Bài toán ngược và lời giải xấp xỉ ổn định ứng dụng vào phương trình tích phân luận án phó tiến sĩ toán lý chuyên ngành giải tích hàm

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
1995

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
❖

NGUYỄN CAM

BÀI TỐN NGƯỢC VÀ LỜI GIẢI XẤP XỈ ỔN ĐỊNH
ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

LUẬN ÁN PHĨ TIẾN SĨ TỐN LÝ

Chun ngành :
Mã hiệu :
Người hướng dần :

GIẢI TÍCH HÀM
1.01.01
TIẾN SĨ QUỐC GIA TRẦN VĂN TẤN
Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh
GIÁO SƯ TIẾN SĨ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG
Đại Học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh

Thành Phố Hồ Chí Minh
1995

2


LUẬN ÁN ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI KHOA TỐN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Người hướng dẫn:

Tiến Sĩ Quốc Gia TRẦN VĂN TẤN
Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh
Giáo Sư Tiến Sĩ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG
Đại Học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1:

Người nhận xét 2:

Cơ quan nhận xét:

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án Nhà nước
họp tại Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

Vào hồi …..giờ, Ngày…. Tháng.… năm 199...


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành biết ơn Thầy hướng dẫn Tiến Sĩ Quốc Gia Trần Văn Tấn,
Giáo Sư Tiến Sĩ Đặng Đình Áng.
Tơi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Nghiên Cứu Khoa Học và

Ban Chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã
khích lệ và dành cho tơi nhiều điều kiện thuận lợi trong khảo cứu.
Tôi xin chân thành cám ơn Phó Giáo Sư Dương Minh Đức đã cho nhiều nhận
xét, quý báu về nội dung của luận án.
Tôi xin chân thành cám ơn sự động viên ân cần của quý đồng nghiệp Khoa
Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và Khoa Tốn Trường Đại
Học Tổng Hợp Thành Phố Hồ Chí Minh; Sự giúp đỡ chí tình của Anh Đinh Ngọc
Thanh trong q trình tơi hồn thành lập luận án này.

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 1995.
NGUYỄN CAM


BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ LỜI GIẢI XẤP XỈ ỔN ĐỊNH
ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

MỞ ĐẦU
Từ năm 1960 trở lại đây, các bài tốn ngược khơng chỉnh được các nhà Toán
học trên thế giới khảo cứu một cách sâu rộng mà tiêu biểu là các cơng trình của
Tikhonov, Lavrentiev, Lions... Từ thời gian đó nay các bài tốn ngược không chỉnh
càng ngày càng được chú ý khảo cứu một cách rộng rãi vì nó mang lại rất nhiều áp
dụng quan trọng trong y học, kỹ nghệ, địa vật lý và kỹ thuật...
Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu hai bài tốn ngược khơng chỉnh : Bài
tốn xác định miền cho một phương trình elliptic và bài tốn Stenfan ngược.
Mục đích của luận án là xét sự chỉnh hóa hai bài toán ngược nêu trên với các
nội dung gồm : xây dựng lời giải xấp xỉ ổn định; sự duy nhất nghiệm của bài toán; đánh
giá sai số giữa lời giải xấp xỉ với lời giải chính xác.
Luận án được hình bày gồm hai phần. Phần một được dành cho sự khảo cứu bài
toán xác định miền cho một phương trình elliptic. Bằng Cách xử dụng cực trị của một
phiếm hàm liên tục trên một tập compact chứa trong một khơng gian hàm thích hợp, rồi

lại xấp xỉ phiếm hàm nói trên bởi các phiếm hàm liên tục trên các không gian hữu hạn
chiều để đưa ra cách

1


xây dựng lời giải xáp xỉ ổn định. Sau đó là khảo sát tính duy nhất nghiệm của bài tốn
xác định miền. Phần hai của luận án là bài toán Stefan ngược. Trong phần này chúng
tơi xét một bài tốn Stefan ngược một chiều và một bài toán Stefan ngược hai chiều.
Bằng cách đưa về phương trình tích phân loại một; rồi chuyển sang phương trình tích
chập; sau đó sử dụng phương pháp Tikhonow để đưa ra cách xây dựng lời giải xấp xỉ
ổn định đồng thời đánh giá sai số giữa lời giải xấp xỉ với lời giải chính xác khi các dữ
liệu đo được bị lệch với sai số ε.

2


KÝ HIỆU
𝐺̅ : Bao đóng của tập hợp G.
∂G: Biên của tập hợp G.

Miền G: tập G mở và liên thông.
∂u

∂xi

= Di u: đạo hàm riêng phần cùa hàm u
: Toán tử Laplacien cùa hàm u.
∂𝑢

∂𝑢

∇u = gradu = �∂𝑥 , ∂𝑥 �
1
2
∂𝑢
∂𝑢
= ∇u.n = n1
∂𝑛
∂ 𝑥1

+ 𝑛2

∂𝑢
: đạo hàm theo hướng pháp tuyến n của hàm u.
∂ 𝑥2

H1 (G) = W1,2 (G): Không gian sobolev.

(G)

[H1 (G)]* = ℒ (H1 (G), R):Khơng gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H1
∇u. ∇n =

∂𝑢 ∂𝑣
.
∂ 𝑥1 ∂ 𝑥1

+

∂𝑢 ∂𝑣
.
∂ 𝑥2 ∂ 𝑥2

B(r,x) : quả cầu mở tâm X, bán kính r.
� (r, x) : quả cầu đóng tâm X, bán kính r.
B

� ):Khơng gian các hàm số liên lục trên G.
C(G

� )::Khơng gian các hàm số có đạo hàm liên lục trên G.
C1(G

C2 (G):Khơng gian các hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên G.
𝑜
:
𝐺

phần trong của tập hợp G

G \ G1 = {x ∈ R2 | x ∈ G và x ∉ G1}
f ≡ 0trên Γ với mọi x∈ Γ

f ≢ 0 trên Γ : tồn tại x∈ Γ sao cho f(x) ≠ 0

3


MỘT SỐ KẾT QUẢ SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN

1. Bất đẳng thức Poincaré
1.1 Không gian H1 (Ω), 𝐻01 (Ω)

Cho Ω là một miền bị chặn trong R2 . Ta định nghĩa

trong đó

𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑖

là đạo hàm riêng của u theo nghĩa suy rộng H1 (Ω) là khơng gian

Hilbert với tích vơ hướng định bởi :
(u,v) = ∫Ω u, v + ∫Ω ∇u. ∇v

(u,v ∈ H1 (Ω))

với chuẩn tương ứng là :

Không gian 𝐻01 (Ω) được định nghĩa như sau :

𝐻01 (Ω) = ���������
𝐻𝑐1 (Ω) : bao đóng của 𝐶𝑐1 (Ω) trong H1 (Ω) (trong đó 𝐶𝑐1 (Ω) là khơng

gian các hàm số có giá compact và có đạo hàm liên tục trên Ω).

4

1.2. Bất dẳng thức Poincaré ([5]).
Cho Ω là tập hợp mở và bị chặn trong R2 . Tồn tại một. hằng số C > 0 sao cho :

với mọi x ∈𝐻01 (Ω)

đương.

‖𝑢‖𝐿2 (Ω) ≤ C ‖∇𝑢‖�𝐿2 (Ω)�2

Do dó trên 𝐻01 (Ω) hai chuẩn sau đây : ‖u‖H1 (Ω) và ‖∇u‖�L2 (Ω)�2 là tương

1.3. Mở rộng bất đẳng thức Poincaré ([32])
Định lý :
Cho Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên ∂Ω khá trơn (smooth); Γ0⊂∂Ω thỏa

õGo > 0 và Γ0 là mở trong ∂Ω. Với p > 1 thì tồn tại hằng số C > 0, (C chỉ phụ thuộc
vào n, p, Ω, Γ0) sao cho :

đặc biệt khi u∈ {v∈ 𝑊1, 𝑝 (Ω)| 𝑣 = 0 𝑡𝑟ê𝑛 Γ0 } thì

‖u‖W1−p(Ω) ≤ C ‖∇u‖[Lp(Ω)]n

nhau.

Do đó trên V thì chuẩn ‖u‖W1−p(Ω) và chuẩn ‖∇u‖[Lp(Ω)]n là tương đương với

5


2. Vết (traces) của H1 (Ω):

Định lý ([29]).
Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biến ∂Ω đủ trơn (smooth). Với m = 1
hoặc m = 2 thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
R : Wm.p (Ω) → Wm-1,q (∂Ω)
�)
sao cho Ru = u|∂Ω nếu u ∈ C2 (Ω

trong đó : q ≤

np−p
n−p

nếu 1 ≤ p < n hoặc nếu 1 ≤ p < n

Từ định lý trên ta suy ra rằng : tốn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục :
R : H1 (Ω) = W1,2 (Ω) → L2 (∂Ω)
�)
sao cho Ru = u|∂Ω với mọi u ∈ C2 (Ω

3. Một định lý về điểm bất động
Định lý :

Cho X là một không gian Banach, M là một tập hợp đóng trong khơng gian X,
ánh xạ f: M→ M thỏa.
|| f(x1) – f(x2)|| ≤ k || x1 – x2 || với mọi x1, x2 trong M ( với 0 < k < 1)
Thì tồn tại duy nhất một điểm bất động của f, nghĩa là có duy nhất phần tử x0 ∈
M sao cho f(x0) = x0

6

4. Định lý ánh xạ ngược
Định lý :
Cho X, Y là hai không gian Banch; U là một tập hợp mở trong X với x0 ∈ M và
một ánh xạ f: U→ Y thuộc lớp C1 ( có đạo hàm cấp một liên tục trên U)và giả sử rằng
f’(x0) :X → Ylà khả đảo.
Thì f là C1 khả đảo địa phương tại x0 ,nghĩa là tồn tại một tập hợp mở V1 trong
Y với và một f(x0) ∈ V1 ánh xạ V1 → U1 thỏa
ϕof (x) = x, với mọi x∈ U1 ( U1 là tập mở chứa trong U)
foϕ(y) = y với mọi y∈ V1
ϕ’(y) = [f’(x) ]-1 (Với y = f(x)).

5. Công thức đổi biến số:
Định lý : ([5])
Cho Ω và Ω' là hai tập mở của Rn và H: Ω’ → Ω là một song ánh thỏa :
H ∈ C1 (Ω’) ; H-1 ∈ C1 (Ω)
Jac H ∈ L∞ Ω’); Jac H-1 ∈ L∞ Ω);
Thì ta có :
i) Nếu u ∈ W1,p (Ω) thì uo H ∈ W1,p (Ω’) (1≤ p ≤ ∞)
ii)

(trong đó H(y) = x và j = 1, 2, …, n)

7


6. Về công thức Green:
6.1. Công thức Green :
� ) thì ta có
Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn, u, v ∈ C2 (Ω) ∩ C (Ω

6.2. Công thức Green mở rộng ([32]).
Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω trơn, với u ∈ H1 (Ω), v∈ H1
(Ω) thì ta có

7. Định lý Lax - Milgram
7.1 Định nghĩa :
Cho H là một không gian Hilbert và a: H × H → R là một song tuyến tính
i) a liên tục trên H nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho
|a(u, v) ≤ C|| u ||. ||v || với mọi u, v trong H.
ii) a là bức nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho a(v, v) ≥ 𝛼‖𝑣‖ 2 với mọi v trong H.

7.2 Định lý Lax - Milgram ([32]).

Cho a(u, v) là một song tuyến tính liên tục và bức trên không gian Hilbert H.
Với ϕ ∈ H’ (ϕ là một phiến hàm tuyến tính liên tục trên H) thì tồn tại duy nhất một
phần tử u ∈ H sao cho.
a(u, v) = 〈ϕ, v〉 với mọi v ∈ H

8


Hơn nữa nếu a là đối xứng ( tức là a(u,v) = a(v,u) với mọi u,v trong H) thì u được xác
định bởi
1
2

a (u,v) - 〈ϕ, 𝑢〉 =

8. Bổ đề Leray

𝑚𝑖𝑛
𝑣 ∈𝐻

1

� 𝑎(𝑣, 𝑣) − 〈ϕ, 𝑢〉 �
2

8.1. Bổ đề :
Cho K là một tập compact trong không gian Banach E. Với mọi ε > 0 cho trước
thì tồn tại một tập hợp hữu hạn {a1, a1, … an} trong K và một ánh xạ liên tục P: K → E
sao cho:
i) || P(x) – x|| ∈ ε với mọi x thuộc K
ii) P(K) ⊂ C0 {a1, a1 ,… an}
(Với là C0 {a1, a1 ,… an} là bao lồi của {a1, a1 ,… an}.)
Chứng minh
Đặt ε = min (1, ε). Xét họ quả cầu mở {B(x,ε’)| x ∈ K} là một phủ mở của K.

Vì K là là tập compact nên tồn tại một số hữu hạn các phần tử a1, a1 ,… an trong K sao
cho :

Với mỗi i ∈ {1, 2, … ,n}ta đặt hàm định ϕi : E → R bởi
ϕI (x) = max (0, ε’ - ||x = a1||)
rõ ràng ϕi là các hàm số liên tục và thỏa
ϕi (x) = 0 nếu x ∉ B(ai, ε’)

9

ϕi (x) > 0 nếu x ∈ B(ai, ε’)
Từ đó ta suy ra rằng :
ϕI (x), ||x – ai || ≤ ϕi (x). ε’ với mọi x ∈ E
và

với mọi x ∈ K

Bây giờ ta đặt : P : K → E bởi :

thì ta có P là liên tục trên K và
P(K) ⊂ Co {a1, a2, …, an}
Hơn nữa, ta cịn có :

nên ||Px – x|| < ε’ ≤ ε.
Vậy bổ đề đã được chứng minh.

10


8.5. Hệ quả :
Cho K là một tập compact trong khơng gian Banach E thì tồn tại một dãy các
ánh xạ liên tục
Pm : K → Em thỏa.
i) Em ⊂ E với mọi m
ii) Em là các không gian hữu hạn chiều.
iii) ‖𝑃𝑚 𝑥 − 𝑥 ‖𝐸 hội tụ đều về 0, với ∀ x ∈ K.

11

Bài tốn xác định miền cho một phương trình Elliptic

PHẦN MỘT
BÀI TỐN XÁC ĐỊNH MIỀN
CHO MỘT PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
I. SỰ CHỈNH HĨA
Trong phần này, chúng tơi nghiên cứu bài tốn xác định miền cho một phương
trình elliptic được nêu ra như sau :
Tìm một miền G trong R2 và một hàm u xác định trên G sao cho.
∆ 𝑢 − 𝑐 𝑢 = 0 trong miền G

(Với c = c (x) ≥ 0 với mọi x ∈ G và c ∈ C1 (G)) đồng thời u thỏa điều kiện

Cauchy trên phần biên cho trước (Γ) định bởi trên Γ

u = f trên
𝜕𝑢
𝜕𝑛

= h trên Γ0

( Với Γ0 ≠ ∅, Γ0 ⊂ Γ , Γ0 mở trong Γ và Γ0 cho trước). Ngồi ra u cịn thỏa điều
kiện Dirichlet trên phân biên γ (γ ⊂ ∂G và γ là phải tìm) :
u = 0 trên γ
trong đó G là một miền không đơn liên giới hạn bởi phần Γ (đã biết) và phần biên trong
V (cần tìm); và các hàm f ∈ L2(Γ), u ∈ L2(Γ0) là cho trước.
C.M. Elliot. [15] đã khảo cứu một bài toán xác định miền tương tự với u là hàm
điều hòa trong miền G và u thỏa một điều kiện Cauchy trên phần biên γ (cần tìm), đồng
thời u thỏa một, kiều kiện Dirichlet trên phần biên Γ (cho trước). Bài toán vừa nêu là
thuộc loại biên tự do chính quy (regular free houndary problem) và đã được đưa

phương trình biến phân để giải. Trong khi thì bài

12


Bài tốn xác định miền cho một phương trình Elliptic

tốn được khảo cứu trong luận án này là bài toán khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard,
tức là bài tốn khơng ln ln tồn tại nghiệm và khi tốn có nghiệm thì nghiệm không
phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã biết.
Trong phần này chúng tôi đưa ra phương pháp xây dựng lời giải xấp xỉ ổn định
cho bài toán. Chúng tôi sẽ xét miền G như là ảnh của một miền Ω cố định (cho trước)
qua một phép biến đổi Ψ sao cho Γ ⊂ ∂Ω và các điểm của Γ bất biến qua biến đổi
(nghĩa là Ψ(x) = x với mọi x∈ Γ). Ngồi ra chúng tơi cịn sử Γ, γ là các đường cong
"Star - Shaped đối với một điểm O trong R2 (Γ là "Star -Shaped" đối với O khi mọi tia
kẻ từ O chỉ cắt Γ duy nhất tại một điểm). Bài toán xác định miền nói trên được đưa về
bài tốn xác định hệ số của một phương trình biến phân elliptic và sau đó được (lần tới
bài tốn tìm cực trị của một phiếm hàm liên tục trên một tập compact K của một khơng
gian hàm thích hợp. Một cực trị của phiếm hàm nói trên khơng nhất thiết phải là
nghiệm của bài tốn. Tuy nhiên nêu bài tốn có nghiệm thuộc về tập K thì nghiệm ấy
phải là một cực trị của phiếm hàm đã nêu. Kế tiếp chúng tôi xấp xỉ bài toán cực trị ấy
bởi bài toán cực trị hữu hạn chiều. Sau đó là chứng minh sự ổn định của lời giải: Giả sử
dữ kiện cho trước f, h là khá gần với dữ kiện chính xác f0, h0 (ứng với f0, h0 bài tốn có
lời gải trong tập compact K). Cực tiểu của phiếm hàm đã nêu (tùy thuộc vào f, h) sẽ là
lời giải xấp xỉ. Lời giải xấp xỉ này là ổn định theo nghĩa tập lời giải (xem định lý 3)
theo các thay đổi về f và h và do đó cho ta sự chỉnh hóa của bài tốn.
Sau đó chúng tơi chứng minh sự duy nhất của cặp nghiệm (G, u) của bài toán.
Với miền G không đơn liên giới hạn bởi hai đường cong Γ và γ và đều là "Star � ) thì chúng tôi chứng
Shaped" đối với một điểm O trong R2 và hàm u ∈ C2(G) ∩ C(G

minh được sự duy nhất của cặp lời giải bao gồm một miền G và một hàm u xác định
trên G và thỏa các u cầu của bài tốn. Cơng cụ chính được sử dụng ở

13


Bài tốn xác định miền cho một phương trình Elliptic

đây là cơng thức Green và tính duy nhất nghiệm của phương trình elliptic bậc hai trên
một miền cho trước.
Bài tốn nêu trên có một số áp dụng đáng chú ý như sau : Thứ nhất là xem bài
tốn tìm cặp (G,u) trong đó u là phân bố nhiệt trong một miền giới hạn bởi phân biên
ngoài Γ (đã biết) và trên Γ ta biết trước sự phân bố nhiệt 𝑢|Γ và biến đổi nhiệt, ∂u�∂n�

𝛤

(heat flux); còn phần biên trong γ (cần tìm) sao cho phân bố nhiệt trên đó được chỉ định
(𝑢|γ = 0). Áp dụng thứ hai là xác định hình dáng của bình chứa nếu biết trước hình dàn
của "plasma"; đây là bài tốn ngược của bài tốn xác định hình dáng của "plasma" nếu

biết trước hình dáng của bình chứa ([12], [14]). Một áp dụng thứ ba của bài tốn là xác
định hình dáng của vết nứt trong môi trường đàn hồi (elasticity) bằng phương pháp diện
thế (electric potential method) ([25]).

1. Vị trí bài tốn
1.1. Giới thiệu bài toán :
Cho G là một miền bị chặn trong R2 là ∂G và một phần biên Γ ⊂∂G cho trước.
Chúng ta xét phương trình elliptic trong miền G xác định như sau :
(1.1) ∆u = 0trong G
(Với c = c(x) ≥, ∀x ∈ G)

u thỏa điều kiện Cauchy trên phần biên Γ0 (Với Γ0 ≠ ∅ và Γ0 là mở trong Γ ), và
thỏa một, điều kiện Dirichlet. Trên Γ \ Γ0
(1.2) u = f trên Γ

14


Bài tốn xác định miền cho một phương trình Elliptic

𝜕𝑢

(1.3)
trong đó

𝜕𝑢
𝜕𝑛

𝜕𝑛

= h trên Γ

là đạo hàm của u theo hướng pháp tuyến ngoài trên Γ0).

Giả sử thêm rằng u thỏa một điều kiện Dirichlet trên ∂G\ Γ như sau :
(1.4)

u = 0 trên ∂G\ Γ
Bài toán được đặt ra như sau đây :
Cho trước Γ và Γ0 , cho trước các hàm f và h lần lượt trong L2(Γ) và L2(Γ0),

chúng ta muốn tìm miền G thỏa Γ ⊂ ∂ G và tìm một hàm u xác định trên G thỏa đồng
thời các điều kiện (1.1), (1.2), (1.3) và (1.4) nêu trên.
Chúng ta sẽ xem miền G như là ảnh của một miền Ω cố định qua một phép biến
đổi Ψ nào đó. Giả sử rằng Ω là một miền bị chặn và cố định trong R2 sao cho Γ ⊂ ∂ G.
Một cách tự nhiên, chúng ta xét các miền G có dạng như sau :
(1.5)

G = Ψ(Ω)

� và thỏa :
trong đó Ψ là một phép biến đổi xác định trên một miền bị chặn C chứa Ω
i) Ψ : O → Ψ(O

) là một song ánh

ii) Ψ thuộc lớp C1(O

)

iii) Ψ duy trì các điểm của Γ theo nghĩa Ψ(x,y) = (x,y), ∀(x,y) ∈ Γ
Thì G xác định như trên sẽ là một miền bị chặn trong R2 và thỏa Γ ⊂∂G.

15


Bài tốn xác định miền cho một phương trình Elliptic

1.2. Một ví dụ :
Xét miền G giới hạn bởi hai dường cong γ, Γ

thuộc lớp C1 và là "Star - Shaped" đối với một điểm O.
Giả sử γ nằm ở phía bên trong Γ và Γ0 là phần biên cho
trước của ∂G (xem hình vẽ).
Cho Ω là một miền cố định giới hạn bởi Γ và một đường cong "Star -Shaped"
γ0 thuộc lớp C1 (ta có thể chọn γ0 là đường trịn tâm O chứa ở phía trong của Γ )
Ta có miền G nói trên là thỏa (1.5).
Thật vậy, chúng ta biểu diễn Γ, γ, γ0 bằng tọa độ cực (tại 0) như sau:
Γ = { θ, R(θ)) : θ ∈ [0, 2π]}
γ = { θ, r(θ)) : θ ∈ [0, 2π]}
γ0 = { θ, ro (θ)) : θ ∈ [0, 2π]}
trong đó R, r và r0 là các hàm thuộc lớp C1 (R) và tuần hoàn với chu kỳ 2 π.
Ta có :
G = {θ , ρ) : 0 ≤ θ ≤ 2π. r(θ) < ρ < R(θ)}
Ω = {θ , ρ) : 0 ≤ θ ≤ 2π. r0 (θ) < ρ < R(θ)}
và hàm Ψ xác định bởi :

16


Bài tốn xác định miền cho một phương trình Elliptic

(với θ ∈ [0, 2π ] , ρ > 0 )
� lên G
� và duy trì
Chúng ta kiểm tra được lực tiếp rằng Γ là một song ánh từ Ω

các điểm của Γ . Hơn nữa vì R(θ), r(θ), r0(θ) là thuộc lớp C1 nên Γ cùng thuộc lớp C1.
Do biểu thức xác định Ψ ta có thể mở rộng Ψ thành một biến đổi thuộc hớp C1
� lên một miền tương ứng chứa G
� . Hàm Ngược ϕ =

và song ánh từ một miền O chứa Ω
Ψ-1 được cho bởi

ϕ(θ,ρ) = �θ,

1

𝑅(θ)−𝑟(θ)

{[𝑅(θ) − 𝑟(θ)]ρ + [𝑟0 (θ) − 𝑟(θ)]𝑅(θ)}�

1.3. Biến đổi bài tốn

Trong phần này, chúng tơi sẽ đưa bài tốn xác định miền nói trên thành bài tốn
xác định hệ số của một phương trình biến phân elliptic.
Cho f ∈ L2(Γ) và h ∈ L2(Γ0). Theo RODRIGUES [32] thì phương trình (1.1) với
các điều kiện biên hỗn hợp : (l.3), (1.4) và (1.2’) trong đó (1.2’ ) là :
(1,2’) u = f trên Γ \ Γ0
tương đương với phương trình biến phân sau đây :

trong đó
WG = {p ∈ H1 (G): p = 0 trên ∂G\ Γ0}
WG = {p ∈ H1 (G): p = 0 trên ∂G\ Γ và p = f trên Γ \ Γ0}
Nhận xét : Với u ∈VG thì
u + WG = VG

17


Bài tốn xác định miền cho một phương trình Elliptic

Thật vậy : với w ∈ WG thì ta có w = 0 trên ∂G\ Γ0 suy ra w = 0 trên ∂G\ Γ nên u
+ w = 0 trên ∂G\ Γ
Ta lại có u = f ; w = 0 trên Γ \ Γ0 nên u + w = f trên Γ \ Γ0. Do đó u + w ∈ VG .
Ngược lại với v ∈ VG. Xét w = v - u thì w = 0 trên ∂G\ Γ; w = f - f = 0 trên Γ \
Γ0 nên w = 0 trên ∂G\ Γ0 tức w ∈ WG.

Vì u + wG = vG nên phương trình biến phân nói trên tương đương với
(1.6)

�

∫G �∇u. ∇(p − u) + cu (p − u)� = ∫Γo h(p − u)dΓ
u∈VG

Do vậy bài tốn trong phần 1.1 trở thành tìm cặp (G, u) sao cho thỏa (1.6) và
điều kiện:
(1.2’’)

u = f trên Γ0

Bây giờ ta xét 𝐶𝑏1 (O

) là tập hợp tất cả các ánh xạ Ψ : O → R2 thuộc lớp C1

trên O , và có các đạo hàm riêng phần cấp một là bị chặn trên O .
𝐶𝑏1 (O

O

) là không gian Banach với chuẩn sau :
|| Ψ ||1 = sup {|Ψ(x)|, |DiΨj(x)| ∀ 1 ≤ I, j ≤ 2, x ∈ O

Chúng ta xét miền G có dạng (1.5) trong đó Ψ∈ 𝐶𝑏1 (O

đồng thời Ψ(x) khơng suy biến tại mọi x ∈ O

, Γ là bất biến qua Ψ

Theo định lý ánh xạ ngược thì có ϕ = Ψ-1 ≡ (ξ,η) : Ψ(O
là song ánh, ϕ thuộc lớp C1 trên Ψ(O

) và là song ánh trên

)→O

với ϕ

�) = G
� , Ψ(∂Ω) =
) và hơn nữa Ψ(Ω) = G, Ψ(Ω

∂G; Ψ (Γ) = Γ, Ψ (Γ0) = Γ0, Ψ (∂Ω \Γ) = ∂G \ Γ.

18


Bài tốn xác định miền cho một phương trình Elliptic

Bây giờ đưa (1.6) về một phương trình biến phân trên Ω`

Đặt v = uoΨ . Với w xác định Ω, ta xét p= woϕ. Do tính chất của ϕ và khơng
gian H , ta có :
1

Do đó p ∈ VG khi và chỉ khi w ∈ V, trong đó
V = { w ∈ H1 (Ω): w = 0 trên ∂Ω\ Γ và w = f trên Γ \ Γ0}
Đặt biệt v ∈ V khi u ∈ VG
Dùng công thức đổi biến số, ta có

Trong đó:

Ψ
và đặt AΨ = 𝐴Ψ
1 + 𝐴2 Vì ϕ(x,y) = (x,y) = Ψ(x,y) với mọi (x,y) ∈ Γ nên ta có :

Từ (1.7) và (1.9) ta có sự tương đương giữa (1.6) và :

19


Bài tốn xác định miền cho một phương trình Elliptic

(1.10)

Ψ
� 𝐴 (𝑣, 𝑤 − 𝑣) = 〈𝐿, 𝑤 − 𝑣〉 ∀w ∈ V ,
𝑣∈𝑉

Trong đó L = Lh (H1(Ω))* xác định bởi

〈𝐿, 𝑤〉 = õΓ ℎ𝑤𝑑Γ
0

Vì u = v trên Γ0 nên (1.2") là tương đương với
(1.11) v = f

trên Γ0

Vậy bài tốn tìm cặp (G, u) thỏa (l.6) và (1.2") là tương đương với bài tốn tìm
(Ψ, v) thỏa (1.10) và (1.11)

2. Giải bài toán bằng một phương pháp biến phân
Ψ
Ta thấy rằng nếu cho trước Ψ thì các hệ số 𝑎𝑖𝑗
được xác định và do đó aΨ cũng

hồn tồn được xác định. Chúng tơi sẽ chứng minh rằng (1.10) có duy nhất một lời giải
ghi là v = vΨ và sẽ dùng điều kiện (1.11) để chọn Ψ sao cho 𝑣Ψ |Γ0 là gần nhất theo một
nghĩa nào đó.

2.1 Sự tồn tại nghiệm 𝒗Ψ :

Xét tập hợp Q gồm các phép biến đổi T thỏa các tính chất sau đây :
i) Ψ∈ 𝐶𝑏1 (O

)

ii) Ψ là song ánh trên O
iii) |Jac Ψ (x,y) | ≠ 0 với mọi (x,y) ∈ O
iv) Y'(x,y) = (x,y) với mọi (x,v) ∈ Γ

Chúng ta giả sử rằng tập hợp K các lời giải T là một tập hợp compact trong
𝐶𝑏1 (O

Type equat ion here.

)và K ⊂ Q
� G = { v ∈ H1 (G): v = 0 trên ∂G\ Γ}
Đặt 𝑊

20


Bài tốn xác định miền cho một phương trình Elliptic

Xét phép song tuyến tính sau :
H1 (G) × H1 (G) → R xác định bởi
(u,v) ↦ õG(∇u∇v + cuv)

Áp dụng bài đẳng thức Poincaré mở rộng |32| ta có
Tồn tại một hằng số α > 0 sao cho

Suy ra

�G
‖𝑢‖𝐻 1 (𝐺) ≤ α ‖∇𝑢‖[𝐿2 (𝐺)]2 với mọi u ∈ 𝑊
1

õG (|∇u|2 + c| u |2 ≥ α2 ‖𝑢‖2𝐻 1 𝐺 (Vì c(x) ≥0)

�G

Vậy phép song tuyến tính nêu trên là bức (Coercive) trên không gian con 𝑊

của H 1(G).

Dùng phép đổi biến số là suy ra rằng với mọi Ψ ∈ Q thì AΨ là phép song tuyến
tính liên tục trên H1 (Ω)và bức trên không gian con
WG = { v ∈ H1 (Ω): v = 0 trên ∂Ω\ Γ}
của H1(Ω) với chuẩn trên W xác định bởi

với v ∈ W
Lưu ý rằng do bất đẳng thức Poincaré nên ‖𝑣‖ w và ‖𝑣‖ H1(Ω) là tương đương

trên không gian con W.

Xét 𝑓� ∈ H1(Ω) sao cho 𝑓̂|∂Ω \ Γo = f và đặt 〈𝐿�, 𝑣〉 = 〈𝐿, 𝑣〉 - AΨ(𝑓̃, 𝑣) với v ∈ W

21