Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.17 MB, 177 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------
TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG
SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------
TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG
SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 62.14.01.11
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU
2. PGS.TS. TRẦN VUI
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015
i
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được cơng
bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả
Trương Thị Khánh Phương
ii
LỜI CẢM ƠN
Tơi xin trân trọng cảm ơn:
Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hồi Châu, người đã ln động viên nhắc nhở,
hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi về mọi mặt để tơi hồn thành luận
án này;
Phó giáo sư Tiến sĩ Trần Vui, người đã tận tình hướng dẫn tơi về mặt nghiên
cứu khoa học, ln động viên khích lệ để tơi có đủ niềm tin và nghị lực trong
suốt quá trình thực hiện luận án này;
Các Thầy, Cơ trong tổ Tốn-Tin trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã nhiệt
tình giảng dạy và chia sẻ những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi trong suốt thời
gian theo học Nghiên cứu sinh.
Tôi xin chân thành cám ơn:
Ban giám hiệu trường ĐH Y Dược Huế, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ bản
và các đồng nghiệp trong bộ mơn Tốn-Tin trường ĐH Y Dược Huế, Ban lãnh
đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học trường ĐH Sư
phạm Tp Hồ Chí Minh đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt
q trình theo học Nghiên cứu sinh và bảo vệ luận án;
Các giáo viên Toán và học sinh ở các trường THPT Phong Điền, THPT Quốc
Học, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Nguyễn Trường Tộ, THPT
Hai Bà Trưng (Huế) và THPT Lê Lợi (Quảng Trị), THPT Lê Lợi (Gia Lai) đã
giúp đỡ, hỗ trợ tơi trong q trình tiến hành thực nghiệm cho nghiên cứu này.
Cuối cùng, xin tỏ lòng biết ơn đến những người thân trong gia đình và những người
bạn đã luôn quan tâm, nâng đỡ và là chỗ dựa tinh thần cho tơi trong suốt thời gian qua.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2015
Trương Thị Khánh Phương
iii
MỤC LỤC
MỤC LỤC ...................................................................................................................... iii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................................... v
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH ......................................................... vii
DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH ................................................................................. viii
DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU ..................................................................................xi
Chương 1: MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu ................................................................................ 1
1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu ........................................... 2
1.3. Phạm vi nghiên cứu............................................................................................... 5
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................ 6
1.5. Câu hỏi nghiên cứu ............................................................................................... 6
1.6. Các thuật ngữ ........................................................................................................ 7
1.7. Cấu trúc luận án ..................................................................................................10
Chương 2: CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN .............................................................13
2.1. Tốn học và những suy luận có lí .......................................................................13
2.1.1. Suy luận quy nạp .........................................................................................14
2.1.1.1. Định nghĩa ............................................................................................14
2.1.1.2. Mơ hình suy luận quy nạp ....................................................................14
2.1.2. Suy luận ngoại suy.......................................................................................16
2.1.2.1. Ngoại suy theo quan điểm logic học và triết học của Peirce ...............16
2.1.2.2. Ngoại suy theo quan điểm của J. Josephson và S. Josephson .............20
2.1.2.3. Ngoại suy theo quan điểm giải quyết vấn đề của Cifarelli ..................21
2.1.2.4. Các cách phân loại ngoại suy ...............................................................22
2.1.2.5. Mơ hình suy luận ngoại suy .................................................................25
2.1.3. Phân biệt suy luận diễn dịch, quy nạp và ngoại suy trong toán học ............26
2.1.3.1. Xét về điều kiện để xảy ra và kết quả của ba loại suy luận .................26
2.1.3.2. Xét về mục đích tiến hành mỗi loại suy luận .......................................29
2.1.3.3. Xét về khía cạnh khám phá tốn và tính chắc chắn của kết quả ..........29
2.2. Biểu diễn tốn .....................................................................................................30
2.2.1. Phân loại biểu diễn toán ..............................................................................30
2.2.2. Biểu diễn trực quan .....................................................................................31
2.2.2.1. Trực quan hóa ......................................................................................31
2.2.2.2. Biểu diễn trực quan mô tả quy luật dãy số...........................................32
iv
2.2.2.3. Biểu diễn trực quan động .....................................................................34
2.3. Khám phá quy luật dãy số ...................................................................................35
2.3.1. Nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số ...........................................................36
2.3.2. Các mức độ nhận thức trong khám phá quy luật dãy số .............................38
2.3.3. Các phương án khám phá quy luật dãy số ...................................................40
2.3.4. Suy luận trong khám phá quy luật dãy số ...................................................42
2.3.5. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 1 .............................................................46
2.4. Khám phá bài tốn hình học kết thúc mở ...........................................................47
2.4.1. Bài toán kết thúc mở ....................................................................................48
2.4.2. Bài tốn hình học kết thúc mở .....................................................................49
2.4.3. Khám phá toán theo tiếp cận “toán học thực nghiệm” ................................50
2.4.4. Các phương thức kéo rê trong mơi trường hình học động ..........................51
2.5. Các nghiên cứu trong nước liên quan đến đề tài .................................................53
2.6. Tiểu kết chương 2 ...............................................................................................53
Chương 3: THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ..........................................................................56
3.1. Thiết kế nghiên cứu.............................................................................................56
3.2. Đối tượng khảo sát ..............................................................................................57
3.3. Công cụ nghiên cứu ............................................................................................59
3.4. Thu thập dữ liệu ..................................................................................................69
3.5. Phân tích dữ liệu .................................................................................................70
3.6. Hạn chế ...............................................................................................................73
3.7. Tiểu kết chương 3 ...............................................................................................74
Chương 4: BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI
SUY ................................................................................................................................76
4.1. Ảnh hưởng của biểu diễn trực quan đến quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy
trong khám phá các quy luật dãy số ...........................................................................76
4.1.1. Các phương án ngoại suy để khám phá quy luật dãy số..............................76
4.1.2. Đánh giá các mức độ ngoại suy-quy nạp trong khám phá quy luật dãy số .91
4.1.3. Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 1 ................................................97
4.2. Biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy trong khám phá các
bài tốn hình học kết thúc mở ..................................................................................100
4.2.1. Suy luận quy nạp và ngoại suy trong mơi trường hình học động ..............101
4.2.1.1. Những hỗ trợ của biểu diễn trực quan động đến suy luận quy nạp và
ngoại suy trong môi trường hình học động .....................................................101
4.2.1.2. Phản ánh của quy nạp và ngoại suy qua các phương thức kéo rê ......104
v
4.2.2. Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 2 ..............................................111
4.3. Tiểu kết chương 4 .............................................................................................113
4.3.1. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 2 ...........................................................113
4.3.2. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 3 ...........................................................114
Chương 5: PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG KHÁM PHÁ QUY LUẬT TOÁN CHO HỌC
SINH BẰNG SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY ...........................................116
5.1. Suy luận ngoại suy và quy nạp trong các hoạt động toán học nhà trường........116
5.2. Nhiệm vụ toán giúp phát triển suy luận ngoại suy và quy nạp .........................120
5.3. Xây dựng bài toán KTM hỗ trợ HS phát triển khả năng khám phá toán bằng suy
luận ngoại suy và quy nạp ........................................................................................125
5.3.1. Đặt vấn đề ..................................................................................................125
5.3.2. Khảo sát vấn đề .........................................................................................127
5.3.3. Các bài toán dẫn đến sự hình thành các khái niệm, quy tắc mới...............129
5.3.4. Dự đốn một định lý hay tính chất tốn học từ hình vẽ ............................130
5.3.5. Các bài tốn chứa đựng hoạt động tìm kiếm quy luật ...............................132
5.3.6. Thay đổi các yêu cầu quen thuộc trong SGK ............................................133
5.3.7. Các vấn đề thực tế .....................................................................................136
5.4. Tiểu kết chương 5 .............................................................................................137
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN ......................................................................................138
DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ ....................................................143
TÀI LIỆU TRÍCH DẪN VÀ THAM KHẢO...............................................................144
PHỤ LỤC 1A. TẬP CÂU HỎI SỐ 1 ...........................................................................152
PHỤ LỤC 1B. TẬP CÂU HỎI SỐ 2 ...........................................................................155
PHỤ LỤC 2A. THỰC NGHIỆM BÀI TỐN HÌNH HỌC KTM SỐ 1 ......................158
PHỤ LỤC 2B. THỰC NGHIỆM BÀI TOÁN HÌNH HỌC KTM SỐ 2 ......................162
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt
Viết đầy đủ
BDTQ
biểu diễn trực quan
GV
giáo viên
HS
học sinh
KTM
kết thúc mở
vi
nnk
những người khác
SGK
sách giáo khoa
THPT
trung học phổ thông
tr.
trang
vii
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH
Glossary in English
Nghĩa tiếng Việt
Abductive reasoning
Suy luận ngoại suy
Inductive reasoning
Suy luận quy nạp
Deductive reasoning
Suy luận diễn dịch
Selective abduction
Ngoại suy chọn lựa
Creative abduction
Ngoại suy sáng tạo
Visual abduction
Ngoại suy trực quan
Manipulative abduction
Ngoại suy thao tác
Visual representation
Biểu diễn trực quan
Dynamic visual representation
Biểu diễn trực quan động
Visualization
Trực quan hóa
Mathematical pattern
Dạng mẫu tốn
Open ended problem
Bài tốn kết thúc mở
Dragging scheme
Phương thức kéo rê
National Council of Teachers of
Hội đồng giáo viên tốn quốc gia
Mathematics (NCTM)
Programme for International Student
Chương trình đánh giá học sinh quốc tế
Assessment (PISA)
Organization for Economic Co-
Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế
operation and Development (OECD)
viii
DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH
Hình 2.1. Mơ hình suy luận ngoại suy của Meyer..........................................................25
Hình 2.2. Minh họa suy luận của HS..............................................................................28
Hình 2.3. Các giai đoạn phát triển có tính trình tự của biểu diễn ...................................30
Hình 2.4. BDTQ tổng vơ hạn .........................................................................................31
Hình 2.5. Quy tắc n c ..................................................................................................32
Hình 2.6. Quy tắc an .....................................................................................................33
Hình 2.7. Quy tắc an c ...............................................................................................33
Hình 2.8. Quy tắc
nn c
............................................................................................33
Hình 2.9. Quy tắc an 2 bn c ......................................................................................34
Hình 2.10. Biểu diễn trực quan của dãy tam giác, dãy tứ giác, dãy ngũ giác ................34
Hình 2.11. Minh họa bài tốn chia mặt phẳng bởi n đường thẳng .................................43
Hình 2.12. Quá trình ngoại suy-quy nạp trong khám phá dãy số theo quy luật hàm số bậc
nhất .................................................................................................................................45
Hình 2.13. Quy trình khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy-quy nạp .......47
Hình 3.1. Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu a) ............................67
Hình 3.2. Minh họa bài tốn tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu b) ............................67
Hình 4.1. Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ Z ................77
Hình 4.2. Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy ................................................77
cho bài Hình Tháp (trái) và Hình chữ S (phải) ...............................................................77
Hình 4.3. Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ S. ...............79
Hình 4.4. Phương án Cộng dồn cho bài Hình chữ Z ......................................................80
Hình 4.5. Phương án Cộng dồn cho bài Hình chữ S.......................................................80
Hình 4.6. Phương án Giải phương trình cho bài Hình chữ Z .........................................81
Hình 4.7. Phương án Đốn và Thử cho bài Hình chữ S .................................................81
Hình 4.8. Phương án Đốn và Thử cho bài Ghế cơng viên ............................................82
Hình 4.9. Phương án Đơn vị và Tổng thể cho bài Hình Tháp ........................................82
Hình 4.10. Phương án Ghép hình rời cho bài Hình Tháp ..............................................83
Hình 4.11. Phương án Sắp xếp hình cho bài Mũ Halloween ..........................................83
Hình 4.12. Phương án Ghép hình rời- Sắp xếp hình cho bài Hình chữ S ......................84
Hình 4.13. Sai lầm của HS trong bài Hình chữ Z ...........................................................85
Hình 4.14. Sai lầm của HS trong bài Ghế công viên ......................................................86
Hình 4.15. Sai lầm của HS trong bài Hình Tháp ............................................................86
ix
Hình 4.16. Phương án Làm trịn hình cho bài Xếp bàn tiệc ...........................................91
Hình 4.17. Ngoại suy-quy nạp mức độ 1 cho bài Hình Tháp .........................................92
Hình 4.18. Ngoại suy-quy nạp mức độ 2 cho bài Hình chữ Z ........................................92
Hình 4.19. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Ghế công viên ...................................93
Hình 4.20. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Ghế cơng viên ...................................94
Hình 4.21. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Xếp bàn tiệc ......................................95
Hình 4.22. Ngoại suy-quy nạp mức độ 4 cho bài Hình chữ S ........................................95
Hình 4.23. Ngoại suy-quy nạp mức độ 5 cho bài Ghế cơng viên. ..................................96
Hình 4.24. Chia đường trịn bởi các dây cung ................................................................99
Hình 4.25. Mơ tả số hạng tổng qt của bài Hình chữ Z ..............................................100
Hình 4.26. Sơ đồ chơn kho báu ....................................................................................103
Hình 4.27. Vị trí chơn kho báu G .................................................................................103
Hình 4.28a. C trùng A ...................................................................................................103
Hình 4.28b. C trùng H ..................................................................................................103
Hình 4.29. Minh họa Bài tốn 1 ...................................................................................105
Hình 4.30. Minh họa Bài tốn 2 ...................................................................................105
Hình 4.31. Kéo rê về các trường hợp đặc biệt đối với tứ giác ABCD ..........................106
Hình 4.32. Giả thuyết: A, I, C thẳng hàng ....................................................................107
Hình 4.33. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhóm 2) .....................110
Hình 4.34. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhóm 1) .....................111
Hình 5.1a: A, B, T thẳng hàng.......................................................................................118
Hình 5.1b: A, B, T khơng thẳng hàng ...........................................................................118
Hình 5.1c. BDTQ minh họa suy luận ngoại suy...........................................................119
Hình 5.2. Cặp góc đối đỉnh tạo bởi các đường thẳng đồng quy ...................................120
Hình 5.3. Minh họa Ví dụ 5.7 .......................................................................................124
Hình 5.4. Đồ thị khoảng cách-thời gian .......................................................................126
Hình 5.5. BDTQ minh họa Ví dụ 5.8 ...........................................................................128
Hình 5.6a. Tam giác ABC đều ......................................................................................129
Hình 5.6b. Tam giác ABC vng ..................................................................................129
Hình 5.6c. ABI BFJ ...........................................................................................129
Hình 5.7a. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân ..........130
Hình 5.7b. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình nhân và trung bình điều hịa ....131
Hình 5.8. Viết phương trình g x ...............................................................................134
Hình 5.9. Điểm đơn vị trên hai trục tọa độ ...................................................................135
x
Hình 5.10. Đo chiều cao kim tự tháp ............................................................................137
xi
DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Mô tả diễn dịch, quy nạp, ngoại suy theo các tam đoạn luận của Peirce .......17
Bảng 2.2. Mơ hình so sánh ba loại suy luận ...................................................................29
Bảng 3.1. Phân bố Tập câu hỏi ở các lớp thực nghiệm ..................................................58
Bảng 3.2. Tổng quan về các nhiệm vụ trong mỗi Tập câu hỏi .......................................60
Bảng 3.3. Tổ chức dữ liệu theo phương án Đệ quy ........................................................61
Bảng 3.4. Tổ chức dữ liệu theo phương án Đoán và Thử ..............................................62
Bảng 3.5. Tổ chức dữ liệu theo phương án Cộng dồn ....................................................62
Bảng 3.6. Tổ chức dữ liệu theo phương án Giải phương trình ......................................63
Bảng 3.7. Bảng mã các phương án ngoại suy.................................................................72
Bảng 4.1. Bảng phân bố các phương án ngoại suy theo hướng đưa ra Quy tắc đệ quy và
Quy tắc hàm số ...............................................................................................................77
Bảng 4.2. Phân bố các phương án ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc hàm số .........84
Bảng 4.3. Phân bố các phương án ngoại suy trong phạm trù Số học và Hình học .........86
Bảng 4.4a. Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Hình chữ Z và Xếp bàn tiệc .......89
Bảng 4.4b. Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Hình chữ S và Hình tháp ...........89
Bảng 4.4c. Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Ghế công viên và Mũ Halloween89
Bảng 4.5. Bảng phân bố các câu trả lời ở năm mức độ ngoại suy .................................96
1
Chương 1: MỞ ĐẦU
1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu
Trong vòng 20 năm trở lại đây hoặc lâu hơn nữa, một mơ tả chung nhất và đặc trưng
nhất về tốn được hầu hết các nhà tốn học chấp nhận, đó là: Toán học là khoa học của
các dạng mẫu (Devlin, 1994, [30]; Resnik, 1999, [74]).
Báo cáo “Mọi người đếm” – một báo cáo về tương lai của giáo dục toán cho các quốc
gia (1989, [55]) chỉ rõ: “Toán học là một khoa học nhằm thấu hiểu các dạng mẫu phát
sinh từ thế giới xung quanh ta và cả bên trong q trình làm việc trí óc của con người.
HS cần học các quy tắc toán, nhưng quan trọng hơn là làm thế nào để có thể mơ tả các
sự vật hiện tượng theo ngơn ngữ của tốn học”. Một trong những cách để mô tả các
dạng mẫu là chỉ ra quy luật của nó thơng qua các mối quan hệ và hàm số. Việc khám
phá quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là một kĩ năng cần thiết với HS trong xu
hướng dạy học toán gắn liền với thực tiễn, bởi các nhiệm vụ tốn khơng cịn bó hẹp
trong các bài toán chứng minh mà trở nên đa dạng hơn với các mẫu dữ liệu của các kết
quả đo đạc và quan sát, các mơ hình tốn của các hiện tượng tự nhiên, của hành vi con
người và của hệ thống xã hội. Bodner (1986, [21]) khẳng định “... người học kiến tạo
sự hiểu biết. Họ không chỉ đơn giản phản chiếu lại những gì được dạy và những gì họ
đọc được. Người học tìm kiếm ý nghĩa và cố gắng để tìm ra quy luật và trật tự của các
dạng mẫu trong thế giới khách quan cho dù thiếu những thơng tin đầy đủ...”.
Có thể thấy hoạt động tìm kiếm quy luật tốn trong các dạng mẫu là một khía cạnh
quan trọng của việc học. Chẳng hạn, lúc học phép cộng các số nguyên, một HS lớp 6
chú ý đến dạng mẫu: 3 (4) (4) 3, 5 8 8 5, (6) (9) (9) (6) và nhận
thấy rằng trật tự của hai số hạng trong phép cộng là không quan trọng. Từ đó, HS đề
xuất giả thuyết a b b a, a, b . Như vậy là HS đã tổng qt hóa quy luật tốn
mà các em phát hiện từ các dạng mẫu quan sát được. Khơng chỉ có số học, tìm kiếm
quy luật tốn trong các dạng mẫu cũng là hoạt động thường xuyên diễn ra trong các
lĩnh vực khác như đại số, hình học mà kết quả của nó là cơng thức, các định lý
(Mason, 1996, [50]).
Đặc biệt, quá trình tìm kiếm quy luật toán liên quan đến sự vận hành của hai loại suy
luận có lí là suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp. Hội đồng giáo viên toán quốc gia
2
của Mỹ NCTM (2000, [57]) xác định: suy luận - chứng minh là một trong số mười tiêu
chuẩn cho toán học nhà trường. NCTM cho rằng khả năng suy luận là bản chất của
việc hiểu tốn và đó nên là mục tiêu đầu tiên của giáo dục toán: “Bằng việc phát triển
các ý tưởng, khám phá các hiện tượng, xác minh các kết quả và sử dụng suy luận toán
học trong tất cả các lĩnh vực, ở tất cả các lớp học, HS có thể nhìn thấy và tin tưởng
rằng tốn học là có ý nghĩa…”. NCTM (2000, [57]) cũng khẳng định: “Khả năng suy
luận phát triển khi HS được cổ vũ để đưa ra các dự đoán, được cho thời gian tìm kiếm
các bằng chứng nhằm ủng hộ hay bác bỏ chúng, được mong chờ việc giải thích các ý
tưởng… Nếu khả năng suy luận không được phát triển cho HS thì tốn học chỉ là một
tập hợp các cơng thức, thuật tốn, quy tắc và các ví dụ mang tính biểu diễn mà khơng
hiểu tại sao chúng có ý nghĩa”.
Bên cạnh đó, suy luận và biểu diễn cũng là hai trong số tám năng lực được chọn để
đánh giá trong Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, một chương trình do Tổ
chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD khởi xướng và chỉ đạo, nhằm tìm kiếm các
chỉ số đánh giá tính hiệu quả, chất lượng của hệ thống giáo dục của mỗi nước tham
gia, qua đó rút ra các bài học về chính sách đối với giáo dục phổ thông. Biểu diễn trực
quan (BDTQ), một dạng của biểu diễn tốn, khơng chỉ đóng vai trị minh họa cho các
kết quả bằng biểu diễn kí hiệu mà cịn được thừa nhận là cơng cụ hiệu quả cho việc
học toán (Arcavi, 2003, [13]).
Trong bối cảnh chung đó, chúng tơi mong muốn được thực hiện một đề tài nghiên cứu
nhằm phát triển khả năng suy luận quy nạp và ngoại suy để tìm kiếm các quy luật toán
của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan.
1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu
Tốn học được coi như là mơn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó mới chỉ là một
khía cạnh của nó. Bạn cần dự đốn một định lý tốn học trước khi chứng minh nó. Bạn
phải phỏng đốn về ý tưởng của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết.
Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự. Kết quả
cơng việc sáng tạo của nhà tốn học là suy luận diễn dịch, nhưng người ta tìm ra cách
chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đốn (Polya, 1954, [66]). Do đó, nếu việc dạy
tốn phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành tốn học như thế nào thì trong việc
3
giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đốn, cho suy luận có lí. Suy luận quy nạp và suy
luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nó trong việc giúp HS khám phá tri thức tốn
thơng qua việc phát hiện ra quy luật trong các dạng mẫu là một nội dung cần được
quan tâm phát triển nhiều hơn trong giáo dục toán.
Mặt khác, bước sang những năm đầu của thế kỷ 21, xu hướng thực hành áp dụng toán
học vào hầu hết các vấn đề mà HS gặp phải trong cuộc sống đời thường được nhiều
nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu một cách tồn cầu hóa. Người ta nhận thấy rằng,
trong những tình huống thơng thường, con người vận dụng toán học theo hai cách
khác nhau: sử dụng các cơng thức hay quy trình đã biết để giải các bài toán mẫu mực,
hay đối mặt với các vấn đề không quen thuộc và phức tạp hơn thông qua các phương
án toán học tiêu biểu như đưa ra giả thuyết mới bằng phép ngoại suy; tổng quát hóa
quy luật bằng phép quy nạp; suy luận bằng tương tự hóa; đặc biệt hóa... Rất hiếm khi
con người sử dụng suy luận diễn dịch bởi những tiêu chuẩn chặt chẽ nghiêm ngặt mà
nó địi hỏi. Một lần nữa, suy luận ngoại suy và suy nạp trở thành một công cụ hiệu quả
để HS sử dụng khi đối mặt với các vấn đề thực tế.
Đối với giáo dục toán ở nước ta, đối tượng mà chúng tôi quan tâm trong nghiên cứu
này là những HS mười lăm tuổi, lứa tuổi vừa hoàn thành chương trình phổ cập giáo
dục chính thức và có quyền lựa chọn giữa việc tiếp tục theo đuổi chương trình trung
học phổ thơng (THPT) hay trở thành một cơng dân độc lập với một nghề nghiệp cho
tương lai ngay từ lúc này. Chúng tôi cho rằng đây là giai đoạn chuyển tiếp có ý nghĩa
quan trọng khi mà những năng lực tốn học đã được HS tích lũy sẽ có ảnh hưởng lớn
đến thành cơng của các em trong những năm học tiếp theo và cuộc sống nghề nghiệp
sau này. Nếu tiếp tục chương trình THPT, tính chất và mức độ học tập được yêu cầu
đối với HS ở giai đoạn này sẽ phức tạp và cao hơn hẳn so với tuổi thiếu niên, đòi hỏi
HS phải biết cách vận dụng tri thức một cách sáng tạo. Nhà trường lúc này có ý nghĩa
đặc biệt quan trọng vì nội dung học tập khơng chỉ nhằm trang bị và hồn chỉnh tri thức
mà cịn có tác dụng hình thành thế giới quan và nhân sinh quan cho các em. Hoạt động
tư duy của HS lứa tuổi mười lăm cũng phát triển mạnh. Năng lực phân tích, tổng hợp,
so sánh, trừu tượng hóa phát triển cao giúp cho các em có thể lĩnh hội mọi khái niệm
phức tạp và trừu tượng trong tốn học. HS thích tìm hiểu những quy luật và nguyên tắc
chung của các hiện tượng hàng ngày và của những tri thức phải tiếp thu... Một số câu
4
hỏi mà chúng tôi đặt ra dành cho đối tượng HS này là: “Làm thế nào để các em tiếp
cận được với một tri thức tốn mới có tính quy luật?”; “Khi bắt gặp một vấn đề tốn
học có liên quan đến mối quan hệ giữa các đối tượng thì q trình thu thập thơng tin và
suy luận để phát hiện ra các quy luật toán diễn ra trong đầu các em như thế nào?”;
“Liệu các em có mang trong mình tư tưởng khám phá quy luật tốn trong các dạng
mẫu quan sát được để hỗ trợ giải quyết các vấn đề thực tế?”
Mặt khác, HS mười lăm tuổi cũng là đối tượng của chương trình đánh giá HS quốc tế
PISA, một chương trình đánh giá giáo dục được tổ chức định kì 3 năm một lần với quy
mơ gần 70 quốc gia trên thế giới tham dự, trong đó có Việt Nam. Một trong bốn lĩnh
vực được PISA chọn để đánh giá là hiểu biết toán, liên quan đến ba khía cạnh: Nội
dung tốn học, q trình tốn học và bối cảnh trong đó tốn học được sử dụng. Trong
đó, nội dung tốn học được xác định chủ yếu theo bốn “ý tưởng bao quát”: đại lượng,
không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ, tính khơng chắc chắn. Chương trình
đánh giá HS quốc tế PISA nhận thấy rằng: các quy luật về đại lượng, các quy luật về
khơng gian và hình, các quy luật về những thay đổi và các mối quan hệ tạo nên các
khái niệm trung tâm cho các mơ tả về tốn học và tạo nên “trái tim” của bất kỳ một
chương trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học. PISA cịn cho thấy các quy
luật tốn có thể được sử dụng để giải quyết rất nhiều vấn đề thực tế: “Các cấu trúc
sống đang thay đổi khi chúng phát triển, chu trình các mùa, thủy triều lên và xuống,
các chu trình thất nghiệp, thay đổi thời tiết và các chỉ số chứng khốn, một trong số
các q trình thay đổi này có thể được mơ tả hay được mơ hình hóa bởi những hàm số
bậc nhất, hàm số mũ hay hàm số tuần hồn, có thể là rời rạc hay liên tục” (OECD,
2003, [60, tr. 37]). Với ý thức về tầm quan trọng của quy luật toán đối với HS ở lứa
tuổi mười lăm này, PISA kiểm tra các em về khả năng mô tả những thay đổi trong thế
giới dưới dạng có thể nhận thức được để nhận ra sự xuất hiện của các quy luật, đồng
thời biết vận dụng các kiến thức và kĩ thuật sẵn có nhằm đem lại lợi ích lớn nhất cho
cuộc sống (OECD, 2003, [60]).
Có thể thấy, năng lực phát hiện, mơ tả và sử dụng các quy luật toán để giải quyết vấn
đề trong toán học và thực tế cũng là một trong những nội dung được PISA quan tâm
đối với HS mười lăm tuổi. Trong xu hướng đó, với mong muốn thu hút sự quan tâm
của giáo dục toán Việt Nam vào những đóng góp tích cực của suy luận ngoại suy và
5
quy nạp trong việc giúp HS mười lăm tuổi phát triển khả năng tìm kiếm các quy luật
tốn, chúng tơi chọn: “Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại
suy của học sinh mười lăm tuổi trong q trình tìm kiếm quy luật tốn” làm đề tài
nghiên cứu của luận án.
1.3. Phạm vi nghiên cứu
Luận án quan tâm đến việc sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy của HS mười lăm
tuổi trong quá trình tìm kiếm các quy luật tốn với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực
quan. HS mười lăm tuổi theo quy định của PISA là các HS trong độ tuổi từ mười lăm
năm ba tháng đến mười sáu năm hai tháng. Trong luận án này, để thuận lợi cho việc
thiết kế và phân tích các kết quả thực nghiệm, đối tượng HS mười lăm tuổi sẽ mang ý
nghĩa tương đương với các HS đang bắt đầu theo học chương trình lớp 10 ở Việt Nam.
Với đặc thù của chương trình tốn ở nước ta hiện nay, chúng tơi chọn sử dụng một số
nội dung toán thuộc hai lĩnh vực Đại số và Hình học mà HS đã được học ở cấp trung
học cơ sở cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khai thác. Cụ thể, các quy luật tốn mà
chúng tơi muốn tập trung phân tích trong lĩnh vực Đại số là các quy luật có liên quan
đến khái niệm “dãy số”. Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng mơn tốn
THPT của Bộ giáo dục và đào tạo (2006, [6]) cho thấy: chủ đề Dãy số - cấp số cộng cấp số nhân đã xuất hiện ngầm ẩn trong chương trình tốn ở các lớp từ lớp 2 đến lớp 8,
cuối cùng chính thức xuất hiện trong chương trình Đại số và Giải tích 11. Cho đến thời
điểm HS được mười lăm tuổi, các em đã được học về các khái niệm: “biểu thức đại
số”, “hàm số bậc nhất”, “hàm số bậc hai”, tức là các em có đủ các tri thức cần thiết để
khám phá các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Việc HS
chưa chính thức học các khái niệm về cấp số cộng, cấp số nhân sẽ là một yếu tố thuận
lợi giúp chúng tôi đánh giá khách quan hơn những ảnh hưởng của BDTQ đến quá trình
suy luận để khám phá quy luật dãy số của các em. Hơn thế, đây là một trong những nội
dung khá thú vị khi phân tích sự xuất hiện đồng thời của cả hai loại suy luận ngoại suy
và quy nạp trong quá trình khám phá và tổng qt hóa quy luật của HS.
Bên cạnh đó, chúng tơi cũng quan tâm đến năng lực khám phá các quy luật tốn của
HS trong lĩnh vực Hình học. Với đối tượng HS mười lăm tuổi, chúng tôi chọn các kiến
thức hình học phẳng liên quan đến các chủ đề quan hệ song song, quan hệ vng góc,
đa giác và đường trịn mà HS đã được học trong chương trình Hình học ở các lớp 8, 9
6
cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát. Mặt khác, chúng tôi cũng muốn xem xét các
dạng BDTQ được tạo ra trong mơi trường học tập có sử dụng máy tính và các phần
mềm hình học động. Các BDTQ động này khác với BDTQ trong môi trường giấy bút
ở khả năng chuyển động và biến đổi. Liệu sự khác biệt đó có đem lại điều gì thú vị
trong cách suy luận của HS để khám phá các quy luật toán? Để tạo cơ hội cho HS
khám phá các quy luật tốn trong lĩnh vực Hình học với sự hỗ trợ của các BDTQ động,
chúng tôi chọn các bài tốn hình học kết thúc mở làm đối tượng để khai thác và phân
tích trong thực nghiệm của luận án này.
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết về suy luận ngoại suy và quy nạp, vai trò và vị trí của hai
loại suy luận này trong q trình khám phá các quy luật tốn.
Xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại
suy và quy nạp.
Khảo sát các phương án ngoại suy mà HS sử dụng để khám phá quy luật dãy số.
Xây dựng thang mức đánh giá các mức độ ngoại suy mà HS thể hiện.
Phân tích những ảnh hưởng của các BDTQ đến quá trình suy luận của HS trong
khám phá quy luật dãy số.
Phân tích những thể hiện của suy luận ngoại suy và quy nạp qua quá trình HS
tiến hành các thao tác lên BDTQ động để khám phá các bài tốn hình học kết
thúc mở.
Đề xuất một số cách thiết kế các bài toán kết thúc mở nhằm thúc đẩy việc phát
triển năng lực suy luận ngoại suy và quy nạp cho HS ở trường phổ thông.
1.5. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã được đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với bốn câu hỏi
nghiên cứu sau:
Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận nào được sử dụng trong quá trình
khám phá quy luật dãy số và chúng có mối quan hệ với nhau như thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mơ tả dãy số có ảnh hưởng như
thế nào đến quá trình suy luận của HS để đưa ra một quy tắc tổng quát?
7
Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động như thế nào để hỗ trợ
quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khi khám phá quy luật trong các bài
tốn hình học kết thúc mở?
Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm thế nào để phát triển khả năng khám phá quy luật
tốn của HS thơng qua suy luận quy nạp và ngoại suy?
1.6. Các thuật ngữ
Suy luận: Sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để suy
ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác
(English, L. D., 2004, [33]).
Suy luận diễn dịch: Suy luận dựa trên các quy tắc logic toán nhằm đưa ra một kết
luận (chắc chắn đúng) từ một tập hợp các tiên đề đúng cho trước.
Suy luận quy nạp: Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng qt
(khơng chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho một
số trường hợp cụ thể.
Suy luận ngoại suy: Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết có lí (nhưng khơng
chắc chắn đúng) để giải thích cho một kết quả ngạc nhiên quan sát được.
Biểu diễn tốn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn tốn. Nhìn chung
các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngồi, trong
đó biểu diễn ngồi là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu
đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ, ký hiệu… và biểu diễn trong là các mơ
hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ.
Trực quan hóa: Q trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và
phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng…) ở trong
đầu chúng ta, trên giấy hay trên các cơng cụ khoa học cơng nghệ. Trực quan hóa
nhằm mục đích mơ tả và giao tiếp thơng tin, tư duy và phát triển các ý tưởng
chưa biết để đi đến việc hiểu toán (Arcavi, 2003, [13]).
Biểu diễn trực quan: Cơng cụ để trực quan hố nhằm hiểu được các đối tượng
toán học trừu tượng. Các biểu diễn trực quan thường được sử dụng là các hình
vẽ, hình ảnh, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng...
Biểu diễn trực quan động: Các biểu diễn trực quan được xây dựng trên màn hình
máy tính với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học động, cho phép HS thực hiện
8
các thao tác (kéo rê, ẩn/hiện, tạo vết, tịnh tiến, quay, đo đạc, tính tốn, sắp xếp dữ
liệu, thay đổi giá trị các tham số…) lên các đối tượng được biểu diễn.
Dạng mẫu tốn: Mơ hình hình học hoặc dãy (số hay đại số) mà ta có thể dự đốn
được quy luật do một vài tính chất của nó được lặp lại.
-
Ví dụ cho dạng mẫu về các con số: Dãy các số lẻ: 1, 3, 5, 7...
-
Ví dụ cho dạng mẫu về các hình hình học:
Tổng các góc trong của một tam giác bất kì:
600 600 600
-
450 900 450
300 700 800
1200 350 250
Ví dụ cho dạng mẫu về các kí hiệu toán học: Phép nhân của lũy thừa cơ số
2: 23.25 28 ; 22.29 211 ;25.
1
23 .
22
Quy luật toán học: Mối quan hệ toán học giữa các đối tượng tốn học (các số,
các hình, các kí hiệu tốn học, các phép biến hình, các hàm, các tập hợp...) có thể
được phát hiện trong các dạng mẫu tốn. Các mối quan hệ này có thể được mơ tả
thơng qua các quy tắc, các cơng thức, các tính chất, các định lý... (Dưrfler, 2008,
[30]).
Trở lại với ví dụ về dạng mẫu toán ở trên: một quy luật toán được phát hiện trong
dạng mẫu về dãy các số lẻ là: số hạng ở vị trí thứ n trong dãy số trên sẽ có giá trị
bằng 2n 1 ; một quy luật toán được phát hiện trong dạng mẫu về tổng các góc
trong của tam giác là: tổng các góc trong của một tam giác ln bằng 180 độ;
một quy luật toán được phát hiện trong dạng mẫu về phép nhân lũy thừa cơ số 2
là: 2 a.2b 2a b a, b .
Quy luật dãy số: Quy luật toán học cho trường hợp cụ thể là dãy số, chỉ mối quan
hệ giữa các số hạng với nhau và với vị trí của nó trong một dãy số. Mối quan hệ
này có thể được mơ tả bằng biểu thức đại số giúp xác định giá trị một số hạng bất
kì khi biết vị trí của nó trong dãy số. Trong luận án này, chúng tôi tập trung vào
9
các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất (có quy tắc tổng quát là an b , n
là vị trí của số hạng trong dãy số) và dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc hai (có
quy tắc tổng quát là an 2 bn c , n là vị trí của số hạng trong dãy số).
Tìm kiếm quy luật dãy số: Theo Stacey (1989, [80]), có hai loại nhiệm vụ liên
quan đến tìm kiếm quy luật dãy số:
- Tổng qt hóa gần: u cầu HS tìm kiếm một số hạng khơng hẳn phải liền
kề ngay sau các số hạng đã cho nhưng vị trí của nó trong dãy số đủ gần để
HS có thể thực hiện việc tìm kiếm từng bước tuần tự và có được câu trả
lời.
- Tổng quát hóa xa: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng ở vị trí xa hơn nhiều
so với các số hạng đã được cho sẵn khiến cho việc tìm kiếm từng bước
tuần tự trở nên khơng cịn khả thi.
Phương án ngoại suy trong khám phá quy luật dãy số: Cách suy luận ngoại suy
nhằm đưa ra giả thuyết để giải thích việc các số hạng cho sẵn của dãy số xuất
hiện theo một quy luật xác định.
Bài toán kết thúc mở: Bài tốn có nhiều câu trả lời đúng và nhiều phương án giải
khác nhau để đi đến các câu trả lời này (Becker & Shimada, 1997, [16]).
Bài tốn hình học kết thúc mở: Là bài toán kết thúc mở trong hình học, có thể
được nhận ra bởi một vài đặc điểm sau (Mogetta và nnk., 1999, tr. 91-92, [52]):
- Phát biểu bài tốn thường chỉ là những mơ tả rất ngắn gọn về các bước
dựng hình theo trình tự và không đề nghị bất cứ một phương pháp giải cụ
thể nào.
- Khác với dạng câu hỏi đóng truyền thống như “Chứng minh rằng…”, các
bài tốn hình học kết thúc mở thường yêu cầu HS tự đề xuất giả thuyết.
Các câu hỏi của bài toán thường được diễn đạt dưới dạng: “Em tìm thấy
mối quan hệ nào giữa…”, “Trong điều kiện nào thì…?”, “Hình … có thể
trở thành những hình dạng nào…?”
Quy luật hình học: Quy luật tốn học cho các đối tượng hình học, chỉ mối quan
hệ tốn học khơng đổi giữa các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng,
đường tròn... Các quy luật này thường được mơ tả qua các tính chất, các định lý,
các cơng thức... trong hình học.
10
Ví dụ: Sau đây là một số quy luật hình học (liên quan đến độ dài các cạnh a, b, c
và số đo các góc Aˆ , Bˆ , Cˆ ) trong một tam giác ABC bất kì:
1)
Aˆ
Bˆ
Cˆ
.
sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ
2) a 2 b 2 c 2 2bc cos A; b 2 a 2 c 2 2ac cos B; c 2 a 2 b 2 2ab cos C .
3) b c a b c ; a c b a c ; a b c a b
.
4) Tổng các góc trong của một tam giác bất kì ln bằng 1800.
5) Trong hai cạnh của một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn có độ dài
lớn hơn, góc đối diện với cạnh lớn hơn có số đo lớn hơn.
1.7. Cấu trúc luận án
Ngoài phần Mục lục, Danh mục các chữ viết tắt, Danh mục các thuật ngữ tiếng Anh,
Danh sách các hình ảnh, Danh sách các bảng biểu, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, nội
dung chính của luận án được trình bày trong năm chương:
Chương 1. Mở đầu.
Chương 2. Các kết quả nghiên cứu liên quan.
Chương 3. Thiết kế nghiên cứu.
Chương 4. Biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy.
Chương 5. Phát triển khả năng khám phá quy luật toán của học sinh bằng suy luận quy
nạp và ngoại suy.
Chương 1 mở đầu bằng việc giới thiệu tổng quan xu hướng phát triển chung của giáo
dục toán gắn liền với các khía cạnh mà chúng tơi quan tâm như quy luật toán, khám
phá quy luật toán, suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp, biểu diễn toán, đồng thời
cho thấy đề tài nghiên cứu liên quan đến các khía cạnh này là một chủ đề hấp dẫn để
khai thác và có ý nghĩa thực tiễn trong bối cảnh giáo dục toán ở Việt Nam hiện nay.
Tuy nhiên, để triển khai luận án trước hết cần có một cái nhìn tổng quan về các kết quả
đã có từ các nghiên cứu liên quan. Cụ thể, trong Chương 2, chúng tôi tiến hành khảo
cứu tài liệu để xây dựng khung lý thuyết chính dành riêng cho nghiên cứu này: lý
thuyết về suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, các quan điểm về biểu diễn toán,
biểu diễn trực quan và biểu diễn trực quan động. Chúng tơi cũng tìm hiểu các nghiên
11
cứu trong và ngoài nước liên quan đến chủ đề khám phá quy luật toán trong phạm vi
quan tâm của luận án: khám phá quy luật dãy số và khám phá quy luật trong các bài
tốn hình học kết thúc mở. Sau khi tổng hợp, phân tích các kết quả có được của các
nghiên cứu này, chúng tơi chỉ ra những “khe hở” về mặt lý thuyết chưa được làm rõ,
đồng thời đề xuất các vấn đề liên quan đến phạm vi nghiên cứu của luận án có thể
được kế thừa và phát triển từ các nghiên cứu đã có theo những khía cạnh sâu rộng hơn.
Từ đó, chúng tơi quay trở lại Chương 1 để xác định mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu,
xây dựng các câu hỏi nghiên cứu. Dựa trên các kết quả nghiên cứu về mặt lí luận,
chúng tơi trình bày câu trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 1 ngay trong Chương 2 nhằm
làm cơ sở lý thuyết trực tiếp nhất cho việc phân tích các kết quả thực nghiệm sau này.
Kết thúc Chương 1 và Chương 2, một thiết kế nghiên cứu thực nghiệm được định hình
trong giai đoạn tiếp theo để có dữ liệu nhằm trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 2 và Câu
hỏi nghiên cứu 3 của luận án. Các đối tượng HS, GV và trường phổ thông tham gia
thực nghiệm, các tiêu chuẩn để xây dựng và đánh giá bộ cơng cụ sử dụng trong thực
nghiệm, quy trình tiến hành tiền thực nghiệm và thực nghiệm, cách thức thu thập dữ
liệu và phân tích dữ liệu cũng như các hạn chế của quá trình thực nghiệm sẽ được trình
bày chi tiết trong Chương 3.
Tiếp nối ngay sau Chương 3, Chương 4 trình bày kết quả có được từ thống kê và quan
sát dữ liệu thực nghiệm cùng với những phân tích tương ứng để trả lời Câu hỏi nghiên
cứu 2 và 3. Cụ thể, chúng tôi chỉ ra những bằng chứng cho việc các BDTQ có ảnh
hưởng hay khơng đến quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy của HS khi khám phá
các quy luật dãy số và khám phá các bài tốn hình học kết thúc mở. Chúng tôi cũng
đánh giá mức độ ảnh hưởng của các BDTQ đến quá trình suy luận khi khám phá quy
luật dãy số. Với các nhiệm vụ khám phá bài tốn hình học kết thúc mở, chúng tôi cho
thấy một trong những cách để thao tác trên BDTQ động nhằm hỗ trợ việc khám phá và
kiểm chứng các quy luật hình học, đó là sử dụng các phương thức kéo rê mà chúng tôi
đã phân loại theo một cách phù hợp.
Các kết quả phân tích trong Chương 4 một lần nữa khẳng định tầm quan trọng của các
hoạt động khám phá quy luật toán đối với HS mười lăm tuổi cùng với việc nảy sinh
nhu cầu phát triển năng lực suy luận quy nạp và ngoại suy cho HS ngay từ khi cịn học
ở nhà trường phổ thơng. Do đó, chúng tơi mong muốn dành riêng Chương 5 của luận
12
án cho những thảo luận nhằm phát triển năng lực suy luận có lí trong q trình khám
phá quy luật tốn của HS thơng qua một loại nhiệm vụ tốn đặc trưng: bài toán kết
thúc mở. Chương này cũng đề xuất một số giải pháp cơ bản mang tính định hướng
nhằm giúp GV bước đầu có cơ sở để chuyển đổi các tình huống ở SGK và lớp học
thành các bài toán kết thúc mở nhằm tạo cơ hội cho HS được phát triển khả năng suy
luận ngoại suy và quy nạp.
