Một số tính chất của vành giao hoán artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TỐN – TIN
…..o0o….

VŨ KIM HỒNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
VÀNH GIAO HỐN ARTIN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TỐN – TIN

VŨ KIM HỒNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
VÀNH GIAO HỐN ARTIN

Ngành: Sư phạm Tốn
MSSV: 34101028

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến PGS. TS. Trần Tuấn
Nam, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu cũng như niềm
tin để hoàn thành luận văn này.
Bên cạnh đó, tơi cũng xin bày tỏ lịng cảm ơn đến các quý thầy cô trong tổ
bộ môn Đại số nói riêng và tồn thể q thầy cơ khoa Tốn – Tin trường Đại học
Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung đã tận tình giảng dạy, truyền thụ những
tri thức quý báu cho tôi trong suốt bốn năm học tại trường.
Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã hỗ trợ tơi về vật chất cũng
như tinh thần để tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp này.

Vũ Kim Hồng


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ............................................................................................................. 1
Lời cảm ơn ................................................................................................................. 2
Mục lục ....................................................................................................................... 3
Danh mục các ký hiệu ................................................................................................ 4
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................5
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN .............................................................................7
1.1. Vành và iđêan ...................................................................................................7
1.2. Mơđun .............................................................................................................15
1.3. Sự phân tích ngun sơ...................................................................................20
Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH ARTIN ........................................22

2.1. Điều kiện dây chuyền .....................................................................................22
2.2. Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether ..................................................29
2.3. Một số tính chất của vành Artin .....................................................................32
KẾT LUẬN ...............................................................................................................38
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................40


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Vành và môđun được ký hiệu bởi chữ in hoa: A, B,…, M, N,….
Iđêan được ký hiệu bởi chữ cái thường tiếng Đức: a , b,..., m ,..., p, q,... .
Phần tử của vành, môđun và iđêan được ký hiệu bởi chữ thường: a, b, …, x, y,….
Kết thúc một chứng minh (hoặc thiếu đi chứng minh) được đánh dấu: .
Sự bao hàm của những tập hợp được ký hiệu bởi: ⊆ .
Sự bao hàm ngặt của những tập hợp được ký hiệu bởi: ⊂ .


MỞ ĐẦU
Điều kiện dây chuyền tăng và điều kiện dây chuyền giảm là những tính chất
hữu hạn được thỏa mãn bởi cấu trúc đại số nào đó, đặc biệt là các iđêan của vành
giao hốn. Hai điều kiện này đóng vai trò quan trọng đối với sự phát triển lý thuyết
cấu trúc của vành giao hoán trong những nghiên cứu của David Hilbert, Emmy
Noether và Emil Artin.
Vành Artin và vành Noether là những vành giao hoán thỏa điều kiện dây
chuyền giảm và điều kiện dây chuyền tăng trên mọi tập khơng rỗng những iđêan.
Trong đó, vành Artin được tìm ra bởi nhà toán học người Áo Emil Artin (1898 –
1962), là loại vành đơn giản nhất sau trường. Và luận văn này nhằm mục đích tìm
hiểu một số tính chất của vành giao hoán Artin. Bố cục luận văn được chia làm hai
chương:
• Chương 1: Kiến thức cơ bản
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến đề tài: 1.1. Vành

và iđêan, 1.2. Môđun, 1.3. Sự phân tích nguyên sơ. Các chứng minh ở chương này
được bỏ qua.
• Chương 2: Một số tính chất của vành Artin
Đây là chương chính của luận văn gồm ba phần:
2.1. Điều kiện dây chuyền: Từ điều kiện dây chuyền xây dựng khái
niệm môđun Artin (và Noether), vành Artin (và Noether), chứng minh một số tính
chất của mơđun Artin (và Noether).
2.2. Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether: Phần này cung cấp
một số định lý, mệnh đề nhằm phục vụ cho việc chứng minh các tính chất của vành
Artin có liên quan đến vành Noether ở phần tiếp theo.
2.3. Một số tính chất của vành Artin: Phần này đi sâu vào tìm hiểu
những tính chất của vành Artin về: iđêan ngun tố, căn lũy linh, vành Artin địa


phương, mối quan hệ giữa vành Artin và vành Noether và đặc biệt là định lý cấu
trúc của vành Artin.
Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên luận văn này khơng thể tránh khỏi
những thiếu sót. Kính mong q thầy cơ và bạn đọc đóng góp để luận văn được
hoàn chỉnh hơn nữa.


Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Vành và iđêan
Định nghĩa 1.1.1. Một vành A là một tập hợp với hai phép tốn hai ngơi (phép cộng
và phép nhân) thỏa:
1)

A là một nhóm aben đối với phép cộng, có phần tử trung hịa là phần tử
khơng (ký hiệu 0).

2)

Phép nhân có tính kết hợp: ( ab ) c = a ( bc ) , và phân phối đối với phép
cộng: a ( b + c ) = ab + ac , ( b + c ) a =ba + ca .

Ta chỉ xét những vành có tính giao hốn:
3)

ab = ba với mọi a, b ∈ A ,

và có phần tử đơn vị (ký hiệu 1):
4)

= 1a= a với mọi a ∈ A .
∃1 ∈ A sao cho a1

Ghi chú:
•

Khái niệm “vành” được dùng ở đây là “vành giao hốn có đơn vị”,
nghĩa là một vành thỏa các tiên đề từ (1) đến (4) cho ở trên.

•

Nếu trong vành A ta có 1 = 0 thì A chỉ có một phần tử là 0. Ta gọi A là
vành không, ký hiệu 0.

Mệnh đề 1.1.2. Cho vành A. Khi đó:
•

Phần tử đơn vị của vành là duy nhất.

•

0a = 0 với mọi a ∈ A .

•

a ( −b ) =
− ( ab )
( −a ) b =

•

ab với mọi a, b ∈ A .
( −a )( −b ) =

•

na ) b
(=

•

 n  m  n m
 ∑ a i   ∑ b j  = ∑∑ a i b j với mọi a1 ,...,a n , b1 ,..., b m ∈ A .
=i 1  =j 1  =i 1 =j 1

với mọi a, b ∈ A .

a=
( nb ) n ( ab ) với mọi a, b ∈ A , mọi n ∈  .


•

( ab )

•

(a + b)

n

= a n b n với mọi a, b ∈ A , mọi n ∈  .
n

n

=
∑ Cin a n −i bi với mọi a, b ∈ A , mọi n ∈  . 
i =0

Định nghĩa 1.1.3. Một tập con S của vành A được gọi là vành con của A nếu thỏa:
i)

a − b ∈ S với mọi a, b ∈ S ,

ii)

ab ∈ S với mọi a, b ∈ S ,

iii) 1 ∈ S .
Định nghĩa 1.1.4. Một đồng cấu vành là một ánh xạ f từ vành A vào vành B thỏa:
i)

f ( a + b )= f ( a ) + f ( b ) với mọi a, b ∈ A ,

ii)

f ( ab ) = f ( a ) .f ( b ) với mọi a, b ∈ A ,

iii)

f (1) = 1.

Ghi chú:
•

Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ánh
xạ f tương ứng là đơn ánh, tồn ánh hay song ánh.

•

Nếu có một đẳng cấu vành từ vành A đến vành B thì ta nói hai vành A
và B đẳng cấu nhau, ký hiệu A ≅ B .

Mệnh đề 1.1.5. Cho đồng cấu vành f : A → B . Khi đó:
•

f ( 0) = 0 .

•

f ( −a ) =
−f ( a ) với mọi a ∈ A .

•

f ( a − b )= f ( a ) − f ( b ) với mọi a, b ∈ A . 

Mệnh đề 1.1.6. Nếu f : A → B , g : B → C là hai đồng cấu vành thì tích (ánh xạ
hợp) g  f : A → C cũng là đồng cấu vành. 
Định nghĩa 1.1.7. Một iđêan a của vành A là một tập con của A thỏa:
i)

a ≠ ∅,

ii)

x − y ∈a với mọi x, y ∈a ,


ax ∈a với mọi a ∈ A và mọi x ∈a .

iii)

Định nghĩa 1.1.8. Cho a là một iđêan của một vành A. Quan hệ hai ngôi  xác
định trên A:

a  b ⇔ a − b ∈ a với mọi a, b ∈ A
là một quan hệ tương đương. Tập thương A  được ký hiệu A a , lớp tương đương
với đại diện a ∈ A được ký hiệu a + a .
Khi đó, tập thương A a có cấu trúc vành với hai phép tốn:
•

Phép cộng: với mọi x + a , y + a ∈ A a : ( x + a ) + ( y + a ) = ( x + y ) + a

•

Phép nhân: với mọi x + a , y + a ∈ A a : ( x + a )( y + a )=

( xy ) + a

Ta gọi đó là vành thương của vành A trên iđêan a .
Mệnh đề 1.1.9. Ánh xạ

φ:A → A a
x  x +a
là một tồn cấu vành. Ta gọi đó là tồn cấu chính tắc từ A lên vành thương A a .
Hơn nữa, Kerφ =a . 
Mệnh đề 1.1.10. Nếu f : A → B là một đồng cấu vành bất kỳ thì Kerf = f −1 ( 0 ) là
một iđêan của A, Im f = f ( A ) là một vành con của B và f cảm sinh một đẳng cấu
vành: A Kerf ≅ Im f . 
Định nghĩa 1.1.11.
•

Một phần tử x của vành A được gọi là ước của không nếu trong A tồn
tại phần tử y ≠ 0 sao cho xy = 0 . Nếu x là ước của khơng và x ≠ 0 thì
x được gọi là ước thật sự của khơng.

•

Vành khác khơng và khơng có ước thật sự của khơng được gọi là miền
nguyên.


•

Một phần tử x của vành A được gọi là lũy linh nếu có một số nguyên
dương n sao cho x n = 0 .

•

Một phần tử x của vành A được gọi là phần tử khả nghịch nếu trong A
tồn tại phần tử y sao cho xy = 1 . Phần tử y được xác định duy nhất bởi
x và được viết là x −1 .

•

Những bội số ax của phần tử x thuộc vành A lập thành một iđêan chính,
ký hiệu Ax hoặc 〈 x 〉 . Iđêan khơng 〈 0〉 thường được ký hiệu 0.

•

Vành A được gọi là trường nếu A ≠ 0 và mọi phần tử khác không đều
khả nghịch.

Mệnh đề 1.1.12. Một phần tử x của vành A là phần tử khả nghịch khi và chỉ khi
〈 x 〉 =A . 

Mệnh đề 1.1.13. Cho A là một vành khác 0. Khi đó những phát biểu sau là tương
đương:
i)

A là một trường;

ii)

Chỉ có hai iđêan trong A là 0 là 〈1〉 ;

iii) Mọi đồng cấu từ A vào vành B khác 0 là đơn ánh. 
Định nghĩa 1.1.14.
•

Một iđêan p của vành A được gọi là iđêan nguyên tố nếu p ≠ 〈1〉 và
nếu xy ∈ p thì suy ra x ∈ p hoặc y ∈ p .

•

Một iđêan m của vành A được gọi là iđêan tối đại nếu m ≠ 〈1〉 và chỉ
có hai iđêan của A chứa m là m và A.

Mệnh đề 1.1.15. Cho a là iđêan của vành A, khi đó:
•

a là iđêan ngun tố khi và chỉ khi A a là miền nguyên.

•

a là iđêan tối đại khi và chỉ khi A a là trường. 

Hệ quả 1.1.16.
•

Mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố.


•

Iđêan 0 của vành A là nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên. 

Mệnh đề 1.1.17. Nếu f : A → B là một đồng cấu vành và q là một iđêan nguyên tố
của B thì f −1 ( q ) là một iđêan nguyên tố của A. 
Định lý 1.1.18. Mọi vành A khác không đều chứa ít nhất một iđêan tối đại. 
Hệ quả 1.1.19.
•

Nếu a ≠ 〈1〉 là một iđêan của vành A thì tồn tại một iđêan tối đại của A
chứa a .

•

Mỗi phần tử không khả nghịch của vành A luôn được chứa trong một
iđêan tối đại. 

Định nghĩa 1.1.20. Vành A chỉ có một iđêan tối đại duy nhất được gọi là vành địa
phương.
Mệnh đề 1.1.21. Tập N gồm tất cả lũy linh của vành A là một iđêan và A N
không chứa lũy linh nào khác 0. 

Định nghĩa 1.1.22. Iđêan N được gọi là căn lũy linh của vành A.
Mệnh đề 1.1.23. Căn lũy linh của vành A là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của
A. 
Định nghĩa 1.1.24. Căn Jacobson J của vành A là giao của tất cả iđêan tối đại của
A.
Mệnh đề 1.1.25. Giao

a
i∈I

i

của một họ iđêan ( a i )i∈I của vành A là một iđêan của

vành A. 
Định nghĩa 1.1.26. Cho a và b là hai iđêan của vành A.
•

Tổng của a và b , ký hiệu a + b , là tập gồm tất cả các phần tử x + y với

x ∈a , y ∈b . Tổng quát, tổng

∑a
i∈I

i

của họ iđêan ( a i )i∈I là tập gồm tất

cả các tổng

∑x
i∈I

i

với x i ∈a i ( i ∈ I ) và hầu hết x i = 0 trừ một số hữu

hạn.
•

Tích của a và b , ký hiệu ab , là tập gồm tất cả các tổng hữu hạn

∑x y
i

j

với x i ∈a , y j ∈b . Tổng quát, tích của n iđêan a1 , a 2 ,..., a n là

a1a 2 ...a n . Nói riêng, ta có khái niệm lũy thừa của iđêan a : a 0 (:= A ) ,
a1 (:= a ) , a 2 , a 3 ,..., a n ,... .
•

Thương của a và b , ký hiệu ( a : b) , là tập gồm tất cả các phần tử x ∈ A
thỏa xb ⊆ a . Nói riêng, ( 0 : b) là tập gồm tất cả các phần tử x ∈ A thỏa
xb = 0 , được gọi là linh hóa tử của b , ký hiệu Ann (b) . Nếu b là iđêan

chính 〈 x 〉 thì có thể viết ( a : x ) thay cho ( a : 〈 x 〉 ) .

•

Căn của a , ký hiệu rad ( a ) , là tập gồm tất cả phần tử x ∈ A thỏa có số
nguyên dương n sao cho x n ∈a .

Mệnh đề 1.1.27. Cho a và b là hai iđêan của vành A. Khi đó a + b , ab , ( a : b) ,

rad ( a ) đều là iđêan của A. 
Mệnh đề 1.1.28. Cho a , b , c , ( a i )i∈I là những iđêan của vành A. Ta có:
•

a ∩ b ⊇ ab

•

a (b + c ) = ab + ac

•

a ⊆ ( a : b)

•

( a : b) b ⊆ a

•

b ) : c ) (=
a : bc ) ( ( a : c ) : b)
( (a :=

•



  a i : a  =  (a i : a )
 i∈I
 i∈I

•

(a : b + c=) (a : b) ∩ (a : c )

•

rad ( a ) ⊇ a


•

rad ( rad ( a ) ) = rad ( a )

•

rad ( ab=
) rad (a ∩ b=) rad (a ) ∩ rad (b)

•

rad ( a ) = A ⇔ a = A

•

rad=
(a + b) rad ( rad (a ) + rad (b) ) 

Định nghĩa 1.1.29. Hai iđêan a và b của vành A được gọi là nguyên tố cùng nhau
nếu a + b = 〈1〉 .
Mệnh đề 1.1.30. Hai iđêan a và b của vành A nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi
tồn tại x ∈a và y ∈b sao cho x + y =
1 .
Mệnh đề 1.1.31. Nếu a và b iđêan nguyên tố cùng nhau thì a ∩ b =
ab . 
Định nghĩa 1.1.32. Cho A1 , A 2 ,..., A n là vành. Khi đó, tích trực tiếp của chúng
n

A = ∏ A i là tập tất cả các dãy x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) với x i ∈ A i ( 1 ≤ i ≤ n ) cùng với
i =1

hai phép tốn theo thành phần:
•

x + y=

=
xy
•

( x1 , x 2 ,..., x n ) + ( y1 , y 2 ,..., y n ) := ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., x n + y n ) ,

x1 , x 2 ,..., x n ) . ( y1 , y 2 ,..., y n ) : ( x1y1 , x 2 y 2 ,..., x n y n ) ,
(=

là một vành giao hoán với đơn vị 1 = (1,1,...,1) . Vành A này được gọi là vành tích
của A1 , A 2 ,..., A n .
Mệnh đề 1.1.33.
•

n

Cho A1 , A 2 ,..., A n là vành và A = ∏ A i là vành tích của chúng. Những
i =1

phép chiếu pi : A → A i được xác định bởi pi ( x ) = x i là những đồng
cấu vành.


n

Cho a1 , a 2 ,..., a n là những iđêan của vành A. Ánh xạ φ : A → ∏ ( A a i )

•

i =1

xác định bởi quy tắc φ ( x ) =( x + a1 , x + a 2 ,..., x + a n ) là một đồng cấu
vành. 
Mệnh đề 1.1.34. Cho a1 , a 2 ,..., a n là những iđêan của vành A và đồng cấu vành
n

φ : A → ∏ ( A a i ) , φ ( x ) =( x + a1 , x + a 2 ,..., x + a n ) . Khi đó :
i =1

•

n

Nếu a i , a j nguyên tố cùng nhau với mọi i ≠ j thì a1...a n =  a i .
i =1

•

φ tồn ánh ⇔ a i , a j nguyên tố cùng nhau với mọi i ≠ j .

•

φ đơn ánh ⇔

n

a

i

=〈 0〉 . 

i =1

Định lý 1.1.35. (Định lý tránh nguyên tố)
•

Cho p1 ,..., pn là những iđêan nguyên tố và a là một iđêan chứa trong
n

 p . Khi đó a ⊆ p
i

i

với i nào đó.

i =1

•

Cho a1 ,..., a n là những iđêan và p là một iđêan nguyên tố chứa

n

a

i

.

i =1

n

Khi đó a i ⊆ p với i nào đó. Nếu p =  a i thì a i = p với i nào đó. 

i =1

Mệnh đề 1.1.36. Cho a là một iđêan của vành A. Khi đó căn của iđêan a là giao
của tất cả iđêan nguyên tố chứa a . 
Mệnh đề 1.1.37. Cho a , b là hai iđêan của vành A. Khi đó rad ( a ) , rad (b) nguyên
tố cùng nhau khi và chỉ khi a , b nguyên tố cùng nhau. 


1.2. Môđun
Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một vành. Một A – môđun là một tập hợp M với phép
nội tốn + : M × M → M và phép ngoại tốn : A × M → M thỏa:
1)

M là một nhóm aben đối với phép cộng, có phần tử không (ký hiệu 0),

2)

a ( x + y ) = ax + ay với mọi a ∈ A và mọi x, y ∈ M ,

3)

( a + b ) x =ax + bx

4)

a ( bx ) = ( ab ) x với mọi a, b ∈ A và mọi x ∈ M ,

5)

1x = x với mọi x ∈ M (1 là phần tử đơn vị của vành A).

với mọi a, b ∈ A và mọi x ∈ M ,

Khi đó, vành A được gọi là vành hệ tử của môđun.
Định nghĩa 1.2.2. Cho M, N là hai A – môđun. Một ánh xạ f : M → N là một đồng
cấu A – mơđun (hay A – tuyến tính) nếu:
i)

f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) với mọi x, y ∈ M ,

ii)

f ( ax ) = a.f ( x ) với mọi a ∈ A và mọi x ∈ M .

Ghi chú:
•

Nếu A là trường thì một đồng cấu A – mơđun giống như phép biến đổi
tuyến tính của khơng gian vectơ.

•

Đồng cấu A – mơđun được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu
ánh xạ f tương ứng là đơn ánh, tồn ánh hay song ánh.

•

Nếu có một đẳng cấu A – môđun từ M đến N thì ta nói M và N đẳng
cấu nhau, ký hiệu M ≅ N .

Mệnh đề 1.2.3 Nếu f : M → N , g : N → L là hai đồng cấu A – mơđun thì tích (ánh
xạ hợp) g  f : M → L cũng là đồng cấu A – môđun. 
Định nghĩa 1.2.4. Cho A – môđun M và N là tập con của M. Khi đó, N được gọi là
môđun con của M nếu:
i)

N ≠∅,

ii)

x − y ∈ N với mọi x, y ∈ N ,


iii)

ax ∈ N với mọi x ∈ N , a ∈ A .

Ghi chú:
•

Mơđun con cũng là một A – mơđun với các phép tốn cảm sinh.

•

Iđêan a của vành A cũng là một A – môđun. Đặc biệt, bản thân A cũng
là một A – mơđun.

•

Nếu A là một trường K thì A – mơđun là một K – không gian vectơ.

Định nghĩa 1.2.5. Cho N là môđun con của A – mơđun M. Tập thương M N có
cấu trúc A – mơđun với hai phép tốn:
•

Với mọi x + N, y + N ∈ M N : ( x + N ) + ( y + N ) = ( x + y ) + N .

•

Với mọi x + N ∈ M N , a ∈ A : a ( x + N ) =ax + N .

Ta gọi đó là mơđun thương của mơđun M trên môđun con N.
Mệnh đề 1.2.6. Ánh xạ

φ:M → M N
xx+N

là một tồn cấu A – mơđun. Ta gọi đó là tồn cấu chính tắc từ mơđun M lên mơđun
thương M N . 
Mệnh đề 1.2.7. Cho N là môđun con của A – mơđun M. Có một sự tương ứng 1 – 1
bảo tồn thứ tự giữa những mơđun con của M mà chứa N với những môđun con của

M N.
Mệnh đề 1.2.8. Nếu f : M → N là một đồng cấu A – mơđun thì Kerf = f −1 ( 0 ) là
một môđun con của M, Im f = f ( M ) là một môđun con của N và f cảm sinh một
đẳng cấu A – môđun: M Kerf ≅ Im f . 
Mệnh đề 1.2.9. Cho f : M → N là một đồng cấu A – mơđun. Khi đó :
•

Nếu M ' là mơđun con của M thì f ( M ') là mơđun con của N.

•

Nếu N ' là mơđun con của N thì f −1 ( N ') là mơđun con của M. 


Mệnh đề 1.2.10. Giao

M
i∈I

i

của một họ môđun con ( M i )i∈I của A – môđun M là

một môđun con của M. 
Định nghĩa 1.2.11. Cho M1 , M 2 là hai môđun con của A – môđun M và a là một
iđêan của A.
•

Tổng của M1 và M 2 , ký hiệu M1 + M 2 , là tập gồm tất cả các phần tử
x + y với x ∈ M1 , y ∈ M 2 . Tổng quát, tổng

( Mi )i∈I

∑M
i∈I

i

của họ môđun con

của A – môđun M là tập gồm tất cả các tổng

∑x
i∈I

i

với x i ∈ M i

( i ∈ I ) và hầu hết x i = 0 trừ một số hữu hạn.
•

Tích của a và M, ký hiệu aM , là tập gồm tất cả các tổng hữu hạn

∑a x
i

•

i

với a i ∈a , x i ∈ M .

Thương của M1 và M 2 , ký hiệu ( M1 : M 2 ) , là tập gồm tất cả phần tử
a ∈ A thỏa aM 2 ⊆ M1 . Đặc biệt, thương ( 0 : M ) là tập gồm tất cả phần

tử a ∈ A thỏa aM = 0 , được gọi là linh hóa tử của A – mơđun M và ký
hiệu Ann ( M ) .

Ghi chú: Nếu iđêan a ⊆ Ann ( M ) thì A – mơđun M sẽ có cấu trúc A a – mơđun
nhờ phép nhân ngồi ( a + a ) x =
ax ( a ∈ A, x ∈ M ).
Mệnh đề 1.2.12. Cho M1 , M 2 là hai môđun con của A – môđun M và a là một
iđêan của A. Khi đó, M1 + M 2 , aM là hai môđun con của M và ( M1 : M 2 ) là một
iđêan của A. 
Mệnh đề 1.2.13. Nếu x là một phần tử của A – mơđun M thì tập tất cả các bội số ax
với a ∈ A là một môđun con của M, ký hiệu Ax hoặc 〈 x 〉 và gọi là môđun con của
M sinh bởi x. 


Định nghĩa 1.2.14. Cho A – mơđun M.
•

Nếu M = ∑ Ax i thì ( x i )i∈I được gọi là hệ sinh của M, có nghĩa là mọi
i∈I

phần tử của M có thể biểu diễn (khơng nhất thiết duy nhất) dưới dạng tổ
hợp tuyến tính hữu hạn của ( x i )i∈I với hệ số trong A.
•

M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn.

•

Hệ sinh ( x i )i∈I của M được gọi là cơ sở của M nếu phần tử 0 được biểu
diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của họ ( x i )i∈I , tức
là nếu

∑a x

i∈I

i

i

= 0 thì a i = 0 với mọi i ∈ I .

Định nghĩa 1.2.15.
•

Nếu M, N là các A – mơđun thì tổng trực tiếp của chúng, ký hiệu
M ⊕ N , là tập gồm tất cả các cặp ( x, y ) với x ∈ M, y ∈ N . Tổng quát,

nếu ( M i )i∈I là một họ bất kỳ các A – mơđun thì tổng trực tiếp ⊕ M là
i∈I

tập gồm tất cả các họ ( x i )i∈I thỏa x i ∈ M i với mỗi i ∈ I và hầu hết

xi = 0 .
•

Nếu ( M i )i∈I là một họ bất kỳ các A – mơđun thì tích trực tiếp của
chúng, ký hiệu

∏M
i∈I

i

, là tập gồm tất cả các họ ( x i )i∈I thỏa x i ∈ M i với

mỗi i ∈ I .
Ghi chú: Khi tập chỉ số I = {1, 2,..., n} là một tập hữu hạn thì tổng trực tiếp

⊕ M = M1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n và tích trực tiếp
i∈I

∏M =
i∈I

i

M1 × M 2 × ... × M n hiển nhiên

trùng nhau. Cịn nếu I là tập vơ hạn thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp hồn tồn
khác nhau.
Mệnh đề 1.2.16. Nếu M, N là các A – mơđun thì tổng trực tiếp M ⊕ N là một A –
môđun nếu ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng:


•

( x1 , y1 ) + ( x 2 , y 2 ) =
( x1 + x 2 , y1 + y 2 )

•

a ( x, y ) = ( ax,ay ) 

Mệnh đề 1.2.17. M là một A – môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với
thương của A n = A ⊕ ... ⊕ A (n số hạng) với số nguyên dương n nào đó. 
Mệnh đề 1.2.18. (Bổ đề Nakayama). Cho M là một A – môđun hữu hạn sinh và a
là một iđêan của A được chứa trong căn Jacobson J của A. Khi đó nếu aM = M thì
suy ra M = 0 . 
Ghi chú: Nếu A là một vành địa phương, m là iđêan tối đại của nó, M là một A –
mơđun hữu hạn sinh. Khi đó M mM được linh hóa bởi m , do đó là một A m –
môđun, nghĩa là A m – không gian vectơ hữu hạn chiều.
Mệnh đề 1.2.19. Cho x1 ,..., x n là những phần tử của M mà ảnh của chúng trong

M mM tạo thành một cơ sở của khơng gian vectơ này. Khi đó, x i sinh ra M. 
Định nghĩa 1.2.20.
•

Một dãy các A – mơđun và A – đồng cấu:
fi
fi +1
→ M i −1 
→ M i →
→ ...
... 
M i +1 

được gọi là khớp tại M i nếu Im f i = Kerf i +1 .
•

Một dãy được gọi là dãy khớp nếu dãy đó khớp tại mọi M i .

•

f
g
Dãy khớp dạng 0 
→ M ' 
→ M 
→ M '' 
→ 0 được gọi là dãy

khớp ngắn.
Mệnh đề 1.2.21.
•

f
Dãy 0 
→ M ' 
→ M là khớp khi và chỉ khi f đơn cấu.

•

g
Dãy M 
→ M '' 
→ 0 là khớp khi và chỉ khi g toàn cấu. 


1.3. Sự phân tích nguyên sơ
Định nghĩa 1.3.1. Một iđêan q của vành A được gọi là iđêan nguyên sơ nếu q ≠ A
và nếu xy ∈q , x ∉q thì suy ra y n ∈q với n nào đó.
Nói cách khác, một iđêan q của vành A được gọi là iđêan nguyên sơ khi và
chỉ khi A q ≠ 0 và mọi ước của 0 trong vành thương A q đều là lũy linh.

Mệnh đề 1.3.2. Cho q , a là hai iđêan của vành A và a ⊆ q . Khi đó q nguyên sơ
khi và chỉ khi q a nguyên sơ trong vành thương A a . 
Mệnh đề 1.3.3. Nếu q là một iđêan nguyên sơ của vành A thì rad ( q ) là iđêan
nguyên tố nhỏ nhất trong số tất cả những iđêan nguyên tố của A mà chứa q . 
Định nghĩa 1.3.4. Cho q là một iđêan nguyên sơ của vành A. Nếu p = rad ( q ) thì q
được gọi là p – nguyên sơ.
Mệnh đề 1.3.5. Nếu rad ( a ) là tối đại thì a là nguyên sơ. Đặc biệt, lũy thừa của một
iđêan tối đại m là m – nguyên sơ. 
n

Mệnh đề 1.3.6. Nếu q1 ,..., qn là p – nguyên sơ thì q =  qi là p – nguyên sơ. 
i =1

Định nghĩa 1.3.7. Một sự phân tích nguyên sơ của một iđêan a của vành A là sự
n

biểu diễn a dưới dạng giao hữu hạn những iđêan nguyên sơ: a =  qi .
i =1

Ngoài ra, nếu tất cả rad ( qi ) đều phân biệt và không qi nào chứa giao của
những cái còn lại (tức qi ⊇

q

j

với i = 1,..., n ) thì sự phân tích ngun sơ được gọi

j≠ i

là tối tiểu.
n

Định lý 1.3.8. Cho a là iđêan có sự phân tích nguyên sơ và a =  qi là một sự phân
i =1

tích nguyên sơ tối tiểu của a . Đặt pi = rad ( qi ) , i = 1,..., n . Khi đó pi là những iđêan


nguyên tố xuất hiện trong tập những iđêan rad ( a : x ) ( x ∈ A ) và khơng phụ thuộc
vào sự phân tích ngun sơ của a . 
Định nghĩa 1.3.9.
•

Những iđêan nguyên tố pi ở trên được gọi là liên kết với a .

•

Những phần tử tối tiểu của tập {p1 ,..., pn } ở trên được gọi là iđêan
nguyên tố cô lập liên kết với a .

Hệ quả 1.3.10. Những thành phần nguyên sơ qi ứng với iđêan nguyên tố cô lập pi
là xác định duy nhất bởi a . 
Định nghĩa 1.3.11. Một iđêan a của vành A được gọi là bất khả qui nếu nó khơng
phải là giao của hai iđêan chứa nó thật sự.
Nói cách khác, iđêan a của vành A là bất khả qui khi và chỉ khi a ≠ A và
với mọi iđêan b, c nếu a= b ∩ c thì a = b hoặc a = c .


Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH

ARTIN
2.1. Điều kiện dây chuyền
Mệnh đề 2.1.1. Những điều kiện sau đây là tương đương:
i)

Mọi dãy giảm các môđun con M1 ⊇ M 2 ⊇ ... của M đều dừng (nghĩa là,
tồn tại n thỏa =
Mn M
=
... ).
n +1

ii)

Mọi họ khác rỗng những môđun con của M, sắp thứ tự theo quan hệ
bao hàm ⊇ , đều có phần tử tối tiểu.

Chứng minh:

i) ⇒ ii) Giả sử ii) sai, tức có một họ khác rỗng T các mơđun con của M
khơng có phần tử tối tiểu. Lấy M1 ∈ T , khi đó tồn tại M 2 ∈ T sao cho M1 ⊃ M 2 .
Lập luận tương tự ta xây dựng được dãy vô hạn giảm nghiêm ngặt

M1 ⊃ M 2 ⊃ M 3 ⊃ ... nên trái với giả thiết i).

ii) ⇒ i) Họ ( M m )m≥1 có một phần tử tối tiểu, chọn phần tử tối tiểu đó làm
M n ta được i). 
Ghi chú:
•

i) được gọi là điều kiện dây chuyền giảm và ii) được gọi là điều kiện tối
tiểu.

•

Nếu tập những mơđun con của mơđun M được sắp thứ tự theo quan hệ
bao hàm ⊆ thì i) được gọi là điều kiện dây chuyền tăng và ii) được gọi
là điều kiện tối đại.

Định nghĩa 2.1.2.


•

Môđun M thỏa một trong hai điều kiện tương đương: điều kiện dây
chuyền giảm hoặc điều kiện tối tiểu, gọi là mơđun Artin (đặt theo tên
Emil Artin).

•

Mơđun M thỏa một trong hai điều kiện tương đương: điều kiện dây
chuyền tăng hoặc điều kiện tối đại, gọi là môđun Noether (đặt theo tên
Emmy Noether).

Mệnh đề 2.1.3. M là A – môđun Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M là
hữu hạn sinh.
Chứng minh:

⇒) Giả sử N là một môđun con của M và Σ là tập tất cả những mơđun con
hữu hạn sinh của N. Khi đó Σ ≠ ∅ (vì 0 ∈ Σ ) và Σ có một phần tử tối đại, gọi là

N 0 . Nếu N 0 ≠ N thì ta có mơđun con N 0 + Ax (với x ∈ N, x ∉ N 0 ) là môđun hữu
hạn sinh và chứa N 0 thực sự, ta gặp mâu thuẫn. Do đó N 0 = N và N hữu hạn sinh.

⇐) Giả sử M1 ⊆ M 2 ⊆ ... là dãy tăng các môđun con của M. Đặt
∞

N =  M i thì N là một mơđun con của M, do đó N hữu hạn sinh với hệ sinh là
i =1

x1 ,..., x r . Giả sử x i ∈ M ni và đặt n = max ( n1 ,..., n r ) thì x i ∈ M n . Suy ra
=
Mn M
=
... , do đó dãy M1 ⊆ M 2 ⊆ ... phải dừng. Vậy M là môđun Noether. 
n +1
α
β
Mệnh đề 2.1.4. Cho 0 
→ M ' 
→ M 
→ M '' 
→ 0 là một dãy khớp A –

mơđun. Khi đó, M là môđun Artin (hoặc Noether) khi và chỉ khi M ' và M '' là
môđun Artin (hoặc Noether).
Chứng minh:

⇒) : Giả sử M '1 ⊇ M '2 ⊇ ... là dãy giảm các môđun con của M ' . Theo
(1.2.9) thì α ( M '1 ) ⊇ α ( M '2 ) ⊇ ... là dãy giảm các môđun con của M và dừng (vì M

là mơđun Artin). Tức là tồn tại n sao cho α ( M 'n ) =
α ( M 'n +1 ) =
... . Mà α là đơn cấu
nên =
M 'n M
=
'n +1 ... . Do đó M '1 ⊇ M '2 ⊇ ... phải dừng. Vậy M ' là môđun Artin.


Giả sử M ''1 ⊇ M ''2 ⊇ ... là dãy giảm các môđun con của M '' . Theo (1.2.9) thì

β−1 ( M ''1 ) ⊇ β−1 ( M ''2 ) ⊇ ... là dãy giảm các môđun con của M và dừng (vì M là
mơđun Artin). Tức là tồn tại n sao cho β−1 ( M ''n ) =
β−1 ( M ''n +1 ) =
... . Mà β là toàn
cấu nên =
M ''n M
=
''n +1 ... . Do đó M ''1 ⊇ M ''2 ⊇ ... phải dừng. Vậy M '' là môđun
Artin.

⇐) : Giả sử M1 ⊇ M 2 ⊇ ... là dãy giảm các môđun con của M. Theo (1.2.9)
thì α −1 ( M1 ) ⊇ α −1 ( M 2 ) ⊇ ... , β ( M1 ) ⊇ β ( M 2 ) ⊇ ... lần lượt là dãy giảm các môđun
con của M ' , M '' và phải dừng (vì M ' , M '' là môđun Artin). Tức là tồn tại n α , n β

(

)

(

)

( ) (

)

sao cho α −1 M n α =
β M nβ +1 =
... . Đặt n = max ( n α , n β )
α −1 M n α +1 =
... , β M nβ =
suy ra α −1 ( M n ) =
β ( M n +1 ) =
... . Ta sẽ chứng minh
α −1 ( M n +1 ) =
... , β ( M n ) =

M n = M n +1 .
Rõ ràng M n ⊇ M n +1 . Lấy x ∈ M n , tồn tại y ∈ M n +1 sao cho β ( x ) =
β( y) .
Suy ra β ( x ) − β ( y ) = β ( x − y ) = 0 hay x − y ∈ Kerβ = Im α = α ( M ') . Do đó tồn tại

α −1 ( z ) (với x − y ∈ M n ). Suy ra x − y =
z ∈ M n +1 sao cho α −1 ( x − y ) =
z mà
y, z ∈ M n +1 nên x ∈ M n +1 . Do đó M n ⊆ M n +1 .
Tương tự ta suy ra =
Mn M
=

... , tức dãy M1 ⊇ M 2 ⊇ ... phải dừng. Vậy M
n +1
là môđun Artin.
Chứng minh tương tự cho trường hợp môđun Noether. 
n

Hệ quả 2.1.5. Nếu M1 ,..., M n là các A – mơđun Artin (hoặc Noether) thì ⊕ M i
i =1

cũng là A – môđun Artin (hoặc Noether).
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.