DE THI HSG MAY TINH_HONG LINH

Phòng Giáo dục - Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi thị lớp 9 về giải toán
Hồng lĩnh trên máy tính casio năm học 2009 2010.
Thời gian làm bài : 90 phút .
Đề THI Và ĐáP áN
-
Câu 1: a) Tính tổng S = 1+2x+3x
2
+4x
3
+.....+ nx
n-1
(x >1, n >1; n

N )
b) Tính S khi x = 2; n = 19 (Tính chính xác S)
Sơ lợc cách giải: 3 điểm
Ta có: 2,0
b) Khi x = 2; n = 19 . Khi đó S = 9 437 185 1,0
Đáp số: a)
1
1
1
n
n
x
nx
x
S
x

=

b) S = 9 437 185
Câu 2: a) Tìm số có 4 chữ số
abcd
thỏa mãn: 94(abcd +ab +ad +cd +1) = 217(bcd +b+ d)
b) Xác định a, b, c để: f(x) = x
4
+ax
2
+bx+c chia hết cho g(x) = (x - 1)(x 3)(x 4)
Sơ lợc cách giải: 3 điểm
a) Từ giả thiết ta suy ra:
1 1
2
1 1
3
1 1
4
7
a
b
c
d
+ = +
+ +
+ +

2; 3; 4; 7a b c d = = = =

thoã mãn là các chữ số
1, 0
0,5
b) Vì f(x) = x
4
+ax
2
+bx+c chia hết cho g(x) = (x - 1)(x 3)(x 4)
f(x) =(x - 1)(x 3)(x 4)h(x) 0,5
Cho x= 1; 3 ; 4 ta đợc hệ :
1
9 3 81
16 4 256
a b c
a b c
a b c
+ + =


+ + =


+ + =

0,5
Giải hệ ta đợc a = - 45; b = 140; c = - 96 0,5
Đáp số: a)
abcd
= 2347
b) a =-45 ; b =140 ; c = -96

Câu 3: a) Tìm x để: P =
4 3 2
2
4 16 56 80 356
2 5
x x x x
x x
+ + + +
+ +
đạt giá trị nhỏ nhất.
b ) Cho : x
6
+ y
6
= 10,1003 và x
12
+ y
12
= 200,2002. Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức x
18
+ y
18
Sơ lợc cách giải: 3 điểm
a) Ta có
2
2
256
4( 2 5) 2 4.256 64
2 5
P x x

x x
= + + + =
+ +
Vậy P
min
= 64
xảy ra khi x = hoặc x = - 3
0,5
0,5
b) Đặt
6
2 2
6
10,1003
200,2002
a b m
x a
a b n
y b
+ = =

=




+ = =
=

18 18 3 3 3
( ) 3 ( )x y a b a b ab a b + = + = + +
2 2 2 2
3 3
( ) ( )
( ) 3( ) 3 .
2 2
a b a b m n
a b a b m m
+ +
= + + =
1,0
0,5
Thay số ta đợc: S = 2517,926714 0,5
Đáp số: a) x = 1 hoặc x = - 3 , Khi đó P = 64 b) S = x
18
+ y
18
= 2517,92671
Câu 4: a/ Tỡm s cú 3 ch s sao cho
( )
3
abc a b c= + +
b/ Tỡm cỏc s
xxyy
sao cho
xxyy
l s chớnh phng.
2 1

1
1
1
) 1
1 1
n
n
n
n n n
x
nx
x
x
a S xS x x x nx nx S
x x





= + + + + = =

L
Mó 02
Sơ lợc cách giải: 3 điểm
a) Ta có
( )
3
100 999 100 999abc a b c + +
0,5

5 9a b c + +
0,5
Thử trên máy tính ta đợc 1 giá trị
3 3
8 512 (5 1 2)= = + +
0,5
b) Ta có
2 2
1100 9999 34 99xxyy k k k=
0,5
Mặt khác dể thấy
11xxyyM
nờn
2
11 11k kM M
do ú k = 44, 55, 66, 77, 88, 99
0,5
Thử trên máy tính ta đợc số
2
88 7744=
0,5
Đáp số: a)
512abc =
b)
7744xxyy =
Cõu 5. Tớnh giỏ tr ca biu thc:
3 3 3 3 3 3 3 3
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2007 2008A = + + + + + + +
(Kt qu chớnh xỏc).
Sơ lợc cách giải: 1 điểm

Tính từng số trên máy tính ta đợc: Sau đó cộng trên giấy ta đợc kết quả 0,5
A = 56 324 955 053 0,5
Đáp số: A = 56 324 955 053
Câu 6: Tỡm s t nhiờn
n
nh nht sao cho khi lp phng s ú ta c s t nhiờn cú 2 ch s cui u l
ch s 1 v 2 ch s u cng u l ch s 1:
3
11.....11n =
. Nờu s lc cỏch gii.
Sơ lợc cách giải: 0,5 điểm
Hng n v ch cú
3
1 1=
cú ch s cui l 1. Vi cỏc s
3
1a
ch cú
3
71 357911=
cú 2 ch s
cui u l 1.
Ta cú
a 1100 11000
4
11 10ì
5
11 10ì
6
11 10ì

7
11 10ì
8
11 10ì
3
a
10,xxx 22,xxx 47,xxx 103,xxx 222,xxx 479,xxx 1032,xxx
Nh vy, cỏc s lp phng ca nú cú 2 s u l ch s 1 phi bt u bi cỏc s: 10x; 22x;
47x; 103x; 222x; 479x; .... (x = 0, 1, 2, ..., 9)
Th cỏc s: Cỏc s ta c
Vy s n nh nht cn tỡm l:
n = 10371 v n
3
= 1115480294811
0,25
0,25
Đáp số n = 10371
Câu 7: a) Cho bit 3 ch s cui cựng bờn phi ca s
3411
13447
vit trong h thp phõn.
b) Tỡm s d r
1
trong phộp chia
63
(239334)
cho 793 v s d r
2
trong phộp chia
2008

(19234)
cho 793
Sơ lợc cách giải:
1,0 điểm
a) Ta có:
( ) ( )
34
11 100
3411 3411
13447 447 (mod 1000) 447 . 447



0,25
11 34 11
744 .001 (mod 1000) 447 (mod 1000)
=
3
3 2 3
447 447 623 .809(mod 1000) 367.809(mod 1000) 903(mod 1000)



0,25
b) Thực hiện phép lấy đồng d ta đợc:
+
( ) ( ) ( ) ( )
63 63 9 3
239334 641 mod793 173 mod793 220 mod793 389 mod793
0,25

+Làm tơng tự
( ) ( ) ( )
1000
2008 2008 8 2 1000
19234 202 mod 793 202 . 202 mod793 198.361 mod793



( ) ( ) ( )
100
10 100
198. 361 mod793 198.562 mod793 198.562 256 mod793



0,25
Đáp số a) 903 ; b) r
1
= 389 ; r
2
= 256
Câu 8: Cho tam giác ABC (Hình vẽ). a) Tính diện tích tam giác ABC theo S
1
, S
2
và S
3
.
Biết diện tích các tam giác KPI = S
1

, diện tích tam giác MIE = S
2

diện tích tam giác NHI = S
3
MN//AB; PE//BC; KH//AC (Hình vẽ)
b) Tính diện tích tam giác ABC (hình bên),
biết
2 2 2
1 2 3
6,88 ; 6,41 ; 13,25S cm S cm S cm= = =
(diện tích làm tròn đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
Sơ lợc cách giải: 4,0 điểm
a) Dựa vào tính chất của tam giác đồng dạng: Tỷ số đồng dạng bằng căn bậc 2 của
tỷ số diện tích. Nên ta gọi S là diện tích của tam giác ABC
0,5
Lập luận
3
1 2
1
S
S S
PK AK BP
AB AB AB
S S S
+ + = + + =
2,0
( )
2
1 2 3

S S S S = + +
0,5
b) Thay số ta đợc S = 77,34900192 1,0
Đáp số: a)
( )
2
1 2 3
S S S S = + +
; b) S = 77,34002 cm
2
Cõu 9: Cho 3 nửa hình tròn đờng kính AB, AC, BC tiếp xúc nhau từng đôi một, AB = 5cm, AC = 1,5cm . Vẽ 1
hình tròn tiếp xúc với cả 3 hình tròn trên(hình vẽ).
Tính bán kính của hình tròn vẽ thêm.
Sơ lợc cách giải: 1, 0 điểm
Gọi x là bán kính đờng tròn cần tìm. Hạ HI vuông góc với AB
Đặt
; ' '' ; ' ; ''
2 2 2
a a b b
AB a AC b OA OA O O OO OO

= = = = = = =
' ; ; ''
2 2 2
b a a b
O H x OH x O H x

= + = = +
áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có:
( ) ( ) ( ) ( )

2 2
' ' ' ' . ' . '
2
a b
O I OI O I OI O I OI O O O I OI O I OI


= + = =
ữ

=
( )
2 2
2 2
2( )
'
2 2 4 2
b a b a a b a b
x x a b x O I OI x
a b
+ +

+ = + + =
ữ ữ


(1)
0,25
Tơng tự ta tính đợc:
2( 2 ) 2

'' '
2
a b a b
O I O I x
a

= +
(2)
0,25
Lấy (1) + (2) ta đợc
2( ) 2( 2 ) 3
'' '' .
2 2
b a b a b b
O I OI OO x
a b a
+

= = = +



0,25
2
b
x
a b a b
a b a
=
+

+

Thay a = 5cm; b =1,5 cm ta đợc x =
105
158
cm = 0,66456
0,25
Đáp số: 0,66456 cm
Cõu 10: Tính tổng S =
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 302.303.304.305

+ + + +

L
Sơ lợc cách giải: 0,5 điểm
B
1
S
2
S
A
C
N
E
P
H
K
M
I
3

S
_O''
_O'
_O
_A
_B
_H
_G
_C
I
x
x
x
x
Ta cã
2 2 2
3 ( 1)( 2)( 3) 3 1 ( 1)( 2)( 3) 3k k k k k k k k k k k k k k
 
+ < + + + < + + ⇒ + + + = +
 
0,25
Cho k = 1, 2, 1000 ta ®… îc
S =
2 2 2 2
302.303.605 302.303
1 2 3 302 3(1 2 3 302) 3.
6 2
+ + + + + + + + + = +L L
=9 364 114 0,25
§¸p sè: S = 9 364 114

Ghi chú: + Mọi cách giải khác đúng đều cho đúng thang điểm.
+ Nếu chưa có sơ lược cách giải mà đáp số đúng cũng cho đúng thang điểm của đáp số.