Tải Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hưng Yên - Đề thi HSG môn Toán lớp 12 có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (284.38 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019 - 2020

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I (6,0 điểm).

1. Cho hàm số y=x3+mx2+1 có đồ thị

( )

Cm . Tìm các giá trị của tham số m để

đường thẳng

( )

d y: = -1 x cắt đồ thị

( )

Cm tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến

của đồ thị

( )

Cm tại hai trong ba điểm đó vng góc với nhau.

2. Cho hàm số

(

)

2
1

2
x
y

x
+

+ có đồ thị

( )

C . Gọi A x y B x y

(

1; 1

) (

, 2; 2

)

là các điểm cực trị của

( )

C

với x1<x2. Tìm điểm M trên trục tung sao cho

2 2

T = MA - MB + MAuuur- MBuuur

đạt
giá trị nhỏ nhất.

Câu II (4,0 điểm).

1. Giải phương trình: 1 3

(

)

3 2 3

(

)

1log 2 2 log 2 1
2 + x+ = + x+

2. Cho các số thực a b c, , Î ê úé ùë û2;8 và thỏa mãn điều kiện abc =64. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức P =log22a+log22b+log22c.
Câu III (5,0 điểm).

1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với AD =2 ,a AB =BC =CD =a,

cạnh SA vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD

sao cho NS=2ND. Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng

6 43
43

a

, tính
thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

2. Cho tam giác ABC vng tại A có ABC =· 60o. Đường phân giác của góc ·ABC cắt
AC tại I. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp 
xúc với cạnh BC. Cho miền tam giác ABC và nửa hình trịn trên quay quanh trục AC

tạo thành các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V V1, 2. Tính tỉ số
1
2

V
V .

Câu IV (1,0 điểm). Tìm họ nguyên hàm

ln 1

ln 1 1

x

I dx

x x

+
=

+ +

ò

Câu V (2,0 điểm). Giải hệ phương trình

2 2
3

2 2 7 3 8

3 8 5 6 12 7

x y y x

xy x xy x y

ìï + + + = - +

ïï

íï - + = - + +

ïïỵ .

Câu VI (2,0 điểm). Cho dãy

( )

an xác định

2
1

1, 1
2

n n n

a

n

a+ a n

ìï =
ïïï

í +

ï = + " ³
ïï

ïỵ . Tìm số hạng tổng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

...HẾT...

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. 
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh ...Số báo 
danh ...

Giám thị coi thi ...

HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO

Câu I. 1. Cho hàm số y=x3+mx2+1 có đồ thị

( )

Cm . Tìm các giá trị của tham số m

để đường thẳng

( )

d y: = -1 x cắt đồ thị

( )

Cm tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến

của đồ thị

( )

Cm tại hai trong ba điểm đó vng góc với nhau.

Hướng dẫn

Giả sử có ba giao điểm là A, B, C khác nhau, phương trình hoành độ giao điểm là:

(

)

( )

3 2

0 0; 1
0

1 0 *

x A

x mx x

x mx

é = Þ
-ê

+ + = Û ê

+ + =

ë . Dễ thấy kA = Þ0 ytt = - 1 suy ra khơng có tiếp

tuyến vng góc nhau tại A. Cịn lại hai giao điểm B, C có hồnh độ là nghiệm của 
(*).

Ta có

1 2
1 2

x x

x x m

ìï =

ïí

ï + =

-ïỵ và để hai tiếp tuyến vng góc nhau thì

(

) (

)

1 31 2 . 2 3 2 2 1

x x + m x x + m =

-2 2 2

9 6m 4m 1 m 5 m 5

Þ - + = - Þ = Þ = ± , thỏa mãn D =m2- 4>0

Vậy các giá trị của m là m = ± 5.

Câu I. 2. Cho hàm số

(

)

2
1

2
x
y

x
+
=

+ có đồ thị

( )

C . Gọi A x y B x y

(

1; 1

) (

, 2; 2

)

là các điểm cực

trị của

( )

C với x1<x2. Tìm điểm M trên trục tung sao cho

2 2

T = MA - MB + MAuuur- MBuuur

đạt giá trị nhỏ nhất.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ta có

(

)

1 2

1 , 2 ' 1 1 3, 1

2 2

y x x y x x

x x

= + ¹ - Þ = - Þ = - =

-+ +

là hoành độ các điểm
cực trị hay A

(

- 3; 4 ,-

) (

B - 1;1

)

. Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA- IB = Þ0 I

(

- 5; 9-

)

uur uur

Khi đó

(

) (

)

2 2

2 2 2

T = MAuuur - MBuuur + MAuuur- MBuuur = MIuuur+IAuur - MIuuur+IBuur +MIuuur

(

)

(

)

2 2 2 2 2

2 2 5 9 5 9 27 5 32

T = IA - IB +MI +MI = + + y+ + + y+ ³ + =

Nên Tmin =32Û y= - 9Û M

(

0; 9-

)

.

Câu II. 1. Giải phương trình: 1 3

(

)

3 2 3

(

)

log 2 2 log 2 1
2 + x+ = + x+

Hướng dẫn.

(

)

(

)

(

) (

)

1 3 3 2 3

1log 2 2 log 2 1 2 2 1 3 3 2 3 1

t t

x x t x

+ + = + + = Û + = + = + +

( )

(

)

3 2 3 1

1 1 0, 0 , 1

4 2 3 4 2 3

t t

t t

f t a b a b

ổ+ ửữ ổ ử

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ

ị =ỗỗ ữữ+ỗỗỗ ữữ = + - = < <

ữ

ỗ + ố + ø

è ø , ta có

( )

' tln tln 0,

f t =a a b+ b< "t

suy ra f t

( )

nghịch biên trên ¡ nên f t =

( )

0 có nghiệm
duy nhất t= Þ1 x= +1 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Câu II. 2. Cho các số thực a b c, , Ỵ ê úé ùë û2;8 và thỏa mãn điều kiện abc =64. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức P =log22a+log22b+log22c.

Hng dn.

t log2a=x,log2b=y,log2c= ịz x y z, , ẻ é ùê úë û1;3 ,x+ + =y z 6. Ta cần tìm GTLN của
2 2 2

P =x +y +z . Không giảm tổng quát ta giả sử 1£ x£ £ Ê ịy z 3 xẻ ộ ựờ ỳở ỷ1;2 ,zẻ é ùê úë û2;3.

(

)

(

)

2 2 6 2 2 2 6 36 2 2 12

P =x +z + - z x- = z - - x z+ + x - x

(Parabol đồng biến đối với z vì

6 5

3 2;

2 2 2

x x é ù

- ê ú

= - ẻ ờ ỳ

ở ỷ) ị P Ê 2.32- 6 6

(

- x

)

+36 2+ x2- 12x=2x2- 6x+18 14£ ( tại

1 2

x= È =x ) suy ra Pmax =14Û x=1,y=2,z=3 (loại y=1,x=2,z=3).

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu III. 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với

2 ,

AD = a AB =BC =CD =a, cạnh SA vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB

và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho NS =2ND. Biết khoảng cách từ S đến mặt

phẳng (AMN) bằng

6 43
43

a

, tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Hướng dẫn.

Gọi E là trung điểm của AD thì dễ dàng chứng minh được ABCE là hình thoi cạnh a,

CDE là tam giác đều cạnh a. Kẻ CH vng góc với ED thì

3
2
a
CH =

và là đường cao

của hình thang cân ABCD, suy ra

2
3 3

ABCD

a

S =

.
Lấy a 1. Dựng hệ tọa độ Axyz như

hình vẽ, với

(

) (

)

3 1; ;0 , 0;2;0 , 0;0;3
2 2

Bổỗỗỗ ửữữữữD S h

ỗ ữ

ỗố ứ , khi ú ta

cỏc điểm

3 1 3; ; , 0; ;2

4 4 2 3

h

Mỗỗổỗ ữữữ ỗử ổữNỗỗ hữửữữ

ữ
ỗ

ỗ ữ ố ứ

ỗố ứ

.

Ta có

3 3 3

, ; ;

4 4 6

h h

AM AN ổỗ ửữ

ộ ự= -ỗ - ữữ

ờ ỳ ỗỗ ữ

ở ỷ ỗố ữứ

uuuur uuur

, khi
ú phng trỡnh mt phng (AMN) là

2 3

3 3 0

hx h y+ - z=

Khoảng cách

(

)

(

)

2 2

2 3 6

4 43

9 3

3
h

d S AMN

h h

= =

+ +

suy ra

2 2 4 2 2 6

43 3 12 36 4 0;0;

3 7 7

h = ỗỗỗỗổh + ữửữữữ= h + ị h= ị Sỗổỗỗ ửữữữữ
ỗ

ố ứ è ø hay SA =6 7a7 và thể tích khối

chópS ABCD. là:

2 3

1 6 7 3. . 3 3 21

3 7 4 14

a a a

V = =

Câu III. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC =· 60o. Đường phân giác của góc
·ABC cắt AC tại I. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm
I tiếp xúc với cạnh BC. Cho miền tam giác ABC và nửa hình trịn trên quay quanh

trục AC tạo thành các khối trịn xoay có thể tích lần lượt là V V1, 2. Tính tỉ số
1
2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Hướng dẫn.

Đặt AB =a, khi đó

tan60 3, tan30

o o a

AC = =h AB =a IA=R =AB =

. Khi cho tam
giác ABC và nửa hình trịn tâm I quay xung xung quanh AC thì tạo thành khối nón

trịn xoay và khối cầu. Ta có:

2 2

2 3

/ 3 . 3 9

4 / 3 3

4.
9
non

cau

V V a h a a

V V R

a
p

p

= = = =

Câu IV. Tìm họ nguyên hàm

1 ln
ln 1 1

x

I dx

x x
+
=

+ +

ò

Hướng dẫn.

Đặt

(

)

(

)

(

)

ln 1 1 ln 1 1 1 ln 2 1

x x+ + = Þt x x+ = -t Þ + x dx= t- dt, suy ra

( )

(

t 1

)

2 2ln

( )

2 ln 1 2ln

(

ln 1 1

)

I t dt t t C I x x x x x C

t

ị

= - + Þ = + - + + +

Câu V. Giải hệ phương trình:

2 2
3

2 2 7 3 8

3 8 5 6 12 7

x y y x

xy x xy x y

ìï + + + = - +

ïï

íï - + = - +

-ïïỵ .

Hướng dẫn.

+ Xét x = - 2 thì từ phương trình đầu ta có y = - 2 thế vào phương trình thứ hai
khơng thỏa mãn. Lập luận tương tự đối với y = - 2 ta suy ra điều kiện x y > -, 2.
+ Biến đổi phương trình thứ nhất:

2 2

1 7 3 1 7 3, 0 1 2

2 2

y y

t t t t x y

x x

ổ ử

+ ỗ + ữữ

+ = ỗỗỗ ữữ- + = - > Û = Û = >

-+ è + ø .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Đặt 33x2- 8x+ = Þ5 t 3x2- 8x+ =5 t3, từ (*) ta có

(

) (

)

3 1 1 3

t + =t x- + x- =u +u

Hay

(

)

(

)

2 2 1 0 1

t u t- +tu u+ + = Û t= = -u x

. Từ đó ta được:

(

)

2 3 2

3x - 8x+ =5 x- 1 Û x - 6x +11x- 6= Û0 x=1,x=2,x=3

(thỏa mãn).

Vậy hệ đã cho có ba nghiệm

( ) ( ) ( ) ( )

x y Ỵ,

{

1;1 , 2;2 , 3;3

}

Câu VI. Cho dãy

( )

an xác định

2
1

1, 1
2

n n n

a

n

a + a n

ìï =
ïïï

í +

ï = + " ³
ïï

ïỵ . Tìm số hạng tổng quát an

và tính liman.

Hướng dẫn.

Dễ thấy dãy số đã cho là dãy số dương và tăng. Giả sử 1
2

4 , 1

n n

n

a = - +- " ³n

, khi đó
ta có:

1 1
a =

đúng, 1 1

2 1 2 4 1 3

4 4 4

2 2 2 2 2

n n n n n n

n n n n n

a + = - +- + + = - + + + = - +

(đúng tới n + 
1).

Vậy 1

4 , 1

n n

n

a = - +- " ³n

. Suy ra 1

lim lim 4 4 2

n n

n

a = - +- = =

.
...HẾT...…

</div>

Tải Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hưng Yên - Đề thi HSG môn Toán lớp 12 có đáp án

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

) (

)

( )

(

)

(

)

ò

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

) (

)

(

)

( )

(

) (

)

( )

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

<sub>.</sub>

(

)