên họ đã có khái niệm sơ khai về hàm số.
Nó có cơ chế của một đối tượng “protomathématique” : khơng có tên và cũng khơng có định nghĩa. Nó
chỉ xuất hiện ngầm ẩn. yếu tố tính “phụ thuộc” không xuất hiện tường minh, cũng như yếu tố “biến”
cũng không xuất hiện.
Khái niệm này đến đầu thế kỷ XVII mới được hình thành rõ ràng và có hệ thống nhờ các cơng
trình của Fermat và Descartes. Giữa thế kỷ XVII do bài toán về sự giao động của sợi dây mà xuất hiện
định nghĩa tổng quát của hàm số. Danh từ hàm số (Function) được Leibnitz dùng lần đầu tiên vào năm
1694. Khái niệm hàm số gắn liền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đường.
Thế kỷ XVII là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ trực giác hình học sang
biểu thức giải tích. Năm 1718, Johann Bernoulli nhà toán học người Thụy Điển đã định nghĩa : “Hàm số
của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đó và các đại lượng khơng đổi.” Năm
1748, D’Alembert cũng định nghĩa “Hàm số là một biểu thức giải tích”. Trong thế kỷ XVIII biểu thức
giải tích đóng vai trị cơ bản trong việc xác định tương quan hàm số. Tuy nhiên cũng có những định
nghĩa tổng quát hơn nảy nở trong thế kỷ này, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc. Năm 1755, Eule
định nghĩa : “Khi một đại lương phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng

thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của các đại
lượng thứ hai”.
Liên quan đến kí hiệu hàm số, J.Bernoulli đề nghị dùng chữ Hylạp  được viết khơng có dấu
ngoặc cho biến số x, được viết là : x. Dấu ngoặc và kí hiệu f cũng như từ hàm số (function) về sau
được dùng bởi Leonhard Euler trong bài báo của ông, thông báo năm 1734 và công bố năm 1740, trong
suốt giữa thế kỉ thứ XVIII để mô tả một diễn đạt hay một cơng thức liên quan đến nhiều đối số.
Ví dụ : hàm số f(x) = sinx + x3.
Trong thế kỷ XIX sự phát triển của giải tích tốn học địi hỏi mở rộng khái niệm hàm số, xây
dựng khái niệm này dựa vào sự tương ứng giữa các giá trị của hai đại lượng chứ không nhất thiết là
biểu thức giải tích cho phép xác định nó. Năm 1837 Dirichle định nghĩa : “y là hàm số của x nếu với
mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hồn tồn xác định của y cịn sự tương ứng đó được thiết